STOPU ODLEWNICZEGO NA BAZIE PEWNEJ METODY KOLLOKACYJNEJ

Transkrypt

1 Krzepnięcie metai i stopów t. VI PL ISSN ISBN Ossoineum 1983 Małgorzata Biedrońska, Bohdan Mochnacki, Józef Suchy SYMULACJA KINETYKI KRZEPNIĘCIA STOPU ODLEWNICZEGO NA BAZIE PEWNEJ METODY KOLLOKACYJNEJ 1. Wstęp Prezentowana pubikacja jest fragmentem badań prowadzonych w ramach M R 20, dotyczących symuacji numerycznej procesów przepływu ciepła masy w układzie odew-forma-otoczenie. W szczegóności zostanie przedstawiony agorytm obiczeń procesu krzepnięcia prostych obiektów geometrycznych (np. płyta, waec, kua), zakładając ostrą granicę rozdziału faz. Wprowadzenie do rozważań metody odewów ekwiwaentnych [ 3] pozwaa rozszer zyć zastosowanie modeu na przypadki krzepnięcia w interwae ternperatury. Proponowany sposób obiczeń ma tę istotną zaetę, że pozwaa na proste sprzężenie agorytmu obiczeń pó temperatury i kinetyki krzepnięcia ;: modeami symuującymi przebieg innych istotnych zjawisk zachodzących w układzie (np. segregacji). Jak ogónie wiadomo, warunek brzegowy na gra.: nicy rozdziału jest warunkiem nieiniowym, co powoduje znaczne kompikacje agorytrhu numerycznego, eiminowane najczęściej przez wprowadzenie do obiczeń entapii fizycznej metau [ 9]. Można tu wyróżnić prace Budaka i in. [ 2 J, w których ;; kokową zmianę entapii na froncie krzepnięcia przybiżono funkcją ciągłą, metodę naprzemiennej fazy [ 6], sprowadzającą zagadnienie do pewnej iczby zadań iniowych, czy też opisu matematycznego w postaci jednego równania paraboicznego ze zmiennym kiem [5]. współczynni-

2 58 Małgorzata Biedrońska, Bohdan Mochnacki, Józef Suchy W odróżnieniu od wymienionych prac przedstawione niżej rozwiązanie bazuje bezpośrednio na czasoprzestrzennych rozkładach temperatur, przy czym zarówno ciepło krzepnięcia, temperatura przemiany fazowej oraz warunki wymiany ciepła na s1yku odewu i formy mogą zmieniać się w czasie. Te cechy prezentowanego modeu mogą istotnie poepszyć dokładność obiczeń kine1yki procesu, w szczegóności zmian chwiowej prędkości przemieszczania się frontu krzepnięcia. Istnieje również możiwość stosunkowo prostego uwzgędnienia zjawiska przechłodzenia stężeniowego (w przypadku połączenia modeu przepływu ciepła z obiczeniami procesu segregacji [ 8] ). Rozwiązania numerycznego tak skonstruowanego modeu matema1ycznego _9-okonano na bazie metody funkcji gię1ych, wykazującej wśród metod kookacyjnych s zczegóną przydatność do tego ceu. Warto zwrócić uwagę na zaproponowane tutaj rozwiązanie, pózwaające przemieszczać front krzepnięcia o interwał siatki geometrycznej, co zapewnia większą dokładność obiczeń również datego, że unika się położenia frontu w pobiżu węzła siatki. Opracowanie uzupeniono wynikami obiczeń krzepnięcia kierunkowego stopu odewniczego na bazie cynku w formie piaskowej. 2. Równanie różniczkowe i warunki jednoznaczności Da prostoty daszych rozważań przyjęto odew o kształcie pły1y nieograniczonej (rys. 1). Nieustaone poe temperatury w obszarze opisuje układ równań różniczkowych 1ypu C (T) o (T) m rm OT(x,t) ch _a_ A ax m at(x, t) ax m=1,...,4, ( 1) gdzie m - wskaźnik iden1yfikujący podobszar układu ( 1-ciecz, 2-strefa przejściowa, 3-ciało stałe, 4-forma), C, p,a- parametry termofizyczne, T,x,t - temperatura, współrzędna, czas. Parametr C (T) naeży interpretować jako zastępczą pojemność ciepną podm obszaru.s?. (t), przy czym da m=2 (strefa przejściowa krzepnącego stopu) [4] m

3 Symuacja kinetyki krzepnięcia T słrpfa dwufa~owo Rys. 1. Modeowany układ ( 2) zaś da pozostałych podobszarów C (T) = c (T), gdzie c jest ciepm m m łem właściwym strefy Qm(t), qkr - ciepłem krzepnięcia, a S(T) pewną funkcją znormaizowaną do przedziału [O, 1], opisującą okany udział ciała stałego w otoczeniu punktu P(x) & Q 2 (t). Zadanie typu ciecz-strefa przejściowa-ciało stałe-forma-otoczenie można sprowadzić do probemu z ostrą granicą rozdziału faz, przyjmując tzw. ekwiwaentną temperaturę krzepnięcia A T (3) gdzie T s, T L - temperatura odpowiadająca początkowi i końcowi krzepnięcia stopu. Przyjmując [4], że w strefie przejściowej zastępczą pojemność ciepną C (T) opisuje równanie 2 (4)

4 60 Małgorzata Biedrońska, Bohdan Mocmacki, Józef Suchy wynikające z przybiżenia funkcji c 2 (T) w przedziae [TS' TL] paraboą stopnia p (rys. 2), przy czym es - ciepło właściwe ciała stałego -r C t _----,L./ c2 / ' / T, T Rys. 2. Zastępcza ciepna strefy dwufazowej pojemność w pobiżu izotermy T S, C - średnie całkowe ciepło właściwe strefy przejściowej, c - spektrane ciepło krzepnięcia, sp c sp = qk r f L1 Tk r ' p - wykładnik paraboi, który da większości stopów odewniczych przyjmuje wartość p ~ 7, temperaturę ekwiwaentną można zapisać w postaci [ 1] " T T + I?.t!_ s p+2 ( 5) Obiczenia wykazują, że wyznaczona z zaeżności ( 5) zastępc za ternpe ratura przemiany fazowej jest biska temperaturze granicznej ciecz-strefa pr zejśc i owa. P r zedstawiona wyżej modyfikacja modeu procesu kr zepnięc ia sprowadza podobszar 2 2 ( t) do izotermy T = T, zaś opis matematyczny p r ocesów ciepnych do układu równań (1), przy czym m=1,3,4 z warunkiem ax + X (6) oraz warunkami X = Q at(x,t) ax cx(t) [T(x,t) - Too], (7) X L 2 d X o ' (8)

5 Symuacja kinetyki krzepnięcia gdzie L - grubość płyty, ex (t) - współczynnik wymiany ciepła między odewem a formą, Too - temperatura otoczenia. Oddziaływanie między odewem a formą wyrażono w modeu przez zastępczy współczynnik wymiany ciepła ex. (t), co oczywiście nie ogranicza możiwości stosowania warunków brzegowych innego typu i bardziej dokładnego oszacowania strumienia ciepła płynącego przez wnękę formy. Warunki (6)-(8) uzupełnia warunek początkowy zadania T (x,o) m T (x), mo ( 9) gdzie Tm 0 (x) - temperatura początkowa podobszarów (da T 10 (x) temperatura zaewania). 3. Mode numeryczny 3.1. Generacja czasoprzestrzennej siatki Proponowana metoda jest metodą kookacyjną, wykorzystującą funkcje gięte do aproksymacji chwiowych pó temperatury w ciekłej i zakrzepłej części odewu. Na rozpatrywany obszar Q 2 (t) u Q ( t) nakłada si ę siatkę prze- 1 3 strzenną Q h: o ( 10) o kroku h. W ęz ły tej siatki będą w daszej koejności wykorzystane do konstrukcji spajnów przybiżających okacji). Dobór siatki czasu chwiowe poe temperatury w Q h (punkty ko- o o 1 p p+1 < t < t<... <r<t... <oo, P+ p r - t (11)

6 62 Małgorzata Biedrońska, Bohdan Mochnacki, Józef Suchy reaizowany jest sukcesywnie da koejnych pęti obiczeń w następujący s posób. Niech Li+ będzie wyrażeniem przybiżającym wartość pochodnej d X da x = ~, zaś anaogiczną aproksymacją da ex przyjmuje więc w tym samym punkcie. Warunek brzegowy Stefana (6) postać p+ Lp+ dx - ' L - A 3 3 ' + P 'qkr d t X = ~ [ T 1 (x,t) = T 3 (x,t) = T (12) Szybkość krzepnięcia ~ d t dx dt X=~ przybiża ioraz różnicowy h.!j.ł ( 13) czyi X = A-3 LP3+1 + o q 's kr h. ( 14) Zgodnie z sugestiami zawartymi w pracy [ 7] postanowiono prowadzić symuację procesu w ten sposób, aby front krzepnięcia (ub izoterma T ) przemieszczał się w każdym kroku czasu między koejnymi węzłami siatki przestrzennej, jak na to wskazuje równani~ (13). Efekt ten można uzyskać stosując procedurę, w której czasu e da koejnego kroku obiczeń p;'zyjrnuje się pewną wartość interwału!j. tp, zakłada się, że w chwii ł+ front krzepnięcia znaazł się w węź. TP+ 1 (x. 1 ) = T, xi+ ' czy +

7 Symuacja kinetyki krzepnięcia obicza się (metodą kookacji, której szczegóły zostaną przedstawia- n e w daszej części pracy ) rozkłady temperatury w podobszarach "1(tp+) :JG i Q3(tp+), - wyznacza si ę na podstawie otrzymanych wyników wartość p+ L3 ' - koryguje się przyjęty wst ępnie krok czasu!1 ł według wzoru ( 15) - powtarza się procedurę aż do uzyskania żądanej dokładności. Pewną modyfikację metody naeży wprowadzić w pierwszej pęti obiczeń, gdzie przejście od brzegu x do węzła x zwią z ane jest z odprowadzeniem do obję tości formy entapii przegrzania stopu i ciepła krzepnię 0 1 cia warstwy x - x, czyi 1 0 (16) co naeży uwzgędnić w równaniu ( 14) Metoda kookacji Rozkład temperatury w chwii p+ aproksymuje się dwoma funkcjami giętymi ( s 1 (x) w fazie ciekłej, s 3 (x) w fazie stałej). Węzły siatki Q h numeruje się w następujący sposób 3 3 O = x 0 < x 1 < s = X. (17) Przyjmuje się oznaczenia r=1,3. (18) Z własności funkcji gię1ych wynikają zaeżności r X - X r" r i S (x) = Mi- --- h~ (19)

8 64 Małgorzata Biedrońska, Bohdan Mochnacki, Józef Suchy ( r 2 ( r 2, X. - x) X- X. ) 5 r(x)=-mr 1 +Mr hr 1 2 hr i + hr 6 Mr i- hr +- 3 Mr+ sr - sr i- hr ( 21) oraz S r( x) =M. r - 1 Mr i -1 hr2 i ( 22) 6 Nieznane wartości wyznacza się z układu równań h~ hr r hr s r sr sr r...1..mr Mr + i+ M r i+ + 6 i -1 6 i+ 3 hr hr i+. + \ i- ( 23) U k ład ~en uzupehtiają równania wynikające z przyjętych warunków brzegowych. P ochodną temperatury po czasie aproksymuje się iorazem różnicowym LIT(x,t) Lit T(x,tp+) - LI T(x,tp) za ś T(x! r P+ ) f k un cją w węzłach siatki ( 17) przyjmuje postać ub s 3 ( x). Wówczas układ równań () 5 Ip+ i i=o,...,, (24) 5 3p+1 i=o,..., k, ( 25)

9 Sy mua cja kinetyki krzepnięcia gd zie a = i\. /C p r =, 3 są ws p ółczynnik am i wy r ówny wania temr r r r, peratury w podob s zarach Q, które przyjęt o jako sta ł e. r Zad an e warunki br zegowe ( 6), ( 7), (8) p row adz ą do z a eżno ś ci ( 26) 1\ T ( 27) 1\ T ( 28) as 3 P ~-( x) o ax (29) as 1 P "--- (x ) ax o ' ( 30 ) przy czym, jak przed s tawiono t o poprzednio, w ar unek ( 26) służy do i teracy jnego poprawiania kroku c zasu fi. Wyk orzys tu jąc w zory (23), ( 24), ( 27) i ( 30 ) otr zymuje si ę uk ład równań, po zwa a j ący wyznaczy ć wa rto ś c i drugiej pochodnej w w ę zła ch siatki fa zy ci ek łej, Je st to układ a na podstawie w zoru ( 24) - poe temperatury w tej fazie. pos taci 1\ sp h1 p T - M p+ o a 1 fi t 1 1 [h. + hi+ (2.. )MP+ + + o fi tp 1-1 a 6 h. 3 h 1 a fił ) ]Mp + ( i +1 1 ) M p+ + a t;ł ( h. h 6 h i+ i+ i+ s p - sp i + i 1 hi+ s p - s p i i-1 1 h. i= '... ' - ' ( 31 )

10 66 Małgor zata Biedroriska, Bohdan M ochnacki, Józef S uchy, h a L tp 1 p s p s p ) M p+ h a H ( (-+--)M p 6 3 h h h P odobnie rozważa j ąc wzory (23), (25), (28) i (29) dochodzi się M3p+1 do układu równań, z którego obicza się a następnie rozkład terni ' peratury w fazie sta ł ej. ( - ( 32) 3 3 h. +h [ 3 p p+1 +a Lt ( -;:;-+-~M. + 3 h" h3 i i+1 + h3 3 L>ł a3 ) M3p+ \+1 - ( i + i i-1 3 i+ 3 6 h3 ' hi+1 \+1 i='...,k-1 M3p+1 k 1\ T - a3 53p o L tp Układy równań ( 31), ( 32) są układami trójprzekątniowymi, można je więc rozwiąz ać stosując metodę "progonki", i taką proc edurę wykorzystano w programie obiczeń numerycznych. 4. Przykłady obiczeń Wykor zys tując przedstawiony agorytm, przeprowadzono obiczenia na EMC da danych odpowiadających warunkom krz epnięcia i stygnięcia odewu ze stopu na bazie cynku w formie piaskowej. Pragnąc pr zystosowa ć opracowany mode matematyczny do sprzężenia z opisem innych zjawi sk fizycznych za chodzącyc h podczas krzepni ęcia odewu, wprowadzono do obiczeń zmienną temperaturę przemiany fazowej (na

11 Symuacja kinetyki krzepnięcia podstawie dotychczasowych doświadczeń). Parametry termofizyczne przyjqto zgodnie z [ 8 J, wymiar charakterystyczny rozważanego odewu w kształcie płyty nieograniczonej L=10 cm, temperaturę zaewania T =753 K. 10 Obszar pokryto siatką przestrzenną o zmiennym kroku ( zagęszczonym w pobiżu brzegu obszaru), co pozwaa na dokładniejszą ocenę przebiegu bezpośrednio po zaaniu fazy ciekłym metaem. Na rys. 3 przedstawiono krzywe stygnięcia na powierzcłmi odewu w Jego osi. T ( K) o \0 20 Rys. 3. Foe temperatury w odewie w kształcie pły ty ze stopu ZnA krzepnąceg o kierunkowo w masie kwarcowo-iłowej: A, - temperatura w odegłości 4 mm od ścianki odewu; B, 2 - temperatura w o degłości 27 mm od Ścianki odewu; C, 3 - tempera tura w osi odewu ( 50 mm od ścianki) ; 1, 2,3 - wyuiki obic zeń numerycznych; A,B,C- wyniki badańdoświadczanych Literatura [1] M. Biedrońska, B. Mochnacki, }. Suchy: Mode matematyczny krzepnięcia w przedziae temperatur z uwzg ędnieniem ikwacji, Krzepni ę cie Metai i Stopów, zesz. 5, Komisja Odewnictwa PAN O/Katowice, Ossoineum, Wrocław [ 2 J B. M. Bud ak i inni: Raznostnyj mietod s o sgłażiwanijem koefficjentow dja rieszenija zadacz Stiefana, Żurn. Wyczisit. Mat. i Mat. Fiz., 5 (1965) [ 3] W. Longa: Krzepnięcie odewu w formach piaskowych, Śąsk, Katowice 1975.

12 68 Małgorzata Biedro1iska, Bohdan Mochnacki, józef S uchy [ 4] B. Mochnacki: Mathema tica mode of the heat fow in the interva of s oidification temp eratures of the Fe-C aoy, Krzepnięcie Metai S topów, zesz. 5, Komisja Odewnictwa PAN O/Katowice, Ossoineum, Wrocław [ 5] B. Mochnacki, K. Mazur: Zastosowanie metody eementu skońc z one g o da obic zeń procesów krzepnięcia, ZN Po. Ś., Energetyka, 67 ( 1978) [6] J. Rogers, A. E. Berger: The aternating p hase truncation method for numerica soution of a S tefan probem. Journ. on Num. Ana.,., 4 ( 1979). [ 7] J. Schniewind: Soution of the s oidification probem of a one - dimensiona medium by a new numerica method, J. Iron and S~e Ind.,.J. (1963). [B] J. Suchy: Segregacja pierwiastków stopowych podczas krzepnięcia kie 'runkowego, ZN Po. Ś., Mechanika, 76 (1982). [9] J. Szargut: Metody numeryczne w obiczeniach ciepnych pieców przepływowych, Śąsk, Katowice 1977.