Wykłady z dydaktyki matematyki (klasy IV-VIII) III rok matematyki semestr zimowy 2017/2018 ćwiczenia i wykład nr 6

Transkrypt

1 Wykłady z dydaktyki matematyki (klasy IV-VIII) III rok matematyki semestr zimowy 2017/2018 ćwiczenia i wykład nr 6

2 Zadanie domowe Wizualizacje do oddania. Przygotuj dwie pary kart Matematyczne skojarzenia, jedną dla szkoły podstawowej, drugą dla gimnazjum (do oddania za tydzień). Przeczytaj tekst z podręcznika BSS: Wybierz podręcznik do IV-VI klasy wydany w XXI wieku i znajdź fragment opisujący prawa dodawania. Porównaj oba podejścia do tego zagadnienia, z podręcznika BSS i to XXI-wieczne.

3 Agata S. x

4 Alchwarizmi Trzy pierwiastki (z kwadratu) i (liczba) cztery równa się kwadratowi. Weź połowę pierwiastków i podnieś ją do kwadratu. ( 3 2) 2 = Dodaj do ostatniego wyniku liczbę = Weź pierwiastek z ostatniego wyniku = Dodaj połowę liczby pierwiastków = 4 Otrzymana liczba jest pierwiastkiem równania. x = 4 Ta procedura jest ogólna, zastosujmy ją do równania bx + c = x 2

5 Przykład nr 12 z wykładu Oblicz kolejne wyrazy ciągu x 1 = 1, x n+1 = x n n = 1, 2, x n dla Porównajmy ten algorytm ze szkolnym sposobem obliczania przybliżeń. Dlaczego ten rekurencyjny sposób jest tak dobry? Czy można rozpocząć od innej liczby? Po ilu krokach otrzymamy przybliżenie z dokładnością do 10 6? Jak wyjaśnić działanie tego algorytmu graficznie?

6 Algorytmy w japońskich podręcznikach

7 Algorytmy w japońskich podręcznikach

8 Algorytm Euklidesa Stosując algorytm Euklidesa, oblicz: NWD(21,34) NWD(345, 12) Jeszcze raz o poprawności algorytmu Euklidesa. Znajdź jedno rozwiązanie w liczbach całkowitych równań 21x + 34y = 1, 345x + 12y = 3. Banknot 20-złotowy trzeba rozmienić na monety 5-złotowe lub 50-groszowe. Na ile sposobów można to zrobić?

9 Kolokwium 9 stycznia

10 Zadanie domowe Znajdź algorytm szukania przybliżeń liczb: 3, 5, a. Przygotuj uzasadnienie poprawności: cechy podzielności przez 4, cechy podzielności przez 11. Znajdź jedno a następnie wszystkie rozwiązania w liczbach całkowitych równania 345x + 12y = 3. Dysponujemy dowolną ilością monet o nominale 3 i nominale 7. Jakie kwoty możemy wypłacić za pomocą tych monet? Na ile sposobów można wypłacić kwotę 100 za pomocą tych monet? Znajdź metodę sekwencyjnego obliczania kolejnych cyfr pierwiastka kwadratowego z liczby (w książkach, w Internecie); spróbuj zrozumieć działanie tego algorytmu. Zaplanuj kilka realistycznych sytuacji do ćwiczenia algorytmów na poziomie szkoły podstawowej. Zastanów się nad pytaniami ze slajdu nr 5.

11 Wykład nr 6 Liczby w matematyce szkolnej

12 Liczby naturalne: PPM (fragmenty) dla etapu I (klasy I-III) 1. liczy (w przód i w tył) od danej liczby po 1, dziesiątkami od danej liczby w zakresie 100 i setkami od danej liczby w zakresie 1000; 2. zapisuje cyframi i odczytuje liczby w zakresie 1000; rozumie dziesiątkowy system pozycyjny; 3. porównuje dowolne dwie liczby w zakresie 1000 (słownie i z użyciem znaków <, >, =); 4. dodaje i odejmuje liczby w zakresie 100 (bez algorytmów działań pisemnych); sprawdza wyniki odejmowania za pomocą dodawania; 5. mnoży i dzieli liczby w zakresie tabliczki mnożenia (bez algorytmów działań pisemnych); podaje z pamięci iloczyny; sprawdza wyniki dzielenia za pomocą mnożenia; 6. rozwiązuje łatwe równania jednodziałaniowe z niewiadomą w postaci okienka (bez przenoszenia na drugą stronę); 7. rozwiązuje proste zadania tekstowe (w tym zadania na porównywanie różnicowe, ale bez porównywania ilorazowego);

13 IV klasa pierwsze kroki Zapytaj nauczyciela nauczania początkowego, po którym przejmujesz klasę, o program, podręczniki, mocne strony klasy, słabe strony. Dostosuj swój program do stanu wiedzy wejściowej.

14 Liczby naturalne: PPM (fragmenty) dla etapu II (klasy IV-VIII) Liczby naturalne w dziesiątkowym układzie pozycyjnym. Uczeń powinien: 1.1. zapisywać i odczytywać liczby naturalne wielocyfrowe; 1.2. interpretować liczby naturalne na osi liczbowej; 1.3. porównywać liczby naturalne; 1.4. zaokrąglać liczby naturalne; 1.5. liczby w zakresie do 30 zapisane w systemie rzymskim przedstawiać w systemie dziesiątkowym, a zapisane w systemie dziesiątkowym przedstawiać w systemie rzymskim. Przykładowe zadania Z.1.a) Przeczytaj liczbę Z.1.b) Zaznacz na osi liczbowej liczby 120, 140, 165 dobierz jednostkę tak, aby było to możliwe. Z.1.c) Porównaj dwie liczby: I i 780, II i Z.1.d) Liczby XIV i XIX zapisz w systemie dziesiątkowym. Z.1.e) Zaokrąglij liczbę do: I. tysięcy, II. setek, III. dziesiątek, IV. jedności.

15 Działania na liczbach naturalnych Uczeń: 1) dodaje i odejmuje w pamięci liczby naturalne dwucyfrowe, liczby wielocyfrowe w przypadkach, takich jak np lub ; liczbę jednocyfrową dodaje do dowolnej liczby naturalnej i odejmuje od dowolnej liczby naturalnej; 2) dodaje i odejmuje liczby naturalne wielocyfrowe pisemnie, a także za pomocą kalkulatora; 3) mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach); 4) wykonuje dzielenie z resztą liczb naturalnych; 5) stosuje wygodne dla niego sposoby ułatwiające obliczenia, w tym przemienność i łączność dodawania i mnożenia; 6) porównuje różnicowo i ilorazowo liczby naturalne; 7) rozpoznaje liczby naturalne podzielne przez 2, 3, 5, 9, 10, 100; 8) rozpoznaje liczbę złożoną, gdy jest ona jednocyfrowa lub dwucyfrowa, a także, gdy na istnienie dzielnika wskazuje poznana cecha podzielności; 9) rozkłada liczby dwucyfrowe na czynniki pierwsze; 10) oblicza kwadraty i sześciany liczb naturalnych; 11) stosuje reguły dotyczące kolejności wykonywania działań; 12) szacuje wyniki działań.

16 Przykładowe zadania (z PPM) Oblicz w pamięci: , , 60 30, 1800:200, Oblicz, o ile liczba 164 jest większa od liczby 16. O ile liczba 16 jest mniejsza od liczby 164? Ile razy liczba 17 jest mniejsza od liczby 68? Ile razy liczba 68 jest większa od liczby 17? Czy liczba 6230 jest podzielna przez 9? Spośród liczb 375, 1050, 2015, 350 wybierz liczby jednocześnie podzielne przez 3 i przez 5. Spośród liczb 111, 112, 171, 103, 135 jedna jest liczbą pierwszą. Która to liczba? Oblicz 81 2, 32 2, Paweł chce kupić 3 fotele po 488 zł i kanapę za 1249 zł. Czy wystarczy mu 2700 zł? Zapisz liczbę, która jest o 16 większa od liczby 14 Zapisz liczbę, która jest 8 razy mniejsza od liczby 1640.

17 Liczby naturalne system dziesiątkowy Liczba naturalna występuje głównie w dwóch różnych aspektach: kardynalnym i porządkowym. Klasa I SP

18 Aspekt porządkowy DENTYSTA nr 1 nr 2 nr 3 nr 4 nr 5

19 Inne aspekty liczby naturalnej aspekt miarowy aspekt pieniężny aspekt kodowy

20 Szkolne definicje

21 Liczby naturalne Liczba naturalna to moc zbioru skończonego. Jak definiuje się dodawanie, mnożenie liczb naturalnych?

22 Działania na liczbach naturalnych Dlaczego wprowadzamy te algorytmy? algorytmy są łatwe algorytmy są uniwersalne algorytmy są bezpieczne algorytmy są łatwe do sprawdzenia

23 Pisemne dodawanie Przykład

24 Pisemne dodawanie Przykład

25 Pisemne dodawanie inny zapis

26 Pisemne mnożenie

27 Pisemne dzielenie

28 Pisemne dzielenie cd.

29 Teoria liczb w klasach IV-VI PPM podaje, że uczeń: wykonuje dzielenie z resztą liczb naturalnych rozpoznaje liczby naturalne podzielne przez 2, 3, 4, 5, 9, 10, 100, rozpoznaje liczbę złożoną, gdy jest ona jednocyfrowa lub dwucyfrowa, a także, gdy na istnienie dzielnika wskazuje poznana cecha podzielności, rozkłada liczby dwucyfrowe na czynniki pierwsze.

30 Rozszerzenie treści dla klas IV-VI (PPM) rozpoznawanie wielokrotności danej liczby rozkładanie liczb naturalnych na czynniki pierwsze w przypadku, gdy co najwyżej jeden z czynników jest liczbą większą niż 10 znajdowanie największego wspólnego dzielnika i najmniejszej wspólnej wielokrotności dwóch liczb naturalnych metodą rozkładu na czynniki

31 W klasach VII-VII teorii liczb nie przewiduje się!

32 Dzielenie z resztą Przykłady: 12:10, 87:10, 123:100, 678:100 Twierdzenie o dzieleniu z resztą.

33 Dzielniki Liczba b jest dzielnikiem liczby a, gdy reszta z dzielenia a przez b jest równa zeru. Oznaczenie: b a (rzadko stosowane w szkole) Liczba dzielników wzór. NWD temat nieobowiązkowy (?); algorytmy: pierwotny, algorytm Euklidesa, algorytm korzystający z rozkładu na czynniki pierwsze (sposób zapisu). NWD matematycznie. NWD(a,b,c).

34 Algorytm Euklidesa Poprawność algorytmu Euklidesa; może być na egzaminie.

35 Wielokrotności Liczba a jest wielokrotnością liczby b, gdy b jest dzielnikiem a. NWW temat nieobowiązkowy (?); algorytmy: pierwotny, NWW(a, b) = a b/nwd(a, b), korzystający z rozkładu na czynniki pierwsze. NWW matematycznie. NWW(a, b, c). Uczniowie mylą się, mówiąc największa wspólna wielokrotność. Kłopoty z zerem.

36 Cechy podzielności Przez 2, 4, 5,10, 100. Przez 3 i 9. Uzasadnienie: eksperymentalne, precyzyjne.

37 Liczby pierwsze, liczby złożone Definicje. Sprawdzanie pełne, sprawdzanie z oszacowaniem. Sito Eratostenesa. Drzewko z jabłkami oznaczonymi liczbami od 1 do 40.

38 Rozkład na czynniki pierwsze zakres zapis

39 Literatura D. Haylock, Mathematics explained for primary teachers, Sage, 2010, str.110, 155 W. Marzantowicz, P.Z., Elementarna teoria liczb, PWN, 2006