Modele wyceny instrumentów dłużnych. opracował: Grzegorz Szafrański ( 2011) (Katedra Ekonometrii UŁ)

Transkrypt

1 Modele wyceny instrumentów dłużnych opracował: Grzegorz Szafrański ( 2011) (Katedra Ekonometrii UŁ) 1

2 Literatura: Przygotowano na podstawie: J. Campbell, A. Lo i A.C. MacKinley, The econometrics of financial markets, Princeton University Press, 1997, rozdział 10 i 11. M. Choudry, Fixed-Income Securities and Derivatives Handbook. Analysis and Valuation, Bloomberg Press, 2005, rozdział 5. K. Cuthbertson, D. Nitzsche, Quantitative Financial Economics, J. Wiley & Sons, 2004, rozdział R. Jarrow, Modeling Fixed-Income Securities and Interest Rate Options, Stanford University Press, Johnson, Bond Evaluation, Selection, and Management, Blackwell Publishing, 2004, rozdział 3. M. Fabozzi, Bond Markets, Analysis and Strategies, Prentice Hall, B. Tuckman, Fixed Income Securities. Tools for Today s Markets, J. Wiley & Sons, 2002, rozdział 4.. Ważne artykuły: C. R. Nelson, A. F. Siegel. Parsimonious modeling of yield curves, Journal of Business 60(4): L. Svensson (1994). Estimating and Intepreting Forward Rates, NBER WP

3 Podstawowe problemy Jakie ryzyko wiąże się z posiadaniem instrumentów dłużnych? Czy tylko ryzyko niewypłacalności dłużnika (tzw. default risk)? Jak kształtują się ceny instrumentów dłużnych w czasie i w przekroju? Jakimi metodami wyceniać instrumenty dłużne? Jak przewidywać zmiany ich cen? Jak dyskontować przepływy? 3

4 Podstawowe pojęcia Charakterystyki podstawowych instrumentów dłużnych (bony pieniężne i skarbowe, obligacje, lokaty międzybankowe): - wartość nominalna (face value) - termin wykupu (maturity date) - kupon odsetkowy (coupon) i sposób jego wypłaty nie dotyczy obligacji zerokuponowych, kupowanych z dyskontem Pozwalają one jednoznacznie wyznaczyć: stopę procentową w terminie do wykupu (yield to maturity, YTM), czyli efektywną stopę procentową obligacji zerokuponowej. 4

5 Obligacja zerokuponowa (pożyczka dyskontowa) W chwili t inwestujemy kwotę F P(t,T) w instrument dłużny o wartości nominalnej F, na m=t-t okresów gdzie P(t,T) jest jednostkową ceną rynkową takiej obligacji np. cena 0,80 oznacza 80 za 100 wartości nominalnej. Jaka stopa procentowa R(t,T)>0 odpowiada efektywnej stopie inwestycji YTM? Odpowiedź: Jest to wewnętrzna stopa zwrotu IRR, czyli R: NPV(R) = 0. 5

6 Stopa zwrotu w terminie do wykupu (YTM) Zgodnie z zasadą kalkulacji wartości pieniądza w czasie NPV(R) = PV F P(t,T) = F/(1+R) T-t F P(t,T) = 0 Stąd otrzymujemy 1+R(t,T) = [1/ P(t,T)] 1/(T-t) YTM(m) = [1/ P(t,T)] 1/m 1 Czy ceny obligacji są wprost proporcjonalne do terminu wykupu? Jeśli tak to krzywa dochodowości jest płaska (YTM(m)=const). 6

7 Logarytmiczna ytm 1+YTM(t,T) = [1/ P(t,T)] 1/(T-t) Logarytmiczna stopa zwrotu ytm(m) = ln(1+ytm(t,t)) : ytm(m) = p (t,t)/m, gdzie p(t,t) = ln(p(t,t)) Cena za jednostkę nazywana jest czynnikiem dyskontowym: P(t,T) = 1/(1+R) T-t czyli p(t,t) = m ytm(m) Uwaga: odtąd wszystkie relacje analizujemy dla logarytmicznych stóp zwrotu, 7

8 Krzywa dochodowości spot Funkcję m YTM(m) na podstawie notowań rynkowych nazywamy krzywą dochodowości spot (yield curve) Źródło: 8

9 Stopa zwrotu w okresie inwestycji Obligację o terminie zapadalności T można sprzedać przed terminem wykupu po n (n<m) okresach po cenie rynkowej P(t+n,T). Logarytmiczna stopa zwrotu w okresie pierwszego roku (n=1) wynosi: ytm(t,t+1) = p(t+1,t) p(t,t) = = (T t) ytm(t,t) (T t 1) ytm(t+1,t) Z tego wzoru można wyprowadzić: ytm(t,t) = [(ytm(t,t+1)+ytm(t+1,t+2)+ +ytm(t 1,T)]/m co oznacza, że ytm(t,t) jest średnim kosztem pieniądza w okresie inwestycji 9

10 Krzywa stóp forward Definiujemy ponadto logarytmiczną stopę forward (dla uproszczenia analizujemy tylko forward na 1 okres od T do T+1): f(t,t) = p(t,t) p(t,t+1) Wyznacza ona utracone korzyści z tytułu skrócenia inwestycji o 1 rok. Logarytm współczynnika dyskonta jest równy (minus) sumie stóp forward p(t,t) = Σ j=t T-1 f(t,j) Dla stóp forward i współczynników dyskonta również można wyznaczyć odpowiednie krzywe forward i dyskonta 10

11 Stopy forward i arbitraż Bieżąca struktura terminowa stóp spot w okresie t R(1), R(2),, R(m) gwarantuje uzyskanie w okresie od t<t do t+1 dochodu równego stopie forward. Na przykład log. stopa forward za rok na rok wynosi: f(t,t+1) = p(t,t+1) p(t,t+2) = = 2 ytm(t,t+2) ytm(t,t+1) Akcja Okres 0 Po roku Po 2 latach Pożyczka 1 rok 1 -(1+R1) Inwestycja 2 lata -1 (1+R2) 2 Per saldo 0 -(1+R1) (1+R2) 2 Modelem opisującym dynamikę stóp forward jest model HJM (Heath,Jarrow,Morton 1992) 11

12 Stopa spot Stopa spot to stopa dla kontraktu pozbawionego ryzyka na jeden okres, czyli: r(t) = f(t,t) lub inaczej: r(t) = p(t,t) p(t,t+1) = p(t,t+1) = ytm(t,t+1) Uwaga: Przyszłe stopy spot są nieobserwowalne. Wyzwaniem ekonometrii finansowej jest ich modelowanie: Vasicek (1977), Cox-Ingersoll-Ross (CIR 1985), Vasicek-Hull-White (VHW) 12

13 Obligacja kuponowa Cena kuponowej obligacji (Rc to zwykła stopa dyskonta): Pc(m) = C/(1+Rc)+ C/(1+Rc) (1+C)/(1+Rc) m Obligacja jest kwotowana z premią (gdy Pc(m)>1), z dyskontem (Pc(m)<1) i at par (Pc(m)=1). Tylko w tym ostatnim przypadku łatwo jest wskazać rozwiązanie (Rc=C). W pozostałych przypadkach należy wyznaczyć IRR numerycznie i podać schemat reinwestycji kuponów. Gdy m (wieczna renta, perpetuity) Rc = C/Pc 13

14 Duration dla obligacji kuponowej Duracja Macaulay a to termin do wykupu ważony okresami wypłaty Duration = Σ t=1m [t C/(1+Rc) t ]/ Pc(m) = = [1 C/(1+Rc)+ 2 C/(1+Rc) m (1+C)/(1+Rc) m ]/ Pc(m) Dla obligacji kuponowych Duration < m Ile wynosi dla obligacji zerokuponowych? perpetuity? D = (1+Rc)/Rc i at par? D = (1 (1+Rc) -m )/(1 (1+Rc) -1 ) 14

15 Immunizacja Własność immunizacji (aktywa i pasywa a zmiany stóp proc.): W jakie obligacje inwestować, aby zabezpieczyć się przed ryzykiem (małej) zmiany stopy procentowej? Zmodyfikowane duration mierzy elastyczność ceny obligacji na zmianę R Duration / (1+Rc) = [dpc(m)/drc] / Pc(m) Cena obligacja kuponowej spada tyle samo co cena obligacji zerokuponowej o okresie do wykupu m = Duration, gdy stopy Rc(m) rosną o tyle samo dla każdego m. 15

16 Convexity, czyli wypukłość obligacji Convexity =C Σ t=1m [t (t+1)/(1+r) t+2 ]/ P dp(r) [dp/dr] R + ½ [d 2 P/(dR) 2 ] ( R) 2 dp(r)/p [Duration/(1+R)] R + ½ Convexity ( R) 2 16

17 Teorie terminowej struktury stopy procentowej 1. Teorie oczekiwań: Czyste teorie oczekiwań (Pure Expectations Hypothesies, PEH) R=const, płaska krzywa spot, rosnąca/malejąca R nachylenie +/- teorie uwzględniające obciążone oczekiwania: 1. Teoria preferencji płynności/premii za płynność (Liquidity Theory) ryzyko zmian stopy proc. obligacji + awersja do ryzyka, premia za płynność (dla długich tenorów) 2. Premia za preferowane tenory (Preferred Habitat Theory) nie wszyscy pożyczkodawcy wolą pożyczać na długi okres, a inwestorzy inwestować na okres krótki, preferowane tenory zależą od struktury zobowiązań. 2. Teoria segmentacji rynku ze względu na preferencje podmiotów popyt i podaż na rynkach o różnych tenorach niezależna od siebie, bo inwestorzy niechętni do zmiany preferencji 17

18 Hipoteza oczekiwań I (lokalna) Premia struktury terminowej tzw. PEH jest nadwyżkową stopą zwrotu z obligacji o kuponie płatnym w okresie T: E t P(t+1,T)/ P(t,T) (1 + r(t)) = 0, gdzie r(t) oznacza zwykłą jednookresową stopę spot, a E t P(t+1,T) oznacza oczekiwaną cenę obligacji w okresie t+1. Testowanie: stopa zwrotu dla krótkich horyzontów nie zależy od m Po przekształceniu PEH wyraża ideę wartości pieniądza w czasie: P(t,T) = E t P(t+1,T)/ (1+ r(t)) Na ogół nie jest prawdziwa. Dodatnia premia za ryzyko i płynność. 18

19 Hipoteza oczekiwań II (nieobciążony forward) Premia za płynność wg PEH oznacza premię za rezygnację z czekania na pożyczkę lub inwestycję: f(t,t) E t r(t) = 0, gdzie E t r(t) oznacza oczekiwaną w okresie T stopę spot Premia wyraża obciążenie prognoz stóp zwrotu z obligacji. Testowanie: rolowanie krótkoterminowych obligacji da stopę długookresową W świecie inwestorów neutralnych wobec ryzyka premia równa zero, w teorii oczekiwań (EH) przyjmujemy, że jest ona stała, w teorii premii za płynność, że jest ona wyższa dla dłuższych tenorów, wg innej teorii, że zmienia się ona w czasie wraz z volatility. 19

20 Testowanie PEH 1. Stopy forward przewidują przyszłe stopy spot 2. Spready terminowe przewidują przyszłe zmiany stóp (kointegracja)

21 Krzywa dochodowości procedura wyznaczania Idea McCulloch (1971,1975) 1. Wyznaczenie stóp spot dla okresów wypłaty nominałów lub kuponów 2. Wygładzamy stopy zwrotu (najlepiej logarytmiczne) lub czynniki dyskonta P(t,T) za pomocą liniowej interpolacji lub wielomianów (piece-wise cubic splines) np. 3-go stopnia YTM(m)=a+b m+c m 2 +d m 3, które łączy się w wybranych węzłach np. 1, 3, 5 lat nakładając warunki na ich wygładzenie w tych węzłach (równe pochodne i drugie pochodne). 3. Zakłada się ponadto, że YTM (0)=YTM (t max )=0 Inne rozwiązanie kombinacja wielomianów tzw. krzywe B-sklejane. 21

22 Krzywa dochodowości metodą cubic splines Podsumowanie: Splines (krzywe sklejane) to posklejane funkcje stopnia n, które mają ciągłe pochodne rzędu n-1, jest to metoda nieparametryczna (parametry nie mają interpretacji) wrażliwa na nietypowe obserwacje. 22

23 Parametryczne krzywe dochodowości Nelson-Siegel 1. Pierwszy krok taki sam jak poprzednio. 2. Dopasowujemy do stóp forward w okresie t nie wielomian tylko określoną funkcję np. krzywą Nelsona i Siegela: f(t,m) = β 0 + [β 1 + β 2 (m/ )] exp(-m/ ) ze stóp forward można wyznaczyć krzywą dla czynnika dyskonta: P(t,t+m) = exp {-β 0 m+ (β 1 + β 2 )[1-exp(-m/ )] - β 2 m exp(-m/ )} a także krzywą spot: ytm(t,t+m)=1/m t T f(t,x)dx Interpretacja i znaki parametrów: > 0 β 0 = f(t) długi okres β 0 + β 1 = f(0) krótki okres β 2 m >0 lub β 2 m <0 garb lub jar (średni okres) β 2 jego głębokość

24 Rozszerzony N-S - dekompozycja 9,0% 8,0% 7,0% 6,0% Total 5,0% Comp 1 4,0% 3,0% 2,0% 1,0% Comp 3 0,0% Comp 2

25 Parametryczne krzywe dochodowości - Svensson Aby zwiększyć elastyczność i poprawić dopasowanie krzywej forward dodajemy drugie wybrzuszenie: f(t,m) = β 0 + [β 1 + β 2 (m/ 1 )] exp(-m/ 1 ) + β 3 (m/ 2 ) exp(-m/ 2 ) A krzywa dla stóp spot wygląda tak: ytm(t,t+m) = β 0 + (β 1 + β 2 )[1-exp(-m/ 1 )]/ (m/ 1 ) β 2 exp(-m/ 1 )+ + β 3 [1-exp (-m/ 2 )]/ (m/ 2 ) β 3 exp(- m/ 2 ) Interpretacja i znaki parametrów analogicznie: 1, 2 > 0 2 garby/jary