Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3. Zadanie 4

Transkrypt

1 Zadanie ODP = exp(, 4 )E W () = exp(, )E l (;+ ) (S()) ODP = exp(, )P (S() > ), gdzie oznacza miar martyngaªow. Przy MBS proces cen akcji ma posta S(t) = S() exp[t(µ, 5σ ) + σw t ], gdzie {W t, t } jest procesem Wienera wzgl dem realnej miary ryzyka, a wzgl dem miary martyngaªowej mo»na zapisa S(t) = S() exp[t(r, 5σ ) + σw t ], gdzie {W t, t } jest procesem Wienera wzgl dem miary martyngaªowej (twierdzenie Girsanova o zmianie miary, ltracje naturalne). Zatem ODP = exp(, )P (e (,4,5, )+,W > ) = exp(, )P (W > (ln(/), 4)/, ). Ale W N(; ) wzgl dem miary P, st d po unormowaniu ODP exp(, ) Φ(, 3) 3. Zadanie Emitent wykupi obligacj, gdy tylko b dzie miaª drogi dªug. Obligacja pªaci kupony 5%, jej nominaª to i cena wykupu w t = 3 jest równa, zatem jest wyceniona przy stopie, 5. Zatem, je±li w t = 3, stopa zerokuponowa r (, 4;, 5) to emitent wykupi obligacj, bo jego dªug jest drogi (wykupi obligacj i zadªu»y si po stopie r <, 5). Gdy r (, 5;, ) wykup nie nast puje. Obliczmy X - warto± oczekiwan inwestycji na chwil t = 3, X = 5( +, 6 +, 6 ) +, 5 +, 4,,5 ( 5 + r + 5 ( + r) ) dr 3, 34, gdzie kolejne skªadniki sumy to warto± wcze±niej otrzymanych kuponów, nominaª* P(emitent wykupi obligacj w t = 3) oraz warto± oczekiwana na chwil t = 3 przyszªych przepªywów pieni»nych, je±li wykup nie nast piª. ODP = X, Zadanie 3 MacD α (, σ) = MacD β (, σ) = Zachodzi MacD α (, σ)/macd β (, σ) = /3, ODP E. t e tσ dt te tσ dt = t 3 e tσ dt t e tσ dt = σ 3 σ 6 σ 4 σ 3 = σ = 3 σ Zadanie 4 Kupon z ka»dej obligacji to 5 mln PLN. Roczna wypªata dla posiadacza udziaªu transzy A to 5, udziaªów tej transzy jest, zatem by wszyscy posiadacze udziaªów transzy A otrzymali swoje LKU, 3

2 kupony wystarczy, by nie zbankrutowaª cho jeden emitent. Od momentu, w którym zbankrutuj wszyscy»adne kupony nie b d wypªacane. Zatem c A = 5 (p v + p v + p 3 v 3 ), gdzie p i oznacza prawdopodobie«stwo,»e na koniec i-tego roku przynajmniej jeden emitent nie zbankrutowaª, zatem: p = (, ), p = (, ), p = (, 3 ). St d c A 663, 7. Teraz obliczamy c C i tu jest gorzej. Roczna wypªata dla posiadacza udziaªu transzy C to 75, udziaªów tej transzy jest, zatem na pokrycie wszystkich zobowi za«potrzeba 5 mln PLN, ale posiadacze udziaªów tej transzy s ostatni w kolejce. Tak wi c posiadacze transzy C otrzymaj na koniec roku i kwot : 5 je±li na koniec roku i nie zbankrutowaªo dokªadnie emitentów, 5 je±li na koniec roku i nie zbankrutowaªo dokªadnie emitentów, 75 je±li na koniec roku i nie zbankrutowaªo dokªadnie emitentów, bo wpªywy z obligacji, s równo rozdzielane pomi dzy posiadaczu udziaªów transzy. Je±li na koniec roku i zbankrutowaªo co najmniej 7 emitentów wpªywy z kuponów zostan przeznaczone na wypªaty dla posiadaczy udziaªów transzy A i B, posiadacze udziaªów transzy C nie dostan nic. Mo»na zapisa c C = v(5p(, ) + 5P(, ) + 75P(, )) + v (5P(, ) + 5P(, ) + 75P(, )) + v (5P(3, ) + 5P(3, ) + 75P(3, )), gdzie P(i, j) oznacza,»e na koniec roku i nie zbankrutowaªo dokªadnie j emitentów. Rozpiszmy P(, ) =,,, P(, ) =,,, P(, ) =,,, P(, ) = (, ) (, ), P(, ) = (, ) (, ), P(, ) = (, ) (, ), P(3, ) = (, 3 ) (, 3 ), P(3, ) = (, 3 ) (, 3 ), P(3, ) = (, 3 ) (, 3 ), LKU, 3

3 zatem c C 3677, 56 i ODP = c A /c C, 5. Zadanie 5 X = ODP, K i to koszt i-tej strategii dla rmy A, zatem K = 75 X, bo rma A chce osªoni nale»no± w kwocie 75 PLN. K (K) = (, 4 3v +, 4, v +, 4,, v 3 ) K%, bo rma A spªaci skªadk za dany rok tylko gdy B nie zbankrutuje. Skoro bank nie pobiera mar»y to K musi by równy kosztowi CDSa od strony banku. Koszt CDS od strony banku to K bank = (, 6 +, 4, +, 4,, ) 75v 3, bo bank wypªaca rmie A 75 PLN w momencie t = 3 je±li rma B zbankrutuje w okresie [, 3]. Skoro K = K = K bank to ODP = X, 75. Zadanie 6 Dla opcji put ν P = S n(d ) T, gdzie n(x) oznacza warto± g sto±ci standardowego rozkªadu normalnego (N(; )) w punkcie x. Zatem n(d ) = 4/4, teraz Γ P = n(d ) sσ T, 75. Niech C S () oznacza cen opcji po zmianie ceny akcji, C S () C() + S C +, 5( S) Γ C, , bo S =, zatem ODP = C() C S (), 65. Zadanie 7 Sprawdzamy kolejno: pierwsza to»samo± δ = ln v, wi c dn dv n (vn ln v) = dn dv n vn (n ) dn dv n (vn ln v) pierwszy czynnik w powy»szym si zeruje i wida,»e w ten sposób doprowadzimy lew stron do postaci (n )! d (n )! lnv = P. dv v druga to»samo± n (n t)e σt dt = ān (nσ ) σ + nvn σ P. 3 LKU, 3

4 trzecia to»samo± Wiemy,»e (i (m) d (m) ), hipoteza: wtedy, podstawiaj c (co te» wiemy z teorii) m = = P, i (m) d (m) i(m) d (m) i (m) d (m), otrzymujemy równanie i (m) d (m) czwarta to»samo± =, które nie jest w ogólno±ci prawdziwe, zatem sprzeczno±. n a t tv t+ v t= Zatem ODP =. = (Da) n v(ia) n v = a n ( + v) a n+ n nv v v = v + nv n a n v i P. Zadanie y(v) = + n= v n (n )! = + v + v v n n!, y (v) = + v + + y (v) = + + z(v) = v + v nv n n!, n(n )v n n!. (n(n ) n)v n + v n n! + n!, z(v) = v + v ( (n + )n (n + ) (n + )! + ) n! v n, renta R pªaci na ko«cu roku, zatem pierwsza pªatno± to, druga to /3, a dla n 3 n-ta pªatno± wyra»a si wzorem (n )(n + ) R(n) = (n + )! + n!. ODP = R() R() =! +!!! = 76!!, po sprowadzeniu do wspólnego mianownika i skróceniu przez czynnik!!!. 4 LKU, 3

5 Zadanie Niech oraz v =,,, v, =,, v, 3 =,, v, 4 =, 7, v, 5 =, 6, v = v v v 3 v 4 v 5, X = ä 5 v, Y = v + v v + v v v 3 + v v v 3 v 4 + v v v 3 v 4 v 5, wtedy = RXY/,, gdzie R to rata zapªacona na ko«cu pierwszego roku. Obliczamy v, , X, 5634 i Y 4, 6446, zatem ODP 74. Zadanie Niech v = /(, ), v = /(, ) oraz wtedy U = (v + v 3 + 3v 4 + 4v 5 + 4v 6 + 3v 7 + v + v ), 4 = Xa v + 3v (Ia) v + v (Y a v U). () ZAD(6) = (X + )v (X + 7)v 4 + v 4 (Y a v U). ZAD(7) = (X + )v (X + 7)v 3 + v 3 (Y a v U). ods 7 = X( v 4 ) + Y a v (v 3 v 4 ) U(v 3 v 4 ). ZAD() = (Y )v Y v, ZAD(3) = (Y 3)v Y v 7. ods 3 = Y ( v ) a v + v 3 a 4 v. Zatem równanie ods 7 ods 3 = 47, 5 mo»na przeksztaªci do postaci X( v 4 ) + Y [v + a v (v 3 v 4 )] = 636, 43. Powy»sze równanie oraz () daj ukªad równa«liniowych, którego rozwi zaniem jest X 4, i Y 36,, zatem ODP = X + Y 6. 5 LKU, 3