WYTRZYMAŁOŚD MATERIAŁÓW

Transkrypt

1 1 WYTRZYMAŁOŚD MATERIAŁÓW 1. WSTĘP. Wytrzymałośd materiałów jako nauka została wprowadzona w XVII w. przez włoskiego profesora matematyki w Padwie GALILEUSZA (Galileo), a rozwinięta w wieku XVIII w związku z rozwojem techniki wprowadzono pojęcia CIAŁA ODKSZTAŁCALNEGO, gdyż wszystkie części maszyn, mechanizmy, konstrukcja ulegają niewielkim lecz mierzalnym zmianom wymiaru lub kształtu geometrycznego. Wartośd oraz rodzaj odkształcenia zależne są od: 1. rodzaju materiału, z którego wykonane jest ciało, 2. postaci ciała, 3. sił działających na ciało. Przyczyny odkształceo: 1. zmiana temperatury, 2. procesy fizykochemiczne w ciele, 3. siły zewnętrzne (obciążenia). Jedną z podstawowych własności materiału jest SPRĘŻYSTOŚD czyli zdolnośd powrotu ciała odkształconego do jego pierwotnej postaci po usunięciu przyczyn, które te odkształcenie wywołały. Praca, którą wykonały siły zewnętrzne przy odkształceniu ciała, została nagromadzona w tym ciele w sposób odwracalny może byd w całości zwrócona. (resor) Wszystkie ciała są sprężyste w pewnych granicach, aby móc określid granice sprężystości wprowadza się pojęcia ciała doskonale sprężystego. Materiały z których wykonuje się elementy mogą byd jednorodne - wykonane z jednego materiału lub niejednorodne wykonane z 2 lub więcej materiałów. Ciała izotropowe i anizotropowe: 1. ciało izotropowe własności fizyczne są jednakowe we wszystkich kierunkach (metale) 2. ciało anizotropowe własności fizyczne w różnych kierunkach różnią się (np. drewno struktura włóknista większa wytrzymałośd wzdłuż włókien niż w poprzek)

2 2. NAPRĘŻENIA. METODA PRZEKROJÓW 2 Jeżeli chcielibyśmy wiedzied, której liny materiał jest pod większym odciążeniem pierwszej, na której wisi ciężar 1,2 tony czy drugiej, na której wisi ciężar 3 ton? Do określenia tego potrzebna jest znajomośd przekrojów tych lin lub ilości i przekrojów włókien tworzących te liny. Zakładając, że materiał lin jest identyczny a każde włókno ma przekrój A 1 = 1mm 2 to dzieląc poszczególne obciążenia przez ilośd włókien to wynikiem będzie obciążenie materiału liny wyrażone w kg / 1mm 2. Jeżeli przekrój pierwszej liny A = 150mm 2, a drugiej 50mm 2, to w pierwszym przypadku obciążenie włókna wynosi 20 kg/mm 2, a drugiej 24 kg/mm 2. Stosunek siły do przekroju, na który ona działa jest NAPRĘŻENIEM (średnim). Ciało dokształca się zwykle pod wpływem odkształceo zewnętrznych, którym przeciwstawiają się wewnętrzne siły sprężystości ciała dążą do utrzymania początkowego jego stanu (objętości lub kształtu). Istotą wytrzymałości materiałów jest umiejętnośd określenia naprężeo w każdym punkcie rozpatrywanego ciała oraz jego odkształceo. Aby znaleźd naprężenia w dowolnym punkcie ciała stosuje się METODĘ PRZEKROJÓW (przecięd) polega ona na myślowym przecięciu ciała płaszczyzną prostopadłą (lub ukośną) do osi ciała i odrzuceniu jednej części ciała zastępując ją równoważnymi siłami zgodnie z zasadami statyki. METODA PRZEKROJÓW (przecięd) umożliwia określenie sumy sił wewnętrznych w danym przekroju w postaci ich wypadkowej, momentu lub wypadkowej wraz z momentem. Przecinamy myślowo ciało płaszczyzną, obie części ciała obciążone siłami wzajemnego oddziaływania P są w równowadze. Element pola powierzchni tego przekroju to A. Średnie wypadkowe naprężenie to wektor p sr

3 3 wartośd naprężenia zleży od wielkości pola powierzchni A, stąd wypadkowym naprężeniem w punkcie O nazywa się: kierunek i zwrot tego naprężenia jest taki, jak elementarna siła P. Jednostką naprężenia jest paskal Pa = N/m 2, w praktyce dla ciał stałych stosowany jest megapaskal MPa = 10 6 Pa = 1 N/ mm 2. Każdy dowolny kierunek naprężenia p może byd rozłożony na prostopadły do pola przekroju - i styczny do niego ( - naprężenie normalne, - naprężenie ścinające) Naprężenie normalne oblicza się z definicji naprężenia w punkcie Naprężenie styczne wyznacza się ze wzoru Określenie wartości tych naprężeo jest podstawowym zadaniem wytrzymałości materiałów.

4 4 3. ODKSZTAŁCENIE CIAŁA SPRĘŻYSTEGO Jak wspomniano wcześniej pod wpływem sił zewnętrznych ciało odkształca się. Może to byd odkształcenie liniowe lub postaciowe. Rozpatrujemy ciało w równowadze, CDEF położenie punktów nieobciążonego ciała, odległości między nimi dx i dy. Obciążamy ciało siłami P 1, P 2,, P n położenie punktów zmieniło się C D E F odległości między nimi (dx) i (dy) wydłużenia bezwzględne. Średnie względne wydłużenia odcinków CD i CF: Względne wydłużenia w punkcie C w kierunkach CD i CF wynoszą: Wydłużenie nie zależy tylko od obciążenia zewnętrznego ale także od kierunku jego wyznaczania.

5 Druga miara odkształcenia jest zmiana wartości kąta prostego, który pod wpływem obciążenia przekształcił się w ostry różniący się od kąta prostego o średni kąt odkształcenia postaciowego sr. Po zbliżeniu jednocześnie punktów F i D do punktu C otrzymuje się po przejściu do granicy kąt : 5 Jest to kąt odkształcenia postaciowego i wyrażany jest w radianach. 4. PODSTAWOWE STANY ODKSZTAŁCEO Złożone odkształcenia zawsze mogą byd rozłożone na odkształcenia proste czyste. Podstawowe stany odkształceo: 1. rozciąganie i ściskanie, 2. ścinanie, 3. zginanie, 4. skręcanie 5. PRAWO HOOKE A W PRZYPADKU PROSTEGO ROZCIĄGANIA Rozpatrywany jest pręt o przekroju A, obciążony dwoma przeciwstawnymi siłami P. Względne wydłużenie odcina dx wynosi:

6 6 u- przemieszczenie przekroju A-A, u +du przemieszczenie przekroju B-B Przypadek szczególny gdy wydłużenie względne jest stałe: Jeżeli x 2 x 1 = l to u= l = l więc: Wzór na wydłużenie względne. Naprężenia powstałe podczas rozciągania pręta są naprężeniami normalnymi: Zależnośd między naprężeniem a wydłużeniem względnym. Dla ciała idealnie liniowo sprężystego jest liniowa o kącie nachylenia α do osi wydłużeo. E- moduł sprężystości wzdłużnej (moduł Younga pierwsza stała materiałowa) przedstawia opór danego materiału przeciw odkształceniu E dla niektórych materiałów stal węglowa 2*10 6 kg/cm 2 stal stopowa 2,1*10 6 kg/cm 2 Aluminium 0,7*10 6 kg/cm 2 Miedź (1,0 1,15)*10 6 kg/cm 2 Żeliwo (1,5 1,6)*10 6 kg/cm 2 Beton (0,24 0,34)*10 6 kg/cm 2

7 Sosna wzdłuż włókien (0,09 0,11)*10 6 kg/cm 2 Granit (0,128 0,24)*10 6 kg/cm 2 Skóra (0,0012 0,0022)*10 6 kg/cm 2 Kauczuk (0, ,00008)*10 6 kg/cm 2 7 Z tej zależności otrzymuje się prawo Hooke a dla rozciągania; Wartośd naprężenia normalnego do przekroju jest proporcjonalna do wartości względnego wydłużenia w kierunku prostopadłym do tego przekroju. Jeśli uwzględnimy w powyższej zależności, że: to stąd Otrzymujemy, że wydłużenie l jest proporcjonalne do siły P, długości początkowej l i odwrotnie proporcjonalne do iloczynu modułu Younga E i pola powierzchni przekroju A (EA nazywane jest sztywnością rozciągania (ściskania) pręta). Zależnośd ta jest słuszna dla pręta idealnie liniowo sprężystego ( = const.), przekrój pręta A jest stały, siła P przyłożona jest tylko na koocach pręta. Doświadczalnie stwierdzono, że podczas rozciągania poprzeczne elementy prostopadłe do osi pręta ulegają skróceniu, a pręt zwęża się w kierunku poprzecznym. W przypadku materiałów izotropowych względne odkształcenia poprzeczne p są jednakowe we wszystkich kierunkach prostopadłych do osi pręta. W zakresie obowiązywania prawa Hooke a względne odkształcenie poprzeczne p jest proporcjonalne do względnego wydłużenia w

8 8 - współczynnik Poissona druga stała materiałowa, minus bo odkształcenia mają przeciwne znaki Liczbę Poissona można wyznaczyd jako bezwzględną wartośd ilorazu względnego odkształcenia poprzecznego do względnego wydłużenia wzdłużnego: dla materiałów izotropowych liczba Poissona zawiera się w przedziale (0 0,5) Liczba Poissona dla niektórych materiałów: Korek 0,00 Żeliwo 0,25 Stal węglowa 0,24 0,28 Stal stopowa 0,25 0,30 Aluminium 0,26 0,36 Miedź 0,31 0,34 Guma 0,47 6. BADANIA DOŚWIADCZALNE Badania można podzielid na 2 grupy: 1. Badania podstawowe statyczna próba rozciągania, statyczna próba ściskania, próby twardości (są to badania znormalizowane, dotyczące ustalenia właściwości samego materiału) 2. Badania specjalistyczne z zastosowaniem tensometrii elektrooporowej, badania ultradźwiękowe, drgania zmęczeniowe, udarowe, elastooptyczne (badania mające na celu określenie zachowania się elementów lub całych konstrukcji pod obciążeniem zewnętrznym)

9 9 Badania znormalizowane powinny byd wykonywane ściśle wg Polskich Norm (lub EU) w szczególności dotyczy to przygotowywania próbek, przeprowadzania samej próby, interpretacji wyników i stosowania jednolitych obliczeo. Próby rozciągania i ściskania wykonuje się na maszynie zrywarce uniwersalnej. Przebieg próby jest automatycznie rejestrowany w układzie współrzędnych (F, l) w wyniku otrzymuje się wykres rozciągania. Po zastosowaniu dzielenia : otrzymuje się wykres w układzie (, ) typowy wykres dla stali niskowęglowej miękkiej 0,015%C zależnośd liniowa kooczy się w punkcie A R H to granica proporcjonalności, granica stosowania prawa Hooke a. Punkt B granica sprężystości R s, z powodu trudności pomiarowych przyjmuje się umowną granicę sprężystości R 0,05 (naprężenie wywołujące w próbce wydłużenie trwałe x=0,05%. Punkt C wzrasta przy stałym obciążeniu próbki płynięcie materiału, występuje przy R e (wyraźna granica plastyczności), płynięcie materiału wiąże się ze zmianami

10 mikrostruktury materiału mikroskopijne poślizgi nie znikające po odciążeniu, dające trwałe odkształcenie (plastyczne). Między C F efekt umocnienia zjawisko podniesienia granicy sprężystości ( jeśli 10 przerwad proces rozciągania w punkcie D ( > R e ) to proces odciążania przebiegnie po linii prostej równoległej do OA, wtedy całkowitemu odciążeniu ( =0) odpowiada trwałe odkształcenie OE. Powtórne obciążenie zachodzi już po linii ED. W dalszym obciążeniu przebieg przemieszcza się po krzywej DFG. Punkt F, któremu odpowiada naprężenie R m (wytrzymałośd na rozciąganie), to stan, w którym na próbce pojawia się przewężenie (szyjka), w tej fazie rozciągania krzywa FG najmniejszy przekrój poprzeczny próbki gwałtownie maleje, a siła rozciągająca zmniejsza się, aż w punkcie G dochodzi do rozerwania próbki R u naprężenie rozrywające (odniesione do przekroju poprzecznego próbki w miejscu przewężenia) Jeśli badany materiał nie wykazuje wyraźnej granicy plastyczności to stosuje się R 0,2 czyli naprężenie wywołujące w próbce wydłużenie trwałe x=0,2% długości pomiarowej próbki l 0. Na podstawie badao eksploatacyjnych określonych elementów ustala się współczynniki bezpieczeostwa n (do naprężeo niebezpiecznych zalicza się granicę plastyczności, umowna granicę plastyczności 0,2%,wytrzymałośd na rozciąganie), dla których oblicza się naprężenia dopuszczalne na rozciąganie k r (maksymalna wartośd naprężenia, która gwarantuje bezpieczną jeszcze pracę konstrukcji) współczynnik n > 1 ZAWSZE n uwzględnia odstępstwo rzeczywistych warunków pracy konstrukcji od warunków przyjętych w schemacie obliczeniowym. Próba rozciągania umożliwia określenie własności plastycznych materiału podatnośd na odkształcenie wydłużenie względne A p i przewężenie Z, tj.: l u długośd próbki po zerwaniu, l o pierwotna długośd pomiarowa próbki

11 11 A u pole przekroju próbki w miejscu zerwania, A 0 pierwotne pole przekroju próbki Możliwośd zyskania wykresów ściskania i rozciągania jest także wyznaczenie granic plastyczności Re i wytrzymałości Rm oraz tylko dla stali miękkiej przewężenia Z i względnego wydłużenia plastycznego Ap Możliwe do wykonania: - statyczne próby rozciągania wyrobów hutniczych, dla określenia R m, R e, R 0,2, A, Z w temperaturze otoczenia oraz w temperaturach obniżonych (od -150ºC) i podwyższonych (do +900ºC), - statyczne próby rozciągania złączy spawanych, - próbę zginania,

12 12 FILMY, animacje 7. ZASADA DE SAINT-VENANTA Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant (23 sierpnia 1797 w Villiers-en-Bière, Seine-et-Marne, zm.: 6 stycznia 1886 w St. Ouen, Loir-et-Cher), inżynier francuski. Studiował w Ecole Polytechnique w Paryżu ( ) i przez wiele lat pracował w służbie państwowej jako inżynier oraz wykładowca. Jego zainteresowaniami naukowymi były sprężystość, wytrzymałość materiałów, teoria plastyczności oraz hydraulika. Z jego nazwiskiem wiąże się m.in. zasada de Saint- Venanta (teoria sprężystości, stworzona w 1855 roku). Dwa statycznie równoważne obciążenia pręta, zrealizowane w różny sposób, mają duży wpływ na rozkład sił wewnętrznych, naprężeo i odkształceo. W pobliżu przyłożenia siły skupionej P (a), występują bardzo duże naprężenia, szybko zmieniające i wyrównujące się na długości pręta. Na podstawie badao stwierdzono, że w przekrojach znajdujących się w odległościach przewyższających wymiary przekroju poprzecznego pręta, rozkład sił wewnętrznych można uznad za równomierny.

13 Na podstawie sposobu obciążenia przedstawionego w części (b) można stwierdzid, że rozkład sił wewnętrznych w przekrojach w pobliżu przyłożonego obciążenia ciągłego q (P=qA), jak i w przekrojach pozostałych, jest równomierny i jednakowy. 13 Wniosek jest taki, że sposób przyłożenia obciążenia nie ma istotnego wpływu na rozkład sił wewnętrznych w obciążonym pręcie w przekrojach dostatecznie oddalonych od miejsca przyłożenia obciążenia. De Saint-Venant sformułował to następująco: Jeżeli na pewien niewielki obszar ciała sprężystego będącego w równowadze działają kolejno rozmaicie rozmieszczone, ale statycznie równoważne obciążenia, to w odległości od obszaru przewyższającej wyraźnie jego wymiary powstają praktycznie jednakowe stany naprężenia i odkształcenia. WIKIPEDIA: Zasada de Saint-Venanta uproszczenie powszechnie przyjmowane w wytrzymałości materiałów. Zasada mówi, że jeśli na sprężyste ciało działa układ sił statycznych przyłożonych na powierzchni małej w stosunku do powierzchni całego ciała i zastąpimy ten układ sił dowolnym innym układem jednak statycznie mu równoważnym (o równej sumie układu i sumie momentów sił układu względem dowolnego punktu) to istnieje taki przekrój tego ciała, dostatecznie odległy od miejsca przyłożenia sił, że różnice w naprężeniach, odkształceniach i przemieszczeniach, pochodzących od obu przypadków obciążenia, są dowolnie małe (tzn. wpływ działających sił uśrednia się). Ilustracją zasady jest rysunek. Pokazuje on pręt rozciągany przez siły przyłożone punktowo w środku ciężkości przekroju na obu koocach. W bezpośredniej bliskości kooców stan naprężenia odpowiada rzeczywistemu stanowi obciążenia. W dostatecznej odległości od kooców uśrednia się i równy jest sumie sił podzielonej przez pole przekroju pręta. 8. ZASADA SUPERPOZYCJI W przypadku działania na konstrukcję kilku sił zewnętrznych można przy wyznaczaniu naprężeo i odkształceo stosowad zasadę superpozycji.

14 Polega ona na rozpatrywaniu oddzielnie skutków działania każdej z sil osobno i sumowaniu tych skutków. 14 Zasada ma zastosowanie w granicach obowiązywania prawa Hooke a.

15 15 9. KONSTRUKCJE ROZCIĄGANE I ŚCISKANE Analiza pręta statycznie wyznaczalnego Przy osiowym rozciąganiu i ściskaniu w przekrojach poprzecznych pręta występują tylko naprężenia normalne, przy ściskaniu w większości wypadków występują te same zależności co przy rozciąganiu. Do pręta przykładamy siłę N. Na podstawie zasady de Saint-Venanta przyjmuje się, że naprężenia normalne w poszczególnych przekrojach poprzecznych pręta są rozłożone równomiernie =const. Podczas rozciągania długośd początkowa pręta l 0 zwiększa się, a wymiary poprzeczne ulegają zmniejszeniu. Bezwzględne wydłużenie pręta jest równe Aby obliczyd naprężenia i odkształcenia w poszczególnych przekrojach należy wyznaczyd rozkład sił wzdłużnych N. Wartośd tej siły w dowolnym przekroju poprzecznym jest równa sumie algebraicznej rzutów na oś pręta wszystkich sił zewnętrznych P i, przyłożonych po jednej stronie rozpatrywanego przekroju W przypadku gdy rozpatrywany pręt składa się z kilku odcinków o rożnych przekrojach, wydłużenie bezwzględne pręta oblicza się, sumując algebraicznie zmiany długości poszczególnych jego odcinków

16 16 Konstrukcje statycznie wyznaczalne Układy statycznie wyznaczalne charakteryzują się tym, że siły wewnętrzne występujące w poszczególnych elementach tych układów mogą byd wyznaczone z równao równowagi. Obliczenia wytrzymałościowe elementu rozciąganego lub ściskanego wykonuje się w celu sprawdzenia warunków wytrzymałościowych naprężenie dopuszczalne na ściskanie określa się podobnie jak na rozciąganie k r we wzorze R c wytrzymałośd na ściskanie. Spełnienie warunków wytrzymałościowych może byd niewystarczające. Musi byd zatem spełniony dodatkowo warunek sztywności Mówi on o tym, że przemieszczenie lub odkształcenie punktów projektowanego elementu nie powinno przekroczyd wartości odkształcenia lub przemieszczenia, przyjętego dla danej konstrukcji jako dopuszczalne. Konstrukcje statycznie niewyznaczalne Istnieją takie konstrukcje, które są nierozwiązywalne przy pomocy samych tylko równao statyki ciał doskonale sztywnych. Do obliczania niewiadomych sił należy wtedy uwzględnid odkształcenia i przemieszczenia prętów. Uzyskane w ten sposób dodatkowe równania współzależności odkształceo stanowią zależności o charakterze geometrycznym. W celu połączenia równao z równaniami geometrycznymi należy posłużyd się związkami fizycznymi uzależniającymi wzajemne siły wewnętrzne i przemieszczenia. W przypadku materiałów liniowo sprężystych związki te wynikają z prawa Hooke a.

17 17 Jednowymiarowy stan naprężenia Przez każdy punkt pręta rozciąganego można przeprowadzid nieskooczona liczbę przekrojów pod różnymi kątami do jego osi i każdemu przekrojowi będzie odpowiadało inne naprężenie. Rozpatrywany jest pręt pryzmatyczny rozciągany siłami osiowymi P. W przekroju B-B, prostopadłym do osi pręta, naprężenia normalne rozkładają się równomiernie Do dalszej analizy wycina się, myślowo, element pręta dwoma równoległymi do siebie przekrojami, prostopadłymi do osi pręta. W obu tych przekrojach występują naprężenia normalne x, rozłożone równomiernie w tych przekrojach. element ten jest następnie przecinany płaszczyzną przechodzącą pod kątem α do przekroju poprzecznego. Taki sam kąt α będzie tworzyła normalna n do przeciętego przekroju z osią pręta. Aby odcięta częśd elementu pręta pozostawała nadal w równowadze to naprężenia normalne α i styczne α działające w tym przekroju muszą zrównoważyd naprężenia x. Warunki równowagi, z rzutu siła na osie n - normalną i t - styczną wynoszą: stąd jak widad to wielkości tych naprężeo zależą od kąta α naprężenia normalne (maleją ze zwiększaniem kąta α)

18 dla α=0 mamy i są największe 18 dla α= 0,5 mamy czyli minimum naprężenia styczne (rosną ze zwiększaniem kąta α) dla α = 45 o osiągają wartośd max dla α = 0,5 mamy

19 WIELOWYMIAROWY STAN NAPRĘŻENIA Dwuwymiarowy stan naprężenia Taki stan naprężenia osiągniemy w tarczy prostokątnej, obciążonej zrównoważonym układem naprężeo normalnych 1 i 2, które są równomiernie rozłożone na jej krawędziach. Rozpatrywana będzie równowaga pryzmatu trójkątnego wykrojonego z danej tarczy. Na ścianach AC i AB działają naprężenia 1 i 2, które taktuje się jako znane. W przekroju BC nachylonym pod kątem α, naprężenia są określone składową normalną α i styczną α, które oblicza się z warunków równowagi. Oznaczamy A- pole ściany BC. Suma rzutów wszystkich sił działających na wydzielony element na kierunek n: suma rzutów sił na kierunek t prostopadły do n: stąd naprężenia normalne i styczne wynoszą: aby było łatwiej to zastępuje się funkcje trygonometryczne kąta α przez funkcje kąta podwojonego 2α, i tak:

20 20 wtedy: są to równania parametryczne funkcji Po przekształceniach i poniesieniu do kwadratu:, kąt α jest parametrem. po dodaniu równao stronami znika parametr α Wykresem tej funkcji jest tzw. koło Mohra dla naprężeo promieo koła współrzędne środka Aby znaleźd naprężenie normalne α i styczne α w przekroju, którego normalna tworzy z dodatnim kierunkiem naprężenia głównego 1 kąt α, należy odłożyd z punktu B dodatnią wartośd kąta 2α i wykreślid promieo r. Punkt D odpowiada rozważanemu przekrojowi, odcięta OE określa naprężenia normalne α a rzędna ED, natomiast, naprężenia styczne α.

21 Z koła Mohra wynikają własności płaskiego stanu naprężeo. 21 Istnieją dwa takie przekroje, które charakteryzują się tym, że naprężenia styczne w tych przekrojach są równe 0, a naprężenia normalne osiągają wartości ekstremalne max i min. Kierunki, które określają te przekroje wyrażają tzw. główne kierunki naprężeń, z kola Mohra wynika, że są one do siebie prostopadłe. W przypadku dwuwymiarowego stanu naprężenia określonego składowymi ogólnymi x,, y i funkcje określające naprężenia normalne α i styczne α,, wglądają następująco: wartości naprężeo głównych: W płaskim stanie naprężenia istnieją dwa takie przekroje, wzajemnie do siebie prostopadłe, w których naprężenia styczne osiągają wartości ekstremalne Naprężenia styczne działające na płaszczyznach do siebie prostopadłych są sobie równe i mają przeciwne zwroty.

22 22 Trójwymiarowy stan naprężenia Uogólnieniem płaskiego stanu naprężenia jest stan trójwymiarowy. Na ścianki prostopadłościanu działają wtedy trzy naprężenia główne 1, 2 i 3. Za pomocą kół Mohra można wyznaczyd natężenia normalne α i styczne α w płaszczyznach o dowolnym nachyleniu. Prowadzimy przekrój płaszczyzną równoległą do osi O1. Naprężenie 1 nie wpływa tu zupełnie na naprężenia α i α przynależne temu przekrojowi. Naprężenia będą zależne tylko od naprężeo 2 i 3, które będą wyznaczone z koła Mohra (rys.b). równanie określające koło ma postad: w podobny sposób wyznacza się naprężenia w pozostałych przekrojach równoległych do osi O2 (rys.c) i O3 (rys.d). Naprężenia przedstawiają koła Mohra o średnicach i. Po przeniesieniu tych trzech kół na jeden wykres otrzymujemy obraz, który spełnia podobna rolę jak koło Mohra w analizie dwuwymiarowej.

23 23 Dla przekrojów nachylonych do trzech osi naprężenia im odpowiadające n i n są równe współrzędnym punktów leżących między trzema kołami w polu zakreskowanym. Największe naprężenie styczne to największa rzędna CH

24 11. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA Uogólnione prawo Hooke a Korzystając z zasady superpozycji, rozkłada się trójwymiarowy stan naprężenia na trzy stany proste. W przypadku gdy działa tylko naprężenie 1 ( 2 = 3 = 0) wtedy odkształcenia względne prostopadłościanu wynoszą: 24 dla naprężeo 2 ( 1 = 3 = 0), mamy: oraz dla naprężeo 3 ( 1 = 2 = 0), jest: Jako, że prawo Hooke a jest zależnością liniową to odkształcenia względne prostopadłościanu w trójwymiarowym stanie naprężenia będą sumą powyższych wyrażeo. Całkowite wydłużenie względne w kierunku osi O1:

25 25 dla kierunków O2 i O3: stąd ostatecznie uogólnione prawo Hooke a: Względna zmiana objętości W przypadku zanurzenia ciała w cieczy hydrostatyczne ściskanie: wartośd względnej zmiany objętości współczynnik sprężystości objętościowej (moduł Helmholtza), jak widad jest to stała zależna od stałych E i. Zależność między kątem odkształcenia postaciowego a naprężeniem stycznym. Stan czystego ścinania uzyskujemy w płaskim stanie naprężenia przy działaniu na element konstrukcji głównych naprężeo:. Kwadratowa, początkowo, ściana kostki o boku o długości jedności zmieni się w romb.

26 26 Rozpatrujemy odkształcenia, jakich doznaje omawiana ściana kostki. Na podstawie uogólnionego prawa Hooke a odkształcenia względne dla (w tym przypadku płaskiego) stanu naprężenia wyniosą: otrzymane naprężenia mają takie same wartości bezwzględne, zatem długości przekątnych rombu będą równe Miarą odkształcenia postaciowego jest kąt, o jaki zmniejszyły się początkowo proste kąty BAD i BCD lub powiększyły kąty ADC i ABC rozpatrywanej kostki. Boki rombu będą tworzyły kąt, z trójkąta prostokątnego OA D wynika: na podstawie wzoru na tg różnicy kątów, jest:

27 ponieważ kąt jest bardzo mały to można przyjąd że tg( /2) = /2, więc 27 a z tego wynika, że: Na podstawie koła Mohra można stwierdzid, że na ściankach występują tylko naprężenia styczne, równe co do wartości naprężeniom normalnym, więc a zatem wyrażenie, które zależne jest tylko od stałych E i nazywane jest współczynnikiem sprężystości postaciowej modułem Kirchhoffa. Jest to stała materiałowa oznaczana przez G po wprowadzeniu tego oznaczenia do zależności na kąt odkształcenia otrzymujemy: Wzór ten wyraża prawo Hooke a dla czystego ścinania. Wartości G dla niektórych materiałów: Stal 0,07-0,14C Stal 0,25-0,35C zahartowana Stal chromowo-krzemowa na sprężyny Żeliwo szare Stopy aluminium Stopy Cu-Sn 7,95 *10 4 MPa 8,50*10 4 MPa 8,50*10 4 MPa 4,0*10 4 MPa 2,7*10 4 MPa 3,8-4,2*10 4 MPa

28 28 Trójwymiarowy stan odkształcenia. W przypadku trój wymiarowego stanu naprężenia określonego składowymi ogólnymi trójwymiarowy stan odkształcenia jest zawsze określany przez dziewięd wielkości trzy odkształcenia względne i sześd kątów odkształcenia postaciowego ale więc trójwymiarowy stan odkształcenia określa sześd składowych Odkształcenia te określa się jako superpozycję czterech stanów

29 29 W wyniku mamy trzy odkształcenia względne (na podstawie uogólnionego prawa Hooke a): i trzy odkształcenia postaciowe określone kątami:

30 12. OSIOWE MOMENTY BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH Osiowym momentem bezwładności J x pola figury płaskiej względem dowolnej osi x 30 leżącej w tej samej płaszczyźnie nazywamy sumę iloczynów elementarnych pól F figury przez kwadrat ich odległości od danej osi, wziętą dla całej powierzchni figury. Osiowym momentem pola figury F względem osi x jest wyrażenie: a względem osi y wyrażony jest w cm 4 (pole x odległośd 2 ), zawsze dodatni i nie może byd zerem ( to było możliwe w przypadku momentu statycznego figury). Osiowy moment bezwładności figur złożonych oblicza się wtedy, gdy figura da się rozłożyd na figury proste, jeśli nie to wyznacza się to za pomocą metod graficznych lub przyrządów zwanych integratorami. dla prostokąta dla kwadratu dla koła dla pierścienia

31 13. BIEGUNOWY MOMENT BEZWŁADNOŚCI KOŁA Oznacza się J o jest to suma iloczynów elementarnych pól F koła przez kwadrat ich odległości od jego środka, rozciągnięta na całe pole koła: 31 Elementarne pole przyjmuje się w postaci bardzo cienkiego pierścienia o grubości i promieniu. Jego pole wynosi F = 2, podstawiając do powyższej zależności, jest: zmienia się od 0 do r, stąd: stąd biegunowy moment bezwładności koła wyniesie: Znajomośd biegunowych momentów bezwładności potrzebna jest przy obliczeniach wytrzymałościowych na skręcanie. Często zachodzi również potrzeba znajomości momentu bezwładności pierścienia kołowego (np. wydrążony wał). Obliczenie J o polega na odjęciu od siebie momentów bezwładności koła większego o średnicy D i mniejszego o średnicy d, stąd: jeśli przyjmiemy że α = d/d, co często ma miejsce w praktyce, to:

32 14. MOMENT BEZWŁADNOŚCI KOŁA WZGLĘDEM ŚREDNICY Zgodnie z definicją momentu bezwładności figury płaskiej względem osi: 32 ze względu na symetrię koła J x = J y, biegunowy moment koła: ale, wstawiając do zależności powyższej: Jest to słuszne dla dwóch dowolnych prostopadłych osi oraz dla dowolnych figur płaskich. SUMA OSIOWYCH MOMENTOW BEZWŁADNOŚCI JEST STAŁA I ROWNA BIEGUNOWEMU MOMENTOWI BEZWŁADNOŚCI I NIE ZALEŻY OD OBROTÓW OSI NAOKOŁO POCZĄTKU UKŁADU. dla J x = J y, mamy moment bezwładności koła względem średnicy wynosi stąd wniosek, że moment bezwładności koła względem średnicy jest równy połowie momentu biegunowego. koniec W4

33 33 W5 15. ŚCINANIE W praktyce spotykamy części maszyn, które ulegają zniszczeniu przez ścinanie, działają na te części siły zewnętrzne powodujące zniszczenie przez poślizg jednej warstwy materiału po drugiej. Najprostszym przypadkiem ścinania jest przecinanie nożycami papieru lub blachy. Dwa ostrza ślizgające się po sobie napotkawszy przeszkodę w postaci np. blachy zagłębiają się w materiał, naciskając siłami wypadkowymi T, które powodują poślizg cząsteczek materiału po sobie przechodzący w trwałe ich rozdzielenie, czyli zniszczenie. Błyszczący przekrój materiału bezpośrednio po próbie ścinania wykazuje w sposób widoczny poślizg jednej warstwy po drugiej jest to ścinanie technologiczne. Pierwowzorem do obliczeo wytrzymałości na ścinanie konstrukcji spawanych, czy zgrzewanych jest analiza połączenia nitowanego. Rozważamy połączenie nitowane na tzw. zakładkę, w praktyce takie połączenia są ściskane bądź rozciągane. Pod wpływem działania sił P blachy dążą do przesunięcia się jedna wobec drugiej, czemu sprzeciwiają się nity, ustawione poprzecznie do kierunku działania sił. Działanie siły P z jednaj blachy przenosi się na drugą blachę właśnie przez nity. Przyjmuje się, że naprężenia ścinające rozkładają się równomiernie w przekroju nita: F pole powierzchni przekroju poprzecznego nita w [mm 2 ]

34 34 d średnica nita w [mm] k t dopuszczalne naprężenie na ścinanie w [kg/mm 2 ] Zakładając, że naprężenia rozciągające blachę rozkładają się równomiernie mamy: k r naprężenie dopuszczalne na rozciąganie materiału blachy. Połączenia spawane W spawaniu przyjmuje się następujące naprężenia dopuszczalne dla spoiny w zależności od naprężenia dopuszczalnego na rozciąganie dla materiału rodzimego: ściskanie rozciąganie zginanie ścinanie k cs = 1,0 kr k rs = 0,8k k gs = 0,9k k ts = 0,65k Spoiny czołowe Obliczenia wytrzymałościowe przeprowadza się na rozciąganie lub ściskanie: F = a b umowne pole pracujące spoiny ( a = g grubośd blachy)

35 35 Spoiny pachwinowe Zniszczenia spoin pachwinowych zachodzą w przekroju AB. Ze względu na ten sposób zniszczenia przyjęto umowne obliczanie spoin pachwinowych na ścinanie przy założeniu równomierności rozkładu naprężeo ścinających w przekroju AB. Naprężenie ścinające powinno spełniad warunek wytrzymałościowy: P siła obciążająca spoinę, F= a l przekrój ściany spoiny, a obliczeniowa grubośd spoiny, l obliczeniowa długośd spoiny. Obliczeniowa grubośd spoiny a = h cos 45 o 0,7 h, przyjmuje się h = g to a 0,7 g g- grubośd blachy Ostatecznie F = 0,7 g l więc wzór: PRZYKŁAD: Dwa pasy blachy stalowej grubości g=10mm i szerokości s=150mm są połączone czołowo za pomocą dwóch nakładek (rys.). Średnica nitów d=16mm, grubośd nakładek g=6mm, szerokośd nakładek s=150. Obliczyd naprężenia, które powstają w nitach oraz blachach,

36 jeżeli siły rozciągające połączenie P=8000kG. 36 Naprężenia w nitach. Z każdej strony połączenia pracują n=4 nity dwucięte, to znaczy m=2. Przyjmując równomierny rozkład siły P na poszczególne nity oraz równomierny rozkład naprężeo ścinających w każdym nicie, otrzymujemy naprężenie ścinające w każdym nicie: Naprężenie w blasze W przekroju 1-1 działa siła P. Przekrój ten jest osłabiony jednym nitem. Przekrój pracujący wynosi: Naprężenie rozciągające blachę w przekroju 1-1 W przekroju 2-2 działa tylko (3/4)P gdyż (1/4)P przenosi od razu przez nakładkę na drugą blachę pierwszy nit. Przekrój 2-2 osłabiony jest dwoma nitami, więc przekrój pracujący: Naprężenie rozciągające blachę w tym przekroju

37 W przekroju 3-3 działa tylko jedna siła P (3/4)P = (1/4)P Przekrój pracujący jest równy przekrojowi 1-1 czyli F 3 = 13,4cm 2. Naprężenie rozciągające blachę w tym przekroju 37 Sprawdzenie otworu blachy na docisk nita

38 ZGINANIE Zjawisko zginania spotyka się w praktyce na każdym kroku pociąg jadący po moście zgina go, oś pedału rowerowego jest zginana, osie samochodów są zaginane, itd. Pod pojęciem zginania zwanym czystym zginaniem rozumie się odkształcenie wywołane dwiema parami sił (dwoma momentami) przyłożonymi do kooców pręta, równymi i przeciwnie zwróconymi, leżącymi w płaszczyźnie symetrii przechodzącej przez oś pręta (belki). Odkształcenie zachodzi w płaszczyźnie działania momentów zginanie płaskie Momenty gnące i siły tnące w belkach prostych Belki proste stanowią różnego rodzaju elementy konstrukcji przenoszą siły wewnętrzne jednej części konstrukcji na pozostałe. W celu określenia naprężeo i odkształceo w belce obciążonej siłami zewnętrznymi trzeba obliczyd wartości i kierunki reakcji podpór. W belkach najczęściej spotyka się, jako sposoby podparcia konstrukcji: podpory przegubowe stałe, przesuwne oraz utwierdzenia całkowite. Reakcje podpór wyznacza się w układzie płaskim z trzech równao równowagi i jest to zazwyczaj pierwszy etap analizy pręta. Sposób analizy przykładowo przedstawiony zostanie na przykładzie beki swobodnie podpartej na dwóch podporach stałej (w pkt. A) i przesuwnej (w pkt. C). Obciążeniem jest siła P przyłożona w punkcie B. W przyjętym układzie współrzędnych Axy, mamy następujące równania równowagi:

39 39 Rozwiązując ten układ równao: MOMENT GNĄCY - w dowolnym przekroju poprzecznym belki równa się składowej stycznej wektora momentu wszystkich sił działających po jednej stronie tego przekroju względem jego środka ciężkości. SIŁA TNĄCA w dowolnym przekroju belki równa się sumie rzutów wszystkich sił działających po jednej stronie przekroju na kierunek prostopadły do osi belki. Funkcje sił tnących i momentów gnących przedstawia się często na wykresach pod analizowaną belką z zachowaniem skali długości i skali sił. Aby sporządzid wykresy należy przeanalizowad zmianę wartości momentu wzdłuż całej belki czyli w funkcji zmiany długości (x) dla x 1 = 0 - M(x 1 ) = 0, a dla x = a - Podobnie dla M(x 2 ) dla x 2 = a -, a dla x 2 = a+b (czyli na koocu belki) M(x 2 ) = 0 na wykresie punkty łączymy prostą (mamy funkcję liniową na rysunku podpunkt (b)) Wykres sił tnących Funkcje sił tnących przedstawiają się następująco są to funkcje stałe niezależne od x, zatem będą równoległe do osi X (podpunkt (c) na rysunku)

40 40 Oznaczenia dodatnich i ujemnych momentów i sił tnących - momenty dodatnie to takie, które starają się wygiąd belkę wypukłością ku dołowi, - momenty ujemne to takie, które starają się wygiąd belkę wypukłością ku górze - znak siły tnącej dodatni siły starają się obrócid element belki zgodnie z kierunkiem wskazówek zegara (w prawo) - znak siły tnącej ujemny siły starają się obrócid element belki przeciwnie z kierunkiem wskazówek zegara (w lewo)

41 Zależnośd między momentem gnącym, siłą tnącą a obciążeniem ciągłym Równanie równowagi elementu dx umożliwia wyprowadzenie zależności różniczkowych, wiążących funkcję momentów gnących z funkcją siły tnącej i obciążenia ciągłego. Równanie momentów gnących wszystkich sił zewnętrznych i wewnętrznych względem punktu D wynosi: pomijamy małe wyższego rzędu niż jeden ( (qxdx)(0,5dx)): z sumy rzutów sił na oś Oy jest: stąd: różniczkujemy stronami i wykorzystujemy zależnośd ostatecznie otrzymano zależnośd wiążącą moment gnący z obciążeniem ciągłym

42 42 przekształcając równanie mamy: - pochodna względem x funkcji momentu gnącego (84) równa się funkcji siły tnącej, - pochodna względem x funkcji siły tnącej (86,87) równa się ujemnej wartości funkcji obciążenia ciągłego Wykresy momentów gnących, sił tnących i normalnych Metodyka rozwiązywania zagadnieo związanych z tworzeniem ww. wykresów przedstawia się następująco: 1. wyznaczyd wartości reakcji podpór, 2. ustalid przedziały zmienności funkcji momentów i sił tnących, 3. wyznaczyd funkcje momentów i sił tnących, 4. sporządzid wykresy momentów gnących i sił tnących z zachowaniem przyjętych wcześniej znaków (punkt 16.1) Przykład 1: Sporządzid wykres momentów gnących i sił tnących dla belki wspornikowej o długości l obciążonej na całej długości obciążeniem ciągłym q wg. rysunku. W celu wyznaczenia reakcji w utwierdzeniu A należy zapisad 3 równania równowagi.

43 43 Przykład 2 Belka AB = a+b podparta na obu koocach na podporze przegubowej stałej w punkcie B i podporze przegubowej przesuwnej w punkcie A jest obciążona skupionym momentem M w punkcie C. Sporządzid wykresy momentów gnących i sił tnących. Równania równowagi sił działających na belkę.

44 Naprężenia normalne przy czystym zginaniu Na podstawie wykresów momentów gnących, sił tnących i sił normalnych znajduje się niebezpieczny przekrój belki czy ramy to miejsce, w którym moment gnący osiąga wartośd maksymalną. Analizując sposób rozkładu naprężeo normalnych w przekroju elementu konstrukcji uzyskad można zależnośd, dzięki której obliczyd można te naprężenia. Do analizy posłuży przypadek czystego zginania W przekrojach belki będzie działał tylko moment gnący, co oznacza, że przy czystym zginaniu w przekrojach poprzecznych pręta nie ma naprężeo stycznych. ZAŁOŻENIA: 1. Przekroje poprzeczne płaskie przed odkształceniem są również płaskie po odkształceniu i są prostopadłe do osi pręta. Przy czystym zginaniu przekroje poprzeczne pręta obracają się tylko o pewien kąt, będący miarą odkształcenia. 2. Wskutek obrotu przekrojów pręta odkształcają się jego wzdłużne elementy, zwane włóknami. Zakłada się, że włókna nie wywierają na siebie nacisku i znajdują się w jednowymiarowym stanie naprężenia proste rozciąganie i ściskanie. 3. Odkształcenia włókien równoległych do osi pręta i znajdujących się w płaszczyźnie równoległej do warstwy obojętnej nie zależą od ich położenia w tej płaszczyźnie. Stąd naprężenia normalne w punktach przekroju, znajdujących się w tej samej odległości od warstwy obojętnej, są takie same.

45 45 Rozpatrujemy wycinek belki o długości dx (belka poddana jest czystemu zginaniu), przyjmujemy, że przekrój poprzeczny belki jest prostokątem, oś Ox pokrywa się z nieodkształconą osią belki, osie Oy i Oz są głównymi osiami bezwładności pola przekroju poprzecznego. Przy zginaniu górne włókna ulegają skróceniu a dolne wydłużeniu. Istnieje też taka warstwa włókien, która nie zmienia swojej długości taką warstwę nazywa się WARSTWĄ OBOJĘTNĄ, a prostą powstałą z przecięcia tej warstwy z przekrojem poprzecznym pręta nazywa się OSIĄ OBOJĘTNĄ. Rozpatrujemy wydłużenie względne włókna o długości dx, znajdującego się w odległości y od warstwy obojętnej, wynosi ona: - promieo krzywizny Początkowa długośd tego włókna przed odkształceniem była równa wydłużenie względne tego włókna dla czystego zginania, przy zastosowaniu drugiego założenia, mamy Wykorzystujemy równania równowagi elementu belki, aby określid zależności wiążące naprężenia normalne z momentem gnącym i wymiarami belki. Redukując układ sił

46 wewnętrznych w przekroju belki określonym współrzędną x otrzymujemy parę sił działającą w płaszczyźnie obciążenia 46 Układ sił działających na rozpatrywany odcinek belki jest płaskim układem sił możemy dla niego ułożyd trzy równania równowagi. Wydzielamy w polu przekroju element pola da, na ten element działa siła normalna da. Suma rzutów na oś Ox wynosi: Suma momentów względem osi Oz po uwzględnieniu zależności :

47 47 łatwo zauważyd (poprzedni wykład), że wyrażenie jest głównym momentem bezwładności względem osi obojętnej przekroju poprzecznego rozpatrywanego pręta oznaczanym I z Z tej zależności wyznaczamy krzywiznę osi belki poddanej czystemu zginaniu: zależnośd nazywa się SZTYWNOŚCIĄ ZGINANIA BELKI Podstawiając następnie zależnośd (94) do wzoru mamy: Największe naprężenie normalne występuje we włóknach najdalej położonych od osi obojętnej przekroju poprzecznego

48 48 Iloraz oznaczany jest nazwano WSKAŹNIKIEM WYTRZYMAŁOŚCI PRZEKROJU NA ZGINANIE i, stąd Suma momentów względem osi Oy po uwzględnieniu zależności : wynika stąd, że moment dewiacji I zy pola przekroju poprzecznego w płaszczyźnie Ozy jest równy zero oznacza to, że osie Oy i Oz są głównymi centralnymi osiami bezwładności pola przekroju. Wskaźnik wytrzymałości na zginanie dla przekroju prostokątnego o wymiarach wynosi (wartości momentów bezwładności podawane były na poprzednim wykładzie): maksymalne naprężenia normalne: Wskaźnik wytrzymałości na zginanie dla przekroju kołowego o średnicy d wynosi:

49 Wskaźnik wytrzymałości na zginanie dla przekroju pierścieniowego o średnicach d(średnica wewnętrzna ) i D(średnica zewnętrzna) wynosi: 49 jeśli oznaczy się to: Obliczenia wytrzymałościowe sprowadzają się do określenia największego naprężenia normalnego w danym przekroju poprzecznym. Warunek wytrzymałościowy można zapisad jako: k g maksymalne dopuszczalne naprężenie zginające. Przykład 1. Wyznaczyd wymiary przekroju poprzecznego belki o długości l=2m, obciążonej siłą skupioną P= 70 kn. Do obliczeo przyjąd, że przekrój poprzeczny belki jest kwadratem, a naprężenie dopuszczalne na zginanie dla stali wynosi k g = 160 MPa. Z równao równowagi otrzymujemy

50 SKRĘCANIE Wiele części maszyn i całe konstrukcje jest narażonych na odkształcenia spowodowane skręcaniem. Skręcane są wszystkie wały, sprężyny spiralne, rurki z których zbudowany jest szkielet samolotu, kratownice przestrzenne, itd. Czystym skręcaniem nazywa się odkształcenie wywołane dwiema parami sił (dwoma momentami) równymi, lecz przeciwnie zwróconymi, działającymi na koocach pręta w płaszczyznach prostopadłych do jego osi. Moment pary sił działającej na koniec pręta to moment skręcający M s Skręcanie prętów o przekrojach kołowosymetrycznych Rozpatrujemy pręt o przekroju kołowym, jeden jego koniec jest utwierdzony, na drugi swobodny działa moment skręcający M s. Na zakreskowany element prostokątny działają naprężenia styczne. Zwroty tych naprężeo odpowiadają odkształconej postaci elementu. Przy skręcaniu pręta jego tworzące przyjmują kształt linii śrubowych i obracają się o kąt odkształcenia postaciowego.

51 W przypadku małych odkształceo przyjmujemy założenia: w przekrojach poprzecznych pręta, prostopadłych do jego osi, występują tylko naprężenia styczne, 2. przekroje poprzeczne, płaskie przed odkształceniem, pozostają płaskimi po odkształceniu, 3. promienie przekrojów poprzecznych pręta po odkształceniu pozostają odcinkami linii prostych. Uwzględniając powyższe założenia, warunki geometryczne pręta skręcanego o długości dx, ograniczonego dwoma płaszczyznami prostopadłymi do osi pręta i powierzchnią cylindryczną o promieniu przedstawiają się następująco: Przy skręcaniu przekrój II obróci się względem przekroju I o kąt obrotu d, a promieo OB= zajmie nowe położenie OB. Temu odkształceniu odpowiada kąt odkształcenia postaciowego p tworzącej AB na walcowej powierzchni. Wyrażając długośd łuku BB za pomocą kątów p i d mamy: to kąt odkształcenia postaciowego p :

52 52 Korzystając ze związku określającego prawo Hooke a dla czystego ścinania(zależnośd (59), poprzedni wykład) otrzymujemy funkcję naprężenia stycznego: Dla rozpatrywanego przekroju, dla którego, występujące naprężenia styczne mają wartości proporcjonalne do promienia i są do niego prostopadłe: Na element przekroju poprzecznego pręta da działa siła wewnętrzna p da, która daje moment względem punktu O na ramieniu Po uwzględnieniu otrzymujemy: całkujemy obie strony równania

53 z poprzedniego wykładu wiadomo, że taka zależnośd to moment bezwładności przekroju poprzecznego pręta względem jego środka ciężkości. Po rozdzieleniu zmiennych otrzymujemy: 53 całkując obustronnie mamy: otrzymujemy wzór na kąt skręcenia: we wzorze zależnośd nazywana jest sztywnością skręcania. Kąt skręcenia jest proporcjonalny do wartości momentu skręcającego i długości pręta. Moment skręcający uważany jest za dodatni gdy jego wektor skierowany jest na zewnątrz przekroju badanej belki. M1 i M3 (+),M2 (-) lewa strona przekroju M4, M5, M7 (-), M6 (+) prawa strona przekroju Aby znaleźd naprężenia styczne przy skręcaniu należy przekształcid zależnośd

54 54 otrzymujemy wstawiając do wzoru otrzymujemy: stąd Największa wartośd naprężeo stycznych występuje w punktach przekroju najbardziej oddalonych od środka ciężkości tego przekroju: gdzie wskaźnik wytrzymałości przekroju na skręcanie. wartośd dla pełnego pręta dla wału wdrążonego, gdzie D średnica zewnętrzna, d średnica wewnętrzna zakładając α=d/d wzór przyjmuje postad Warunek wytrzymałościowy

55 55 k s maksymalne dopuszczalne naprężenia skręcające Warunek sztywności dop dopuszczalny kąt skręcenia Przykład 1 Określid największe naprężenia skręcające wału stalowego o średnicy d= 80mm, jeżeli wał skręcił się o kąt = 0,25 o na metr długości wału. Współczynnik sprężystości poprzecznej materiału wału G= kg/cm 2.

56 56 Przykład 2 Określid średnicę d wału stalowego przenoszącego moment skręcający M s = 500kG cm, jeżeli dopuszczalne naprężenie na skręcanie k s = 250 kg/cm 2.

57 57 Przykład 3 Wal stalowy o średnicy d=20 mm i długości l=0,8 m przenosi moment skręcający M s = 1000kG cm. Obliczyd największe naprężenie skręcające oraz kąt skręcenia wału, jeżeli współczynnik sprężystości poprzecznej G= kg/cm 2.

58 Skręcanie prętów o przekroju niekołowym Przy skręcaniu prętów o przekrojach niekołowych np. prostokątnych, obraz odkształceo jest bardziej złożony niż w przypadku pręta o przekroju kołowym. Pod wpływem przyłożonego momentu skręcającego przekroje poprzeczne tego pręta ulegają wypaczeniu (deplanacji) co oznacza, że pierwotnie płaski przekrój nie będzie płaski po skręceniu, a to oznacza że w tym przypadku nie można zastosowad hipotezy płaskich przekrojów. Metodami wytrzymałości materiałów nie można określid odkształceo i naprężeo stycznych w takich przypadkach ma zastosowanie teoria sprężystości Skręcanie swobodne to takie, które pozwala na swobodną deplanację (odkształcenie przestrzenne) przekroju poprzecznego.

59 59 Największe naprężenia styczne występują w środku dłuższego boku h prostokąta. Można je obliczyd ze wzoru: Kąt skręcenia pręta o długości l Wartości współczynników α i uzyskane na podstawie teorii sprężystości wynoszą: 1,0 1, α 0,208 0,231 0,246 0,267 0,282 0,291 0,299 0,307 0,312 0,333 0,141 0,196 0,229 0,263 0,281 0,291 0,299 0,307 0,312 0,333 koniec W5