a = a ; µ a a a ; a+b a + b ;
|
|
|
- Antoni Dobrowolski
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 ½ ÄÞÝ ÖÞÞÝÛ Ø ½º½ ÐÞÓ Ò ÛÝ ØÖÞ ÐÞÝ ÛÝÑÖÒ ÒÐÞ ÞÑÙ ÔÖÓÐÑÑ Û ØÖÝ ÔÓÛ ÔÖÞ ÖÒÞÒº ÈÖÞÝÑ Ø ÔÖÓÐÑÛ Û ÑØÑØÝ õ ÞÝ ÑÓ Ý ½º ÈÓ ÔÖÓ ÛÐÓÛ Û ÑÒº  РÑÑÝ Ó ÞÝÒÒ Þ ÖÙÑ ÒÓ¹ ØÒÝÑ ØÓ ÓÖÐÒ ÔÖÓ Ò ÔÖÛ ÓÔÓØÙ ÈÖÓ Ø ØÓ ÐÓÖÞ ÔÖÞ¹ ÝØ ÖÓ Þ Ù v= s t ÂÐ Ò Û ÔÖÞÙ Þ Ù t ÔÖÓ ÞÑÒ ØÓ ÔÓÛÝ Þ Ò ÔÖÓ ÖÒ Ò ÓÒÙ Þ Ù tº ÓÔ ÑÑÝ Ó ÞÝÒÒ Þ ÓÞÓÒÝÑ ÓÒÑ Þ Ù t ÓÔØÝ Ù ÝÛ ÔÓÛÝ Þ Ò ÑÓ ÑÝ ÑÛ ÝÒ Ó ÔÖÓ ÖÒº ÖÙ ØÖÓÒÝ ÒØÙÝÒ ÞÙÑÝ ØÒ Ó ØÓ ÔÖÓ ÛÐÓÛ ÔÖÓ Û Ò ÓÒÖØÒ ÛÐ Þ Ù ÒÔº Ý ÑÓÓÑ ÖÞÙÑÝ ÓÑ Ò ÔÖÓÓÑÖÞµ Ò ÝÒ ÔÖÓ ÖÒ Ò Ñ ÓÒÙ Þ Ùº ÈÓÛ Û ÔÓØÖÞ ÒÐ ÝØ Ò ÔÖÓ ÛÐÓÛº ¾º ÙÓ ÖÞÝÛº Æ Ò ØÖÞ ÔÖÓÐÑÛ ÞÑÖÞÒ ÙÓ ÓÒ ÐÒ ÔÖÓ Øº Ð ÞÑÖÞÝ ÙÓ ÖÞÝÛ Ò ÔÖÓ Ø ÊÔØ Ò ÖÓÞÛÞÒ ÔÖÞݹ Ð ÓÒ Ø Þ ØÔÒ ÖÞÝÛ ÔÖÞÞ ÑÒ ÞÓ ÓÒ Þ ÓÒÛ Þ ÙÑÓÛÒ ÙÓº ÈÓ ØÔÙ Û ØÒ ÔÓ ÑÖÞÝÑÝ ÙÓ ÖÞÝÛ Þ ÔÛÒÝÑ Ñ ØÖÝ ÑÓ Ò ÙÞÝÒ ÓÛÓÐÒ ÑÝÑ Ð ØÖÝ Ø ÓÞÓÒÝ Ð ÙÓ ÓÒ¹ Û ÑÒ ÒÞÖÓÛº ÒÛ ÞÙÑÝ Ø ÔÓ ÙÓ ÖÞÝÛ Ø ÓÖÞ ÓÖÐÓÒ ÒÔº ÙÓ Û ÓÖÓÓÛÓ ÐÓ ÒØ Ñ ÓÖÐÓÒ ÛÖØÓµº ÐÝÑÝ Ò ÓÒ Þ ÞÒÞÒ ÔÓÛÞÒÙ ÝÑÝ Þ ÙÓ Ó¹ Ò ÑÒ Ó ÞÖ ÒÓÞÒ Þ ÐÓ ØÝ ÓÒÛ Ó Ò ÓÞÓÒÓ ØÓ Ó ÓØÖÞÝÑÑÝ Ï ÊÆÁ ØÓ ÙÓ ÖÞÝÛº Ð ØÓ ÔÓÖÞÒ Þ¹ ÒÓÛ ÒÑ ÞÞÒÑÝ ÔÓÛÝ Þ ÔÖÓÐÑÝ ÒÐÞÓÛ Þ ØÒÛÑÝ ÐÞ ÞÑÝ Ù ÝÛº ÄÞÝ ÒØÙÖÐÒ N ÓÛØ Z Û ÓÞÝÛ ØÝ ÔÓ ÞÝØ ÙÓ Ý ÔÖÞÝ Ù ÝÙ ÒÐÞÓÛ ÔÓ ÖÒÝ ÒÔº Ò Ø Û ÛÐÙ ÔÖÞÝÔ ÛÝÓÒÐÒ ÞÐÒµº Æ ØÔÒÝÑ Ò ÙÛÝÑ ÒÝØÑ ÐÞÝ ÛÝÑÖÒ Qº Ì ÛÐÓ Ù¹ Ó ÔÓÓ Ò Øº ÑÓ Ò Þ ÓÛÓÐÒ ÓÒÓ ÓÖÐ Ù ÝÛ ÐÞ ÛÝÑÖÒݺ ÇÞÙ Ò Û ÞÓÖÞ ÐÞ ÛÝÑÖÒÝ ÐÙº ÈÓÞÓ Ø ÔÖÞÝ ÑÖÞÒÙ ÓÐÓ ØÒ ÓÖÞ ÓÖÐÓÒ ÓØÝ ÒÔº ÙÓ ÔÖÞØÒ ÛÖØÙ Ó ÓÙ ½ ØÖ Ò ÐÞÑ ÛÝÑÖÒÝѺ ÈÓÛÓÙ ØÓ ÖÒ Ù ÐÞ ÛÝÑÖÒÝ ÑÓ Ò Ý ÐÞ ÛÝÑÖÒ Ó ÙÔÖÛÒ ÒÐÞÝ ØÖÞ Ñ Û ÞÝ ÞÖ ÐÞÓÛÝ ÞÖ ÐÞ ÖÞÞÝÛ ØÝ Rº ÞÒÑÝ Ó ÔÓÞÒ ÙÓ ÔÖÞØÒ ÛÖØÙ Ó ÓÙ ÙÓ ½ ØÞÒº Ò Ø ÐÞ ÛÝÑÖÒº ÈÖÞÝÑÑÝ Ø ÔÖÞÛÒ ÛØÝ ÑÓ ÑÝ ÞÔ Û ÔÓ Ø ÙÑ Ò ÖÐÒÓ = p q, ÞÝÐ p =q ½
2 Þp,q ÛÞÐÒ ÔÖÛ Þº ÅÑÝ Û Ø ÝØÙ ØÖÞÝ ÑÓ ÐÛÓ µ Ó ÐÞÝ p,q ÔÖÞÝ Ø µp Ø ÔÖÞÝ Ø q Ø ÒÔÖÞÝ Ø µp Ø ÒÔÖÞÝ Ø q Ø ÔÖÞÝ Øº ÈØÖÞ Ò ÝØÙ µ ÑÑÝ ÞÝÐp Ø ÔÖÞÝ Ø ÛpØ Ø ÔÖÞÝ Ø ÛÖÛ ÞÓ ÒÙº Ï ÝØÙ µ ËÓÖÓp Ø ÔÖÞÝ Ø ØÓ ÞÔ ÞÑÝp=p ÖÛÒÓ p =q Ø ÖÛÒÓÛ Ò4p =q ÞÝÐp =q Ó ÞÒÞÝ q Ø ÔÖÞÝ Ø ÛÖÛ ÞÓ ÒÙº ÏÖ Þ Û µ ÑÑÝp =q ÞÒÞÝ p Ø ÔÖÞÝ Ø ÞÒÛ Û ÔÖÞÞÒÓ Þ ÞÓ ÒѺ ËØÛÖÞÐÑÝ Û Ò ØÒ ÙÑ p p Ø = Ó ÞÒÞÝ Ò Ø q q ÐÞ ÛÝÑÖÒ ØÞÒº Ø ÐÞ ÒÛÝÑÖÒº ÍÞÙÔÒ ÐÞÝ ÛÝÑÖÒ Ó ÐÞÝ ÒÛÝÑÖÒ ÓØÖÞÝÑÑÝ ÞÖ ÐÞ ÖÞÞÝÛ¹ ØÝ Rº ÞÒ Ò Ò Ø Ñ Ò ÐÞ ÛÝÑÖÒÝ Ö Ò ÔÓÑÞÝ ÞÓÖÑ Q R Ð Ý Û ØÝÑ Ð R ÔÒÓÒ Ø Þ Ó Òº ½º¾ Ó Òµ Ó ÞÓÖÙ R Þ Òµ ½ ÑÛ ÂÐ ÔÓÞÐÑÝ R Ò Û ÔÓÞÓÖÝAÓÖÞBA B= R Û Ø ÔÓ a A b B :a<b, ½µ Ø Ó ÖÞÙ ÛÝÒ A B= ØÓ ÐÓ Û ÞÓÖÞA ØÒ ÒÛ Þ ÐÞ ÐÓ Û ÞÓÖÞB ØÒ ÒÑÒ Þ ÐÞº ÑÝ ØÙ Ò Þ ÞÓÖÛA B Ò Ø ÔÙ Øݵº ËÝØÙ Ø ÑÓ Ò ÞÐÙ ØÖÓÛ ÓÑØÖÝÞÒ ÂÐ ÔÓÞÐÑÝ ÔÖÓ Ø Ò Û Þ A B Ø Ý Ý ÔÙÒØ ÞAÐ Ò ÐÛÓ Ó Ó ÔÙÒØÙ ÞB ØÓ ÐÓÖÝ º ØÒ Ó ØØÒ ÔÙÒØ Û ÞA ÐÓ ÔÖÛ ÞÝ Û ÞBº Æ ÑÓ ÛÝ ØÔ ÐÙ Û ÔÖÞÖÓÙ ØÖÝ ÛÒ ÞÒÓÛÐÑݺ Æ ØÝÑ ÔÓÐ Ö Ò ÑÞÝ ÞÓÖÑ Q R Û ÞÓÖÞ R Ò ÑÓ ØÒ ÐÙ Û Q ÑÓº ÈÖÞÝ Ø ÐÙ ÈÓÞÐÑÝ ÞÖ Q Ò Û ÞAB ÓAÞÐÞÝÑÝ ÐÞÝ ÑÒ Þ Ó ÓBÐÞÝ Û Þ Ó º ËÔÒÓÒÝ Ø ØÙ ÛÖÙÒ ½µ Ð Û ÞAÒ ØÒ ÐÞ ÒÛ Þ Û ÞB Ò ØÒ ÐÞ ÒÑÒ Þº ÏÝÒ ØÓ Þ ÑÓ ÐÛÓ ÔÖÞÝÐ Ò Þ ÖÝ Þ ÓÙ Þ ÓÛÓÐÒ ÓÒÓ ÔÖÞÞ ÐÞÝ ÛÝÑÖÒ ÔÖÞÝ Ù Ø ÔÖÞÝÐ Þ ÖÝ Þ ÓÙl n ÖÓÞÛÒ Þ ØÒ Ó nøó Ñ u n =l n +0 n º ½º ÏÖØÓ ÞÛÞÐÒ ÈÖÞÝÔÓÑÒÑÝ ØÙ Û ÒÓ ÛÖØÓ ÞÛÞÐÒ ÐÞÝ ÖÞÞÝÛ Øa R ØÖ ÛÝÓÖÞÝ ØÝÛÒ Û Ö ÒÝ Ñ º º ÏÖØÓ ÞÛÞÐÒ ÑÓÙµ ÐÞÝa RÒÞÝÛÑÝ ÐÞ ÒÙÑÒ a R {0} ÓÖÐÒ ÔÖÞÞ ÛÖÙÒ ÂÐa0 ØÓ a =a ÂÐa<0 ØÓ a = aº ½ ÅÓ Ò ÙÛ Þ Ò Þ ÓÑØÛ ÐÞ ÖÞÞÝÛ Øݺ Ï ÞÝ Ø ÓÑØÝ ÖÞÑ Ð ÔÓ ÙÑÓÛÒ ÞÖÒ Û ËÙ º ½º ¾
3 Ç ÖÞÙ Þ Ò ÛÝÒ a R : a 0, oraz a = a. ¾µ Å Ñ Ò ØÔÙ ÛÞÓÖÝ a = a ; µ ÓÛº Ða0ÑÑÝ a = a)=a= a º Ða<0ÑÑÝ a = a a = aº a a a ; µ ÓÛº Ða0 ÈÓ ÐÛ ØÖÓÒ ÔÖÛ Þ ÒÖÛÒÓ ÑÑÝ ÐÞ0 ÔÓ ÔÖÛ Þ ÐÞ0º Ï ÖÙ ÒÖÛÒÓ ÑÑÝ ÖÛÒÓº Ða<0 ÓÒ Þ Ò ÛÖØÓ ÞÛÞÐÒ ÞÓÞ a = a Û Û ÔÖÛ Þ ÒÖÛÒÓ ÑÑÝ ÖÛÒÓº Ï ÖÙ ÒÖÛÒÓ ÈÓ ÐÛ ØÖÓÒ ÑÑÝ ÐÞ ÑÒ Þ Ó ÞÖ ÔÓ ÔÖÛ ÐÞ Û Ó ÞÖº a+b a + b ; µ ÓÛº ÂÐ ØÖ Þ ÐÞa,b Ø ÖÛÒ ÞÖÙ ØÓ ÑÑÝ ÖÛÒÓº ÂÐ Ó ÐÞÝ Û Þ Ó ÞÖ ØÓ ÑÑÝ ÖÛÒÓº ÂÐ Ó ÐÞÝ ÑÒ Þ Ó ÞÖ ØÓ ÑÑÝ ÖÛÒÓº ÂÐ a>0,b<0a+b>0 ØÓ a+b =a+b<a<a+ b = a + b º ÂÐa>0,b<0 a+b<0 ØÓ a+b = a b< b= b < a + b º a b a b a + b ; µ ÓÛº ÖÙ Þ ÔÓÛÝ ÞÝ ÒÖÛÒÓ ÓØÖÞÝÑÙ ÔÖÞÞ ÛÞ b ÞÑ ØbÛ µº ÈÖÛ Þ Þ Ø ÖÛÒÓÛ Ò a a b + b ÞÒÛ ÓØÖÞÝÑÙ Þ µ Ð ÞÑÒ a a b,a+b aº ab = a b µ ÓÛº Ða,b0 ÑÑÝa= a,b= b ab =ab= a b º Ða>0,b<0 Ø a= a,b= b ab= a b )= a b <0 ab = ) ) a b = a b º Ð a<0,b<0a= a,b= b ab= ab = a ) b )= a b º Þ ÒÖÛÒÓ a c i b d wynika,że a+b c+d µ ÌÒ ÛÞÖ ÑÓ Ò ÒÞÛ ÛÞÓÖÑ Ò ÓÛÒ ÔÓ ÞÒÑ ÛÖØÓ ÞÛÞÐÒº ÓÛº ÏÝÒ ÓÒ Þ µ ÔÓÒÛ a+b a + b c+dº ÅÑÝ Ø ÖÛÒÓÛ ÒÓ ØÖÞ ÒÖÛÒÓ a <b b<a<b a<bi a<b. µ ½º ÓÖÝ ÓÖÒÞÓÒº ÃÖ ÖÒÝ ÓÐÒÝ ÞÓÖÙ ÆZ Rº ÈÖÞÝÔÓÑÒÑÝ Ò ÞÓÖÙ ÓÖÒÞÓÒÓ Þ ÖÝ º ÅÛÑÝ Z R Ø ÓÖÒÞÓÒÝ Þ ÖÝ ¾ Ð M R: z Z: Mz. ½¼µ ¾ ÒÐÓÞÒ ÒÙÑÝ ÞÖ ÓÖÒÞÓÒÝ Þ ÓÙ
4 à M ÔÒ ½¼µ ÒÞÝÛÑÝ ÓÖÒÞÒÑ ÖÒÝѺ ÂÐM ÓÖÒÞÒ ÖÒ ØÓM+m Þm>0 ÖÛÒ Ø ÓÖÒÞÒÑ ÖÒÝѺ ÅÑÝ Û Ý ÞÖ ÓÖÒÞ ÖÒÝ ÓÞÒÞÑÝ ÓMº ÓÞ ÌÛº ÆZ Rdb ÞÖ ÓÖÒÞÓÒÝ Þ Öݺ ÏØÝ Û ÞÓÖÞMÓÖÒÞ ÖÒÝ ÞÓÖÙZ ØÒ ÐÞ ÒÑÒ Þº ÆÞÝÛÑÝ Ö Ñ ÖÒÝÑ ÞÓÖÙZ ÓÞÒÞÑÝsupZ ÞÝØÑÝ ÙÔÖÑÙÑZµº ÓÛº Ï ÓÛÓÞ ÔÓ Ù ÝÑÝ Þ Ó Òº ÈÓÞÐÑÝ Û ÞÝ Ø ÐÞÝ ÖÞÞÝÛ Ø Ò Û Ð Ý ÔÓÞÓÖÝ Rµ Ó ÖÙ Ð ÝII ÞÐÞÑÝ ÐÞÝM ÔÒ z Z:Mzº Ì ÛII ØÓ ÞÖ ÓÖÒÞ ÖÒÝ ÞÓÖÙZº ÈÓÒÛ ÞÖZ Ø ÓÖÒÞÓÒÝ Þ ÓÙ ØÓ II Ø ÒÔÙ ØÝ Ö ÒÝ Ó Rº Ó ÔÖÛ Þ Ð Ý ÞÐÞÑÝ Û ÞÝ Ø ÔÓÞÓ Ø ÐÞÝ ØÞÒºI= R\IIº ÖI ÖÛÒ Ø ÒÔÙ Øݺµ Ô ÞÑÝ ÖÛÒÓÛ Ò ÒI ÓI ÒÐ ÐÑÒØÝM Ø z Z:M z) ØÞÒº z Z:M <zº Þ Ý Ó ÛÝÒ µ ÐÓ Û Ð I ØÒ ÐÑÒØ ÒÛ ÞÝ µ ÐÓ Û Ð II ØÒ ÐÑÒØ ÒÑÒ Þݺ ÈÓ ÑÝ ÑÓ ÐÛÓ µ Ò ÞÓÞº ÈÖÞÝÑÑÝ Ø ÔÖÞÛÒ ØÞÒº Û Ð I ØÒ ÐÑÒØ ÒÛ ÞÝ ÒÞÛÑÝ Óaº Ð ÛØÝ Þ Ò Ð ÝI z Z:z>aº ÏõÑÝ ØÖÞa = z+a)º ÏØÝa <z Û ÞÒÛa I ÓÖÞa >a Ó ÞÒÞÝ a ÆÁ ÂËÌ ÐÑÒØÑ ÒÛ ÞÝÑ Û Ð I ÛÖÛ ÞÓ ÒÙº ÇØÖÞÝÑÐÑÝ ÔÖÞÞÒÓ Ó ÓÛÓÞ ÞÓÞ ÑÓ ÐÛÓ µ ØÞÒº Û Ð II ØÒ ÐÑÒØ ÒÑÒ Þݺ ÅÑÝ ÐõÒÞ ØÛÖÞÒ ÌÛº ÂÐ ÞÖZ R Ø ÓÖÒÞÓÒÝ Þ ÓÙ ØÓ ÛÖ ÓÖÒÞ ÓÐÒÝ ÞÓÖÙZ ØÒ ÐÞ ÒÛ Þ ÞÛÒ Ö Ñ ÓÐÒÝÑ ÞÓÖÙZ ÓÞÒÞÑÝinfZ ÞÝØÑÝ ÒÑÙÑZµº ÓÛº Ø ÖÛÒ ÐõÒÞݺ ÍÛº ÃÖ Ý ÞÓÖÙ Ò ÑÙ Þ Ó ÒÓ ÒÐ º ÆÔº Ö Ñ ÔÖÞÞÙ ÓØÛÖØÓ ]a,b[:a<x<b ÐÞÝa Ö ÓÐÒݵ b Ö ÖÒݵ Ò ÒÐ Ó]a,b[º ½º ÓÑØÝ ÐÞ ÖÞÞÝÛ ØÝ ÈÓ ÙÑÙÑÝ ÞÒÒ Û ÒÓ ÐÞ ÖÞÞÝÛ Øݺ ÅÓ Ò Ø ÙÞÒ Þ ÓÑØÝ ØÖ ÒÙ ÐÞÝ ÖÞÞÝÛ Ø Û ÞÝ Ø ÞÒÒ ÒÑ Û ÒÓ ÐÞ ÖÞÞÝÛ ØÝ ÑÓ Ò Þ Ò ÛÝÔÖÓÛÞº ½º Ï R ÑÑÝ ÞÒ ÓÛÒ + º Â Ø ÓÒÓ ÔÖÞÑÒÒx+y=y+x ÓÖÞ ÞÒx+y)+z=x+y+z) x,y,z Rº ¾º Á ØÒ ÐÑÒØ ÒÙØÖÐÒÝ0Ð ÓÛÒ ØÞÒº x Rdbx+0=xº º Ð Ó ÐÑÒØÙx ØÒ ÐÑÒØ ÔÖÞÛÒÝ xx+ x)=0º
5 º Ï R ÑÑÝ ÞÒ ÑÒÓ Ò + º Â Ø ÓÒÓ ÔÖÞÑÒÒx y=y x ÓÖÞ ÞÒ x y) z=x y z) x,y,z Rº º Á ØÒ ÐÑÒØ ÒÙØÖÐÒÝÐ ÑÒÓ Ò ØÞÒº x Rx =xº º Ð Ó ÐÑÒØÙx 0 ØÒ ÐÑÒØ ÔÖÞÛÒÝ x x x =º ÍÛº Ö Þ Ø ÓÖÐÓÒÝÑ ÞÒÑ ÒÞÝÛ Ñº ØÑ R Ø Ñº º Á ØÒ Û R ÖÐ ÑÒ ÞÓ < ØÞÒº Û Ö Ò ÐÞÝx,y R Ô¹ Ò ÐÓx<y ÐÓy<xº ÊÐ Ø Ø ÔÖÞÓÒ ØÞÒº Ðx<y y<z ØÓx<zº ÓÞ Ø jeślix<y, tox+z<y+z Ð Ø z>0,toxz<yz. ÍÛº Ï ÞÝ Ø ÔÓÛÝ Þ ÓÑØÝ Ø ÔÒÓÒ ÔÖÞÞ ÐÞÝ ÛÝÑÖÒº ¹ ÑÝ Û ÔÖÞ Û ÞÝ Ø ÔÓÛÝ ÞÝ ÞÞ º ÓÑØ Ó Òº ¾ ¾º½ ÈÓ ØÛÓÛ Ò º Ñ ÒÞÝÛÑÝ ÙÒ Ò ÞÓÖÞ ÐÞ ÒØÙÖÐÒÝ ØÞÒº ÔÖÞÝÔÓÖÞÓÛÒ ÐÞ ÒØÙÖÐÒ ÐÞÝ ÖÞÞÝÛ Øº ÅÛÑÝ ÛØÝ Ó Ù Ó ÛÝÖÞ ÖÞÞÝÛ ØÝ ÒÐÓÞÒ ÑÓ ÑÝ ÑÛ Ó Ù Ó ÛÝÖÞ ÒØÙÖÐÒÝ ÓÛØÝ ÛÝÑÖÒÝ ºººµ ÞÛÝÞ ÞÔ ÙÑÝ Û ÔÓ Øa,a,...,a n,... ÐÙ{a n }º ÈÖÞÝÑ Û ØÖ ÞÝØÐÒ ÓÖÞ ÞÒ Ò ØÓ ÒÒ ÞÝÑ ÔÓÞÒµ Ø ÖÝØÑØÝÞÒÝ a n =A+Bn, ½½µ ØÙA,B ÔÛÒÝÑ ÐÞÑ ÖÞÞÝÛ ØÝѵ ÓÖÞ ÓÑØÖÝÞÒÝ a n =aq n ½¾µ ØÙq 0,a ÐÞÝ ÖÞÞÝÛ Øµº ÆÞ ÒÙÑÝ ÔÖÞÞ ÛÒ ÛÞÓÖÑa n =fn) Ð ÔÛÒ ÙÒf Û ØÒ ÔÓ Ø ÞÒÓÛÒ ÔÓÛÝ ÒÔº ½½µ ØÙfn)=A+Bnµº ÖÙÑ Þ ØÓ ÔÓØÝÒÝÑ ÔÓ ÓÑ Ø Ò ÖÙÖÒÝÒ Û ØÖ Þ ÔÖÛ ÞÝ ÛÝÖÞ Ù ÓÖÞ ÓÖÑÙa n =Fa n ) ÞF Ø ÔÛÒ ÙÒº ÆÔº ½¾µ ÑÓ Ò ÖÛÒÓÛ Ò Þ Óa =a,a n =qa n º ÌÙØ ØÛÓ Ø ÔÖÞ Ó ÔÓ Ø ÖÙÖÒÝÒ Ó ÔÓ Ø ÛÒ Ò Ó Ø ØÓ Ò ÞÒÞÒ ØÖÙÒ Þ Ôº ÞÒ Ó Ù ÓÒÓµº Ð ÛÐÙ Û Ò ÔÓØÖÑÝ ÔÓ ÛÒÓ ÛÞÓÖÙ Òn ØÝ ÛÝÖÞ ÒÔº Ø Ø Þ Ñ ÐÞ ÔÖÛ ÞÝ ÛÑÝ Ø Ò ÓÞÒ ÛÐ ØÒÓÛ ÔÓÞÖ N Û ÑÓ Ò Ù ØÛ Û º Ð ÛÒ ÔÓ Ø ØÓ Ù Ò ÔÓØÖÑÝ ÔÓµº
6 º {a n } ÒÞÝÛÑÝ ÖÓ ÒÝÑ ÓÔÓÛÒÓ ÒÑÐÝÑ Ð n N:a n < a n+ ÓÔÓÛÒÓ Ð n N:a n a n+ µº ÒÐÓÞÒ º {a n } ÒÞÝÛÑÝ ÑÐÝÑ ÓÔÓÛÒÓ ÒÖÓ ÒÝÑ Ð n N:a n > a n+ ÓÔÓÛÒÓ Ð n N:a n a n+ µº ÖÓ Ò ÑÐ ÓÑÙÑÝ Û ÔÐÒ ÒÞÛ Û ÑÓÒÓØÓÒÞÒݺ ÈÖÞݺ ÐÞ ÒÔÖÞÝ ØÝ Ø ÖÓ ÒÝ {,,,,3,3,...} Ò Ø ÖÓ ÒÝ Ð Ø ÒÑÐÝ {,,,,...} Ò Ø Ò ÒÑÐÝ Ò ÒÖÓ Òݺ ¾º¾ ÖÒ Ù º ÄÞg ÒÞÝÛÑÝ ÖÒ Ù Ò ÓÞÓÒÓ{a n } Ð ǫ>0 M N : n>m : a n g <ǫ. ½ µ ÍÛº Ç ØØÒ ÛÖÙÒ ÑÓ Ò Ø Ø ÛÝÔÓÛÞ ÔÓÞÛ ÞÝ Ó ÐÞÝM Û ÞÝ Ø¹ Ò ØÔÒ ÛÝÖÞÝ Ù Ñ ÞÞ ÑÞÝg ǫ g+ǫº  Ðg Ø ÖÒ Ù{a n } ØÓ ÓÞÒÞÑÝ ØÓg=lim a n º ÈÖÞݺ ÈÓ ÑÝ ÖÒ Ùa n = Øg=0º n Æ Þ Ò ÐÞǫ>0º ÅÙ ÑÝ Ø ÓÖM Ý Ðn>M ÞÓÞ ÒÖÛÒÓ a n g = n <ǫ M ÛõÑÝ ÐÞ ÒØÙÖÐÒ Û Þ Ò º ÅÑÝ Û ǫ M ÓÛÓÐÒÓn>M ÞÓÞ ÒÖÛÒÓ n < M <ǫ, ÞÝÐ n <ǫ, Ó ÒÐ Ó ÔÓÞº ÈÖÞݺ ÖÒ Ù ØÓ n N a n =a Ø ÐÞa <ǫ ØÓ ÞÒÞÝ Ð lim a n=a, ½µ Ó Ð ÓnÑÑÝ a n a =0 ÒÖÛÒÓ ½ µ ÞÓÞ Ð Ó Û õòn ÓÖÞ Ð Óǫ>0º ÈÖÞݺ ÔÓ Ý ÖÒ ÒÞÝÛÒÝ Ø Þ ÒÝѺ ÖÓÞ ÒÝ ØÓ Ø ØÖÝ ÖÒÝ Ò ÔÓ º ÈÖÞݺ a n =nò ÔÓ ÖÒÝ ØÞÒº Ø ÖÓÞ Òݺ ÑÝ ÓÛÑ ÔÓ ÖÒgº Ï ÑÝǫ=º Ï Ò Þ ÒÓ Ù Ø ÛÖÙÒ a n g <ǫ Ð Óǫ Ð ÔÓ ÑÝ ÛÖÙÒ ØÒ Ò Ø ÔÒÓÒÝ Ð ÓÓÐÛǫ ØÓ ØÝÑ ÑÝÑ ÔÓ ÑÝ Ø ÖÓÞ Òݵº Ð Ó ØØÞÒ Ù ÝnÑÙ Û Ý ÔÒÓÒÝ ÛÖÙÒ a n g = n g < Ó Ø ÒÑÓ ÐÛ Ó ÛÖÙÒ ØÒ ÑÓ Ý ÔÒÓÒÝ Ó ÒÛÝ Ð ØÖÞ ÛÖØÓn Ð ÐÞÝ ÒØÙÖÐÒn g ÒÐ Þg ÓÖÞ n g ±º Ó ÞÐÑÝ Ó ÔÖÞÞÒÓ ØÞÒº ÔÓÞÐÑÝ a n =nò ÔÓ ÖÒÝ Ø Û ÖÓÞ Òݺ ÈÖÞݺ Ó ÝÐÙÝa n = ) n Ø ÖÓÞ Òݺ ÏÝ ØÖÞÝ ÛÞǫ= 4 ÛÖÙÒ ½ µ Ò Þ ÔÒÓÒÝ Ð ÒÓgº
7 ÅÓ Ò Þ ÔÝØÒ ÞÝ Ð Ø Þ ÒÝ ØÓ ÞÝ ÔÓ ØÝÐÓ Ò ÖÒ ÞÝ ÑÓ ÔÓ ÛÐ ÇÞÙ ÞÓÞ Ø ÔÖÛ Þ ÑÓ ÐÛÓ ÌÛº Þ ÒÝ ÔÓ ØÝÐÓ Ò ÖÒº ÓÛº ÈÖÞÝÔÙÑÝ Ø ÔÖÞÛÒ a n ÔÓ Û ÖÒg g ÔÖÞÝ ÞÝÑg g ÞÝÐ g g >0º ÏõÑÝǫ= 4 g g º Ò ÖÒÝ ØÒ Ø Û ÐÞÝM,M Ðn>M ÞÓÞ ÒÖÛÒÓ Ðn>M ÞÓÞ ÒÖÛÒÓ a n g <ǫ, ½µ a n g <ǫ. ½µ ÇÞÒÞÑÝ ÔÖÞÞ M Û Þ Þ ÐÞM,M ÞÔ ÙÑÝ ØÓ Ó M=maxM,M )µº ÏØÝ Ð Ón> M ÔÒÓÒ ÒÓÞÒ Ó ÒÖÛÒÓ ½µ ½µº ÓÑÝ ØÖÓÒÑ ÛÝÓÖÞÝ ØÙ ÓÛÒ ÔÓ ÞÒÑ ÛÖØÓ ÞÛÞÐÒ µ ÞÑÒ ÙÔÖÞÒÓ ÞÒ Û ÒÖÛÒÓ ½µº ÇØÖÞÝÑÙÑÝ g g <ǫ Ð ÙÔÖÞÒÓ ÛÞÐÑÝ g g =4ǫ ÞÝÐ4ǫ<ǫ Ó ÞÐÑÝ Û Ó ÔÖÞÞÒÓº ÍÛº Ï Ò ÖÒÝ ÑÓ Ò Þ ØÔ>ÔÖÞÞ <ÔÖÞÞ Ò ØÒÒ ÖÒÝ Ò ÛÖØÓ Ð ØÒµ Ò ÞÑÒ ÔÖÞÝ Ø ÞÑÒº ¾º º ÓÖÒÞÓÒ ½º a,a,... ÒÞÝÛÑÝ ÓÖÒÞÓÒÝÑ Þ ÖÝ Ð ØÒ Ø ÐÞM n N : a n <Mº ¾º a,a,... ÒÞÝÛÑÝ ÓÖÒÞÓÒÝÑ Þ ÓÙ Ð ØÒ Ø ÐÞM n N :a n >M º º a,a,... ÒÞÝÛÑÝ ÓÖÒÞÓÒÝÑ Ð Ø ÒÓÞÒ ÓÖÒÞÓÒÝ Þ ÖÝ Þ ÓÙº ÊÛÒÓÛ Ò ÑÓ Ò ÔÓÛÞ Ð Ù ÓÖÒÞÓÒÓ ÞÓÞ M>0 : n N : a n < M. ËÝØÙ Ø ÑÓ Ò ÞÐÙ ØÖÓÛ ÖÞÒ Ï ÔÖÛ ÞÝÑ ÔÖÞÝÔÙ Û ÞÝ Ø ÛÝÖÞÝ Ù Ð ÔÓÒ ÔÖÓ Øy=M Û ÖÙÑ ÔÓÛÝ ÔÖÓ Øy=M Û ØÖÞÑ Û ÞÝ Ø ÛÝÖÞÝ Ù Ð ÔÓÑÞÝ ÔÖÓ ØÝÑy= M y= Mº ÈÖÞÝݺ a n = ) n Ø ÓÖÒÞÓÒݺ ÐÞ ÒØÙÖÐÒÝ Ø ÓÖÒÞÓÒÝ Þ ÓÙº a n = ) n n Ò Ø ÓÖÒÞÓÒÝ Þ ÖÝ Ò Þ ÓÙº ÌÛº Ã Ý Þ ÒÝ Ø ÓÖÒÞÓÒݺ ÓÛº {a n } Þ ÞÓ Ò Ø Þ ÒÝ Ó ÖÒ ÒÞÛÑÝgµ Û ÛÖÙÒ ½ µ ÒÙÝ Þ ÒÓ Ù ÞÓÞ Ð Óǫ Û ÞÞÐÒÓ Ðǫ=º Á ØÒ Û Ø ÐÞM Ðn>M ÑÑÝ a n g <º ÃÓÖÞÝ Ø Þ ÔÖÛ Þ Þ ÒÖÛÒÓ µ ÑÑÝ a n g a n g < Þ ÞÓ ÛÝÒ a n <+gº ÇÞÒÞÑÝ ÔÖÞÞC ÒÛ Þ ÔÓÖM+ ÐÞ a, a,..., a M,g+º ÈÑØ g+ Ø Û Þ Óa M+,a M+,... ÑÑÝ n N C> a n º {a n } Ø Û ÓÖÒÞÓÒݺ
8 ¾º ÞÒ ÐÖÞÒ Ò ÖÒ ÌÛº ÑÝ {a n } {b n } Þ Òº ÓÞ ÛØÝ Ò ØÔÙ ÛÞÓÖÝ lim a n+b n )=lima n +limb n ; ½µ lim a n b n )=lima n limb n ; lim a nb n )=lima n limb n ; lim an b n )= lim a n lim b n Ø Ó ØØÒ ÖÛÒÓ Ñ Ñ ÔÖÞÝ ÞÓ ÒÙ limb n 0µº ÓÛº ½µº ÇÞÒÞÑÝg= lima n ÓÖÞh= limb n º ÏõÑÝ ǫ>0º Á ØÒ Û Ø ÐÞM ½µ ½µ ¾¼µ n>m a n h < ǫ oraz b n h < ǫ Ó Ó Ø Û ÒÖÛÒÓ ÔÓ ÞÒÑ ÛÖØÓ ÞÛÞÐÒ ÓØÖÞÝÑÑÝ n>m a n +b n ) g+h) <ǫ. ØÓ ÞÒÞÝ a n +b n Ø Þ ÒÝ Ó ÖÒÝg+hº Ç ÏÒÓ º Ï ÞÞÐÒÓ Ðb n Ø Ñ ØÝÑb n =cð Ón ØÓ ÑÑÝ Þ ÛÞÓÖÛ ½µ ½µ lim a n+c)=c+lima n. ¾½µ ÓÛº ½µº Ç ÞÙÑÝ Ò ÑÔÖÛ Ö Ò a n b n gh º ÅÑÝ a n b n gh=a n b n a n h+a n h gh=a n b n h)+ha n g). ÈÓÒÛ {a n } Ø ÓÖÒÞÓÒÝ Ó Þ ÒÝ ØÓ ØÒ Ø ÐÞA a n <A Ð Ónº ËØÓ Ù ÛÞÓÖÝ Ò ÛÖØÓ ÞÛÞÐÒ ÙÑÝ ÐÓÞÝÒÙ ÑÑÝ a n b n gh a n b n h) + ha n g) Ab n h)+ h a n g ÌÖÞ ÛõÑÝ ÖÙ ÐÞ ÔÒ ÒÐÓÞÒ ÖÓÐ ǫµη>0º Ð Ò ÓÖÑÝ ØM Ðn>M ÑÑÝ a n g <η ÓÖÞ b n h <ηº ÅÑÝ Û a n b n gh <Aη+ h η =A+ h )η. Æ ÖÞ Ò Ò ÞÐÑÝ Ó ÐÞηº ÍÞÝÒÑÝ ØÓ ØÖÞ ÓÖη= ǫ A+ h º Ï ØÒ ÔÓ ÑÑÝ n>m : a n b n gh <ǫ Ì Û ÍÓÛÓÒÐÑÝ ÛÞÖ ½µº Ï ÞÞÐÒÓ ÓÖb n =c ÓØÖÞÝÑÙÑÝ lim ca n)=clima n, ¾¾µ
9 ÓÖÞ ÓÖc= ËØ ÛÝÒ ÛÞÖ ½µ lim a n)= lima n. ¾ µ lim a n b n )=lima n + b n ))=lima n +lim b n )=lima n limb n. ÓÛº ¾¼µº Æ ÑÔÖÛ ÙÓÛÓÒÑÝ Ò ØÔÙÝ ÞÞÐÒÝ ÔÖÞÝÔ ÛÞÓÖÙ ¾¼µ lim = b n lim b n Ð limb n 0) ¾µ ÓÛº ¾µº ÆÔÖÛ ÞÙÛ ÑÝ Ð Ó ØØÞÒ Ù ÝnÞÓÞ ÒÖÛÒÓb n 0 ÒÛØ ÑÓÒ Þ Ð Ó ØØÞÒ Ù ÝnÑÑÝ b n > h h º Ï ÑÝ ÓÛÑ Þǫ Û Ò ÖÒÝ Ùº ÏØÝ ØÒ ØM n>m ÑÑÝ b n h < h º ËØ h b n h b n < h, Ó b n > h. Ý ÙÓÛÓÒ ¾µ Ó ÞÙÑÝ ØÖÞ Ö Ò h b n b n h = hb n = h b n h b n. ÙÛ ÑÝ Ð Ó ØØÞÒ Ù ÝnÑÑÝ h b n <η ÓÖÞ b n > h, ØÞÒº b n < h. ËØ b n h <η h. ÓÖ ØÖÞη= ǫh ÓØÖÞÝÑÑÝ Ð Ó ØØÞÒ Ù Ýn ÛÝÒ Ù ÛÞÖ ¾¼µº ÏÞÖ ¾¼µ ÛÝÒ Þ ½µ ¾µ ÍÛº lim a n b n =lim b n h <ǫ, ) a n =lima n lim b n = lima n b n lim b n ½º Ï ÞÓ Ò ÔÖÞÝ ÛÝÔÖÓÛÞÒÙ ÔÓÛÝ ÞÝ ÛÞÓÖÛ ÞÐÑÝ {a n } {b n } Þ Òº Ó Ò ØÓ Ø ØÓØÒ ÑÓ ÞÖÞÝ {a n }+{b n } Ø Þ ÒÝ ÑÑÓ ÓÞÐÒ{a n } {b n } ÖÓÞ Ò ÛõÑÝ ÒÔº a n =n b n = nµº
10 ¾º Ï Ò Ù ÞÐÑÝ ÒÙÑÖ ÐÑÒØÛ ÞÞÝÒ Óº Ò Ø ÑÓ Ò ÞÖÒ ÞÑÒ Þ ÞÞÝÒ Ó ÓÛÓÐÒ ÐÞÝ ÒØÙÖÐÒn 0 º º ËØ ÛÝÒ ÔÖÓ Ø Ó ÞÓÞÒ ÛÛÓ Û ÇÖÞÙÒ ÓÞÓÒ ÐÓ ÔÓÞØÓÛÝ ÛÝÖÞÛ Ù Ò Ñ ÛÔÝÛÙ Ò Þ ÒÓ Ù Ò Ò ÛÖØÓ Ó ÖÒݺ ÒÐÓÞÒ ÑÓ Ò Ó Ù ÓÞÝ ÓÛÓÐÒ ÓÞÓÒ ÐÓ ÛÝÖÞÛº ÈÖÞݺ ¾º ½º a n = 3n+ 8n 5 ¾º b n = n +n+ 9n 5n 3 º c n = n ÃÓÐÒ Û ÒÓ ÖÙÒÓÛ ÖÒÝ ËØÛº Æ {a n } Þ Þ Òݺ ÏÛÞ Þ ÒÝ Ø { a n } ÞÓÞ lim { a n }= lim{a n }. ¾µ ÓÛº Æ lim {a n }=gº ÅÑÝ ÛØÝ a n g<ǫ Ð Ó ØØÞÒ Ù Ýnº ØÑ a n g a n g <ǫ oraz g a n a n g <ǫ, ÛÝÒ Ôº ÛÞº ºººµ a n g <ǫ. ÞÝÐ ÞÓÞ ¾µº Ç ËØÛº ÑÝ {a n } {b n } Þ Ò ÓÖÞ n a n b n º ÓÞ ÛØÝ lim a nlimb n. ¾µ Ï ÞÞÐÒÓ Ð {c n } Ø Þ ÒÝ ØÓ warunek c n 0 ÔÓ Þ Ó limc n 0. ÓÛº ÈÓ ÑÝ Ò ÑÔÖÛ Ó ØØÒ ÛÞÖº Ælim c n =hº ÈÖÞÝÔÙÑÝ h<0 ØÞÒº h>0º ÏØÝ Ð Ó ØØÞÒ Ù ÝnÑÑÝ c n h < h Øc n h< h Øc n <0 ÛÖÛ ÞÓ ÒÙº ÌÖÞ ÔÓ ÑÝ Þ ¾µ ÛÝÒ ¾µº ÏõÑÝ ÑÒÓÛb n a n =c n º ÈÓÒÛ a n b n ØÓc n 0 Û ÔÓ ÔÖÞÙ Ó ÖÒÝlim c n 0º Ò ÑÓÝ ½µ ÞØÑ lim c n=limb n lima n, lim b nlima n czyli lima n limb n. Ç ÍÛº Ï ÒÖÛÒÓ ¾µ Ò ÑÓ Ò Þ ØÔ ÒÖÛÒÓÔÖÞÞ> ÒÐÓÞÒ Û ÓÒ Þ ÙÛ ÔÓÞÝÒÓÒ ÒÛÒÓ ØÞ Ø ÔÖÛÞÛ Ð ÛÖÙÒ Ð Ón Þ ØÔ ÔÖÞÞ Ð Ón>n 0 n 0 >º ½¼ ¾µ
11 ¾µ Ò ÑÓ Ò Þ ØÔÔÖÞÞ<º ÆÔº {c n }= ÔÒ ÒÖÛÒÓc n n>0 ÑÑÝlimc n =0º ÅÓ Ò Ø ÝØÙ ÓÖÞÓÛÓ ÛÝÖÞ ÑÛ ÒÖÛÒÓÞÓÛÙ ÔÖÞÝ ÔÖÞÙ Ó ÖÒÝ ÒØÓÑ Ø ÒÖÛÒÓ><Ò Ñ Ø Û ÒÓº ÌÛº Ó ØÖÞ µº ÂÐa n c n b n lima n =limb n ØÓ {c n } Ø Þ ÒÝ ÞÓÞ limc n =lim a n =lim b n º ÓÛº Ælima n =g=limb n Òǫ>0º Ð Ó ØØÞÒ Ù ÝnÑÑÝ Û Æ ÑÓÝ ÞÓ Ò a n g <ǫ oraz b n g <ǫ. a n gc n gb n g, ǫ<a n g i b n g<ǫ, ØÓ lim c n =gº ÈÖÞÝÝ ǫ<c n g<ǫ ÞÝÐ c n g <ǫ, Ç ½º lim n a= Ða> Ø Ø Ð0<aº ¾º ÈÖÞÝ Ò ÛÝÓÖÞÝ ØÒ Ûº lim n 5 7 n +9 3 n +0º º lim n n=º ÏÒÓ º ÂÐlim a n =0 ØÓ {a n } Ø Þ ÒÝ lima n =0º ÓÛº ÅÑÝ a n a n a n i lim a n )=0=lim a n. ¾º ÈÓ º Æ Þ ÒÝ a,a,...,a n,... ÓÖÞ ÖÓ ÒÝ ÐÞ ÒØÙÖÐÒÝ m,m,...,m k,...º a m,a m,...,a mk,... Ç ÒÞÝÛÑÝ ÔÓÑ Ù{a n } º ÈÖÞݺ a,a 4,...,a n,... Ø ÔÓÑ Ùa,a,...,a n,...º ÆØÓÑ Ø a,a,a 4,a 3,... Ò Ø ÔÓÑ{a n } ÔÓÒÛ Û õò Ò ØÛÓÖÞ ØÙ Ù ÖÓ ÒÓº Ï ÑÝÐ ÔÓÛÝ Þ Ò Ý Ø ÛÓÑ Û ÒÝÑ ÔÓѺ ÈÓÒØÓ ÔÓ{a mkn } ÔÓÙ{a mk } Ø ÔÓÑ Ù{a n } º ÇÖÞÓÛÓ ÑÓ Ò ÔÓÛÞ ÔÓa m,a m,...,a mk,... Ù{a n } ÓØÖÞÝÑÙ ÔÖÞÞ ÖÐÒ Û Ù{a n } ÔÛÒ ÐÓ ÛÝÖÞÛ ÓÞÓÒ ÐÙ Ò ÓÞÓÒµ ØÖÝ Û õò Ö Ò Óm,m,...,m k,... º ½½
12 ËØÛº ÓÞ ÓÐÒÝ ÛÞÖ ÓØÝÞÝ Û õòû ÓÛÓÐÒÓ ÔÓÙ m k k. ¾µ ÓÛº Â Ø Ø Ðn= ØÞÒºm Óm Ø ÐÞ ÒØÙÖÐÒµº ËØÓ Ù ÒÙ Þ ÑÝ Ð ÓnÞÓÞ ÛÞÖ ¾µº ÅÑÝ ÛØÝm n+ >m n >n ÞØÑ m n+ n Û ØÞ ÞÓÞ Ø Ðn+º Ï ØÒ ÔÓ ÑÑÝ ÔÖÛÞÛÓ ØÞÝ Ð ÓÛÓÐÒÓnº Ç ÌÛº ÈÓ Ù Þ ÒÓ{a n } Ø Þ ÒÝ Ó Ø Ñ ÖÒÝ Ó{a n } º ÌÞÒº jeśli lim a n =g, ØÓ ÖÛÒ lima mn =g. ÓÛº ÏõÑÝǫ>0º Á ØÒ ÛØÝ ØM Ðn>M ÔÒÓÒ Ø ÒÖÛÒÓ a n g <ǫº ÈÓÒÛ Ò ÑÓÝ ¾µ Øm n n>m ØÓ ÖÛÒ a mn g <ǫ ØÓ ÞÒÞÝ lima mn =gº Ç ÌÛº ÓÐÞÒÓ ÏÖ ØÖ µº Ó Ù ÓÖÒÞÓÒÓ{x n } ÑÓ Ò ÛÝÖ ÔÓ Þ Òݺ ÓÛº Æ {a n } Þ ÓÖÒÞÓÒݺ Á ØÒ Û Ø ÐÞM n N : M< a n <Mº ÇÞÒÞÑÝ ØÖÞ ÔÖÞÞZ ÞÖ ÐÞxØ ÒÖÛÒÓx<a n Ø ÔÒÓÒ Ð Ò ÓÞÒ ÛÐÙnº ÖZ Ø ÒÔÙ ØÝ ÔÓÒÛ ÐÞ M Z Ó ÒÖÛÒÓ M<a n Ø ÔÒÓÒ Ð Ónµº ÖZ Ø Ø ÓÖÒÞÒÓÒÝ Þ ÖÝ Æ ÒÐ Ý ÓÛÑ ÓZ Ò ÐÞ Û Þ ÓM ÒÖÛÒÓM <a n Ò Ø ÔÒÓÒ Ð ÒÓnØÝÑ ÖÞ Ð ÓÛÓÐÒÓx>Mµº ÖZ Ø ÒÔÙ ØÝ ÓÖÒÞÓÒÝ Þ ÖÝ Û ØÒ Ö ÖÒÝ ØÓ ÞÓÖÙº ÇÞÒÞ¹ ÑÝ Ó ÔÖÞÞgº Ò Ö Ù ÖÒÓ ÛÝÒ Ð Óǫ>0 ØÒ Ò ÓÞÒ ÛÐnØ g ǫa n g+ǫ, ÔÓÒÛ ÐÞg ǫ Z g+ǫ Zº ÏÝ ÑÝ ÓÒ g Ø ÖÒ ÔÛÒÓ ÔÓÙ Ù{a n } º ÅÙ ÑÝ Û ÞÒÐõ ÐÞ ÒØÙÖÐÒÝ{m n } m <m <m 3... Û Ø ÔÓ Ýlima mn =gº Ï ØÝÑ ÐÙ ÛõÑÝ ÒÔÖÛǫ=º Á ØÒ ÛØÝ Ò ÓÞÒ ÛÐn N Ø g <a n <g+. ÇÞÒÞÑÝ ÔÖÞÞm ØÖÓÐÛ Þ ØÝ ÐÞ Ò ØÓ Þ ÒÔº ÔÖÛ Þ Þ ØÝ ÐÞµº ÅÑÝ Û ØÒ ÔÓ g <a m <g+. ÏõÑÝ ØÖÞǫ= º ÌÙ ÞÒÛ ØÒ Ò ÓÞÒ ÛÐ ÐÞnØ g <a n<g+. ËÓÖÓ Ø Ò ÓÞÒ ÛÐ ØÓ ÛÖ Ò ÐÞÝ Û Þ Óm º ÏõÑÝ ØÖ¹ ÓÐÛ ÔÓÖ Ò ÓÞÒÞÑÝ ÔÖÞÞm º ÅÑÝ Û g <a m <g+, m <m. ½¾
13 ÌÖÞ ÖÓ Ø ÒÐÓÞÒÝ ÒÙÑÝm 3 Ø g 3 <a m 3 <g+ 3, m <m 3 Ð ÔÓ ØÔÙÑÝ ÖÙÖÒÝÒ Åm k ÞÒÙÑÝ Û ÓÔ ÒÝ ÛÝ ÔÓ m k+ Ø g k+ <a m k <g+ k+, m k<m k+ ¾µ ØÛÖÞÒ Ó ØÖÞ ÛÝÒ ØÖÞ lim g ) =g=lim g+ ). n n m,m,m 3,... Þ ÓÒ ØÖÙ Ø ÖÓ ÒÝ Û a m,a m,a m3,... Ø ÔÓÑ Ù{a n } º ÛÞÓÖÙ ¾µ Û lim a mn =gº Ç ÈÓÒ Þ ØÛÖÞÒ Ø ÛÒÓ Ñ Þ ØÛº Ϻ ÌÛº Ã Ý ÓÖÒÞÓÒÝ ÒÖÓ ÒÝ ÐÙ ÒÑÐÝ Ø Þ Òݺ ÈÖÞÝ ØÝÑ Ð Ù ÒÑÐÓa a... ÑÑÝ k N :a k lima n Ð Ù ÒÖÓ ÒÓa a... ÑÑÝ k N :a k lim a n º ÓÛº Ð Ù ØÐÒ ÙÛ ÖÓÞÔØÖÞÑÝ{a n } ÒÑÐݺ ÇÞÒÞÑÝ ÔÖÞÞZ ÞÖ ÛÖØÓ ØÓ Ù ÔÖÞÞgÖ ÖÒÝ ØÓ ÞÓÖÙg=supZº ÅÑÝ Û n N :ga n ; ÒÓÞÒ ǫ>0 k N :g ǫ<a k ÔÓÒÛ ÒÖÛÒÓ ÞÔÖÞÞÒÑ k N : g ǫa k Ò ÑÓ Ý ÔÒÓÒ Ò ÔÓ ØÛ Ò Ö Ù ÖÒÓµº ÈÓÒÛ {a n } Ø ÒÑÐÝ ØÓ ÒÖÛÒÓn>M ÔÓ Þ Óa M a n Øg ǫ<a n º Û ǫ>0 M : n>m ÞÓÞ g ǫ<a n g, skąd a n g <ǫ; Ø Ó ØØÒ ÒÖÛÒÓ ÓÞÒÞ g=lim a n º ÌÓ Ý ÓÛ Ð Û ÒÑÐݺ Ð ÒÖÓ ÒÝ Ø ÒÐÓÞÒݺ ÈÖÞݺ Þ ØÓ ÓÛ ÔÓÛÝ ÞÓ ØÛÖÞÒµ ½º ÏõÑÝc>0 ÓÖÐÑÝ {x n } Ò ØÔÙÝÑ ÛÞÓÖÑ ÖÙÖÒÝÒÝÑ Ç x = c, x n+ = c+x n, ØÞÒº x = c, x = c+ c, x 3 = c+ c+ c,... Æ Ø ØÛÓ ÔÓ ÛÞÖ ÓÐÒÝ Òn¹ØÝ ÛÝÖÞ Ù Ð ÔÖÓ Ø Ø ÔÓÐÞÒ Ó ÖÒݺ Ý ØÓ ÞÖÓ ÙÛ ÑÝ Ò ÑÔÖÛ {x n } Ø ÖÓ Òݺ Â Ø ÓÒ ÖÛÒ ÓÖÒÞÓÒÝ Þ Öݺ ÈÓ ÑÝ ÒÙÝÒ ØÑ ÓÖÒÞÒÑ ÖÒÝÑ Ø ÐÞ c+º Á ØÓØÒ µ Ðn= ÑÑÝx = c< c+º µ ÑÝ ÒÖÛÒÓx n < c+ Ø ÔÒÓÒ Ð Ón ÔÖÛõÑÝ ÞÝ Ø ÔÒÓÒ Ðn+º ÅÑÝ x n+ = c+x n < c++ c< c++ c=+ c ½
14 ÞØÑ µ ÒÖÛÒÓx n < c+ Ø ÔÒÓÒ Ð ÓÛÓÐÒÓnº ÈÓÞÐÑÝ {x n } Ø ÑÓÒÓØÓÒÞÒÝ ÖÓ Òݵ ÓÖÒÞÓÒÝ ÞØÑ ÞÓÒ Þ ÌÛº ÔÓÛÝ Ø Þ ÒÝ Ó ÓÞÓÒµ ÖÒÝgº Ý ÓÖÐ ÒÔ ÞÑÝ ÖÛÒÓx n+ = c+xn Û ÔÓ Ø ÔÖÞõÑÝ Û Ò Ó ÖÒÝ lim º ÅÑÝ x n+ =c+x n g =c+g = g= ± +4c g Ò ÑÓ Ý ÙÑÒ Ó ÖÒ Ù Ó ÛÝÖÞ ÓØÒµ Ûg= + +4c º ¾º Æ ÞÝØÐÒ ÞÝØÐÒÞµ ÔÖÙ ÔÓÞ Û ÓÐÒ Þ ÝØ y =a>0, y n+ = c+y n, {y n } Ø ÖÛÒ Þ ÒÝ Ó ÖÒ Ø ÖÛÒ ÔÓÔÖÞÒÓ lim y n= + +4c ÒÞÐ Ò Ó ØÓ ÛÝÖÞÑÝ ÔÙÒØ ØÖØÓÛÝaº º ÈÖÞÝ Ù ØÖÝ ØÛÓ ÞÒÓÛ Ð ÒØÛÓ ÔÓÐÞÝ ÖÒº ÏõÑÝ Û ÐÞÝ ÓØÒ a,b ÔÖÞÝ ÞÝÑa>bº ÍØÛÖÞÑÝ ÖÒ ÖÝØÑØÝÞÒa ÓÑØÖÝÞÒb ØÝ ÐÞ a = a+b, b = a b. ÓÞ ÒÖÛÒÓa >b ÞÝÐ ÑÑÝ ÒÖÛÒÓ Ð ÐÞa,b ÞÒÓÛÙ ØÛÓÖÞÝÑÝ Ó ÖÒ ÅÑÝ a>a >b >b a = a +b, b = a b. a>a >a >b >b >b غ Ì Û ØÛÓÖÞÝÑÝ Û {a n } {b n } ÓÖÐÓÒ ÖÙÖÒÝÒ ÒÐÓÞÒ ÔÓÔÖÞÒÓ ÑÑÝ a n+ = a n+b n, b n+ = a n b n. a n >a n+ >b n+ >b n ÞÝÐ {a n } Ø ÑÐÝ Þ {b n } ÖÓ Òݺ ÂÒÓÞÒ Ó ÓÖÒÞÓÒ {a n } Ø ÓÖÒÞÓÒÝ Þ ÓÙ ÔÖÞÞb {b n } Þ ÖÝ ÔÖÞÞaº Ç Û Þ Ò Ó Ñ ÖÒ ÓÞÓÒµ α= lim a n, β= lim b n. ÈÖÞõÑÝ ØÖÞ Û ÖÛÒÓ Ó ÖÒÝ lim ÓØÖÞÝÑÑÝ a n+ = a n+b n α= α+β = α=β. ÁÐ ÛÝÒÓ Ø Û ÔÐÒµ ÖÒ ÖÒ Ø ÒÞÝÛ Ø ÖÒ ÖÝØÑØÝÞÒÓ¹ÓÑØÖÝÞÒ ÐÞabµº ÇÞÙ ÖÒ Ø ÛÝÖ ÔÖÞÞ ØÞÛº ÐÔØÝÞÒº ÅÑÝ ÓÛÑ Ða>b a+b) ab= a ) ab+b = a ) 0 b ½
15 ¾º ÏÖÙÒ ØÛÖÞÒ ÙÝ³Ó ÌÛº {a n } Ø Þ ÒÝ ÛØÝ ØÝÐÓ ÛØÝ Ý ǫ>0 M N : n>m : a n a M <ǫ. ¼µ ÍÛº ÏÖÙÒ ¼µ ÒÞÝÛ ÛÖÙÒÑ ÙÝ³Ó ÒÙÓ ÔÓÞÒÑÝ ÖÛÒÓÛ Ò Ó ÔÓ Øº ÓÛº o = {a n } Ø Þ ÒÝ ÓÞÒÞÑÝlima n =gº Æ Ò Þǫ>0º Á ØÒ Û ØM ÐnM ÞÓÞ a n g < ǫº ÆÖÛÒÓ Ø ÞÓÞ Û ÞÞÐÒÓ Ðn=M ØÞÒº a M g = g a M < ǫº Ó Ó Ø ÒÖÛÒÓ ÔÓ ÞÒÑ ÛÖØÓ ÞÛÞÐÒ ÓØÖÞÝÑÙÑÝ ¼µº o = ÑÝ ØÖÞ ÛÖÙÒ ÙÝ³Ó ¼µ Ø ÔÒÓÒݺ ÆÐ Ý Ø ÓÛ Ø Þ Òݺ Æ ÑÔÖÛ ÙÓÛÓÒÑÝ Ø ÓÖÒÞÓÒݺ ÞÑÝ ØÓ ÖÓ ÒÐÓÞÒ Ð ØÖÓÒ ØÑÙ ÔÖÞÝ ÓÛÓÞ Þ ÒÝ Ø ÓÖÒÞÓÒݵº ÏõÑÝ ÑÒÓÛǫ=º Á ØÒ Û ØM Ðn>M ÑÑÝ a n a M <º ËØ a n a M a n a M <, Û a n < a M +º ÇÞÒÞÑÝ ÔÖÞÞsÐÞ Û Þ Ó ÔÓÖM Ò ØÔÙ¹ Ý ÐÞ a, a,..., a M, a M +º ÅÑÝ Û n N :s> a n º ÌÓ ÓÛÓÞ {a n } Ø ÓÖÒÞÓÒݺ ËÓÖÓ Ø ØÓ Ò ÑÓÝ ØÛº ÓÐÞÒÓ¹ÏÖ ØÖ ÛÝÒ ØÒ ÞÛÖ ÔÓ¹ Þ Òݺ ÇÞÒÞÑÝ ØÒ ÔÓ{a mn } Ò Ó ÖÒ ÛÝÒÓ lima mn =γº ÍÓÛÓÒÑÝ γ=lima n º Æ Þ Òǫ>0º ÈÓÒÛ Ø ÔÒÓÒÝ ÛÖÙÒ ÙÝ³Ó ØÓ ØÒ ØM Ðn>M ÔÒÓÒ Ø ÒÖÛÒÓ a n a M < ǫ. ½µ 3 ÈÓÒÛ lim a mn =γ ØÓ ØÒ ØM Ðn>M ÑÑÝ a mn γ < ǫ. ¾µ 3 ÅÓ Ò ØÙ ÓÖM Ø ÝM >Mº Ï ØÒ ÔÓ Ðn>M Ó ÒÖÛÒÓ ½µ ¾µ ÔÒÓÒ ÒÓÞÒº ÈÓÒØÓ ÔÓÒÛ m n >n>m ØÓ ÑÓ Ò Û ½µ Þ ØÔnÔÖÞÞm n º Ï ØÒ ÔÓ ÑÑÝ a mn a M < ǫ. µ 3 Ó Ó ÒÖÛÒÓ ½µ ¾µ µ ÞÑÒÛ ÞÝ ÙÔÖÞÒÓ ÞÒ ÔÓ ÑÓÙÑ Û ÐÛ Þ µ ÓØÖÞÝÑÙÑÝ ÒÖÛÒÓ a n γ <ǫ ØÖ Ø ÔÒÓÒ Ð Ó n>mº ØÓ ÓÞÒÞ lima n =γº ÍÛº Ç ½º Ï ØÛº ÙÝ³Ó ÑÓ Ò Þ ØÔ ÞÒ Û ÒÖÛÒÓn>M ÓÖÞ Û ÛÖÙÒÙ ÙÝ³Ó ¼µ ÔÖÞÞÓÔÓÛÒÓº ½
16 ¾º ÏÖÙÒ ÙÝ³Ó ¼µ ÑÓ Ò ÓÖÑÙÓÛ ÖÛÒÓÛ Ò ǫ>0 M N : n,m>m : a n a m <ǫ. µ ¾º ÓÛº ÛÖÙÒÙ ÙÝ³Ó ¼µ ÛÝÒ ÓÛÑ ØÒ ØM Ð n>m Ðm>M ÞÓÞ ÒÖÛÒÓ a n a M < ǫ a m a M < ǫº Ó ÔÓ ÞÒÑ ÛÖØÓ ÞÛÞÐÒ ÓØÖÞÝÑÑÝ µº ÖÓÞ Ò Ó º ÅÛÑÝ {a n } Ø ÖÓÞ ÒÝ Ó Ð r>0 M N n>m :a n >r. Ç Ô ÙÑÝ ØÓ ÝÑÓÐÞÒ Ó ÖÛÒÓ lima n = º ÅÛÑÝ Ø a n ÔÓ ÖÒ ÒÛÛ ÖÛÒ Ò ÓÞÓÒÓµº ÅÓ Ò ÓÖÞÓÛÓ ÔÓÛÞ ÖÓÞ ÒÝ Ó ØÓ Ø ØÖÓ Ó ØØÞÒ Ð ÛÝÖÞÝ ÓÛÓÐÒ Ù º ÒÐÓÞÒ ÓÖÐÑÝ ÖÓÞ ÒÓ Ó ÅÛÑÝ b n Ø ÖÓÞ ÒÝ Ó Ð b n Ø ÖÓÞ ÒÝ Ó º ÈÖÞݺlim n= lim n = º ÌÛº ÒÑÐÝ{a n } ÒÓÖÒÞÓÒÝ Þ ÖÝ Ø ÖÓÞ ÒÝ Ó º ÓÛº ÈÓÒÛ {a n } Ø ÒÓÖÒÞÓÒÝ Þ ÖÝ Û r R M : a M >rº ÈÓÒÛ {a n } Ø ÒÑÐÝ ØÓ Ðn>M ÑÑÝa n a M ÞØÑa n >rº Ì Û lim a n = º Ç ÒÐÓÞÒ Ð Û ÒÖÓ ÒÝ Ð {b n } Ø ÒÓÖÒÞÓÒÝ Þ ÓÙ ØÓ Ñ ÖÒ ÒÛÛ º ÈÖÞÝÑÙ ÔÓÛÝ Þ ØÖÑÒÓÐÓ ÑÓ ÑÝ ÔÖÞÓÖÑÙÓÛ ØÛÖÞÒ Ó ØÝÑ Ý ÑÓÒÓØÓÒÞÒÝ ÓÖÒÞÓÒÝ Ø Þ ÒÝ ÊÓÞ ÞÖÞÑÝ ØÓ Ó ÔÓ Ø Ã Ý ÑÓÒÓØÓÒÞÒÝ ÔÓ ÖÒ ÛÛ ÐÙ ÒÛÛ Û ÞÐ ÒÓ Ó ØÓ ÞÝ Ø ÓÖÒÞÓÒÝ ÞÝ ÒÓÖÒÞÓÒݵº ÌÛº ÂÐlima n =± ØÓ lim a n =0º ÓÛº Æ lima n = Òǫ>0º ÓÖr= ǫ Ðn>M ÞÓÞa n >r= ØÞÒº ǫ ÛÞÑÝ ØÒ ØM ) a n <ǫ ØÓ ÓÞÒÞ lim a n =0º ÍÛº ÌÛÖÞÒ ÓÛÖÓØÒ Ò Ø ÔÖÛÞÛ ÂÐ {a n } Ý Ó ¼ ØÓ { } Ò ÑÙ Ý ÖÓÞ ÒÝ Ó+ ÐÙ º Â Ø Ø ÒÔº Þ Ña an n= )n Þ ÒÝÑ n Ó ÞÖ a n =,, 3,4,...) Ò Ø ÖÓÞ ÒÝ Ó Ò Ó º ÆØÙÖÐÒ Ø ÓÞÛ ÙÑ ÐÓÞÝÒ Û ÖÓÞ ÒÝ Ó Ø ÖÓÞ Ò Ó º Ì Ø Ø Û ØÓº ÈÓ ÑÝ ØÙ ÒÓ ÛÞÑÓÒÓÒ ÛÖ ØÝ ØÛÖÞº ÌÛº ÂÐlima n = {b n } Ø ÓÖÒÞÓÒÝ Þ ÓÙ ØÓlima n +b n )= º ÓÛº ÆM Þ Ø ÓÖÒÞ {b n } Ó ÓÙ n N M<b n º ÈÓÒÛ lim a n= ØÓ Ð ÒÓ ÓÛÓÐÒÓµr ØÒ Ø ÐÞk Ðn>k ÞÓÞ a n >r Mº ËØa n +b n >r ØÓ ÞÒÞÝ lima n +b n )= º ÌÛº ÂÐ lim a n = ÓÖÞ {b n } Ø ÓÖÒÞÓÒÝ Þ ÓÙ ÔÖÞÞ ÓØÒ Øc n N b n c>0 ØÓlim a n b n )= º ½
17 ÓÛº ÏõÑÝ ÓÛÓÐÒµ ÐÞrº ÞÓ Ò Ó ÖÓÞ ÒÓ{a n } Ó µ ØÒ Øk N Ðn>k ÑÑÝa n > r º ÅÒÓ Ó ØÖÓÒÝ Ø ÒÖÛÒÓ ÔÖÞÞ ØÖÓÒÝ c ÒÖÛÒÓb n c ÓØÖÞÝÑÙÑÝa n b n >r Ó ÞÒÞÝ lima n +b n )= º ÅÑÝ Ø ÒÐÓÓÒ ÒÖÛÒÓ ¾µ ÌÛº ÂÐlima n = ÓÖÞ n N :a n b n ØÓ limb n = º ÓÛº ÂÐa n >r ØÓ ØÝÑ ÖÞb n >rº ¾º ÈÖÞÝÝ Û ØÝÑ ÖÒ Û ÒÝ Û ÈÖÞݺ ½º ÂÐc>0 ØÓlim cn= º ÏÝÒ ØÓ ÒØÝÑ Ø Þ ØÛº º ÈÖÞݺ ¾ ÂÐa> ØÓ lima n = º ÏõÑÝc=a ÑÑÝc>0º Æ ÑÓÝ ÒÖÛÒÓ ÖÒÓÙÐÐÓ ÑÑÝ a n =+c) n +cn, Þ ÈÖÞݺ ½ ÓÖÞ ØÛº ÑÑÝlim a n = º ÈÖÞݺ ÂÐ q < ØÓ limq n =0º ÊÓÞÔØÖÞÑÝ Ò ÑÔÖÛ ÔÖÞÝÔ0<q<º ÏÛÞ q º ËØ Ò ÑÓÝ ÌÛº ÑÑÝlimq n =0º Ý Þ ÑÑÝ q < ØÓ ÛØÝ lim lim qn =0º ÈÖÞݺ ÂÐ q < ØÓ ) < Û lim n= q q n =0 Ð ÛØÝ Þ ÌÛº ººº ÛÝÒ ÖÛÒ lim +q+q + +q n )= q ÏÝÒ ØÓ Þ ÖÛÒÓ+q+q + +q n = qn+ ÓÖÞ ÓÔÖÓ Ó ÔÓÞÒÓ ØÙ q lim qn =0º ¾º½¼ ÄÞe ÏÔÖÓÛÞÑÝ ØÖÞ Û Ò Û ÒÐÞ Ò ØÝÐÓµ ÐÞ ÞÛÒe ÛÝÓÖÞÝ ØÙ ÔÖÞÝ ØÝÑ ÔÓÞÒÒ ÙÔÖÞÒÓ ØÛÖÞÒ ÓØÝÞ ÖÒ Ûº ÊÓÞÛ ÑÝ e n = + n) n µ ËØÛº {e n } Ø ÖÓ Òݺ ÓÛº ÊÓÞÛÑÝ ÛÝÖ Ò Òe n ÓÖÞÝ Ø Þ ÛÞÓÖÙ ÛÙÑÒÒÓ ÆÛØÓÒ e n = + ) n =+n n n +nn ) n +nn )n ) 3 n nn )...n k+ k) n k+ +nn )...n n+) n =++ ) + ) ) +...! n 3! n n ½ n n
18 + k! )... k ) + + )... n n n! n n n ). µ ÂÐ ØÖÞ ÔÖÞÞÑÝ Óe n Óe n+ ØÓ Û ÛÝÖ ÒÙ ÔÓÛÝ ÔÖÞÝÞ ÞÞ Ò ÓØÒ ÛÝÖÞ Ý Þ Ù ØÒÝ ÞÛ ÞÝ Ó ÓÛÓÐÒÝ ÞÝÒÒ Û ÒÛ ÔÓ Ø ) ) s n ÞÑÒ Ò s n+ º ËØ ÛÝÒ ÞÝÐ {e n } Ø Ñ ÖÓ ÒÝѺ e n+ >e n, Ç ÈÓ ÑÝ Ð ÞÓÞ Ø ËØÛº {e n } Ø ÓÖÒÞÓÒÝ Þ Öݺ ÓÛº Ã Ý Þ ÞÝÒÒÛ Û ÒÛ Û µ Ø ÑÒ ÞÝ Ó ½ ÞØÑ ÞÑÒ Û ÞÝ Ø ÞÝÒÒ Û ÒÛ Ò ½ ÞÛ ÞÑÝ ØÓ ÛÝÖ Òº ÅÑÝ Û e n <+! + 3! + + n! E n µ {E n } Ø ÓÖÒÞÓÒÝ Þ ÖÝ Ó Ó ÓÛÓÐÒÝ ÛÝÖÞ Ø ÑÒ ÞÝ Ó ØÓ ÛÝÒ Þ Ò ØÔÙÓ Ó ÞÓÛÒ E n = n =+ n <+=3. {e n } Ø ÞØÑ ÑÓÒÓØÓÒÞÒÝ ÖÓ Òݵ ÓÖÒÞÓÒÝ Û Þ Òݺ ÖÒ Ù {e n } ÓÞÒÞÑÝ Óe ¾º½¼º½ e=lime n =lim + n µ n) ÁÒÒ ÔÓ Ø ÐÞÝe ÈÓÛÖÑÝ Ó ÖÛÒÓ µº ÏõÑÝ ÐÞ ÒØÙÖÐÒk<n ÔÓÑÑÝ Û ÖÛÒÓ µ Û ÞÝ Ø ÛÝÖÞÝ ÔÓÞk ÔÖÛ ÞÝѺ ÈÓÑÒØ ÛÝÖÞÝ ÓØÒ ÑÑÝ Û e n >=+! ) + ) ) + + ). n 3! n n k! n ÈÖÞõÑÝ ØÖÞ Ó ÖÒÝ Ã Ý Þ ÒÛ Û ÛØÝ Ý Ó ½ ÑÑÝ Û e+! + 3! + + k! =E k. ÆÖÛÒÓ Ø Ø ÔÖÛÞÛ ÔÖÞÝ ÓÛÓÐÒÝÑk Nº Ï ÔÓÞÒÙ Þ ÒÖÛÒÓ µ ÑÑÝ Û e n <E n e, ÛÝÒ Ò ÔÓ ØÛ ØÛÖÞÒ Ó ØÖÞ ÖÛÒõ e=lime n =+lim n k= k! µ ÈÑØÑÝ k Ø ÓÛÓÐÒ Ð Ù ØÐÓÒ Ý ÔÖÞÓÞÑÝ Ó ÖÒݺ ½
19 Â Ø ØÓ ÒÒ ÖÛÒÓÛ Ò µ ØÛ Þ Ó ÛÝÐÞ ÔÓ Ø ÐÞÝeº ÈÓ ÑÝ ÞÞ lim = n = n) e. ¼µ ÅÑÝ ÓÛÑ Û Ó lim n = n) lim n =n n + n = n )= n ) n = lim + n lim + ) =. n +, n ) n lim + n )= e, ÌÓ ØÝÐ Ò ÖÞ Ó ÖÒº Ó ØÑØÙ ÞÑÝ Û ÑÖ ÔÓØÖÞÝ ÔÓÛÖ Ð ÛÝ ÖÒ ÔÓÛ Ý Þ ØÖÓ Û Ó ÙÒ ÐÓ ÜÔ ½
ÔÖÓ Ù ÔÖÓ Ù Þ Ø ÑÒ Ñ Ø Ö ÞÔÓð Ö Ò Ø ÞÔÓð Ö Ò Ý Ò Û Ó Þ ÝÛ Ò Å ÔÓ ÞÙ Û Ò Ø ÔÓð Ö Ò Ý Ò Û Ó Þ ÝÛ Ò Ò Ð µ ÔÓ ÞÙ Û Ò ÑÒ Ñ Ø Ö ÈÓ ÞÙ Û Ò Ó ÑÓ ÐÙ ÑÓ Þ ÑÝ ÔÓ
ÈÓð Ö Ò ÔÓ ÞÙ Û Ò ÑÒ Ñ Ø Ö ÔÓÑ ÖÝ ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ó Ñ ÞÒ Ó Ø Ð Ø ÖÒ Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÎÁÁ æ ÊÅÁ æ È Å Ä æ Å˹¾ ÔÖÓ Ù ÔÖÓ Ù Þ Ø ÑÒ Ñ Ø Ö ÞÔÓð Ö Ò Ø ÞÔÓð Ö Ò Ý Ò Û Ó
ØÖ Ò ÔÓÖØ Û ÖØÓ ÔÖÞ ÛÓ Ò ÐÙ ÔÖÞ ÒÓ Þ Ò Û ÖØÓ Ô Ò ÒÝ ÔÓÞ Ó Ö Ñ Ô Þ ÐÒ ºÓ ÒÓ Ø Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÔÖÞÝ Ø Ó Ó Ö Ð Ò Ð Ñ ØÙ ÔÖÞ ÓÛÝÛ ¹ ÒÝ ÐÙ ØÖ Ò ÔÓÖØÓÛ ÒÝ Û ÖØÓ
ÁÒ ØÖÙ Ó ÔÓ Ö ÓÛ ½ ¹¼ ¹¾¼¼ ½ ÈÓ Ø ÒÓÛ Ò Ó ÐÒ ï½ ÁÒ ØÖÙ Ó Ö Ð Þ Ý Ó ÖÓÒÝ Û ÖØÓ Ô Ò ÒÝ ÔÖÓÛ Þ Ò Ó ÔÓ Ö ÓØ Û Û Ù Ó ÙÑ ÒØÓÛ Ò ÓÔ Ö ÓÛÝ ÈÖÞ Þ Ù ÝØ Û Ò ØÖÙ Ó Ö Ð Ò ÖÓÞÙÑ Ô Þ ÐÒ Ô Þ ÐÒ Ñ Þ Ò ÓÛ È ÓØÖÓÛÓ Þ ÖÞ
Ð ÓÖÝØÑÝ ØÖÙ ØÙÖÝ ÒÝ Ñ Ø Ö Ý ÛÝ ÓÛ ËØÙ Þ ÓÞÒ ÈÂÏËÌÃ Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÁ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÈÖÓ Ð Ñ ÛÝ ÞÙ Ò ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓ
Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÁ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÈÖÓ Ð Ñ ÛÝ ÞÙ Ò ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ Ï Ö Þ Û Ð ØÓÔ ¾¼¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð Ð ÓÖÝØÑ Û ÒÝ ÒÝ Ð ÓÖÝØÑ ØÙÖÒ Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ ¾¹ Ó Ó Ó Û Ð Ó Ð
Þ Á Ö Ø ØÙÖÝ ÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ À Ö Ö ÔÖÓØÓ Ó Û Ð Ù ØÛ Ò ÔÖÓ Ù ÔÖÓ ØÓÛ Ò Û Ô Þ ÒÝ ÓÑÔÙØ ÖÓ¹ ÛÝ ÔÖÞÝ ØÓ Þ Ó Ò ÓÒ ÔÓ Û Ñ Ö ÔÖÓ Ø ØÖÙ ØÙÖ ÐÓ ÞÒ º Ç Ø Ø ÞÒ Þ Ý ÓÛ ÒÓ ÓÑÔÙØ ÖÓÛ Þ ÞÓÖ Ò ÞÓ¹ ÊÝ ÙÒ ½ Ï Ö ØÛÓÛ ØÖÙ ØÙÖ
ÔÖÓ Ù ÔÖÓ Ù Þ Ø ÑÒ Ñ Ø Ö ÞÔÓð Ö Ò Ø ÞÔÓð Ö Ò Ý Ò Û Ó Þ ÝÛ Ò Å ÔÓ ÞÙ Û Ò Ø ÔÓð Ö Ò Ý Ò Û Ó Þ ÝÛ Ò Ò Ð µ ÔÓ ÞÙ Û Ò ÑÒ Ñ Ø Ö ÈÓ ÞÙ Û Ò Ó ÑÓ ÐÙ ÑÓ Þ ÑÝ ÔÓ
ÈÓð Ö Ò ÔÓ ÞÙ Û Ò ÑÒ Ñ Ø Ö ÔÓÑ ÖÝ ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ó Ñ ÞÒ Ó Ø Ð Ø ÖÒ Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÎÁÁ æ ÊÅÁ æ È Å Ä æ Å˹¾ ÔÖÓ Ù ÔÖÓ Ù Þ Ø ÑÒ Ñ Ø Ö ÞÔÓð Ö Ò Ø ÞÔÓð Ö Ò Ý Ò Û Ó
µ(p q) ( q p) µa B B c A c
Ä Ø ¼ Û ØÔ Ó ÑØÑØÝ ½ ¼º½º ËÔÖÛõ ÞÝ Ò ØÔÙ ÞÒ ÐÓÞÒ ØÙØÓÐÓÑ (p q) ( p q) (p q) ( p q) (p q) ( q p) [(p q) p] qº ¼º¾º ÍÞ Ò ÙÒØÓÖÝ ÐØÖÒØÝÛÝ ÓÒÙÒ Ñ Û ÒÓ ÞÒÓ ÓÖÞ ÔÖÞÑÒÒÓº ÞÝ Ø Ø Û ÔÖÞÝÔÙ ÙÒØÓÖ ÑÔÐ ¼º º ÈÖÞÝ ÔÓÑÓÝ
Ï ØÔ ÈÖÞÝ Ý Ç ÐÒ Û ÒÓ Ó Þ Ò À Ð ¹ÈÓ Ø ÓÒ Ð Ø ÖÑ Ò Ý Ó ÁÒ Ò Ø Ñ ÖÝ ÃÓÔÞÝ Ï Ö Û ÍÒ Ú Ö ØÝ Û ØÒ ¾¼¼ ÖÝ ÃÓÔÞÝ À Ð ¹ÈÓ Ø ÓÒ Ð Ø ÖÑ Ò Ý Ó ÁÒ Ò Ø Ñ ½» ¼
Ï Ö Û ÍÒ Ú Ö ØÝ Û ØÒ ¾¼¼ ½» ¼ ÔÖÞÝ Ö Þ ÛÝÔ Ø Ö Ò Ö Ò Ó ÞÓÒÝ Ò ØÖ Ø ÔÓÞÝÝ ÒÝ Ò ¹ÔÓÞÝÝ ÒÝ Ò Ò ÛÝÒ ¹ ¹ ¾¼ ÑÝ ¹½ ¹½ ¹¾ ½¼ ¹¾ ¹½ ¹¾ ÓÒ ¹½ ¹ ¾» ¼ ÔÖÞÝ Ö Ô ÖÞÝ ØÓ Ö Ò Ó ÞÓÒÝ Ò ØÖ Ø ÔÓÞÝÝ ÒÝ Ò ¹ÔÓÞÝÝ ÒÝ Ò Ò ÛÝÒ
Number of included frames vs threshold effectiveness Threshold of effectiveness
Ò Ð Þ ÒÝ Þ ÒÓÛ Ô Ö ØÙÖÝ Ø Ý Ò È Ó Ø Ë Ý ËÞÝÑÓÒ Å Þ ÞÑ Þ Ñ ÐºÓÑ ØÝÞÒ ¾¼½¾ ËÔ ØÖ ½ Ï ØÔ ½ ¾ ÇÔ Ñ ØÓ Ý ½ ¾º½ Ç Ò Ò Ö ÒÝ ÔÓÑ Ö Û º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾ Ç Ö Ð Ò ØÝÛÒÓ Ð
½ ÏÝ Ï Þ ð Û Ø ÛÓÐÙ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÔÖÓ º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ ÁÒ ØÝØÙØ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ ½ ÛÓÐÙ Ï Þ ð Û Ø ¾ Ñ ¾¼½ æ
½ ÏÝ Ï Þ ð Û Ø ÛÓÐÙ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÔÖÓ º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ ÁÒ ØÝØÙØ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ ½ ÛÓÐÙ Ï Þ ð Û Ø ¾ Ñ ¾¼½ æ Ôº½»¾ Ï Þ ð Û Ø ÛÓÐÙ Ï Þ ð Û Ø ÏÔÖÓÛ Þ Ò Ö Û Ø Ç ÐÒ
Ð ÓÖÝØÑÝ ØÖÙ ØÙÖÝ ÒÝ Ñ Ø Ö Ý ÛÝ ÓÛ ËØÙ Þ ÓÞÒ ÈÂÏËÌÃ Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÁÁ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖØÓÛ Ò ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ Ö
Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÁÁ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖØÓÛ Ò ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ Ï Ö Þ Û ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Ð Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Û Ø
ÛÙÛÝÑ ÖÓÛÝ ÔÖ Ò ÂÓ ÒÒ ÀÓÖ ÂÓ ÒÒ ÀÓÖ ÛÙÛÝÑ ÖÓÛÝ ÔÖ Ò
½º Ò ¾º ÈÖÞÝ º Ï ÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ Þ ÒÓ Ù Ý Ó ÛÖ ÐÒ ÔÖÞ ÔÐ Ø Ò Ù ÐÒÓ µ º Ê Ó¹ Ð Û ÐÐ Þ º ÈÖ Ò Ð ÓÖÝØÑ Å º ÏÔÖÓÛ Þ Ò Ó Û ÐÓÛÝÑ ÖÓÛ Ó ÔÖ Ò Ò Ù Ý Ó Ò ÖÓÛ Ò Þ Û ØÓÖ ÐÓ ÓÛ Ó (, ) Ó ÔÓÛ Ò ÔÖ Ý ( ½, ½ ),( ¾, ¾ ),...
ÊÓÞ Þ º Ð ÓÖÝØÑÝ ÒÙÑ ÖÝÞÒ ½¼º¼ º¾¼¼ Ð ÓÖÝØÑ Å ÐÐ Ø º ÈÖÞÝÔÓÑÒ ÑÝ Ð Ò Ò Ð ÞÝ ÅÊ ÓÛÓÐÒ Ó ¾ ÔÖÞ ¹ ØÖÞ Î ÖÓÞ Ò Û ÛÞ ÑÒ ÔÖÓ ØÓÔ ÔÓ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Î Î ½ Ï ½ ÙÛ Ñ
ÊÓÞÞ º ÐÓÖÝØÑÝ ÒÙÑÖÝÞÒ ¼º¼º¼¼ ÐÓÖÝØÑ ÅÐÐغ ÈÖÞÝÔÓÑÒÑÝ Ð Ò ÒÐÞÝ ÅÊ ÓÛÓÐÒÓ ÔÖÞ¹ ØÖÞ Î ÖÓÞ Ò Û ÛÞÑÒ ÔÖÓ ØÓÔ ÔÓÔÖÞ ØÖÞÒ Î Î Ï ÙÛ ÑÝ ÞÓÒ Þ ØÝÑ Ó ÛÑÝ Ó ÒÐÞ ÛÐÓÖÓÞÞÐÞ Û ÔÖÞ ØÖÞÒ Î ÑÑÝ Þ ÓÖØÓÒÓÖÑÐÒ µ Û ÔÖÞ ØÖÞÒ
ÈÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ø ØÙ Û ÈÓÛØ ÖÞ Ò áö Ò Óµ Þ Û Ò ÓÛ Ò Èʵ ÏÝ ¹ ÔÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ø ØÙ ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ áö Ò Óµ Þ Û Ò ÓÛ Ò Èʵ ½»
ÏÝ ¹ ÔÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ø ØÙ ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ ½» È Ò ÛÝ Ù Ó ÞÑ ÓÓ Ø Ö Ü ÓÓ Ø ÜÔÖ Ú ÓÓ Ø Ô Ö Ø ÈÖÞÝ ÓÛ Þ Ò Ò ÓÓ Û ÙÑ ¾» ÈÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ø ØÙ Û» ÔÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ø ØÙ ÙÒ ÓÒÛ ÖØÙ Þ ³ ÍØÛÓÖÞ Ò Þ Ý Ò ÔÓ Ø Û Ò Ô Ù ÒÙ Ø ÒØ ØÓ ½¾
ÃÓÑÔ Ð ØÖÓÒ ÞÒÝ ÈÓ ÖÞÒ ½º¼ ÏÝ Ò ÖÓÛ ÒÓ ÔÖÞ Þ ÓÜÝ Ò ½º º Ï ÂÙÒ ½½ ¼ ¾¼¼ ËÔ ØÖ ½ ÃÓÑÔ Ð ØÖÓÒ ÞÒÝ ½ ½º½ ÇÔ ÔÖÓ ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ð Ñ ÒØÝ
Þ Á Í Ù ÞÓÖ ÒØÓÛ Ò ÔÓ Þ Ò ÓÛÓ Ù Ù ÞÔÓ Þ Ò ÓÛ Ï Ö ØÛÝ ÑÓ Ó ÖÓÛ Û Ö ØÛÓÑ Ð ÝÑ Ó Ò ÔÓÞ ÓÑ ÛÝ Ù Ù ÞÔÓ Þ Ò ÓÛ Ù Ù ÛÝÑ ÔÓ Þ Ò º Ï Ù Ù ÓÛÝ ÞÓÖ ÒØÓÛ ÒÝ ÔÓ Þ Ò ÓÛÓ Ù ÝØ ÓÛÒ Ù Ù Ò Ô ÖÛ Ù Ø Ð ÔÓ Þ Ò ÔÓØ Ñ ÔÓ Þ Ò
ÁÒ ØÝØÙØ ÈÓ Ø Û ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÈÓÐ Ñ Æ Ù Ì ÑÔÓÖ ÐÒ Ô ØÝ ÔÐÓÖ ÒÝ Ñ ØÓ Ý Þ ÓÖ Û ÔÖÞÝ Ð ÓÒÝ ÊÇ ÈÊ Ï ÇÃÌÇÊËà ÙØÓÖ Ñ Ö È ÓØÖ ËÝÒ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÈÖÓ º Ö º Ò º Ò ÖÞ Ë ÓÛÖÓÒ Ï Ö Þ Û ¾¼¼ Öº ËÔ ØÖ ½ Ï ØÔ ½º½ ÏÔÖÓÛ Þ Ò º º
Ð Ö Û Ø Ý Ò Û Ö ÞÓ Ò Û Ð Ñ ØÓÔÒ Ù ÔÓ Ð ÓÖ Û Ñ Ø Ö Â Ò Ð Ø Ó ÛÝ ÖÝ Ø Ø ØÖÙ Ò µ Ð Ö Û Ø Ý Ò Ï ÒÓð Ð Ö Û Ø Ý Ò Þ ÓÛÙ ÔÓ Ó Ò Ð Ð ØÖÓÑ Ò ØÝÞÒ ÔÓÖÙ Þ Þ Ø Ñ
Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÁÎ ÈÓ ÞÙ Û Ò Ð Ö Û Ø Ý ÒÝ Ï½ ¼ ½ ÓÐ Ò ÔÖÞÝÔ È Ö Ô ØÝÛÝ ðò Ð Ö Û Ø Ý Ò Û Ö ÞÓ Ò Û Ð Ñ ØÓÔÒ Ù ÔÓ Ð ÓÖ Û Ñ Ø Ö Â Ò Ð Ø Ó ÛÝ ÖÝ Ø Ø ØÖÙ Ò µ Ð Ö Û
ÈÐ Ò ÛÝ Ø Ô Ò ½ ¾ ÃÐ ÝÞÒ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÞØÙÞÒ ÒØ Ð Ò ÅÓ Ð Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÞØÙÞÒ ÒØ Ð Ò Ë Ò ÙÖÓÒÓÛ ÏÒ Ó ÓÛ Ò Þ ÐÓ ÖÓÞÑÝØ Ð ÓÖÝØÑÝ ÛÓÐÙÝ Ò ÊÓÞÛ Þ Ò Ý ÖÝ ÓÛ ÝÒ Ñ
Ç Ð Þ Ò ÓÛ ÞØÙÞÒ ÒØ Ð Ò Â ÖÓ Û Ö ÈÓÐ Ø Ò Ï Ö Þ Û ÁÒ ØÝØÙØ ËÝ Ø Ñ Û Ð ØÖÓÒ ÞÒÝ Ï ÌÁ ÈÐ Ò ÛÝ Ø Ô Ò ½ ¾ ÃÐ ÝÞÒ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÞØÙÞÒ ÒØ Ð Ò ÅÓ Ð Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÞØÙÞÒ ÒØ Ð Ò Ë Ò ÙÖÓÒÓÛ ÏÒ Ó ÓÛ Ò Þ ÐÓ ÖÓÞÑÝØ Ð ÓÖÝØÑÝ
LVI Olimpiada Fizyczna zawody III stopnia
LV Olimpiada Fizyczna zawody stopnia Zadanie 1 Piłka uderza w poziomą podłogę pod kątem α z prędkością v 0. Współczynnik tarcia piłki o podłogę jest równy µ. W jakiej odległości od miejsca pierwszego uderzenia
ÈÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ó Ñ ÞÒ Ï Ð Ô ØÑÓ ÖÝÞÒ º º ÖÒ ÏÝ ½
Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ Ô ÖÝÑ ÒØ Í Ê ÈÖÓ Ø Â Å¹ ÍËÇ Ê ÓÛ Ø Ô Û ØÑÓ ÖÝÞÒÝ ÈÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ó Ñ ÞÒ Ï Ð Ô ØÑÓ ÖÝÞÒ º º ÖÒ ÏÝ ½ ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Þ Ö Ò ÓÛ ÔÖÞ Þ Ð ØÖÓÒÝ Û Ö Þ Ò Ù ÔÖÓ
e 2 = 8, 3 e 1 = 5, 1, e 2 = i 3 + i
ÆÓØ Ø Ó Û Þ Þ Ò Ð ÞÝ Ð Öݺ Ä Ê Ò ½ ÞÝ Û ØÓÖ v ÑÓ Ò ÔÖÞ Ø Û Ó ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ Û ØÓÖ Û e e 2 Þ i) v = 2, 4 e = 5, 7 e 2 = 8, 3 6 9 ÓÖ Þ ii) v = 2 3, e = Ç ÔÓÛ õ i) Ø v = 2e e 2 ii) Ò º, e 2 =, Ò ¾ ÞÝ Û ØÓÖÝ
Þ ÈÖ ÛÓ ÀÙ Ð ÈÖÞ ÙÒ Ù Þ ÖÛ Ò Â ð Ð ðþö Ó ð Û Ø Ó Ð Ó Ä Ò Û Ð Û Û Ñ Û Þ Ö ÈÃË ½¾ ¾ ¼ ½ Ó ÖÛ ØÓÖ Ò Ø ÔÙ ÛÝ Ù Þ Ò Ð ½ ½ ¼ ½ Þµ ÔÖÞ ÙÒ Ù Þ ÖÛ Ò Ò º ãö Øäµ
Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÁÁÁ Ï Ð ÏÝ Ù ÛÓÐÙ Ï Þ ð Û Ø ÈÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ø ÈÓÑ ÖÝ Ù ØÙ Å Þ ÈÖ ÛÓ ÀÙ Ð ÈÖÞ ÙÒ Ù Þ ÖÛ Ò Â ð Ð ðþö Ó ð Û Ø Ó Ð Ó Ä Ò Û Ð Û Û Ñ Û Þ Ö ÈÃË ½¾ ¾ ¼ ½
Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ ÒØÝ ¾ Ñ Ö ¾¼½ Ï Þ ð Û Ø µæ Ôº¾»
ÏÝ Ô ÖÝÑ ÒØÝ Ï Ô Þ Ò Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÔÖÓ º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ ÒØÝ ¾ Ñ Ö ¾¼½ æ Ôº½» Ï Þ ð Û Ø Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ
ÈÓÔÖ ÛÒ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÏÞÓÖ ÔÖÓ ØÓÛ áö Ò ÓµÞ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û ÏÝ ¾ ¹ Ø Ó ÛÞÓÖ ÔÖÓ ØÓÛ ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ áö Ò ÓµÞ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û ½»
ÏÝ ¾ ¹ Ø Ó ÛÞÓÖ ÔÖÓ ØÓÛ ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ ½» ÈÒ ÛÝ Ù ÔÓ Ø ÛÓÛ ÔÓ Û ÔÓÛØ ÖÞ Ò µ Ø Ó ÞÝÞÒ Ó ÞÒ ÔÓÛØ ÖÞ Ò µ Ö Þ Þ Þ Ò ÔÓÛØ ÖÞ Ò µ ÛÞÓÖ ÔÖÓ ØÓÛ Ò ØÓÒ ÔÖÓØÓØÝÔ ¾» Ö Ò Ö ¹ Ý Ò Þ Ô ÛÒ Ò ÞÛ Ó ÒÓ Ó Þ Ó ÜØ ÖÒ ÒØ Ü»»
Þ ð ãû Þ ÑÝä Ó Þ ÝÛ Ò Þ Ø Â Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ ÒØÝ ½ Ð ØÓÔ ¾¼½ Ï Þ ð Û Ø µæ Ôº¾»
Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÙÑ Ò Ø Û Ð ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ ÒØÝ ÔÖÓ º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ ÒØÝ ½ Ð ØÓÔ ¾¼½ æ Ôº½» Ï Þ ð Û Ø Þ ð ãû Þ ÑÝä Ó Þ ÝÛ
ÏÝ Ô ÖÝÑ ÒØÝ Ï Ô Þ Ò Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÔÖÓ º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ ÒØÝ ¾ Ñ Ö ¾
ÏÝ Ô ÖÝÑ ÒØÝ Ï Ô Þ Ò Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÔÖÓ º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ ¾ Ñ Ö ¾¼½ æ Ôº½» Ï Þ ð Û Ø Þ ð ãû Þ ÑÝä Ó Þ ÝÛ Ò Þ Ø Â Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ ¾ Ñ
Þ ÑÒ ÑÒ Ñ Ø Ö Ö Å ØØ Ö ¹ ŵ ÓÐ À Å Ñ Å Þ Å Ñ Å Å Å ÛÓÐÙ Ï Þ ð Û Ø Ç Ò ÔÓÛ Þ Ò ÙÞÒ ÒÝÑ ÑÓ Ð Ñ ÛÓÐÙ Ï Þ ð Û Ø Ø ØÞÛº ÑÓ Ð Åº ÓÒ Ï Þ ð Û Ø ÛÝÔ Ò ãþûý ä Ñ
Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÁÎ ÑÒ Ñ Ø Ö Û Ï Þ ð Û È ÖÛÓØÒ ÆÙ Ð Ó ÝÒØ Þ ÊÓØ Ð ØÝ ÓÖÑÓÛ Ò ØÖÙ ØÙÖ Ç Ð ÙÔ ÖÒÓÛ ÖÓÑ ÈÓ ÙÐÐ Ø ÐÙ Ø Öµ Þ ÑÒ ÑÒ Ñ Ø Ö Ö Å ØØ Ö ¹ ŵ ÓÐ À Å Ñ Å Þ
ÈÖ ÔÖÞ Ð Ñ Ó Ó ÒÝ Ø ÈÓ Ô ÙØÓÖ ÔÖ Ý ÈÖ Ø ÓØÓÛ Ó Ó ÒÝ ÔÖÞ Þ Ö ÒÞ ÒØ Ø ÈÓ Ô ÖÙ Ó ÔÖ
ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ Ð Å Ø Ñ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Å Ò È Û Ð Å Ð ÒÞÙ ÆÖ Ð ÙÑÙ ½ ½ Ò Ð Þ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ð Ò ÛÝ ÞÝ ÓÛ ÙÒ Ý ÒÝ ÈÖ Ñ Ø Ö Ò ÖÙÒ Ù ÁÆ ÇÊÅ Ì Ã ÈÖ ÛÝ ÓÒ Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ Ö Ð Ó Ë Ù ÖØ ÁÒ ØÝØÙØ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Ð ÄÓ ËØÓ
ÃÓÒØ Ò ÖÝ Þ ÓÓ Ø ÓÓ Ø Ö Ô Ä Ö ÖÝ ÈÓÛØ ÖÞ Ò áö Ò Ó Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û Èʵ ÏÝ ½¾ ¹ ÓÒØ Ò ÖÝ Þ ÓÓ Ø ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ áö Ò Ó Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û È
áö Ò Ó Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û Èʵ ÏÝ ½¾ ¹ ÓÒØ Ò ÖÝ Þ ÓÓ Ø ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ ½» ½ ËÌÄ ¹ Ø Ò Ö ÓÛ Ð ÓØ Þ ÐÓÒ Û ÓÒØ Ò ÖÝ Ø Ö ØÓÖÝ Ð ÓÖÝØÑÝ ÙÒ ØÓÖÝ Ó º ÙÒ Ý Ò µ ÔØ ÖÝ ÌÛÓÖÞ Ò ÙÒ ØÓÖ Û ÖÞÒ Ò ÔÓ Ø Û ØÒ Ý ÙÒ Ñ
ËÞ ÐÓÒÝ ¹ ÔÓÛØ ÖÞ Ò ÈÖÓ Ð ÑÝ ÔÖÞÝ ØÓ ÓÛ Ò Ù Þ ÐÓÒ Û áö Ò Ó Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û Èʵ ÏÝ ½¼ ¹ Þ ÐÓÒÝ ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ áö Ò Ó Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û È
áö Ò Ó Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û Èʵ ÏÝ ½¼ ¹ Þ ÓÒÝ ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ ½» ÃÓ ÓÖÝØÑÝ ÈÓ Ò Þ Ò Ó ØÝÔÙ Ó ÒÔº Øݵ ÓÖÝØÑÝ ÒÔº ÞÒ ÓÛ Ò Ò Û Þ Ó Ñ ÒØÙµ Å Ò ÞÑÝ Ñ ÒÙ Ö ÙÒ Ò Ó Ùº Û Ô Ò ÞÓÛ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Þ ÓÒ Û ¾» à ÞÓÛ ÒÙ
Fizyka I (mechanika), rok akad. 2012/2013 Zadania kolokwialne 1
ÞÝ Á ¾¼½¾»¾¼½ µ ÃÓÐÓ Û ÙÑ ½ º½½º¾¼½¾ Ò Ö ÙÒ ÓÛ ÖÙÔ ÍÛ Ã Þ Ò ÖÓÞÛ ÞÙ ÑÝ Ò Ó Ó Ò ÖØ º ÈÖ ÔÓÛ ÒÒÝ Ý ÞÝØ ÐÒ ÓÐ Ò ÖÓ ÓÔ ØÖÞÓÒ Ø Ñ ÓÑ ÒØ ÖÞ Ñ Ý ØÓ ÖÓÞÙÑÓÛ Ò Ý ÒÝ Ð ÔÖ Û Þ Óº ÊÓÞÛ ÞÙ Þ Ò ÛÝÔÖÓÛ õ ÛÞ Ö Ó ÓÛÝ ÔÖ
Ö Þ Þ Û ØÔÙ Ó Ñ Ø Ñ ØÝ Â Ò ÃÖ Þ Û ÏÖÓ Û ¾¼¼ ½
Ö Þ Þ Û ØÔÙ Ó Ñ Ø Ñ ØÝ Â Ò ÃÖ Þ Û ÏÖÓ Û ¾¼¼ ½ ËÔ ØÖ ÈÖÞ ÑÓÛ ½ Ò ½ ¾ Ï Þ Û Ó Þ ½ Ç ÔÓÛ Þ Ó Þ ¾½ Ð Ó Ö ¼ ¾ ÈÖÞ ÑÓÛ Ï Þ ÓÖ Þ Þ Û ØÔÙ Ó Ñ Ø Ñ ØÝ Þ Ò Þ ÞÛÝÞ Ø ÔÓ ÖÙÔÓÛ Ò Ý ÓØÝÞÝ Ý ÔÓ Þ ÔÓ ÞÞ ÐÒÝ Þ Û ÓÑ Û ÒÝ
f (n) lim n g (n) = a, f g
Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ Á Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã Ï ØÔ ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ Ï Ö Þ Û ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð ÛÝ Ù ÈÐ Ò ÒÓØ ÝÑÔØÓØÝÞÒ ÔÓ Ð ÓÖÝØÑÙ Ó ÞØ Ð ÓÖÝØÑÙ Þ Ó ÓÒÓ
ð Ö ½¼¼ Å Î ¹ Ì Î ½¼ ½ ØÑÓ ÖÝÞÒ Ñ ¾ Ð Ö ØÓÖÓÛ ÖÞ Ù Î ½¼ ¾¼ Æ ÙØÖ Ò ÌÝÔ Ô Ò Ö ËØÖÙÑ ðò ½ Å Î ½¼ ½¼ ½ Ë ÓÒ ÞÒ Ñ ¾ Ò Ñ µ ÔÓÛÝ Þ ½¼ Šε ÖÞ Ù Å Î ½¼ ½ Ê Ø
Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÁÁ ØÖÓÒÓÑ Ò ÙØÖ Ò µ Ô ÖÝÑ ÒØ Á Ù ÛÓÐÙ Û Þ ð Ö ½¼¼ Å Î ¹ Ì Î ½¼ ½ ØÑÓ ÖÝÞÒ Ñ ¾ Ð Ö ØÓÖÓÛ ÖÞ Ù Î ½¼ ¾¼ Æ ÙØÖ Ò ÌÝÔ Ô Ò Ö ËØÖÙÑ ðò ½ Å Î ½¼ ½¼ ½
ÏÝ Ö Ò ÖÙÒ Û ÛÓÐÙ Ö Ò ÓÛ Â ÖÓ Û Ö ÈÓÐ Ø Ò Ï Ö Þ Û ÁÒ ØÝØÙØ ËÝ Ø Ñ Û Ð ØÖÓÒ ÞÒÝ ¹Ñ Ð Ö Ð ºÔÛº ÙºÔÐ Ñ Ò Ö ÙÑ Ù ÁÒØ Ð ÒØÒÝ ËÝ Ø Ñ Û Ï ÔÓÑ Ò ÝÞ ÈÓÐ Ø Ò ÈÓ
ÏÝ Ö Ò ÖÙÒ Û ÛÓÐÙ Ö Ò ÓÛ Â ÖÓ Û Ö ÈÓÐ Ø Ò Ï Ö Þ Û ÁÒ ØÝØÙØ ËÝ Ø Ñ Û Ð ØÖÓÒ ÞÒÝ ¹Ñ Ð Ö Ð ºÔÛº ÙºÔÐ Ñ Ò Ö ÙÑ Ù ÁÒØ Ð ÒØÒÝ ËÝ Ø Ñ Û Ï ÔÓÑ Ò ÝÞ ÈÓÐ Ø Ò ÈÓÞÒ ¾ º½½º¾¼½¼ ÈÐ Ò ÔÖ Þ ÒØ ½ ¾ Ð ÓÖÝØÑ ÛÓÐÙÝ ÒÝ Ó ÖÓÞ
Ç ÐÒ ÒÖ ½ DoCelu Ä ØÓÔ ¾¼¼¾ º º º Ó Þ ÑÝ Û ÞÝ Ý Ó ÒÓ Û ÖÝ ÔÓÞÒ Ò ËÝÒ Ó Ó Ó Ñ Ó ÓÒ Ó ÓÖÓ Ò ÑÝ Ó ÛÝÑ Ö Û Ô Ò ÖÝ ØÙ ÓÛ º º º Â ÞÙ ÞÛÝ Ý ÂÓ ÒÒ Ö ØÓÔ ÐÙÑ Ö
Ç ÐÒ ÒÖ ½ DoCelu Ä ØÓÔ ¾¼¼¾ º º º Ó Þ ÑÝ Û ÞÝ Ý Ó ÒÓ Û ÖÝ ÔÓÞÒ Ò ËÝÒ Ó Ó Ó Ñ Ó ÓÒ Ó ÓÖÓ Ò ÑÝ Ó ÛÝÑ Ö Û Ô Ò ÖÝ ØÙ ÓÛ º º º  ÞÙ ÞÛÝ Ý ÂÓ ÒÒ Ö ØÓÔ ÐÙÑ Ö Ø Ô ÓÒ Ö Û Ð Ù ÓÛ ÔÖ ÙÖ ÓÖ ÔÓ Ù ÙÛ ÐÒ Ò ½ º¼ º½ ¼
Reguly. Wind = Weak Temp > 20 Outlook Rain PlayTennis = Y es
ËÞØÙÞÒ ÁÒØ Ð Ò ËÝ Ø ÑÝ ÓÖ Þ ½ Ï ÖÙÒ Ð ØÓÖ Û Ý Ð ØÓÖ Ö ÔÖ Þ ÒØÙ Ø Ø Û ÖØÓ ÃÓÒ ÙÒ ØÖÝ ÙØÙ Û ÖÙÒ Ó ÔÓÛ Ó ØÓÑ Ô Ò ÝÑ ÔÓ ÝÒÞ Ó Ð ØÓÖÝ Û ÞÝ Ø ÝÞ Ö Ù ÞÛ Þ Ò Ø Þ Ò ÝÞ Ã Reguly ÔÖÞÝÔ ÝÛ Ò Ó ØÓÑ Ô Ò ÝÑ Û ÖÙÒ Ö Ù
Survival Probability /E. (km/mev)
Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÁÁ ØÖÓÒÓÑ Ò ÙØÖ Ò µ Ô ÖÝÑ ÒØ Á Ù ÛÓÐÙ Û Þ ð Ö ½¼¼ Å Î ¹ Ì Î ½¼ ½ ØÑÓ ÖÝÞÒ Ñ ¾ Ð Ö ØÓÖÓÛ ÖÞ Ù Î ½¼ ¾¼ Æ ÙØÖ Ò ÌÝÔ Ô Ò Ö ËØÖÙÑ ðò ½ Å Î ½¼ ½¼ ½
A(T)= A(0)=D(0)+E(0).
2 ÅÓ Ð ØÖÙ ØÙÖ ÐÒ ÈÓ ØÖÙ ØÙÖ ÐÒ ÓÔ ÖØ Ø Ò ÔÖ Ù ÓÛÝ ÑÓ ÐÙ ÛÝ Ò Ó Þ ÖÞ Ò Ò ÖÙØÛ Û ÔÓÛ Þ Ò Ù Þ Þ Û Ñ Þ Ó Þ ÝÑ Û Ó Ö ÖÓÞ¹ Û Ò ÖÑݺ Å Û Ò ÔÖÓ ÖÝÞÝ Ó Ö Ø ÖÞ Ö ÝØÓÛÝÑ ÛÝÒ Þ Ö Ù ÓØ Û Ò Ö ÙÐÓÛ Ò ÞÓ ÓÛ Þ º ÙÒ ÓÒÓÛ
Ð ÓÖÝØÑÝ ØÖÙ ØÙÖÝ ÒÝ Ñ Ø Ö Ý ÛÝ ÓÛ ËØÙ Þ ÓÞÒ ÈÂÏËÌÃ Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÎ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÒÝ ËØÖÙ ØÙÖÝ ÓÛÒ Ð ØÝ ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑ
Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÎ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÒÝ ËØÖÙ ØÙÖÝ ÓÛÒ Ð ØÝ ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ Ï Ö Þ Û ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð ÓÔ Ö Ò Ð Ø Ð ÓÖÝØÑ Ë ÔÖÞ Ó Þ Ò Ö Ù Ð ÓÖÝØÑ Ë ÔÖÞ
ØÓ ÔÖ Ù Ð ØÖÝÞÒ Ó ÈÖ Ó ÙÒÓ Þ Ò Ó Ò ÓÖ ØÓ ÔÖ Ù Ø Û ØÓÖ Ñ Ø Ö Ó ÖÙÒ ÛÝÞÒ Þ ØÝÞÒ Ó ØÓÖÙ ÔÓÖÙ Þ Ó ÙÒ Ù Ó ØÒ Óº ÛÖÓØ Û ØÓÖ Ó Ö Ð ÙÑÓÛÒ Ó ÖÙÒ ÖÙ Ù ÙÒ Ù Ó ØÒ
ÈÖ Ð ØÖÝÞÒÝ ÈÓÐ Ñ Ò ØÝÞÒ ½¼»½ Ò ÖÞ Ã Ô ÒÓÛ ØØÔ»»Ù Ö ºÙ º ÙºÔл Ù Ô ÒÓ» ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Â ÐÐÓ ÃÖ Û ¾¼½ ÈÖ Ð ØÖÝÞÒÝ Ø ØÓ ÙÔÓÖÞ ÓÛ ÒÝ ÖÙ ÙÒ Û Ð ØÖÝÞÒÝ º ÊÙ ÙÒ Û ÑÓ Ñ Ñ Û ÔÖÞ ÛÓ Ò Û Ô ÛÒÝ Û ÖÙÒ Ö ÛÒ
M 1 2 ( V (c n(g X) X )).
ËÓÖÞÒ Û Ö ÏÝÝ ½¹ ÈÓØÖ ËÒÓÛ ÅÖ ½ ¾¼½ ½ ÏÝ ½ ËÓÖÞÒ Ö Ò¹ÛÙÞÐÒÝ Ï ØÝÑ ÛÝÞ ÙÔÑÝ Ò ÔÖÓÐÑ ÞÒÓÛÒ ÓÖÞ Û ÓÛÓÐÒÝ Öº ÞÒÑÝ Ó ÔÓ ØÛÒ ØÛÖÞÒ Ö³ ÙÓÛÓÒÒ Ó Þ ÛÖ º Æ ØÔÒ ÙÓÛÓÒÑÝ ÐÑØ Ó ¹ ÒÙ Ýк ÏÝÓÖÞÝ ØÙ ØÒ ÐÑØ ÔÓ ÑÝ ÐÓÖÝØÑÙ
Janusz Przewocki. Zeroth Milnor-Thurston homology for the Warsaw Circle. Instytut Matematyczny PAN. Praca semestralna nr 3 (semestr zimowy 2010/11)
Janusz Przewocki Instytut Matematyczny PAN Zeroth Milnor-Thurston homology for the Warsaw Circle Praca semestralna nr 3 (semestr zimowy 2010/11) Opiekun pracy: Andreas Zastrow ÖÓØ Å ÐÒÓÖ¹Ì ÙÖ ØÓÒ ÓÑÓÐÓ
System ALVINN. 30 Output. Units. 4 Hidden. Units. 30x32 Sensor Input Retina. Straight Ahead. Sharp Right. Sharp Left
ËÞØÙÞÒ ÁÒØ Ð Ò ËÝ Ø ÑÝ ÓÖ Þ ½ System ALVINN ÄÎÁÆÆ ÔÖÓÛ Þ ÑÓ ÔÓ ÙØÓ ØÖ Þ Þ ÞÝ Ó ¼ Ñ Ð Ò Ó Þ Ò Sharp Left Straight Ahead Sharp Right 30 Output Units 4 Hidden Units 30x32 Sensor Input Retina ¾ www.wisewire.com,
pomiary teoria #pomiarow N
ÞÝ Á Å Ò ÔÖÓ º Ö º Ð Ò Ö Ð Ô ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ Á Ã Ò Ñ ØÝ ÈÓÑ ÖÝ ÞÝÞÒ Ù ÒÓ Ø ËÁ Ý ÔÓÑ ÖÓÛ Ã Ò Ñ ØÝ ÔÓ ÔÓ Ø ÛÓÛ µ ÔÙÒ Ø Ñ Ø Ö ÐÒÝ Ù Ó Ò Ò Ù Û Ô ÖÞ ÒÝ µ ØÓÖ ÔÖ Óð ð ÔÖÞÝ Ô Þ Ò ÊÙ ÒÓ Ø ÒÝ
ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ Å Ø Ñ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Å Ò ËÔ Ý Û õò ÓÛÝ ØÖÙ ØÙÖ ÒÝ ÈÖ Ó ØÓÖ µ Å Ö Ò ÃÙ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÔÖÓ º Ö º Â Ò Å Ý ½ ØÝÞÒ ¾¼¼¼
ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ Å Ø Ñ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Å Ò ËÔ Ý Û õò ÓÛÝ ØÖÙ ØÙÖ ÒÝ ÈÖ Ó ØÓÖ µ Å Ö Ò ÃÙ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÔÖÓ º Ö º Â Ò Å Ý ½ ØÝÞÒ ¾¼¼¼ ËÔ ØÖ ½ Ï ØÔ ½º½ Ì Þ ÔÖ Ý º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ÈÖÓÑ Ò ÓØÛ ÖÞÓð ð ÔÖÞ Þ Àº ÕÙ Ö Ð Û ÖÓ Ù ½ º Ç ÖÝØ Æ ÙØÖ Ò ÙÖ ÒÙ Ñ ØÓÛ Ý ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ø Ö Þ ÑÒ Ó Ô ÝØ ÓØÓ Ö ÞÒ º ËÓÐ ¹ Ò ÖÓ ÆÓ Ð ÛÖ Þ Þ ÅºË Ó ÓÛ Èº ÙÖ
ð Ö Ò ÙØÖ Ò Æ ÙØÖ Ò ÔÖÓ º Ö º Ð Ò Ö Ð Ô ÖÒ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÏÝ ½¾ Æ ÙØÖ Ò Û ÒÓð ÈÓÑ ÖÝ Ò ÙØÖ Ò Ç ÝÐ Ò ÙØÖ Ò ÈÖÓÑ Ò ÓØÛ ÖÞÓð ð ÔÖÞ Þ Àº ÕÙ Ö Ð Û ÖÓ Ù ½ º Ç ÖÝØ Æ ÙØÖ Ò ÙÖ ÒÙ Ñ ØÓÛ Ý ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò
Ñ ÒÒ Û È ÖÐÙ Ñ ÒÒ ÌÝÔ Ò ÈÖÞÝ Ò Þ Ò Ë Ð Ö Ð ÈÓ ÝÒÞ Û ÖØÓ Ð Þ ÐÙ Ò Ô µ Ì Ð Ø Ð Ä Ø Û ÖØÓ Ò ÓÛ Ò Ð Þ Ñ À Þ ± ±Þ ÓÖ ÖÙÔ Û ÖØÓ Ò ÓÛ Ò Ò Ô Ñ ÈÖÓ ÙÖ ² ²ÞÖÓ Ö
È ÊÄ ¹ ÞÝ Ó Ô Ò È ÖÐ ØÓ Ö Ò Ø ÙÑ Þݺ Ð ØÝ Ø ÖÞÝ Ó Þ Ð Û ÐÙ È ÖÐ Ø ÈÖ ØÝÞÒÝÑ ÂÞÝ Ñ Ó ÏÝ Û Ê ÔÓÖØ Û Ò º ÈÖ Ø Ð ÜØÖ Ø ÓÒ Ò Ê ÔÓÖØ Ä Ò Ù µº Â Ò Ð ÔÖ Û Þ ÛÝ Ñ Ó Ò Û È ÖÐ ØÓ È ØÓÐÓ ÞÒ Ð ØÝÞÒ ÊÓ Ø Ä Ò Û ØÝÞÒ
x a lim (x n) 2 = lim x n sgn(x) =
½ ÙÒ Ö Ò Ý Ó Ö Ö ÙÑ ÒØ Û Þ Ö Û ÖØÓ ÑÓÒÓØÓÒ ÞÒÓ ÙÒ Ó ÛÖÓØÒ ÙÒ Ð ¹ Ò ÓÛ Û Ö ØÓÛ Û ÐÓÑ ÒÝ ÙÒ ÛÝÑ ÖÒ ÙÒ ØÖÝ ÓÒÓÑ ØÖÝÞÒ Ó ¹ ÛÖÓØÒÓ ÙÒ ÛÝ Ò Þ ÐÓ ÖÝØÑ ÞÒ º ½º½ ½º½º½ ÙÒ ÛÝ Ò Þ Ð ÓÔÓÛ Þ Ï ÖØÓ ÙÒ ÛÝ Ò Þ Ð Ö ÙÑ
ρ h (x 0 ) = M h h 3 ρ(x 0 ) = lim ρ h (x 0 )
ÏÝ ½ ÈÓ Ø ÛÓÛ ÔÓ Ñ Ò Ó ÖÓ Ó ËÔ ØÖ ½ ÏÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ø ÓÖ Ó ÖÓ Ó ½ ½º½ ÍÛ Ó ÔÓØ Þ Ó ÖÓ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ ÈÓ ÖÙ Ù Û Ó ÖÓ Ù ÝÑ ¾ ¾º½ ÇÔ ÖÙ Ù Û ÞÑ ÒÒÝ Ä Ö Ò ³ Û ÞÑ ÒÒÝ ÙÐ Ö º
Ð ÝÑØÖ ÛÞÓÖÓÛ ØÓÖ Þ ÛÐ ÓØÖÞÝÑÑÝ ÔÖÞÝÑÑÝ ÓÞÒÞÒ ÛÓÛÞ ÖÓÛÒÓ µ µ ÞÑÒÑÝ Û ÞÒ Ñ Ò Òµ µ Ò Üµ Ó ÒÜ Ü Ò µ ÓÖÞ µ Ò Üµ Ò ÒÜ Ü Ò µ ÈÖÛ ØÖÓÒ µ ÑÓÞ Ý ØÖÞ ÞÔ Ò Û Ô Ø
Ü º ËÞÖ ÓÙÖÖº º ËÞÖ ÓÙÖÖ Û ÔÓÐÞÝÒÒ ÓÙÖÖº Æ Þ ÙÒ Ð Ò Ð Ó ÖÞÞÝÛ Ø ÔÖÞ ØÛ Û ÔÓ Ø ÙÑÝ ÞÖÙ µ ܵ Ò Ò Ó ÒÜ Ò Ò Òܵ Ü Áʵ ÈÖÞÝÔÙ ÑÝ Þ ÞÖ ÔÓ ÔÖÛ ØÖÓÒ Ø ÒÓ ØÒ ÞÞÒÝ Û ÔÖÞÞÐ ÛÓÛÞ ÔÓ ÔÓÑÒÓÞÒÙ ÔÖÞÞ ÙÒ Ò ÑÜ ÛÞÐ Ò Ó ÑÜ
Ç ÐÒ ÒÖ ¾½ DoCelu Ä ØÓÔ ¾¼¼ º º º Ó Þ ÑÝ Û ÞÝ Ý Ó ÒÓ Û ÖÝ ÔÓÞÒ Ò ËÝÒ Ó Ó Ó Ñ Ó ÓÒ Ó ÓÖÓ Ò ÑÝ Ó ÛÝÑ Ö Û Ô Ò ÖÝ ØÙ ÓÛ º º º ÅÓ Ð ØÛÝ Û Ø Û ÒÒ Þ Þ ÈÓÐ Ç
Ç ÐÒ ÒÖ ¾½ DoCelu Ä ØÓÔ ¾¼¼ º º º Ó Þ ÑÝ Û ÞÝ Ý Ó ÒÓ Û ÖÝ ÔÓÞÒ Ò ËÝÒ Ó Ó Ó Ñ Ó ÓÒ Ó ÓÖÓ Ò ÑÝ Ó ÛÝÑ Ö Û Ô Ò ÖÝ ØÙ ÓÛ º º º ÅÓ Ð ØÛÝ Û Ø Û ÒÒ Þ Þ ÈÓÐ Ç ÓÛ Þ Ñ Ó Þ ÓÛ Û ÖÞ Ó Ø ÑÓ Ð ØÛ Û Ò¹ Ø Ò Ö Ù ÐÙ Þ Ø
ÈÖ Û ÖÙ Ù ÝÒ Ñ ÞÝ Á Å Ò µ ÏÝ ÁÁ ÌÖ Ò ÓÖÑ Ð Ð Ù Þ ÞÛ ÒÓð ð Á Þ ÝÒ Ñ Ù Ò Ö ÐÒÝ ÁÁ Þ ÝÒ Ñ ÁÁÁ Þ ÝÒ Ñ
ÈÖÛ ÖÙÙ ÝÒÑ ÞÝ Á ÅÒµ ÏÝ ÁÁ ÌÖÒ ÓÖÑ ÐÐÙ Þ ÞÛ ÒÓð ð Á Þ ÝÒÑ Ù ÒÖÐÒÝ ÁÁ Þ ÝÒÑ ÁÁÁ Þ ÝÒÑ Ù Ù ÓÒ Ò ÏÝÖ ÒØÝÞÒ Þ Ù ØÛÓÒ ÔÓÒÓÛÓ Û Ø ¾ ÌÖÒ ÓÖÑ ÐÐÙ Þ ÒÓ Ò ÔÖÓÒ ÖÙ Ò ÛÓÒº y Ð Ó ÖÛØÓÖ Ò ÔÖÓÒ ÖÙ ÔÓ Û Ø ÒØÝÞÒÝ Û ÔÓÒ
Å Ø Ù Þ Ë ÓÖ ËØ ÐÒÓ Ñ Ò ÞÒ Ö ØÝ ÙÒ ÓÒ Ð ÞÓÛ ÒÝ Ò ÒÓÞ Ø Û ÑÓ Ð ÖÙ ÓÞ ÖÒ ØÝ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÈÖÓ º Ö º Å Ö ÔÐ ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÛÝ ÓÒ Ò Û áöó ÓÛ ÓÛÝÑ Ä ÓÖ ØÓÖ ÙÑ ÞÝ ÓÐÓ ÞÒ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ È Æ Ï Ö Þ Û ½ Ñ ¾¼½¾ ÈÓ Þ ÓÛ Ò
Ã Ø ÖÞÝÒ Â ÑÖÓÞ ÊÇ ÆÁà ÄÍ ÍËÃÁ ÌÓÑ ¾ Þº ¾ ¾¼½ ÏÈÁË ÆÁ Ï ÃÊ ÂÇ Ê Æ ÍÃÇÏ Á ÄÇÆÇ ÊËÃÁ ËÌÍ Á Á ÄÁÇÌ ÃÇ Æ Ï À ØÓÖ ÏÓ Û Þ Å Ð ÓØ ÈÙ Ð ÞÒ Ï Å Èµ Ѻ ݹ ÔÖ Ò Æ
Ã Ø ÖÞÝÒ Â ÑÖÓÞ ÊÇ ÆÁà ÄÍ ÍËÃÁ ÌÓÑ ¾ Þº ¾ ¾¼½ ÏÈÁË ÆÁ Ï ÃÊ ÂÇ Ê Æ ÍÃÇÏ Á ÄÇÆÇ ÊËÃÁ ËÌÍ Á Á ÄÁÇÌ ÃÇ Æ Ï À ØÓÖ ÏÓ Û Þ Å Ð ÓØ ÈÙ Ð ÞÒ Ï Å Èµ Ѻ ݹ ÔÖ Ò ÆÓÖÛ Û ÐÓÒ ÖÞ ½ Öº Ý Û Ñ ÓØÛ ÖØÓ Ô ÖÛ Þ ÔÙ Ð ÞÒ ÛÝÔÓ
ËÔ ØÖ ½ ÏÔÖÓÛ Þ Ò ½º½ Ù ÓÛ ÓÑÔÙØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÈÖÓ Ö Ñ ÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ï ØÔ Ó Ó Ù ÓÑÔÙØ Ö Û ÊÓ ÖØ ÆÓÛ Å Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ Ó Ï Ö ÞØ Ø Û ÁÒ ÓÖÑ ØÝÞÒÝ Û Ö Ñ Å Ó Þ ÓÛ Ñ ÍÑ ØÒÓ ÖÙÔ ½ ¹¾ Ï Ö Þ Û ¾¼¼ ËÔ ØÖ ½ ÏÔÖÓÛ Þ Ò ½º½ Ù ÓÛ ÓÑÔÙØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Notka biograficzna Streszczenie
Notka biograficzna Mgr inż. Rafał Muniak -absolwent kierunku Ekonomia w Szkole Głównej Gospodarstwa Wiejskiego. Przed podjęciem pracy na PJWSTK pracował w firmie konsultingowej na stanowisku analityka
1. Waciki do czyszczenia optyki 2. Isopropanol 3. SLED 4. Laser diodowy 1550nm 5. Mikroskop 6. Urządzenie do czyszczenia końcówek światłowodów
ÁÁ ÈÖ ÓÛÒ ÞÝÞÒ Á Í Ǿ ½ Ǿ ¹ ÇÔØÝÞÒÝ ÛÞÑ Ò Þ Û Ø ÓÛÓ ÓÛÝ Ð Û Þ Ò Û Þ Ò Ø Ô ÖÝÑ ÒØ Ñ Þ Þ Þ ÒÝ ÓØÓÒ ÞÝ Ð Ö Û ÓØÝÞÝ Þ Ò ÓÖ Þ Û ÒÓ¹ Û ÒÓÛÝ Û Ø ÓÛÓ ÓÛÝ µ õö Û Ø º ÈÓ Ø ÛÓÛÝÑ Ð Ñ ÒØ Ñ Ù Ù Ó Û ¹ Þ ÐÒ Ó Ø Û ÒÓ»
¾ Å ÑÞ ÈÖ Þ Ó ÓÒÓ Û Ý Ø Ñ Ä Ì º
Ç ÖÛ ØÓÖ ÙÑ ØÖÓÒÓÑ ÞÒ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ñº Ñ Å Û Þ Û ÈÓÞÒ Ò Ù ÇÔØÝÑ Ð Þ Ñ ØÓ Ö Ù Ó ÖÛ ÓØÓÑ ØÖÝÞÒÝ ÈÖ Ñ Ø Ö Å ÑÞ Ã ÖÓÛÒ ÔÖ Ý ÔÖÓ º Ö º Ì Ù Þ Å ÓÛ ÇÔ ÙÒ ÔÖ Ý Ö ÌÓÑ Þ ÃÛ Ø ÓÛ ÈÓÞÒ ½ ¾ Å ÑÞ ÈÖ Þ Ó ÓÒÓ Û Ý Ø Ñ Ä
Lech Banachowski. Rola Uczelni oraz metod i technik e-edukacji w uczeniu się przez całe życie
Lech Banachowski Rola Uczelni oraz metod i technik e-edukacji w uczeniu się przez całe życie Notka biograficzna Prof. Lech Banachowski jest kierownikiem Katedry Baz Danych i kierownikiem Studiów Internetowych
LVI OLIMPIADA FIZYCZNA ZADANIA ZAWODÓW I STOPNIA
http://www.kgof.edu.pl 1 LVI OLIMPIADA FIZYCZNA ZADANIA ZAWODÓW I STOPNIA Rozwiązania zadań I stopnia należy przesyłać do Okręgowych Komitetów Olimpiady Fizycznej w terminach: część I do 5 października
ÊÇ ÆÁÃ ÄÍ ÍËÃÁ ÌÓÑ ¾ Þº ¾ ¾¼½ ÒÒ ÙÞ ÅÍ Ã Â ÃÇ Æ Ê Á ÃË Ì ÌÇÏ ÆÁ Å áä ÆÁ Å Ì Å Ì Æ Ç Ï ÍÃ ÂÁ Á Ã Ï Û ØÐ Û Ô Þ ÒÝ ÓÒ Ô Ô Ó ÞÒÝ ÛÝ ÓÛ Ò Ø ØÝÞÒ Ñ Ò ÐÙ Û Þ
ÊÇ ÆÁÃ ÄÍ ÍËÃÁ ÌÓÑ ¾ Þº ¾ ¾¼½ ÒÒ ÙÞ ÅÍ Ã Â ÃÇ Æ Ê Á ÃË Ì ÌÇÏ ÆÁ Å áä ÆÁ Å Ì Å Ì Æ Ç Ï ÍÃ ÂÁ Á Ã Ï Û ØÐ Û Ô Þ ÒÝ ÓÒ Ô Ô Ó ÞÒÝ ÛÝ ÓÛ Ò Ø ØÝÞÒ Ñ Ò ÐÙ Û Þ ØÖÓÒÒ ÓÖÑÓÛ Ò Ó Ó ÓÛÓ Þ ÓÛ º Â Ó ÒØ Ö ÐÒ Þ Ø ÛÝ ÓÛ
Ç ÐÒ ÒÖ ½ DoCelu Ä ØÓÔ ¾¼¼½ º º º Ó Þ ÑÝ Û ÞÝ Ý Ó ÒÓ Û ÖÝ ÔÓÞÒ Ò ËÝÒ Ó Ó Ó Ñ Ó ÓÒ Ó ÓÖÓ Ò ÑÝ Ó ÛÝÑ Ö Û Ô Ò ÖÝ ØÙ ÓÛ º º º ÓÖ Þ Ð ÐÙ Á ÞÒ Ò Ó Ù ÝÙ Ò Û
Ç ÐÒ ÒÖ ½ DoCelu Ä ØÓÔ ¾¼¼½ º º º Ó Þ ÑÝ Û ÞÝ Ý Ó ÒÓ Û ÖÝ ÔÓÞÒ Ò ËÝÒ Ó Ó Ó Ñ Ó ÓÒ Ó ÓÖÓ Ò ÑÝ Ó ÛÝÑ Ö Û Ô Ò ÖÝ ØÙ ÓÛ º º º ÓÖ Þ Ð ÐÙ Á ÞÒ Ò Ó Ù ÝÙ Ò Û Þ Ò Þ Ñ Ð ÞÖ ÒÝ Ò ÖÓ Û Ý Þ ÙÞÝ ÑÓ¹ ÖÞ Ð º º º Ý ØÓ
ÈÓ Þ ÓÛ Ò Æ Ò Þ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÛ Ø Ý Ò ÔÓ Ø Û ÒÓØ Ø Ó ÔÖÓÛ ÞÓÒÝ ÔÖÞ Þ ÑÒ Ò ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ð Ù Ð Ø ÛÝ Û Þ Ø ÓÖ ÞÝ Û ÙØÓÑ Ø Û ÓÖ Þ Ù ÓÛÝ ÓÑÔ Ð ØÓÖ Ûº ÝÑ ÓÖ Ó ÔÓ Þ
ÂÞÝ ÓÖÑ ÐÒ ÙØÓÑ ØÝ Â Å Ö Ò ÃÙ ¹Ñ Ð Ù Ñ ÑÙÛº ÙºÔÐ ¾¼¼ Æ Ò Þ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÛ ÒÒÝ Ý Ô ÖÛ ÞÝÑ õö Ñ Ò ÓÖÑ ÓØÝÞ Ý ÔÖÞ ¹ Ñ ÓØÙ ÂÞÝ ÓÖÑ ÐÒ ÙØÓÑ ØÝ Â µº ÞÝØ ÐÒ ÓÑ Ø ÖÞÝ ÓÔÖ Þ Ð ØÙÖÝ ØÝ ÒÓØ ¹ Ø Ð Ý Ò Ó ÔÓ ÖÞÒ ÔÓÐ Ñ
ÏÝ º ÌÖÒ ÓÖÑØÓÙÖÖ ºº ÈÖÞÝÓÑÒÑÝ Ó ØÛÓÛ ÞÒÒ ÞÛÞÒ Þ ØÖÒ ÓÖÑØÓÙÖÖº ÌÖÒ ÓÖÑØ ÓÙÖÖ ÖÞ ÞØ ÛÝÓÛÙÒ Û ØÒ Ó ÛÖØÓ ØÖÒ ÓÖÑØÝ ÒÒÓÖÑÙ Ó ÛÖØÓ ÑÙÒ Û ÑÓÐÛ ÙÒ ÐÒÓÖÑÙ Ø ÞÛÖØÓ Ó¹ Û Ó Ò Þ ØÓØÐÛÓ Û ÙÒ ÛÝÓÛº Ï ÞÛÞÙ Þ ØÝÑ ÓÐÞÒ
Sieci neuronowe: pomysl
ËÞØÙÞÒ ÁÒØ Ð Ò ËÝ Ø ÑÝ ÓÖ Þ ½ ØÓ Þ ÞÙÑ ÓÒ Ó õ ØÖ ÒÙ ÔÓÞ ÓÑ ÔÓØ Ò Ù Ð ØÖÝÞÒ Ó ËÝ Ò Ý ÓÑ Ö Sieci neuronowe: pomysl Æ Ð ÓÛ Ò Ñ Þ Ù Þ Ó Ó ÓÑ Ö Ò ÙÖÓÒÓÛÝ Axonal arborization Synapse Axon from another cell Dendrite
ÈÖÓ Ö ÑÓÛ Ò ÔÐ ÓÛÝ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Å Ö ÙÖ ¹Ë Ó ÓÛ ÏÝ Þ Å Ø Ñ ØÝ ÞÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÈÖÓ Ö ÑÓÛ Ò ÔÐ ÓÛÝ Â ÖÓ Û ÝÐ Ò Å ÓÖÞ Ø Ù Ò Å ÃÐ ÓÛ ÄÙ Ð Ò ¾¼½¾ ÁÒ ØÝØÙØ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÍÅ Ë ÄÙ Ð Ò ¾¼½¾  ÖÓ Û ÝÐ
ÈÖ ÔÖÞ Ñ Ó Ó ÒÝ Ø ÈÓ Ô ÙØÓÖ ÔÖ Ý ÈÖ Ø ÓØÓÛ Ó Ó ÒÝ ÔÖÞ Þ Ö ÒÞ ÒØ Ø ÈÓ Ô ÖÙ Ó ÔÖ
ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ Å Ø Ñ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Å Ò Ñ Ã ÙÒ ÆÖ ÙÑÙ ½ ½ Ê ØÓÖÝÞ ÔÖÓ Ö Ñ Û Û ÞÝ Ù Â Ú ÈÖ Ñ Ø Ö Ò ÖÙÒ Ù ÁÆ ÇÊÅ Ì Ã ÈÖ ÛÝ ÓÒ Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ Ö Â Ò ÒÝ Å Ò Ö Þ Û Þ ÁÒ ØÝØÙØ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Ä Ô ¾¼¼½ ÈÖ ÔÖÞ Ñ
ÈÓÞÝØÝÛÒ ÔÖÝÑÓÛ Ò Ñ ÒØÝÞÒ Ó Ò ÖÞ Þ ÓÔØÝÑ Ð Þ ÙØÓÑ ØÝÞÒÝ Ý Ø Ñ Û ÙØÓÖÝÞ Ù ÝØ ÓÛÒ Ê ÈÇÊÌ Ö Å Ö Ù Þ ÍÖ ÄÓ ÃÓ Ò ØÝÛ ØÝ ÁÒ ØÝØÙØ È Ý ÓÐÓ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ñº º Å
ÈÓÞÝØÝÛÒ ÔÖÝÑÓÛ Ò Ñ ÒØÝÞÒ Ó Ò ÖÞ Þ ÓÔØÝÑ Ð Þ ÙØÓÑ ØÝÞÒÝ Ý Ø Ñ Û ÙØÓÖÝÞ Ù ÝØ ÓÛÒ Ê ÈÇÊÌ Ö Å Ö Ù Þ ÍÖ ÄÓ ÃÓ Ò ØÝÛ ØÝ ÁÒ ØÝØÙØ È Ý ÓÐÓ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ñº º Å Û Þ Å Ö È Û ÙÔ ÓÛ ÄÓ ÃÓ Ò ØÝÛ ØÝ ÁÒ ØÝØÙØ È Ý ÓÐÓ
ËÔ ØÖ ½ Ð Þ Ö ÔÖ Ý ¾ ËÝ Ø ÑÝ ÔÐ Û Ý Ø ÑÝ ÓÔ Ö Ý Ò ¾º½ ÊÓÐ Ý Ø Ñ Û ÔÐ Û º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ê ÒÓÖÓ ÒÓ Ý Ø Ñ Û ÔÐ Û º º º º
ÊÓÞÛ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ý Ø Ñ Û ÔÐ Û ÈÓÐ Ø Ò áð ÙØÓÖ Ò ÖÞ Ö ÞÓÛ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÔÖÓ º Ö º Ò º Ò ÖÞ ÖÞÝÛ ÃÓÒ ÙÐØ ÒØ Ñ Ö Ò º È ÓØÖ Ã ÔÖÞÝ Ð ØÓÔ ¾¼¼½ ÖÓ Ù ËÔ ØÖ ½ Ð Þ Ö ÔÖ Ý ¾ ËÝ Ø ÑÝ ÔÐ Û Ý Ø ÑÝ ÓÔ Ö Ý Ò ¾º½ ÊÓÐ Ý Ø Ñ Û
ÊÇ ÆÁÃ ÄÍ ÍËÃÁ ÌÓÑ ¾ Þº ¾ ¾¼½ ÒÒ ÑÖ ÈÊ ÃÊÇ Ê ÆÁ ÅÇÆËÌÊÍÅ Ê ÆÃ ÆËÌ ÁÆ ÈÇÏÁ á Á Å Ê ÏÇÄÄËÌÇÆ Ê Ì ËÀ ÄÄ ÊÙ Þ º... ÌÓ Ý ½ ÙÒØ ÔÖÞ Û Ó Æ ØÙÖÞ Â ÒÝÑ Þ Ó Û Þ
ÊÇ ÆÁà ÄÍ ÍËÃÁ ÌÓÑ ¾ Þº ¾ ¾¼½ ÒÒ ÑÖ ÈÊ ÃÊÇ Ê ÆÁ ÅÇÆËÌÊÍÅ Ê Æà ÆËÌ ÁÆ ÈÇÏÁ á Á Å Ê ÏÇÄÄËÌÇÆ Ê Ì ËÀ ÄÄ ÊÙ Þ º... ÌÓ Ý ½ ÙÒØ ÔÖÞ Û Ó Æ ØÙÖÞ Â ÒÝÑ Þ Ó Û ÞÒÝ ÔÖ Ò Þ ÓÛ Ø ÙÛÓÐÒ Ò Ó Ý Ø ØÙ Ò ØÙÖݺ ÏÝÖ ÓÒÓ Ò Ö
ÈÐ Ò ÔÖ Þ ÒØ ½ ¾ Ò ÔÖÞÝ Þ µº ÇÔ Ó ÔÐÙ Û Ò Û ÔÐ Ó ØÓÛ ÔÖÞÝ ÓØÓÛ Ò Ó Ó ÔÐÙ Û Ò Ø Ï Ê µº Æ ÖÞ Þ Ó ÛÝ ÖÝÛ Ò ÛÝ Û Ô Ñ Û ÔÖÓ Ö Ñ Ó ÔÖÓ ÐÓÛ Ò Ó Ùº ÝÑÓÓÔ ÍÅĺ
È ÓØÖ ÙÞ Å Ð Ò Ù Ð Ñ Å Û ØÝÞ ¾¼¼ ÈÐ Ò ÔÖ Þ ÒØ ½ ¾ Ò ÔÖÞÝ Þ µº ÇÔ Ó ÔÐÙ Û Ò Û ÔÐ Ó ØÓÛ ÔÖÞÝ ÓØÓÛ Ò Ó Ó ÔÐÙ Û Ò Ø Ï Ê µº Æ ÖÞ Þ Ó ÛÝ ÖÝÛ Ò ÛÝ Û Ô Ñ Û ÔÖÓ Ö Ñ Ó ÔÖÓ ÐÓÛ Ò Ó Ùº ÝÑÓÓÔ ÍÅĺ Ã Ï Ò µº ÈÓ Ø ÛÝ
Strategie heurystyczne
ËÞØÙÞÒ ÁÒØ Ð Ò ËÝ Ø ÑÝ ÓÖ Þ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ø Ò Û Ð ÓÖÝØÑÝ ÈÖÞ ÞÙ Û Ò ÙÖÝ ØÝÞÒ ½ ÙÖÝ ØÝÞÒ ÓÖÞÝ Ø Þ Ó Ø ÓÛ ÙÖÝ ØÝÞÒ ÙÒ Ó ÒÝ ËØÖ Ø ÒÔº Þ Ù Ó ÞØ ÖÓÞÛ Þ Ò Ó Ó Ø ÒÙ Ó ÐÙµ Ø ÒÙ Strategie heurystyczne ÈÖÞ ÞÙ Û Ò Ô
ÒØÝ ÖÝ Ø ÖÝ ÖÝ Æ ØÞ
ÒØÝ ÖÝ Ø ÖÝ ÖÝ Æ ØÞ Ö Ö Ïº Æ ØÞ ÒØÝ ÖÝ Ø ÌÝغ ÓÖÝ º Ö ÒØ Ö Ø ÔÖÞ Ó Ý Ä ÓÔÓÐ ËØ ÇÔÖ ÓÛ Ò Ö ÞÒ ½ ÓÖ Ø Â ÖÓ Û È Ø ÖÞÝ ¹Ñ Ð Ô Ø ÖÛÔº Ù Ö Ö Ï Ð ÐÑ Æ ØÞ ½ ÓÑÔ Ð Ý Ä Ì ¾ε ÈÖÞ ÑÓÛ Ã Ø ÔÖÞ ÞÒ ÞÓÒ Ø Ð Ò ÑÒ Ð ÞÒÝ
ÉÙ ÕÙ ÔÖÙ ÒØ Ö Ø Ö Ô Ò Ñ ÇÛ Ù Þ ½ ½ Ó ÓÐÛ ÖÓ Þ Ö ÖÓÞØÖÓÔÒ Ô ØÖÞ Ó
ÈÓÐ Ø Ò Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ Ð ØÖÓÒ Ì Ò ÁÒ ÓÖÑ Ý ÒÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÙØÓÑ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ËØÓ ÓÛ Ò È ÓØÖ Ë ÓÛ Þ ÒÙÑ Ö Ð ÙÑÙ ½ ¾ ¼ ÈÖ ÝÔÐÓÑÓÛ Ò ÝÒ Ö ÙØÓÑ ØÝÞÒ Ð Ö Ý Ø ÑÙ ÖÓ Óع Ñ Ö ÇÔ ÙÒ ÔÖ Ý ÔÖÓ º ÒÞÛº Ö º Ò º Þ ÖÝ Ð Ï Ö
C c. In In+ Out A 1 A 2. Wzmacniacz wzmacniajacy. Bufor
ÈÓÐØÒ ÏÖ ÞÛ ÏÝÞ ÐØÖÓÒ ÌÒ ÁÒÓÖÑÝÒÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÅÖÓÐØÖÓÒ ÇÔØÓÐØÖÓÒ ÁÒ ØÖÙ Ó ÔÖÞÑÓØÙ ÈÖÓØÓÛÒ ÙÛ ÒÐÓÓÛÝ Ð Ý ØÑÛ ÎÄËÁ ÏÞÑÒÞ ÓÔÖÝÒÝ ÑÖ Ò º ÂÙ ÃÓÔ ¾ ÞÖÛ ¾¼½ ËÔ ØÖ ËÔ ÖÝ ÙÒÛ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ax = b. f(x) = c T x = c 1 x 1 + c 2 x c n x n
ÏÔÖÓÛÞÒ Ó ÔÖÓÖÑÓÛÒ ÐÒÓÛÓ Ò ÔÖÓÖÑÓÛÒ ÐÒÓÛÓ Èĵ ÒÐ Ý Ó ÞÖ Þ Ð Ý Þ¹ Ò ÓÔØÝÑÐÞ Þ ÓÖÒÞÒѺ Ï ÔÖÓÖÑÓÛÒÙ ÐÒÓÛÝÑ ÞÖÛÒÓ ÙÒ ÐÙ ÓÖÒÞÒ ÙÒÑ ÐÒÓÛÝѺ Ò Ø ÓÖÑÙ¹ ÓÛÒ Ò ØÔÙÓ ÑÒ c T x, x R n ÔÖÞÝ ÓÖÒÞÒ Ax = b x 0 Þ c R n
ÑÒ Ñ Ø Ö Ò Ð Å ÈÓ ÞÙ Û Ò Ý Ò Û Ò Ð Å Û Û ÞÝ Ø ÑÓ ÞÐ ÛÝ Ò ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò ÑÑ ÔÓÞÝØÓÒÝ ÒØÝÔÖÓØÓÒÝ ººº µ ÑÓ Þ ÑÝ Ø Þ ÞÙ ð Ò ÙØÖ Ò º º ÖÒ ÏÝ ÁÁ ½
Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÁÁ Æ ÙØÖ Ò Û ÒÓð ËÙÔ Ö Ã Ñ Ó Ò Á Ù ÑÒ Ñ Ø Ö Ò Ð Å ÈÓ ÞÙ Û Ò Ý Ò Û Ò Ð Å Û Û ÞÝ Ø ÑÓ ÞÐ ÛÝ Ò ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò ÑÑ ÔÓÞÝØÓÒÝ ÒØÝÔÖÓØÓÒÝ ººº µ ÑÓ Þ ÑÝ Ø
ÔÓÑÓÒ Þ Ó ÛÝ Ù Å Ø Ö Ý ÔÓ Ø ÛÝ Ø Ò ÔÐÒ Ì ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÔÖÓ Ö Ñ Û ÔÓÔÖ Û Ó ÞØ Ò ÓÖ Þ ÓØÛ Ö ÍÒÓÛÓÞ Ò Ò Ô ÐÒÓ Ó ÞÝ Ò ÖÙÒ Ù ÞÝ Û ÍÒ Û Ö ÝØ ÐÓÒÓ Ö Ñ ÒÓÛ ¼ º¼½º¼
ÔÓÑÓÒ Þ Ó ÛÝ Ù Å Ø Ö Ý ÔÓ Ø ÛÝ Ø Ò ÔÐÒ Ì ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÔÖÓ Ö Ñ Û ÔÓÔÖ Û Ó ÞØ Ò ÓÖ Þ ÓØÛ Ö ÍÒÓÛÓÞ Ò Ò Ô ÐÒÓ Ó ÞÝ Ò ÖÙÒ Ù ÞÝ Û ÍÒ Û Ö ÝØ ÐÓÒÓ Ö Ñ ÒÓÛ ¼ º¼½º¼½¹¼¼¹¼ ½»¼ ¹¼¼ ÈÇÃÄ ÇÔ Ö Ý ÒÝ Ã Ô Ø ÄÙ Þ ÈÖÓ Ö Ñ ÏÞÑÓÒ
Agnieszka Pr egowska
Á Ò Ø Ý Ø Ù Ø È Ó Ø Û Ó Û Ý È Ö Ó Ð Ñ Û Ì Ò È Ó Ð Ñ Æ Ù Agnieszka Pręgowska È ØÝÛÒ Ø ÖÓÛ Ò Ù Ñ Ñ Ò ÞÒÝÑ Ö ÝÑ ÖØÒ ÖÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÔÖÓÑÓØÓÖ Ö º Ò º ÌÓÑ Þ ËÞÓÐ ÔÖÓ º ÁÈÈÌ Ï Ö Þ Û ¾¼½ ËÔ ØÖ ½º Ï ØÔ ½ ¾º Ð Ø
ROCZNIK LUBUSKI Tom 30, część 2
ROCZNIK LUBUSKI LUBUSKIE TOWARZYSTWO NAUKOWE ROCZNIK LUBUSKI Tom 30, część 2 RÓŻNORODNOŚĆ KAPITAŁÓW W NOWEJ RZECZYWISTOŚCI SPOŁECZNEJ Z DOROBKU ZIELONOGÓRSKIEGO ŚRODOWISKA SOCJOLOGICZNEGO Pod redakcją
ËÈÁË ÊáÁ ËÔ ØÖ Ð ÞÖ ÔÖÝ ÇÔ ÑØÑØÝÞÒÝ ÔÖÞÔÝÛÙ ÓÔ º ÊÛÒÒ ÒÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ö Þ ØÓ ÓÛ ÖÛÒÒ ÈÒÒ º º º º º º º
ÈÇÄÁÀÆÁà áäëã Ï ÄÁÏÁÀ ÏÁ ÅÀÆÁÆ ÀÆÇÄÇÁÆ ÃØÖ ÏÝØÖÞÝÑÓ ÅØÖÛ ÅØÓ ÃÓÑÔÙØÖÓÛÝ ÅÒ ÑÖ Ò º ÅÖ Â ÅÓÐÓÛÒ ÔÖÓ Ù ÒÖÞÛÒ ØÒ ÓÐÓÞÒ ÊÓÞÔÖÛ ÓØÓÖ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÔÖÓº Ö º Ò º Û ÅÖÞ ÐÛ ËÈÁË ÊáÁ ËÔ ØÖ Ð ÞÖ ÔÖÝ ÇÔ ÑØÑØÝÞÒÝ ÔÖÞÔÝÛÙ
M(N) = Homeo(N, N)/Homeo 0 (N, N). M(S) = Homeo + (S, S)/Homeo 0 (S, S).
ÍÌÇÊ Ê Ì ½º ÈÓ Ø ÛÓÛ Ò ÓÖÑ ½º½º ÁÑ ÓÒ Ò ÞÛ Ó Â Ù ËÞ Ô ØÓÛ ½º¾º ÈÓ Ò ÝÔÐÓÑÝ ØÓÔÒ Ò Ù ÓÛ ÝÔÐÓÑ Ñ ØÖ Ñ Ø Ñ ØÝ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø ÏÝ Þ Å Ø Ñ ØÝ ÞÝ ¾¼¼¾ ØÓÔ Ó ØÓÖ Ñ Ø Ñ ØÝ Ò ÔÓ Ø Û ÖÓÞÔÖ ÛÝ Ò Ö ØÓÖÝ Ö Ð Û ÖÙÔ Ð Ó
O O X X X , +1. h f. {(x 1, dec(x 1 )),...,(x n, dec(x n Ð ))} h(x i ) = dec(x i ) Ð Ó 1 i n
ÍÞÒ Ñ ÞÝÒÓÛ ÓÒÞÒ Û ÒÞÒÒÝÑ ÖÓÓÛ Ù Ø Ý ÔÖÓØÒØ Ý ¹ Â Ø Ò ÔÓ Û ÞÛÞÝ ØÑÙ ÔÖÞÝØÒ Ó ÑØÓ ÓÒ ØÖÙ Ý ØÑÙ Ø ÓÒÖÓÒØÙ Â Ø Þ ÖÞÞÝÛ ØÓ ÞÑ Ø ÔÖÝ ÒÔ Ò Ó ÔÖÓÖÑÙ ÒØ ÑÒÞÑ ÝÞÝÒÝ ÒØ Ý ÔÓÔÖÛ Ûݹ ÅÓÝÙ ÒÓ ØÝÔÝ ÙÞÒ ÑÓ Ý ÖÓÞÛ Ò Ó
N + R C. A T A 1 A 2 I I n. [a;b] (a;b] [a;b) m,n m,n = {m,m + 1,...,n 1,n}
![N + R C. A T A 1 A 2 I I n. [a;b] (a;b] [a;b) m,n m,n = {m,m + 1,...,n 1,n}](/thumbs/94/120142288.jpg "N + R C. A T A 1 A 2 I I n. [a;b] (a;b] [a;b) m,n m,n = {m,m + 1,...,n 1,n}")
ÏÝ Þ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÈÓРӹ ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ ØÓ ÓÛ Ò Ý Ö ØÒ Ó ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ ÀÙÖÛ ØÞ ¹Ê ÓÒ Û ÓÑÔÖ Ö ÓÒ ØÖÙ ÓÒØÙÖ Û Ó Ö Þ Û ÑÓÒÓ ÖÓÑ ØÝÞÒÝ Ñ Ö Ö Ù Þ Â Þ ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ Ò Ô Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ ÔÖÓ º
Notki biograficzne Streszczenie
9 788363 103095 Notki biograficzne Wojciech Borczyk (mgr inż.), absolwent kierunku Informatyka na Politechnice Śląskiej. Napisał doktorat z zakresu syntezy fotorealistycznych obrazów z wykorzystaniem modelu
f(a) F (b)=f(b)º f(x)dx, (sinx) =cosx
½ Ò ÓÞÒ ÞÓÒ ÓÛ Ò Ó ÓÔ Ö ÔÖ ¹ Û µ Ó ÛÖÓØÒ Ó Ö Ò Þ ÓÛ Ò ½º½ ÈÓ Ø ÛÓÛ Ò º ÙÒ Ò ÞÝÛ ÑÝ ÙÒ Ô ÖÛÓØÒ ÙÒ f Ó Ö ÐÓÒ Û ÔÖÞ Þ Ð ÓØÛ ÖØÝÑ P Ó ÞÓÒÝÑ ÐÙ Ò Ó ÞÓÒÝѵ Ð F (x)=f(x) Ð Óx Pº ÈÖÞÝ Ýº ÙÒ sinx Ø ÙÒ Ô ÖÛÓØÒ ÙÒ
ROCZNIK LUBUSKI Tom 35, część 2
ROCZNIK LUBUSKI LUBUSKIE TOWARZYSTWO NAUKOWE ROCZNIK LUBUSKI Tom 35, część 2 WSPÓŁCZESNA WIZJA MIASTA W TEORII I PRAKTYCE SPOŁECZNEJ Pod redakcją Żywii Leszkowicz-Baczyńskiej Justyny Nyćkowiak Zielona
Ë Ñ Ö ÞÒ ÔÓ Þ ÓÛ Ò È ÒÙ ÈÖÓ ÓÖÓÛ ÊÝ Þ Ö ÓÛ È ÖÞÝ ÑÙ Þ Ó Þ Ò ÝÞÐ ÛÓ ÓÖ Þ Û Þ Û Ù Þ ÐÓÒ Ñ ÔÓ Þ Ô Ò ÔÖ Ý
ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ñº Ñ Å Û Þ Û ÈÓÞÒ Ò Ù ÏÝ Þ ÞÝ Å Ö ÒØ Ê ÞÓÒ Ò Û ÐÓ ÓØÓÒÓÛÝ Û Ù ØÖ ÔÓÞ ÓÑÓÛÝ ÈÖ Ó ØÓÖ Ò Ô Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ ÔÖÓ º Öº º ÊÝ Þ Ö È ÖÞÝ Ó ÈÓÞÒ ¾¼½¾ Ë Ñ Ö ÞÒ ÔÓ Þ ÓÛ Ò È ÒÙ ÈÖÓ ÓÖÓÛ ÊÝ Þ Ö ÓÛ È ÖÞÝ ÑÙ Þ
ËÔ ØÖ ½ Ò Ó Ó ÓÛ ½º½ ÁÑ Ò ÞÛ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÈÓ Ò ÝÔÐÓÑÝ ØÓÔÒ Ò Ù ÓÛ º º º º º º º º º º º º º º ½º ÁÒ ÓÖÑ Ó
ÙØÓÖ Ö Ø ÁÒÒÓÛ Ý Ò Ñ ØÓ Ý Ò Ð ÞÝ Ò Ð Ò ÓÛÝ ÓÖ Ð ÖÞÝ ÓÛÝ Û Ù Þ Ó ÓÒÝ Ö Â ÒÙ Þ Å Û Þ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø ÏÖÓ Û ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Ì ÓÖ ØÝÞÒ ÏÖÓ Û ¾¼½ ËÔ ØÖ ½ Ò Ó Ó ÓÛ ½º½ ÁÑ Ò ÞÛ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
N j=1 (η M η j ) Û Ö η 1... η N Ö
Ù ÔØ Ð ØÝ ÌÓÔÓÐÓ Ð ØÛ Ø Ñ ÖÑ ÓÒ ÖÓÑ Ù Ò Ô ØÖ Ð ÔÖÓ ØÓÖ Ý ÃÖÞÝ ÞØÓ Ë ÙØ Ò ÖÑ ÒÝ ÆÁ Ñ Å Û Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÓÞÒ ÈÓÐ Ò ÓÐÐ ÓÖ Ø ÓÒ Û Ø Ò Ö Ê ÑÓ Ð Ò Ã ÖÐ Â Ò Ò Ä ÌÌÁ ¾¼½ ½» ¾ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÌÓÔÓÐÓ Ð ÒÓØ Ö Ð Ò Ò Ø
x = x 1 e 1 +x 2 e 2 +x 3 e 3
ÏÝ ¼ ÏÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ö ÙÒ Ù Û ØÓÖÓÛ Ó À ÒÖÝ ÃÙ Ð ËÔ ØÖ ½ ÈÖÞ ØÖÞ Ù Ð ÓÛ ¹ Û ØÓÖ ÔÓ Ó Ò ½ ¾ Ì Ò ÓÖÝ ÖÞ Ù ÖÙ Ó ¾º½ Ê ÔÖ Þ ÒØ Ø Ò ÓÖ ÖÞ Ù ÖÙ Ó Û ÔÖÓ ØÓ ØÒÝÑ Ù Þ ÖØ Þ Ñ ¾º¾ ÈÖÞÝ Ý Ø Ò ÓÖ Û ÖÞ Ù ÖÙ Ó º º º º º
ÈÓ Þ ÓÛ Ò ÈÖ Ò Ö ÞÒ ÔÓ Þ ÓÛ È ÒÙ Ö º Ò ÛÓÛ ÃÓÞ Þ ÒÒ ÙÛ ÞÖÓÞÙÑ Ò ÝÞÐ ÛÓ Û ØÖ Ô Ò ÔÖ Ý È ÒÙ Ñ Ö Å ÓÛ Å ØÝ Þ Ð ÞÒ Û Þ Û ÓÑ ÒØ ÖÞ Ø ÖÝÑ Ò Ò Þ ÔÖ Þ Û Þ Þ Ø
ÍÒ Û Ö ÝØ Ø ÏÖÓ Û ÏÝ Þ ÞÝ Á ØÖÓÒÓÑ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Ì ÓÖ ØÝÞÒ Ë Ø Ò ËÞÞ Ò Ï ÒÓ Ý ÖÓ ÝÒ Ñ ÞÒ ÑÓ ÐÙ ÞÙ ÓÛ Ó ÀȹÁÁÁ ÀÝ ÖÓ ÝÒ Ñ Ó Ø ÀȹÁÁÁ Ð ØØ ÙØÓÑ Ø ÇÔ ÙÒ Ö º º ÃÓÞ ÏÖÓ Û ¾¼¼ ÈÓ Þ ÓÛ Ò ÈÖ Ò Ö ÞÒ ÔÓ Þ ÓÛ È ÒÙ
Â Ù Ä ÔÓÐÓÒÝ ÑÓ Ð ÒÙѹ ÓÖ ÓÒ ÑÓ Ð ÔÓ Ö ÛÒ ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÔÖÞÝ ÓØÓÛ Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ ÔÖÓ º À ÒÖÝ ÖÓ Þ ÃÖ Û Ñ ¾¼½¼
Â Ù Ä ÔÓÐÓÒÝ ÑÓ Ð ÒÙѹ ÓÖ ÓÒ ÑÓ Ð ÔÓ Ö ÛÒ ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÔÖÞÝ ÓØÓÛ Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ ÔÖÓ º À ÒÖÝ ÖÓ Þ ÃÖ Û Ñ ¾¼½¼ Ö ÞÓ Ö ÞÒ Þ Ù ÑÓ ÑÙ ÔÖÓÑÓØÓÖÓÛ ÔÖÓ ÓÖÓÛ À ÒÖÝ ÓÛ ÖÓ Þ ÓÛ Þ Þ Ñ ÔÓ Û ÓÒÝ Þ ÒÒ Ö Ý ÝÞÐ Û ÙÛ º Þ
arxiv: v1 [hep-th] 13 Dec 2007
![arxiv: v1 [hep-th] 13 Dec 2007](/thumbs/102/154154138.jpg "arxiv: v1 [hep-th] 13 Dec 2007")
ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ ÞÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Ì ÓÖ ØÝÞÒ Ô ÓØÖ Ù ÓÛ arxiv:0712.2173v1 [hep-th] 13 Dec 2007 Ð ¹Ý Ù ÖÝ Ø Ð Ò ØÓÔÓÐÓ Ð ØÖ Ò Ø ÓÖÝ ÖÝ ÞØ Ý Ð ¹Ý Ù Û ØÓÔÓÐÓ ÞÒ Ø ÓÖ ØÖÙÒ ÖÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ Ï Ö Þ Û ¾¼¼ º
ÃÓ Ý ÀÙ Ñ Ð ÓÖÝØÑÝ Þ Ò Ð ÓÖÝØÑÝ Þ Ò º º Ð ÓÖÝØÑ Ñ ¹Ñ Ü ÖÝ ØÝÔÙ ÛÝ Ö»ÔÖÞ Ö ÖÞ Û Æ ¹ÇÊ ÏÝ ÞÙ Û ÛÞÓÖ Û Ð ÓÖÝØÑ ÃÒÙØ ¹ÅÓÖÖ ¹ÈÖ ØØ ÈÖÞ ÞÙ Û Ö Û ÈÖÓ ÙÖÝ Ù Ó
Ï ØÔ Ó ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Å ØÓ Ý ÔÖÓ Ö ÑÓÛ ÔÓØÓ ÙÒ Ýݵ Å Ö ÃÙ ¾¼¼»¾¼½¼ ËÔ ØÖ Ï ØÔ ÈÓ Ø ÛÝ ÞÝ ÔÖÓ Ö ÑÓÛ ½ ÓÑÔÓÞÝ ÔÖÓ Ð ÑÙ Û ÖÝ ÖÓÞÛ Þ ¾ ËØÖÙ ØÙÖÝ Ý Ù ÓÛ ØÖ Þ ÔÓÑÓ Ý ÈÖÓ ÙÖÝ ÛÝ ÞÝ ÖÞ Û Ó ØÖ ÓÒ ØÖÙ ÔÖÓ Ö Ñ ØÝÞÒÝ ÅÓ
t = pn T = pi ρ dv i dt = ρf i + p , i = 1, 2, 3 µ x i ρ( v i t + v v i div v = 0 ρ v + (v )v = ρf p = 0 j = ρf i p, i = 1, 2, 3 µ
ÏÝ Ê ÛÒ Ò ÖÙ Ù ÞÝ Ò Ð Ô À ÒÖÝ ÃÙ Ð ËÔ ØÖ ½ Ê ÛÒ Ò ÙÐ Ö ÖÙ Ù ÞÝ Ò Ð Ô ½ ½º½ Ê ÛÒ Ò ÖÙ Ù ÞÝ Ò ÐÔ Û ÓÖÑ ÖÓÑ ¹Ä Ñ º º º º º º º º º ½º¾ Ê ÛÒ Ò À ÐÑ ÓÐÞ ØÖ Ò ÔÓÖØÙ Û ÖÓÛÓ Ð Ô ÝÒÙ Ò Ð Ô Ó º º º º º º ½º ÓÑÔÓÞÝ
Ø Ò Þ È ØÖ Û Þ ËÈ ÃÌÊÇËÃÇÈÁ ÊÇÌ ÂÆ Ï Ê Æ À ËÌ Ã Á ÃÇÅÈÄ ÃË Ï ÅÁ ËÌ ÃÇÏ À Ï Æ éïá ÃÇÏ Â ÏÁ ÅÇÄ ÃÍÄ ÊÆ Â ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ Ò Ô Ò Û ÁÒ ØÝØÙ ÞÝ ÈÓÐ Ñ Æ Ù ÔÓ Ö
Ø Ò Þ È ØÖ Û Þ ËÈ ÃÌÊÇËÃÇÈÁ ÊÇÌ ÂÆ Ï Ê Æ À ËÌ Ã Á ÃÇÅÈÄ ÃË Ï ÅÁ ËÌ ÃÇÏ À Ï Æ éïá ÃÇÏ Â ÏÁ ÅÇÄ ÃÍÄ ÊÆ Â ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ Ò Ô Ò Û ÁÒ ØÝØÙ ÞÝ ÈÓÐ Ñ Æ Ù ÔÓ ÖÙÒ Ñ Óº Ö º Ò Û Ã Ð Ï Ö Þ Û Ñ ¾¼¼ ÅÓ ÑÙ Ñ ÓÛ ÂÙÖ ÓÛ
ÁÆËÌ ÌÍÌ Á ÃÁ ÈÇÄËÃÁ Â Ã ÅÁÁ Æ ÍÃ ÊÍÈ Á ÃÁ ÁÇÄÇ Á Æ Â Ë ÅÇÆ ÆÁ ÏÁ Ê ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÝÒ Ñ ÞÑ Ò ÓÒ ÓÖÑ Ý ÒÝ Æ Û ÑÓ Ð ÖÙ ÓÞ ÖÒ ØÝ ÈÊÇÅÇÌÇÊ ÈÖÓ º Ö º Å Ö ÔÐ Ï ÊË Ï ¾¼¼ Ä Ø ÔÙ Ð Æ Ò Þ ÔÖ ÔÓÛ Ø Ò ÔÓ Ø Û ÛÝÒ Û
p q p= q p q p q p q p q (p q) p q ( p) ( q)
Ï ØÔ ½ ÄÓ ÖÝØÑ ØÝ Þ ÓÖ Û ½º½ ÄÓ Â Ø ØÓ Þ Ò ÞÓ ÔÓÛØ Ö Þ Þ º Ö Ò Ý ÑÓ Þ Ò Ø ÖÝÑ ÖÞ Þ Ñ ÒÓÛÝÑ º ÍÛ Þ ØÓ ÓÛÙ ÐÓ Ò Þ Ö Þ ÞÒ Þ Ò Ò Ø ÑÙ Ó ÞÝÑ Þ ÔÓÒ ÒÔº Ñ Û ÐÓ ÞÒ ÑÝ Ð Ò Û Ò ÛÝ Ò ÛÒ Ó Û ØÔº ÌÙ ÓÛÓ ÐÓ ÓÞÒ Þ ÓÖÑ