= sin. = 2Rsin. R = E m. = sin

Transkrypt

1

2 Natężenie światła w obrazie dyfrakcyjnym Autorzy: Zbigniew Kąkol, Piotr Morawski Chcemy teraz znaleźć wyrażenie na rozkład natężenia w całym ekranie w funkcji kąta θ. Szczelinę dzielimy na N odcinków i każdy z nich traktujemy jak źródło zaburzenia falowego. Zakładamy, że dla małych kątów θ zaburzenia falowe docierające do punktu P z różnych miejsc szczeliny mają jednakowe amplitudy E 0. Wtedy w punkcie P dodaje się N wektorów natężenia pola elektrycznego E o tej samej amplitudzie E 0 i tej samej częstości. Różnica faz między falami pochodzącymi z sąsiednich odcinków szczeliny wynosi. Szukamy zatem zaburzenia wypadkowego dla różnych punktów P, to jest dla różnych kątów θ, co równocześnie odpowiada różnym wartościom. Skorzystamy tu z graficznej metody dodawania amplitud zaburzeń falowych. W tej metodzie każdej fali odpowiada wektor (nazywany wskazem), którego długość reprezentuje amplitudę fali, a kąt względem osi x fazę. Amplitudę wypadkową fali znajdujemy jako sumę wektorów amplitud (wskazów) uwzględniając tym samym amplitudy fal składowych jak i różnice faz między falami. Na Rys. 1 poniżej jest przedstawiona konstrukcja geometryczna, za pomocą której obliczymy natężenie światła w przypadku dyfrakcji na jednej szczelinie. Rysunek 1: Graficzne dodawanie wektorów amplitud w przypadku dyfrakcji na jednej szczelinie Łuk okręgu jest utworzony z wektorów amplitud fal pochodzących z N elementarnych źródeł w szczelinie. Długość łuku wynosi E m czyli jest równa maksymalnej amplitudzie w środku obrazu dyfrakcyjnego (linia prosta strzałek). Kąt ϕ w dolnej części rysunku przedstawia różnicę fazy między skrajnymi wektorami w łuku to znaczy ϕ jest różnicą faz pomiędzy promieniami wychodzącymi z góry i dołu szczeliny. Z Rys. 1 widać, że zachodzi związek R/ = sin (1) skąd = Rsin () W mierze łukowej kąt = E m /R więc R = E m (3) Podstawiając tę zależność do równania ( ), otrzymujemy E m = sin / (4) lub

3 E m = sin (5) gdzie = ϕ /. Wektory na Rys. 1 odpowiadają amplitudom pola elektrycznego. Żeby otrzymać natężenie światła trzeba amplitudy podnieść do kwadratu, więc na podstawie równania ( 5 ) otrzymujemy sin I θ = ( ) (6) Jak widzimy, w przeciwieństwie do obrazu interferencyjnego, natężenia kolejnych maksimów dyfrakcyjnych nie są jednakowe. Ponieważ ϕ jest różnicą faz dla promieni wychodzących z brzegów szczeliny o szerokości a, więc różnica dróg jakie przebywają te promienie do punktu P wynosi asin θ. Korzystając z relacji różnica faz π = różnica dróg λ (7) otrzymujemy πa λ = = sinθ (8) Łącząc równania ( 6 ) i ( 9 ), możemy obliczyć natężenie światła dla obrazu dyfrakcyjnego otrzymanego dla pojedynczej szczeliny. Widzimy, że natężenie I θ przyjmuje wartości minimalne dla = mπ, m = 1,, 3,... (9) Podstawiając tę zależność do równania ( 8 ) otrzymujemy wynik zgodny z uzyskaną poprzednio zależnością Dyfrakcja na pojedyńczej szczelinie-( ). Podobnie jest z wartościami maksymalnymi natężenia, które otrzymujemy dla 1 = (m + )π, m = 1,, 3,... (10) Na Rys. przedstawiono rozkład natężenia światła (krzywe I θ) w funkcji położenia na ekranie (kąta θ) dla różnych szerokości szczeliny (w stosunku do długości fali λ). Rysunek : Natężenie światła w obrazie dyfrakcyjnym pojedynczej szczeliny ZADANIE

4 Zadanie 1: Stosunek natężeń maksimów dyfrakcyjnych Treść zadania: Jak widzieliśmy na Rys. natężenia kolejnych maksimów w obrazie dyfrakcyjnym nie są jednakowe. Oblicz stosunek natężeń trzech kolejnych maksimów do natężenia maksimum środkowego w obrazie dyfrakcyjnym dla pojedynczej szczeliny. Wskazówka: Skorzystaj z warunku na maksimum (dla m = 1,, 3) i wyrażenia ( 6 ) na natężenie światła. I θ / m = 1 m = m = 3 Tabela 1: Tabela do zadania ROZWIĄZANIE: Dane: m = 1,, 3. Natężenie światła obliczamy ze wzoru ( 6 ) sin I θ = ( ) przy czym maksimum natężenia otrzymujemy dla 1 = (m + )π, m = 1,, 3,... Dla m = 1 otrzymujemy = 3 π / oraz = Dla m = otrzymujemy = 5 π / oraz = Dla m = 3 otrzymujemy = 7 π/ I oraz θ = Okazuje się, że natężenia kolejnych maksimów maleją bardzo szybko i stanowią odpowiednio 4.5%, 1.6% i 0.8% natężenia maksima środkowego. I θ I θ

5 Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie Czas generacji dokumentu: :46:3 Oryginalny dokument dostępny pod adresem: link=cfedf8b696ed57c ba008c0 Autor: Zbigniew Kąkol, Piotr Morawski