(tylko) Konspekt wyk ladu Algebra I : Pierścienie
|
|
- Dagmara Nowakowska
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 (tylko) Konspekt wyk ladu Algebra I : Pierścienie v Notatki zawieraja odsy lacze do podre czników [AMcD] M. F. Atiyah, I. G. MacDonald, Introduction To Commutative Algebra (wiele wydań) [BB] A. Bia lynicki-birula, Zarys algebry, Bibl.Mat. 63, PWN, Warszawa 1987 [BT] A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I (skrypt) [Br] J. Browkin, Teoria cia l, Bibl.Mat.49, PWN, Warszawa 1977 [Is] I. M. Isaacs, Algebra: A Graduate Course 1 Pierścienie 1.1 Definicja pierścienia przemiennego z Jedyność jedynki, a 0 = Pierścień liczb cakowitych Z i pierścień reszt z dzielenia przez m, Z m. 1.4 Niektóre elementy definicji pierścienia bywaja opuszczane (przemienność, jedynka, a nawet czasami la czność mnożenia). 1.5 Macierze kwadratowe nad ustalonym cia lem. (pierścień nieprzemienny) 1.6 Pierścień grupowy (pólgrupowy). Splot funkcji na grupie. (nieprzemienny jeśli grupa nieprzemienna) 1.7 Funkcje na przestrzeni topologicznej o nośniku zwartym C c (X). (nie ma 1 jeśli X nie jest zwarta) 1.8 Inne pierścienie bez jedynki: funkcje zbiegaja ce do 0 w nieskończoności C 0 (X), fukcje szybko gasna ce na R. 1.9 Podpierścień. Podpierścienie Q: - Z[1/p], - Z (p) 1.10 Pierścień wielomianów k[x], pierścień szeregów formalnych k[[x]], pierścień szeregów Laurenta k((x)), k[ɛ], ɛ 2 = Pierścień funkcji wielomianowych na podzbiorze V K n (w przysz lości Nullstellensatz) 1.12 Pierścień liczb p-adycznych Z p Z p... Z p n+1 Z p n... Z p 2 Z p Pierścienie funkcji (cia g lych, g ladkich, ograniczonych) 1.14 Elementy odwracalne, elementy nierozk ladalne Dzielniki zera, dziedzina = dziedzina ca lkowitości = pierścień bez dzielników zera. 1
2 Homomorfizmy pierścieni 1.16 Homomorfizmy pierscieni z 1, izomorfizm, homomorfizm Z w Z m oraz ewaluacja wielomianów: R[x] R, f f(a) Ja dro homomorfizmu, idea l 1.18 Iloraz przez idea l R/I 1.19 Idea ly pierwsze, idea ly maksymalne, idea ly g lówne 1.20 Idea l g lówny (n) Z dla n N, n > 1 jest pierwszy wtedy i tylko wtedy gdy n jest liczba pierwsza Twierdzenie: idea l I w A jest pierwszy (odp. maksymalny) A/I jest dziedzina (cia lem). 2 Pieścienie, idea ly I maksymalny, [a] R/I nie jest odwracalny to (I, a) = I + Ra jest w lściwym idea lem a J \ I, J R, to [a] R/I jest nieodwracalny, Operacje na idea lach: przecie cie, suma wste puja ca, (I J) = I + J, 2.2 Ćwiczenie: przeciwobraz, obraz idea lu? 2.3 Idea l jest niew laściwy (I = R) wtedy i tylko wtedy gdy 1 I. 2.4 Każdy idea l maksymalny jest pierwszy bo cia lo jest bez dzielników zera. 2.5 Twierdzenie: każdy idea l w laściwy jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym. 2.6 Cia la maja wy la cznie trywialne idea l 2.7 Ćwiczenie: Każdy homomorfizm cia l do niezererowego pierścienia jest w lożeniem. 2.8 R jest cia lem wtedy i tylko wtedy gdy 0 jest idea lem maksymalnym. 2.9 R jest bez dzielników zera wtedy i tylko wtedy gdy 0 jest idea lem pierwszym Jeśli R zawiera tylko jeden idea l w laściwy, to R jest cia lem = 1 R = {0} (Uzupe lnienia) Uniwersalna w lasność ilorazu. Twierdzenie o izomorfizmie im(f) = R/kef(f) A podpierścień R, I idea l w R (piszemy I R), wtedy I A A, A + I podierścień R, oraz A/(I A) (A + I)/I 2.14 Uniwersalna w lasność pierścienia wielomianów: każdy homomorfizm pierścieni R S można jednozniacznie przed lużyć do homomorfizmu R[x 1, x 2,..., x n ] S przy zadanych wartościach na x i. 2
3 2.15 Podpierścienie generowane przez podzbiór np k[x 2, y 2 ] 2.16 Idea ly generowane przez podzbiór 2.17 np (s+t 2s 2, s t) k[s, t] czy tu iloraz jest cia lem? To samo pytanie dla szeregów formalnych? 2.18 Niech S R R n be dzie stożkiem wypuk lym. Pierścień pó lgrupowy k[s], dla S = S R Z n Przyk lad: S R = {a(1, 1) + b( 1, 1) R 2 : a, b 0}. k[s] k[u, v, w]/(uv w 2 ) 3 Podzielność 3.1 Typy elementów: odwracalne (jedności), dzielniki zera, nilpotenty, elementy pierwsze, elementy nierozk ladalne, idempotenty a 2 = a. odwracalne elementy nie sa dzielnikami zera, elementy pierwsze sa nierozk ladalne. 3.2 Nilradyka l pierścienia n R to zbiór elementów nilpotentnych. n jest idea lem. R/n nie ma elementów nilpotentnych. 3.3 Ćwiczenie: R zawiera dok ladnie jeden idea l pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego element nieodwracalny jest nilpotentny. 3.4 Ćwiczenie: Idea l Jacobsona = idea ly maksymalne. x J y R 1 xy jest odwracalny. 3.5 Jeśli a idempotent to R = ar (1 a)r oraz ar i (1 a)r sa pierścieniami. (Nie podpierścieniami, bo jedynka w ar nie jest jedynka w R. Za to rzutowanie na ar jest homomorfizmem pierścieni.) 3.6 Relacja stowarzyszenia. Podzielność to relacja porza dku na R/ (dla pierścieni bez dzielników zera). NW D(a, b) = c w jezyku relacji porza dku oznacza ([d] [a] [d] [b]) [d] [c]. 3.7 NWD. Przyk lad bez NWD: R = Z[ 3], a = 4 = 2 2 = (1 + 3)(1 3), b = 2 (1 + 3) 3.8 W Z[ 3] liczba 2 jest nierozk ladalna, ale nie jest pierwsza: 2 4 = (1 + 3)(1 3) i nie dzieli czynników. 3.9 Elementy nierozk ladalny a spe lnia a = bc to b lub c jest odwracalny. Tzn a c lub a b Pierścienie bez dzielników zera i z jednoznacznościa rozk ladu, w skrócie DJR, ang UFD. Np Z, k[x 1, x 2,... x n ]. Konrtprzyk lad k[x 2, x 3 ] = k[s, t]/(s 3 t 2 ), Z[ 3] Z i k[x] sa DJR. (Be dzie tw Gaussa: A DJR to A[x] DJR.) 3.12 R jest DJR ( ) każdy cia g idea lów g lównych (a 1 ) (a 2 ) (a 3 ) (a 4 )... stabilizuje sie. ( )=ACC=ascending chain condition 3
4 3.13 ( ) każdy element rozk lada sie na nierozk ladalne W DJR ( ) każdy nierozk ladalny element jest pierwszy, tzn idea l (a) jest pierwszy. (a bc to a wyste puje w rozk ladzie bc, wie c a b lub a c.) 3.15 ( ) i ( ) R jest DJR DIG = Dziedzina idea lów g lównych. Przyk lad Z, k[x]. Kontrprzyk lad: (x, y) k[x, y] nie jest g lówny DIGi sa DJRami: ( ) jest spe lnione, bo (a i ) = (b) i b (a i ), ( ) (a) m = (b), gdy a nierozk ladalny, to a b. (dodatkowo dostaliśmy, że (a) jest maksymalny.) 3.18 Najwie kszy wspólny dzielnik podzbioru A R w DIGu to taki element b, że (A) = (b) Pierścienie Euklidesowe: to pierścienie z dzieleniem z reszta. Dana waluacja v : R N, taka, że v(ab) = v(a)v(b) oraz dla każdego a, b R istnieja c, r R takie, że a = bc + r i v(r) < v(b). Naogól piszemy a zamiast v(a) Algorytm Euklidesa tak jak w Z. Najwie kszy wspólny dzielnik, jako wynik algorytmu Wykorzystanie algorytmu Euklidesa do przedstawienia N W D(a, b) jako ca + bd. Zastosowanie: liczenie odwrotności w Z[Z n ] Przyka dy: Z[ d], v(a + db) = a 2 db 2 dla d = 2, 1, 2, 3 (w tym napisie x oznacza zwy la wartość bezwzgla dna w Z). 4 Cia la, wielomiany i lokalizacja 4.1 Liczby Gaussa Z[i]. Elementy pierwsze w Z[i] to dzielniki liczby pierwszej p Z. Ponadto p jest rozk ladalna w Z[i] wtedy i tylko wtedy gdy p = a 2 + b 2. Jeśli p = 4k + 1 to p rozk ladalna (dow. (p 1)! p 1, p ((2k)!) = ((2k)! + i)((2k)! i), ale p (2k)! + i wie c p nie jest elementem pierwszym.) 4.2 Jeśli f k[x] nierozk ladalny, to k[x]/(f) jest cia lem. (Bo k[x] jest DIGiem, wie c element nierozk ladalny generuje idea l maksymalny.) 4.3 Twierdzenie: f w k[x] jest nierozk ladalny k[x]/(f) jest cia lem. 4.4 Wniosek: pierścień ilorazowy k[x]/(f) jest cia lem zawieraja cym k, w którym f ma pierwiastek. 4.5 Przyk lady: C = R[x]/(x 2 + 1), F 4 = Z 2 [x]/(x 2 + x + 1), F 9 = Z 3 [x]/(x 2 + x 1), F 27 = Z 3 [x]/(x 3 x + 1). 4
5 4.6 Jeśli f k[x] jest nierozk ladalny stopnia n, to cia lo k[x]/(f) jako przestrzeń liniowa nad k ma wymiar n. 4.7 W ciele p n -elementowym każdy element 0 spe lnia tożsamość x pn 1 = 1, zatem wielomian x pn x rozk lada sie na p n różnych czynników liniowych (z tw Bezout). 4.8 Przyk lad p = 3, n = 2: f = x 9 x = (x 3 x)(1 + x 2 + x 4 + x 6 ). Pierwszy czynnik ma pierwiastki w F 3, drugi w F 9 F 3. Rozk ladamy dalej f = x 9 x = (x 3 x)(x 2 + 1)(x 4 + 1) 3 (x 3 x)(x 2 + 1)(x 2 + x 1)(x 2 x 1) = (x 3 x)f 1 f 2 f 3. Cia lo F 3 [x]/(f 1 ) ma 9 elementów, wie c w nim wielomian f rozk lada sie na czynniki liniowe. W szczególniości wielomian f 2 ma pierwiastek (nazwijmy go a), wie c przekszta lcenie F 3 [x] F 3 /(f 1 ), x a faktoryzuje sie przez F 3 [x] F 3 [x]/(f 2 ) F 3 [x]/(f 1 ). Przekszta lcenia cia l sa monomorfizmami, wie c licza c ilość elementów wnioskujemy F 3 [x]/(f 2 ) F 3 [x]/(f 1 ). 4.9 Przyk lad: wielomian x 16 x w F 2 faktoryzuje sie x 16 x = x(1 + x)(1 + x + x 2 )(1 + x + x 4 )(1 + x 3 + x 4 )(1 + x + x 2 + x 3 + x 4 ) 2 czynniki liniowe maja pierwiastki w F 2 (dwa pierwiastki), czynnik kwadratowy ma pierwiastki w F 4 \ F 2 (4 2=2 pierwiastki), 3 czynniki stopnia 4 maja pierwiastki w F 8 \ F 4, jest ich = 12 = 3 4 Tak jak poprzednio wykazujemy, że F 2 [x]/(f 1 ) F 2 [x]/(f 2 ) dla f 1 i f 2 różnych czynników stopnia 4. Lokalizacja 4.10 S R system multiplikatywny a, b S ab S. Gdyby 0 S, to dalsza konstrukcja by laby poprawna ale trywialna. Wie c zak ladamy, że 0 S. Np: S = R \ I, gdzie I jest idea lem pierwszym w szczegolności S = R 0 gdy R jest bez dzielników zera S = {a n n N}, gdzie a nie jest nilpotentny Pierścień R S = S 1 R to zbór ilorazowy R S/, (a, s) (b, t), gdy istnieje u S taki, że uat = ubs. Klasa [(a, s)] oznaczana przez a s 4.12 Jesli R bez dzielników zera, to mozna: (a, s) (b, t) gdy at = bs Dla R bez dzielników zera S = R 0 cia lo R S oznaczane jest przez (R) k(x) := (k[x]) cia lo funkcji wymiernych o wspó lczynnikach w k Pryzk lady lokalizacji Z: Z (p), Q, Z[1/p] Przekszta lcenie ι : R R S ma ja dro Z(S) = {a s S sa = 0}. (Lokalizacje można zrobić w dwóch krokach: najpierw podzielić przez Z(S), a potem użyć prostszej relacjii Uniwersalna w lasność: dane przekszta lcenie f : R R, takie że f(s) jest odwracalne. Wtedy istnieje dok ladnie jedno f : R S R takie, że f = fι. 5
6 5 Wielomiany o wspó lczynnikach w pierścieniu DJR, podzielność 5.1 X przestrzeń topologiczna T 3 1 (tzn przestrzeń Tichonowa, tzn dla dowolnego zbioru domknietego 2 i punktu poza nim istnieje funkcja zeruja ca sie na tym zbiorze i nie zeruja ca sie w danym punkcie), pierścień kie lków w x jest izomorficzny z = C(X, R)/m x 5.2 Pierścienie lokalne i lokalizacja w ideale maksymalnym zbioru domknie tego istnieje fun 5.3 Każdy wielomian dzieli sie z reszta przez (x a). g. 5.4 Ogólniej, jeśli wielomain g ma odwracalny wioda cy wspó lczynnik, to można dzielić z reszta przez 5.5 Tw Bezout f(a) = 0 to f dzieli sie przez x a. 5.6 Wniosek: Jeśli R jest nieskończonym pierścieniem bez dzielników zera, to przekszta lcenie R[x] R R (wielomian f funkcja wielomianowa Za lożenie: od tej pory do kryterium Eisensteina R DJR 5.7 Mówimy, że f = n i=0 a ix i R[x] jest prymitywny, jeśli a i nie maja wspólnych czynników, tzn NW D(a 0, a 1,..., a n ) = 1. Każdy wielomian można przedstawić jako f = a prymitywny. (a nazywane jest zawartość f.) 5.8 Każdy wielomian można przedstawić jako produkt nierozk ladalnych: elementów pierwszych z R i nierozk ladalnych wielomianów prymitywnych. Pokażemy, że to rozk lad na elementy pierwsze w R[x]. 5.9 Jeśli p R jest pierwszy w R, to jest pierwszy w R[x] (redukujemy R[x]/(p) = (R/(p))[x] nie ma dzielników zera) Jeśli f, g R[x], f prymitywny. Niech F = (R), f g w F [x]. Wtedy f g w R[x] Dow: cg = fh dla c R, h R[x], za lóżmy, że c ma minimalna ilość czynników pierwszych. Przypuśćmy, że p c, wtedy p h (bo p f) Lemat Gaussa: 0 f R[x] i f = gh w F [x], to f = g 0 h 0 w R[x], oraz ag = g 0, bh = h 0. (Wystarczy dla g = g 0 prymitywnego; z poprzedniego punktu.) 5.12 Jeśli f R[x] prymitywny i nierozk ladalny w R[x], to pierwszy. f nierozk ladalny w F [x] (z Gaussa) F [x] jest DIG, wie c tam f jest pierwszy: f gh f g lub f h. Podzielnośś w F [x] implikuje podzielność w R[x] Wniosek: f = x n + + a 0 ma pierwiastek w F [x], to ma pierwiastek w R[x] Wniosek: R[x] jest DJR ( ACC i nierozk ladalne sa pierwsze) 5.15 Wniosek: R[x 1, x 2,..., x n ] jest DJR. 6
7 5.16 Kryterium Eisensteina: za lożenia f R[x], p a n, p dzieli pozosta le wspó lczynniki wielomianu, ale p 2 a 0. Wtedy f nierozk ladalny w F [x]. po redukcji mod (p) f = ā n x n 0 w R/(p)[x]. Czynniki f = ḡ h, maja zerowe wyrazy wolne. Sta d wyraz wolny f podzielny przez p 2. Pierścienie Noetherowskie: odsy lacz [Eisenbud: Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry] 5.17 Pierścienie noetherowskie z definicji: każdy rosna cy cia g idea lów stabilizuje sie. (ACC, nie tylko dla idea lów g lównych.) 5.18 Równoważny warunek: każdy idea l jest skończenie generowany W pierścieniu noetherowskim każdy element można przedstawić jako iloczyn elemntów nierozk ladalnych (niekoniecznie pierwzych, np k[x 2, x 3 ] 5.20 Twierdzenie Hilberta o bazie: R noetherowski, to R[x] noetherowski. Dow. Skonstruujemy zbiór elementów, które generuja dany I. Wybieramy ciaa g f n I i pokazujemy, że dla pewnego n idea l I n = (f 1, f 2,..., f n ) = I. Wielomian f n dobieramy tak: to wielomian o najmniejszym stopniu należa cy do I \ I n 1. Idea l wioda cych wspó lczynników J = (a 1, a 2,... ) = (a 1, a 2,..., a m ). Wielomian f m+1 I \ I m ma wioda cy wspó lczynnik a m+1 = k m b ka k. Biora c kombinacje wielomianów k m b kf k x deg f m+1 deg f m dostajemy wielomian g z wioda cym wspó lczynnikiem a m+1. Wielomian f m+1 g ma niższy stopień niż f m+1 co przeczy wyborowi f m Wniosek k[x 1, x 2,..., x n ] jest noetherowski. 6 Zwia zki z geometria 6.1 Pierścień ilorazowy noetherowskiego sa noetheowskie. 6.2 Pierścienie skończenie generowane nad noetherowskim sa noetherowskie. 6.3 k dowolne cia lo, k A pierścień zawieraja cy k = k-algebra. Jeśli A jest skończenie generowany, to dla każdego idea lu maksymalnego m iloraz A/m jest cia lem zawieraja cym k i skończenie geberowana k-algebra. (Bardzo ważna uwaga bez dowodu: Wtedy A/m jest algebraicznym rozszerzeniem k.) 6.4 Tw Hilberta o zerach Nullstellensatz (cz I). Gdy k = k to idea ly maksymalne w A = k[x 1, x 2,... x n ] sa postaci (x n a n, x 1 a n,..., x n a n ) dla (a 1, a 2,..., a n ) k n {Idea ly maksymalne w A} = k n Oznaczenie: zbiór ida lów maksymalnych SpecM ax A. 6.5 Jeśli A = k[x 1, x 2,... x n ]/I, I = (f 1, f 2,..., f m ), to {Idea ly maksymalne} = X, gdzie X = {(a 1, a 2,..., a n ) k n j = 1, 2,..., m f j (a 1, a 2,..., a n ) = 0}. 7
8 6.6 Uwaga: do definicji zbioru X nie sa potrzebne generatory algebry A. Za chwile zdefiniujemy topologie w X. 6.7 Topologia Zariskiego w k n : zbiory domknie te = zbiory algebraiczne (tzn opisane skończonymi uk ladami równań wielomianowych). Zbiory otwarte w je zyku idea lów U(I) = {(m SpecMax A I m}, gdzie I idea l. Baza topologii U(f) = {(m SpecMax A f m}, gdzie f A. 6.8 Twierdzenie Hilberta o zerach Nullstellensatz: Dla X k n niech I(X) = {f k[x 1, x 2,..., x n ] : a X f(a) = 0} (to jest idea l) oraz dla E k[x 1, x 2,..., x n ] niech V (E) zbiór zer: V (E) = {(a 1, a 2,..., a n ) k n f E f(a 1, a 2,..., a n ) = 0}. Mamy I(V (E)) = (E), X = V (I(X)), gdzie X oznacza domknie cie w topologi Zariskiego. 6.9 Zbiory algebraiczne można rozk ladać na sk ladowe: V (xy) = V (x) V (y) suma osi, bo (xy) = (x) (y) V (x 2 y, x 2 z) = V (x 2 ) V (y, z) suma prostej y = z = 0 i podwójnej p laszczyzny, bo (x 2 y, x 2 z) = (x 2 ) (y, z) V (xy, x 2 ) = V (x) V (x 2, xy, y 2 ) suma osi i wielokrotnego punktu (ukryta sk ladowa), bo (xy, x 2 ) = (x) (x 2, xy, y 2 ) V (xy, x 2 ) = V (x) V (x 2, xy, y 3 ) inny rozk lad poprzedniego idea lu. Tez mamy (xy, x 2 ) = (x) (x 2, xy, y 3 ) 6.10 Idea l prymarny: ab I, b I to a n I dla penego n (jedyne dzielniki zera w R/I to nilpotenty) I prymarny, wtedy I pierwszy Rozk lad idea lu w pierścieniach noetherowskich - Rozk lad prymarny [np R. Sharp: Steps in Commutative Algebra, roz. 4, Atiyah-MacDonald, roz 4] 6.12 R noetherowski, to każdy idea l dopuszcza przedstawienie I = Q i, gdzie Q i nierozk ladalny (Q i nie da sie przedstawić jako przecie cie wie kszych idea lów) Twierdzenie: R noetherowski, każdy Q nierozk ladalny idea l jest prymarny. (tbc) Tu sa pliki z ksia żkami:... aweber/zadania/algebra/pdf/ 8
9 7 Rozk lad prymarny, cia la 7.1 V (I) V (J) = V (I J) = V (I J), zatem maja c przedstawienie idea lu I = Q i otrzymujemy rozk lad V (I) = V (Q i ). Jeśli idea ly Q i sa nierozk ladalne, to V (Q i ) sa zbiorami nierozk ladalnymi. Udowodnimy, że idea ly Q i sa prymarne, zatem P i = Q i sa idea lami pierwszymi. Te idea ly sa nazywane stowarzyszonymi idea lami pierwszymi (pokażemy, że dla nieskracalnych rozk ladów ass(i) nie zależy od rozk ladu). Mamy V (I) = P ass(i) V (P ). W tym rozk ladzie moga sie pojawić P P (tzn V (P ) V (P )) wie c wystarczy brać w rozk ladzie V (I) tylko minimalne idea ly stowarzyszone. 7.2 Zbiór (I : b) = {x R bx I} jest ida lem. Dla I prymarnego (I : b) = I gdy b I (I : b) = R gdy b I 7.3 Twierdzenie: R noetherowski, każdy nierozk ladalny idea l Q jest prymarny. Dow: Cia g (Q : a n ) (Q : a n+1 )... stabilizuje sie. Za lóżmy, że (Q : a n ) = (Q : a n+1 ). Dowodzimy Q = (Q + (a n )) (Q + (b)). Wtedy skoro b Q, to Q + (b) Q, wie c Q = Q + (a n ), czyli a n Q. 7.4 Niech P be dzie idea lem pierwszym. Mówimy, że Q jest idea lem P -prymarnym, jeśli P = Q. Lemat: Przecie cie idea lów P -prymarnych jest idea lem P -prymarnym. 7.5 Mówimy, że rozk lad I = Q i jest minimalny, jeśli 1) wszystkie P i = Q i sa różne, 2) dla każdego i mamy j i Q j Q i (rozk lad nieskracalny) Każdy rozk lad I na idea ly prymarne można przerobić na rozk lad minimalny. 7.6 Twierdzenie: jeśli I = Q i be dzie nieskracalnym rozk ladem na idea ly prymarne, to zbiór idea lów pierwszych Q i jest jednoznacznie wyznaczony: P = Q i dla pewnego i wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje b R taki, że P = (Q i : b). 7.7 (bez dowodu) Niech P i ass(i) be dzie minimalnym stowarzyszonym idea lem, wtedy Q i w rozk ladzie minimalnym nie zależy od rozk ladu. Cia la 7.8 Dla każdego wielomianu f K[x] istnieje cia lo L oraz w lożenie K L, takie, że f ma pierwiastek w L. W być może wie kszym ciele f rozk lada sie w L na czynniki liniowe. 9
10 7.9 Dane rozszerzenie cia la K L. Naste puja ce warunki sa równoważne: 1) istnieje 0 f K[x] taki, że f(a) = 0 (element a jest algebraiczny nad K) 2) dim K K[a] < 3) K[a] = K(a) (tzn podpierścień K[a] jest cia lem) Niech a algebraiczny nad K. Naste puja ce liczby sa równe: 1) stopień wielomianu minimalnego dla a: (f jest minimalny jeśli (f) = {g K[x] g(a) = 0}) 2) dim K K[a] 7.11 Ćwiczenie: Niech a, b L K be da algebraiczne nad K. Wtedy ich suma i iloczyn sa algebraiczne nad K Rozszerzenie algebraiczne K L. Def: każdy element a L jest algebraiczny Twierdzenie: Rozszerzenie algebraiczne rozszerenia algebraicznego jest algebraiczne. Dw: K L M wystarczy za lożyć, że L = K[a 0, a 1,... a n ], M = L[b]. Wtedy dim K M = dim L M dim K L <. 8 Algebraiczne domknie cie cia la, modu ly 8.1 Niech K L. Grupa automorfizmów L sta lych na K oznaczana jest Gal(L, K). Permutuje pierwiastki wielomianów f K[x]. 8.2 Przyk lady: - K = Q, L = Q( 2), Gal(L, K) = Z 2 - K = Q, L = Q(ξ), ξ n = 1, pierwiastek pierwotny Gal(L, K) = Z n - K = k(σ 1, σ 2,..., σ n ), L = k(x 1, x 2,..., x n ), gdzie σ i to elementarna funkcja symetryczna od x i (ze wzorów Viete a), Gal(L, K) = Σ n. - Gal(Q(i, 4 2)) = D 8 - Gal(F p n, F p ) = Z n - Gal(F p, F p ) = Z 8.3 K L M. Dla podgrupy H < Gal(M, K) zbiór punktów sta lych M H jest cia lem. Dla podcia la L M zbiór elementów grupy G L sta lych na L jest podgrupa. L M G L H G M H Patrz teoria Galois. 8.4 Konstrukcja cia la algebraicznie domknie tego zawieraja cego dane: ([B-B, Elementy algebry roz 4]): bierzemy jakikolwiek cia g cia l K K 1 K 2..., taki, że każdy wielomian z K i [x] ma pierwiastek w K i+1. Wtedy K i jest algebraicznie domknie te. 8.5 Konstrukcja oszcze dniejsza: jeśli K L jest rozszerzenim algebraicznym i każdy wielomian f K[x] dodatniego stopnia rozk lada sie na czynniki liniowe w L[x], to L jest algebraicznie domknie te. Dow: Niech f L[x] be dzie wielomianiem dodatniego stopnia. Istnieje wie ksze cia lo M L, w którym f ma pierwiastek b. Niech L(b) M be dzie podcia lem M generowanym przez L i b. Wtedy 10
11 K L(b) jest rozszerzeniem algebraicznym (bo jest z lożeniem rozszerzeń algebraicznych). Zatem istnieje wielomian g K[x], taki, że g(b) = 0. Ale w każdy wielomian z K[x] rozk lada sie w L[x] na czynniki liniowe. Zatem b L. 8.6 Dane K K, gdzie K jest algebraicznie domknie te. Wtedy zbiór elementów algebraicznych nad K jest cia lem algebraicznie domknie tym i algebraicznym rozszerzeniem K. algebraiczne K. Jest wyznaczone jednoznacznie z dok ladnościa do izomorfizmu. 8.7 Modu ly nad pierścieniem: przyk lady wolny R n idea l (to sa dok ladnie podmodu ly R 1 ) R/I dla R = k: przestrzeń liniowa nad k dla R = Z-modu l to grupa abelowa dla R = k, k[x]-modu l to przestrzeń liniowa nad k wraz z endomorfizmem. 8.8 Operacje na modu lach suma prosta skończona = produkt skończony suma prosta nieskończona produkt nieskończony modu l ilorazowy ja dro, koja dro iloczyn tensorowy operacje zmiany pierścienia bazowego 8.9 Klasyfikacja skończenie generowanych modu lów nad pierścieniem DIG gdzie p i R element pierwszy, k i N. M R r N i=1 R/(p k i i ) (W przypadku gdy M = R/I, I = (a), p k i i z tw chińskiego o resztach mamy teze.) 8.10 Wnioski: To jest domknie cie Tw Jordana (dla R = k[x]), bo p i = (x a i ), sk ladnik wolny odpada, bo zak ladamy dim M < Tw o klasyfikacji skończenie generowanych grup abelowych (dla R = Z), bo p i to liczby pierwsze Dla pierścieni noetherowskich mamy rozk lad prymarnego podmodu lu w module skończenie generowanym. Jest to uogólnienie przypadku I M = R. 11
13. Cia la. Rozszerzenia cia l.
59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja
Bardziej szczegółowoZadania o pierścieniach
Zadania o pierścieniach 18.1.2015 Zadania zawieraja odsy lacze do podre czników [AMcD] M. F. Atiyah, I. G. MacDonald, Introduction To Commutative Algebra (wiele wydań) [BB] A. Biaynicki-Birula, Zarys algebry,
Bardziej szczegółowoWyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Bardziej szczegółowoDziedziny Euklidesowe
Dziedziny Euklidesowe 1.1. Definicja. Dziedzina Euklidesowa nazywamy pare (R, v), gdzie R jest dziedzina ca lkowitości a v : R \ {0} N {0} funkcja zwana waluacja, która spe lnia naste ce warunki: 1. dla
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowo1. Zadania z Algebry I
1 Zadania z Algebry I Z 11 Znaleźć podgrupy grup Z 12, Z 8, D 6 i D 12 i narysować graf zawierań mie dzy nimi Z 12 Niech Q 8 := j, k GL(2, C), gdzie j, k sa macierzami: j = ( ) i 0 0 i k = ( 0 ) 1 1 0
Bardziej szczegółowoPierścienie grupowe wyk lad 3. lewych podmodu lów prostych. Ogólniej, aby roz lożyć dany pierścień na sume. prosta
Pierścienie rupowe wyk lad 3 Już wiemy, że alebre rupowa CG skończonej rupy G można roz lożyć na sume lewych podmodu lów prostych Oólniej, aby roz lożyć dany pierścień na sume prosta jeo dwóch podmodu
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. x 1
FUNKCJE LICZBOWE Zbiory postaci {x R: x a}, {x R: x a}, {x R: x < a}, {x R: x > a} oznaczane sa symbolami (,a], [a, ), (,a) i (a, ). Nazywamy pó lprostymi domknie tymi lub otwartymi o końcu a. Symbol odczytujemy
Bardziej szczegółowoCiała skończone. 1. Ciała: podstawy
Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowo1 Znaleźć wszystkie możliwe tabelki dzia lań grupowych na zbiorze 4-elementowym.
Algebra I Bardzo dobrym źród lem zadań (ze wskazówkami do rozwia zań) jest M Bryński, J Jurkiewicz - Zbiór zadań z algebry, doste pny w bibliotece Moje zadania dla studentów z *: https://wwwmimuwedupl/%7eaweber/zadania/algebra2014/grupyzadpdf
Bardziej szczegółowoPierścienie grupowe wyk lad 2. Przypomnijmy, że K-algebra A jest pó lprosta, gdy jej lewe A-modu ly przypominaja
Pierścienie grupowe wyk lad 2. Przypomnijmy, że K-algebra A jest pó lprosta, gdy jej lewe A-modu ly przypominaja przestrzenie liniowe nad A: każdy z nich ma rozk lad na sume modu lów prostych. W tych rozk
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, cz
Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, cz eść druga Anna Romanowska 22 października 2015 Pierścienie i cia la.1 Idea ly i pierścienie ilorazowe Definicja.11. Pierścień, w którym wszystkie idea ly
Bardziej szczegółowoDzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa
Dzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa Niech G be dzie dowolna grupa, zaś X zbiorem. 1. Definicja. Dzia laniem grupy G na zbiorze X nazywamy funkcje µ: G X X, µ(g, x) = g x, spe lniaja ca dwa
Bardziej szczegółowo1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)
Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla
Bardziej szczegółowoWYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE
WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE Definicja 1 Algebra abstrakcyjna nazywamy teorie, której przedmiotem sa dzia lania na
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania - konspekt wykładu
Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2016/2017 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 2 13 Ciało ułamków
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania - konspekt wykładu
Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2012/2013 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 3 13 Ciało ułamków
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),
Bardziej szczegółowo1 Grupy. 1.1 Grupy. 1.2 Podgrupy. 1.3 Dzielniki normalne. 1.4 Homomorfizmy
1 Grupy 1.1 Grupy 1.1.1. Niech G będzie taką grupa, że (ab) 2 = a 2 b 2 dla dowolnych a, b G. Udowodnić, że grupa G jest abelowa. 1.1.2. Niech G będzie taką grupa, że (ab) 1 = a 1 b 1 dla dowolnych a,
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE W LASNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH
PODSTAWOWE W LASNOŚCI DZIA LAŃ I NIERÓWNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH W dalszym cia gu be dziemy zajmować sie g lównie w lasnościami liczb rzeczywistych, funkcjami określonymi na zbiorach z lożonych
Bardziej szczegółowoAlgebra konspekt wykladu 2009/10 1. du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle
Algebra konspekt wykladu 2009/10 1 3 Podgrupy Niech S g mówimy, że podzbiór S jest zamknie ty ze wzgle du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle
Bardziej szczegółowoPierścień wielomianów jednej zmiennej
Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów
Bardziej szczegółowoUdowodnimy najpierw, że,,dla dostatecznie dużych x liczby a k x k i a 0 + a 1 x + + a k x k maja ten sam znak. a k
WIELOMIANY STOPNIA WYŻSZEGO NIŻ DWA Przypominamy, że wielomianem k tego stopnia nazywamy funkcje f postaci f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a k x k, gdzie wspó lczynnik a k jest liczba różna od 0. Piszemy
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania ćwiczenia
Algebra i jej zastosowania ćwiczenia 14 stycznia 2013 1 Kraty 1. Pokazać, że każda klasa kongruencji kraty (K, +, ) jest podkrata kraty (K, +, ). 2. Znaleźć wszystkie kongruencje kraty 2 3, gdzie 2 jest
Bardziej szczegółowoDZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE. Eliminacje rejonowe. Czas trwania zawodów: 150 minut
XLIII MIE DZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE Eliminacje rejonowe Czas trwania zawodów: 150 minut Każdy uczeń rozwia zuje dwadzieścia cztery zadania testowe, w których podano za lożenia oraz trzy (niekoniecznie
Bardziej szczegółowo1 Pierścienie, algebry
Podstawowe Własności Pierścieni Literatura Pomocnicza: 1. S.Balcerzyk,T.Józefiak, Pierścienie przemienne, PWN 2. A.Białynicki-Birula, Algebra, PWN 3. J.Browkin, Teoria ciał, PWN 4. D.Cox, J.Little, D.O
Bardziej szczegółowo1. Określenie pierścienia
1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania - konspekt wykładu
Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2018/2019 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 3 13 Pierścienie Euklidesa
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry Studia Doktoranckie Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego 1
Zadania z Algebry Studia Doktoranckie Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego 1 1. (a) Udowodnić, że jeśli grupa ilorazowa G/Z(G) jest cykliczna, to grupa G jest abelowa (Z(G) oznacza centrum grupy
Bardziej szczegółowoAlgorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90),
Algorytm Euklidesa ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), (d) NWD(120, 168, 280), (e) NWD(30, 42, 70, 105), (f) NWW[120, 195], (g)
Bardziej szczegółowo2 Kongruencje 5. 4 Grupy 9. 5 Grupy permutacji Homomorfizmy grup Pierścienie 16
DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni 2018 1 Spis treści 1 Podzielność w Z, algorytm Euklidesa 2 2 Kongruencje 5 3 Twierdzenia: Fermata, Eulera i Wilsona 7 4 Grupy 9 5 Grupy permutacji 12 6 Homomorfizmy
Bardziej szczegółowoZadania o grupach Zadania zawieraja
Zadania o grupach 18112014 Zadania zawieraja odsy lacze do podre czników [BT] A Bojanowska, P Traczyk, Algebra I (skrypt) http://wwwmimuwedupl/%7eaboj/algebra/algfinv1pdf [Br] J Browkin, Teoria cia, BiblMat49,
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu
Algebra 1 Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu Definicje i podstawowe własności Definicja 1. Niech X będzie niepustym zbiorem. Działaniem w zbiorze X nazywamy dowolne odwzorowanie (funkcję) działające
Bardziej szczegółowo5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm
Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga
Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Anna Romanowska January 29, 2016 4 Kraty i algebry Boole a 41 Kraty zupe lne Definicja 411 Zbiór uporza dkowany (P, ) nazywamy krata zupe lna,
Bardziej szczegółowo1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod
Bardziej szczegółowo4. Dzia lanie grupy na zbiorze
17 4. Dzia lanie grupy na zbiorze Znaczna cze ść poznanych przez nas przyk ladów grup, to podgrupy grupy bijekcji jakiegoś zbioru. Cze sto taka podgrupa sk lada sie z bijekcji, które zachowuja dodatkowa
Bardziej szczegółowoROZDZIA l 13. Zbiór Cantora
ROZDZIA l 3 Zbiór Cantora Jednym z najciekawszych i najcze ściej spotykanych w matematyce zbiorów jest zbiór Cantora W tym rozdziale opiszemy jego podstawowe w lasności topologiczne Najprościej można go
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania ćwiczenia
Algebra i jej zastosowania ćwiczenia 13 stycznia 013 1 Reprezentacje liniowe grup skończonych 1. Pokazać, że zbiór wszystkich pierwiastków stopnia n z jedności jest grupa abelowa wzgle dem mnożenia.. Pokazać,
Bardziej szczegółowo0.1 Pierścienie wielomianów
0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 3, 16.10.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Definicja pierścienia 2/10 Zbiór R wyposażony w dwa działania
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011
1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy
Bardziej szczegółowo5. Podgrupy normalne i grupy ilorazowe
22 5 Podgrupy normalne i grupy ilorazowe Niech ϕ : G H be dzie homomorfizmem Rozpatrzmy zbiór warstw lewostronnych G/ ker ϕ grupy G wzgle dem podgrupy ker ϕ Latwo zauważyć, że ϕ(x) = ϕ(y) x 1 y ker ϕ x
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania ćwiczenia
Algebra i jej zastosowania ćwiczenia A Pilitowska i A Romanowska 24 kwietnia 2006 1 Grupy i quasigrupy 1 Pokazać, że w każdej grupie (G,, 1, 1): (a) jeśli xx = x, to x = 1, (b) (xy) 1 = y 1 x 1, (c) zachodzi
Bardziej szczegółowoSterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
Bardziej szczegółowoc a = a x + gdzie = b 2 4ac. Ta postać wielomianu drugiego stopnia zwana jest kanoniczna, a wyrażenie = b 2 4ac wyróżnikiem tego wielomianu.
y = ax 2 + bx + c WIELOMIANY KWADRATOWE Zajmiemy sie teraz wielomianami stopnia drugiego, zwanymi kwadratowymi. Symbol w be dzie w tym rozdziale oznaczać wielomian kwadratowy, tj. w(x) = ax 2 + bx + c
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania ćwiczenia
Algebra i jej zastosowania ćwiczenia A. Pilitowska i A. Romanowska jesień 2012 1 Iloczyny (produkty) proste 1. Znaleźć tabelke dodawania i mnożenia pierścienia Z 2 Z 3. 2. Które z naste puja cych par grup
Bardziej szczegółowoAlgebra II Wykład 1. Definicja. Element a pierścienia R nazywamy odwracalnym, jeśli istnieje element b R taki, że ab = 1.
Algebra II Wykład 1 0. Przypomnienie Zbiór R z działaniami +, : R R R, wyróżnionymi elementami 0, 1 R i operacją : R R nazywamy pierścieniem, jeśli spełnione są następujące warunki: (1) a, b, c R : a +
Bardziej szczegółowoGrupy i cia la, liczby zespolone
Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów
Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak. Wielomiany
Maciej Grzesiak Wielomiany 1 Pojęcia podstawowe Wielomian definiuje się w szkole średniej jako funkcję postaci f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + + a n x n Dogodniejsza z punktu widzenia algebry jest następująca
Bardziej szczegółowoWzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych
Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Pawe l Józiak 007-- Poje cia wste pne Wielomianem zmiennej rzeczywistej t nazywamy funkcje postaci:
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowoi=0 a ib k i, k {0,..., n+m}. Przypuśćmy, że wielomian
9. Wykład 9: Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Kryteria rozkładalności wielomianów. 9.1. Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Uwaga 9.1. Niech (R, +, ) będzie pierścieniem
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne
Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość
Bardziej szczegółowoWielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria
Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych
Bardziej szczegółowo1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.
20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów,
Bardziej szczegółowoSkończone rozszerzenia ciał
Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie
Bardziej szczegółowoWyk lad 2 Podgrupa grupy
Wyk lad 2 Podgrupa grupy Definicja 2.1. Pod grupy (G,, e) nazywamy taki podzbiór H G, że e H, h 1 H dla każdego h H oraz h 1 h 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Jeśli H jest grupy G, to bedziemy pisali H G.
Bardziej szczegółowoCia la i wielomiany Javier de Lucas
Cia la i wielomiany Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Za lóż, że (F, +,, 1, 0) jest cia lem i α, β F. w laściwości s a prawd a? Które z nastȩpuj acych 1. 0 α = 0. 2. ( 1) α = α. 3. Każdy element zbioru F ma
Bardziej szczegółowosa dzie metryka z euklidesowa, to znaczy wyznaczaja ca cki, Wojciech Suwiński)
Zadanie 1 Pokazać, że dowolne dwie kule w R z metryka sa homeomorficzne Niech ρ be dzie metryka równoważna z, to znaczy wyznaczaja ca topologie na R Czy wynika z tego, że dowolne dwie kule w metryce ρ
Bardziej szczegółowo1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
Bardziej szczegółowo= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i
15. Wykład 15: Rozszerzenia pierwiastnikowe. Elementy wyrażające się przez pierwiastniki. Rozwiązalność równań przez pierwiastniki. Równania o dowolnych współczynnikach. 15.1. Rozszerzenia pierwiastnikowe.
Bardziej szczegółowoUniwersytet w Białymstoku. Wykład monograficzny
Uniwersytet w Białymstoku Wydział Matematyczno-Fizyczny Instytut Matematyki dr hab. Ryszard Andruszkiewicz Wykład monograficzny Wykład monograficzny prowadzony dla studentów V roku matematyki przez dr
Bardziej szczegółowoWersja testu D 14 września 2011 r. 1. Czy prawda jest, że a) x Z y Z y 2 = 2 ; b) x Z y Z x 2 = 1 ; c) x Z y Z x 2 = 2 ; d) x Z y Z y 2 = 1?
1. Czy prawda jest, że a) x Z y Z y 2 = 2 ; b) x Z y Z x 2 = 1 ; c) x Z y Z x 2 = 2 ; d) x Z y Z y 2 = 1? 2. Czy prawda jest, że a) 5 8 1 jest podzielne przez 4 ; b) 5 7 1 jest podzielne przez 4 ; c) 3
Bardziej szczegółowog liczb rzeczywistych (a n ) spe lnia warunek
. Czy jest prawda, że a) R y R z R y + yz + = 0 ; b) R y R z R y + yz + 0 ; c) R y R z R y + yz + = 0 ; d) R y R z R y + yz + 0? 2. Czy jest prawdziwa nierówność a) ctg > ; b) tg < cos ; c) cos < sin ;
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009
Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech 0 K oraz θ V będą elementem zerowym ciała K i wektorem zerowym przestrzeni V. Posługując
Bardziej szczegółowoDr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska
Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoPaweł Gładki. Algebra. pgladki/
Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,
Bardziej szczegółowoProstota grup A n. Pokażemy, że grupy A n sa. proste dla n 5. Dowód jest indukcyjny i poprzedzimy go lematem.
Prostota grup A n. Pokażemy, że grupy A n sa proste dla n 5. Dowód jest indukcyjny i poprzedzimy go lematem. 1 2 0. Twierdzenie Schura Zassenhausa W tym rozdziale zajmiemy sie bardzo użytecznym twierdzeniem,
Bardziej szczegółowoAlgebraiczna Teoria Liczb
Algebraiczna Teoria Liczb Opracowane na podstawie notatek z wykładu w semetrze letnim roku 2008r. (niekompletne- pominięto ostatnie wykłady o szeregach Diricheta) 08.05.2008r. W tej części rozważań wszystkie
Bardziej szczegółowoSpektrum pierścienia i topologia Zariskiego
Uniwersytet Warmińsko Mazurski w Olsztynie Wydział Matematyki i Informatyki Kierunek: Matematyka Anna Michałek Spektrum pierścienia i topologia Zariskiego Praca magisterska wykonana w zakładzie Algebry
Bardziej szczegółowoKARTA KURSU. Kod Punktacja ECTS* 6. Znajomość podstaw logiki, teorii mnogości i algebry liniowej.
KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Algebra abstrakcyjna Abstract algebra Kod Punktacja ECTS* 6 Koordynator Prof. dr hab. Kamil Rusek Zespół dydaktyczny: Dr Antoni Chronowski Opis kursu (cele kształcenia)
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Bardziej szczegółowoGAL, konspekt wyk ladów: Tensory
GAL, konspekt wyk ladów: Tensory 8.6.2017 Notatki zawieraja odsy lacze do podre czników [Kos]=Kostrikin, [Tor]=Toruńczyk. [Kos roz. 6]. Materia l mniej standardowy jest opisany dok ladniej. 1 Iloczyn tensorowy
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne
Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne 1 Warstwy grupy wzgl edem podgrupy Niech H bedzie podgrupa grupy (G,, e). W zbiorze G wprowadzamy relacje l oraz r przyjmujac, że dla dowolnych a, b G: a l b a 1 b
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoRozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Bardziej szczegółowoTeoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej
Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej 27-28/10/09 ZBIORY MIERZALNE WZGLȨDEM MIARY ZEWNȨTRZNEJ Niech µ bȩdzie miar
Bardziej szczegółowoWykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Bardziej szczegółowoNiech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:
Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x
Bardziej szczegółowoMatematyka A, klasówka, 24 maja zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le. rozwia
Matematyka A, klasówka, 4 maja 5 Na prośbe jednej ze studentek podaje zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le dów Podać definicje wektora w lasnego i wartości w lasnej
Bardziej szczegółowoPojęcie pierścienia.
Pojęcie pierścienia. Definicja: Niech R będzie zbiorem niepustym. 1. Algebrę pr, `, q nazywamy pierścieniem, gdy pr, `q jest grupą abelową, działanie jest łaczne oraz rozdzielne względem działania `, to
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,,
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
Bardziej szczegółowoPojęcia wstępne. Piotr P. Karwasz. Kraków, 22 kwietnia 2017 r. Uniwersytet Gdański
Piotr P. Karwasz Uniwersytet Gdański Kraków, 22 kwietnia 2017 r. Redukcja Niech p Z będzie liczbą pierwszą oraz π p kanonicznym homomorfizmem: π p : Z F p. Twierdzenie (wersja dla studentów) Niechaj w(x)
Bardziej szczegółowo