Geometria Algebraiczna, Jesie«2016

Transkrypt

1 Geometria Algebraiczna, Jesie«2016 Zadania domowe: seria 1 na 4 pa¹dziernia. W tej serii jest du»o zada«ale s (z reguªy) ªatwe lub bardzo ªatwe. Najpierw denicje, tóre zapewne Pa«stwo znaj. Wi cej informacji znajd Pa«stwo w literaturze i odno±niach znajduj cych si na stronie jarew/szkola/gea/ Kategoria. Kategoria C to lasa obietów Obj C oraz lasa mor- zmów: dla a»dej pary obietów A, B z Obj C mamy dany zbiór morzmów Mor C (A, B), tóre zapisujemy jao strzaªi Mor C (A, B) f : A B. Mor- zmy mo»na sªada czyli istnieje operacja C : Mor C (A, B) Mor C (B, C) (f, g) g C f Mor C (A, C) Sªadanie morzmów jest ª czne oraz w zbiorze Mor C (A, A) mamy wyró»niony morzm identyczno±ci id A, tóry jest neutralny dla operacji sªadania. Funtor. To homomorzm ategorii Φ : C D, a doªadniej odwzorowanie objetów Φ Obj : Obj C Obj D oraz morzmów: zachowuj ce ierune strzaªe Φ Mor : Mor C (A, B) Mor D (Φ Obj (A), Φ Obj (B)) (czyli funtor owariantny) lub je odwracaj ce Φ Mor : Mor C (A, B) Mor D (Φ Obj (B), Φ Obj (A)) (czyli funtor ontrawariantny). Zaªadamy,»e funtory przeprowadzaj identyczno±ci na identyczno±ci oraz s zgodne ze sªadaniem morzmów. Presnop. Niech (X, τ) b dzie przestrzeni topologiczn. Presnopem zbiorów S (grup abelowych, przestrzeni) na X nazywamy funcj τ U S(U) przyporz dowuj c zbiorowi otwartemu U zbiór (grup abelow, przestrze«wetorow ) S(U). Ponadto dla a»dej pary zbiorów otwartych U V mamy odwzorowanie (homomorzm) r V U : S(V ) S(U) taie,»e dla a»dej tróji U V W zachodzi r V U r W V = r W U. Elementy zbioru S(U) nazywamy ci ciami S nad U, natomiast odwzorowanie r V U nazywamy zaw»aniem (obcinaniem) ci ze zbioru V do zbioru U. 1. Poa»,»e zbiory oraz strutury algebraiczne (grupy, grupy abelowe, pier±cienie przemienne, przestrzenie wetorowe nad ustalonym ciaªem itd) i przestrzenie topologiczne wraz z ich odwzorowaniami, odpowiednimi homomorzmami, tworz ategorie. Oznaczamy je Set, Gr, Ab,

2 Ring, Vect, Top itd. Poa»,»e zapominanie o operacjach algebraicznych daje funtor pomi dzy odpowiednimi ategoriami (funtor zapominania). 2. Poa»,»e ategoria z jednym obietem jest monoidem (póªgrup z jedno±ci ) a funtory taich ategorii to ich homomorzmy. 3. Funtor Φ : C D nazywamy wiernym (odpowiednio, peªnym) je±li odwzorowanie na strzaªach Mor C (A, B)) Mor D (Φ Obj (A), Φ Obj (B)) jest injecj (surjecj ). Poa»,»e abelianizacja grupy zadaje funtor owariantny z Gr do Ab. Czy jest to funtor wierny? peªny? Poa»,»e dualizacja -przestrzeni wetorowych V V = Hom (V, ) zadaje funtor ontravariantny ategorii Vect w siebie. Czy jest to funtor wierny? 4. Zdeniuj izomorzm obietów oraz odwrotno± morzmu w sposób ategoryjny. 5. Niech (S, ) bedzie zbiorem z cz ±ciowym porz diem. Poa»,»e (S, ) deniuje ategori, tórej obietami s elementy z S a morzmami nierówno±ci pomi dzy nimi. 6. Poa», dla przestrzeni topologicznej (X, τ) presnop zbiorów (grup abelowych, pier±cieni itd) to funtor ontrawariantny z ategorii pochodz cej od cz ±ciowego porz du inluzji na zbiorze τ w ategori zbiorów (grup abelowych, pier±cieni). 7. Obiet A nazywamy obietem pocz towym ategorii C je±li ma doªadnie jedno odwzorowanie w a»dy obiet ategorii. Podobnie deniujemy obiet o«cowy ategorii. Poa»,»e obiet pocz towy (o«cowy) w ategorii jest jeden z doªadno±ci do izomorzmu. Zbadaj czy ategorie rozpatrywane w pozostaªych zadaniach maj obiet pocz towy. Czy maj obiet o«cowy? 8. Niech C bedzie ategori z wyró»nionym obietem A. Poa»,»e odwzorowanie B Mor C (A, B) oraz Mor C (B, C) f ( Mor C (A, B) g f g Mor C (A, C) ) deniuje owariantny funtor z C w ategori zbiorów Set. Zdeniuj podobnie funtor ontrawariantny B Mor C (B, A).

3 9. Produt ategoryjny A, B Obj C to obiet D z dwoma morzmami A D B taimi,»e dla dowolnego obietu D, tóry ma morzmy A D B istnieje doªadnie jeden morzm z D do D, tóry daje nast puj cy przemienny diagram D! D A Produt D oznaczamy, o ile nie spowoduje to onfuzji, przez A B. Koprodut deniujemy przez odwrócenie strzaªe. Poa»,»e ta zdeniowany produt jest jeden z doªadno±ci do izomorzmu. Poa»,»e produty s przemienne, to jest A B jest izomorczne z B A. Opisz produty i oproduty w ategoriach Set, Top, Ab, Gr, Ring (zauwa»,»e nieoniecznie musz istnie ). 10. Zaªó»my,»e w ategorii C mamy trzy obiety z nast puj cymi dwoma strzaªami A C B. Produtem wªónistym A i B nad C nazywamy obiet D z morzmami A D B, tóre daj nast puj cy diagram przemienny D B A Ponadto zaªadamy,»e o ile obiet D speªnia powy»szy warune dla D to mamy doladnie jeden morzm D D, tóry mo»na wstawi w nast puj cy diagram przemienny D C B! D B Ta zdeniowany produt wªónisty (o ile wiemy, gdzie jest zdeniowany) zwyle oznaczamy przez A C B. Ko-produt wªótnisty A C

4 deniujemy przez odwrócenie strzaªe. Poa»,»e ta zdeniowany produt (i o-produt) jest jeden z doªadno±ci do izomorzmu. Opisz produty i oproduty wªóniste w ategoriach Set, Top, Ab. Poa»,»e je±li ategoria C ma obiet o«cowy Z i istnieje w niej produt A B to produt wªónisty A Z B jest izomorczny z A B. 11. Czy funtor zapominania jest przemienny z produtem (oprodutem)? 12. Zªo»enie produtów wªónistych jest produtem wªónistym. Zaªó»my,»e nast puj ce obiety i strzaªi s zdeniwane E A (A C B) A C B B E A C Poa»,»e E A (A C B) jest izomorczne z E C B, gdzie E C to zªo»enie E A C. 13. Zmiana bazy produtu wªónistego. Zaªó»my,»e istnieje produt wªónisty dla A C B. Poa»,»e dowolny morzm C E induuje naturalne odwzorowanie A C B A E B i mamy diagram A C B C A E B C E C gdzie odwzorowanie C C E C jest diagonal czyli odwzorowaniem w produt wªónisty pochodz cym z dwóch opii identyczno±ci C C. Poa»,»e powy»szy diagram te» jest produtem wªónistym. Zadania domowe: seria 2 na 11 pa¹dziernia. Naturalna transformata funtorów. Zaªó»my,»e mamy dwa owariatne funtory Φ, Ψ : C D. Naturalna transformata funtorów µ : Φ Ψ jest zadana przez las morzmów µ A : Φ Obj (A) Ψ Obj (A), gdzie A C,

5 tóre dla a»dej pary A, B Obj C i f Mor C (A, B) speªniaj warune przemienno±ci Φ Obj (A) µ A Ψ Obj (A) Φ Mor (f) Ψ Mor (f) Φ Obj (B) µ B Ψ Obj (B) Je±li dodatowo a»de µ A jest izomorzmem to mówimy,»e µ jest naturaln równowa»no±ci (lub izomorzmem) funtorów. Taie same denicje stosujemy dla funtorów ontrawariantnych. Izomorzm i równowa»no± ategorii. Kategorie C i D s izomor- czne o ile istniej funtory Φ : C D i Ψ : D C taie,»e Φ Ψ oraz Ψ Φ s funtorami identyczno±ci na, odpowiednio, D i C. Kategorie C i D s równowa»ne o ile istniej funtory Φ i Ψ taie,»e Φ Ψ oraz Ψ Φ s naturalnie równowa»ne z funtorami identyczno±ci. Granica prosta i odwrotna w ategorii. Rozpatrzmy ategori Ŝ = (S, ) zbioru S z cz ±ciowym porz diem oraz funtor (indesowanie) Ŝ C gdzie przyporzadowanie obietów oznaczamy S s A s Obj C a dla s s przyporz dowujemy morzm φ s s Mor C (A s, A s ). Granic odwrotn systemu obietów (A s ) s S (z induowanymi morzmami) nazywamy obiet D Obj C wraz z morzmami ψ s : D A s taimi,»e dla a»dego φ s s Mor C (A s, A s ) mamy ψ s = φ s s ψ s. Zaªadamy przy tym,»e D jest obietem o«cowym speªniaj cym ten warune, czyli je±li D speªnia warune ja wy»ej dla D to istnieje morzm D D tai,»e odpowiednie zªo»enia s przemienne. Granic odwrotn oznaczamy lim A s. Granica prosta jest zdeniowana podobnie, przez odwrócenie strzaªe i jest oznaczana lim A s. Snop. Presnop S nazywamy snopem je±li dla dowolnego porycia (U α ) α Λ zbioru V = α Λ U α i rodziny ci s α S(U α ) taich,»e dla a»dej pary indesów α, β Λ zachodzi r Uα,U α U β (s α ) = r Uβ,U α U β (s β ) istnieje doªadnie jedno ci cie s S(V ) taie,»e r V Uα (s) = s α, dla a»dego α Λ. 1. Przypomnijmy,»e w zadaniu I.8 (zadanie 8, seria I) dla ategorii C z wyró»nionym obietem A zdenowano funtory C Set, tóre na obietach dziaªaj ta B Mor C (A, B) lub ta B Mor C (B, A).

6 Nazwijmy je h A i h A, odpowiednio. Poa»,»e morzm A A daje naturaln transformat funtorów h A h A i h A h A. 2. Lemat Yonedy. Dla danej ategorii C deniujemy jej ategori funtorów Ĉ, w tórej obietami s funtory ontrawariantne C Set a morzmami naturalne transformaty taich funtorów. Rozpatrzmy funtor Φ : C Ĉ tai,»e Φ Obj (A) = h A a na morzmach Φ dziaªa ta ja opisano w poprzednim zadaniu. Poa»,»e Φ jest wierny i peªny. 3. Kontrawariantny funtor C Set nazywamy reprezentowalnym (reprezentowanym przez obiet A w C) je±li jest naturalnie izomorczny funtorowi h A. Poa»,»e owariantny funtor zapominania Ab Set jest naturalnie izomorczny funtorowi h Z. 4. Niech Vect < oznacza ategori przestrzeni wetorowych nad ciaªem wymiaru so«czonego. Rozpatrzmy funtor owariantny podwójnej dualizacji : Vect Vect. Znale¹ naturaln transformat funtora identyczno±ci do podwójnej dualizacji i poaza,»e na Vect < jest to równowa»no± funtorów. 5. Niech vect < oznacza ategori, tórej obietami s przestrzenie liniowe n (jeden obiet dla a»dego n 0) za± Mor vect ( n, m ) to macierze n m. Poa»,»e naturalne wªo»enie vect < w Vect < oraz, z drugiej strony, wybór (pewnej) bazy dla a»dej przestrzeni w Vect <, daje równowa»no± tych ategorii. 6. Czy ontrawariantny funtor Vect < vect < przyporz duj cy przestrzeni pewn baz dla jej funcjonaªów jest równowa»nosci ategorii? 7. Poa» równowa»no± ategorii nierozªadalnych rozmaito±ci anicznych nad algebraicznie domni tym ciaªem z ategori so«czenie generowanych algebr bez dzielniów zera. Sorzystaj z przyporz dowania V [V ]. 8. Poa»,»e produt (oprodut) i produt (oprodut) wªónisty jest szczególnym przyªadem granicy odwrotnej i prostej. 9. Niech (Z >0, ) oznacza zbiór liczb dodatnich z naturalnym porz diem. Nast puj ce systemy grup abelowych (pier±cieni) s indesowane za pomoc (Z >0, ). Zbadaj czy maj granic prost lub granic odwrotn :

7 (a) p 1 Z p 2 Z p 3 Z gdzie p jest liczb pierwsz. (b) Z/pZ Z/p 2 Z Z/p 3 Z, gdzie p ja wy»ej, (c) [x]/(x) [x]/(x 2 ) [x]/(x 3 ) 10. Niech A b dzie dziedzin z ustalonym ideaªem pierwszym p. Na zbiorze A \ p ustalamy cz ±ciowy porz de b b b b. Je±li A b = {a/b r : a A, r 0} (A) to dla b b mamy A b A b. Znajd¹ granic prost systemu (A b ) b A\p. 11. Niech S b dzie presnopem zbiorów (grup abelowych, pier±cieni) na przestrzeni topologicznej (X, τ). Dla x X, niech τ x oznacza las podzbiorów otwartych X zawieraj cych punt x, z porz diem wyznaczonym przez inluzj. Poa»,»e istnieje granica prosta systemu (S(U)) U τx. Nazywamy j ¹d¹bªem presnopa S w puncie x i oznaczamy S x. Klas ci cia s S(U) w ¹d¹ble S x dla puntu x U oznaczamy s x i nazywamy ieªiem s w x. 12. Sytuacja ja w poprzednim zadaniu. Na rozª cznej sumie ¹d¹beª x X S x deniujemy (najsªabsz ) topologi, w tórej dla a»dego ci cia s S(U) zbiór {s x : x U} jest otwarty. Otrzyman przestrze«topologiczn oznaczamy S. Poa»,»e odwzorowanie rzutowania π : S X, taie»e π(s x ) = x, jest ci gªe i jest loalnym homemorzmem. Poa»,»e s S(U) wyznacza odwzorowanie ci gªe s : U S, taie»e π s = id U. 13. Usnopienie presnopa. Sytuacja ja w poprzednim zadaniu. Dla otwartego U X deniujemy Ŝ(U) = {s : U S ciagle & π s = id U } Poa»,»e Ŝ jest snopem zbiorów (grup abelowych, pier±cieni) na X oraz mamy naturaln transformat funtorów ontrawariantnych S Ŝ (por. zad. I.6). Zbadaj usnopienie presnopa staªego, to jest taiego, tóry a»demu zbiorowi otwartemu przyporz dowuje ustalony zbiór (grup itd) Zadania domowe: seria 3 na 18 pa¹dziernia.

8 Wszystie rozmaito±ci aniczne s zdeniowane nad algebraicznie domni tym ciaªem. Przypomnienie: Snop struturalny rozmaito±ci anicznej X z pier±cieniem funcji regularnych [X] i ciaªem funcji wymiernych (X) zdeniowany jest w ciele uªamów (X) nast puj co O X (U) = [X] m = { } f : U x U x Ug h/g r [X] g f U Ug = (h/g r ) U Ug m x U gdzie m x oznacza ideaª masymalny funcji zniaj cych w x. Przypomnienie: Loalizacja A moduªu M wzgl dem systemu multipliatywnego S A prowadzi do moduªu S 1 M nad pier±cieniem S 1 A, tórego elementami s uªami m/s gdzie m M oraz s S i zachodzi równo± m 1 /s 1 = m 2 /s 2 o ile istnieje t S taie,»e t(s 2 m 1 s 1 m 2 ) = 0. Oczywi±cie taie uªami dodajemy i mno»ymy ja trzeba. Je±li p jest ideaªem pierwszym to loalizacje wzgl dem A\p oznaczamy M p. Podobnie, dla f A loalizacj wzgl dem S = {f r : r 0} oznaczamy M f. 1. Niech (X, O X ) b dzie rozmaito±ci aniczn. We¹my funcj f O X (X) i rozpatrzmy zbiór otwarty U f = X \ V (f). Poa»,»e U f z topologi i snopem struturalnym (funcji regularnych) induowanymi z X jest rozmaito±ci aniczn. 2. Znajd¹ ci cia snopa struturalnego na A 2 na zbiorze otwartym U = A 2 \ (0, 0). Poa»,»e U A2 z topologi i snopem struturalnym dziedziczonymi z A 2 nie jest podrozmaito±ci aniczn. 3. Niech (X, O X ) b dzie rozmaito±ci aniczn z algebr funcji regularnych A = O X (X). Zaªó»my,»e A jest pier±cieniem z jednoznaczno±ci rozªadu. Niech Y X b dzie niepustym podzbiorem otwartym, tóry jest rozmaito±ci aniczn z algebr funcji regularnych B = O Y (Y ). (a) Poa»,»e wªo»enie Y X induuje wªo»enie A B i równo± ciaª funcji wymiernych (X) = (A) = (Y ) = (B). (b) Poa»,»e istnieje f A taie,»e B = A f. Wsazówi: Sorzystaj z tego,»e B jest so«czenie generowan A algebr wi c mo»na ten pier±cie«zapisa jao A[h 1,..., h r ], gdzie zapisujemy w postaci niesracalnej h i = g i /f i dla pewnych g i, f i A. Je±li f i nie jest

9 odwracalne w B to ideaª generowany w B przez f i zawiera równie» g i. (c) Przy oznaczenia z zadania 1 wywniosuj z powy»szego,»e Y = U f. 4. Niech X b dzie zbiorem algebraicznym w przestrzeni anicznej A 2, ze wspóªrz dnymi (x 1, x 2 ), zadanym przez ideaª (x 2 1 x 3 2). Poa»,»e morzm A 1 X A2 zadany wzorem t (t3, t 2 ), gdzie t jest wspóªrz dn na A 1, zadaje homeomorzm A1 i X jao przestrzeni topologicznych ale nie izomorzm jao rozmaito±ci anicznych. 5. Niech (X, O X ) b dzie rozmaito±ci aniczn. Dla puntu x X rozwa»my ¹d¹bªo snopa struturalnego O X,x. (a) Poa»,»e O X,x jest pier±cieniem loalnym. (b) Poa»,»e je±li m x jest ideaªem masymalnym w O X,x to O X,x /m x = oraz m x /m 2 x jest O X,x /m x moduªem. (c) Poa»,»e dla X A n wymiar m x/m 2 x nad jest nie wi szy ni» n. (d) Policz m x /m 2 x dla x = (0, 0) w poprzednim przyªadzie. 6. Morzm Frobeniusa. Zaªó»my,»e charaterystya jest p > 0. Na przestrzeni anicznej A n mamy wspóªrz dne (x 1,..., x n ) i bierzemy odwzorowanie φ : A n A n zadane wzorem φ(x 1,..., x n ) = (x p 1,..., x p n). Poa»,»e odwzorowanie φ jest bijetywne, ci gªe i otwarte ale nie jest izomorzmem rozmaito±ci anicznych. 7. Rozpatrzmy przestrzenie aniczne A n i Am ze wspóªrz dnymi x = (x 1,..., x n ) i y = (y 1,..., y m ). Algebry funcji wielomianowych b dziemy oznacza odpowiednio przez [x] i [y] natomiast algebr funcji wielomianowych na A n Am b dziemy oznacza przez [x, y]. (a) Poa» naturalny izomorzm [x, y] = [x] [y], gdzie prawa strona to produt tensorowy przestrzeni liniowych nad z naturaln strutur -algebry. (b) Niech V 1 A n i V 2 A m b d zbiorami algebraicznymi zadanymi przez ideaªy pierwsze p 1 [x] i p 2 [y]. Poa»,»e zbiór V 1 V 2 jest zadany przez ideaª p = p 1 [x, y] + p 2 [x, y]. A n+m

10 (c) Poa»,»e [x, y]/p [x]/p 1 [y]/p 2 8. [trudne] Wya» jedn z nast puj cych wªasno±ci i poa»,»e poci ga pozostaªe. (a) W sytuacji poprzedniego zadania p jest ideaªem pierwszym. (b) Produt tensorowych so«czenie generowanych - algebr bez dzielniów zera jest dziedzin. (c) Produt dwóch anicznych rozmaito±ci nad ciaªem jest rozmaito±ci aniczn. 9. Niech (X, O X ) b dzie rozmaito±ci aniczn z algebr funcji regularnych A = O X (X). Niech M b dzie A moduªem. Dla zbioru otwartego U X deniujemy zbiór M(U) w sposób nast puj cy: { s : U } M mx : x U f A\mx m M U f U & y Uf s(y) = [m/f] Mmy x U (a) Poa»,»e M(U) na strutur O X (U) moduªu oraz M(U) O X (U) A M (zob. [Atiyah-Macdonald, Prop. 3.5]). (b) Poa»,»e U M(U) jest snopem, na tórym istnieje naturalna strutura snopa O X moduªów. (c) Poa»,»e je±li M = A = O X (X) to M jest izomorczny z O X. (d) Poa»,»e M M jest funtorem wiernym i peªnym z ategorii A moduªów w ategori snopów O X moduªów. 10. Przy oznaczeniach z poprzedniego zadania znajd¹ snop M i jego ¹d¹bªa dla nast puj cych moduªów ilorazowych. (a) M = [x]/(x) nad A = [x] (b) M = [x, y] [x, y]/imφ nad A = [x, y], gdzie φ : [x, y] [x, y] [x, y] jest dane wzorem φ(1) = (x, y). Zadania domowe: seria 4 na 25 pa¹dziernia. Zadania w tej serii dotycz rzeczy o tórych ju» mówiªem na wyªadzie, lub dopiero co zacz ªem mówi. Najwa»niejsze s zadania dotycz ce przestrzeni

11 rzutowych i o nich b dziemy mówi w pierwszej olejno±ci. W miar mo»liwo±ci zrobimy te» zalegªe zadania z poprzedniej serii, np. zadania III.3.b i III.10. Wszystie obiety s zdeniowane nad algebraicznie domni tym ciaªem. W denicji prerozmaito±ci (X, τ, O) zaªadamy,»e jest spójna i ma so«- czone porycie zbiorami otwartymi, tóre z induowan topologi i snopem struturalnym s rozmaito±ciami anicznymi. Rozmaito± to prerozmaito±, tóra jest separowalna (prze tna jest domni ta w jej producie). Pier±cienie z gradacj. Niech Γ b dzie przemiennym monoidem z elementem neutralnym 0 i operacj +. O ile nie b dziemy zaªada inaczej to Γ = Z 0. Pier±cie«(przemienny z jedno±ci ) z gradacj w Γ to suma prosta grup addytywnych indesowana elementami Γ, to jest A = γ Γ Aγ, w tórym mno»enie jest zgodne z operacj + w Γ, to jest A γ A γ A γ+γ. Mówimy,»e elementy w A γ s jednorodne stopnia γ; je±li f A γ to piszemy deg f = γ. Niech Γ Γ b dzie póªgrup ; o ile nie b dziemy zaªada inaczej to b dziemy rozpatrywa Γ = Z Z 0. Wówczas A-moduª M = α Γ M α nazywamy A moduªem z gradacj o ile A γ M α M γ+α 1. Pier±cienie z gradacj. Niech A = γ Z 0 A γ b dzie pier±cieniem z gradacj. (a) Poa»,»e jednorodne elementy a 1,..., a m dodatniego stopnia generuj ideaª A + = γ>0 Aγ wtedy i tylo wtedy gdy generuj A jao A 0 algebr. (b) Poa»,»e A jest noetherowsi wtedy i tylo wtedy gdy A 0 jest noetherowsi and A jest so«czenie generowan A 0 algebr. (c) Mówimy,»e ideaª J A jest jednorodny je±li jest generowany przez elementy jednorodne. Poa»,»e nast puj ce waruni s równowa»ne: i. Ideaª J A jest jednorodny. ii. J jest jednorodnym podmoduªem A. iii. Dla a»dego elementu f J a»dy jego jednorodny sªadni (to jest rzut f na A γ ) te» jest w J. (d) Poa»,»e je±li ideaª J jest jednorodny to jego radyaª J te» jest jednorodny. (e) Poa»,»e suma i przeci cie ideaªów jednorodnych jest ideaªem jednorodnym.

12 2. Rozpatrzmy noetherowsi pier±cie«z gradacj A = γ Z 0 A γ w tórym A 0 =. Poa»,»e je±li M = α Z M α jest so«czenie generowanym jednorodnym A-moduªem to M α jest so«czonego wymiaru -przestrzeni dla dowolnego α Z. Deniujemy szereg formalny P M (t) = t dim M t Z[[t]], tóry nazywamy szeregiem Poincaré- Hilberta. (a) Niech A = [x 0,..., x n ] ma gradacj ustalon ta,»e deg x i = 1. Znajd¹ szereg P A (t) i zapisz go jao funcj wymiern od t. (b) Niech A = [x 0,..., x n ] ma gradacj ustalon ta,»e deg x i = a i, gdzie a i 1. Znajd¹ szereg P A (t) i zapisz go jao funcj wymiern od t. (c) Dowied¹ twierdzenie Hilberta-Serra (zob. np. tw w Atiyah- Macdonald): Je±li A jest pier±cieniem z gradacj generowanym przez elementy stopnia a i to szereg Poincaré-Hilberta A-moduªu M jest funcj wymiern postaci P M (t) = F (t)/ (1 t a i ), gdzie F (t) Z[t]. Przestrze«rzutowa. W nast pnych zadaniach zajmujemy si pier±cieniem A = [x 0,..., x n ], w tórym wszystie zmienne maj stopie«1. 3. Rozpatrzmy przestrze«aniczn A n+1 ze wspóªrz dnymi (x 0,..., x n ). Niech P n oznacza zbiór linii w An+1 czyli zbiór puntów w A n+1 \ {0} modulo relacja (x 0,..., x n ) (λx 0,..., λx n ), gdzie λ = \ {0}. Inaczej mówi c P n to zbiór orbit dziaªania na A n+1 \ {0} przez homotetie: λ (x 0,..., x n ) = (λx 1,..., λx n ). (a) Poa»,»e zbiór zer ideaªu jednorodnego J A = [x 0,..., x n ] w A n+1 jest zachowywany przez dziaªanie i wobec tego mamy dobrze zdeniowany zbiór zer V (J) w P n. O ile nie b dzie powiedziane inaczej to dla ideaªu jednorodnego V (J) oznacza zbiór jego zer w P n+1. (b) Poa»,»e je±li zbiór algebraiczny V A n+1 jest niezmienniczy wzgl dem diaªania przez homotetie to ideaª I(V ) jest jednorodny. (c) Poa»,»e nast puj ce waruni s równowa»ne:

13 i. V (J) = ii. J = A lub J = A +. iii. m>0 J A m gdzie A m oznacza m-t gradacj pier±cienia A = [x 0,..., x n ] za± A + oznacza ideaª elementów z dodatni gradacj. 4. Na P n deniujemy topologi Zarisiego w tórej zbiorami domni tymi sa zbiory postaci V (J), gdzie J jest ideaªem jednorodnym w [x 0,..., x n ]. (a) Poa»,»e jest to topologia ilorazowa dla ilorazu A n+1 \ {0} P n (b) Poa»,»e z t topologi P n jest nieprzywiedln przestrzeni noetherows (a»dy zst puj cy ci g zbiorów domni tych si stabilizuje). (c) Poa»,»e zbiory U f = P n \ V (f), gdzie f jest wielomianem jednorodnym, stanowi baz tej topologii. 5. Niech f A = [x 0,..., x n ] b dzie wielomianem jednorodnym stopnia d > 0. (a) Poa»,»e loalizacja A f jest pier±cieniem z gradacj w Z oraz = {g/f r : deg g = rd + m}. A m f (b) Poa»,»e A 0 f jest so«czenie generowan algebr. (c) Poa»,»e elementy A 0 f s dobrze zdeniownymi funcjami na U f, to jest: s dobrze zdeniowane poprzez swoje warto±ci na A n+1 \ V (f). 6. Na P n z topologi Zarisiego τ deniujemy snop O, tórego przeroje to funcje o warto±ciach w loalnie przedstawialne jao elementy loalizacji. Doªadniej: { } f : U x U O(U) = Ug x f U Ug = (h/g r ) U Ug gdzie deg h = r deg g Poa»,»e (P n, τ, O) jest rozmaito±ci. Zadania domowe: seria 5 na 8 listopada.

14 Pierwszych par zada«jest z algebry przemiennej i dotyczy algebraicznych uogólnie«tematów przerobionych na wyªadzie. Uwaga: wszystie odwoªania s do si»e podanych na stronie zaj. Prosz oniecznie zrobi zadania Chi«sie twierdzenie o resztach. Rozpatrzmy ci g ideaªów wªa±ciwych I 1,... I r w pier±cieniu R, tóre speªniaj warune I i +I j = R dla i j. Poa»,»e R/ i I i i R/I i. 2. Dowied¹ twierdzenie o podnoszeniu w nast puj cej wersji: Niech A B b dzie caªowitym rozszerzeniem dziedzin (to znaczy a»dy element w B jest caªowity nad A). Zaªó»my ponadto,»e A jest loalny z ideaªem masymalnym m. Poa»,»e je±li n jest ideaªem masymalnym w B to n A = m. Poa»,»e je±li p jest ideaªem pierwszym w B taim,»e p m to p jest masymalny. Wsazówa: jesli A B jest caªowitym rozszerzeniem dziedzin to A jest ciaªem B jest ciaªem. Poa»,»e je±li rozszerzenie A B jest so«czone to B zawiera so«czona liczb ideaªów masymalnych, tór mo»na oszacowa z góry przez wymiar B/mB nad A/m (z chi«siego twierdzenia o resztach). 3. Dowied¹ twierdzenie o podnoszeniu w nast puj cej wersji: Niech A B b dzie caªowitym rozszerzeniem dziedzin. We¹my ideaª J w B oraz poªó»my I = J A. Poa»,»e dla a»dego masymalnego ideaªu m w A zawieraj cego I istnieje ideaª masymalny n w B zawieraj cy J, tai»e n A = m. (We¹ loalizacj B wzgl dem A \ m i sorzystaj z poprzedniego zadania.) 4. Niech φ : X Y b dzie odwzorowaniem rozmaito±ci anicznych taim,»e φ : [Y ] [X] jest wªo»eniem i rozszerzeniem caªowitym dziedzin. Korzystaj c z poprzednich zada«dowied¹,»e φ jest odwzorowaniem surietywnym, domni tym i przeciwobraz a»dego puntu jest zbiorem so«czonym. 5. Krull Hauptidealsatz (zob. np. Eisenbud tw. 10.1). Niech a A b dzie elementem w dziedzinie A, tóry nie jest dzielniiem zera ani elementem odwracalnym. Je±li p A jest minimalnym ideaªem pierwszym zawieraj cym a to p jest wysoo±ci 1 czyli a»dy ideaª pierwszy zawarty w p to p lub (0). Wersja geometryczna: Niech V b dzie rozmaito±ci aniczn i a [V ] elementem nieodwracalnym. Wówczas a»da sªadowa zbioru V (a) V jest owymiaru 1 w V. Stosunowo prosty dowód

15 wedªug Tate'a jest w si»ce Mumforda na str i wyorzystuje tw. Noether o normalizacji oraz przesztaªcenie normy dla rozszerze«ciaª, zob. np. zadania 2 i Poa»,»e nast puj ce ideaªy podrozmaito±ci owymiaru jeden w odpowiednich rozmaito±ciach anicznych nie s gªówne (nie mog by zadane jednym równaniem). Znajd¹ tai ideaª gªówny w pier±cieniu funcji wi szej rozmaito±ci,»e jego rozªad zawiera ideaª prymarny odpowiadaj cy tej podrozmaito±ci, napisz ten rozªad (odpowied¹ nie jest jednoznaczna). (a) Prosta x = z = 0 na powierzchni X = V (xy z 2 ) A 3. (b) Pªaszczyzna x = z = 0 na rozmaito±ci X = V (xy zw) A 4 7. Poa»,»e nast puj cy zbiór algebraiczny jest nieprzywiedlny (wi c jest rozmaito±ci ) i policz jego wymiar: V (x 1 x 4 x 2 x 3, x 1 x 3 x 2 2, x 2 x 4 x 2 3) A 4 8. Rozpatrzmy odwzorowanie A 2 A2 zadane wzorem (x, y) (xy, y). Czy obraz tego odwzorowania jest domni ty lub otwarty w A 2? Zbadaj jaie to odwzorowanie ma wªóna czyli ja wygl daj przeciwobrazy puntów. Zadania domowe: seria 6 na 15 listopada. Oznaczenia: wpóªrz dne w przestrzeni anicznej oznaczamy w nawiasach or gªych, naprzyªad (z 1,..., z n ); wpóªrz dne jednorodne na przestrzeni rzutowej P n to lasy ierunów w An+1 \ {0}, oznaczamy je [z 0,..., z n ]. 1. Rozdmuchanie. Dwie opie przestrzeni anicznej A 2 ze wspóªrz dnymi (u 1, v 1 ) i (u 2, v 2 ) uto»samiamy na zbiorze u 1 0 u 2 w sposób nast puj cy: u 1 = u 1 2 oraz v 2 = u 1 v 1 (a) Poa»,»e rezultat jest rozmaito±ci, nazwijmy j Â2. (b) Poa», ze mamy dobrze zdeniowany morzm β : Â2 A2 zdeniowany loalnie β(u 1, v 1 ) = (u 1 v 1, v 1 ) = (z 1, z 2 ) i β(u 2, v 2 ) = (v 2, u 2 v 2 ) = (z 1, z 2 ) gdzie (z 1, z 2 ) to wspóªrz dne w przeciwdziedzinie.

16 (c) Poa»,»e odwzorowanie β jest surjetywne oraz wyznacza bijecj na zbiorach Â2 \ {v 1 = 0 = v 2 } i A 2 \ {(0, 0)}. (d) Poa»,»e β 1 (0, 0) P Oznaczenia ja w poprzednim zadaniu. (a) Poa»,»e odwzorowanie β : Â2 A2 P1 zadane wzorem β(u 1, v 1 ) = ((u 1 v 1, v 1 ), [u 1, 1]) i β(u2, v 2 ) = ((v 2, u 2 v 2 ), [1, u 2 ]) jest wªo»eniem Â2 na domni t podrozmaito± A2 P1. (b) Rozpatrzmy odwzorowanie α 2 : A 2 \ {0} P1 zadane wzorem α 2 (z 1, z 2 ) = [z 1, z 2 ]. Poa»,»e obraz β jest domni ciem wyresu α 2 w A 2 P1. (c) Rozpatrzmy odwzorowanie α n : A n \ {0} Pn 1 zadane wzorem α 2 (z 1,..., z n ) = [z 1,..., z n ]. Poa»,»e domni cie wyresu α n deniuje rozmaito± Ân, tór mo»na zdeniowa przez porycie n opiami A n, ta ja w poprzednim zadaniu. 3. Oznaczenia ja z pierwszego zadania; zaªó»my ponadto char 2, 3. Dla rzywej zadanych równaniem w A 2 znajd¹ jej przeciwobraz w Â2 i rozªó» go na sªadowe nieprzywiedlne; znajd¹ równania tych sªadowych. (a) z 3 1 = z 2 2 (b) (z 1 + 1) z 2 1 = z 2 2 (c) z 4 1 = z Rozpatrzmy wielomiany jednorodne stopnia d od n + 1 zmiennych: f 0, f 1,..., f r [x 0,..., x n ]. Zaªó»my,»e V (f 0,... f r ) = {0}. Poa»,»e mamy dobrze zdeniowane odwzorowanie rozmaito±ci algebraicznych F : P n Pr zadane wzorem: F ([x 0,..., x n ]) = [f 0 (x 0,..., x n ),, f r (x 0,..., x n )] Dla standardowego porycia mapami U i = {[x 0,..., x n ] : x i 0}, V j = {[y 0,..., y r ] : y j 0} dziedziny i przeciwdziedziny znajd¹ opis odwzorowania F w tych mapach.

17 5. Rozpatrzmy odwzorowanie ν : P 1 Pd zadane ja wy»ej przez wszystie jednomiany stopnia d, czyli ν([x 0, x 1 ]) = [x d 0, x d 1 0 x 1, x d 2 0 x 2 1,, x 0 x d 1 1, x d 1] Poa»,»e jest to wªo»enie na podrozmaito± P d, tórej ideaª jest generowany przez dwumiany wadratowe postaci y i y j y r y s dla i+j = r+s, czyli ν(p 1 ) = V (y i y j y r y s : i + j = r + s) 6. Niech X b dzie rozmaito±ci aniczn ta,»e [X] jest dziedzin z jednoznaczno±ci rozªadu. Poa»,»e je±li Y X jest podrozmaito±ci owymiaru 1, to jej ideaª I(Y ) [X] jest gªówny. Zadania domowe: seria 7 na 22 listopada. 1. Lemat Naayamy, ró»ne wersje. W tym zadaniu R jest pier±cieniem (oczywi±cie przemiennym i jedyn ) z ideaªem (radyaªem) Jacobsona J(R), tóry jest przeci ciem wszystich ideaªów masymalnych w R; ponadto M jest so«czenie generowanym R-moduªem. Poa» co nast puje: (a) Niech I b dzie dowolnym ideaªem w R. Je±li IM = M, to istnieje a 1 + I taie,»e am = 0. (b) Je±li J(R) M = M, to M = 0. (c) Je±li N M jest podmoduªem i M = N + J(R) M, to N = M. (d) Je±li moduª ilorazowy M/J(R)M jao R/J(R)-moduª jest generowany przez lasy elementów m 1,... m r M, to elementy te generuj M. 2. Sto»i rzutowe. Rozpatrzmy π : [z 0, z 1, z 2..., z n ] [z 1, z 2,..., z n ] oraz ι : [z 1, z 2..., z n ] [0, z 1, z 2,..., z n ]. (a) Poa»,»e π deniuje surietywny morzm π : P n \ {[1, 0...., 0]} P n 1 tórego wªóna to proste aniczne A 1.

18 (b) Poa»,»e ι deniuje wªo»enia ι : P n 1 P n, na podrozmaito± zadan równaniem z 0 = 0. (c) Niech Z P n 1 b dzie podrozmaito±ci zadan ideaªem jednorodnym I(Z) [z 1,..., z n ]. Poa»,»e domni cie π 1 (Z) w P n, nazwijmy je Ẑ, jest rozmaito±ci z ideaªem π (I(Z)) [z 0, z 1,... z n ], gdzie π jest wªo»eniem [z 1,..., z n ] [z 0, z 1,... z n ]. Mówimy,»e Ẑ jest sto»iem (rzutowym) nad Z, natomiast [1, 0,..., 0] nazywamy wierzchoªiem tego sto»a. 3. Odwzorowanie Segre. We¹my P r i P s ze wspóªrz dnymi jednorodnymi [x 0,..., x r ] i [y 0,..., y s ] odpowiednio. Poa»,»e ([x 0,..., x r ], [y 0,..., y s ]) [z ij = x i y j : 0 i r, 0 j s] deniuje morzm P r P s P (r+1)(s+1) 1, tóry jest wªo»eniem na podrozmaito± zadan przez jednorodny ideaª generowany przez dwumiany z ij z uv z iv z uj. Najprostszy przypade r = s = 1 oniecznie do zrobienia. 4. Hiperpowierzchnie i wadryi. Niech podrozmaito± X P n+1 b dzie owymiaru 1. Poa»,»e I(X) jest gªówny, czyli I(X) = (f) gdzie f jest jednorodnym swielomianem stopnia, powiedzmy, d. Mówimy,»e d jest stopniem podrozmaito±ci X, je±li d = 1, to X jest hiperpªaszczyzn, w przypadu d = 2 rozmaito± X nazywamy wadry. W nast pnych podpuntach zaªadamy,»e d = 2 czyli X jest wadry i ciaªo ma charaterysty 2. (a) Poa»,»e mo»na zmieni wpóªrz dne w P n+1 liniowo ta aby f = z z 2 r, gdzie 2 r n + 1. Poa»,»e o ile r < n + 1, to X jest sto»iem nad mniej wymiarow wadry. (b) Poa»,»e dla n = 1 wadrya (czyli pªasa rzywa stopnia 2) jest obrazem P 1 przy wªo»eniu Veronese (zdeniowano w poprzedniej serii). (c) Poa»,»e dla n = 2 wadrya jest albo sto»iem nad pªas rzyw stopnia 2, albo obrazem P 1 P 1 przy wªo»eniu Segre. 5. Powierzchnia Hirzebrucha F m. Niech x b dzie wspóªrz dn niejednorodn na P 1, czyli x = x 0 /x 1 dla pewnych wspóªrz dnych jednorodnych [x 0, x 1 ]. We¹my dwie opie produty A 1 P 1 : pierwsza

19 ma wspóªrz dne (x, [u 0, u 1 ]), gdzie x, druga (x, [v 0, v 1 ]), gdzie x { } \ {0}. Dla x \ {0} P 1 robimy uto»samienie v 0 = u 0, v 1 = u 1 x m, gdzie m 0. (a) Poa»,»e ta sonstruowana pre-rozmaito± jest rozmaito±ci. (b) Poa»,»e F 1 jest izomorczne z domni ciem w P 2 P 1 wyresu odwzorowania π : P 2 \ {[1, 0, 0]} P 1, o tórym mowa powy»ej, oraz F 1 jest rozdmuchaniem P 2 w puncie. (c) Poa»,»e odwzorowanie F 2 P 3 zadane loalnie we wpóªrz dnych (x, [u 0, u 1 ]) [u 0, u 1, xu 1, x 2 u 1 ], (x, [v 0, v 1 ]) [v 0, x 2 v 1, x 1 v 1, v 1 ] jest dobrze zdeniowane i jego obrazem jest sto»e nad pªas rzyw stopnia 2. Zadania domowe: seria 8 na 29 listopada. Pierwsze zadanie z tej serii jest bardzo wa»ne bo ma na celu przypomnienie i rozwini cie wiadomo±ci z wyªadu. Prosz je oniecznie zrobi. Dla zrozumienia tego materiaªu prosz sobie powtórzy podstawowe wiadomo±ci o loalizacji moduªów, zob. [Atiyah-Macdonald, rozdz. 3]. 1. Niech (X, O) b dzie rozmaito±ci aniczn z algebr funcji regularnych A = O(X). Niech M b dzie A moduªem (dla uªatwienia mo»na dodatowo zaªada,»e M jest so«czenie generowany). Przypomnijmy,»e dla zbioru otwartego U X deniujemy O(U)-moduª M(U) jao { s : U } M mx : x U f A\mx m M U f U & y Uf s(y) = [m/f] Mmy x U (a) Sprawd¹,»e U M(U) jest snopem O moduªów. (To zostaªo zrobione na wyªadzie na podstawie dwóch lematów: (1) je±li a»da loalizacja elementu moduªu jest zerowa to ten element jest zerem i (2) zgodne elementy w loalizacjach pochodz z jednego elementu moduªu.) (b) Sprawd¹,»e M(U f ) = M f, gdzie U f = X \ V (f). (c) Sprawd¹,»e M x = M mx, gdzie m x jest ideaªem masymalnym odpowiadaj cym x X.

20 (d) Sprawd¹,»e M M jest funtorem z ategorii A moduªów w ategori snopów O moduªów: zdeniuj ten funtor na morzmach. (e) Sprawd¹,»e funtor M M jest doªadny. To znaczy: je±li N M P jest ci giem doªadnym A-moduªów, to ci g snopów O moduªów N M P jest doªadny, czyli dla a»dego x X mamy ci g doªadny ¹d¹beª N x M x P x, zob. [Atiyah- Macdonald, Prop. 3.3] (f) Poa»,»e powy»szy funtor jest wierny i peªny: dowied¹,»e globalne przeroje zadaj bijecj pomi dzy Hom O (M, N ) a Hom A (M, N). 2. W sytuacji poprzedniego zadania i przy zaªo»eniu,»e M jest so«czenie generowany, ranga snopa M to wymiar loalizacji M wzgl dem elementów odwracalnych w A (lub inaczej M A (A)) nad ciaªem uªamów (A). Poa»,»e je±li dla pewnego zbioru anicznego U X moduª M(U) jest generowany nad O(U) przez r elementów, to ranga M jest co najwy»ej r. 3. Dla snopa O moduªów F i puntu x X przez wªóno F(x) rozumiemy przestrze«liniow F x Ox (O x /m x ). Poa»,»e w przypadu iedy F = M jest zdeniowanym ja wy»ej, to M(x) = M mx Amx A/m x. Wyorzystaj lemat Naayamy by poaza,»e w tym przypadu wymiar a»dego wªóna nad jest nie mniejszy ni» ranga snopa M. 4. Przy oznaczeniach z poprzednich zada«znajd¹ rang snopa M i wymiar jego wªóien dla nast puj cych moduªów: (a) M = [x]/(x) nad A = [x] (b) M = (x, y) [x, y] [x, y] nad A = [x, y] 5. We¹my pier±cie«wielomianów z naturaln gradacj A = d 0 Ad = [x 0,..., x n ]. Przypomnijmy,»e snop struturalny na P n deniujemy na zbiorach U f, gdzie f A m, jao pier±cie«elementów stopnia zero w loalizacji A wzgl dem f czyli O(U f ) = A 0 f = {g/f r : g A rm }. Ustalmy d Z i w tej sytuacji zdeniujmy O(d)(U f ) = A d f = {g/f r : g A rm+d }

21 (a) Poa»,»e O(d)(U f ) jest O(U f ) moduªem. (b) Poa»,»e na zbiorach U xi (to jest dla f = x i ) ten moduª jest wolny rangi 1. (c) Poa»,»e U f O(d) na P n. O(d)(U f ) rozszerza si do snopa oherentnego Zadania domowe: seria 9 na 6 grudnia. Informacje o snopach moduªów mo»na znale¹ tu [Hartshorne, II.5]. Do rozwi zania ostatniego puntu ostatniego zadania potrzebne jest zadanie 5 z poprzedniej serii; prosz je oniecznie zrobi (b dzie wliczne w puntacj ). 1. Snopy loalnie wolne (i wi zi wetorowe): macierze przej±cia. Niech E b dzie snopem loalnie wolnym rangi r nad rozmaito±ci X. Je±li snop E jest trywializowany na poryciu (U i ) przez izomorzmy ϕ i : E Ui O r U i to na U ij = U i U j deniujemy macierze przej±cia g ij = (ϕ i ) Uij (ϕ j ) 1 U ij gdzie (ϕ i ) Uij : E(U ij ) O r (U ij ) jest izomorzmem O(U ij ) moduªów. (Podobnie deniujemy macierze przej±cia dla wi zi E stowarzyszonej ze snopem E.) (a) Sprawd¹,»e g ij GL(r, O(U ij )) i dla a»dej tróji indesów i, j, l na U ijl = U i U j U l zachodzi g ij g jl = g il. (b) Zamiana bazy: zaªó»my,»e E jest trywializowane równie» przez ϕ i : E Ui O r U i, tóre daj macierze przej±cia g ij. Niech h i = (ϕ i ) Ui (ϕ i) 1 U i. Poa»,»e h i GL(r, O(U i )) oraz h j g ji = g ji h i. (c) Zaªó»my,»e snopy loalnie wolne E i E s trywializowane na tym samym poryciu (U i ) z macierzami przej±cia g ij i g ij. Znajd¹ macierze przej±cia dla snopa E E. 2. Operacje na snopach moduªów. Niech F i M b d snopami O moduªów. Przez Hom O (F, M) oznaczamy snop homomorzmów U Hom O U (F U, M U ), natomiast F O M oznacza snop zwi zany z usnopieniem presnopa U F(U) O(U) M(U). Podobnie deniujemy inne operacje tensorowe.

22 (a) W sytuacji poprzedniego zadania, niech E oznacza snop dualny do E czyli E = Hom O (E, O). Poa»,»e E jest trywializowany na poryciu (U i ) i znajd¹ jego macierze przej±cia. (b) Niech E b dzie ja wy»ej: znajd¹ macierze przej±cia dla det(e) = r E. (c) Poa»,»e U F(U) O(U) M(U) nie zawsze musi by snopem; doªadniej: orzystaj c z zadania 4 podaj przyªad iedy naturalne odwzorowanie F(U) O(U) M(U) (F O M)(U) nie jest izomorzmem. 3. Snopy loalnie wolne rangi 1 (wi zi liniowe), grupa Picarda. (a) Niech L 1 i L 2 b d snopami loalnie wolnymi rangi 1 trywializowanymi na poryciu (U i ) z funcjami przej±cia f 1 ij, f 2 ij O (U ij ), gdzie O O oznacza snop funcji, tóre nie maj zer (niezniaj cych). Znajd¹ funcje przej±cia dla L 1 L 2 i dla L 1. (b) Poa»,»e snopy loalnie wolne rangi 1 (lub wi zi liniowe) na rozmaito±ci X maj naturaln strutur grupy abelowej ze wzgl du na ; nazywamy j grup Picarda i oznaczamy Pic X. (c) Porównaj grup Pic X z grup Ȟ1 (X, O ), czyli grup pierwszych ohomologii ƒecha o wspóªczynniach w snopie O (snop grup z mno»eniem). 4. Poa»,»e snopy O(d) zdeniowane na P n loalnie wolne rangi 1. w poprzedniej serii zada«s (a) Poa»,»e O(d) = O( d) orazo(d 1 ) O(d 2 ) = O(d 1 + d 2 ). (b) Znajd» przeroje globalne snopa O(d), czyli H 0 (X, O(d)) dla dowolnego d Z. Mo»esz to zrobi licz c ohomologie ƒecha dla standardowego porycia P n. Zadania domowe: seria 10 na 13 grudnia. Pierwsze dwa zadania s bardzo wa»ne i od nich na pewno wystartujemy. Informacje o snopach moduªów mo»na znale¹ tu: [Hartshorne, II.5]. Ró»niczowanie -algebry A to odwzorowanie -liniowe d : A A speªniaj ce warune Leibniza d(a b) = a db + b da. Prosz si zapozna z

23 denicj moduªu ró»nicze Kählera, tór mo»na znale¹ tu: [Matsumura, sect. 25] Prawie na pewno nie zrobimy wszystich zada«o ró»niczach; cz ± b dzie do doo«czenia na nast pnych wiczeniach. 1. Rozwa»my pier±cie«z gradacj A = d 0 Ad = [x 0,..., x n ] reprezentuj cy wspóªrz dne jednorodne na przestrzeni rzutowej P n. Przez (U i ) oznaczamy otwarte porycie zbiorami anicznymi U i = U xi = P n \ V (x i). Przypomnijmy,»e dla A-moduªu z gradacj M = j Z M j deniujemy snop quasi-oherentny M na P n, tóry na zbiorach U i ma taie warto±ci M(U i ) = M 0 x i = {m/x r i : m M r } (a) Poa»,»e je±li M jest so«czenie generowany to M jest oherentny. (b) Dla ustalonego r Z niech M r M b dzie podmoduªem taim,»e M d r = 0 dla d < r oraz M d r = M d dla d r. Poa»,»e mamy naturalny izomorzm M r = M. (c) Dla ustalonego r Z niech M(r) oznacza moduª z przesuni t gradacj M(r) d = M r+d. Poa»,»e Ã(r) = O(r). (d) Poa»,»e dla dowolnego so«czenie generowanego A moduªu z gradacj mamy naturalny izomorzm M(r) = M O(r) 2. Sytuacja i oznaczenia ja w poprzednim zadaniu. Dla snopa oherentnego F na P n deniujemy A-moduª z gradacj Γ (F) = j Z F(j)(Pn ), gdzie F(j) = F O(j). (a) Sprawd¹,»e Γ (O) = S oraz Γ (F(r)) = Γ (F)(r). (b) Zdeniujmy morzm snopów oherentnych Γ (F) F tai,»e dla s/x j i Γ (F)(U i ), gdzie s H 0 (P n, F(j)), przyporz dowujemy s x j i F(U i ). Poa»,»e to jest izomorzm, wi c Γ (F) F. (c) Niech M b dzie so«czenie generowanym A-moduªem z gradacj. Poa»,»e istnieje naturalny homomorzm A-moduªów M Γ ( M) tai,»e M d Γ ( M) d dla d 0.

24 3. Ró»niczowanie w puncie. Niech A b dzie so«czenie generowan -algebr ( ja zwyle algebraicznie domni te). Wybierzmy ideaª masymalny m. Deniujemy ró»niczowanie w puncie p odpowiadaj cym m czyli odwzorowanie δ m : A m/m 2 w sposób nast puj cy: δ m (f) = (f f(p)) mod m 2 gdzie f(p) A/m = A warto± f w p interpretowana jao funcja staªa. (a) Poa»,»e δ m jest -ró»niczowaniem. (b) Znajd¹ zªo»enie δ m z A-homomorzmem m/m 2 = m A A/m Ω A A A/m, tóre f m odzorowuje na df 1. (c) Wywniosuj,»e mamy izomorzm Ω A A A/m m/m Znajd¹ moduª ró»nicze Kählera dla nast puj cych algebr nad ciaªem charaterystyi 2, 3. (a) A = [t 2, t 3 ] [t] (b) A = [x 2, xy, y 2 ] [x, y] (c) A = [x 3, x 2 y, xy 2, y 3 ] [x, y] Sprawd¹, tóry z powy»szych moduªów ró»nicze ma torsje. 5. Dwa ci gi doªadne. Niech φ : A B b dzie homomorzmem - algebr. Deniujemy Dφ : Ω A A B Ω B wzorem Dφ(df 1) = d(φ(f)) Sprawd¹,»e jest to dobrze zdeniowany homomorzm B- moduªów. Sprawd¹ doªadno± nast puj cych ci gów, w tórych wyst puje Dφ. Zdeniuj naturalne homomorzmy wyst puj ce w tych ci gach (zob. [Matsumura, sect. 26]). (a) Zaªó»my,»e φ jest surietywne a jego j dro to ideaª I, wówczas mamy ci g B-moduªów I/I 2 Ω A A B Ω B 0 (b) Poa»,»e je±li φ nie jest surietywne to oj dro Dφ mo»na zinterpretowa jao relatywne ró»niczi, to jest mamy ci g doªadny Ω A A B Ω B Ω B/A Ró»niczi na P n i ci g Eulera [Hartshorne, II.8]. Korzystamy z notacji wprowadzonej powy»ej w wiczeniu 1. We¹my morzm A moduªów z gradacj n A( 1) v j A j=0

25 gdzie v j s generatorami stopnia 1 i a»dy v j odwzorujemy na x j. Przez M oznaczmy j dro tego odwzorowania. (a) Poa»,»e mamy ci g doªadny spnopów O-moduªów 0 M O( 1) n+1 O 0 (b) Na U i z pier±cieniem wspóªrz dnych [x 0 /x i,..., x n /x i ] deniujemy homomorzm ψ i : Ω Ui O( 1) n+1 U i ªad c ψ i (d(x r /x i )) = (x i v r x r v i )/x 2 i. Poa»,»e daje to izomorzm na M Ui. (c) Poa»,»e ψ i slejaj si do izomorzmu snopów Ω P n rezultacie mamy ci g Eulera M i w 0 Ω P n O( 1) n+1 O 0 Zadania domowe: seria 11 na 20 grudnia. Informacje na temat waluacji i normalizacji mo»na znale¹ tu: [Reid, Ch. 8] Przypomnijmy,»e waluacja dysretna na ciele K to funcja µ : K Z, tóra jest homomorzmem surietywnym grup (K jest grup multipliatywn elementów niezerowych ciaªa K) i speªnia warune µ(a + b) min{µ(a), µ(b)}. Alternatywnie, µ : K Z { } gdzie ªadziemy µ(a) = a = 0. Deniujemy pier±cie«waluacji A = {a K : µ(a) 0} z ideaªem masymalnym m = {a K : µ(a) > 0}. Ciaªo = A/m nazywamy ciaªem reszt (rezidualnym) tej waluacji. 1. Poa»,»e z warunów na waluacj µ wynia,»e je±li µ(a) µ(b) to µ(a + b) = min{µ(a), µ(b)}. 2. (a) Niech p b dzie liczb pierwsz. Poa»,»e odwzorowanie µ p : Z \ {0} Z zdeniowane wzorem µ p (a) = max{n 0 : p n a} rozszerza si do waluacji na Q (nazywamy j waluacj p-adyczn ). Znajd¹ pier±cie«tej waluacji i ciaªo rezidualne. (b) Dla niezerowego wielomianu f [t], taiego»e f = i a it i, poªó»my µ t (f) = min{i : a i 0}. Poa»,»e odwzorowanie µ t : [t] Z rozszerza sie do waluacji na ciele uªamów (t) i znajd¹ pier±cie«, i ciaªo rezidualne tej waluacji.

26 (c) Uogólnij powy»sze dwa przyªady na przypade dziedziny ideaªów gªównych A z ideaªem pierwszym p = (p): poa»,»e wybór p deniuje waluacj µ p : A \ {0} Z, znajd¹ pier±cie«waluacji i ciaªo rezidualne. 3. Niech A bedzie pier±cieniem waluacji dysretnej z ideaªem masymalnym m = (t). Mówimy,»e ci g elementów (a i ) i 0 jest m-adycznym ci giem Cauchy'ego je±li dla a»dego i 0 istnieje taie n 0 > 0, taie»e dla dowolnych n 1, n 2 n 0 zachodzi a n1 a n2 m i. Na ci gach Cauchy'ego w A deniujemy relacj (a i ) (b i ) reguª i n 0 n n 0 a n b n m i. Zbiór las abstracji tej relacji (równowa»no±ci!) oznaczamy  i nazywamy uzupeªnieniem A. (a) Poa»,»e  jest pier±cieniem z naturalnie zdeniowanymi operacjami. (b) Poa»,»e  jest pier±cieniem waluacji z ideaªem masymalnym m = t Â. Znajd¹ jego ciaªo rezidualne. (c) Znajd¹ uzupeªnienie pier±cieni z zadania 2 (a) i (b). 4. Formalny szereg Laurenta o wspóªczynniach w ciele to wyra»enie postaci f = i i 0 a i t i gdzie i 0 Z za± a i. (a) Poa»,»e na zbiorze szeregów Laurenta mo»na naturalnie zdeniowa strutur ciaªa; b dziemy to ciaªo oznacza ((t)). (b) Dla f ja wy»ej ªadziemy µ(f) = i 0 gdzie i 0 najmniejsze i taie,»e a i 0. Ponadto µ(0) =. Poa»,»e µ : ((t)) Z { } jest waluacj dysretn, znajd¹ jej pier±cie«waluacji i ciaªo rezidualne. 5. Formalny szereg Puiseux o wspóªczynniach w ciele to wyra»enie postaci f = i i 0 a i t i/n gdzie n jest dodatni liczb naturaln, i 0 Z za± a i. Zbiór formalnych szeregów Puiseux oznaczamy {{t}}; zauwa»my,»e {{t}} = n>0 ((t1/n )). (a) Poa»,»e na zbiorze {{t}} mo»na naturalnie zdeniowa strutur ciaªa. (b) Dla f ja wy»ej ªadziemy µ(f) = i 0 /n gdzie i 0 najmniejsze i taie,»e a i 0; ponadto µ(0) =. Poa»,»e funcja µ : ((t)) Q { } speªnia waruni µ(f g) = µ(f) + µ(g)

27 oraz µ(f + g) min{µ(f), µ(g)}. waluacj wymiern. Taie µ b dziemy nazywa (c) Sprawd¹,»e A = {f {{t}} : µ(f) 0} jest pier±cieniem loalnym z ideaªem masymalnym m = {f {{t}} : µ(f) > 0}. (d) Czy A jest pier±cieniem noetherowsim? Zadania domowe: seria 12 na 10 stycznia. Przypomnienie: dywizor Weila na rozmaito±ci normalnej (ta teraz b dzie zwyle zaªada ) X to formalna so«czona suma podrozmaito±ci owymiaru 1 o wspóªczynnach caªowitych, D = s a iy i. Grup dywizorów Weila na rozmaito±ci X, z naturalnym dodawaniem, oznaczamy Div(X) (lub WDiv(X)). 1. Rozpatrzmy wªa±ciwy podzbiór domni ty Z X i jego uzupeªnienie U = X \ Z. Poa»,»e ograniczanie do U daje dobrze zdeniowane odwzorowanie Div(X) Div(U), tóre jest surietywne, oraz (a) je±li a»da sªadowa Z jest owymiaru 2, to Div(X) Div(U) jest izomorzmem, (b) je±li Z X jest nieprzywiedlne owymiaru 1, to mamy ci g doªadny Z Div(X) Div(U) 0 gdzie pierwsze odwzorowanie z lewej jest postaci 1 1 Z. 2. Niech (X) b dzie ciaªem wymiaru przest pnego 1 nad ciaªem algebraicznie domni tym z waluacj dysretn µ i pier±cieniem waluacji A. Wiadomo,»e A jest (normalnym, a nawet regularnym) pier±cieniem loalnym z ideaªem masymalnym m A generowanym przez t A. We¹my so«czone rozszerzenie (X) (Y ) stopnia d i przez B oznaczmy caªowite domni cie A w (Y ). Deniujemy n B = m A B = t B. (a) Poa»,»e B jest caªowicie domniety w (Y ), wobec tego jest normalny i a»dy ideaª masymalny w B jest gªówny. (b) Poa»,»e B jest wolnym A moduªem rangi d oraz B/n B jest wymiaru d nad = A/m A. Sorzystaj z lematu Naayamy, zob. np. [Atiyah-Macdonald, ch. 7 ex. 15].

28 (c) We¹my rozªad prymarny ideaªu n B, czyli minimalne przedstawienie n B = q 1 q r gdzie q i s prymarne, taie»e radyaªy m i = q i s ró»ne pierwsze, wi c masymalne; ideaªy m i s wówczas wyznaczone jednoznacznie, zob. [Reid, 7.9] lub [Atiyah-Macdonald, 4.5]. (d) Poa»,»e wymiar dim B/q i jest równy waluacji t w pier±cieniu loalnym B mi. (e) Korzystaj c z twierdzenia chi«siego o resztach poa»,»e dim B/q dim B/q r = d 3. Dla dowolnej zupeªnej normalnej rzywej X nad ciaªem deniujemy odwzorowanie stopnia deg : Div(X) Z taie,»e dla D = a i p i, gdzie p i X, ªadziemy deg(d) = a i. Rozpatrzmy so«czony morzm zupeªnych rzywych normalnych φ : Y X; liczb d = [(Y ) : (X)] nazwiemy stopniem tego odwzorowania. Dla puntu p X z pier±cieniem loalnym A p, tórego ideaª masymalny jest gªówny m p = (t) deniujemy cofni cie dywizora D p = p jao φ (D p ) = µ qi (t) q i q i φ 1 (p) gdzie µ qi jest waluacj w pier±cieniu loalnym puntu q i Y. Poa»,»e t denicj mo»na rozszerzy do homomorzmu φ : Div(X) Div(Y ) oraz dla dowolnego D Div X mamy deg(φ (D)) = d deg(d); sorzystaj z poprzedniego zadania, zob. [Hartshorne, II.6.9] 4. Narycie cyliczne. Charaterystya ciaªa jest 0. Dla m 1 niech f A = [x 1,..., x m ] b dzie wielomianem niepodzielnym przez wadrat innego nieodwracalnego wielomianu, czyli w jego rozªadzie na czynnii proste wielomianu f a»dy wielomian nierozªadalny wyst puje tylo jednorotnie. We¹my rozmaito± X A m A 1 zdeniowan równaniem f(x 1,..., x m ) z n = 0, gdzie n 2. (a) Poa»,»e wielomian f(x 1,..., x m ) z n jest nierozªadalny (pierwszy) wi c X jest rozmaito±ci.

29 (b) Poa»,»e rozªad [X] jao wolnego A-moduªu: [X] = n 1 i=0 z i A daje strutur pier±cienia z gradacj w grupie cylicznej Z n. (c) Niech ɛ n bedzie pierwiastiem pierwotnym stopnia n z jedyni. Poa»,»e ªad c ɛ n (z) = ɛ n z deniujemy na [X] dziaªanie grupy cylicznej generowanej przez ɛ n zgodne z mno»eniem i powy»szym rozªadem. (d) Poa»,»e powy»sze dziaªanie rozszerza si do dziaªania grupy cylicznej ɛ n jao grupy Galois rozszerzenia ciaª (A) = (x 1,..., x m ) (X) (e) Niech A (X) oznacza caªowite domni cie A w (X). Poa»,»e pier±cie«a jest zachowywany przez dziaªanie ɛ n oraz rozªada si na podprzestrzenie wªasne dziaªania ɛ n czyli A = n 1 i=0 A z i (A) (f) Poa»,»e A z i (A) = z i A wi c A = [X]. Wywniosuj z tego,»e pier±cie«[x] jest caªowicie domni ty w swoim ciele uªamów czyli X jest rozmaito±ci normaln. Zadania domowe: seria 13 na 17 stycznia. Tym razem jest wi cej zada«i wszystie s wa»ne, moim zdaniem. Te, tóre nie b da zrobione na wiczeniach 17 stycznia przejd na nast pne wiczenia. O wszystich rozmaito±ciach zaªadamy,»e s normalne, zwyle nad ciaªem charaterystyi zero. Wi cej o dywizorach zob. [Hartshorne, Sect. II6]. 1. Dla n 1 niech Y P n b dzie podrozmaito±ci owymiaru 1 tórej ideaª jest generowany przez wielomian jednorodny stopnia d. Mówimy wówczas,»e Y jest hiperpowierzchni stopnia d i piszemy deg Y = d.

30 (a) Poa»,»e a»dy (nieoniecznie nieprzywiedlny) podzbiór algebraiczny w P n, tóre a»da jego sªadowa jest owymiaru 1, jest zbiorem zer ideaªu gªównego. (b) Poa»,»e mamy dobrze zdenowany homomorzm stopnia dywizora deg : Div(P n ) Z tóry przyjmuje warto± deg Y na dywizorach prostych. (c) Poa»,»e homomorzm deg zeruje si na dywizorach gªównych. (d) Wywniosuj z tego,»e Cl P n Z jest generowany przez las hiperpªaszczyzny; porównaj ten wyni z zadaniem 1(b) z poprzedniej serii i jego odpowiedniiem dla grup las. (e) Korzystaj c z podobnych argumentów poa»,»e Cl(P r P s ) Z Z, gdzie, oczywi±cie, r, s > W poprzedniej serii zada«dla dowolnej gªadiej (normalnej) rzywej X zdeniowali±my odzorowanie stopnia deg : Div(X) Z. (a) Poa»,»e stopie«dywizora gªównego na X jest zero wi c to odwzorowanie opuszcza si do deg : Cl X Z. (b) Poa»,»e je±li (dla rzywej gªadiej) deg : Cl X Z jest izomor- zmem, to X P 1. Wsazówa: we¹ dwa punty p 0 p X i sorzystaj z tego,»e deg(p 0 p ) = Niech D P n b dzie prostym dywizorem stopnia d > 0, tórego ideaª jest zadany przez nierozªadalny wielomian jednorodny f A = [x 0,..., x n ] stopnia d. Poªó»my U f = P n \ D (notacja ja w zadaniu 5 serii 4). (a) Poa»,»e U f jest rozmaito±ci aniczn. (b) Poa»,»e Cl U f = Z/dZ. (c) Wywniosuj z tego,»e pier±cie«[u] = A 0 f nie jest UFD. 4. We¹my powierzchni aniczn X A 3 zadan równaniem xy zn = 0 gdzie n 2 (zaªadamy,»e charaterystya ciaªa jest 0). (a) Poa»,»e X jest powierzchni normaln (sorzystaj z zdania 4 z poprzedniej serii). (b) Niech D 1 X b dzie prost zadan przez ideaª I 1 = (x, z). Poa»,»e D 1 nie jest gªówny ale nd 1 jest gªówny.

31 (c) Poa»,»e D 1 generuje grup Cl(X). Wsazówa: poa» izomor- zm X \ D 1 A 1 (A 1 \ {0}). 5. Niech X A 4 bedzie zadane równaniem xy zw = 0 (charaterystya 2). Rozpatrzmy dywizory D xw = V (x, w), D xz = V (x, z), D yw = V (y, w), D yz = V (y, z). (a) Poa»,»e X jest 3-rozmaito±ci normaln ; wsazówa: wspóªrz dne, z = z + w, w = z w. (b) Poa»,»e powy»sze dywizory generuj grup las X. (c) Znajd¹ relacje pomi dzy tymi dywizorami w Cl(X). (d) Policz Cl(X), powinno wyj± Cl(X) Z. zmie«6. Dywizory Cartier, wi zi liniowe i snopy wolne rangi 1. Przypomnijmy, ze dywizory Cartier to taie, tóre s loalnie gªówne. Czyli dla dywizora D na rozmaito±ci X istnieje porycie (U i ) i funcje wymierne (f i ) taie,»e D Ui = div(f i ) Ui. (a) Poa»,»e dywizor Cartier zdeniowany ja wy»ej odpowiada przerojowi snopa ilorazowego K /O zdeniowanemu na poryciu (U i ). Snop K to snop (loalnie staªy) niezerowych funcji wymiernych na X (na a»dym otwartym niepustym zbiorze ma warto± (X) \ {0}) a snop O to funcje regularne, nigdzie niezniaj ce, oba maj strutur grup multipliatywnych. (b) Korzystaj c z ci gu doªadnego 0 O K K /O 0 poa»,»e dywizory Cartier modulo liniowa równowa»no±, to to samo co wi zi liniowe modulo izomorzmy, Pic(X) H 1 (X, O ), zob. zadanie 3 z serii 9. (c) Maj c dany dywizor Cartier D, ja wy»ej, deniujemy snop O X (D)(U) = {f (X) : (div(f) + D) 0} Poa»,»e jest to snop O X -moduªów loalnie wolny rangi 1 i jest izomorczny ze snopem przerojów wi zi liniowej odpowiadaj cej D. Wi z liniow odpowiadaj c D b dziemy cz sto uto»samia ze snopem jej przerojów i oznacza te» przez O X (D).

32 7. Cofanie dywizorów Cartier i wi ze liniowych. Niech φ : X Y b dzie morzmem rozmaito±ci algebraicznych. Je±li L jest wi z liniow na Y zadan na poryciu (U i ) przez funcje h ij O Y (U i U j ) (zob. seria 9) to cofni cie tej wi zi φ L deniujemy na poryciu (φ 1 (U i )) przez funcje h ij φ (podobnie mo»emy cofa wi zi wy»szej rangi). (a) Sprawd¹,»e powy»sza denicja zadaje homomorzm grup φ : Pic Y Pic X. (b) Niech D = a i D i b dzie dywizorem Cartier na Y. Zaªó»my,»e φ(x) nie zawiera si w D i. Poa»,»e cofaj c do X funcje wymierne deniuj ce loalnie D otrzymamy dywizor φ (D) na Y tai,»e O X (φ (D)) φ (O Y (D)). (c) Zaªó»my,»e odwzorowanie φ jest biwymierne i surietywne. Poa»,»e odwzorowanie φ : Pic Y Pic X jest iniecj. 8. Popychanie dywizorów Weila przy odwzorowaniach biwymiernych. Niech φ : X Y b dzie surietywnym odwzorowaniem biwymiernym (rozmaito±ci normalnych!). Dla dywizora pierwszego D X deniujemy φ (D) = φ(d) o ile φ(d) Y jest owymiaru 1; w przeciwnym wypadu ªadziemy φ (D) = 0. (a) Poa»,»e liniowo rozszerzamy taie odwzorowanie do homomor- zmu φ : Div X Div Y, tóre opuszcza si do homomorzmu grup las φ : Cl X Cl Y. (b) Niech Exc X (φ) X i Exc Y (φ) Y to najmniejsze taie zbiory domni te,»e φ zadaje izomorzm ich uzupeªnie«x \ Exc X (φ) Y \ Exc Y (φ). Poa»,»e Exc Y (φ) Y jest owymiaru 2 co najmniej. Wsazówa, dowód nie-wprost: wybieraj c sªadow Exc Y (φ) owymiaru 1 i loalizuj c wzgl dem tej sªadowej jeste±my w sytuacji pier±cienia normalnego wymiaru 1 (waluacji dysretnej). (c) Zaªó»my,»e a»dy dywizor Weila na Y jest Cartier. Poa»,»e zªo»enie φ φ jest izomorzmem na Cl Y = Pic Y. 9. Rozpatrzmy rozdmuchanie pªaszczyzny w puncie β : Â2 A2, ja w zadaniu 1 z serii 6. Niech ι : E = β 1 (0, 0) Â2