Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka

Transkrypt

1 Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka 1

2 1. Wstęp a) Binarne zmienne zależne b) Interpretacja ekonomiczna c) Interpretacja współczynników 2. Liniowy model prawdopodobieństwa a) Interpretacja współczynników 3. Probit a) Interpretacja współczynników b) Miary dopasowania c) Diagnostyka 4. Logit a) Interpretacja współczynników b) Miary dopasowania c) Diagnostyka 2

3 1. Wstęp a) Binarne zmienne zależne b) Interpretacja ekonomiczna c) Interpretacja współczynników 2. Liniowy model prawdopodobieństwa a) Interpretacja współczynników 3. Probit a) Interpretacja współczynników b) Miary dopasowania c) Diagnostyka 4. Logit a) Interpretacja współczynników b) Miary dopasowania 3

4 zmienne zero-jedynkowe nazywane są także zmiennymi binarnymi zmienna zero-jedynkowa opisuje stan w jakim znajdują się badane obiekty przy kodowaniu zmiennej przyjmuje się konwencję: 0 - porażka 1 - sukces czym jest sukces a czym porażka zależy od badania 4

5 w modelach dla zmiennych binarnych wyjaśniamy, za pomocą zmiennych niezależnych, prawdopodobieństwa stanów aby sformułować model musimy opisać prawdopodobieństwa zdarzeń dla poszczególnych obserwacji na największym poziomie ogólności: gdzie p(x i ) opisuje zależność prawdopodobieństwa sukcesu od wielkości zmiennych niezależnych x i W jaki sposób powinniśmy dobrać funkcje p(x i ), która opisuje zależność prawdopodobieństwa sukcesu od wielkości zmiennych niezależnych x i? Oczywiście, funkcja ta powinna mieć wartości w przedziale [0,1]. 5

6 - modele dla zmiennych binarnych nie są modelami liniowymi 6

7 y jest użytecznością lub zyskiem netto jest nieobserwowalne jest losowe y = x i β + ε i gdzie ε ma symetryczną dystrybuantę z E(ε) = 0 Parametry modelu szacujemy na postawie obserwowalnych wyborów y, na które zdeterminowane są nieobserwowalnym y. y i = 0 dla y i 0 1 dla y i > 0 7

8 Prawdopodobieństwo sukcesu: Pr y i = 1 = Pr y i > 0 = Pr x i β + ε i > 0 = Pr ε i > x i β = = Pr ε i < x i β = F(x i β) gdzie F ( ) jest dystrybuantą ε Np. f ' xi ' ' x i x i 8

9 Wartość oczekiwana zmiennej zależnej w modelu dla zmiennej binarnej jest równa: E(y i x i ) = 0 [1 F (x i β)] + 1 F (x i β) = F (x i β) Ponieważ przyjęta jest konwencja, ze 1 oznacza sukces a 0 porażkę więc, wartość oczekiwana zmiennej zależnej w modelu dla zmiennej binarnej równa jest prawdopodobieństwu sukcesu. Efekt cząstkowy jest równy: E(y x) x k = F(x iβ) x k = f(x i β)β k 9

10 Efekt cząstkowy możemy interpretować jako wpływ jednostkowej zmiany zmiennej niezależnej na wielkość prawdopodobieństwa sukcesu. Wielkość efektu cząstkowego zależy od wielkości x i dla którego jest on liczony. Zazwyczaj efekty cząstkowe liczymy dla średnich wartości zmiennych niezalenych. W przypadku zmiennych zerojedynkowych efekt krańcowy wyznaczamy jako różnice miedzy prawdopodobieństwem sukcesu dla wartości 1 i 0. 10

11 1. Wstęp a) Binarne zmienne zależne b) Interpretacja ekonomiczna c) Interpretacja współczynników 2. Liniowy model prawdopodobieństwa a) Interpretacja współczynników 3. Probit a) Interpretacja współczynników b) Miary dopasowania c) Diagnostyka 4. Logit a) Interpretacja współczynników b) Miary dopasowania 11

12 rozpatrujemy różne formy funkcyjne dla zależności między prawdopodobieństwem sukcesu a wielkością zmiennych objaśniających najprostszy model liniowy model prawdopodobieństwa (LPM) p x i = F x i β = x i β gdzie: p x i - prawdopodobieństwo sukcesu F - dystrybuanta 12

13 liniowy w tym sensie, że warunkowa wartość oczekiwana jest dana funkcją liniową: E y x x i i i Liniowy model prawdopodobieństwa sprowadza się do estymacji Metodą Najmniejszych Kwadratów równania: y i = x i β + ε i 13

14 ? zalety LPM: a) łatwy do wyestymowania b) współczynniki = efekty cząstkowe wady LPM: a) wartości dopasowane spoza [0;1] nieinterpretowalne (prawdopodobieństwo sukcesu)? b) Błędy losowe w równaniu regresji będą heteroskedastyczne 14

15 problemu z punktu a) nie da się w prosty sposób rozwiązać w przypadku heteroscedastyczności stosujemy UMNK lub odporne macierze wariancji i kowariancji 15

16 Source SS df MS Number of obs = F( 18, 4858) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = y Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] stateur statemb age tenure slack abol seasonal nwhite school male smsa married dkids dykids yrdispl rr rr head _cons

17 a) Test White'a na heteroscedastyczność imtest, white White's test for Ho: homoskedasticity against Ha: unrestricted heteroskedasticity chi2(173) = Prob > chi2 = b)test Breucha-Pagana: hettest, rhs Breusch-Pagan / Cook-Weisberg test for heteroskedasticity Ho: Constant variance Variables: stateur statemb age tenure slack abol seasonal nwhite school12 male smsa married dkids dykids yrdispl rr rr2 head chi2(18) = Prob > chi2 =

18 Linear regression Number of obs = 4877 F( 18, 4858) = Prob > F = R-squared = Root MSE = Robust y Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] stateur statemb age tenure slack abol seasonal nwhite school male smsa married dkids dykids yrdispl rr rr head _cons

19 test abol seasonal nwhite school12 dkids dykids rr ( 1) abol = 0 ( 2) seasonal = 0 ( 3) nwhite = 0 ( 4) school12 = 0 ( 5) dkids = 0 ( 6) dykids = 0 ( 7) rr = 0 F( 7, 4858) = 1.50 Prob > F =

20 Linear regression Number of obs = 4877 F( 11, 4865) = Prob > F = R-squared = Root MSE = Robust y Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] stateur statemb age tenure slack male smsa married yrdispl rr head _cons

21 Wada LMP - wartości dopasowane nie znajdują się w przedziale [0,1] predict wartosci_dop, xb list y wartosci_dop if wartosci_dop > 1 wartosci_dop < y wartosci_dop

22 w liniowym modelu prawdopodobieństwa interpretuje się współczynniki interpretacja: a) dla zmiennych objaśniających ciągłych: wpływ jednostkowej zmiany zmiennej niezależnej na wielkość prawdopodobieństwa sukcesu b) dla zmiennych objaśniających zero-jedynkowych: różnica między prawdopodobieństwem sukcesu dla zmiennej zero-jedynkowej równej 0 i równej 1 22

23 Linear regression Number of obs = 4877 F( 11, 4865) = Prob > F = R-squared = Root MSE = Robust y Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] stateur statemb age tenure slack male smsa married yrdispl rr head _cons

24 1. Wstęp a) Binarne zmienne zależne b) Interpretacja ekonomiczna c) Interpretacja współczynników 2. Liniowy model prawdopodobieństwa a) Interpretacja współczynników 3. Probit a) Interpretacja współczynników b) Miary dopasowania c) Diagnostyka 4. Logit a) Interpretacja współczynników b) Miary dopasowania 24

25 W modelu probitowym zakładamy, że F() jest dystrybuantą rozkładu normalnego Założenia modelu probitowego: Obserwacje są niezależne Rozkład warunkowy: Pr y i x i = 1 Φ x iβ dla y i = 0 Φ x i β dla y i = 1 = 1 Φ x i β 1 y iφ x i β y i Gdzie Φ oznacza dystrybuantę rozkładu normalnego N(0,1) 25

26 Funkcja wiarygodności ma postać: n L β = 1 Φ x i β 1 y iφ x i β y i i=1 Logarytm funkcji wiarygodności będzie ma postać: n l β = 1 y i ln 1 Φ x i β + y i lnφ x i β i=1 26

27 Iteration 0: log likelihood = Iteration 1: log likelihood = Iteration 2: log likelihood = Iteration 3: log likelihood = Probit regression Number of obs = 4877 LR chi2(18) = Prob > chi2 = Log likelihood = Pseudo R2 = y Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] stateur statemb age tenure slack abol seasonal nwhite school male smsa married dkids dykids yrdispl rr rr head _cons

28 1. Co jest modelowane w przypadku jeśli zmienna zależna jest zmienna binarną (zero-jedynkową)? Wyjaśnić, jaka jest relacja między zmienną obserwowalną a ukrytą w przypadku modeli dla zmiennych binarnych i jak tę relację można uzasadnić na bazie teorii ekonomii. 2. Jakie są wady liniowego modelu prawdopodobieństwa? Odpowiedz uzasadnić. 28

29 Dziękuję za uwagę 29