Spis treści. Przedmowa... 5

Transkrypt

1

2 Spis treści Przedmowa Pojęcia wstępne Typy sygnałów Sygnały a informacja Ciągłe sygnały deterministyczne Parametry sygnałów Sygnały o ograniczonej energii Sygnały o ograniczonej mocy Sygnały dyskretne Sygnały dystrybucyjne Przestrzenie sygnałów Reprezentacje sygnałów Własności matematyczne zbiorów sygnałów Własności metryczne przestrzeni sygnałów Struktura liniowa przestrzeni sygnałów Norma, iloczyn skalarny Kąt między sygnałami. Bazy ortogonalne i ortonormalne Uogólniony szereg Fouriera Reprezentacje sygnałów dyskretnych Bazy ortogonalne w przestrzeniach sygnałów ciąglych Zespolona baza harmoniczna Rzeczywisty trygonometryczny szereg Fouriera Podstawowe operacje na sygnałach Splot sygnałów Korelacja wzajemna, autokorelacja

3 SPIS TREŚCI 3 3 Transformata Fouriera Definicje i przykłady Podstawowe twierdzenia Transformaty sygnałów dystrybucyjnych Iloczyn i splot sygnałów Próbkowanie sygnałów Problem niejednoznaczności postaci sygnału w dziedzinie częstotliwości Twierdzenie o próbkowaniu Compressed Sampling Dyskretna Transformata Fouriera Definicja Filtry analogowe Transformata Laplace a Opis liniowych układów analogowych Transmitancja Laplace a Rodzaje i charakterystyka filtrów Filtr Butterwortha Filtr Czebyszewa I Filtr Czebyszewa II Filtr Bessela Filtr eliptyczny Projektowanie filtrów w Matlabie Pierwsza charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa Funkcje Matlaba przydatne przy projektowaniu filtrów Filtry cyfrowe Transformata Z Opis liniowych układów dyskretnych Transmitancja układów dyskretnych Filtry FIR Współczynniki filtrów FIR Projektowanie filtrów FIR metodą okien czasowych Projektowanie filtrów FIR metodą próbkowania w dziedzinie częstotliwości

4 SPIS TREŚCI Projektowanie filtrów FIR metodą Remeza Pozostałe metody projektowania filtrów FIR Projektowanie filtrów FIR w Matlabie Metoda okien czasowych Metoda próbkowania w dziedzinie częstotliwości Metoda Remeza Filtry IIR Wprowadzenie Projektowanie filtrów IIR metodą niezmienności odpowiedzi impulsowej Projektowanie filtrów IIR metodą transformacji biliniowej Projektowanie filtrów IIR metodami iteracyjnymi Projektowanie filtrów IIR w Matlabie Metoda niezmienności odpowiedzi impulsowej Metoda transformacji biliniowej Metoda Yule a-walkera Proces filtracji cyfrowej Struktury filtrów Filtracja sygnałów w Matlabie

5 Przedmowa Żyjemy w czasach cyfrowej rewolucji. Coraz więcej danych, które rejestrujemy, składujemy, przetwarzamy i przesyłamy to dane cyfrowe. To sprawia, że następuje konwergencja różnych dziedzin z pogranicza informatyki, telekomunikacji, technik obliczeniowych, mediów w jeden wielki trend technologiczny, który przybliża nas do informacji, przyśpiesza obrót gospodarczy, zamienia świat w jedną globalną wioskę. Dlatego wydaje się dość oczywiste, że w profilu wykszałcenia informatyka powinien znajdować się przedmiot, który zawiera podstawowe informacje o tym jak takie dane cyfrowe pozyskiwać, jak je składować, by pogodzić wierność oryginalnemu sygnałowi z ograniczeniem rozmiaru danych, jak je przechowywać i przetwarzać. Dlatego w programie niedawno uruchomionej specjalności teleinformatyki na studiach II stopnia z informatyki na Wydziale Fizyki, Matematyki i Informatyki Politechniki Krakowskiej znalazł się przedmiot o nazwie Akwizycja i Przetwarzanie Sygnałów Cyfrowych (APSC). Celem jego uruchomienia jest zapoznanie studenta z technikami rejestracji i przewarzania danych cyfrowych. Niniejszy skrtypt jest pomyślany jako materiał pomocniczy zarówno dla studentów jak i prowadzących ten przedmiot. Autorzy starali się, by to opracowanie było w miarę samowystaczalne. Naszym celem było napisanie przewodnika przedmiotu, który stara sie wyjaśnić podstawowe pojęcia dotyczące technologii cyfrowej. Zaczynamy od przedstawienia różnego rodzaju typów sygnałów, w tym sygnałów dyskretnych i dystrybucyjnych. Mimo tego, że dziedzina ta jest tak nowoczesna, to podstawowe narzędzia matematyczne (analiza Fourierowska, będąca podstawą metod częstotliwościowych) zostały wprowadzone już ponad 200 lat temu. Przy ich pomocy dyskutujemy metody akwizycji sygnałów dyskretnych z ciągłych żródeł i omawiamy warunki, jakie muszą być spełnione, by tak pozyskany sygnał pozwolił na wierną rekonstrukcję danych źrodłowych. Oprócz klasycznego podejścia, opisanego w twierdzeniu o próbkowaniu, dyskutujemy niedawno wprowadzone

6 Przedmowa 6 metody oszczędnego próbkowania. Jako przykład przetwarzania danych cyfrowych przedstawiamy różne metody filtracji sygnałów - zarówno analogowych jak i cyfrowych. Nie zakładamy żadnego specjalnego przygotowania koniecznego dla zrozumienia tego tekstu - wystraczą te podstawy analizy matematyznej i algebry, które student przyswaja w trakcie pierwszych lat studiów pierwszego stopnia. Zakładamy, że nieodłączną częścia tego przedmiotu będzie laboratorium. Podstawowym narzędziem używanym do wykonania ćwiczeń laboratoryjnych będzie Matlab, zwłaszcza jego część o nazwie Signal Processing Toolbox zawierający wiele narzędzi ułatwiających wykonywanie symulacji, obliczeń i projektów rozmaitych rozwiazań stosownych w przetwarzaniu sygnałów cyfrowych. Zakładamy, że uczestnicy kursu potrafią posługiwać się Matlabem w stopniu pozwalającym na napisanie prostego programu, zdefiniowaniu funkcji, czy też narysowanie wykresu. Na rynku jest dostępnych kilka książek, które są bardziej kompletnym źródłem niż nasz strypt - najbardziej godne polecenia wydają nam się monografia Tomasza P. Zielińskiego, a także książka Jerzego Szabatina czy też (nabardziej podstawowa i prosto napisana) ksiązka Richarda G. Lyonsa. Gdyby materiał tego skryptu okazał się niewystarczający, odsyłamy czytelnika do tych pozycji.

7 Rozdział 1 Pojęcia wstępne Podstawowym obiektem zainteresowania niniejszego skryptu będą sygnały, ze szczególnym naciskiem na analizę i przetwarzanie sygnałów cyfrowych. Należy więc zacząć od wyjaśnienia, co będziemy rozumieć pod pojęciem sygnału. Pojęcie to jest ściśle powiązane z procesem pomiaru. W trakcie tego procesu rejestrujemy (mierzymy) pewne wybrane wielkości fizyczne (na przykład temperaturę, ciśnienie, napięcie elektytryczne, pole magnetyczne) i ich zależność od położenia i/lub czasu. Tak więc sygnał opisuje zmienność w czasie i/lub przestrzeni pewnych wybranych wielkości fizycznych. Często rozważanym przykładem sygnału jest jest przebieg w czasie wielkości napięcia elektrycznego na wyjściu mikrofonu w trakcie rejestracji dźwięku. Sygnały są generowane przez różnorakie źródła biologiczne (np. sygnały generowane przez organizm ludzki, używane w diagnostyce medycznej), społeczne i techniczne. Wiele sygnałów jest generowanych sztucznie przez człowieka; służą one jako nośnik przenoszący informacji (radio, telewizja, sieci komputerowe) lub jako sygnał pobudzający układ, stymulujący jego odpowiedź, niosącą informacje o jego własnościach (radar, sonar). 1.1 Typy sygnałów W zależności od ilości zmiennych niezależnych, jak również rodzaju oraz rozmiaru wielkości mierzonych możemy mówić o różnych różnych typach sygnałów. Tak więc - kierując się: liczbą niezależnych zmiennych od których sygnał zależy mówimy o sygna- 7

8 ROZDZIAŁ 1. POJĘCIA WSTĘPNE 8 łach: jednowymiarowych n.p. sygnał powstały w trakcie rejestracji dźwięku, wielowymiarowych - n.p. zapis nieruchomego obrazka (sygnał dwuwymiarowy), zapis sekwencji video (sygnał trójwymiarowy); zdolnością odbiorcy do przewidzenia kolejnych wartości sygnału, dzielimy sygnały na deterministyczne - dla których mamy dokładny model matematyczny opisu, losowe - czyli takie, dla których nie mamy modelu pozwalającena przewidzenie kolejnych wartości pomiarowych; co najwyżej możemy określić prawdopodobieństwa uzyskania kolejnych wartości; charakterem (ciągłością) zmiennych, od których sygnał zależy jak również samej wielkości reprezentującej sygnał - mówimy tu o sygnale o naturze: ciągłej, dyskretnej. czasem, w którym wartość sygnału jest różna od zera - tutaj można mówić o sygnałach o nieskończonym czasie trwania, impulsowych, w których sygnał poza pewnym skończonym obszarem jest równy 0. Przyjrzyjmy się dokładniej różnym typom sygnałów wynikających z różnego charakteru ciągłości tak sygnału jak parametrów, od których on zależy. Dla uproszczenia rozważmy jednowymiarowe sygnały zależne od czasu. Tutaj, ze względu na charakter dziedziny sygnału, jak również jego zbioru wartości, możemy mówić o: 1. ciągłym sygnale czasu ciągłego (sygnał analogowy - n.p. sygnał na wyjściu mikrofonu rejestrującego dźwięk); 2. sygnale ciągłym w czasie i dyskretnym w amplitudzie (n.p. skwantyzowanym sygnale na wyjściu przetwornika A/C);

9 ROZDZIAŁ 1. POJĘCIA WSTĘPNE 9 3. ciągłym sygnale dyskretnego czasu - taki sygnał uzyskujemy w wyniku próbkowania sygnału analogowego; 4. sygnale dyskretnym zarówno w czasie jak też w amplitudzie. Szczególną podgrupę sygnałów dyskretnych zarówno w czasie jak też w amplitudzie stanowią sygnały, które mają ograniczony zbiór możliwych wartości; sygnały z tej grupy nazywamy sygnałami cyfrowymi. Zazwyczaj w takim przypadku stosujemy rodzaj kodowania bitowego. Jeżeli nasz sygnał cyfrowy ma N możliwych dyskretnych wartości, to każdą z jego wartości możemy jednoznacznie określić przez podanie n-bitowego ciągu, N 2 n - etykiety bitowej, która jednoznacznie określa oryginalną wartość sygnału. Tak więc zamiast używania oryginalego sygnału możemy stosować te etykiety bitowe. Wtedy nasz sygnał to ciąg pól n-bitowych; w każdej chwili czasu wartość sygnału przybiera jedną z dwóch wartości: 0 lub 1. Takie sygnały nazywamy sygnałami binarnymi; odgrywają one coraz większą rolę w transmisji i przetwarzaniu danych cyfrowych. 1.2 Sygnały a informacja Dla nas sygnał to nośnik informacji. Można zadać pytanie, czy każdy sygnał niesie informacje? Aby na nie odpowiedzieć przypomnijmy że według teorii informacji C.Shannona [13], informacja nie jest powiązana z konkretnymi wartościami sygnału, tylko raczej z prawdopodobieństwem otrzymania danej wartości sygnału. Według tej teorii miarą ilości informacji I A związanej z rejestracją sygnału A, prawdopodobieństwo uzyskania którego wynosi p A, jest wielkość log 2 ( 1 P A ). Gdy przesyłany sygnał jest deterministyczny, czyli gdy odbiorca ma pełną wiedzę o wartościach przesyłanego sygnału, to zdarzenia - odbiór sygnału A są zdarzeniami pewnymi, dla których prawdopodobieństwa są równe 1. Takie sygnały nie niosą żadnej informacji. Informacja jest związana tylko z takimi sygnałami, które dla odbiorcy są losowe. Pomimo tego, znaczna część wykladu będzie dyskutować sygnały deterministyczne i badać ich przetwarzanie. Powodem tego jest fakt, że sygnały takie matematycznie rzecz biorąc są prostszymi obiektami niż sygnały losowe. Dlatego na przykładzie tych deterministycznych sygnałów, których naturę i własności matematyczne rozumiemy lepiej niż naturę i własności sygnałów losowych, łatwiej będzie pokazać metody ich reprezentacji, czy też zdefiniować i pokazać działanie metod ich przetwarzania.

10 ROZDZIAŁ 1. POJĘCIA WSTĘPNE Ciągłe sygnały deterministyczne W niniejszym podrozdziale wprowadzimy podstawowe parametry służące do opisu i klasyfikacji sygnałów. Pokażemy również przykłady różnych sygnałów, szczególnie takich, które są często używane w teorii sygnałów Parametry sygnałów Podstawowymi parametrami opisującymi sygnały są wielkości związane z ich czasem trwania oraz energią, jaką niosą. Są to takie parametry jak wartość średnia sygnału, jego energia oraz moc. Deterministyczny sygnał analogowy określać będziemy przez określenie jego przebiegu w czasie x(t). Energia w teorii sygnałów jest zadana jako suma kwadratów amplitud sygnału - w porównaniu do definicji energii w fizyce nie zależy ona od zmienności sygnału. Dla przebiegu x(t) możemy określić: 1. wartość średnią sygnału w przedziale [t 1 t 2 ] x = ˆ t2 t 1 x(t)dt, 2. wartość średnią dla sygnałów o nieskończonym czasie trwania x = lim T 1 2T ˆT T x(t)dt, 3. wartość średnią dla sygnałów okresowych o okresie T: x = 1 T tˆ 0+T t 0 x(t)dt, 4. energię: 5. średnią moc: E x = P x = lim T ˆ 1 2T x 2 (t)dt, ˆT T x 2 (t)dt,

11 ROZDZIAŁ 1. POJĘCIA WSTĘPNE średnią moc sygnału okresowego: P x = 1 T tˆ 0+T x 2 (t)dt, t Sygnały o ograniczonej energii Mając te definicje możemy określić klasy sygnałów w zależności od energii lub mocy jaka jest z nimi związana. Pierwszą taką klasą jest klasa sygnałów o skończonej energii. Sygnały, których energia jest niekoniecznie jest skończona, ale moc jest ograniczona nazywamy sygnałami o ograniczonej mocy. Ćwiczenia: 1. Pokaż, że średnia moc sygnału o ograniczonej energii jest równa Czy fakt, że sygnał ma ograniczoną energię oznacza, że jest sygnałem impulsowym? Jeżeli nie - to jak szybko musi zanikać taki sygnał dla t, by pomimo to mógł być sygnałem o skończonej energii? Najprościej zapewnić ograniczoność energii sygnału ograniczając czas jego trwania do pewnego skończonego odcinka czasowego; poza nim taki sygnał jest zerem. Taki sygnał nazywamy sygnałem impulsowym - najprostszy sygnał impulsowy to impuls prostokątny Π(t). Dokładniej mówiąc, symbol Π(t) oznacza znormalizowany w czasie i amplitudzie sygnał impusowy, którego kszałt przedstawia rys.1.1a. Stosując skalowanie szerokości i amplitudy oraz przesunięcie jesteśmy w stanie uzyskać impuls prostokątny o dowolnej amplitudzie A, pozycji środka c oraz szerokości b. Łatwo sprawdzić, że sygał x(t A, c, b) dopowiadający takiemu uogólnionemu impulsowi prostokątnemu można zapisać: x(t A,c,b)=A Π( x c b ). Mając taki impuls prostokątny możemy wyciąć z dowolnego sygnału jego fragment, będący impulsem o szerokości i położeniu określonym przez parametry impulsu prostokątnego, natomiast amplitudzie określonej przez wartości sygnału (ewentualnie przeskalowanej przez amplitudę A przebiegu prostokątnego). Mówimy, że impuls prostokątny działa tutaj jako tzw. funkcja okna, która z całego przebiegu sygnału wycina fragment szczególnie nas interesujący, który chcemy podać analizie - aby to uzyskać przemnażamy badany przebieg x(t) przez właściwą funkcję okna. W podobny sposób możemy użyć impulsu trójkątnego, którero przebieg czasowy został pokazany na rys.1.1b. Rysunki 1.2a oraz 1.2b pokazują impulsy uzyskane w sposób opisany powyżej, a więc:

12 ROZDZIAŁ 1. POJĘCIA WSTĘPNE 12 1 x(t) 1 x(t) (a) Znormalizowany impuls prostokątny t (b) Impuls trójkątny t Rysunek 1.1: Przykłady sygnałów impulsowych 1 x(t) 1 x(t) t t -T/4 0 T/4 0 T (a) Impuls kosinusoidalny wycięty oknem prosto-(bkątnypulsem prostokątnym Impuls wycięty z przebiegu wkładniczego im- Rysunek 1.2: Działanie funkcji okna

13 ROZDZIAŁ 1. POJĘCIA WSTĘPNE 13 x(t) x(t) A t t 0 T (a) Eksponecjalnie malejący (b) Sinusoida tłumiona Rysunek 1.3: Sygnały przyczynowe (określone dla t>0) o niezwartm nośniku i skończonej energii symetryczny impuls kosinusoidalny (rys.1.2a) uzyskany przez działanie symetrycznego impulsu prostokątnego Π( t T ) na nieskończony (w czasie) sygnał postaci: cos(ωt)=cos( 2π T ). impuls wykładniczy, wycięty oknem prostokątnym o szerokości T w czasie od 0 do T. Ci, którzy zadali sobie trud udzielenia odpowiedzi na pytanie 2 z Ćwiczeń wiedzą, że sygnał nie musi mieć charakteru impulsu (czyli - jak to określają matematycy - zwartego nośnika), by być sygnałem o ograniczonej energii. Wystarczy, by był on gładki (nie miał osbliwości) oraz by jego amplituda spadała odpowiednio szybko dla dużych czasów. Ilustrują to cztery kolejne przykłady: Rysunek 1.3pokazuje dwa przykłady sygnałów określone tylko dla t > 0. Czynnikiem, który zapewnia skończoność energii jest funkcja exp( αt), α > 0. Inne przykłady sygnałów o skończonej energii mimo nieskończonego czasu trwania sygnału to przebieg gaussowski (rys.1.4b) oraz sygnał Sinc(ω 0 t) (nazywany również Sa(ω 0 t), określony następująco: { sin(ω0t) Sinc(t) = ω 0t dla t 0 1 dla t = 0, którego przebieg przedstawia rys.1.4a. Zobaczymy, że sygnał opisany taką funkcją jest blisko związany z impulsem prostokątnym oraz, że odgrywa dużą rolę

14 ROZDZIAŁ 1. POJĘCIA WSTĘPNE 14 1 x(t) 1 x(t) t t (a) Sygnał Sinc(ω 0 t) (b) Sygnał gaussowski Rysunek 1.4: Inne ważne sygnały o skończonej energii w teorii próbkowania, będącego częścią procesu akwizycji sygnałów cyfrowych z sygnałów analogowych Sygnały o ograniczonej mocy Warunek skończoności energii jest dość silnym ograniczeniem na postać sygnału ponieważ nakłada wymagania efektywnej lokalizacji przebiegu sygnału. Szerszą klasą sygnałów jest klasa sygnałów o ograniczonej mocy. Najprostszymi przykładami takich sygnałów są: sygnał stały x(t) =const sygnał harmoniczny x(t) = A sin(ω 0 t) fala prostokątna (bipolarna - rys.1.5a, unipolarna - rys.1.5b) Do tej grupy należą również często stosowane w teorii sygnałów funkcje skoku jednostkowego (czyli funkcja Heaviside a) określona formułą: { 1 dla t 0 1(t) = (1.1) 0 dla t < 0 jak też funkcja znaku, określona jako:

15 ROZDZIAŁ 1. POJĘCIA WSTĘPNE 15 A x(t) A x(t) t A t (a) bipolarna (b) unipolarna Rysunek 1.5: Fala prostokątna 1 dla t > 0 sgn(t) = 0 dla t = 0 (1.2) 1 dla t < 0 Przebiegi tych funkcji ilustruje rysunek 1.6. Funkcje te (a zwłaszcza funkcja skoku) mogą - podobnie jak to było z impulsem prostokątnym czy też trójkątnym - być używane jako narzędzia do formowania sygnału; na przykład znormalizowany sygnał skoku jednostkowego możemy też zapisać: 1.4 Sygnały dyskretne Π(t) = 1(t + 0.5) 1(t 0.5) Jak powiedzieliśmy to w trakcie omawiania różnych typów sygałów, sygnały dyskretne to sygnały określone tylko w przeliczalnym zbiorze chwil czasowych. Większość sygnałów tego rodzaju, które stanowić będą przedmiot naszego zainteresowania, będziemy otrzymywać poprzez pomiar wartości sygnału analogowego w określonych z góry punktach czasowych. Proces tego pomiaru nazywać będziemy próbkowaniem sygnału. Najczęściej stosuje się próbkowanie równomierne, polegające na pomiarze sygnału w równo odległych od siebie chwilach czasowych t n = nt s, gdzie n - numer próbki w sekwencji. Czas T s nazywamy

16 ROZDZIAŁ 1. POJĘCIA WSTĘPNE 16 1 x(t) x(t) 1 0 t t 0 (a) Funkcja skoku jednostkowego 1(t) (b) Funkcja znaku sgn(t) Rysunek 1.6: Podstawowe funkcje o ograniczonej mocy okresem próbkowania, a jego odwrotność f s = 1/T s - częstotliwością próbkowania. Ponieważ dla takiego próbkowania czas pobierania próbki jest jednoznacznie zadany poprzez numer próbki, dlatego będziemy traktować takie sygnały jako funkcje bezwymiarowej wielkości n - czasu unormowanego względem okresu próbkowania. Podobnie jak dla sygnałów analogowych możemy zdefiniować parametry sygnału takie jak wartość średnia, energia średnia, średnia moc. Wzory na te parametry są analogiczne do tych określonych dla sygnałów ciągłych - trzeba tylko ciągłe całkowanie zamienić na dyskretne sumowanie. E x = ˆ P x = lim T x 2 (t)dt 1 2T ˆT T n= x 2 (n) x 2 1 (t)dt lim N 2N + 1 N x 2 (n) Podobnie jak dla sygnałów ciągłych możemy podzielić sygnały dyskretne na dwie główne grupy - o ograniczonej energii oraz o ograniczonej mocy. Rysunki 1.7a i 1.7b pokazują dyskretne wersje impulsu prostokątnego oraz impulsu trójkątnego. N

17 ROZDZIAŁ 1. POJĘCIA WSTĘPNE 17 x[n] x[n] n n (a) dyskretny impuls prostokątny (b) Dyskretny impuls trójkątny Rysunek 1.7: Przykłady sygnału dyskretnego 1.5 Sygnały dystrybucyjne Omawiane do tej pory sygnały były wielkościami modelowanymi przez zwykłe funkcje - ciągłe dla sygnałów analogowych, bądź ich dyskretne odpowiedniki dla sygnałów dyskretnych. W wielu przypadkach związanych z przetwarzaniem sygnałów użytecznym jest rozważyć jako modele sygnału wielkości, które nie mogą być traktowane jako zwykłe funkcje. Ich porządna matematyczna definicja jest dość skomplikowana [8]; polega na określeniu działania tych obiektów na inne, zwykłe funkcje. Wielkości te nazywamy dystrybucjami; klasycznym przykładem takiej dystrybucji jest impuls delta Diraca δ(t). Jak określić dystrybucje? Załóżmy dla uproszczenia, że chodzi nam tu o dystrybucje zależne od jednej zmiennej - takie jak delta Diraca. Niech Ω będzie otwartym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych. Rozważamy przestrzeń funkcji określonych na Ω o wartościach liczbowych. Matematycy definiują dystrybucje jako liniowe odzworowania, które funkcjom pewnej dobrze określonej podklasy wszystkich możliwych funkcji liczbowych określonych na Ω, nazywanej zbiorem funkcji próbnych przypisują liczbę. Jak wybrać podklasę funkcji próbnych? Okazuje się, że im bardziej restrykcyjna jest definicja tej podklasy (im mniej funkcji próbnych), tym więcej obiektów może na nie działać (tym więcej dystrybucji). Aby zapewnić możliwość w miarę swobodnego określania dysytrybucji tak, by zwyczajne funkcje lokalnie całkowalne były ich szczególnymi przypadkami, powiniśmy jako funkcje próbne wybrać bardzo szczególne funkcje. Muszą one być gładkie tak, by można obliczyć pochodne dowolnego

18 ROZDZIAŁ 1. POJĘCIA WSTĘPNE 18 rzędu oraz mieć zwarty nośnik (czyli funkcje próbne muszą być dokładnie równe 0 poza pewnym przedziałem). Fakt, że funcje próbne mają powyższe własności sprawia, że: mogą być dowolnie wiele razy różniczkowane są całkowalne, ponadto istnieją całki z iloczynów tych funkcji, z prawie dowolną inną funkcją ograniczoną. Przestrzeń wektorową - zbiór funkcji próbnych zadanych na Ω z określonym dodawaniem funkcji i mnożeniem funkcji przez liczbę oznaczamy jako D(Ω). Dystrybucją będziemy nazywać każdy liniowy funkcjonał określony na D(Ω). Innymi słowy dystrybucją f będzie każdy przepis L f, który dowolnej funkcji próbnej ϕ D(Ω) przypisze jednoznacznie liczbę, ponadto dla dowolnych funkcji próbnych ϕ 1, ϕ 2 oraz dowolnych liczb a 1, a 2 spełniona jest relacja L f (a 1 ϕ 1 + a 2 ϕ 2 ) = a 1 L f (ϕ 1 ) + a 2 L f (ϕ 2 ). Jak można określić działanie L f? Gdy f jest funkcją lokalnie całkowalną, to poprawnym sposobem określenia tego działania jest formuła: ˆ L f (ϕ) = f(x) ϕ(x) dx Ω Jest tak dlatego, gdyż własności funkcji próbnej gwarantują zbieżność całki, zaś liniowość wynika z tego, że całka jest funkcjonałem liniowym. Ponieważ przepis na obliczanie wartości dystrybucji jest tu zadana przez funkcję f, możemy niejako utożsamić funkcję f z dystrybucją którą.f określa. Widzimy, że w tym sensie dystrybucją jest każda funkcja lokalnie całkowalna. Czy prawdziwe jest odwrotne stwierdzenie? Czy działanie każdej dystrybucji da się zapisać przez formułę całkową z pewnym f, które jest zwykłą funkcją? Łatwo można wykazać, że tak nie jest. Zrobimy to podając kontrprzykład, czyli określając dystrybucję która nie da się sprowadzić do formuły całkowej ze zwykłymi funkcjami. Definiujemy funkcjonał δ, którego działanie na dowolną funkcję próbną określamy jako: L δ0 (ϕ) = ϕ(0) Twierdzimy, że jest to dobrze określona dystrybucja. By to wykazać trzeba pokazać, że:

19 ROZDZIAŁ 1. POJĘCIA WSTĘPNE 19 ten przepis pozwala określić działanie dystrybucji na dowolną funkcję próbną - tak jest w istocie; funkcjonał jest liniowy - wynika to z liniowości przestrzeni D(Ω). Pozostaje teraz pokazać, że nie istnieje (klasyczna) funkcja, która poprzez formułę całkową ze zwykłą funkcją określa wartości dystrybucji zgodnie z wyjściową definicja. Gdyby tak było, to dla każdej funkcji próbnej mielibyśmy warunek: ˆ dtδ(t)ϕ(t) = ϕ(0) (1.3) Ω By taka relacja mogła zachodzić dla wszystkich funkcji próbnych, to musiałyby być spełnione dwa sprzeczne ze sobą wymagania: wartość funkcji δ(t) musiałaby być równa 0 dla t =0 (by nie dopuścić do wpływu innch wartości funkcji ϕ na wynik) - czyli nośnik funkcji δ(t) jest zbiorem miary zero całka po nośniku funkcji δ(t) musiałaby dać skończony wynik. Tych wymagań nie można zrealizować traktując δ(t) jako zwykłą funkcję. Taka funkcja musiałaby mieć wszędzie (z wyjątkiem zera) wartość zero, zaś w t = 0 dążyć do nieskończoności. Widzimy, że impuls Diraca to model nieskończenie wąskiego sygnału o nieskończenie dużej amplitudzie i polu pod wykresem równym 1. Takiego impulsu nie można zrealizować jako zwykłą funkcję, ale może być on rozumiany jako granica ciągu zwykłych funkcji δ(α, t) z parametrem α > 0, takim że dla każdego α mamy: dtδ(t, α) = 1. Wtedy: lim δ(t, α) = δ(t). α 0 Takich ciągów aproksymujących dystrybujcję δ(t) może być wiele - pokażemy to na przykładzie ciągu w którym kolejne funkcje aproksymujące to impulsy prostokątne o rosnącej amplitudzie i malejącej szerokości. Elementy tego ciągu definiujemu jako: δ(t, α) = 1 απ(αt) - czyli impulsy o szerokości α i amplitudzie 1 α. Możemy sprawdzić, że spełniony jest warunek jednostkowego pola impulsu. Pokażemy, że granicą tak określonego ciągu zwykłych funkcji jest dystrybucja δ(t). By tego dokonać powinniśmy pokazać, dla każdej funkcji próbnej ϕ ciąg wartości obliczonych jako całki z iloczynów tej funkcji z funkcjami - elementami

20 ROZDZIAŁ 1. POJĘCIA WSTĘPNE 20 ciągu aproksymacyjnego zmierzają do wartości dystrybucji δ dla tej funkcji, czyli do ϕ(0). W naszym przykładzie dla ustalonego α mamy: ˆ dxδ(t, α)ϕ(t) = 1 α ˆα/2 α/2 ϕ(t)dt. Dla małych α możemy zaaproksymować funkcję próbną jej rozwinięciem w szereg MacLaurine a: ϕ(t) = ϕ(0) + ϕ (0)t + ϕ (0) t 2 + O(t 3 ). Po wstawieniu tego rozwinięcia do całki dostajemy następujące wyrażenie na jej przybliżoną wartość: ˆ dxδ(t, α)ϕ(t) = 1 α [ [ϕ(0)α + 1 ] 24 ϕ (0)α 3 + O(α 5 ) = ϕ(0) ϕ (0)α 2 + O(α 4 ) Oznacza to, że lim α 0 δ(t, α) = δ(t). Powyższy sposób dowodzenia równości dystrybucyjnych jest dość często stosowany; zastosujemy go jeszcze do wykazania następującej relacji dystrybucyjnej: d 1(t) = δ(t). dt Aby dowieść tej relacji określmy sygnał 1(t) jako granicę następującego ciągu aproksymacyjnego: 0 dla t < α 2 1(t) = lim t α 0 α dla α 2 < t < α 2 1 dla t > α 2. Pochodna tego wyrażenie prowadzi do następującego ciągu aproksymacyjnego: d 0 dla t < α 2 dt 1(t) = 1 α dla α 2 < t < α 2 0 dla t > α 2.

21 ROZDZIAŁ 1. POJĘCIA WSTĘPNE 21 Ostatnia formuła jest już nam znana - pokazaliśmy poprzednio, że jej granica dla α 0 to dystrybucja δ(t). Tak więc tym samym wykazaliśmy prawdziwość relacji między pochodną skoku jednostkowego a dystrybucją delta Diraca. Kluczową dla zastosowań w teorii sygnałów własnością dystrybucji delta Diraca jest jej działanie dystrybucyjne opisane wzorem 1.3 oraz jego uogólnienie postaci: ˆ dtδ(t t 0 )ϕ(t) = ϕ(t 0 ). (1.4) Ω Powyższe relacje pokazują, że dystrybucja delta może być uważana za matematyczny model próbkowania: działanie δ(t t 0 ) na ciągły sygnał x(t) daje próbkę tego sygnału w t 0. Obiektem realizującym jednorodne próbkowanie sygnału ciągłego z okresem próbkowania T s jest tak zwana dystrybucja grzebieniowa, nazywana inaczej grzebieniem Diraca. Jest ona określona jako nieskończona suma impulsów Diraca, powtarzanych z okresem T s. δ Ts (t) = n= δ(t nt s ). (1.5) Pomnożenie dowolnego sygnału x(t) przez dystrybucję grzebieniową daje ciąg impulsów Diraca poprzesuwanych o całkowitą ilość okresów próbkowania o amplitudach określonych przez wartość oryginalnego sygnału w danym punkcie: x(t)δ Ts (t) = n= x(nt 0 )δ(t nt s ). Sygnał opisany przez tę formułę jest sygnałem dystrybucyjnym opisującym wynik próbkowania.

22 Rozdział 2 Przestrzenie sygnałów W niniejszym rozdziale zajmiemy się omówieniem wymagań matematycznych związanych z akwizycją i przetwarzaniem sygnałów. Pokażemy, że reprezentacja sygnału zależy od wyboru sygnałów wzorcowych - bazy w przestrzeni sygnałów. Określimy również pewne standardowe funkcje używane w analizie i przetważaniu sygnałów. 2.1 Reprezentacje sygnałów Do tej pory traktowaliśmy sygnały jako abstrakcyjne wielkości reprezentujące wyniki pomiarów. Jak zobaczymy za chwilę, ten sam sygnał może być zapisany w różny sposób, czyli może mieć różne reprezentacje [7]. Źródeł tego faktu można szukać w specyfice pomiaru. Aby dokonać pomiaru ustalamy pewne sygnały wzorcowe, a następnie porównujemy sygnał mierzony z wzorcami, starając się wyrazić wielkości mierzone jako kombinację liniową wzorców. Gdy wybierzemy inne sygnały wzorcowe, to pomiar tej samej wielkości da nam inne współczynniki rozkładu, czyli inną reprezentację tego samego sygnału. Wybór reprezentacji może mieć spore znaczenie praktyczne - wybierająć różne wzorce możemy uzyskać różną jakość reprezentacji. Będziemy mówić, że reprezentacja jest tym lepsza im mniej współczynników rozwinięcia potrzebuje, by zaprezentować sygnał z ustaloną z góry dokładnością. Tak więc odpowiedni wybór reprezentacji może pozwolić na znaczną kompresję danych. Dobór reprezenatcji jest również ważny w procesach przetwarzania sygnałów. Na przykład często potrafimy powiedzieć, co się dzieje w procesie, gdy sygnał ma określoną częstotliwość. 22

23 ROZDZIAŁ 2. PRZESTRZENIE SYGNAŁÓW 23 Dlatego też jedną z podstawowych metod analizy sygnałów jest analiza częstotliwościowa, w której dokonujemy rozkładu sygnału na składowe o określonych częstotliwościach. Jako ilustrację tych wstępnych uwag rozważmy przykład ilustrujący zależność sygnału od reprezentacji. Przykład 1. Dokonano serii pomiarów dwóch wielkości uzyskano następujące wyniki: w 1 = (25, 23), w 2 = (22, 23), w 3 = (20, 22), w 4 = (18, 17). Taki zapis wyników sugeruje, analizując sygnał zrobiliśmy następujące założenia: nasz sygnał to para liczb, czyli wektor w przestrzenie dwuwymiarowej, przyjęliśmy naturalny układ sygnałów wzorcowych (wektorów bazowych w R 2 ): e 1 = [ [ 1 0, e 0] 2 =. 1] [ a Przy takich założeniach zapis wektora w = oznacza, że liczby a i b są współczynnikami rozwinięcia wektora w w bazie e 1, e 2, w = a + b. Obliczając b] [ [ 1 0 0] 1] energię naszego układu dla wektora w otrzymujemy E = a 2 + b 2. Dla sygnałów takich jak rozważane w naszym przykładzie obie składowe sygnałów są porównywalne, a więc ich znaczenie w dla dokładnej reprezentacji wektora w bądzie tego samego rzędu. Dlatego w reprezentacji określonej przez wzorce e 1, e 2 musimy z równą starannością kodować wartości obu tych składowych. Nie jest to jdnak jedyna możliwość. Możemy jako nasze wektory wzorcowe wybrać inną parę, na przykład: [ [ ] 1 1 f 1 =, f 1] 2 = 1 Teraz chcemy wyrazić nasz wektor jako kombinację nowych sygnałów wzorcowych: [ [ [ [ [ ] a α w = = αf b] 1 + βf 2 = α + β = 1] 1] 1 1] β [ α Wektor x =, który jest reprezentacją sygnału w bazie {f β] 1, f 2 } spełnia równanie liniowe postaci w = Ax, gdzie A jest macierzą związaną z przejściem od

24 ROZDZIAŁ 2. PRZESTRZENIE SYGNAŁÓW 24 Tablica 2.1: Reprezentacja sygnału - ilustracja wektor {e 1, e 2 } {f 1, f 2 } rekonstrukcja błąd {h 1, h 2 } [ ] [ ] [ [ ] [ ] w ] 1 2 [ ] [ ] [ ] [ ] [ 1 ] 22 22, 5 22, 5 0, 5 w , , 5 22, 5 0, 5 2 [ ] [ ] [ ] [ ] [ 0, 5 ] w [ ] [ ] [ ] [ ] [ 1 ] 18 17, 5 17, 5 0, 5 w , , 5 17, 5 0, 5 2 0, 5 starej do nowej bazy. Jak wiemy z algebry zmiana wektorów bazowych jest równoważna określeniu pewnej liniowej transformacji opisanej macierzą, której kolumny to wektory nowej bazy wyrażone jako kombinacja wektorów starej bazy. Jeżeli nowe wzorce zostały poprawnie wybrane (tak, że one również są bazą w R 2, to macierz A jest nieosobliwa, więc możemy znaleźć poszukiwaną reprezentację wektora w nowej bazie jako x = A 1 w. Ilustracja tego, jak wybór bazy wpływa na reprezentacje sygnał, własności statystyczne ich składowych, czy wkład poszczególnych składowych do energii sygnału jest treścią Tabeli 2.1. W kolumnie drugiej i trzeciej tej tabeli pokazuje reprezentacje wektorów pomiarowych z omawianego przykładu odpowiednio dla wzorców {e 1, e 2 } oraz {f 1, f 2 }. Porównując obie te reprezentacje zauważamy wyraźne różnice. Przejście do drugiej reprezentacji spowodowało uporządkowanie wkładu do energii od obu składowych sygnału - wkład do energii od drugiej współrzędnej w reprezentacji {f 1, f 2 } jest znacząco mniejszy, niż wkład od pierwszej współrzędnej. Oznacza to, że w czasie kodowania możemy bez szkody dla jakości wyniku większą uwagę poświęcić pierwszej składowej. Gdybyśmy w reprezentacji drugiej w trakcie kodowania zupełnie zaniedbali wartość drugiej składowej (przyjęli, że jest równa 0), a następnie tak zmodyfikowany wektor przekształcili na powrót do reprezentacji pierwszej, to dostaniemy zupełnie dobre odtworzenie wyjściowego sygnału. Rzeczywiście, rozważane w przykładzie wektory miały w reprezentacji drugiej składowe α, β, gdzie α β. Po wykonaniu drastycznego kodowania polegającego na zaniedbaniu drugiej składowe dostajemy i powrocie do reprezentacji pierwszej dostajemy rekonstukcję wyjściowych wektorów; zrekonstruowane wektory są wypisane w kolumnie czwartej tabeli 2.1, a błędy rekonstrukcji - w kolumnie piątej. Opisaną procedurę możemy uważać za prototyp procedury

25 ROZDZIAŁ 2. PRZESTRZENIE SYGNAŁÓW 25 kodowania w tzw. kodowaniu transformacyjnym, którego sztandarowym przykładem jest kodowanie JPEG. Widzimy, ze właściwy wybór sygnałów wzorcowych może doprowadzić do znacznie bardziej zwartej reprezentacji sygnału, niż to miało miejsce w bazie naturalnej. W omawianym przykładzie przejście do nowej reprezentacji wymagało rozwiązania pewnego problemu liniowego. Możliwe jest uzyskanie tego mniejszym nakładem kosztów obliczeniowych, o ile w zbiorze sygnałów który rozważamy jest określony iloczyn skalarny, a docelowy układ sygnałów wzorcowych jest ortonormalny, czyli zawiera sygnały unormowane - to znaczy o długości 1 oraz wzajemnie do siebie prostopadłe. Jeżeli w omawianym przykładzie przyjmiemy standartowy iloczyn skalarny, to zauważamy, że wektory f 1, f 2 są prostopadłe (f 1 f 2 = 0), ale nie są unormowane, [ ] czyli należy [ ] wprowadzić nowy, unormowany układ wektorów h 1 = 1 1 2, h 1 2 = Oczywiście jest to sytuacja 1 analogiczna do omawianej poprzednio, czyli możemy wyliczyć postać naszej reprezentacji wektorów omawianą wcześniej metodą rowwiązania układu równań liniowych, ale znacznie prościej będzie wykorzystać ortogonalność wektorów bazowych. Zapisujemy formalny rozkład wektorów w bazie ortogonalnej, czyli w = xh 1 + yh 2. Mnożąc obie strony tego równania przez h 1 otrzymujemy: w h 1 = x h 1 h 1 + y h 2 h 1 = x. Podobnie przemnażając skalarnie wyjściowe równanie przez h 2 uzyskujemy y = w h 2. Dla wektorów rozważanych w przykładzie, współczynniki rozwinięcia w bazie {h 1, h 2 }są wypisane w kolumnie 6 tabeli2.1. Jak widać, są one (z dokładnością, do ogólnego czynnika 1 2 równe tym, które uzyskano dla wzorców {f 1, f 2 }. Warto zwrócić uwagę na jeszcze jeden aspekt zagadnienia - dotyczy on energii sygnału w różnych reprezentacjach. Gdy obliczymy energię jako sumę kwadratów współczynników rozwinięcia w danej reprezentacji, to przekonamy się, że tak określna energia jest taka sama w reprezentacji z wzorcami {e 1, e 2 } oraz {h 1, h 2 }, ale jest różna, gdy stosujemy wzorce {f 1, f 2 }. Powododem tego jest fakt, że transformacja powiązana ze zmianą bazy {e i } {f k } nie jest transformacją ortogonalną (czyli nie zachowuje długości), natmiast jest nią transformacja zwiazana z przejściem zmiana bazy z {e i } {h k }.

26 ROZDZIAŁ 2. PRZESTRZENIE SYGNAŁÓW Własności matematyczne zbiorów sygnałów Omówiony w poprzednim rozdziale przykład przekonuje, że po to, by móc wykonywać na sygnałach jakiekolwiek operacjie, należy zbiory sygnałów (przestrzenie sygnałów) wyposażyć we własności pozwalając nimi swobodnie manipulować. Chodzi tu o możliwości okreslenia odległości między sygnałami, określenia długości pojedyńczego sygnału, pomiaru kąta między nimi - czyli wyposasażenie je w pewne własności metryczne. Inne potrzebne własności to określenie możliwości dodawania sygnałów, mnożenia sygnału przez liczbę, określenia sygnałów bazowych, poszukiwania reprezentacji sygnału w dla różnych wyborów sygnałów bazowych - jest to grupa okreśkająca algebraiczne własności zbiorów sygnałów. Ostatnią wreszcie grupą własności związana jest z zupełnością zbiorów sygnałów - dotyczy ona kwestii, czy ciągi Cauchy ego elementów zbioru sygnałów mają granice w tym zbiorze. Przedstawimy teraz wymagania, jakie zazwyczaj stawimy zbiorom sygnałów. Szersze omówienie podstaw algebraicznych włąsności potrzebnych do określenia użytecznych klas przestrzeni sygnałów można znaleźć w [16] Choć w większości przypadków sygnałami są funkcje, to będziemy się starali wprowadzić potrzebne konstrukcje matematyczne bez specjalnego identyfikowania natury obiektów będących sygnałami Własności metryczne przestrzeni sygnałów Minimalne wymagania metryczne w zbiorze sygnałów S spełnimy określając metrykę, czyli funkcję, która każdej parze x i y sygnałów z S przyporządkowuje nieujenmną liczbę rzecztywistą ρ(x, y) o następujących własnościach: ρ(x, y) = 0 x = y, ρ(x, y) = ρ(y, x) ρ(x, z) ρ(x, y) + ρ(y, z) (symetria), (nierówność trójkąta). Przestrzeń sygnałów wyposażoną w metryką nazywamy przestrzenią metryczną. Wielkość ρ(x, y) interpretujemy jako odległość między sygnałami. Mając definicję metryki możemy wprowadzić rozmaite pojęcia topologiczne, jak zbiór otwarty, otoczenie, brzeg, granica ciągu oraz granica funkcji. Ważną własnością przestrzeni metrycznej jest jej zupełność. Mówimy, że przestrzeń jest zupełna, gdy każdy jej ciąg Cauchy ego elementów tej przestrzeni (czyli ciąg,dla którego odległości jego elementów maleją do zera) ma granicę, która jest również elenetem tej przestrzeni.

27 ROZDZIAŁ 2. PRZESTRZENIE SYGNAŁÓW 27 Oczywiście metrykę w danym zbiorze sygnałów można określać na różne sposoby; na ogół prowadzi to do różnych własności topologicznych. Przykłady przestrzeni sygnałów będących przestrzeniami metrycznymi: 1. Przestrzeń R n n-elementowych ciągów liczb rzeczywistych. Możemy zdefiniować różne metryki, n.p.: { 0 dla x = y (a) metryka dyskretna: ρ(x, y) = 1 dla x y, (b) metryka taksówkowa: ρ(x, y) = N (x i y i, i=1 N (c) metryka Euklidesa: ρ(x, y) = (x i y i ) Przestrzeń sygnałów o ograniczonej energii (zwykle oznaczaną symbolem L 2 ) jest przestrzenią metryczną z metryką: ˆ ρ(x, y) = x(t) y(t) 2 dt 3. Przestrzeń funkcji okresowych o okresie T 0 jest przestrzenią metryczną z metryką: ρ(x, y) = 1 ˆ x(t) y(t) T 2 dt Struktura liniowa przestrzeni sygnałów Jak widzieliśmy na przykładach w pierwszej części tego rozdziału, kluczową własnością, w którą ma być wyposażony każdy zbiór sygnałów jest możliwość wykonywania kombinacji liniowych sygnałów, czyli dodawaniu wektorów i mnożeniu ich przez liczbę. Włąściwą konstrukcją matematyczną implementującą te włąsności jest struktra przestrzeni wektorowej. Mówimy, że zbiór sygnałów jest przestrzenią wektorową nad ciałem K, gdy określimy dla niej dwie operacje: dodawanie sygnałów (opreacja "+") oraz mnożenia przez liczbę z ciała K (operacja "*") o własnościach: i=1

28 ROZDZIAŁ 2. PRZESTRZENIE SYGNAŁÓW 28 przemienność dodawania: x + y = y + x łączność dodawania: (x + y) + z = x + (y + z) łączność mnożenia: α(βx) = (αβ) x rozdzielność mnożenia względem dodawania: α(x + y) = αx + αy oraz (α + β)x = αx + βx W charakterze ciała liczbowego K będziemy stosować zbiór liczb rzeczywistych lub zbiór liczb zespolonych. Przykłady: 1. Przestrzeń R n n-elementowych ciągów liczb rzeczywistych ze zwykłym dodawaniem wektorów i mnożeniem wektora przez liczbę. 2. Przestrzeń sygnałów o ograniczonej energii (przestrzeń L 2 ) uzupełniona o sygnał zerowy x(t) 0 z dodawaniem funkcji i mnożeniem funkcji przez liczbę określoną w zwykły sposób. 3. Przestrzeń funkcji okresowych o okresie T Norma, iloczyn skalarny Ważnym elementem prowadzącym do stworzenia konstrukcji najlepiej przystosowanych do analizy sygnałów jest połączenie własności algebraicznych i metrycznych. Pierwszym krokiem w tą stronę jest wprowadzenie liniowych przestrzeni unormowanych. Mówimy, że zbiór sygnałów ma strukturę liniowej przestrzeni unormowanej, jeżeli: 1. jest on przestrzenią liniową 2. w zbiorze tym zdefiniowano normę, czyli odwzorowanie, które każdemu sygnałowi x przypisuje nieujemną liczbę rzeczywistą x, zwaną normą tego sygnału, o własnościach: x = 0 x = 0 αx = α x + y x + y

29 ROZDZIAŁ 2. PRZESTRZENIE SYGNAŁÓW 29 Każda liniowa przestrzeń unormowana jest automatycznie przestrzenią metryczną z metryką określoną (indukowaną) przez normę, zdefiniowaną jako: ρ(x, y) = x y. Tak więc, jeżeli pewien zbiór sygnałów wyposażony jest wszystkie atrybuty, które sprawiają, że ma on (wraz z odpowiednimi działaniami) strukturę liniowej przestrzeni unormowanej, to w takim zbiorze możemy określić norme (długość) sygnału, jego odległość od innych sygnałów; nie mamy jedynie możliwości określenia kąta między wektorami. Przykłady liniowych przestrzeni unormowanych: 1. Przestrzeń R n n-elementowych ciągów liczb rzeczywistych. Możemy zdefiniować różne normy, n.p.: (a) norma L1: x 1 = N (x i y i, indukuje ona metrykę taksówkową, i=1 N (b) norma L2: x 2 = (x i y i ) 2, indukuje ona metrykę Euklidesa. i=1 2. Przestrzeń L 2 sygnałów o ograniczonej energii jest liniową przestrzenią unormowaną z normą: ˆ x L 2 = x(t) 2 dt. 3. Przestrzeń funkcji okresowych o okresie T 0 jest liniową przestrzenią unormowaną z normą: x L 2 = 1 ˆT 0 x(t) T 0 T 2 dt 0 Mówimy, że w przestrzeni sygnałów będącej przestrzenią wektorową ze względu na zwykłe operacje dodawawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczbę, określiliśmy iloczyn skalarny, jeżeli zdefiniowaliśmy odwzorowanie, które każdej uporządkowanej parze x, y elementów tej przestrzeni przypisze liczbę (x, y) zespoloną tak, by spełnione były warunki: < x, y >=< y, x >, 0

30 ROZDZIAŁ 2. PRZESTRZENIE SYGNAŁÓW 30 < αx + βy, z >= α < x, z > +β < y, z >, x 0 < x, x >> 0, x = 0 < x, x >= 0. Symbol * w pierwszym warunku określającym iloczyn skalarny oznacza sprzężenie zespolone. Widzimy, że iloczyn skalarny to funkcjonał respektujący własności algebraiczne przestrzeni, w której działa - jest on funkcją liniową swojego pierwszego argumentu i antyliniową (tzn. liniową + sprzężenie zespolone) - drugiego. Jeżeli w zbiorze sygnałów (przestrzeni liniowej) jest określony iloczyn skalarny, to zbór ten jest również przestrzenią unormowaną z normą określoną jako: x = < x, x >. Ponadto, jak pokazywaliśmy to wcześniej, taka przestrzeń jest również przestrzenią metryczną w której jest równierz zadana przez iloczyn skalarny: ρ(x, y) = x y = < x y x y >. Mając określony iloczyń skalarny możemy wprowadzić jeszcze określenie dwóćh struktur matematycznych używanych w analizie sygnałów. I tak, zbiór sygnałów wyposażony w operacje dodawania sygnałów, mnożenia sygnału przez liczbę oraz iloczyn skalarny, unormowany przez normę określoną przez iloczyn skalarny nazywamy przestrzenią unitarną. Jeżeli tak określona przestrzeń unitarna jest zupełna (w metryce określonej przez iloczyn skalarny), to nazywamy ją przestrzenią Hilberta Kąt między sygnałami. Bazy ortogonalne i ortonormalne to liczba rzeczywista mniejsza od 1. To pozwala nam interpretować ją jako kosinus kąta - możemy więc dla dowolnych dwóch sygnałów z przestrzeni unitarnej określić { kąt pomiędzy nimi w sposób następujący: arccos( <x,y> x y dla x 0 oraz y 0 (x, y) = 0 dla x = 0 lub y = 0 Jedną z własności, którą spełnia każdy iloczyn skalarny jest nierówność Schwartza. Mówi ona że dla dowolnych niezerowych wektorów x, y spełniona jest relacja: < x, y > x y, czyli wartość bezwzględna iloczynu skalarnego dwóch niezerowych wektorów nie jest większy niż iloczyn ich norm. Oznacza to że wielkość <x,y> x y

31 ROZDZIAŁ 2. PRZESTRZENIE SYGNAŁÓW 31 Jeżeli iloczyn skalarny dwóch niezerowych wektorów jest równy zero, to mówimy, że są one ortogonalne (czyli kąt między nimi wynosi π/2, a więc są względem siebie prostopadłe). W pierwszj części rozdziału dyskutowaliśmy problem reprezentacji sygnału i związany z nim problem wyboru sygnałów wzorcowych. Matematycznym odpowiednikiem sygnałów wzorcowych są tzw. wektory bazowe w przestrzeniach unitarnych lub przestrzeniach Hilberta będących zbiorami sygnałów. Aby wyjaśnić czym jest baza w przestrzni liniowej należy najpierw określić pojęcie liniowej niezależności sygnałów. Rozważny zbiór X N = {x i (t), i = 1, 2,..., N} sygnałów przestrzeni liniowej V. Każdy sygnał zbudowany według przepisu x(t) = a i x i (t), gdzie a i - liczby (współczynniki kombinacji) nazywamy kombinacją liniową sygnałów x i z X N. Mówimy, że zbiór X N sygnałów jest liniowo niezależny, jeżeli zerowanie się kombinacji jest możliwe tylko wtedy, gdy wszystkie współczynniki kombinacji są zerami. Rzeczywiście, gdyby kombinacja się zerowała mimo tego, że nie wszystkie jej współczynniki były zerami, to by oznaczało, że można wyrazić któryś z wektorów poprzez pozostałe. Jeżeli w przestrzeni V każdy układ liniowo niezależnych sygnałów zawiera maksymalnie N sygnałów, to przestrzeń nazywamy N-wymiarową. Wtedy dowolny układ N liniowo niezależnych sygnałów nazywamy bazą przestrzeni V. Każdy taki układ sygnałów może zostać wybrany jako wzorcowy układ sygnałów. Mimo że bazą przestrzeni liniowej może być każdy maksymalny układ liniowo niezależnych sygnałów, to w praktyce o wiele wygodniej jest używać pewnych specjalnych baz, które oprócz tego, że składają się z sygnałów liniowo niezależnych, to dodatkowo spełniają warunek ortogonalności. Oznacza on, że dla dwóch dowolnych sygnałów z X N każde dwa różne wektory bazowe są do siebie prostopadłe, czyli jeżeli x i oraz x j X N oraz (i j) < x i, x j> = 0. Takie bazy nazywamy bazami ortogonalnymi. Jeżeli ponadto normy wszystkich wektorów bazowych są równe 1, to taką bazę nazywamy bazą ortonormalną. Niech X = x i, i = 1, 2,...N będzie taką bazą. Wtedy, dowolny wektor przestrzeni można zapisać jako rozwinięcie w bazie X: g = N a k x k, h = N b k x k. Obliczając iloczyn skalarny tych wektorów dostajemy k=1 k=1 N N N g h = a i b j x i x j = a i b i = a b. (2.1) i=1 j=1 Wynik ten, to treść twierdzenia Parsevala, które mówi, że iloczyn skalarny dwóch sygnałów jest równy iloczynowi skalarnemu współczynników rezwinięcia i=1

32 ROZDZIAŁ 2. PRZESTRZENIE SYGNAŁÓW 32 tych sygnałów w bazie ortonormalnej. Mając dowolny układ N liniowo niezależnych sygnałów możemy uzyskać bazę ortogonalną i ortonormalną N-wymiarowej przestrzeni przy użyciu iteracyjnej procedury Gramma-Schmidta. Przykład: Mamy określone 3 wektory w przestrzeni R 3 : x 1 = 1 1, x 2 = 1 2, x 3 = Należy skonstruować na tej podstawie bazę ortonormalną w R 3, której pierwszy wektor jest proporcjonalny do x 1. Aby wykonać to zadanie, to na podstawie zbioru liniowo niezależnych wektorów {x 1, x 2, x 3 } konstrujemy zbiór wektorów ortogonalnych {y 1, y 2, y 3 }, przyjmując dla każdego i, że y i jest równe x i od którego odjęto jego rzuty na wcześniej ustalone wektory y k. Po znalezieniu wszystkich y i znajdujemy końcowy układ wektorów bazy ortonormalnej poprzez unormowanie wektorów y i. 1. Krok pierwszy: przyjmujemu, że y 1 = x Krok drugi: przyjmujemy y 2 = x 2 a 1 y 1 ; wartość a 1 ustalamy żądając, by znikał iloczyn skalarny y 1 y 2, co prowadzi do równania x 2 y 1 = a 1 y 1 y 1, którego rozwiązanie to a 1 = 4 3. To daje y 2 = Ponieważ norma 1 y 2 nie ma na razie znaczenia (i tak będzie ustalona na końcu), możemy też za y 2 przyjąć Krok trzeci: przyjmujemy y 3 = x 3 a 2 y 1 b 2 y 2 ; wartości a 2 i b 2 ustalamy żądając znikania iloczynów skalarnych y 1 y 3 oraz y 2 y 3, co prowadzi do równań x 3 y 1 = a 2 y 1 y 1 oraz: x 3 y 2 = b 2 y 2 y 2. z rozwiązaniami a 2 = 4 3, b 2 = 1 6. To daje y 3 = Dzielimy y i przez ich normy otrzymując: z 1 = , z 2 = , 1 6

33 ROZDZIAŁ 2. PRZESTRZENIE SYGNAŁÓW 33 z 3 = Kwestia istnienia baz oraz baz ortogonalnych w przestrzeniach skończenie wymiarowych wydaje się dość prosta. Poważniejszy problem to bazy w przestrzeniach nieskończenie wymiarowych. Gdy w przestrzeni sygnałów V mamy nieskończony (przeliczalny) zbiór liniowo niezależnych sygnałów X = {x k, k K}, (czyli takich, dla których znikanie kombinacji liniowej jej elementów pociąga za sobą znikanie wszystkich współczynników tej kombinacji), to mówimy, że X jest nieskończoną bazą wyróżnioną w tej przestrzeni. Taki nieskończony zbiór X liniowo niezależnych sygnałów należących do przestrzeni Hilberta V sygnałów nazywamy bazą ortogonalną w V, jeżeli sygnały z X są ortogonalne oraz jeżeli w przestrzeni V nie ma żadnego niezerowego sygnału, który nie należy do X i jest ortogonalny do wszystkich elementów z X. Nie każda przestrzeń Hilberta dopuszcza istnienie baz ortogonalnych. Przestrzenie w których to jest możliwe nazywają się ośrodkowymi przestrzeniami Hilberta. 2.3 Uogólniony szereg Fouriera Gdy przestrzeń sygnałów V jest ośrodkową przestrzenią Hilberta z bazą ortonormalną X={x k K}, to bardzo łatwo możemy wyznaczyć reprezentację dowolnego sygnału x z V za pomocą sygnałów wzorcowych z X. To, że X jest bazą w V oznacza, że dowolny sygnał x z V możemy zapisać jako: x = k K a k x k (2.2) Równość taką należy rozumieć jako równość w sensie normy, co oznacza że x k K a k x k = 0 Szereg 2.2 nazywamy uogólnionym szeregiem Fouriera, a liczby a k współczynnikami Fouriera tego szereregu. Aby je wyznaczyć, korzystamy z faktu, że wektory x k są ortonormalne; mnożąc skalarnie równanie 2.2 przez wektor x n dostajemy: x x n = a k x k x n = a k δ kn = a n, (2.3) k K k K