PORADNIKI. Ciekawe Tablice Matematyczne

Transkrypt

1 PORADNIKI Ciekawe Tablice Matematyczne

2 Hierarchia Liczb 0 (zero) 1 (jeden) 2 (dwa) 3 (trzy) 4 (cztery) 5 (pięć) 6 (sześć) 7 (siedem) 8 (osiem) 9 (dziewięć) 10^1 (dziesięć) 10^2 (sto) 10^3 (tysiąc) nazwa Amerykańsko Francuskie Angielsko Niemieckie milion 10^6 10^6 miliard 10^9 10^12 bilion 10^12 10^18 biliard 10^15 10^24 trylion 10^18 10^30 tryliard 10^21 10^36 kwadrylion 10^24 10^42 kwadryliard 10^27 10^48 kwintylion 10^30 10^54 kwintyliard 10^33 10^60 sekstylion 10^36 10^66 sekstyliard 10^39 10^72 septylion 10^42 10^78 septyliard 10^45 10^84 oktylion 10^48 10^90 oktyliard 10^51 10^96 nonilion 10^54 10^102 noniliard 10^57 10^108 decylion 10^60 10^114 decyliard 10^63 10^ googol 10^100 googolplex 10^googol = 10^(10^100) Przedrostki SI Liczba Przedrostek Symbol Liczba Przedrostek Symbol dekahektokilomegagigaterapetaeksazetta- da h k M G T P E Z decycentymilimikronanopikofemtoattozepto- d c m μ n p f a z 2

3 1024 jotta- Y jokto Liczby rzymskie Przykłady Systemy liczbowe dziesiętny dwójkowy trójkowy ósemkowy szesnastkowy 3 y

4 Tablica konwersji miar długości z /do _ stopy _ cale _ metry _ mile _ yardy (1/5280) (1/3) (1/63360) stopa cal (1/12) (1/36) -4 metr x10 mila yard (1/1760) Użyteczne związki długości mila = 1760 yardów = 5280 stóp yard = 3 stopy = 36 cali stopa = 12 cali cal = 2.54 centymetrów Tablica konwersji miar obszaru z/do _ akry _stopy2 _cale2 _ metry2 _ mile2 _ yardy (1/640) 4840 akr stopa2 (1/43560) cal2 (1/ ) (1/144) metr x mila yard2 (1/4840) (1/ ) (1/9) x x10 (1/1296) x x x akr = (1/640) mile2 mila = 1760 yardów = 5280 stóp yard = 3 stopy = 36 cali stopa = 12 cali cal = 2.54 centymetry x10-7

5 Potęgi Logarytmy 5

6 6

7 7

8 Definicja : Okrąg jest położeniem wszystkich punktów jednakowo odległych od punktu centralnego. Definicje związane z okręgiem łuk: krzywa, która jest częścią obwodu koła cięciwa: odcinek linii wewnątrz okręgu, który dotyka dwóch punktów na okręgu obwód: odległość wokół okręgu średnica: najdłuższa odległość od jednego końca okręgu do drugiego punkt zaczepienia: punkt centralny okręgu pi (π): Liczba , równa (obwód) / (średnica) obwodu promień: odległość od środka okręgu do dowolnego na nim punktu wycinek: fragment koła tangens koła: linia prostopadła do promienia która dotyka TYLKO jednego punktu koła średnica = 2 x promień koła Obwód koła = pi x średnica = 2π x pomień, gdzie Π = Pole koła = πr2. Długość łuku okręgu : (z kątem środkowym Θ) jeśli kąt Θ jest w stopniach, wtedy długość = Θ x (PI /180) x r jeśli kąt Θ jest w radianach, wtedy długość = r x Θ Pole wycinka koła (z kątem środkowym Θ): jeśli kąt Θ jest w stopniach, wtedy pole = (Θ/360) x PI r2. jeśli kąt Θ jest w radianach, wtedy pole = (Θ/2) x Pir2. Równanie koła : (współrzędne kartezjańskie) dla koła o środku (j, k) i promieniu ( r ): (x-j)^2 + (y-k)^2 = r^2. Równanie koła : (współrzędne biegunowe) dla koła o środku (0,0) : r(θ) = promień 8

9 dla koła o środku ze współrzędnymi biegunowymi : (c, α ) i promieniu a: r2 2cr cos (Θ-α) + c2 = a2. Równanie koła : (współrzędne parametryczne) dla koła o środku (j,k)i promieniu r: x(t) = r cos (t) + j y(t) = r sin (t) + k pi = π = POLA kwadrat = a2 = prostokąt = ab = 9

10 równoległobok = bh= trapez = h/2 (b1 + b2 ) = koło = pi r2 = elipsa = pi r1 r2 = trójkąt = (½) b h = trójkąt równoboczny = Formuła Herona : OBJĘTOŚCI sześcian prostopadłościan = a b c nieregularny graniastosłup = b h 10

11 walec = b h = pi r2h ostrosłup = (1/3) b h stożek = (1/3) b h = 1/3 pi r2 h kula = (4/3) pi r3. elipsoida = (4/3) pi r1 r2 r3. OBSZAR POWIERZCHNIOWY sześcian = 6 a2. graniastosłup : (pole powierzchni bocznej) = obwód (b) L (pole całkowite) = obwód (b) L + 2b kula = 4 pi r2. 11

12 WYKRESY KRZYWE STOŻKOWE Punkt 12

13 Okrąg Elipsa Elipsa Hiperbola 13

14 Parabola 4px = y ^ 2. Parabola 4py = x^2. Hiperbola y^2 / a^2 - x^2 / b^2 = 1 Trygonometria 14

15 Tablica popularnych kątów: 15

16 Dany trójkąt abc, z kątami A, B, C; a jest przeciwległe A, b jest przeciwległe B, c jest przeciwległe C Prawo sinusa Prawo kosinusa Prawo tangensa 16

17 Wykresy 17

18 Szeregi Pół oficjalna definicja Szeregu Szereg od a do jest wskazaną sumą wszystkich wartości a n kiedy n jest zbiorem liczb całkowitych b łącznie;to znaczy wskazana suma wartości Definicja Sumy szeregu Suma szeregu jest to rzeczywisty wynik kiedy wszystkie elementy szeregu są zsumowane. Notka: jest przykładem szeregu, ale 6 jest rzeczywistą sumą szeregu. Definicja algebraiczna Sumowanie arytmetyczne 18

19 19

20 20

21 Testy konwergencji szeregu Definicja konwergenji i dywergencji szeregu n-ta częściowa suma szeregu jest dana przez S = a1 + a2 + a3 + + an. Jeśli sekwencja tych sum częściowych {S n} zbiega do L,wtedy suma serii zbiega do L. Jeśli {S n} jest rozbieżne, wtedy suma szeregu jest rozbieżna. Operacje na szeregu konwergentnym Jeśli i, wtedy wskazuje konwergencję Lista testów zbieżności Konwergencja absolutna Jeśli szereg jest zbieżny, wtedy szereg również jest zbieżny Alternatywny test szeregu Jeśli dla wszystkich n, a n jest dodatnie, nie przyrostowe (tj. 0 < a n+1 <= an ) i zbliżające się do zera, wtedy alternatywne szeregi 21

22 są zbieżne. Jeśli alternatywne szeregi są zbieżne, wtedy reszta Rn = S Sn (gdzie S jest dokładną sumą szeregów nieskończonych Sn jest sumą pierwszych N pozycji tych szeregów ) jest ograniczona przez RN <= an+1. Usuwanie pierwszych N pozycji Jeśli N jest dodatnią liczbą całkowitą, wtedy szeregi oba są zbieżne jak i rozbieżne Bezpośredni test porównania Jeśli 0 <= an <= bn dla wszystkich n większych niż jakaś dodatnia liczba całkowita N, wtedy mają zastosowanie poniższe zasady Jeśli jest zbieżny, wtedy jest zbieżny Jeśli jest rozbieżny wtedy jest rozbieżny Konwergencja szeregu geometrycznego Szereg geometryczny jest dany : Jeśli wtedy poniższy szereg geometryczny jest zbieżny do a/ (1-r) Jeśli wtedy szereg powyższy jest rozbieżny Test całkowy Jeśli dla wszystkich n >= 1, f(n) = an, i jeśli f jest dodatnie, ciągłe i malejące, wtedy i są albo zbieżne albo rozbieżne. Jeśli powyższy szereg jest zbieżny,wtedy reszta R N = S SN (gdzie S jest dokładną sumą nieskończonego szeregu a S N jest suma pierwszych N pozycji szeregu) jest ograniczony do 0 <= RN <= Test porównania granicy Jeśli lim (n--> (an / bn ) = L ), gdzie an, bn > 0, a L jest skończone i dodatnie, wtedy szeregi 22

23 są albo zbieżne albo rozbieżne. n elementowy test rozbieżności Jeśli sekwencja {an} nie jest zbieżna do zera, wtedy szereg jest rozbieżny. Konwergencja p Szeregu p Szereg jest dany następująco gdzie p > 0 z defnicji Jeśli p > 1 wtedy szereg jest zbieżny Jeśli 0 < p < =1 wtedy szereg jest rozbieżny Test współczynnika Jeśli dla wszystkich n, n 0, wtedy mają zastosowanie poniższe zasady: Niech L = lim (n ) an+1 / an Jeśli L < 1 wtedy szereg jest zbieżny Jeśli L > 1 wtedy szereg Jeśli L = 1 wtedy test jest jest rozbieżny nieprzekonujący Konwergencja szeregu Taylora Jeśli f ma pochodne w całym porządku w przedziale I wyśrodkowanym przy c, wtedy konwergencja szeregu Taylora przybiera postać : jeśli i tylko jeśli lim (n ) Rn = 0dla wszystkich x w I. Reszta R N = S SN szeregu Taylora (gdzie S jest dokładną sumą nieskończonego szeregu a SN jest sumą pierwszych elementów N szeregu) jest równa, gdzie z jest jakąś stałą między x a c. Potęga x Całki Wykładnik / Logarytm 23

24 Trygonometria Wyniki trygonometryczne Odwrotne funkcje trygonometryczne 24

25 Odwrotne wyniki trygonometryczne Hyperboliczne 25

26 Formalna definicja całki kiedy... Fundamentalne twierdzenie dla pochodnych całek całkowanie przez zastąpienie Pochodne 26

27 Potęga x Wykładnik / Logarytm Trygonometria Odwrócone funkcje trygonometryczne 27

28 Hyperboliczne Definicje pochodnych Fundamentalne twierdzenie pochodnych 28

29 wzór na pochodną funkcji złożonej wzór na iloczyn wzór na iloczyn Częściowe różniczkowanie pochodna kierunkowa Rozkład 29

30 z- jest rozkładem N(0,1), danym przez równanie: Obszar wewnątrz przedziału (a,b) = normalcdf(a,b)= Rozkład Taylora : Standardowe normalne prawdopodobieństwo (Tabela jest oparta o obszar P pod standardową krzywą prawdopodobieństwa, poniżej odpowiednie z- statystyki) 30

31 31

32 t- rozkład,z n stopniami swobody dane jest równaniem x2- rozkład z n stopniami swobody jest dany rozkładem Obszar wewnątrz przedziału (a, ) = Szereg Fouriera Szereg furiera dla f(x) 32

33 Reszta szeregu Fouriera Sn (x) = suma pierwszych n+1 elementów x Twierdzenie Riemanna Jeśli f(x) jest ciągła z wyjątkiem skończonego #,,skończone skoki w każdym skończonym przedziale wtedy Szereg Fouriera funkcji f(x) w arbitralnym przedziale Twierdzenie Parsevala Jeśli f(x) jest ciągła l; f(-pi) = f(pi) wtedy Całka Fouriera funkcji f(x) Transformacje Transformacja Fouriera Definicja transformacji Fouriera Odwrócona tożsamość transformacji Fouriera 33

34 Transformacje Fouriera sinus i cosinus Tożsamości transformacji Jeśli f(x) jest parzysta, wtedy Transformacja Fouriera Sinus (Transformacja Fouriera Sinus(f(x))) = f(x) Jeśli f(x) jest nieparzysta, wtedy Transformacja Fouriera Cosinus (Transformacja Fouriera Cosinus(f(x))) = f(x) Specjalny przypadek całki Fouriera Transformacje Fouriera Transformacja Fouriera Cosinus Transformacja Fouriera Sinus Tożsamości transformacji Jeśli f(-x) = f(x) wtedy Transformacja Fouriera Cosinus (Transformacja Fouriera Cosinus(f(x))) = f(x) Jeśli f(-x) = -f(x) wtedy Transformacja Fouriera Sinus (Transformacja Fouriera Sinus(f(x))) = f(x) 34