Cechy X, Y są dowolnego typu: Test Chi Kwadrat niezależności. Łączny rozkład cech X, Y jest normalny: Test współczynnika korelacji Pearsona

Transkrypt

1 Badanie zależności między cechami Obserwujemy dwie cechy: X oraz Y Obiekt (X, Y ) H 0 : Cechy X oraz Y są niezależne Próba: (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) Cechy X, Y są dowolnego typu: Test Chi Kwadrat niezależności Łączny rozkład cech X, Y jest normalny: Test współczynnika korelacji Pearsona Cechy X, Y są typu ciągłego: Test współczynnika korelacji rangowej Spearmana Test współczynnika korelacji rangowej Kendalla W Z Statystyka 7.1

2 Test Chi Kwadrat niezależności (poziom istotności α) Statystyka testowa Klasy Klasy cechy X cechy Y m 1 n 11 n n 1m 2 n 21 n n 2m k n k1 n k2... n km χ 2 emp = k i=1 m j=1 (n ij n t ij )2 n t ij n t ij = n i n j N, N = k i=1 m j=1 n ij n i = m n ij, n j = j=1 k i=1 n ij Jeżeli χ 2 emp > χ 2 (α; (k 1)(m 1)), to hipotezę H 0 odrzucamy W Z Statystyka 7.2

3 Przykład. W celu zbadania istnienia związku między wykształceniem (X) a zarobkami (Y ) wylosowano 950 osób. Uzyskano następujące dane podstawowe średnie wyższe ponad wyższe (W 1 ) (W 2 ) (W 3 ) (W 4 ) (Z 1 ) (Z 2 ) (Z (Z 4 ) (Z 5 ) Czy powyższe świadczą o istnieniu zależności między wykształceniem i zarobkami? Populacja Cechy X, Y para cech (wykształcenie, zarobki) Założenia obie cechy traktowane są jakościowo W Z Statystyka 7.3

4 Formalizacja W celu uzyskania odpowiedzi na postawione pytanie formułowana jest hipoteza o wzajemnej niezależności wykształcenia i zarobków H 0 : cechy X oraz Y są niezależne Technika statystyczna Test chi kwadrat niezależności poziom istotności α = 0.05 Obliczenia Zbadano łącznie N = 950 osób Liczebności brzegowe: n 1 = = 202 n 2 = 158, n 3 = 190, n 4 = 183, n 5 = 217 n 1 = = 200 n 2 = 248, n 3 = 254, n 4 = 248. W Z Statystyka 7.4

5 W 1 W 2 W 3 W 4 Z 1 n 11 =21 n 12 =41 n 13 =93 n 14 =47 n 1 =202 Z 2 n 21 =33 n 22 =37 n 23 =35 n 24 =53 n 2 =158 Z 3 n 31 =45 n 32 =75 n 33 =27 n 34 =43 n 3 =190 Z 4 n 41 =30 n 42 =48 n 43 =50 n 44 =55 n 4 =183 Z 5 n 51 =71 n 52 =47 n 53 =49 n 54 =50 n 5 =217 n 1 =200 n 2 =248 n 3 =254 n 4 =248 N=950 W Z Statystyka 7.5

6 Liczebności teoretyczne: n t 11 = n 1 n 1 N n t 43 = n 4 n 3 N = = = = dla wszystkich dwu- Wyznaczenie (n ij n t ij )2 /n t ij dziestu kombinacji i, j. (n 11 n t 11) 2 n t 11 = ( ) = (n 43 n t 43) 2 n t 43 = ( ) = W Z Statystyka 7.6

7 W 1 W 2 W 3 W 4 Z 1 n t 11 = nt 12 = nt 13 = nt 14 = Z 2 n t 21 = nt 22 = nt 23 = nt 24 = Z 3 n t 31 = nt 32 = nt 33 = nt 34 = Z 4 n t 41 = nt 42 = nt 43 = nt 44 = Z 5 n t 51 = nt 52 = nt 53 = nt 54 = W Z Statystyka 7.7

8 W 1 W 2 W 3 W 4 Z Z Z Z Z W Z Statystyka 7.8

9 Wartość statystyki testowej χ 2 emp = Wartość krytyczna χ 2 (0.05; 12) = Odpowiedź Hipotezę odrzucamy Wniosek Stwierdzamy istnienie zależności między wykształceniem i zarobkami W Z Statystyka 7.9

10 (X, Y ) ma dwuwymiarowy rozkład ciągły Współczynnik korelacji rangowej Spearmana Współczynnik korelacji rangowej Kendalla Rangi Próba: Rangi: W Z Statystyka 7.10

11 (X, Y ) ma dwuwymiarowy rozkład ciągły H 0 : Cechy X oraz Y są niezależne Test współczynnika korelacji rangowej Spearmana (poziom istotności α) Obserwacje: (X i, Y i ), i = 1,..., n Obserwacjom X i nadajemy rangę R i Obserwacjom Y i nadajemy rangę Q i Otrzymujemy pary liczb naturalnych (R i, Q i ) Statystyka testowa r emp = 1 6 n(n 2 1) n (R i Q i ) 2 i=1 Wartość krytyczna r(α; n) (dwustronna) współczynnika korelacji Spearmana Jeżeli r emp > r(α; n), to hipotezę H 0 odrzucamy Jeżeli w tablicach podane są jednostronne wartości krytyczne, to należy stosować r(α/2; n) W Z Statystyka 7.11

12 Test współczynnika korelacji rangowej Kendalla (poziom istotności α) Obserwacje: (X i, Y i ), i = 1,..., n. Pary porządkujemy według wzrastających wartości X-ów: (X (1), Y 1 ),..., (X (n), Y n ), X (1) < < X (n). Niech s i w których Yj Statystyka testowa będzie liczbą tych par (X (j), Y i > Y i. t emp = 4 n i=1 s i n(n 1) 1 ), j > i, Wartość krytyczna t(α; n) (dwustronna) współczynnika korelacji Kendalla Jeżeli t emp > t(α; n), to hipotezę H 0 odrzucamy. Jeżeli w tablicach podane są jednostronne wartości krytyczne, to należy stosować t(α/2; n) W Z Statystyka 7.12

13 Przykład. X wyniki pierwszego testu inteligencji Y wyniki drugiego testu inteligencji H 0 : X oraz Y są niezależne Test współczynnika korelacji rangowej Spearmana (α = 0.05) Obserwacje: (502, 564)(678, 787)(727, 851)(724, 767)(930, 789) (576, 722)(527, 585)(705, 739)(737, 865)(714, 768) (999, 901)(955, 922)(529, 444)(603, 492)(858, 809) (825, 951)(504, 616)(646, 635)(663, 574)(582, 573) r emp = 1 = 1 6 n(n 2 1) n (R i Q i ) 2 i= = (400 1) Wartość krytyczna r emp > = odrzucamy hipotezę H 0 Ze względu na dodatniość współczynnika korelacji można wyprowadzić ostrożny wniosek o zgodności wyników uzyskiwanych obydwoma testami. W Z Statystyka 7.13

14 Obliczenia pomocnicze X Y R i Q i (R i Q i ) i=1 (R i Q i ) 2 = 170 W Z Statystyka 7.14

15 X wyniki pierwszego testu inteligencji Y wyniki drugiego testu inteligencji H 0 : X oraz Y są niezależne Test współczynnika korelacji rangowej Kendalla (α = 0.05) Obserwacje: (502, 564)(678, 787)(727, 851)(724, 767)(930, 789) (576, 722)(527, 585)(705, 739)(737, 865)(714, 768) (999, 901)(955, 922)(529, 444)(603, 492)(858, 809) (825, 951)(504, 616)(646, 635)(663, 574)(582, 573) t emp = 4 n i=1 s i n(n 1) 1 = (20 1) 1 = Wartość krytyczna t emp > = odrzucamy hipotezę H 0 Ze względu na dodatniość współczynnika korelacji można wyprowadzić ostrożny wniosek o zgodności wyników uzyskiwanych obydwoma testami. W Z Statystyka 7.15

16 Obliczenia pomocnicze i i X (i) Y i s i : W Z Statystyka 7.16