Rozdział 9. Optyka geometryczna

Transkrypt

1 Rozdział 9. Optyka geometryczna 206

2 Spis treści Optyka geometryczna i falowa - wstęp Widzenie barwne Odbicie i załamanie Prawo odbicia i załamania Zasada Fermata Optyka geometryczna dla soczewek Warunki stosowalności optyki geometrycznej

3 Optyka geometryczna i falowa - wstęp Promieniowanie świetlne, o którym będziemy mówić jest pewnym, niewielkim wycinkiem widma elektromagnetycznego wyróżnionym przez fakt, że oko ludzkie reaguje na ten zakres promieniowania. ZADANIE Zadanie : Zakres światła widzialnego Treść zadania: Spróbuj podać zakres długości fal jaki obejmuje światło widzialne. Jakim barwom odpowiadają różne długości fal z tego zakresu? Rozwiązanie: Światło widzialne to promieniowanie eletromagnetyczne o długościach fal ok nm Jeżeli rozwiązałeś powyższe zadanie możesz porównać ten wynik z przedstawioną na Rys.? względną czułością oka ludzkiego. Rysunek : Maksimum czułości oka ludzkiego przypada dla barwy zielono-żółtej dla λ = 550 nm. Więcej o widzeniu barwnym możesz przeczytać w module Widzenie barwne. Widzenie barwne Obraz w oku powstaje na siatkówce oka. Światło po przejściu przez soczewkę pada na znajdujące się w siatkówce komórki wrażliwe na światło - fotoreceptory. Są dwa podstawowe rodzaje fotoreceptorów: pręciki i czopki. Pręciki rejestrują zmiany jasności, a dzięki czopkom możemy rozróżnić kolory. Pręcik są bardziej czułe na światło niż czopki. W nocy gdy jest ciemno, komórki odpowiedzialne za widzenie barwne (czopki) nie są stymulowane. Reagują jedynie pręciki. Dlatego o zmierzchu wszystko wydaje się szare. W oku znajdują się trzy rodzaje czopków, które są wrażliwe na trzy podstawowe barwy widmowe: czerwoną, zieloną i niebieską. W zależności od stopnia stymulacji poszczególnych rodzajów czopków widzimy określony kolor, który można przedstawić jako kombinację tych trzech podstawowych barw. Barwę białą zobaczymy, gdy wszystkie trzy rodzaje czopków podrażnione będą jednakowo silnie.

4 Okazuje się, że czopki w największym stopniu pochłaniają żółtozielone światło o długości fali około 550 nanometrów i dlatego właśnie oko ludzkie najsilniej reaguje na światło o tej długości fali. Jednak odbiór konkretnej barwy uzależniony jest od czułości poszczególnych czopków, a ich czułość jest uzależniona od fizjologicznych cech poszczególnych osób więc każdy człowiek te same barwy odbiera trochę inaczej. INFORMACJA DODATKOWA Informacja dodatkowa : RGB Na zakończenie warto wspomnieć, że naturalny sposób widzenia kolorowego RGB (od angielskiego Red - czerwony, Green - zielony, Blue - niebieski) został wykorzystany w konstrukcji monitorów. Najczęściej w kineskopach stosuje się warstwę luminoforu składającą się z trójek punktów lub pasków, które pobudzone strumieniem elektronów świecą w trzech barwach podstawowych: czerwonej, zielonej, niebieskiej (RGB). PODSUMOWANIE Podsumowanie : Nasze oczy przekształcają promieniowanie elektromagnetyczne fal świetlnych w sygnały elektryczne, które trafiają do ośrodków wzrokowych mózgu, gdzie są przekształcane w trójwymiarowy, kolorowy obraz. Odbicie i załamanie Wiemy już, że światło rozchodzi się w próżni z prędkością c. Natomiast, jak pokazują wyniki doświadczeń, w ośrodkach materialnych prędkość światła jest mniejsza. Jeżeli w jednorodnym ośrodku światło przebędzie w czasie t drogę l = vt to droga l jaką w tym samym czasie światło przebyłoby w próżni wynosi l l = ct = c = v nl () gdzie n = c v (2)

5 nosi nazwę bezwzględnego współczynnika załamania. Natomiast iloczyn drogi geometrycznej l i współczynnika załamania n nosi nazwę drogi optycznej. Poniżej w tabeli? podane zostały bezwzględne współczynniki załamania wybranych substancji. Bezwzględne współczynniki załamania wybranych ośrodków (dla λ = 589 nm - żółte światło sodu) Ośrodek Współczynnik załamania powietrze.003 woda.33 alkohol etylowy.36 kwarc topiony.46 szkło zwykłe.52 szafir.77 diament 2.42 Tabela W nagłówku powyższej tabeli podano dla jakiej fali zostały wyznaczone współczynniki załamania. Jest to ważna informacja bo, jak pokazuje doświadczenie, prędkość fali przechodzącej przez ośrodek zależy od częstotliwości światła. Zjawisko to nazywamy dyspersją światła. Dla większości materiałów obserwujemy, że wraz ze wzrostem częstotliwości fali świetlnej maleje jej prędkość czyli rośnie współczynnik załamania (Rys. 2). Prawo odbicia i załamania Jeżeli światło pada na granicę dwóch ośrodków, to ulega zarówno odbiciu na powierzchni granicznej, jak i załamaniu przy przejściu do drugiego ośrodka tak, jak pokazano to na Rys. 2? dla powierzchni płaskiej. Na Rys. 2? pokazana jest też dyspersja światła; promień niebieski jest bardziej załamany niż czerwony. Światło białe, złożone z fal o wszystkich długościach z zakresu widzialnego, uległo rozszczepieniu to jest rozdzieleniu na barwy składowe. Na rysunku pokazano promienie świetlne tylko dla dwu skrajnych barw niebieskiej i czerwonej. Rysunek 2: Odbicie i załamanie światła białego na granicy dwóch ośrodków (n 2 >n ) Odbiciem i załamaniem rządzą dwa następujące prawa: PRAWO Prawo : Prawo odbicia Promień padający, promień odbity i normalna do powierzchni granicznej wystawiona w punkcie padania promienia leżą w jednej płaszczyźnie i kąt padania równa się kątowi odbicia α = α 2.

6 PRAWO Prawo 2: Prawo załamania Stosunek sinusa kąta padania do sinusa kąta załamania jest równy stosunkowi bezwzględnego współczynnika załamania ośrodka drugiego n 2 do bezwzględnego współczynnika załamania ośrodka pierwszego n, czyli współczynnikowi względnemu załamania światła ośrodka drugiego względem pierwszego. sinα sinβ n 2 n n 2, = = (3) lub sinα sinβ n 2 v n v 2 = = (4) gdzie skorzystaliśmy z definicji bezwzględnego współczynnika załamania n = c/v. Powyższe prawa dotyczące fal elektromagnetycznych można wyprowadzić z równań Maxwella, ale jest to matematycznie trudne. Można też skorzystać z prostej (ale ważnej) zasady odkrytej w XVII w. przez Fermata. Więcej o zasadzie Fermata możesz przeczytać w module Zasada Fermata.

7 ZADANIE Zadanie 2: Przejście światła przez transparentną płytkę Treść zadania: Prześledź bieg promienia świetlnego padającego pod kątem α na umieszczoną w powietrzu prostopadłościenną szklaną płytkę wykonaną ze szkła o współczynniku załamania n tak, jak pokazano na Rys. 3?. Korzystając z prawa załamania, oblicz kąt γ pod jakim promień opuszcza płytkę. Rysunek 3: Przebieg promienia światła (przykład do zadania) γ = Rozwiązanie: Dane: kąt padania α, współczynnik załamania szkła n szkła = n, współczynnik załamania powietrza n powietrza =. Rysunek 4: Rozwiązanie przebiegu promienia światła Promień padający na granicę ośrodków pod kątem α załamuje się pod kątem β i pod takim kątem pada na drugą ściankę płytki to jest na drugą granicę ośrodków. Tutaj załamuje się pod kątem γ. Zgodnie z prawem załamania dla promienia wchodzącego do płytki na granicy ośrodków zachodzi związek sinα sinβ n = = n (5) a dla promienia wychodzącego z płytki sinβ sinγ = n (6) Z porównania powyższych wzorów wynika, że kąty α i γ są identyczne α = γ. Promień przechodząc przez płaską płytkę ulega równoległemu przesunięciu.

8 ZADANIE Zadanie 3: Przejście światła przez pryzmat Treść zadania: Podobnie, jak w poprzednim zadaniu, promień światła załamuje się dwukrotnie tym razem przechodzący przez równoboczny pryzmat, pokazany na Rys. 5?. Promień biegnie początkowo równolegle do podstawy pryzmatu, a opuszcza go pod kątem γ. Oblicz ten kąt wiedząc, że pryzmat jest wykonany z materiału o współczynniku załamania n =.5. γ = Rysunek 5: Przebieg promienia światła (przykład do zadania) Rozwiązanie: Dane: współczynnik załamania szkła n szkła =.5, współczynnik załamania powietrza n powietrza =. Rysunek 6: Rozwiązanie przebiegu promienia światła Zgodnie z Rys. 6? promień padający na pryzmat załamuje się pod kątem β, a następnie pada na drugą ściankę pryzmatu pod kątem 60º β. Ponieważ promień biegnie początkowo równolegle do podstawy pryzmatu to kąt padania α = 30º. Zgodnie z prawem załamania sinα sinβ n szkła = =.5 n powietrza (7) oraz sin( 60 β) sinγ n powietrza n szkła.5 = = (8) Podstawiając α = 30º i rozwiązując układ powyższych równań, otrzymujemy sin γ = skąd γ = 77.º. Omawiając odbicie i załamanie, ograniczyliśmy się do fal płaskich i do płaskich powierzchni. Uzyskane wyniki stosują się jednak do bardziej ogólnego przypadku fal kulistych. Stosują się również do kulistych powierzchni odbijających - zwierciadeł kulistych i kulistych powierzchni załamujących - soczewek. Te ostatnie mają szczególne znaczenie ze względu na to, że stanowią część układu optycznego oka i wielu przyrządów optycznych takich jak, np. lupa, teleskop, mikroskop. Przystępna demonstracja prawa odbicia i załamania została zamieszczona poniżej:

9 Zasada Fermata Zasadę Fermata formułujemy w następujący sposób: ZASADA Zasada : Zasada Fermata Promień świetlny biegnący z jednego punktu do drugiego przebywa drogę, na której przebycie trzeba zużyć w porównaniu z innymi, sąsiednimi drogami, minimum albo maksimum czasu. Zasada ta wyjaśnia prostoliniowy bieg światła w ośrodku jednorodnym bo linia prosta odpowiada minimum drogi, a tym samym i minimum czasu. Właśnie z tej zasady można wyprowadzić prawa odbicia i załamania. Na Rys. 7? poniżej są przedstawione dwa punkty A i B oraz łączący je promień APB, który odbija się od powierzchni granicznej w punkcie P. Rysunek 7: Promień wychodzący z punktu A po odbiciu w punkcie P trafia do punktu B

10 Całkowita długość drogi promienia wynosi l = a 2 + x 2 + b 2 + (d x) 2 (9) gdzie x jest zmienną zależną od położenia punktu P (punkt odbicia promienia). Zgodnie z zasadą Fermata punkt P (zmienną x) wybieramy tak, żeby czas przebycia drogi APB był minimalny (lub maksymalny, lub niezmieniony). Matematycznie oznacza to warunek dl dx = 0 (0) więc otrzymujemy dl dx = ( + 2x + [ + (d x 2(d x)( ) = 0 2 a2 x 2 ) /2 2 b2 ) 2 ] /2 () a po przekształceniu x a 2 + x 2 = d x b 2 +(d x) 2 (2) Porównując z Rys. 7? widzimy, że jest to równoważne zapisowi sin α = sinα 2 α = α 2 (3) (4) co wyraża prawo odbicia. Podobnie postępujemy w celu wyprowadzenia prawa załamania. Rozpatrzmy sytuację przedstawioną na Rys. 8?. Rysunek 8: Promień wychodzący z punktu A po załamaniu w punkcie P na granicy ośrodków trafia do punktu B Czas przelotu z A do B przez punkt P jest dany jest wzorem l t = l + 2 v v 2 (5) Uwzględniając, że n = c/v możemy przepisać to równanie w postaci n l + n 2 l 2 c t = = l c (6) Wyrażenie w liczniku l = n l + n 2 l 2 jest drogą optyczną promienia. Ponownie dobieramy zmienną x (położenie punktu P), tak aby droga l była minimalna czyli, aby dl/dx = 0. Ponieważ droga optyczna jest równa l = n l + n 2 l 2 = n a 2 + x 2 + n 2 b 2 + (d x) 2 (7) więc otrzymujemy dl dx = ( + 2x + [ + (d x 2(d x)( ) = 0 2 n a 2 x 2 ) /2 2 n 2 b 2 ) 2 ] /2 (8)

11 a po przekształceniu n x a 2 + x 2 = d x n 2 b 2 +(d x) 2 (9) Porównując ten wynik z Rys. 8? otrzymujemy n sinα = n 2 sinβ (20) co jest prawem załamania. Optyka geometryczna dla soczewek Soczewkami nazywamy ciała przeźroczyste ograniczone dwoma powierzchniami o promieniach krzywizn R i R 2. Nasze rozważania własności optycznych soczewek ograniczymy do soczewek cienkich to znaczy takich, których grubość jest znacznie mniejsza od promieni krzywizn R i R 2 powierzchni ograniczających soczewkę. Ponadto zakładamy, że promienie świetlne padające na soczewkę tworzą małe kąty z osią soczewki to jest prostą przechodząca przez środki krzywizn obu powierzchni. Takie promienie (prawie prostopadłe do powierzchni soczewki) leżące w pobliżu osi soczewki nazywamy promieniami przyosiowymi. Z wyjątkiem promienia biegnącego wzdłuż osi soczewki, każdy promień przechodzący przez soczewkę ulega dwukrotnemu załamaniu na obu powierzchniach soczewki. Jeżeli przy przejściu przez soczewkę promienie równoległe do osi soczewki zostają odchylone w stronę tej osi, to soczewkę nazywamy skupiającą, a jeżeli odchylają się od osi, soczewka jest rozpraszająca. Soczewka skupiająca odchyla promienie równoległe w taki sposób, że są one skupiane w punkcie F, w odległości f od soczewki. Punkt F nosi nazwę ogniska, a odległość f nazywamy ogniskową soczewki. Na Rys. 9? pokazany jest sposób wyznaczania położenia obrazu przedmiotu rozciągłego (strzałki). W celu jego wyznaczenia rysujemy promień równoległy do osi soczewki. Promień ten po przejściu przez soczewkę przechodzi przez ognisko F. Drugi promień przechodzi przez środek soczewki i nie zmienia swojego kierunku. Jeżeli obraz powstaje w wyniku przecięcia się tych promieni, to taki obraz nazywamy rzeczywistym (zob. Rys. 9?a). Natomiast gdy promienie po przejściu przez soczewkę są rozbieżne, to obraz otrzymujemy z przecięcia się promieni przedłużonych i taki obraz nazywamy pozornym (zob. Rys. 9?b). Rysunek 9: Powstawanie obrazu w soczewce skupiającej: a) rzeczywistego, b) pozornego Bieg promienia świetlnego w soczewce zależy od kształtu soczewki tzn. od R i R 2, od współczynnika załamania n materiału z jakiego wykonano soczewkę oraz od współczynnika załamania n o ośrodka, w którym umieszczono soczewkę. Ogniskowa soczewki jest dana równaniem: f n n o R R 2 = ( ) ( + ) (2) Przy opisie soczewek przyjmujemy konwencję, że promienie krzywizn wypukłych powierzchni są wielkościami dodatnimi, a promienie krzywizn wklęsłych powierzchni są wielkościami ujemnymi; powierzchni płaskiej przypisujemy nieskończony promień krzywizny. Gdy ogniskowa jest dodatnia f > 0 to soczewka jest skupiająca, a gdy f < 0 to soczewka jest rozpraszająca. Odległość x przedmiotu od soczewki i odległość y obrazu od soczewki (zob. Rys. 9?) są powiązane równaniem dla cienkich soczewek + =

12 x y + = f (22) a powiększenie liniowe obrazu jest dane wyrażeniem h h y x P = = (23) Przyjmuje się umowę, że odległości obrazów pozornych od soczewki są ujemne. Odwrotność ogniskowej soczewki D = /f nazywa się zdolnością zbierającą soczewki. UWAGA Uwaga : Jednostki Jednostką zdolności zbierającej soczewki jest dioptria (D); D = /m. Dla układu blisko siebie leżących soczewek ich zdolności skupiające dodają się D = D + D 2 (24) Wszystkie powyżej podane związki są prawdziwe dla cienkich soczewek i dla promieni przyosiowych. Tymczasem dla soczewek w rzeczywistych układach optycznych mamy do czynienia z aberracjami to jest ze zjawiskami zniekształcającymi obrazy i pogarszającymi ich ostrość. Przykładem takiego zjawiska jest aberracja sferyczna. Polega ona na tym, że w miarę oddalania się od osi zwierciadła promienie zaczynają odchylać się od ogniska. W ten sposób zamiast otrzymać obraz punktowy (jak dla promieni przyosiowych) otrzymujemy obraz rozciągły (plamkę). Inną wadą soczewek jest aberracja chromatyczna. Jest na związana ze zjawiskiem dyspersji. Światło o różnych barwach (różnych częstotliwościach) ma różne prędkości, więc i różne współczynniki załamania w szkle, z którego zrobiono soczewkę. W konsekwencji różne barwy są różnie ogniskowane i obraz białego punktu jest barwny. Te jak i jeszcze inne wady soczewek można korygować, stosując zestawy soczewek oraz wykonując soczewki o odpowiednich krzywiznach i z materiału o odpowiednim współczynniku załamania.

13 Warunki stosowalności optyki geometrycznej W module Prawo odbicia i załamania zakładaliśmy, że energia świetlna rozprzestrzenia się wzdłuż linii prostych. Posługiwanie się pojęciem promienia świetlnego było przydatne do opisu tych zjawisk, ale nie możemy się nim posłużyć przy opisie ugięcia światła. Żeby to sprawdzić, prześledźmy zachowanie fali płaskiej padającej na szczeliny o różnej szerokości. To zachowanie jest przedstawione schematycznie na Rys. 0? poniżej dla szczelin o szerokości a = 5 λ, a = 3 λ oraz a = λ. Rysunek 0: Ugięcie fali na szczelinach o różnej szerokości Widzimy, że światło padające na szczelinę ulega ugięciu. Wiązka staje się rozbieżna i nie możemy wydzielić z niej pojedynczego promienia metodą zmniejszania szerokości szczeliny tym bardziej, że ugięcie staje się coraz bardziej wyraźne, gdy szczelina staje się coraz węższa ( a/λ 0). W tym zjawisku ujawnia się falowa natura światła. To ugięcie jest charakterystyczne dla wszystkich rodzajów fal. Dzięki temu możemy, np. słyszeć rozmowę (fale głosowe) znajdując się za załomem muru. Ugięcie fal na szczelinie (albo na przeszkodzie) wynika z zasady Huygensa (zob. moduł Zasada Huygensa). Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie Data generacji dokumentu: :58:49 Oryginalny dokument dostępny pod adresem: