WIELOKRYTERIALNA ROZMYTA OPTYMALIZCJA DYSTRYBUCJI W WARUNKACH NIEPEWNOCI

Transkrypt

1 WIELOKRYTERIALA ROZYTA OPTYALIZCJA DYSTRYBUCJI W WARUKACH IEPEWOCI Ludmiła Dymowa, arek Dolata dymowa@icis.pcz.czest.pl, mailto:marek@zapr.pl Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej, Politechnika Czstochowska ul. Dbrowskiego 73, Czstochowa Streszczenie. Zagadnienie optymalizacji działalnoci dystrybutora zostało sformułowane z uwzgldnieniem nie tylko kosztów transportu, ale take ogranicze, zwizanych z moliwoci spełnienia kontraktów, zawartych pomidzy dystrybutorem i odbiorcami oraz midzy dystrybutorem i dostawcami. Do formalizacji istniejcych niepewnoci uyte zostały elementy teorii zbiorów rozmytych, pozwalajce na uwzgldnienie nie tylko obiektywnych informacji, otrzymanych za pomoc statystycznej obróbki danych, ale wiedzy i intuicji specjalistów z dziedziny problemu. Problem został rozwizany w dwóch etapach. Dla rozwizania pierwszego etapu uyto rozmytego uogólnienia tradycyjnej metody programowania liniowego simplex za pomoc programowania obiektowego. Przy tym w realizacji operacji arytmetycznych na liczbach rozmytych uyto procedury ich przedstawienia w postaci sieci α-przekrojów. Istotnym problemem w realizacji tego podejcia jest porównywanie liczb rozmytych, dlatego uywano oryginalnej procedury, opartej na probabilistycznej interpretacji przedziałów ostrych i rozmytych. a tym etapie otrzymano rozwizania w postaci liczb rozmyto-przedziałowych. W drugim wielokryterialnym etapie rezultaty pierwszego etapu posłuyły jako podstawa do dalszych oblicze, dajcych w wyniku optymalne rzeczywiste wartoci szukanych wielkoci transportowanych towarów, uwzgldniajc niepewno transakcji. Rozmyto-przedziałowe rozwizania pierwszego etapu pozwoliły na sformułowanie kryterium, dotyczcego chci maksymalizacji dochodu przez dystrybutora i kryterium ryzyka niewypełnienia podpisanych przez dystrybutora kontraktów. Wychodzc od danych obarczonych niepewnoci, dochodzimy do rozwizania rzeczywistego, uwzgldniajcego niepewno parametrów zadania, wraz z oszacowaniem ryzyka. Drugi wielokryterialny etap, którego wyniki s wynikami kocowymi procesu optymalizacji, został rozwizany z wykorzystaniem algorytmu bezporedniego przeszukiwania losowego za pomoc programowania obiektowego.

2 Kluczowe słowa: Problem dystrybutora; programowanie liniowe rozmyte; problem transportowy rozmyty, rozmyty algorytm simplex, agregacja kryteriów.. Wprowadzenie Zagadnienie optymalizacji działalnoci dystrybutora moe by sformułowane jako uogólnienie klasycznego problemu transportowego, który jest specjalnym typem zadania programowania liniowego. ródłem dostaw moe by producent, magazyn itp., dla którego przypisane s odpowiednie parametry, podobnie jak dla celu dostaw; dodatkowo znane s koszty transportu na danych trasach. W klasycznym podejciu chodzi o minimalizacj kosztów, poniesionych przez porednika, podczas transportowania towaru od producentów do konsumentów. W opracowanym podejciu postanowiono maksymalizowa zysk dystrybutora podczas transportowania towaru od producentów do konsumentów z uwzgldnieniem niepewnoci modelu. Ju w 979 Isermann [] przedstawił algorytm dla rozwizywania problemu, przy pomocy którego został wyliczony komplet wszystkich skutecznych rozwiza. Ringuest i Rinks [2] zaproponowali dwa algorytmy iteracyjne dla rozwizywania liniowego wielokryterialnego problemu transportowego. Podobne rozwizanie proponowane zostało w [3]. Dla problemu transportowego zostały opracowane róne efektywne algorytmy, jednake uwzgldniajce stałe parametrów zadania, opisane w postaci liczb rzeczywistych. Takie warunki w rzeczywistoci s spełnione rzadko, albo niemale nigdy, ze wzgldu na wahania parametrów; przykładowo ciko ustali stały koszt dla okrelonej trasy. W pracy [4] taki problem był rozwizany w warunkach przedziałowej niepewnoci kosztów transportowych. W pracach S.Chanasa i D. Kuchty [5, 6] rozwinito podejcie, oparte na rozmyto-przedziałowym przedstawieniu niepewnych parametrów modelu. Rozwój tego podejcia przedstawiony jest w pracy [7]. Ogóln charakterystyk omówionych prac jest wprowadzenie ogranicze, dotyczcych formy funkcji przynalenoci. To pozwala autorom przekształci pierwotny problem rozmytego programowania liniowego w sie zwykłych zada programowania liniowego za pomoc procedur analitycznych. W praktyce jednak funkcje przynalenoci, opisujce parametry niepewne uywanych modeli mog mie do skomplikowane formy. Oprócz tego istotnym momentem opracowania algorytmów programowania rozmytego jest niezbdno porównywania liczb rozmytych. Istnieje wiele podej do tego, ale bdziemy uywali podejcia probabilistycznego [8, 9], pozwalajcego za

3 pomoc tylko jednego, zupełnie naturalnego załoenia, stwierdzajcego, e przedział jest przedziałem liczby losowej ze stał gstoci prawdopodobiestwa, otrzyma cały zbiór operacji porównywania przedziałów ostrych, przedziałów rozmytych (z uyciem α-przekrojów) oraz przedziałów i liczb rzeczywistych. Proponowane podejcie pozwala na bezporednie rozmyte rozszerzenie klasycznego algorytmu simplex z implementacj metody za pomoc programowania obiektowego. Ze wzgldu na to, e rozmyto-przedziałowe rozszerzenie problemu dystrybutora pozwala na uzyskanie rozmyto-przedziałowych wyników, a dystrybutor do sporzdzenia kontraktów potrzebuje optymalizowanych danych rzeczywistych, problem dystrybutora został rozwizany w dwóch etapach. Pierwszy etap stanowi rozmyto-przedziałowe rozszerzenie metody simplex; drugi etap jest wielokryterialny, dla którego rozmyto-przedziałowe wyniki pierwszego etapu stanowi dane wejciowe. Dziki zastosowaniu rónych metod agregacji kryteriów lokalnych w wyniku drugiego etapu otrzymano rzeczywiste optymalizowane wartoci transportowanych wielkoci. 2. atematyczna struktura problemu Problem dystrybutora, przedstawiony na rys., mona zdefiniowa przyjmujc, e porednik zaopatruje si u producentów i dostarcza towar do konsumentów. Rys.. Graficzna prezentacja problemu dystrybutora Załoono, e wiadome s maksymalne moliwoci producentów, dotyczce iloci wyprodukowanego, towaru wynoszce a i, (i=,2,..., ) i maksymalne zdolnoci odbioru towarów przez konsumentów b j, (j=, 2,..., ). Dystrybutor posiada informacj o cenach za jednostk towaru, który kupuje u kadego producenta i o cenach sprzeday dla kadego konsumenta. Wiadomo, e straty na dostarczenie jednostki towaru od i-tego producenta do j-tego

4 konsumenta s równe c, (i=,2,..., ; j=, 2,...,). Zgodnie z zawartymi umowami dystrybutor jest zobowizany kupowa u i-tego producenta minimum p i jednostek towaru po cenie t i za jednostk oraz gwarantowa dostarczenie j-temu konsumentowi minimum q j jednostek tego towaru po cenie s j za jednostk. Cał ilo towaru powyej omówionej w kontrakcie wartoci p i, dystrybutor kupuje po cenie promocyjnej k i za jednostk. Z kolei konsument kupuje cał ilo towaru powyej q j take po cenie promocyjnej r j za jednostk. Rozwizaniem problemu s optymalizowane iloci towaru, kupowanego u kadego i-tego producenta oraz dostarczonego i sprzedanego j-temu konsumentowi x (i=,2,..., ; j=, 2,...,), w warunkach ogranicze zwizanych z podpisanymi umowami z producentami i konsumentami, dotyczcymi iloci kupna i sprzeday. W wyniku dochód dystrybutora D moe by przedstawiony przez wyraenie D ( ) ( ) ( )+ = q s j p ti c + j= x j j= i= q i= j i i= j= * r j x p * i k i () i= j= W rezultacie zadanie redukuje si do znalezienia wszystkich x, maksymalizujcych dochód D przy ograniczeniach: - dotyczcych górnych granic popytu i poday j= x ( i.. ); a i = x b j = j i= - dotyczcych dolnych granic popytu i poday j= x ( i =.. ); p i i= x (.. ); (2) x ( j =.. ). q j Sformułowany problem mona rozwiza jako zadanie programowania liniowego przy wykorzystaniu algorytmów programowania liniowego np. algorytmu simplex. Uwzgldniajc, e wszystkie parametry w ()-(3) s danymi niepewnymi, bdziemy przedstawiali je za pomoc liczb rozmytych o trapezoidalnej formie. (3)

5 Wtedy zagadnienie optymalizacji działalnoci dystrybutora moe by przedstawione w formie: ( z x ) max D = (4) i= j= - ograniczenia, dotyczce górnych granic popytu i poday j= x ( i =.. ); ai i= x ( j =.. ); b j - ograniczenia, dotyczcych dolnych granic popytu i poday j= gdzie x ( i =.. ); p i z j i i= x ( j =.. ), q j = r k c dla kadego i=.., j=... W wyraeniach (4)-(6) D, z, a, b, q, p s liczbami rozmytymi. W rezultacie otrzymamy zagadnienie maksymalizacji rozmytego dochodu (4) w warunkach ogranicze (5) i (6). W praktyce czsto mamy problem zwizany z rónymi dokładnociami przedstawienia danych niepewnych. a przykład cz opisanych powyej parametrów moe by przedstawiona w postaci trapezoidalnych liczb rozmytych na podstawie opinii ekspertów. Druga cz moe mie posta np. histogramu lub gstoci prawdopodobiestwa w do skomplikowanej formie otrzyman w wyniku bada statystycznych. W tych wypadkach zasady ogólno metodologiczne sugeruj przekształcenie wszystkich danych do formy o najmniejszym poziomie dokładnoci. Z tego te wzgldu istnieje potrzeba transformacji danych, przedstawionych w postaci rozkładu prawdopodobiestwa lub histogramu, do funkcji przynalenoci do liczby rozmyto-przedziałowej. Opracowany algorytm, budujcy funkcj przynalenoci na podstawie gstoci zmiennych losowych, jeeli takie istniej, lub bezporednio na podstawie histogramu, przedstawiono w [0]. etoda ta pozwala przedstawi wszystkie dane niepewne w jednolitej formie trapezoidalnych liczb rozmytych. Proponowana metoda rozwizania zagadnienia programowania rozmytego (4)-(6), realizowana za pomoc przedstawienia wszystkich liczb rozmytych w postaci zbiorów odpowiednich α-przekrojów, faktycznie redukuje zagadnienie rozmyte w sie zagadnie programowania ostro-przedziałowego z wykorzystaniem probabilistycznej metody porównywania przedziałów [8, 9]. (5) (6)

6 a tym etapie jako wyniki optymalizacji otrzymujemy wartoci transportowanego towaru od i-tego producenta do j-tego konsumenta oraz warto oczekiwan dochodu D w postaci trapezoidalnych liczb rozmytoprzedziałowych, uwzgldniajcych niepewno. Rozmyto-przedziałowe wyniki optymalizacji s interesujce z punktu widzenia metodologii rozwizania problemu dystrybutora. Jednake w praktyce dystrybutor wymaga, aby optymalne rozwizanie zaprezentowane zostało w postaci liczb rzeczywistych, które posłu do sporzdzenia umów z dostawcami i odbiorcami. Rozwizanie to powinno jednak równie uwzgldnia niepewno. W celu otrzymania rzeczywistych wyników optymalizacji problem dystrybutora został rozwizany w dwóch etapach. Opisany ju pierwszy etap, w wyniku którego otrzymano optymalizowane rozmyto-przedziałowe wartoci towarów transportowanych od i-tego producenta do j-tego konsumenta oraz rozmyto-przedziałow warto dochodu, pozwolił na sformułowanie wielokryterialnego drugiego etapu, w wyniku którego otrzymano optymalizowane rzeczywiste wartoci transportowanych towarów. Wyznaczony w pierwszym etapie rozmyto-przedziałowy dochód D pozwala na okrelenie zakresu zmian realnego dochodu dystrybutora z uwzgldnieniem niepewnoci; pozwala on zatem na sformułowanie funkcji λ(d), która bdzie odzwierciedleniem chci maksymalizowania dochodu przez dystrybutora. Funkcj t, przedstawion na rys. 2, mona umownie nazwa funkcj zachłannoci (funkcj bezwzgldnego denia do zysku), poniewa nie uwzgldnia ona ryzyka, a jedynie ch maksymalizacji zysku w przedziale moliwych wartoci zysku, okrelonego przez otrzymany w pierwszym etapie rozmyty dochód D. Funkcja λ(d) (rys. 2) odzwierciedla intencj dystrybutora dla maksymalizowania dochodu, nie rozwaajc zmniejszenia moliwoci maksymalizacji dochodu z powodu zwikszenia ryzyka. Takiego rodzaju ryzyka mog by formalizowane niejawnie za pomoc ograniczenia na iloci towarów, kupionych i sprzedanych przez dystrybutora. x

7 Rys. 2 Funkcja przynalenoci dochodu dystrybutora µ(d) oraz funkcja chci osignicia dochodu (zachłannoci) λ(d) Ch dystrybutora, co do maksymalizowania dochodu jest sprzeczna z intencj minimalizacji ryzyka. Dlatego potrzebne jest znalezienie kompromisu. Sformułujmy zagadnienie w inny sposób. Tak jak wczeniej, mamy producentów i konsumentów. Wiadome rozmyte przedziały iloci sprzeday {a i }(i=,2..), i kupna { b j }(j=,2..), straty na dostarczenie jednostki towaru od j tego producenta do i-tego konsumenta {c }(i=,2.., j=,2..). Rozwizaniem problemu s optymalizowane iloci (liczby rzeczywiste) kupna {a i }, i sprzeday {b j } oraz {x } (i=,2,...,; j=,2,...,), takie, które dostarczaj najlepszego kompromisu pomidzy kryteriami maksymalizacji dochodu dystrybutora D i minimalizacji niepewnoci rezultatu ryzyka. W wielokryterialnym drugim etapie zadania, jako kryteria lokalne, rozpatrujemy λ(d) kryterium maksymalizacji globalnego dochodu (funkcja zachłannoci) oraz kryteria, przedstawione przez funkcj przynalenoci (uytecznoci) µ(a i ) (i=,2..), µ(b j ) (j=,2..), charakteryzujce kontrowersyjne zapotrzebowanie maksymalizacji iloci kupna i sprzeday oraz minimalizacji zwizanego z nimi ryzyka. Funkcje µ(a i ), µ(b j ), gdzie, zgodnie z rys. 3, a i a i a i4 oraz b j b j b j4, (i=,2..), (j=,2..), mona traktowa jako funkcje charakterystyczne ryzyka czyli stopnia niewypełnienia kontraktów przez dystrybutora. To kryterium mona te rozpatrywa jako rozmyte ograniczenie na sterujce parametry a i moliwoci wytwórcze i-tego producenta oraz b j moliwoci odbiorcze j-tego konsumenta.

8 Rys. 3 Funkcje charakterystyczne ryzyka niewypełnienia kontraktów µ(a i ), µ(b j ) Dlatego, e λ(d) najmocniej charakteryzuje zapotrzebowanie maksymalizacji dochodu w warunkach ogranicze na dochód D, otrzymanych w pierwszym etapie, głównym sensem kryteriów µ(a i ), µ(b j ) jest minimalizacja ryzyka, czyli wypełnienia kontraktów. Jasne, e rozpatrywane kryteria lokalne s nierówno wane z punktu widzenia dystrybutora. Jednak od pocztku mona rozpatrywa kryteria µ(a i ), µ(b j ) jako równowane, które razem wzite charakteryzuj uogólnione ryzyko. Dla rozwizywania problemu formułuje si kryterium globalne jako agregowanie wszystkich lokalnych kryteriów z uwzgldnieniem współczynników ich wzgldnej wanoci. Takie kryterium jednoczenie uwzgldnia stopie dostrzeenia okrelonego poziomu dochodu i stopie spełnienia ogranicze, jednoczenie charakteryzujcych ryzyko. Dla formułowania kryterium uogólnionego mona uywa rónych sposobów agregowania: - maksymalnego pesymizmu F ({â i }, {b j},{ x }) = min(λ α (D({a i },{b j },{x })), min(µ (a ),µ 2 (a 2 ),...,µ (a ),µ (b ),µ 2 (b 2 ),...,µ (b )) β ), (7) - addytywne F 2 ({â i }, {b j},{ x })=α*λ(d({a i },{b j },{x }))+ β*(µ (a )+µ 2 (a 2 )+...+µ (a )+µ (b )+µ 2 (b 2 )+...+µ (b ))/2(+), (8) - multiplikatywne F 3 ({â i }, {b j},{ x }) = λ α (D({a i }, {b j },{x }))* *(µ (a )*µ 2 (a 2 )*...*µ (a )*µ (b )*µ 2 (b 2 )*...*µ (b )) β, (9)

9 Ostatecznie dla opracowanych metod agregacji mona stwierdzi, e optymalizowane rozwizanie problemu mona przedstawi formalnie jako (0) ({a i },{b j },{x }) pt =arg(maxf k ({â i },{b j},{ x })), gdzie k=,2,3, (0) gdzie α i β - współczynniki wzgldnej wanoci odpowiednio dochodu i ryzyka (α + β=2); â i =[a i, a i2, a i3, a i4 ], b j=[b j, b j2, b j3, b j4 ], x =[x, x 2, x 3, x 4 ], 0 F, F 2, F 3 ; i=,2.., j=,2..; Dla znalezienia rozwiza zagadnie drugiego etapu, bdcych jednoczenie rozwizaniami kocowymi problemu, zastosowano algorytm optymalizacji na podstawie bezporedniego przeszukiwania losowego z wykorzystaniem technik programowania obiektowego. Dla algorytmu bezporedniego przeszukiwania losowego zakres przeszukiwania został wyznaczony na podstawie rozwiza etapu pierwszego. 3. Przykład Dla uproszczenia i przejrzystoci rezultatów przypumy, e mamy tylko trzech producentów i trzech konsumentów =3; =3. Wszystkie dane wejciowe przekształcone zostały w trapezoidalne przedziały rozmyte, które przedstawione s w formie cztero punktowej w tablicy. Tablica Posta rozmyto-przedziałowa parametrów zagadnienia (4)-(6) â =[437, 455, 464, 479], â 2 =[437, 455, 464, 479], â 3 =[587, 605, 64, 629], p =[47, 435, 444, 459], p 2=[47, 435, 444, 459], p 3=[567, 585, 594, 609], ẑ 2 =[377, 395, 404, 49], ẑ 22 =[56, 579, 588, 603], ẑ 23 =[272, 290, 299, 34], b =[387, 405, 44, 429], b 2=[487, 505, 54, 529], b 3=[587, 605, 64, 629], q =[367, 385, 394, 409], q 2=[467, 485, 494, 509], q 3=[567, 585, 594, 609], ẑ =[277, 295, 304, 39], ẑ 2 =[457, 475, 484, 499], ẑ 3 =[467, 485, 494, 509], ẑ 3 =[277, 295, 304, 39], ẑ 32 =[359, 377, 386, 40], ẑ 33 =[576, 594, 603, 68], Za pomoc opracowanego algorytmu, bdcego modyfikacj rozmytoprzedziałow algorytmu simplex, po pierwszym etapie rozwizania modeli (4)- (6) otrzymano rezultaty, przedstawione w tablicy 2.

10 Tablica 2 Optymalizowane rozmyto-przedziałowe iloci x transportowanego towaru oraz ich wartoci rednie. x =[240, 374, 446, 576], x r = 40, x 2 =[0, 32,68, 34], x 2r = 50, x 3 =[0, 0, 0, 0], x 3r = 0, x 2 =[0, 0, 0, 0], x 2r = 0, x 22 =[46, 45, 469, 500], x 22r = 460, x 23 =[0, 0, 0, 0], x 23r = 0, x 3 =[0, 0, 0, 0], x 3r = 0, x 32 =[0, 0, 0, 0], x 32r = 0, x 33 =[462, 578, 64, 756], x 33r = 60. Optymalizowana rozmyto-przedziałowa warto dochodu dystrybutora oraz jej warto rednia: D = [538492, 73536, , 09833] Dr = Otrzymane powyej wyniki zgodnie z opisan wczeniej metodologi wykorzystane zostały do dalszych oblicze. Zastosowanie współczynników wzgldnej wanoci w (7)-(9) pozwala na spełnienie preferencji decydenta odnonie zysku i ryzyka. Decydent, chcc osign wikszy zysk, musi si liczy z podjciem wikszego ryzyka, ale moe wybra mniejszy zysk jednoczenie obarczony mniejszym ryzykiem. Wol decydenta mona spełni dziki odpowiedniemu doborowi współczynników wzgldnej wanoci. W przykładzie, aby nie rozpatrywa wszystkich moliwoci, załoono, e decydent, chcc osign wikszy zysk, podejmuje zwizane z tym wiksze ryzyko i dobiera współczynniki wzgldnej wanoci odpowiednio α=.7 dla zysku oraz β=0.3 dla ryzyka. W wyniku przeprowadzonych oblicze zgodnie z zalenociami (7)-(9), wyniki dla rónych metod agregacji przedstawione zostały w tablicy 3. Tablica 3. Rzeczywiste wyniki optymalizacji działalnoci dystrybutora dla rónych metod agregacji. multiplikatywne addytywne maksymalnego pesymizmu Kryterium globalne w punkcie optimum Dochód ( rednia warto) x x x x x x

11 x x x a a a b b b Rys. 4 przedstawia funkcj wypełnienia kontraktu, charakteryzujc ryzyko, zwizane z przedsiwziciem. W przykładzie, dla addytywnej metody agregacji kryteriów lokalnych optymalna warto a opt =5 (Tablica 3) odpowiada zwikszonemu ryzyku, wynikajcemu z doboru współczynników wzgldnej wanoci. Dlatego obserwujemy mniejsz warto funkcji µ(a opt ). Rys. 4 Funkcja charakterystyczna niewypełnienia kontraktów µ(a ) dla metody addytywnej. 4. Podsumowanie ajbardziej istotn spraw w problemie dystrybutora jest uwzgldnienie niepewnoci, zwizanej z praktyczn realizacj zagadnienia. Wikszo parametrów zagadnienia takich jak na przykład koszty na poszczególnych trasach czy nawet maksymalne moliwoci wytwórcze czy te odbiorcze kontrahentów s wielkociami obarczonymi niepewnoci i dodatkowo zale od aktualnej sytuacji rynkowej. W przedstawionej pracy uwzgldnienie niepewnoci zostało zrealizowane za pomoc liczb rozmyto-przedziałowych w postaci α-przekrojów, za pomoc których, bazujc na wiedzy specjalistów z dziedziny problemu, a take osób podejmujcych decyzje, opisane zostały wszystkie niepewne parametry modelu. Rozmyto-przedziałowego rozwizanie pozwoliło oszacowa wahania dochodu dystrybutora oraz wartoci towarów transportowanych na wybranych

12 trasach i oceni ich ryzyko. ie s to jednak dane rzeczywiste, które mog słuy do sporzdzenia umów pomidzy dystrybutorem a kontrahentami. W celu znalezienia optymalnego rozwizania w znalezionych na etapie rozmytoprzedziałowym wynikach zastosowano wielokryterialne podejcie do problemu. aksymalizacj dochodu i minimalizacj zwizanego z nim ryzyka potraktowano jako kryteria lokalne, składajce si na globaln funkcj celu. Zadanie zostało rozwizane przy wykorzystaniu programowania obiektowego. W celu porównania wyników zastosowano róne metody agregacji kryteriów lokalnych. Przedstawione wyniki prezentuj jeden z moliwych układów doboru współczynników wzgldnej wanoci, za pomoc których mona zmienia preferencje decydenta. Wyniki optymalizacji wielokryterialnej porównane zostały z wartociami rednimi rozmyto-przedziałowych wyników pierwszego etapu. Optymalizowane kocowe rozwizania s wiksze od wartoci rednich rozwizania rozmyto-przedziałowego ze wzgldu na prezentowany w przykładzie dobór współczynników wzgldnej wanoci, z których wynika ch dystrybutora do zwikszenia zysku przy jednoczesnym podjciu wikszego ryzyka. Pomimo tego rozwizania te s porównywalne z wartociami rednimi rozwiza pierwszego etapu, a dla innego doboru współczynników wzgldnej wanoci wrcz takie same. ajwiksze rónice rozwiza zaobserwowano dla rozwiza, uzyskanych addytywn metod agregacji kryteriów lokalnych. Stwierdzi dodatkowo naley, e dla wszystkich metod agregacji rozwizania kocowe, przedstawione w tablicy 3, s bardzo zblione. Porównywalne wyniki dla wszystkich metod agregacji wskazuj na poprawne znalezienie wartoci optymalnych. LITERATURA [] H. Isermann, The enumeration of all efficient solution for a linear multipleobjective transportation problem, aval Research Logistics Quarterly 26 (979) 23-39; [2] J.L. Ringuest, D.B. Rinks, Interactive solutions for the linear multiobjective transportation problem, European Journal of Operational Research 32 (987) [3] A.K. Bit,.P. Biswal, S.S. Alam, Fuzzy programming approach to multicriteria decision making transportation problem, Fuzzy Sets and Systems 50 (992)

13 [4] S.K. Das, A. Goswami, S.S. Alam, ultiobjective transportation problem with interval cost, source and destination parameters, European Journal of Operational Research 7 (999) 00-2 [5] S. Chanas,. Delgado, J.L Verdegay and.a. Vila, Interval and fuzzy extensions of classical transportation problems, Transportation Planning Technol. 7(993) [6] S. Chanas, D. Kuchta, Fuzzy integer transportation problem, Fuzzy Sets and Systems 98 (998) [7] Waiel F. Abd El-Wahed, A multi-objective transportation problem under fuzziness, Fuzzy Sets and Systems 7 (200) [8] P. Sewastianow, P. Róg, K. Karczewski, A Probabilistic ethod for Ordering Group of Intervals, Informatyka teoretyczna i stosowana/computer Science. Politechnika Czstochowska, Rocznik 2, 2 (2002), [9] P. Sewastianow, P. Róg, A Probability Approach to Fuzzy and Crisp Intervals Ordering, Task Quarterly 7 o (2003), 47-56, Politechnika Czstochowska [0]. Dolata, L. Dymowa, J. Grabara, Rozmyta optymalizacja działalnoci dystrybutora, ateriały do 5 Górskiej Szkoły PTI, Efektywno zastosowa systemów informatycznych. Szczyrk VI.2003