Podrozmaitość centralna skończenie wymiarowych układów dynamicznych

Transkrypt

1 Politechnika Gdańska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Marcin Styborski Podrozmaitość centralna skończenie wymiarowych układów dynamicznych Praca magisterska przygotowana w Katedrze Algebry pod kierunkiem prof. dr. hab. Kazimierza Gęby Gdańsk, sierpień 2005r.

2 Podziękowanie. Chciałbym wyrazić swoją wdzięczność Panu Profesorowi Kazimierzowi Gębie za podjęcie się opieki naukowej nad moją osobą podczas trwania studiów. Jako promotor niniejszej pracy magisterskiej, Profesor Gęba służył licznymi uwagami i wskazówkami, dzięki którym tekst pracy został poddany wielu przeobrażeniom, aby przybrać obecną formę. W tym miejscu podziękowania składam również Panu Doktorowi Zygfrydowi Kucharskiemu, który nie szczędził sił i czasu na wielogodzinne seminaria i dyskusje, w tle których dojrzewała moja decyzja o podjęciu dalszych kroków w kierunku matematyki. i

3 Spis treści 0 Wstęp Notacja i terminologia Co to jest podrozmaitość centralna? Twierdzenia zasadnicze Podstawowe pojęcia i twierdzenia teorii układów dynamicznych Pojęcia wstępne Równoważność układów dynamicznych Podrozmaitość i przestrzeń styczna Potok generowany przez równanie różniczkowe Twierdzenie o funkcji uwikłanej Twierdzenia przygotowawcze Algebra liniowa Promień spektralny Postać kanoniczna Jordana Lemat o odwzorowaniu zerowym Twierdzenie o homeomorfizmie Przestrzeń metryczna C 0, Podrozmaitość centralna dla kaskady Założenia o odwzorowaniu Φ Podrozmaitość centralna niestabilna dla odwzorowań Twierdzenie globalne Twierdzenie lokalne Istnienie podrozmaitości centralnej Zasada redukcji ii

4 SPIS TREŚCI iii 3.5 Uwaga na temat gładkości Interpretacja geometryczna procedury cut-off i skalowania Twierdzenie o podrozmaitości centralnej dla potoków Sformułowanie twierdzenia Dowód twierdzenia Konstrukcja i zastosowanie Własności podrozmaitości centralnej

5 Rozdział 0 Wstęp Praca zawiera główne wyniki z teorii rozmaitości centralnej (Centre manifold theory) skończenie wymiarowych układów dynamicznych. Ta stosunkowo młoda gałąź jakościowej teorii równań znajduje zastosowania szczególnie w teorii bifurkacji, pozwalając na redukcję wymiaru przestrzeni fazowej dla danego równania. Rolę, jaką pełni technika podrozmaitości centralnej w teorii bifurkacji, zilustrowałem na przykładzie układu Lorenza (przykład 4.3). Kilka przykładów dotyczy badania stabilności, gdyż podrozmaitość centralna daje duże możliwości również w tego typu zagadnieniach. Przedstawiony jest dowód twierdzenia o istnieniu podrozmaitości centralnej. Dla pełnego zrozumienia treści przytoczyłem wszelkie niezbędne twierdzenia, z których korzystałem. Z uwagi na to, żeby tekst nie przybrał na rozmiarze, wszystkich nie dowodziłem, odsyłając czytelnika do stosownej literatury. Dowód twierdzenia o istnieniu w głównej mierze oparty jest na podejściu przedstawionym w [10]. Pozycja ta jednak nie została opublikowana. Jest to obszerny skrypt z wykładów autora prowadzonych na uniwersytecie w Utrecht (Holandia). Dla większej przejrzystości przedstawionego materiału, układy dyskretne i układy ciągłe są potraktowane osobno. Dowód twierdzenia w przypadku układów ciągłych w dużej mierze bazuje na twierdzeniu dotyczącym przypadku dyskretnego. Wynika stąd, że większa część pracy skoncentrowana jest na dowodzie twierdzenia o podrozmaitości centralnej dla kaskady, natomiast zastosowania teorii dotyczą głównie przypadków układów ciągłych czyli potoków (precyzyjne definicje pojawią się w rozdziale 1). Aby nie pomniejszać roli układów dyskretnych wystarczy wspomnieć o odwzorowaniu Poincaré, które jest fundamentalnym narzędziem w badaniu orbit okresowych. Kompletny dowód istnienia i gładkości (dla prawej strony równania klasy C k, k 1 1

6 0.1 Notacja i terminologia 2 podrozmaitość jest klasy C k ) podrozmaitości centralnej podany przez Kelley ego, pojawił się po raz pierwszy w pracy [8] w Od tej pory ukazało się wiele pozycji, uogólniających teorię na przestrzenie Banacha, dzięki czemu znalazła ona zastosowanie na polu badań równań różniczkowych cząstkowych. Na szczególną uwagę zasługuje monografia [4] Applications of centre manifold Theory, czy też [12], gdzie znajduje sie dowód twierdzenia w przypadku nieskończenie wymiarowym i zastosowanie teorii do badania bifurkacji. 0.1 Notacja i terminologia Przez R n będziemy oznaczać n-wymiarową przestrzeń liniową nad ciałem liczb rzeczywistych R. Elementy R n oznaczamy standardowo jako x = (x 1, x 2,..., x n ). Definiując w R n iloczyn skalarny wzorem x, y := x 1 y 1 + x 2 y x n y n, (0.1) możemy unormować R n zadając x := x, x. Od tej pory przestrzeń R n wraz z iloczynem skalarnym zdefiniowanym wzorem (0.1) będziemy nazywali rzeczywistą, n-wymiarową przestrzenią euklidesową. Niech X 1, X 2,..., X n będą podprzestrzeniami przestrzeni liniowej X. Powiemy, że przestrzeń X jest sumą prostą tych podprzestrzeni, co zapisujemy X = X 1 X 2... X n, jeśli każdy wektor x X ma jednoznaczne przedstawienie postaci x = x 1 + x x n, gdzie x i X i, i = 1,..., n. Zamiast pisać x = x x n, punkty przestrzeni X będziemy zapisywali w postaci x = (x 1,..., x n ). Jeśli (X, ϱ) jest przestrzenią metryczną, to zbiór Br X (x) := {y X : ϱ(x, y) < r} nazywamy kulą o środku w punkcie x i promieniu r. B X r (x) jest zbiorem otwartym. Nietrudno pokazać, że kula

7 0.2 Co to jest podrozmaitość centralna? Co to jest podrozmaitość centralna? Definicje wszystkich pojawiających się w tym i w następnym paragrafie pojęć zostaną wprowadzone w dalszej części pracy. Rozważmy odwzorowanie liniowe x Ax, x R n. Jak wygląda dynamika opisana takim odwzorowaniem? Częściową odpowiedź na to pytanie daje następujące twierdzenie: Twierdzenie 0.1 ([10]). Jeśli σ(a) {z C : z < 1}, to dla każdego x R n mamy A k x 0 dla k. Jeśli natomiast istnieje chociaż jedna wartość własna λ, taka że λ > 1, to istnieje x R n, że dla k. Definiujemy A k x + E s := span {v i : Av i = λ i v i, λ i < 1} E u := span {v i : Av i = λ i v i, λ i > 1}. W tym przypadku przestrzeń R n można przedstawić w postaci sumy prostej E s E u, gdzie E s i E u są odpowiednio stabilną i niestabilną podprzestrzenią odwzorowania A. Należy wspomnieć, że są to podprzestrzenie niezmiennicze, tzn. A(E s,u ) E s,u (zob. [13]). Jeśli odwzorowanie A posiada wartości własne λ, takie że λ = 1, to mogą istnieć punkty x R n, że żaden z przypadków podanych w twierdzeniu 0.1 nie zachodzi. Niezmienniczą podprzestrzeń E c := span {v i : Av i = λ i v i, λ i = 1} nazywamy podprzestrzenią centralną odwzorowania A. Możemy teraz powiedzieć co to jest (lokalna) podrozmaitość centralna, odwzorowania x Φ(x), x R n, w ogólności n i e l i n i o w e g o. Załóżmy, że Φ(0) = 0. Jeśli zero jest punktem stałym Φ, to możemy przedstawić Φ(x) = DΦ(0)x + ϕ(x),

8 0.2 Co to jest podrozmaitość centralna? 4 gdzie ϕ(0) = 0, Dϕ(0) = 0. Lokalną podrozmaitością centralną W c loc odwzorowania Φ w zerze nazywamy lokalnie Φ-niezmienniczą podrozmaitość styczną do podprzestrzeni centralnej E c odwzorowania liniowego DΦ(0). Jeśli oznaczymy dim E c = n c, dim E s E u = n c + n u, to jest to de facto wykres pewnej funkcji h: B Rnc δ (0) R ns+nu o tej własności, że h(0) = 0 oraz Dh(0) = 0, δ > 0. Uwaga terminologiczna. Definiując podrozmaitość centralną zakładamy, że E c, tzn. że istnieją wartości własne odwzorowania DΦ(0), leżące na okręgu jednostkowym w C. W tym przypadku mówimy, że DΦ(0) jest niehiperbolicznym operatorem liniowym, zaś zero jest niehiperbolicznym punktem stałym odwzorowania Φ. W przeciwnym przypadku, gdy σ(dφ(0)) S 1 =, mówimy o operatorze hiperbolicznym. Przejście do przypadku układów ciągłych polega na tym, że zamiast badania iteracji odwzorowania Φ, tzn. układów {..., Φ 1 (x), x, Φ(x),...}, badamy trajektorie układów równań różniczkowych zwyczajnych: ẋ = Φ(x), x R n, czyli potoki: ϕ t (x), t R, x R n. Z równaniem różniczkowym liniowym o stałych współczynnikach związany jest potok ẋ = Ax, x R n ϕ t = e ta = exp(ta) := Mamy następujący analog twierdzenia 0.1. t n A n. (0.2) n! Twierdzenie 0.2 ([10]). Jeśli wszystkie wartości własne λ i (1 i n) macierzy A n=0 spełniają nierówność Re(λ i ) < 0, to dla każdego x R n mamy e ta x 0, gdy t. Jeśli istnieje chociaż jedna wartość własna λ spełniająca Re(λ i ) > 0, to istnieje x R n, że dla t. e ta x +

9 0.3 Twierdzenia zasadnicze 5 Zamieniając w definicji podprzestrzeni E s,u,c warunki λ 1 na warunki Re(λ) 0, dostajemy definicje podprzestrzeni stabilnej, niestabilnej i centralnej dla układu liniowych równań różniczkowych. Podrozmaitość centralną definiujemy tak samo jak dla układów dyskretnych. 0.3 Twierdzenia zasadnicze Jak już zostało wspomniane, duży nacisk został położony na udowodnienie twierdzenia o podrozmaitości centralnej dla układów dyskretnych. Faktycznie jest to wniosek z twierdzenia o podrozmaitości centralnej niestabilnej, którego treść jest następująca: Twierdzenie 0.3 (wersja lokalna). Niech Φ: R n R n będzie C k -dyfeomorfizmem, k 1, oraz: (0.3.1) Φ(0) = 0; (0.3.2) suma krotności wartości własnych macierzy A := DΦ(0), takich że λ 1 jest równa p, natomiast suma krotności wartości własnych, takich że λ < 1 jest równa q, Wówczas istnieje lokalnie Φ-niezmiennicza podrozmaitość W cu loc = {(x, ψ(x)) : x R p, x < ε}, gdzie ε > 0 i ψ : R p R q jest odwzorowaniem ciągłym 1, ψ(0) = 0. Przy założeniu różniczkowalności ψ mamy ponadto Dψ(0) = 0. Dowód powyższego twierdzenia sprowadza się do udowodnienia tezy o istnieniu globalnej podrozmaitości centralnej niestabilnej poprzez pewne techniczne manipulacje (Lemat 3.6, paragraf 3.2.2). Twierdzenie 0.4 (wersja globalna). Załóżmy, że Φ: R n R n jest dyfeomorfizmem klasy C k, k 1 spełniającym następujące warunki: 1 W przypadku skończenie wymiarowym można udowodnić, że ψ jest tej samej klasy gładkości co dyfeomorfizm Φ (zob. [10]). Natomiast gdy Φ działa na przestrzeni Banacha i jest klasy C k, k 2, to rozmaitość centralna jest klasy C k 1 (zob. [12]). Fakt ten wiąże się z wykorzystaniem w dowodzie silniejszych narzędzi analizy funkcjonalnej.

10 0.3 Twierdzenia zasadnicze 6 (0.4.1) Φ(0) = 0; (0.4.2) suma krotności wartości własnych macierzy A := DΦ(0), takich że λ 1 jest równa p, natomiast suma krotności wartości własnych, takich że λ < 1 jest równa q; (0.4.3) część nieliniowa odwzorowania Φ, tzn. reszta rozkładu Φ(z) = Az + ϕ(z) ma tę własność, że ϕ(z) τ 1, Dϕ(z) L τ 2. dla pewnych liczb τ 1, τ 2 > 0 (dokładniejsze określenie tych liczb pojawi się w sformułowaniu twierdzenia 3.1). Przy tych założeniach istnieje Φ-niezmiennicza podrozmaitość W cu = {(x, ψ(x)) : x R p }, gdzie ψ : R p R q jest odwzorowaniem ciągłym, takim że ψ(0) = 0. Jeśli ponadto założymy, że ψ jest różniczkowalne, to Dψ(0) = 0. Założenie (0.4.3) mówi o tym, że część nieliniowa Φ jest mała w sensie normy przestrzeni C 1 funkcji różniczkowalnych w sposób ciągły.

11 Rozdział 1 Podstawowe pojęcia i twierdzenia teorii układów dynamicznych 1.1 Pojęcia wstępne Definicja 1.1. Układem dynamicznym nazywamy trójkę (A, X, ϕ α ), gdzie X jest przestrzenią topologiczną i rodzina ciągłych odwzorowań ϕ α : X X, indeksowana elementami półgrupy A, spełnia warunki: (1) ϕ α+β = ϕ α ϕ β dla dowolnych α, β A; (2) ϕ 0 = Id; (3) funkcja ϕ(α, x) := ϕ α (x) jest ciągła ze względu na (α, x) A X. Przestrzeń topologiczną X, na której działają odwzorowania ϕ α, będziemy nazywać przestrzenią fazową. Punkt (1) powyższej definicji mówi, że rodzina {ϕ α : α A} jest półgrupą. Rodzinę odwzorowań, która spełnia jednocześnie warunki (1)-(3) nazywa się ciągłą półgrupą przekształceń. Jeżeli A jest grupą, to odwzorowania ϕ α są odwracalne i mówimy, że (A, X, ϕ α ) jest odwracalnym układem dynamicznym. Układ nazywa się gładkim, jeśli X jest rozmaitością różniczkowalną, a odwzorowania ϕ α są różniczkowalne. Dalej będziemy zajmowali się dwoma szczególnymi typami układów, które będziemy rozróżniali w zależności od półgrupy (grupy) A. Jeśli A = Z + := {0, 1, 2,...} lub A = Z, to (Z, X, ϕ k ) będziemy nazywać układem dynamicznym dyskretnym lub kaskadą. Jeśli A = R + := {t R : t 0} lub w przypadku gdy ϕ α są odwracalne i A = R, to mówimy, że (R, X, ϕ t ) jest potokiem. 7

12 1.1 Pojęcia wstępne 8 Definicja 1.2. Orbitą punktu x w przypadku kaskady lub trajektorią przechodzącą przez x w przypadku potoku, nazywamy zbiór γ(x) = {y : α A y = ϕ α (x)}. Mając dany dyskretny układ dynamiczny (Z +, X, ϕ k ), możemy zdefiniować odwzorowanie f : X X wzorem f(x) := ϕ 1 (x). Z punktu (1) definicji 1.1 wynika, że dla każdego x X orbitę {x = ϕ 0 (x), ϕ 1 (x), ϕ 2 (x),...} można odtworzyć iterując odwzorowanie f. Istotnie Definiując indukcyjnie ϕ 2 (x) = ϕ 1 (ϕ 1 (x)) = ϕ 1 ϕ 1 (x) = f f(x) =: f 2 (x). f k (x) := f f k 1 (x) (1.1) widzimy, że ϕ k = f k. Oznacza to, że rodzinę odwzorowań {ϕ k } k Z+ możemy zastąpić odwzorowaniem f i jego kolejnymi iteracjami. Odwrotnie każdy dyskretny układ dynamiczny (Z +, X, ϕ k ) wyznaczony jest przez odwzorowanie f := ϕ 1 i można go odtworzyć poprzez iteracje f. Analogiczną sytuację mamy w przypadku układu odwracalnego. Wówczas odwzorowanie f jest odwracalne. Definicja 1.3. Odwzorowanie f := ϕ 1 nazywamy generatorem układu dynamicznego (Z +, X, ϕ k ) i piszemy po prostu (Z +, X, f). Przykład 1.1 ([18]). Niech S 1 := {x R 2 : x = 1}. Ponieważ S 1 możemy traktować jako odcinek [0, 1] z utożsamionymi końcami: S 1 = R/Z, więc wzór ϕ t (x) := x + t mod 1, x [0, 1] (1.2) poprawnie definiuje odwzorowanie ϕ t : S 1 S 1. (R, S 1, ϕ t ) jest gładkim, odwracalnym potokiem na okręgu. Geometrycznie ϕ t (x) jest obrotem punktu x o kąt 2πt. Przykład 1.2 ([10]). Niech C b (R, R) oznacza przestrzeń Banacha ograniczonych funkcji ciągłych z normą f sup wzorem = sup f(x). Definiujemy układ (R, C b (R, R), θ t ) x R [θ t (f)](x) := f(x + t). (1.3) Taką trójkę nazywamy translacją. Widzimy więc, że przestrzeń fazowa X może być również nieskończenie wymiarową przestrzenią wektorową.

13 1.2 Równoważność układów dynamicznych 9 ϕ t (x) x ϕ t (x) x Rysunek 1.1: Potok (R, S 1, ϕ t ) z przykładu Równoważność układów dynamicznych Definicja 1.4. Powiemy, że układy dynamiczne (A, X, ϕ α ) i (A, Y, φ α ) są równoważne, jeśli istnieje odwracalna funkcja h: X Y, przekształcająca orbity (trajektorie) pierwszego układu na orbity (trajektorie) drugiego, zachowując przy tym kierunek wzrostu indeksów α. Innymi słowy h ϕ α = φ κ(α) h, gdzie κ: A A jest ściśle rosnącą surjekcją. Jeśli h jest homeomorfizmem, to układy nazywamy równoważnymi topologicznie. Jeśli ponadto κ = Id, to mówimy, że układy są topologicznie sprzężone. Sprzężoność oznacza, że zachodzi równość h ϕ α = φ α h, gdzie h jest homeomorfizmem sprzęgającym. 1.3 Podrozmaitość i przestrzeń styczna W przykładzie 1.1 przestrzenią stanów był zbiór S 1. Jest to przykład 1-wymiarowej podrozmaitości. Zanim wprowadzimy formalną definicję powiemy, że odwzorowanie ϕ: U V, gdzie U, V są otwartymi podzbiorami R n, jest dyfeomorfizmem klasy C r (0 r ), jeśli spełnia następujące warunki: (1) ϕ jest klasy C r ; (2) ϕ jest wzajemnie jednoznaczne;

14 1.3 Podrozmaitość i przestrzeń styczna 10 (3) ϕ 1 : V U jest klasy C r. Uwaga. Z definicji tej wynika, że homeomorfizm jest dyfeomorfizmem klasy C 0. Jeśli ϕ: R n R m jest dyfeomorfizmem, to n = m. Wynika to z faktu, że Dϕ(x) jest izomorfizmem dla każdego x R n. Definicja 1.5. Podzbiór M R n będziemy nazywali m-wymiarową podrozmaitością klasy C r (m n, 0 r ), jeżeli dla każdego punktu p M istnieją: otoczenie U tego punktu w R n, zbiór otwarty V R n oraz dyfeomorfizm ψ : V U klasy C r taki, że ψ(v R m ) = M U. Dyfeomorfizm ψ nazywamy parametryzacją M, natomiast ψ 1 nazywamy lokalnym układem współrzędnych na M. R n m M p U ε ε V T p M R m Rysunek 1.2: m-wymiarowa podrozmaitość w R n i przestrzeń styczna T p M W szczególności jeśli Ω R m jest zbiorem otwartym i ϕ: Ω R n m jest odwzorowaniem klasy C r, to wykres W = { (x, y) R m R n m : x Ω, y = ϕ(x) } jest m-wymiarową podrozmaitością klasy C r. Istotnie, wówczas V := Ω ( ε, ε) n m oraz dyfeomorfizm ψ : V U = ψ(v ) zadajemy wzorem ψ(x, y) := (x, y + ϕ(x))

15 1.3 Podrozmaitość i przestrzeń styczna 11 M U = ψ(x, 0) = {(x 1,..., x m, ϕ 1 (x 1,..., x m ),..., ϕ n m (x 1,..., x m ))}. Na odwrót. Każda podrozmaitość m-wymiarowa jest lokalnie wykresem pewnej funkcji ϕ: Ω R n m, gdzie Ω R m jest zbiorem otwartym (Rysunek 1.3). Definicja 1.6. Niech M będzie m-wymiarową podrozmaitością, ψ dyfeomorfizmem z definicji 1.5, p M oraz q := ψ 1 (p) V R m. Przestrzeń styczną do M w punkcie p definiujemy jako obraz T p M := Dψ(q)(R m ). Elementy T p M nazywamy wektorami stycznymi do podrozmaitości M w punkcie p. Zbiór T M := {(p, v) : p M, v T p M} nazywać będziemy wiązką styczną. Uwaga. Definicja 1.6 nie zależy od parametryzacji ψ. Przykład 1.3. Zbiór otwarty V R n jest najprostszym przykładem n-wymiarowej podrozmaitości. Wówczas dyfeomorfizm ψ : V U = V jest po prostu identycznością. Przestrzenią styczną dla każdego p V jest cała przestrzeń R n. Przykład 1.4. Sfera S 2 := {x R 3 : x = 1} jest przykładem 2-wymiarowej podrozmaitości. Zdefiniujemy dyfeomorfizm sferyczny: Niech V := {(φ, θ, r) R 3 : π < φ < π, π 2 < θ < π } 2, r > 1. Określamy odwzorowanie Φ: V R 3 wzorem: Φ(φ, θ, r) := ((1 + r) cos φ cos θ, (1 + r) sin φ cos θ, (1 + r) sin θ). (1.4) Odwzorowanie Φ jest dyfeomorfizmem na R 3 \ {(x, 0, z) : x 0}. Dla każdej permutacji σ zbioru {1, 2, 3} wprowadzimy odwzorowanie T σ : R 3 R 3 zadane wzorem T σ (x 1, x 2, x 3 ) := (x σ(1), x σ(1), x σ(3) ). Wówczas dla dowolnego punktu p S 2 istnieje permutacja σ zbioru {1, 2, 3}, że ψ σ (V R 2 ) pokrywa tę część sfery, w której leży punkt p. Tutaj ψ σ := T σ Φ oraz V R 2 = {(φ, θ, r) : r = 0}. Niech p = ( 2, 0, 2 ) 2 2 S2. Przy dyfeomorfizmie sferycznym na punkt p przechodzi punkt q = (0, π, 0). Aby 4 wyznaczyć płaszczyznę styczną wystarczy znaleźć dwa liniowa niezależne wektory ją rozpinające. (1 + r) sin φ cos θ (1 + r) cos φ sin θ cos φ cos θ DΦ(φ, θ, r) = (1 + r) cos φ cos θ (1 + r) sin φ sin θ sin φ cos θ 0 (1 + r) cos θ sin θ

16 1.4 Potok generowany przez równanie różniczkowe 12 w szczególności DΦ(q) = DΦ(0, π, 0) = Płaszczyznę T ( 2 2,0, 2 2 )S2 rozpinają wektory: DΦ(0, π 4, 0)(1, 0, 0) = (0, 2 2, 0), DΦ(0, π 4, 0)(0, 1, 0) = ( 2 2, 0, 2 2 ) Równanie tej płaszczyzny ma postać czyli z + x = 0. det x y z 2 2 = 0, Potok generowany przez równanie różniczkowe Niech U będzie podzbiorem R n, w szczególności U = R n. Definicja 1.7. Odwzorowanie f : U R n klasy C k, k 0 przyporządkowujące każdemu punktowi x U wektor f(x) R n nazywamy polem wektorowym klasy C k na U. Pole wektorowe może również zależeć od czasu. Mamy wtedy f : (α, β) U R n, takie że dla każdego t (α, β) odwzorowanie f(t, ): U R n jest polem wektorowym w sensie powyższej definicji. Rozważmy równanie różniczkowe ẋ(t) = f(t, x(t)), (1.5) gdzie x = (x 1,..., x n ): (α, β) R n oraz f jest polem wektorowym. W rzeczywistości (1.5) jest układem n równań różniczkowych skalarnych. Jeśli f nie zależy od czasu explicite, to (1.5) nazywamy układem autonomicznym: ẋ(t) = f(x(t)). (1.6)

17 1.4 Potok generowany przez równanie różniczkowe 13 Rysunek 1.3: Pole wektorowe na płaszczyźnie: (x, y) (y, sin x) Twierdzenie 1.1. Jeśli pole wektorowe f ma zwarty nośnik (nie znika co najwyżej na zbiorze zwartym), to równanie (1.6) generuje potok na R n. Innymi słowy istnieje jednoparametrowa grupa dyfeomorfizmów ϕ t : R n R n, t R, taka że d dt ϕ t(x) = f(ϕ t (x)). Przykład 1.5 ([18]). Niech D 2 := {(x, y) R 2 : x 1} będzie dyskiem jednostkowym na płaszczyźnie. Układ równań różniczkowych zadany we współrzędnych biegunowych ṙ(t) = 1 r(t), ω(t) = a, a > 0, r 0 (1.7) z warunkiem początkowym r(0) = r 0 (0 < r 0 1), ω(0) = ω 0 posiada rozwiązanie r(t) = r 0 exp(t)[1 r 0 + r 0 exp(t)] 1, ω(t) = at + ω 0. Punkt materialny, który w czasie t 0 = 0 zajmował położenie (r 0, ω 0 ) i którego ruch opisuje układ (1.7), w każdej chwili czasu t R pozostaje w D 2. Jeśli określimy ϕ t (r 0, ω 0 ) := (r 0 exp(t)[1 r 0 + r 0 exp(t)] 1, at + ω 0 ), ϕ t (0, 0) = (0, 0), to otrzymujemy potok na dysku (R, D 2, ϕ t ), który ilustruje Rysunek 1.4. Następujący fakt wykorzystany zostanie w dalszej części pracy. Twierdzenie 1.2 ([18], str. 25). Niech f będzie polem wektorowym klasy C 1 (V ), gdzie V = D I, D jest otwartym podzbiorem R n, I = ( a, a). Załóżmy, że x(t, x 0 ) jest

18 1.5 Twierdzenie o funkcji uwikłanej 14 Rysunek 1.4: Potok (R, D 2, ϕ t ) rozwiązaniem równania (1.5) z warunkiem początkowym x(0, x 0 ) = x 0 D. Wówczas x(t, x 0 ) jest klasy C 1 (V ). Ponadto drugie pochodne mieszane 2 x(t, x 0 ) t x 0, 2 x(t, x 0 ) x 0 t istnieją i są ciągłe. 1.5 Twierdzenie o funkcji uwikłanej Z uwagi na szerokie zastosowania, szczególną rolę w analizie i wielu jej gałęziach, m.in. w topologii różniczkowej spełniają twierdzenia o lokalnym odwracaniu odwzorowania oraz o funkcji uwikłanej. Twierdzenie 1.3 (o funkcji odwrotnej). Niech Ω R n i f : Ω R n będzie odwzorowaniem klasy C k, k 1. Jeżeli Df(x) jest izomorfizmem dla pewnego x U oraz y = f(x), to: (1) istnieje otoczenie U punktu x i otoczenie V punktu y, takie że f : U V jest dyfeomorfizmem klasy C k ; (2) zachodzi wzór Dg(y) = [Df(x)] 1. (1.8)

19 1.5 Twierdzenie o funkcji uwikłanej 15 Twierdzenie 1.4 (o funkcji uwikłanej). Niech Ω R n R m będzie zbiorem otwartym i niech f : Ω R n będzie funkcją klasy C k, k 1. Oznaczmy A := Df(a, b) i załóżmy, że f(a, b) = 0, gdzie a R n, b R m ; A R m jest odwzorowaniem odwracalnym, innymi słowy det(a R m) 0. Wówczas istnieją ε 1, ε 2 > 0 oraz odwzorowanie g : B Rn ε 1 (a) R m klasy C k, takie że (x, y) B Rn R m ε 2 (a, b) f 1 (0) wtedy i tylko wtedy, gdy y = g(x); g(a) = b. Ponadto zachodzi wzór Dg(a) = (A R m) 1 A R n. (1.9) Przykład 1.6. Standardowym przykładem ilustrującym twierdzenie o funkcji uwikłanej jest funkcja f : R 2 R, zadana wzorem f(x, y) := x 2 + y 2 1. Funkcja f znika na sferze S 1 na płaszczyźnie. Wszędzie na okręgu, za wyjątkiem punktów ( 1, 0) i (1, 0) mamy f y (x, y) 0. Oznacza to, że istnieje kula BR ε (x) oraz funkcja y = y(x) określona na tej kuli, taka że f(x, y(x)) = 0. W tym przypadku y(x) = ± 1 x 2. Zauważmy, że f 1 (0) jest 1-wymiarową podrozmaitością R 2. Jak sugeruje powyższy przykład, przeciwobraz zera może być podrozmaitością. Jest tak zawsze, gdy pochodna Df(a) jest epimorfizmem dla każdego a f 1 (0). Wówczas 0 nazywamy wartością regularną odwzorowania f. Jest to wniosek z twierdzenia o funkcji uwikłanej, który wykorzystamy w dowodzie twierdzenia 3.8 o istnieniu podrozmaitości centralnej. Dowód tego faktu można znaleźć w [16].

20 Rozdział 2 Twierdzenia przygotowawcze 2.1 Algebra liniowa Niech A: R n R n będzie odwzorowaniem liniowym, czyli takim odwzorowaniem, że A(αx+βy) = αax+βay dla dowolnych x, y R n i dowolnych α, β R. Odwzorowanie liniowe na R n będziemy utożsamiać (w ustalonej bazie) z macierzą A = (a ij ) n n, która działa na wektor x, tak jak mnoży się macierz przez wektor kolumnowy: (Ax) i = n a ij x j, i = 1,..., n. j=1 Odnotujmy, że każde odwzorowanie liniowe na R n jest ograniczone, tzn. istnieje M > 0, że dla wszystkich x R n prawdziwe jest szacowanie Ax M x. (2.1) Jak widać, ograniczoność implikuje ciągłość. Można wykazać również implikację odwrotną. Zbiór wszystkich odwzorowań liniowych na R n oznaczamy przez L(R n ). Jest to przestrzeń liniowa z normą A L := sup Ax, x =1 wraz z którą L(R n ) jest przestrzenią Banacha. Z powyższej definicji widać, że norma L zależy od wyjściowej normy na R n. Uwaga. A L jest najmniejszą stałą spełniającą szacowanie (2.1). 16

21 2.2 Promień spektralny 17 Stwierdzenie 2.1. Jeżeli odwzorowanie liniowe A: R n przez macierz (a ij ) n n, to zachodzi oszacowanie: R n jest reprezentowane A L ( n i=1 n j=1 a 2 ij ) 1 2. (2.2) Odwzorowanie liniowe A w naturalny sposób rozszerzamy na C n zadając A(x + iy) = Ax + iay, x, y R n. Liczbę λ C nazywamy wartością własną odwzorowania A, jeśli spełnia równanie dla pewnego v C n różnego od zera. Av = λv Wówczas v nazywamy wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej λ. Zauważmy, że jeśli λ jest wartością własną A, to nie istnieje (A λi) 1, gdzie I jest tożsamością. To natomiast oznacza, że λ jest wartością własną A wtedy i tylko wtedy, gdy jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego p(λ) = det(a λi) Zbiór wszystkich wartości własnych macierzy A oznaczamy przez σ(a) i nazywamy spektrum. 2.2 Promień spektralny Definicja 2.1. Promieniem spektralnym operacji liniowej 1 A nazywamy liczbę rzeczywistą ρ(a) := sup λ. λ σ(a) Uwaga. Powyższa równość definiuje promień spektralny dla dowolnego ograniczonego odwzorowania liniowego na przestrzeni Banacha, gdyż wiadomo że σ(a) jest zbiorem niepustym ([15], str.271). W przypadku skończenie wymiarowym wystarczy przyjąć ρ(a) = max λ i σ(a) λ i. 1 Operacją liniową nazywamy odwzorowanie liniowe ograniczone.

22 2.2 Promień spektralny 18 Lemat 2.2 ([15], str.271). ρ(a) = lim A n 1/n n L. Niech teraz E oznacza dowolną przestrzeń Banacha i niech w przestrzeni E będą dane dwie normy: 1 i 2. Definicja 2.2. Norma 2 jest mocniejsza od normy 1, jeżeli dla każdego x E i każdego ciągu {x n } n=1 E zachodzi implikacja x n x 2 n n 0 = x n x 1 0 Definicja 2.3. Dwie normy są równoważne, jeśli pierwsza z nich jest mocniejsza od drugiej, a druga mocniejsza od pierwszej. Twierdzenie 2.3. Norma 2 jest mocniejsza od normy 1 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje stała a > 0, taka że dla każdego x E. x 1 a x 2, W twierdzeniu o rozmaitości centralnej następujący lemat odgrywa kluczową rolę. Lemat 2.4. Niech A będzie operacją liniową na przestrzeni Banacha E i niech ρ będzie dowolną liczbą większą niż ρ(a). Wówczas istnieje na przestrzeni E norma 1 równoważna z pierwotną, taka że A L,1 ρ. Dowód. Na mocy lematu 2.2 mamy nierówność lim A n 1/n n L < ρ skąd wynika, że A sup n L <. Definiujemy ρ n 0 n A n (x) x 1 := sup. (2.3) n 0 ρ n Przy tej definicji funkcja 1 jest normą oraz spełnione są nierówności: ( ) A n x x 1 sup L x, n 0 ρ n co oznacza, że normy oraz 1 są równoważne. Ponadto mamy A n+1 (x) Ax 1 = sup n 0 ρ n Ponieważ A L,1 A L,1 ρ. A n+1 (x) = ρ sup n 0 ρ n+1 A n (x) = ρ sup ρ x n 1 ρ n 1. jest najmniejszą liczbą spełniającą powyższe szacowanie, więc

23 2.3 Postać kanoniczna Jordana Postać kanoniczna Jordana Niech A będzie rzeczywistą macierzą wymiaru n n. Przy ustalonej bazie macierz ta reprezentuje odwzorowanie liniowe A: R n R n. Niech λ 1, λ 2,..., λ k będą wartościami własnymi A o krotnościach odpowiednio n 1, n 2,..., n k : n i = n. Niech V i := ker(a λ i I) n i. W dalszym ciągu będziemy korzystali z następujących twierdzeń. Twierdzenie 2.5 ([11]). Dla odwzorowania A takiego jak wyżej, zachodzą następujące własności: podprzestrzenie V i są niezmiennicze względem A, tzn. AV i V i ; V i V j = {0} dla i j; dim V i = n i, 1 i k; mamy rozkład R n = k V i. i=1 Twierdzenie 2.6 (postać kanoniczna Jordana, [3]). Dla (n n)-macierzy A istnieje nieosobliwa macierz T, taka że J = T 1 AT jest postaci J 1 J J = 2..., gdzie każda macierz J k ma wymiar n k n k oraz następującą postać: λ k 1 λ k 1 J k = (k = 1,..., s). λ k 1 Liczby λ k, k = 1, 2..., s są wartościami własnymi macierzy A i n 1 +n n s = n. Macierze J k nazywa się klatkami Jordana. λ k J s

24 2.4 Lemat o odwzorowaniu zerowym 20 Uwaga. Jeśli i j oraz λ i jest na diagonali J i, zaś λ j wchodzi w skład klatki J j, to nie oznacza to wcale, że λ i λ j. Jeśli m i oznacza krotność geometryczną 2 wartości własnej λ i, to λ i wchodzi w skład m i klatek J i o wymiarach (n i1 n i1 ),..., (n imi n imi ), przy czym liczba n i n imi = r i oznacza krotność algebraiczną λ i. Może się zdarzyć, że n ip = n iq dla i p i q, 1 p q m i. Przykład 2.1. Przypuśćmy, że (5 5)-macierz A ma jedyną wartość własną λ krotności 5. Wówczas, gdy np. dim E λ = 3, to postać kanoniczna Jordana ma jedną z dwóch możliwych postaci (z dokładnością do permutacji klatek): λ λ λ 1 λ J (1) = 0 λ lub J (2) = λ 1 0. λ 1 0 λ 1 0 λ 0 0 λ 2.4 Lemat o odwzorowaniu zerowym Rozpatrzmy odwzorowania liniowe A: R m R n, B : R m R m oraz C : R n R n. Lemat 2.7. Jeśli AB = CA, to z warunku σ(b) σ(c) = wynika, że A = 0. Dowód. Pokażemy, że Ax = 0 dla każdego wektora bazowego w R m. Ponieważ baza składa się z uogólnionych wektorów własnych odwzorowania B (w przypadku, gdy wartości własne B są jednokrotne baza składa się z wektorów własnych), wystarczy pokazać, że Ax = 0, gdzie x ker(b λi) k, dla pewnych naturalnych 1 k m. Załóżmy, że x 0 jest wektorem własnym B odpowiadającym wartości własnej λ σ(b). Z założenia ABx Aλx = CAx Aλx, co jest równoważne z tym, że 0 = A(B λi)x = (C λi)ax. Ponieważ λ σ(c), więc C λi jest izomorfizmem, a to oznacza, że Ax = 0. Widzimy zatem, że teza zachodzi 2 Krotnością geometryczną wartości własnej λ nazywamy liczbę dim E λ = dim ker(a λi). Liczbę l nazywamy krotnością algebraiczną wartości własnej λ 0 odwzorowania A, jeśli (λ λ 0 ) l dzieli wielomian det(a λi) i jednocześnie det(a λi) nie jest podzielny przez (λ λ 0 ) l+1.

25 2.5 Twierdzenie o homeomorfizmie 21 dla wektorów własnych B (czyli gdy k = 1). Niech teraz x będzie uogólnionym wektorem własnym B odpowiadającym wartości własnej λ krotności k i. Ponieważ prawdziwa jest równość A(B λi) k i x = (C λi) k i Ax więc otrzymujemy z tego samego powodu co poprzednio Ax = Twierdzenie o homeomorfizmie Niech E będzie przestrzenią Banacha. Definicja 2.4. Powiemy, że odwzorowanie ϕ: E E spełnia warunek Lipschitza, jeżeli ϕ(x 1 ) ϕ(x 2 ) Lip(ϕ) := sup x 1 x 2 x 1 x 2 <. Liczbę Lip(ϕ), o ile jest skończona, nazywamy stałą Lipschitza. Uwaga. Lip(ϕ) = inf L { f(x 1, y) f(x 2, y) L x 1 x 2 }. Jeżeli odwzorowanie ϕ: E E spełnia warunek Lipschitza ze stałą Lip(ϕ) < 1, to odwzorowanie ϕ nazywamy kontrakcją. Twierdzenie 2.8 (Banach). Niech D E będzie podzbiorem domkniętym. Jeśli ϕ: D D jest kontrakcją, to ϕ ma dokładnie jeden punkt stały, tzn. istnieje dokładnie jeden x D, taki że ϕ(x) = x. Twierdzenie 2.9 (o homeomorfizmie). Niech A: E E będzie odwracalną operacją liniową i niech ϕ: E E spełnia warunek Lipschitza ze stałą Lip(ϕ) < A 1 1 L. Wówczas odwzorowanie (A + ϕ): E E jest odwracalne oraz Lip ( (A + ϕ) 1) A 1 1 L 1 Lip(ϕ). (2.4)

26 2.5 Twierdzenie o homeomorfizmie 22 Dowód. Aby udowodnić, że A +ϕ jest odwzorowaniem odwracalnym, należy pokazać, że równanie (A + ϕ)(x) = y (2.5) posiada dokładnie jedno rozwiązanie x przy dowolnym y E. Jeśli ϕ 0, to równanie (2.5) posiada dokładnie jedno rozwiązanie, dane przez x 0 = A 1 y. Niech x = x 0 + v, dla pewnego v E. Wówczas równanie (2.5) przyjmuje postać (A + ϕ)(x 0 + v) = y Ax 0 + Av + ϕ(x 0 + v) = y Av + ϕ(x 0 + v) = 0, co jest równoważne poszukiwaniu rozwiązania v równania v = A 1 ϕ(x 0 + v). (2.6) Definiujemy g : E E wzorem g(v) := A 1 ϕ(x 0 + v). Ponieważ g(u) g(v) = A 1 ϕ(x 0 + v) A 1 ϕ(x 0 + u) A 1 L ϕ(x 0 + v) ϕ(x 0 + u) A 1 L Lip(ϕ) u v, więc widzimy, że Lip(g) A 1 L Lip(ϕ) < 1. Na mocy twierdzenia Banacha 2.8 równanie (2.6) posiada dokładnie jedno rozwiązanie v 0 i jednocześnie x = A 1 y + v 0 jest jedynym rozwiązaniem równania (2.5). Druga część tezy wynika z szacowania (A + ϕ)(x 1 ) (A + ϕ)(x 2 ) = A(x 1 x 2 ) + ϕ(x 1 ) ϕ(x 2 ) po podstawieniu x i = (A + ϕ) 1 y i, i = 1, 2. A(x 1 x 2 ) ϕ(x 1 ) ϕ(x 2 ) ( A 1 ) 1 Lip(ϕ) x L 1 x 2

27 2.6 Przestrzeń metryczna C 0, Przestrzeń metryczna C 0,1 Niech C(R p, R q ) będzie przestrzenią Banacha funkcji ciągłych z topologią zbieżności jednostajnej. Zamiast C(R p, R q ) będziemy dalej pisali krótko C. Przypomnijmy, że f C jeśli f jest ciągła oraz f sup := sup x R p f(x) <. Wprowadźmy zbiór C 0,1 C, którego elementami są funkcje u: R p R q, spełniające następujące warunki: (2.6.1) u sup := sup x R p u(x) 1; (2.6.2) dla wszystkich x 1, x 2 R p zachodzi u(x 1 ) u(x 2 ) x 1 x 2 ; (2.6.3) u(0) = 0. Stwierdzenie C 0,1 jest domkniętym podzbiorem C. Dowód. Pokażemy, że jeśli elementy ciągu {u n } n=1 spełniają warunki (2.6.2) i (2.6.3) powyższej definicji, to spełnia je też funkcja u = lim n u n. Załóżmy więc najpierw, że dla wszystkich n N i x 1, x 2 R p mamy u n (x 1 ) u n (x 2 ) x 1 x 2. (2.7) Z założenia wiemy, że dla każdej liczby η > 0 istnieje n 0 N, że dla każdego n n 0 mamy u n (x i ) u(x i ) < η/2, i = 1, 2. Dalej u(x 1 ) u(x 2 ) u(x 1 ) u n0 (x 1 )) + u n0 (x 1 ) u n0 (x 2 ) + u n0 (x 2 ) u(x 2 ) < η + u n0 (x 1 ) u n0 (x 2 ) η + x 1 x 2 Z dowolności η wynika, że u(x 1 ) u(x 2 ) x 1 x 2. Warunek (2.6.3) jest również natychmiast spełniony: u(0) = lim n u n (0) = 0. Widzimy więc, że podzbiór przestrzeni C spełniający powyższe warunki (2.6.2) i (2.6.3) jest domknięty. Wreszcie C 0,1 jest częścią wspólną tego zbioru domkniętego i domkniętej kuli B C 1 (0), a więc jest domknięty. Ponieważ (C, ϱ) jest przestrzenią Banacha, gdzie dostajemy ϱ(u, v) := u v sup Wniosek Zbiór (C 0,1, ϱ C 0,1 C0,1) jest przestrzenią metryczną zupełną.

28 Rozdział 3 Podrozmaitość centralna dla kaskady Będziemy rozpatrywali układ dynamiczny kaskadę (Z, R n, Φ), gdzie Φ: R n R n jest dyfeomorfizmem klasy C k, k 1. W dalszym ciągu musimy poczynić pewne założenia o funkcji Φ, dla której stosuje się twierdzenie o podrozmaitości centralnej. 3.1 Założenia o odwzorowaniu Φ Niech Φ: R n R n i niech zero będzie punktem stałym Φ, tzn. Φ(0) = 0. Oznaczając A := DΦ(0) możemy napisać: Φ(z) = Az + ϕ(z), (3.1) gdzie ϕ = Φ A jest częścią nieliniową i ma następujące własności: ϕ(0) = 0, Dϕ(0) = DΦ(0) A = A A = 0. (3.2) Równości (3.2) implikują, że ϕ(z) = o( z ), innymi słowy co wynika wprost z definicji pochodnej. ϕ(z) lim z 0 z = 0, (3.3) Załóżmy, że zero jest niehiperbolicznym punktem stałym. Z twierdzenia o postaci kanonicznej Jordana wiemy, że istnieje baza w R n, w której pochodna A przyjmuje postać ( ) B 0. 0 C 24

29 3.2 Podrozmaitość centralna niestabilna dla odwzorowań 25 Macierz B jest wymiaru (n c + n u ) (n c + n u ), gdzie n c oznacza sumę krotności wartości własnych, takich że λ = 1 oraz n u jest sumą krotności wartości własnych o tej własności, że λ > 1. Przez n s oznaczamy sumę krotności wartości własnych (n s n s )-macierzy C spełniających warunek λ < 1. Przyjmijmy dla uproszczenia oznaczeń p := n c + n u oraz q := n s. Baza Jordana wyznacza rozkład R n na podprzestrzenie niezmiennicze pochodnej A, generowane przez (uogólnione) wektory własne, odpowiadające wartościom własnym odwzorowań liniowych B i C: R n = R p R q. Ponadto A R p = B oraz A R q = C. Mamy teraz Φ: R p R q R p R q (3.4) i (3.1) przepiszemy w postaci ( ) Φ 1 (x, y) Φ 2 (x, y) ( ) Bx + f(x, y) = Cy + g(x, y) (3.5) gdzie f(x, y) = (ϕ 1 (x, y),..., ϕ p (x, y)) g(x, y) = (ϕ p+1 (x, y),..., ϕ n (x, y)). Z (3.2) wynika, że f(0, 0) = g(0, 0) = 0, jak również Df(0, 0) = Dg(0, 0) = 0 (w dalszym ciągu będziemy zamiennie mówić, że f i g znikają w zerze wraz z pierwszymi pochodnymi). 3.2 Podrozmaitość centralna niestabilna dla odwzorowań Zanim przejdziemy do sformułowania twierdzenia, wprowadzimy pojęcie podrozmaitości niezmienniczej względem odwzorowania x Φ(x), x R n. (3.6) Podrozmaitość centralna jest jej szczególnym przypadkiem.

30 3.2 Podrozmaitość centralna niestabilna dla odwzorowań 26 Definicja 3.1. Podrozmaitość S R n będziemy nazywali niezmienniczą względem odwzorowania (3.6), lub krótko Φ-niezmienniczą, jeżeli dla x 0 S orbita {Φ n (x 0 )} n Z jest zawarta w S. Zbiór S loc nazywamy lokalnie Φ-niezmienniczą podrozmaitością (w otoczeniu punktu x 0 R n ), jeśli istnieje otoczenie U punktu x 0, takie że jeśli x S loc U oraz Φ(x) U, to Φ(x) S loc. Uwaga. W definicji 3.1 zakładamy, że Φ jest odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym. Założenie to poczynimy w twierdzeniu. Jeśli natomiast Φ nie jest odwzorowaniem odwracalnym, to możemy zdefiniować pojęcie Φ-niezmienniczej podrozmaitości w przód warunkiem: jeśli x 0 S, to {Φ n (x 0 )} n 0 S. Przykładem podrozmaitości niezmienniczej w przód jest podrozmaitość stabilna (zob. np. [13], [18], [19]) Twierdzenie globalne Twierdzenie 3.1. Załóżmy, że Φ: R n R n jest dyfeomorfizmem klasy C k, k 1 i spełnione są założenia z paragrafu 3.1. Przyjmijmy α := C L, β := B 1 L i niech ϕ(z) τ 1, Dϕ(z) L τ 2, gdzie τ 1 = 1 α, τ 2 < min{β 1, 1 αβ, 1 α }. Wówczas istnieje Φ-niezmiennicza podrozmaitość 2β 1+β W cu = {(x, ψ(x)) : x R p }, gdzie ψ : R p R q jest odwzorowaniem ciągłym, takim że ψ(0) = 0. Jeśli ponadto założymy, że ψ jest różniczkowalne 1, to Dψ(0) = 0. Dowód. Na mocy lematu 2.4 możemy wybrać takie normy na R p oraz R q, aby α < 1 oraz β < 1/α. (3.7) Dla z = (x, y) R p R q definiujemy normę z := max { x, y }. 1 Przy założeniu, że Φ jest klasy C k, k 1 można wykazać, że ψ jest również klasy C k. Zatem założenie o różniczkowalności zostało wprowadzone ze względów formalnych, gdyż w przedstawionym dowodzie pokazuje się, że ψ jest ciągła.

31 3.2 Podrozmaitość centralna niestabilna dla odwzorowań 27 Rozmaitość, której poszukujemy ma być Φ-niezmiennicza, co oznacza, że odwzorowanie ψ spełnia następujące równanie (Rysunek 3.1): Φ 2 (x, ψ(x)) = ψ(φ 1 (x, ψ(x))). (3.8) Strategia dowodu polega na zamianie równania (3.8) na problem punktu stałego dla odwzorowania przestrzeni C 0,1 w siebie i skorzystaniu z twierdzenia Banacha 2.8. R q (x, ψ(x)) Φ(x, ψ(x)) Φ 2 (x, ψ(x)) = ψ(φ 1 (x, ψ(x))) W cu Φ 1 (x, ψ(x)) R p Rysunek 3.1: Niezmienniczość podrozmaitości W cu Lemat 3.2. Jeśli τ 2 < B 1 1, to dla dowolnego ξ R p i dowolnej funkcji v C 0,1 istnieje dokładnie jeden punkt x R p, spełniający równanie Φ 1 (x, v(x)) = ξ. Innymi słowy, istnieje odwzorowanie Λ: R p C 0,1 R p, takie że Φ 1 (x, v(x)) = ξ x = Λ(ξ, v). (3.9) Ponadto Λ spełnia warunek Lipschitza ze względu na pierwszą zmienną ze stałą L = β(1 βτ 2 ) 1. Dowód. Dla dowolnego v C 0,1 definiujemy F v (x) := f(x, v(x)). Teza lematu jest równoważna z odwracalnością odwzorowania B + F v. Z twierdzenia 2.9 wiemy, że (B + F v ): R p R p jest odwzorowaniem odwracalnym, jeśli tylko

32 3.2 Podrozmaitość centralna niestabilna dla odwzorowań 28 Lip(F v ) < B 1 1. Oszacowanie Lip(F v ) dostajemy z twierdzenia o wartości średniej: F v (x 1 ) F v (x 2 ) = f(x 1, v(x 1 )) f(x 2, v(x 2 )) τ 2 max{ x 1 x 2, v(x 1 ) v(x 2 ) } τ 2 x 1 x 2. (3.10) Ostatnia nierówność wynika z tego, że v C 0,1, czyli v spełnia warunek Lipschitza ze stałą jeden. Ponieważ Lip(F v ) jest najmniejszą stałą spełniającą szacowanie (3.10), więc dostajemy Lip(F v ) τ 2. Odwzorowanie Λ: R p C 0,1 R q definiujemy następująco: Twierdzenie 2.9 daje nam oszacowanie Lip(Λ) Λ(ξ, v) := x. Biorąc pod uwagę definicje (3.7), możemy napisać gdzie βτ 2 < 1 z założenia. Λ(ξ 1, v) Λ(ξ 2, v) 1 B 1 1 Lip(F). (3.11) β 1 βτ 2 ξ 1 ξ 2, (3.12) Lemat 3.2 mówi nam, że przy dowolnym ξ R p i dowolnej funkcji v C 0,1 jedynym rozwiązaniem równania Φ 1 (x, v(x)) = ξ (3.13) jest x = Λ(ξ, v). Wobec tego, możemy zdefiniować odwzorowanie F : C 0,1 C(R p, R q ) wzorem (Fv)(ξ) := Φ 2 (Λ(ξ, v), v(λ(ξ, v))). (3.14) Podrozmaitość W cu jest Φ-niezmiennicza wtedy i tylko wtedy, gdy ψ jest punktem stałym odwzorowania F. Aby skorzystać z twierdzenia Banacha musimy wiedzieć, że F(C 0,1 ) C 0,1 oraz że F jest kontrakcją.

33 3.2 Podrozmaitość centralna niestabilna dla odwzorowań 29 Lemat 3.3. Załóżmy, że α + τ 1 1; αβ + 2βτ 2 1. Wówczas odwzorowanie F przeprowadza C 0,1 w siebie. Dowód. Niech v C 0,1. Odwzorowanie Fv jako złożenie odwzorowania klasy C k, k 1, z odwzorowaniem ciągłym jest ciągłe. Ponieważ Φ 1 (0, v(0)) = 0, więc Λ(0, v) = 0, skąd (Fv)(0) = Φ 2 (Λ(0, v), v(λ(0, v))) = Φ 2 (0, v(0)) = Φ 2 (0, 0) = 0. (Fv)(x) = Cv(Λ(x, v)) + g(λ(x, v), v(λ(x, v))) Cv(Λ(x, v)) + g(λ(x, v), v(λ(x, v))) C L v(λ(x, v)) + g(λ(x, v), v(λ(x, v))) α v sup + τ 1 1 A zatem Fv sup 1. Następnie niech x i = Λ(ξ i, v), i = 1, 2: (Fv)(ξ 1 ) (Fv)(ξ 2 ) Cv(x 1 ) Cv(x 2 ) + g(x 1, v(x 1 )) g(x 2, v(x 2 )) Z oszacowania (3.12) dostajemy C L v(x 1 ) v(x 2 ) + τ 2 max{ x 1 x 2, v(x 1 ) v(x 2 ) } (α + τ 2 ) x 1 x 2 = (α + τ 2 ) Λ(ξ 1, v) Λ(ξ 2, v) (Fv)(ξ 1 ) (Fv)(ξ 2 ) β(α + τ 2) 1 βτ 2 ξ 1 ξ 2, czyli Fv spełnia warunek Lipschitza ze stałą jeden, jeśli β(α + τ 2 ) 1 βτ 2 1. Jest to równoważne z nierównością αβ + 2βτ 2 1.

34 3.2 Podrozmaitość centralna niestabilna dla odwzorowań 30 Lemat 3.4. Jeśli α + τ 2 (1 + β) < 1, to odwzorowanie F jest kontrakcją. Dowód. Przyjmijmy x 1 = Λ(ξ, v 1 ) oraz x 2 = Λ(ξ, v 2 ). Oznacza to, że prawdziwe są równości ξ = Bx 1 + f(x 1, v 1 (x 1 )), ξ = Bx 2 + f(x 2, v 2 (x 2 )). Odejmując je stronami otrzymamy: x 1 x 2 = B 1 (f(x 1, v 1 (x 1 )) f(x 2, v 2 (x 2 ))) B 1 L f(x 1, v 1 (x 1 )) f(x 2, v 2 (x 2 )) βτ 2 max{ x 1 x 2, v 1 (x 1 ) v 2 (x 2 ) }, (3.15) v 1 (x 1 ) v 2 (x 2 ) = v 1 (x 1 ) v 1 (x 2 ) + v 1 (x 2 ) v 2 (x 2 ) v 1 (x 1 ) v 1 (x 2 ) + v 1 (x 2 ) v 2 (x 2 ) x 1 x 2 + (v 1 v 2 )(x 2 ) x 1 x 2 + v 1 v 2 sup. Wstawiając (3.16) do (3.15) otrzymujemy dalej, że x 1 x 2 βτ 2 ( x 1 x 2 + v 1 v 2 sup ), skąd wynika szacowanie Ostatecznie skorzystamy z (3.16) i (3.17): (3.16) x 1 x 2 βτ 2 1 βτ 2 v 1 v 2 sup. (3.17) (Fv 1 )(ξ) (Fv 2 )(ξ) Cv 1 (x 1 ) Cv 2 (x 2 ) + g(x 1, v 1 (x 1 )) g(x 2, v 2 (x 2 )) C L v 1 (x 1 ) v 2 (x 2 ) + τ 2 max{ x 1 x 2, v 1 (x 1 ) v 2 (x 2 ) } ) (α + τ 2 ) ( x 1 x 2 + v 1 v 2 sup (α + τ 2 ) βτ βτ 2 1 βτ 2 v 1 v 2 sup (3.18)

35 3.2 Podrozmaitość centralna niestabilna dla odwzorowań 31 Biorąc obustronnie supremum po ξ R p dostajemy skąd wynika teza. Fv 1 Fv 2 sup α + τ 2 1 βτ 2 v 1 v 2 sup, Na mocy twierdzenia 2.8 odwzorowanie F ma dokładnie jeden punkt stały ū =: ψ C 0,1. Z konstrukcji odwzorowania F wynika, że funkcja ψ spełnia równanie (3.8), czyli zbiór {(x, ψ(x)) : x R p } jest Φ-niezmienniczy. Załóżmy, że ψ jest różniczkowalna. Wykażemy, że Dψ(0) = 0. Różniczkując równość (3.8) względem x otrzymujemy: Φ 2 x (x, y) + Φ ( 2 Φ1 (x, y)dψ(x) = Dψ(x) y x (x, y) + Φ ) 1 (x, y)dψ(x) y Podstawiając (x, y) = (0, 0) wobec równości Φ 1 f (0, 0) = B + x x (0, 0) = B, Φ 2 x Φ 1 f (0, 0) = y y (0, 0) = 0, Φ 2 y mamy CDψ(0) = Dψ(0)B. g (0, 0) = (0, 0) = 0 x g (0, 0) = C + (0, 0) = C y Ponieważ przekrój σ(b) i σ(c) jest pusty, na mocy lematu 2.7 dostajemy Dψ(0) = 0. Wynika stąd równość T 0 W cu = R p Twierdzenie lokalne Twierdzenie 3.5. Niech Φ: R n R n będzie C k -dyfeomorfizmem k 1. Jeśli spełnione są założenia z paragrafu 3.1, to istnieje lokalnie Φ-niezmiennicza podrozmaitość W cu loc = {(x, ψ(x)) R p R q : x R p, x < ε}, gdzie ε > 0 i ψ : R p R q jest odwzorowaniem ciągłym, ψ(0) = 0. Przy założeniu różniczkowalności ψ mamy ponadto Dψ(0) = 0. Definicja 3.2. Podrozmaitość W cu loc, o której mówi twierdzenie 3.5, nazywa się lokalną podrozmaitością centralną niestabilną punktu stałego (0, 0) odwzorowania Φ.

36 3.2 Podrozmaitość centralna niestabilna dla odwzorowań 32 Dowód. Niech ε > 0 oraz χ: R [0, 1] będzie funkcją klasy C taką, że 2 : { 1, dla 0 t 1; χ(t) = 0, dla t 2. Zauważmy, że zarówno χ jak i jej pochodne są funkcjami ograniczonymi ze względu na to, że nośnik supp(χ) 3 jest zbiorem zwartym. Zamiast odwzorowania (3.1) rozpatrzmy odwzorowanie ( ) z ˆΦ(z) = Az + χ ϕ(z), (3.19) ε Z określenia funkcji χ widać, że dla z < ε mamy Φ = ˆΦ, a ponieważ chcemy udowodnić własność lokalną odwzorowania Φ, wystarczy że udowodnimy twierdzenie dla odwzorowania ˆΦ. Zamiast ograniczać się do 2ε-otoczenia zera, wprowadzamy odwzorowanie: z 1 ε ˆΦ(εz), którego część liniowa jest taka sama jak odwzorowania ˆΦ: Φ(z) = 1 ε ˆΦ(εz) = Az + F ε (z), (3.20) gdzie F ε (z) = χ( z ) 1 ϕ(εz). (3.21) ε Globalna podrozmaitość centralna niestabilna odwzorowania Φ jest lokalną podrozmaitością centralną niestabilną odwzorowania Φ. Lemat 3.6. Dla dowolnych τ 1, τ 2 B2 Rn (0) zachodzą szacowania 4 : (a) F ε (z) τ 1 ; > 0 istnieje takie ε > 0, że dla wszystkich z (b) DF ε (z) L τ 2. Dowód. Niech τ 1 > 0 będzie dowolne i niech η = τ 1 /2. Ponieważ ϕ(z) = o( z ), więc dla tak wybranego η istnieje δ > 0, że ϕ(εz) η, jeśli tylko εz δ. Weźmy εz więc takie ε by εz < δ. Mamy F ε (z) = 1 ε χ( z )ϕ(εz) 1 ε ϕ(εz) = z ϕ(εz) εz 2 Tego typu funkcje nazywamy funkcjami cut-off. 3 Nośnikiem funkcji nazywamy zbiór supp(f) := {x : f(x) 0}. 2η = τ 1 4 Tezę można wyrazić w ten sposób, że gdy ε 0, to τ i 0, i = 1, 2. O odwzorowaniu F ε zakładamy oczywiście, że nie jest tożsamościowo równe zeru.

37 3.2 Podrozmaitość centralna niestabilna dla odwzorowań 33 Zwróćmy uwagę, że pochodna DF ε (z) = D [ χ( z ) 1 ε ϕ(εz)] jest reprezentowana przez macierz postaci χ ( z ) z 1 ϕ ε z 1(εz) + χ( z ) ϕ 1 z 1 χ ( z ) z n ϕ ε z 1(εz) + χ( z ) ϕ 1 z n DF ε (z) = χ ( z ) z 1 ϕ ε z n(εz) + χ( z ) ϕ n z 1 χ ( z ) z n ϕ ε z n(εz) + χ( z ) ϕ n z n Upraszczając, można zapisać DF ε (z) = χ ( z ) 1 Γ + χ( z )Dϕ(εz), gdzie εz z 1 ϕ 1 (εz) z n ϕ 1 (εz) Γ = z 1 ϕ n (εz) z n ϕ n (εz) Ze stwierdzenia 2.1 dostajemy szacowanie Γ L 2 ϕ(εz). Zatem DF ε (z) L 2 χ ( z ) ϕ(εz) + χ( z ) Dϕ(εz) εz L 2M ϕ(εz) + Dϕ(εz) εz L. Niech τ 2 > 0 będzie dowolne. Z ciągłości Dϕ(z) oraz z równości Dϕ(0) = 0 możemy dla dowolnej τ 2 > η 1 > 0 dobrać δ 1 > 0 tak, by Dϕ(εz) L η 1, jeśli tylko εz δ 1. Podobnie jak wcześniej, połóżmy η 2 = (τ 2 η 1 )/2M. Wiemy, że ϕ(εz) / εz η 2, o ile εz δ 2. Wybierając zatem ε tak małe, by εz min{δ 1, δ 2 } mamy DF ε (z) L 2Mη 2 + η 1 = τ 2. Ostatni lemat mówi, że przez odpowiedni dobór ε > 0 możemy dowolnie oszacować resztę odwzorowania Φ oraz jej pochodną jednostajnie na całej kuli B Rn 2 (0). Spełnione są zatem wszystkie założenia twierdzenia 3.1, więc istnieje Φ-niezmiennicza podrozmaitość centralna niestabilna. Dokonując przeskalowania z z ε, otrzymujemy globalną podrozmaitość dla odwzorowania ˆΦ: W cu = {(x, ψ(x)) : x R p }. Ponieważ ˆΦ = Φ dla z < ε, więc W cu loc = W cu dla x < ε. Dowód został zakończony.

38 3.3 Istnienie podrozmaitości centralnej Istnienie podrozmaitości centralnej W tym paragrafie sformułujemy i udowodnimy twierdzenie o podrozmaitości centralnej w przypadku kaskady. Dowód opiera się głównie na twierdzeniu 3.5 o istnieniu podrozmaitości centralnej niestabilnej. Przedtem jednak zastosujemy twierdzenie 3.5 do odwzorowania Φ 1. Zauważmy, że odwzorowanie Φ 1 spełnia założenia poprzedniego twierdzenia. Wypiszemy te warunki: Ponieważ Φ jest C k -dyfeomorfizmem, więc Φ 1 jest klasy C k ; Z odwracalności Φ oraz warunku Φ(0) = 0 wynika, że 0 jest również punktem stałym Φ 1 ; Z twierdzenia o funkcji odwrotnej 1.3 wiemy, że DΦ 1 (0) = [DΦ(0)] 1. Ponieważ σ(a 1 ) = {λ 1 : λ σ(a)}, więc A := DΦ 1 (0) posiada n c + n s wartości własnych o module mniejszym bądź równym 1, natomiast n u wartości własnych o module większym od 1. Wniosek 3.7. Twierdzenie 3.5 gwarantuje istnienie lokalnie Φ-niezmienniczej podrozmaitości W cs loc = { (x, ψ(x)) R n : x R nc+ns, x < ε }, gdzie ε > 0 oraz ψ : R n c+n s R n u jest funkcją ciągłą, znikającą w zerze wraz z pierwszą pochodną, o ile tylko jest różniczkowalna (przypis 1, str. 26). Zatem przestrzenią styczną do W cs loc jest podprzestrzeń Rn c+n s. Definicja 3.3. Wloc cs nazywamy lokalną podrozmaitością centralną stabilną punktu stałego (0, 0) odwzorowania Φ. Twierdzenie 3.8 (o podrozmaitości centralnej). Niech Φ: R n R n będzie dyfeomorfizmem klasy C k, k 1. Załóżmy, że Φ(0) = 0; macierz odwzorowania liniowego A := DΦ(0) posiada n c wartości własnych λ, takich że λ = 1 oraz n s + n u wartości własnych o module różnym od 1.

39 3.4 Zasada redukcji 35 Wówczas istnieje lokalnie Φ-niezmiennicza C k -podrozmaitość W c loc = {(ξ, h(ξ)) R n : ξ R n c, ξ < δ}, gdzie δ > 0 oraz h: R nc R ns+nu jest ciągłym odwzorowaniem i ma tę własność, że h(0) = 0 oraz Dh(0) = 0. Definicja 3.4. Wloc c w zerze. nazywamy lokalną podrozmaitością centralną odwzorowania Φ Dowód powyższego twierdzenia jest bezpośrednim zastosowaniem twierdzenia o funkcji uwikłanej. W tym momencie skorzystamy z tego, że funkcje ψ oraz ψ, o których mowa w twierdzeniu 3.5 i wniosku 3.7 są klasy C k, k 1 (przypis 1, str. 26). Dowód. Przez (x, y, z) oznaczymy punkty R n = R n c R n u R n s. Niech Ω := Br Rn (0), gdzie r := min{ε, ε}. Określamy odwzorowanie F : Ω R n u R n s wzorem F (x, y, z) := (y ψ(x, z), z ψ(x, y)) (3.22) Wiemy, że ψ(0, 0) = ψ(0, 0) = 0 oraz Dψ(0, 0) = D ψ(0, 0) = 0, a zatem F (0, 0, 0) = (0, 0). Ponieważ DF (0, 0, 0) = ( ψ (0, 0) x I n u ψ z (0, 0) ψ (0, 0) y I ψ x ) (0, 0) = n s ( 0 I nu I ns więc det[d R nu R nsf(0, 0, 0)] 0 (pochodna w kierunku podprzestrzeni Rnu R ns ) i z twierdzenia o funkcji uwikłanej 1.4 wiemy, że istnieje δ > 0 oraz odwzorowanie h = (h 1, h 2 ): B Rnc δ (0) R nu R ns, takie że F (x, h 1 (x), h 2 (x)) = (0, 0). Ponadto h(0) = (0, 0) i ze wzoru (1.9) dostajemy, że Dh(0) = 0. Definiując W c loc := F 1 (0, 0) dostajemy tezę twierdzenia. ), 3.4 Zasada redukcji Jednym z głównych zastosowań twierdzenia o podrozmaitości centralnej jest redukcja wymiaru w jakościowym badaniu układów dynamicznych. Mówią o tym następujące twierdzenia, których dowody pomijamy. Twierdzenia pochodzą z pozycji [10]. Dowód twierdzenia 3.10 można znaleźć w [4], str. 21.

40 3.5 Uwaga na temat gładkości 36 Twierdzenie 3.9 (zasada redukcji). Rozważmy przekształcenie Φ: R n R n postaci ( ) ( ) x Bx + f(x, y) Φ:, (3.23) y Cy + g(x, y) gdzie x R nc, y R nu+ns oraz wszystkie n c wartości własnych macierzy B leży na S 1 : λ = 1, podczas gdy n u + n s wartości własnych macierzy C spełnia warunek λ = 1. Odwzorowania f i g znikają w zerze wraz z pierwszymi pochodnymi. Wówczas odwzorowanie Φ jest w otoczeniu zera lokalnie topologicznie sprzężone z odwzorowaniem Φ: R n R n postaci ( ) ( ) x Bx + f(x, h(x)) Φ:, (3.24) y Cy gdzie h: B Rn c δ (0) R n u+n s jest parametryzacją podrozmaitości centralnej (twierdzenie 3.8). Twierdzenie Załóżmy, że x = 0 jest stabilnym punktem stałym zawężenia odwzorowania (3.23) do podrozmaitości centralnej: x Bx + f(x, h(x)), x R n c (3.25) oraz niech n u = 0, tzn. wszystkie wartości własne macierzy C leżą wewnątrz koła jednostkowego. Wówczas punkt (x, y) = (0, 0) jest stabilnym punktem stałym odwzorowania (3.23). 3.5 Uwaga na temat gładkości Nawet gdy odwzorowanie Φ jest analityczne, to na ogół nie istnieje podrozmaitość centralna klasy C. Ilustrujący ten fakt poniższy przykład pochodzi od holenderskiego matematyka van Strien a. Przykład 3.1 ([17]). Rozważmy jednoparametrową rodzinę odwzorowań płaszczyzny Φ λ (x, y) := (λx, 2y + ϕ(x)), (3.26) gdzie ϕ jest analityczną funkcją w otoczeniu zera, ϕ(0) = ϕ (0) = 0 oraz ϕ nie jest wielomianem. Rodzinę odwzorowań Φ λ możemy zastąpić jednym, trójwymiarowym