Kurs do wyboru Wstęp do analizy algorytmów Instytut Matematyki i Informatyki UO 2011/2012

Transkrypt

1 dr Przemysław Szczepaniak Kurs do wyboru Wstęp do analizy algorytmów Instytut Matematyki i Informatyki UO 2011/2012 ZLICZANIE 1.ZmiastaAdomiastaBprowadzipięćdróg.Ilomasposobamimożnaodbyćpodróż A B Apodwarunkiem,żeniemożnawracaćtąsamądrogą? 2. Ile jest liczb czterocyfrowych(a) o niepowtarzających się cyfrach,(b) w których cyfry mogą się powtarzać? 3. Ile różnych liczb sześciocyfrowych można utworzyć z cyfr 0,1,2,3,4,5 tak, by żadna cyfra wliczbieniepowtarzałasięibywrzędziejednościstałacyfra3lub4? 4. Ile jest liczb pięciocyfrowych, które nie zmieniają się, gdy są czytane od końca? 5.Iledzielnikówmająliczby(a)1000,(b) ,(c)10!? 6.Budynekma8pięter.Windąjedzie12osób.Nailesposobówmogąwysiąść? 7. Winda rusza z 7 pasażerami i zatrzymuje się na 10 piętrach. Iloma sposobami pasażerowie mogą opuścić windę tak, by na każdym piętrze wysiadł co najwyżej 1 człowiek? 8. Na ile sposobów można wybrać z grupy 5 osób(a) 3-osobową komisję,(b) przewodniczącego, jego zastępcę i skarbnika? 9. Ile płaszczyzn wyznacza 5 punktów, z których żadne 4 nie należą do jednej płaszczyzny? 10.Ztalii52kartlosujemybezzwracania13kart.Ilejestwynikówlosowania,wktórych(a) wylosujemydokładnie2asy,(b)dokładnie1asa,3królei2damy,(c)conajmniej1asa? 11.Nailesposobówmożnaztalii52kartwybrać12tak,bymiećpo3kartywtymsamym kolorze? 12. Nie możesz sobie przypomnieć 7-cyfrowego numeru telefonu. Pamiętasz, że składa się onzcyfry1,dwóch2,dwóch3idwóch4.sprawdzaszkolejnotakienumery.ilenumerów wykręcisz w przypadku skrajnego pecha? 13. Ile różnych słów utworzy analfabeta przestawiając w dowolny sposób litery w wyrazie (a) KWIAT,(b) ANALFABETA,(c) MATEMATYKA? 14.Nailesposobówmożnazestawićpociągz4wagonówklasyI,6wagonówklasyIIi wagonu restauracyjnego(zakładamy, że wagony ustalonej klasy są nierozróżnialne)? Uwaga.Ćwiczenianiesąoznaczone,przyzadaniachjestsymbol,przytrudniejszychzadaniachjest symbol. 1

2 15. Na ile sposobów można rozmieścić w trzech różnych pokojach dwuosobowych(a) 6 osób, (b)5osób,(c)4osoby? 16.Testskładasięz10pytańz3wariantamiodpowiedzinakażde.Wiadomo,żezawsze dokładnie jedna odpowiedź jest poprawna. Na ile sposobów możesz wypełnić test przy założeniu, że(a) nie ma punktów karnych za odpowiedzi błędne, a więc zawsze zakreślasz jedną z odpowiedzi,(b) są punkty karne za odpowiedzi błędne? 17. Pociąg złożony jest z 9 wagonów. Ile jest sposobów umieszczenia 5 osób w pociągu, jeśli wszystkie osoby mają znaleźć się w dwóch wagonach? 18. Na ile sposobów można podzielić 10 różnych lizaków(a) pomiędzy dwie osoby,(b) na dwie części? 19. W miasteczku WEN KROY ulice biegną jak na rysunku. Ile jest dróg minimalnej długości odadob? B A 20.NailesposobówmożeszprzebyćdrogęzmiastaAdomiastaBnieodwiedzającżadnego miasta dwukrotnie jeśli(a) wybierasz drogę najkrótszą,(b) chcesz odwiedzić po drodze wszystkiemiasta,(c) możeszwybraćdowolnądrogę? B A 21. Rozdajemy10identycznychpączków5dziewczętom.Nailesposobówmożemytozrobić jeśli(a) każda z dziewcząt ma dostać co najmniej jednego pączka,(b) podział może być skrajnie niesprawiedliwy? 22. Ilejestczwórek(x 1,x 2,x 3,x 4 )liczbnaturalnychtakich,żex 1 +x 2 +x 3 +x 4 =10? 2

3 TOŻSAMOŚCI 23. Udowodnij poniższe tożsamości(spróbuj kombinatorycznie, w ostateczności wykonaj brutalny rachunek). n () (a+b) n = n k a k b n k (wzórdwumianowynewtona), k=0 () ( ) n k = n n k dlak n, () ( ) ( ) n k + n k+1 = n+1 k+1 dlak<n, ( )( ) ()( ) n m m k = n n k k m k dlak m n, ( n n( ) k) = n 1 k 1 dlan k>0 (regułapochłaniania), k ( )( )( ) ( )( )( ) n 1 n n+1 k 1 k+1 k = n 1 n+1 n k k+1 k 1 dlak<n (regułasześciokąta), () () () () n 0 + n 1 + n n n =2 n, () () ( n 0 n 1 + n 2 ) ()...± n n =0, ( n 0 k ()( ) ( n m i k i = m+n k i=0 24. Udowodnijwzórwłączeńiwyłączeń: A 1 A 2... A n = 1 i n ) 2+ () n 2+ () n () n 2= ( ) 2n 1 2 n n, ) dlak min{n,m} (tożsamośćcauchy ego). A i PRAWDOPODOBIEŃSTWO 1 i<j n A i A j + 1 i<j<k n A i A j A k...+( 1) n+1 A 1 A 2... A n. 25.Wiedząc,żeP(A)= 1 2,P(B)=2 3,P(A B)=4 5,obliczP(A B),P(A\B),P(B Ac ). 26. Oblicz prawdopodobieństwo trafienia szóstki w lotto(6 z 49). 27.Zurny,wktórejsą3kulebiałei5czarnychlosujemydwiekule(a)zezwracaniem,(b) bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń: A- dwie kule będą białe, B- kule będą tegosamegokoloru,c-zadrugimrazemotrzymamykulębiałą,d-conajmniejjednakula będzie biała. 28. Z talii 52 kart losujemy 13 kart bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania (a)4asów,(b)4asówidokładnie2króli,(c)trzynastupików,(d)conajmniejjednegoasa. 29.Zezbioru{1,2,3,...,20}losujemy12razypojednejliczbiezezwracaniem.Jakiejest prawdopodobieństwo otrzymania(a) liczb parami różnych,(b) co najmniej raz liczby 1,(c) co najwyżej raz liczby 1,(d) rosnącego ciągu liczb? 3

4 30. Stacja paliw obsługuje samochody osobowe i dostawcze, a stosunek liczby tankujących samochodów osobowych do dostawczych wynosi 6:4. 60% samochodów osobowych tankuje etylinę, 30% gaz, 10% olej napędowy oraz 10% samochodów dostawczych tankuje etylinę, 5% gaz, 85% olej napędowy. Oblicz prawdopodobieństwo, że(a) samochód, który podjechał po paliwo, zatankuje etylinę,(b) podjechał samochód dostawczy, jeśli wiadomo, że zatankował olej napędowy. 31.Pokaż,żejeślizdarzeniaAiBsąniezależne,tozdarzenia(a)A c ib c sąniezależne,(b) A c ibsąniezależne. 32. Dwaj strzelcy A i B trafiają do celu z prawdopodobieństwami równymi odpowiednio 0,6 i 0,8. Strzelcy oddają po jednym strzale do tego samego celu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że(a)celzostanietrafionydwarazy,(b)celzostanieconajmniejraztrafiony,(c)celzostanie trafiony dokładnie raz,(d) strzelec A trafił, jeśli wiadomo, że cel trafiono dokładnie raz? 33.TrzejstrzelcyA,BiCtrafiajądoceluzprawdopodobieństwamirównymiodpowiednio 4 5, 3 5 i1 2.Strzelcyoddająpojednymstrzaledotegosamegocelu.Jakiejestprawdopodobieństwo, że(a)celzostanietrafionytrzyrazy,(b)celzostanietrafionyconajmniejraz,(c)celnie zostanie trafiony,(d) cel zostanie trafiony dokładnie dwa razy? 34. Pojedynczym strzałem trafiamy do celu z prawdopodobieństwem 0,8. Ile należy oddać strzałów, aby z prawdopodobieństwem większym niż 0,95 trafić w cel co najmniej raz? 35. Dwanaście przedmiotów dzielimy pomiędzy dwie osoby tak, że każdy przedmiot przypada losowoktórejśosobiezprawdopodobieństwem 1 2.Jakiejestprawdopodobieństwo,żekażda osoba otrzyma 6 przedmiotów? 36. MałżeństwoAiBzawieraumowęoużywaniuwspólnegosamochodu: 1. pierwszego dnia samochodem jeździ B, 2. jeśli któregoś dnia samochodem jeździ A, to następnego dnia jeździ B, 3. jeśli któregoś dnia samochodem jeździ B, to losowanie monetą decyduje kto ma jeździć następnego dnia. (a)wyznaczrekurencyjnywzórnaprawdopodobieństwop n tego,żen-tegodniatrwania umowysamochodemjeździb.(b)wyznaczzwartywzórnap n.(c)obliczlim n p n. ZMIENNE LOSOWE 37.ZmiennalosowaXmarozkład{( 1, 1 4 ),(0,1 8 ),(2,3 8 ),(1,1 4 )}.Podajwpostacitabelek rozkładyzmiennychlosowychy=3x 5,Z=2X NiechniezależnezmiennelosoweX,Ymająodpowiedniorozkłady{( 1, 1 2 ),(1,1 3 ),(2,1 6 )}, {(0, 1 4 ),(1,3 4 )}.ZnajdźrozkładyzmiennychlosowychX+Y,X Y. 39. Niech X będzie liczbą oczek uzyskanych w jednokrotnym rzucie kostką, Y zaś sumą oczek uzyskanych w dwóch rzutach kostką. Opisz rozkłady zmiennych losowych X oraz Y. ObliczEXiEY. 4

5 40.Udowodnijwłasnościwartościoczekiwanej:(a)E(C)=C,(b)E(CX)=CEX,(c) E(X+Y)=EX+EY,(d)E(C 1 X C n X n )=C 1 EX C n EX n,gdziecorazc i są stałymi. 41.Pokaż,żejeślizmiennelosoweXiYsąniezależne,toE(X Y)=EX EY. Terminologia.Rozkładzero-jedynkowyto{(0,1 p),(1,p)},gdziep (0,1).Rozkład Bernoulliego(lubdwumianowy)zparametraminipto{(k, ( ) n k p k q n k ):k=0,1,...,n}, gdziep (0,1),q=1 p.zmiennas n orozkładziebernoulliegozparametraminiptopo prostu liczba sukcesów w schemacie Bernoulliego o n próbach. 42. Oblicz wartość oczekiwaną zmiennej o rozkładzie zero-jedynkowym. 43. ObliczwartośćoczekiwanązmiennejS n orozkładziebernoulliego. 44.Graczrzuca10razymonetą.Jeśliwk-tymrzuciewypadniereszka,tootrzymujekzł, jeśli orzeł, to nie dostaje nic. Oblicz wartość oczekiwaną łącznej wygranej gracza. Terminologia.NiechzmiennalosowaXmarozkład{(x 1,p 1 ),(x 2,p 2 ),...,(x n,p n )}.Liczbę VarX=(x 1 EX) 2 p 1 +(x 2 EX) 2 p (x n EX) 2 p n =E((X EX) 2 ).nazywamy wariancjązmiennejlosowejx.oczywiścievarx 0.Liczbęσ(X)= VarXnazywamy odchyleniem standardowym zmiennej losowej X. 45. Niech X będzie sumą oczek uzyskanych w dwóch rzutach kostką. Oblicz VarX. 46.Wurniesądwiekulebiałeidwieczarne.Losujemybezzwracaniadotąd,ażporaz pierwszy wyciągniemy kulę białą. Niech X będzie numerem tego losowania. Opisz rozkład zmiennej losowej X i oblicz EX, VarX. 47. Wykaż wzór na obliczanie wariancji ( ) VarX=E(X 2 ) (EX) Oblicz wariancję zmiennej losowej o rozkładzie zero-jedynkowym. 49.Pokaż,że(a)Var(C)=0,(b)Var(CX)=C 2 VarX,(c)Var(X+C)=VarXgdzieC jest stałą. 50. Wariancja zmiennej losowej X wynosi 5. Oblicz wariancje i odchylenia standardowe zmiennychlosowychx 1, 2X,3X Pokaż,żeVar(X X n )=VarX VarX n dlaparaminiezależnychzmiennych losowychx 1,...,X n. Wsk. Skorzystaj z wzoru( ). 52. Znajdź wariancję zmiennej losowej o rozkładzie dwumianowym z parametrami n i p. 5

6 53. Pokaż,żejeśliXjestnieujemnązmiennąlosową,to P(X ε) EX ε. 54.(Nierówność Czebyszewa) Pokaż, że dla dowolnej liczby ε > 0 P( X EX ε) VarX ε 2. Wsk.Rozważzmienną(X EX) 2 iskorzystajzzadaniapoprzedniego. 55.Załóżmy,żeXjestzmiennąlosowąowartościśredniejEX=7iwariancjiVarX=4. Korzystając z nierówności Czebyszewa oszacuj prawdopodobieństwo, że zmienna X odchyli sięodswojejśredniej(a)oconajmniej2 1 2,(b)omniejniż6.Dlajakichεzachodzinierówność P( X 7 <ε) 0,99? 56.(Reguła trzech sigm) Pokaż, że dowolna zmienna losowa X o odchyleniu standardowym σ przyjmuje wartości z przedziału(ex 3σ, EX + 3σ) z prawdopodobieństwem większym lubrównym