Przykład 1. (A. Łomnicki)

Transkrypt

1 Plan wykładu: 1. Wariancje wewnątrz grup i między grupami do czego prowadzi ich ocena 2. Rozkład F 3. Analiza wariancji jako metoda badań założenia, etapy postępowania 4. Dwie klasyfikacje a dwa modele analizy wariancji 5. Klasyfikacja prosta - przykłady zastosowania (a) badanie istotności różnic między grupami (b) testy a posteriori dla par grup 6. Nieparametryczne testy-odpowiedniki analizy wariancji

2 Przykład 1. (A. Łomnicki)

3 średnia ogólna suma kwadratów ogólna liczba stopni swobody df=35 ogólne oszacowanie wariancji s 2 =31.57 wewnątrzgrupowa suma kwadratów w-grupowa liczba stopni swobody df=32 w-grupowe oszacowanie wariancji s 2 =31.08 międzygrupowa suma kwadratów m-grupowa liczba stopni swobody df=3 m-grupowe oszacowanie wariancji s 2 =4.09x9=36.84

4 średnia ogólna suma kwadratów ogólna liczba stopni swobody df=35 ogólne oszacowanie wariancji s 2 =31.57 wewnątrzgrupowa suma kwadratów w-grupowa liczba stopni swobody df=32 w-grupowe oszacowanie wariancji s 2 =31.08 s 2 =31.08 międzygrupowa suma kwadratów m-grupowa liczba stopni swobody df=3 m-grupowe oszacowanie wariancji s 2 =4.09x9=36.84 s 2 =20.91x9=188.19

5 wniosek: Porównanie wariancji między grupami z wariancją wewnątrzgrupową pozwala na ustalenie, czy mamy do czynienia z grupami pochodzącymi z tej samej populacji, czy też z różnych populacji rozkład F (Fishera- Snedocora)

6 F=36.84/31.08 = 1.185

7 F=188.18/31.08 = 6.055

8 wniosek z przypadku pierwszego: Grupy nie różnią się między sobą, co oznacza, że zostały wybrane losowo z tej samej populacji wniosek z przypadku drugiego (dane zmodyfikowane): Grupy różnią się między sobą, co oznacza, że pochodzą z różnych populacji

9 Analiza wariancji (Anova, Anawa) jest podstawowym testem wnioskowania statystycznego powalającym ustalić wpływ określonego czynnika (zmiennej) lub kilku czynników (zmiennych) na wyniki obserwacji jeden czynnik - klasyfikacja pojedyncza, Anova I wiele czynników - klasyfikacja wielokrotna, Anova II Założenia analizy wariancji dla klasyfikacji pojedynczej: 1. analizowana zmienna jest mierzalna 2. rozważanych k niezależnych populacji ma rozkłady normalne N( i, i ), gdzie i = 1,2,...k 3. rozkłady te mają jednakową wariancję (są homogenne), tzn. nie różnią się zmiennością, której wskaźnikiem jest wariancja Z każdej populacji losujemy próbę n i elementową.

10 Etapy postępowania: 1. weryfikacja hipotezy o równości wariancji 2. weryfikacja hipotezy zerowej o równości średnich na określonym poziomie istotności, H 0 wszystkie średnie równe, H 1 - co najmniej dwie średnie różnią się między sobą k prób, dających w sumie n obserwacji i numeruje grupy, i: 1, 2,...k j numeruje obserwacje w grupie, j: 1, 2,...n i x ij = + j + E ij gdzie oznacza ogólną średnią z populacji generalnej, j jest wpływem i-tego czynnika eksperymentalnego, E ij jest odchyleniem losowym o rozkładzie normalnym ze średnia zero i wariancją 2 (homogeniczność wariancji). Jeśli j opisuje wpływ czynnika biologicznego będącego pod naszą kontrolą model I rodzaju. Jeśli j opisuje zmienną losową, na którą nie mamy wpływu model II rodzaju.

11 Podstawą analizy wariancji jest możliwość rozbicia sumy kwadratów wariancji całkowitej na dwa składniki: wewnątrzgrupową sumę kwadratów i międzygrupową sumę kwadratów odchylenia spowodowane przypadkowymi wpływami wewnątrz grup odchylenia mające charakter systematycznych różnic między grupami ogólna (całkowita) suma kwadratów wewnątrzgrupowa = + suma kwadratów międzygrupowa suma kwadratów

12 ogólne (całkowite) df = n - 1 wewnątrzgrupowe = + df = n - k międzygrupowe df = k - 1 ŚK pomiędzy grupami = SK pomiędzy grupami / df grup ŚK reszty = SK reszty / df reszt

13 Przykład 2. (A. Stanisz)

14

15 F=

16

17 Test NIR (najmniejszych istotnych różnic) Fishera

18

19 Wartości krytyczne rozkładu t dla różnych poziomów istotności

20 Test Duncana

21

22

23 Przykład 3. (A. Łomnicki)

24

25

26 TestTukeya (metoda T)

27

28

29

30

31 obserwowane zmienne losowe mają rozkłady normalne tak wariancje nieznane wariancje znane nie duże próby (N 1, N 2 >50) tak nie wariancje równe wariancje nierówne test T test test U test Z testy Cochrana-Coxa nieparametryczne

32 Testy nieparametryczne 1. Dla dwóch próbek niezależnych (odpowiedniki testu t- Studenta dla zmiennych niepowiązanych): a) test serii Walda- Wolfowitza b) test U Manna- Whitneya c) test Kołmogorowa- Smirnowa 2. Dla dwóch próbek zależnych (odpowiedniki testu t- Studenta dla zmiennych powiązanych): a) test znaków b) test kolejności par Wilcoxona c) test McNemary 3. Dla n próbek jako odpowiednik nieparametrycznej analizy wariancji: a) test Kruskala- Wallisa b) test Friedmana c) test Q Cochrana 4. Korelacji: a) test R Spermana b) test Tau Kendalla c) test 2 (chi-kwadrat) 5. Zgodności: a) test 2 (chi-kwadrat) b) test Kołmogorowa- Smirnowa

33 P F = F = 4.10 F < F 0.025

34 Niemarametryczne odpowiedniki dla dwóch próbek niezależnych: a) test serii Walda- Wolfowitza b) test U Manna- Whitneya c) test Kołmogorowa- Smirnowa Przykład (A. Łomnicki)

35

36 wniosek: H 0 przyjąć

37 Ad 3. Dla n próbek (nieparametryczne odpowiedniki analizy wariancji): a) test Kruskala- Wallisa b) test Friedmana c) test Q Cochrana Przykład (A. Stanisz)

38

39 wniosek: H 0 odrzucić

40 X 2 =7,841

41 P Zastosowanie testu Kruskala- Wallisa Przykład wg. A Łomnickiego (analiza wariancji klasyfikacja prosta) dotyczący przeżywalności chrząszczy mącznych na czterech różnych pożywkach wniosek: H 0 odrzucić

42 po obliczeniach: H = 7.477

43 poprawka na rangi wiązane po uwzględnieniu poprawki D = mamy H = H(poprzednie)/D = wniosek: H 0 przyjąć

44

45 Prezentowane ilustracje oparto na materiałach pochodzących z następujących podręczników: 1. Gondko R., Zgirski A., Adamska M. Biostatystyka w zadaniach. Wyd. Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź Kala R., Statystyka dla przyrodników, Wyd. Akademii Rolniczej, Poznań Krysicki W. i inni. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach. Cz.II. Statystyka matematyczna, 4. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa Łomnicki A., Wprowadzenie do statystyki dla przyrodników, Wyd. Naukowe PWN, Warszawa Stanisz A., Przystępny kurs statystyki, StatSoft, Kraków 1998