ZASTOSOWANIE ENTROPII NIEADDYTYWNYCH W OPISIE SUBDYFUZJI
|
|
- Anna Wieczorek
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 ISBN PORTAL CZM 215 ZASTOSOWANIE ENTROPII NIEADDYTYWNYCH W OPISIE SUBDYFUZJI KATARZYNA D. LEWANDOWSKA I TADEUSZ KOSZTOŁOWICZ STRESZCZENIE. Przedstawiamy zastosowanie entropii nieaddytywnych w modelowaniu subdyfuzyjnych procesów transportu. Dla nieaddytywnych entropii Sharma-Mittala Tsallisa i Gaussa wyznaczamy funkcje Greena tak aby spełniały relację przyjętą w tym artykule jako definicję subdyfuzji i porównujemy je z funkcją Greena otrzymaną dla modelu subdyfuzji opartym na formalizmie continuous time random walk. Wskazujemy na użyteczność modeli opartych na entropiach nieaddytywnych pomimo iż modele te nie mają jasnej interpretacji stochastycznej. Krótko omawiamy podobieństwa i różnice pomiędzy modelami opartymi na entropiach nieaddytywnych i modelem wyprowadzonym z formalizmu continuous time random walk oraz wskazujemy na eksperymentalne możliwości wyznaczenia wartości parametrów charakteryzujących modele oparte o entropie nieaddytywne. 1. WPROWADZENIE Subdyfuzja to proces transportu jakościowo inny niż dyfuzja normalna. W dyfuzji normalnej cząsteczki wykonują losowe przeskoki których średni czas oczekiwania na przeskok jest skończony a długości skoków są niewielkie odchylenie standardowe długości przeskoków jest skończone. Jeżeli jednak ruch cząsteczek będzie w istotny sposób ograniczony przez czynniki zewnętrzne to czas oczekiwania cząsteczki na przeskok może stać się bardzo długi do tego stopnia że wartość średnia tego czasu będzie nieskończona (przy skończonym średnim kwadracie długości przemieszczenia). Mamy wówczas do czynienia z subdyfuzją. Subdyfuzja może być zdefiniowana jako proces w którym kwadrat średniej długości przeskoku spełnia relację [29 3] (1.1) ( x) 2 (t) = D α t α gdzie α ( 1) oznacza parametr subdyfuzji D α to współczynnik subdyfuzji wyrażany w jednostkach m 2 /t α. Gdy α = 1 to mamy do czynienia z procesem dyfuzji normalnej. Subdyfuzja może występować w ośrodkach o skomplikowanej strukturze wewnętrznej takich jak ośrodki porowate żele membrany biologiczne [ ] wnętrza komórek [ ]. Pracę wykonano w ramach projektu Centrum Zastosowań Matematyki współfinansowanego ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
2 2 K.D. LEWANDOWSKA I T. KOSZTOŁOWICZ Relacja (1.1) nie jest jedyną którą przyjmuje się jako definicję subdyfuzji (por. np. [15619]). Ponadto wielu autorów uważa iż relacja ta jedynie definiuje parametry α i D α a nie proces subdyfuzji lub dyfuzji normalnej. Jednym z powodów takiego stanowiska może być sytuacja przedstawiona w artykule [1]. Wykazano w nim że istnieje niegaussowski i niemarkowowski proces transportu który spełnia relację (1.1) dla α = 1 tak jak proces dyfuzji normalnej o którym zakłada się że jest gaussowski i markowowski. Jednakże w niniejszym artykule rozważamy model w którym subdyfuzję opisujemy przez równanie z czasową pochodną ułamkową wyprowadzone z formalizmu continuous time random walk w którym rozkład długości przeskoku cząsteczki jest gaussowski. Drugi moment wyznaczony dla rozwiązania tego równania (funkcji Greena) wynosi (1.1) dla < α 1. Błądzenie losowe dla < α < 1 utożsamiamy z subdyfuzją natomiast dla α = 1 z dyfuzją normalną. W naszym artykule zakładamy że każdy model który spełnia relację (1.1) może być traktowany jako model subdyfuzji. Konsekwencją przyjętego założenia są modele które formalnie prowadzą do relacji (1.1) lecz nie mają prostej interpretacji stochastycznej. Część modeli spełniających nasze założenie traktuje subdyfuzję jako proces stochastyczny co umożliwia ich jasną i prostą interpretację. Inne jak dotąd nie mają interpretacji stochastycznej. Nie odrzucamy takich modeli; uważamy że modele które nie maja jednoznacznej interpretacji stochastycznej lub interpretacja ta nie została dotychczas znaleziona a które spełniaja relację (1.1) moga być podobnie jak modele stochastyczne użyte do opisu dyfuzji anomalnej. Uważamy także że eksperymentalna weryfikacja modelu jest najlepszym sposobem potwierdzenia poprawności samego modelu jak i jego użyteczności. Dodajmy że zgodność funkcji wyprowadzonych w ramach danego modelu teoretycznego z wynikami eksperymentalnymi jest nieodzownym kryterium ich akceptacji bądź odrzucenia. Natomiast nie istnieje eksperymentalna możliwość sprawdzenia ścisłych matematycznych założeń takich jak przestrzeń czy klasa funkcji co sprawia że w modelach fizycznych założenia te nie są uwzględniane. Najczęściej używanym modelem subdyfuzji jest model oparty na formalizmie continuous time random walk [29 3]. W ramach tego modelu otrzymuje się liniowe równanie subdyfuzji z pochodnymi rzędu ułamkowego [7293]. Jest to także model który nadaje subdyfuzji jasną i prostą interpretację stochastyczną. Ten model będzie dla nas modelem odniesienia. Innymi modelami które także opisują subdyfuzję są modele oparte na entropiach nieaddytywnych. Najogólniejszą z entropii nieaddytywnych jest entropia Sharma-Mittala inne bowiem entropie takie jak np. entropia Tsallisa lub entropia Gaussa są szczególnymi przypadkami entropii Sharma-Mittala [2]. W ramach modeli opartych na entropiach nieaddytywnych otrzymuje się nieliniowe różniczkowe (lub różniczkowo-całkowe) równania z pochodnymi rzędu naturalnego [ ]. Modele oparte na entropiach nieaddytywnych nie mają jak dotąd jasnej interpretacji stochastycznej chociaż próby znalezienia takiej interpretacji zostały podjęte (por. np. [26]). Poniżej określimy i porównamy rozkłady gęstości prawdopodobieństwa położenia cząsteczki wyprowadzone z różnych formalizmów. Porównywać będziemy funkcje Greena G(x t; x ) które są rozwiązaniami równań otrzymanymi dla warunku początkowego G(x ; x ) = δ(x x ). Funkcje Greena dla modeli opartych na entropiach nieaddytywnych otrzymamy w oparciu o uogólnione funkcje Greena przedstawione w książce Franka [14]. Mianowicie parametry występujące w funkcjach Greena zostaną dobrane tak aby wszystkie te funkcje prowadziły dokładnie do relacji (1.1).
3 ZASTOSOWANIE ENTROPII NIEADDYTYWNYCH W OPISIE SUBDYFUZJI 3 2. ENTROPIE NIEADDYTYWNE Entropię S układu w danym stanie makroskopowym definiujemy za pomocą liczby dozwolonych stanów mikroskopowych W odpowiadających temu stanowi makroskopowemu [32] (2.1) S = k B lnw gdzie k B oznacza stałą Boltzmanna. Entropia stanowi zatem logarytmiczną miarę stopnia przypadkowości (nieuporządkowania) układu. Entropia Boltzmanna-Shannona (2.1) jest entropią addytywną co oznacza że entropia układu składającego się niezależnych z podukładów jest równa sunie entropii podukładów. Dyfuzję normalną opisujemy przy pomocy entropii Boltzmanna-Shannona (2.1). W przypadku subdyfuzji możemy posłużyć się jedynie entropiami nieaddytywnymi tj. entropią Sharma-Mittala Tsallisa lub Gaussa co zostało wykazane w [11 17]. Nieaddytywność entropii dla układów niezależnych A i B wyraża następujący związek S i [A + B] = S i [A] + S i [B] + (1 q)s i [A]S i [B] gdzie q 1 a za indeks górny i podstawimy symbol konkretnej entropii nieaddytywnej tj. SM T lub G. Dla addytywnej entropii Shannona-Boltzmanna q = Entropia Sharma-Mittala. Najbardziej ogólną entropią nieaddytywną jest entropia Sharma- Mittala którą w przestrzeni fazowej Ω definiuje relacja [14] (2.2) SM S qr [P ] = 1 [ Ω P r dx] q 1 r 1 q 1 gdzie q r > i q r 1 gdzie q i r to parametry a P jest gęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząsteczki w położeniu x w chwili t. Z entropii Sharma-Mittala możemy otrzymać inne entropie nieaddytywne jak i addytywne poprzez nałożenie dodatkowych warunków na parametry q i r. Dla r = q otrzymamy nieaddytywną entropię Tsallisa. Gdy wykonamy przejście graniczne r 1 to otrzymamy nieaddytywną entropię Gaussa a wykonując przejścia graniczne q 1 + i r 1 addytywną entropię Shannona- Boltzmanna [14] Entropia Tsallisa. Entropia Tsallisa wydaje się być najczęściej wykorzystywaną z entropii nieaddytywnych w modelowaniu dyfuzji anomalnej. Entropię Tsallisa definiuje relacja [34 35] (2.3) T S q [P ] = 1 Ω P q dx q 1 gdzie q > i q Entropia Gaussa. Entropię Gaussa definiujemy następująco (2.4) G S q [P ] = 1 exp [(q 1) Ω P ln P dx] q 1 gdzie q > i q 1.
4 4 K.D. LEWANDOWSKA I T. KOSZTOŁOWICZ 3. NIELINIOWE RÓWNANIE FOKKERA-PLANCKA W przypadku entropii nieaddytywnych wyprowadzenie równania subdyfuzji jest niejednoznaczne i wymaga przyjęcia założeń. Założenia te nie zawsze mają przekonywującą motywację fizyczną najczęściej przyjmowane są a priori. W naszym przekonaniu nie dyskwalifikuje to jednak uzyskanych w ten sposób równań ponieważ mogą być użyteczne w modelowaniu konkretnych procesów zachodzących w przyrodzie. Wyprowadzenie nieliniowych równań Fokkera-Plancka może być wykonane na kilka sposobów; poniżej przedstawimy następujący. Zakładamy że prawdziwa jest następująca relacja definiująca strumień subdyfuzyjny (3.1) J = QM(P ) δs x δp gdzie parametr Q jest miarą fluktuacji (parametr ten w praktyce zawiera wszystkie parametry niezależne od P ) M(P ) jest funkcją P (postać funkcji P zakładamy w zależności od rozpatrywanego przypadku) a δs/δp oznacza pochodną funkcjonalną 1 entropii względem prawdopodobieństwa P. Po podstawieniu strumienia (3.1) do równania ciągłości J(x t) P (x t) (3.2) = x t które wyraża prawo zachowania liczby cząstek otrzymane zostaje nieliniowe równanie Fokkera- Plancka (przyjmujemy tutaj M(P ) = P ) P (x t) (3.3) = Q t x P δs x δp. Po wykonaniu obliczeń otrzymamy dla każdej z rozważanych entropii równanie o ogólnej postaci P (x t) = 2 P q (x t) t x 2 dla rozwiązania którego posłużymy się następującym twierdzeniem. Twierdzenie 3.1. Rozwiazanie równania P (x t) (3.4) = 2 P q (x t) t x 2 dla warunku poczatkowego P (x ) = δ(x) ma następujac a postać [4] (3.5) P q (x t) = 1 ({ k(q 1) x 2 } ) 1 q 1 1 t k 2qN t 2k/N gdzie k = (q 1 + 2/N) 1 N oznacza wymiar przestrzeni oraz { u u {u} + = u <. Rozwiązanie postaci (3.5) nosi nazwę rozwiązania Barenblatta. W pierwszej kolejności przedstawimy równanie otrzymane na bazie entropii Sharma-Mittala. Równania wyprowadzone dla entropii Tsallisa i Gaussa są szczególnymi przypadkami równania 1 Pochodną funkcjonalną funkcjonału F [f(x)] = g (f(x) x) dx definiujemy δf/δf = g (f(x) x) / f. +
5 ZASTOSOWANIE ENTROPII NIEADDYTYWNYCH W OPISIE SUBDYFUZJI 5 otrzymanego dla entropii Sharma-Mittala. Przedstawimy także funkcje Greena dla tych równań które mogą być również otrzymane z równania (3.5) Entropia Sharma-Mittala. Dla entropii Sharma-Mittala (2.2) równanie (3.3) przyjmuje postać [ ] [ ] q r P t = Q SM P r r 1 2 P r dx. Ω x 2 Funkcja Greena dla tego równania jest następująca [{ (3.6) G SM (x t; x ) = D SM (t) 1 C } ] 1 SM(t) (r 1)(x x ) 2 r gdzie r > 1/3 r q 1 q > (3.7) D SM (t) = [ 1 2r(1 + q)q SM K rq z r 2 t ( ) q r 3r 1 1 r (3.8) K rq = r 1 2r ( e) 1 q r = 1 π ] 1 1+q Γ(r/(r 1)) r 1 Γ((3r 1)/(2(r 1))) r > 1 (3.9) z r = π r = 1 π Γ((1+r)/2(1 r)) 1/3 < r < 1. 1 r Γ(1/(1 r)) gdzie Γ(x) = τ x 1 e τ dτ to funkcja gamma Eulera oraz (3.1) C SM (t) = 2 [z r D SM (t)] 2. Drugi moment funkcji Greena (3.6) wynosi (3.11) ( x) 2 (t) t 1 1+q. SM 3.2. Entropia Tsallisa. Dla entropii Tsllisa (2.3) równanie (3.3) przyjmuje postać P (3.12) t = Q 2 P q T. x 2 Funkcja Greena dla tego równania ma następującą postać [{ (3.13) G T (x t; x ) = D T (t) gdzie q > 1/3 q 1 (3.14) D T (t) = [ 1 C } T (t) (q 1)(x x ) q(1 + q)q T z q 2 t (3.15) C T (t) = 2 [z q D T (t)] 2 ] 1 1+q ] 1 q 1
6 6 K.D. LEWANDOWSKA I T. KOSZTOŁOWICZ oraz z q jest dane przez (3.9). Drugi moment funkcji Greena (3.13) wynosi (3.16) ( x) 2 (t) = 2 1 T 3q 1 C T (t) Entropia Gaussa. Dla entropii Gaussa (2.4) równanie (3.3) przyjmuje postać [ ] P 2 t = Q P G exp x(q 1) P ln P dx Ω x. 2 Funkcja Greena dla tego równania ma następującą postać ( (3.17) G G (x t; x ) = D G (t)exp C ) G(t) (x x ) 2 2 gdzie ( ) q 1 e (3.18) D G (t) = 2π(1 + q)q G t oraz (3.19) C G (t) = 2π [D G (t)] 2. Drugi moment funkcji Greena (3.17) wynosi (3.2) ( x) 2 (t) = 1 G C G (t) Funkcje Greena (3.6) (3.13) i (3.17) zależą od parametru q który może być interpretowany jako miara nieaddytywności entropii i parametru Q i który jest miarą fluktuacji. Funkcja Greena dla entropii Sharma-Mittala (3.6) zależy także od parametru r. Funkcje Greena dla entropii Tsallisa (3.13) i Gaussa (3.17) są szczególnymi przypadkami funkcji Greena dla entropii Sharma-Mittala (3.6). Aby otrzymać funkcję Greena dla entropii Tsallisa należy przyjąć w (3.6) q = r zaś aby otrzymać funkcję Greena dla entropii Gaussa należy policzyć w (3.6) granicę r 1. Jednakże ponieważ te trzy entropie i odpowiadające im funkcje Greena są zazwyczaj rozpatrywane oddzielnie my także tak postąpimy. 1 1+q 4. MODELE SUBDYFUZJI Wszystkie modele opisują ten sam proces więc funkcje Greena otrzymane z wykorzystaniem poszczególnych entropii powinny spełniać relację (1.1) którą przyjęliśmy jako definicję subdyfuzji [25]. Ponadto wszystkie funkcje Greena powinny zależeć od parametrów subdyfuzji α i D α ponieważ parametry subdyfuzji α i D α mogą być mierzalne eksperymentalnie w ramach każdego z modeli przy pomocy na przykład czasowej ewolucji warstwy przymembranowej w ramach modelu ułamkowego [ ]. Relacja (1.1) będzie spełniona przez funkcje Greena G i (x t; x ) otrzymane w ramach powyższych modeli gdy [25] (4.1) q = 2 α 1
7 oraz ZASTOSOWANIE ENTROPII NIEADDYTYWNYCH W OPISIE SUBDYFUZJI 7 (4.2) Q SM = α [D α(3r 1)] 1/α 4rK r2/α 1 z r 2(1 1/α) gdzie oznacza wartość bezwzględną (4.3) Q T = α2 [D α (6/α 4)] 1/α 4(2 α) z 2/α 1 2(1 1/α) (4.4) Q G = αd 1/α α 2 ( 2πe ) 2(1 1/α) współczynniki K rq i z r są zdefiniowane przez relacje (3.8) i (3.9). W funkcjach Greena (3.6) (3.13) i (3.17) parametry q i Q i zostaną wyeliminowane z wykorzystaniem równań (4.1) (4.4) Model Sharma-Mittala. Funkcja Greena dla jednorodnego nieograniczonego układu wyprowadzona w ramach modelu Sharma-Mittala jest następująca [25] (4.5) G SM (x t; x ) = [{ 1 1 (r 1)(x x ) 2 } D α (3r 1)t α z r D α (3r 1)t α + ] 1 r 1 gdzie r > 1/3 i r 1. Funkcja ta ma różne własności w zależności od wartości parametru r. Mianowicie dla r > 1 funkcja (4.5) ma ograniczony nośnik (patrz Rys. 1) co oznacza że prawdopodobieństwo znalezienia cząsteczki przyjmuje wartości niezerowe jedynie w pewnym przedziale którego granice rozszerzają się. Natomiast dla 1/3 < r < 1 funkcja Greena (4.5) ma nośnik nieograniczony co oznacza że prawdopodobieństwo znalezienia cząsteczki przyjmuje wartości niezerowe w ( ). Wykresy funkcji Greena dla tego przypadku są przedstawione na Rys Model Tsallisa. Funkcja Greena dla jednorodnego nieograniczonego układu wyprowadzona w ramach modelu Tsallisa przyjmuje postać [25] α (4.6) G T (x t; x ) = [{1 (1 α)(x x ) 2 } ] α 2(α 1) 2D α (3 2α)t α z 2/α 1 2(3 2α)D α t α gdzie z 2/α 1 = αγ [α/2(1 α)] πα Γ [1/2(1 α)] 2(1 α). Rysunek 3 przedstawia przykładowe funkcje Greena (4.6) wyznaczone dla różnych wartości parametru subdyfuzji α. Jak już wspominaliśmy entropia Tsallisa jest szczególnym przypadkiem entropii Sharma-Mittala. Funkcję Greena dla modelu Tsallisa otrzymamy z funkcji (4.5) dla (4.7) r = 2 α 1. Zauważmy że model Tsallisa dla subdyfuzji odpowiada przypadkowi r > 1 w modelu Sharma- Mittala. +
8 8 K.D. LEWANDOWSKA I T. KOSZTOŁOWICZ G(xt;x ) x RYSUNEK 1. Funkcja Greena dla modelu Sharma-Mittala dla przypadku r > 1 (ograniczony nośnik). Funkcje zostały wyznaczone dla α =.4 D α = 2.5 t = 1 x = i różnych wartości parametru r wymienionych w legendzie rysunku G(xt;x ) x RYSUNEK 2. Funkcja Greena dla modelu Sharma-Mittala dla przypadku 1/3 < r < 1. Funkcje zostały wyznaczone dla α =.4 D α = 2.5 t = 1 x = i różnych wartości parametru r wymienionych w legendzie rysunku.
9 ZASTOSOWANIE ENTROPII NIEADDYTYWNYCH W OPISIE SUBDYFUZJI G(xt;x ) x RYSUNEK 3. Funkcja Greena dla modelu Tsallisa. Funkcje zostały wyznaczone dla D α = 2.5 t = 1 x = i różnych wartości parametru subdyfuzji α wymienionych w legendzie rysunku Model Gaussa. Funkcja Greena dla jednorodnego nieograniczonego układu dla modelu Gaussa może być otrzymana z równania (4.5) w granicy r 1 [25] ( 1 (4.8) G G (x t; x ) = 2πDα t exp (x x ) 2 ). α 2D α t α Przykładowe wykresy tej funkcji znajdują się na rysunku Model ułamkowy. Subdyfuzję w ramach modelu ułamkowego opisuje się przy pomocy równania różniczkowego z ułamkową pochodną czasową Riemanna-Liouville a [ ] (4.9) gdzie P (x t) t = D α 1 α t 1 α 2 P (x t) x 2 (4.1) Dα = Γ(1 + α)d α. 2 Pochodna Riemanna-Liouville a d α f(t)/dt α definiujemy dla α > (4.11) α f(t) t α = n 1 Γ(n α) t n t dτ f(τ) (t τ) 1+α n gdzie n 1 α < n. Funkcja Greena dla równania (4.9) jest następująca (indeks dolny F oznacza model ułamkowy) (4.12) G F (x t; x ) = 1 f α/2 1α/2 t; x x 2 Dα Dα
10 1 K.D. LEWANDOWSKA I T. KOSZTOŁOWICZ G(xt;x ) x RYSUNEK 4. Funkcja Greena dla modelu Gaussa. Funkcje zostały wyznaczone dla D α = 2.5 t = 1 x = i różnych wartości parametru subdyfuzji α wymienionych w legendzie rysunku. gdzie (4.13) f νβ (t; a) = 1 t 1+ν k= ( 1 a ) k Γ( kβ ν)k! t β β a > funkcja f może być także przedstawiona przy pomocy funkcji Foxa [21]. Przykładowe wykresy funkcji Greena dla modelu ułamkowego zaprezentowane są na Rys PORÓWNANIE FUNKCJI GREENA OTRZYMANYCH W RAMACH RÓŻNYCH MODELI Wykresy na rysunku 6 przedstawiają funkcje Greena dla modeli Sharma-Mittala i ułamkowego. Pewne podobieństwo funkcji Greena dla obydwu modeli oraz fakt że spełniają one równanie (1.1) nie oznacza że są sobie równoważne bowiem dla ustalonego t i x ± G SM (x t; x ) (1/ x ) 2/(1 r) podczas gdy G F (x t; x ) x exp( a x 1/(1 α/2) ) (a jest dodatnią stałą) ma charakter wykładniczy i zależy od α. Rysunek 7 przedstawia porównanie funkcji Greena dla modeli rozważanych w tym artykule. Funkcje Greena dla modeli Sharma-Mittala i ułamkowego są podobne dla pewnych wartości parametru r natomiast funkcje Greena dla modeli Tsallisa i Gaussa znacznie odbiegają od dwóch pierwszych co możemy wytłumaczyć faktem że model Tsallisa funkcjonuje dla r > 1 [39] a model Gaussa gdy r 1.
11 ZASTOSOWANIE ENTROPII NIEADDYTYWNYCH W OPISIE SUBDYFUZJI G(xt;x ) x RYSUNEK 5. Funkcje Greena dla modelu ułamkowego. Funkcje zostały wyznaczone dla α =.4 t = 1 x = i różnych wartości współczynnika subdyfuzji D α wymienionych w legendzie rysunku G(xt;x ) x RYSUNEK 6. Porównanie funkcji Greena dla modeli Sharma-Mittala (linia ciągła) i ułamkowego (linia przerywana). Funkcje zostały wyznaczone dla α =.4 D α = 2.5 r =.46 x = i różnych wartości t wymienionych w legendzie rysunku.
12 12 K.D. LEWANDOWSKA I T. KOSZTOŁOWICZ 25 2 model Sharma-Mittala model ulamkowy model Gaussa model Tsallisa 15 G(xt;x ) x RYSUNEK 7. Porównanie funkcji Greena dla modeli Sharma-Mittala (linia ciągła) ułamkowego (linia przerywana) Gaussa (linia kropkowana) i Tsallisa (linia ciągła z symbolami). Funkcje zostały wyznaczone dla α =.4 D α = 2.5 r =.46 t = 1 i x =. 6. UWAGI KOŃCOWE W artykule porównane zostały rozkłady gęstości prawdopodobieństwa subdyfuzyjnej cząsteczki w funkcji położenia i czasu (czyli funkcje Greena) wyznaczone jako rozwiązania równań nieliniowych rzędu całkowitego i liniowych z pochodnymi rzędu ułamkowego. Równania te zostały otrzymane z różnych formalizmów: z formalizmu opartego na entropiach nieaddytywnych oraz z formalizmu continuous time random walk mającego stochastyczny charakter. Parametry występujące w poszczególnych równaniach nieliniowych zostały dobrane tak aby wszystkie funkcje Greena wyznaczone z tych równań prowadziły do relacji (1.1). Pomimo tej wspólnej cechy nadal występują jakościowe różnice we własnościach tych równań i ich rozwiązań przejawiające się np. w tym że funkcje Greena nieliniowego równania wyprowadzonego w oparciu o entropię Sharma- Mittala w pewnych przypadkach są rozwiązaniami o ograniczonym nośniku w przeciwieństwie do funkcji Greena wyprowadzonych z ułamkowego równania subdyfuzji. Modele subdyfuzji uzyskane z formalizmu continuous time random walk i z wykorzystaniem entropii nieaddytywnych nie są sobie nierównoważne. Przyczyna tego wydaje się być następująca. Modelując subdyfuzję uogólniamy odpowiedni model dyfuzji normalnej czyniąc pewne specjalne założenia. W przypadku formalizmu continuous time random walk założeniem tym jest że zmieniamy rozkład czasu oczekiwania cząsteczki na przeskok tak aby średni czas oczekiwania na przeskok był nieskończony (od strony technicznej odpowiednio zmieniamy transformatę Laplace a tego rozkładu). Rezultatem tego założenia jest otrzymanie liniowego równania subdyfuzji z czasową pochodną rzędu ułamkowego. W ramach formalizmu wykorzystującego entropię do
13 ZASTOSOWANIE ENTROPII NIEADDYTYWNYCH W OPISIE SUBDYFUZJI 13 opisu subdyfuzji musi zostać użyta entropia nieaddytywna. Przez maksymalizację entropii nieaddytywnej przy użyciu metody mnożników Lagrange a z ograniczeniami nałożonymi na tzw. q-momenty (w przypadku dyfuzji normalnej ograniczenia dotyczą zwykłych momentów) można otrzymać funkcje Greena dla subdyfuzji (patrz np. [41]). Uzyskane w ten sposób funkcje są także rozwiązaniami nieliniowego równania cząstkowego z pochodnymi rzędu naturalnego. Równania nieliniowe otrzymywane są również przez wyrażenie strumienia jako pochodnej funkcjonalnej entropii nieaddytywnej względem prawdopodobieństwa oraz zastosowanie równania ciągłości [25]. Okazuje się że założenia przyjęte w obu modelach nie są porównywalne. Zwróćmy uwagę na to że w niektórych przypadkach funkcje Greena dla formalizmu opartego na entropiach nieaddytywnych mają nośnik ograniczony; nie są wówczas rozkładami nieskończenie podzielnymi. Nie można zatem transportu cząsteczki przedstawić wówczas jako sumy pojedynczych przeskoków. Uzasadnia to pogląd że złożenia mają inny charakter i trudno je ze sobą porównywać. Istnieją procesy dla których znalezienie odpowiedniego stochastycznego równania subdyfuzji sprawia pewne trudności czego przykładem jest proces anomalnego błądzenia losowego w układzie w którym jego granice zmieniają swe położenie. Proces taki opisuje np. losowe poszukiwanie pokarmu przez zwierzęta na ograniczonym terenie [3 27]. W takiej sytuacji uzasadnione wydaje się być zastosowanie równań wyprowadzonych w oparciu o entropie nieaddytywne które dają funkcje Greena o ograniczonym nośniku. Można powiedzieć że w tym przypadku ograniczony nośnik jest zaletą rozkładu. Parametry q i Q i mogą być wyznaczone z równań (4.1) (4.2) (4.3) i (4.4). Parametry α i D α są zdefiniowane przez relację (1.1) ale relacja ta nie daje możliwości wyznaczenia ich wartości na podstawie eksperymentów. W tej sytuacji potrzebne są inne funkcje które mogą być mierzalne eksperymentalnie. Jedną z takich funkcji jest czasowa ewolucja ilości substancji M(t; x M ) uwolnionej z układu w którym cienka membrana umieszczona w punkcie x M oddziela jednorodny roztwór zajmujący obszar ( x M ) od rozpuszczalnika; membrana jest wówczas traktowana jak całkowicie absorbująca ściana lub czasowa ewolucja strumienia J(t; x M ) przepływającego przez tę membranę z których można wyznaczyć parametry subdyfuzji. Innymi metodami wyznaczenia parametrów subdyfuzji i następnie wartości parametrów q i Q i jest czasowa ewolucja warstwy przymembranowej [22 23] lub czasowa ewolucja frontu reakcji w układzie w którym występują reakcje chemiczne [24]. LITERATURA [1] K.H. Andersen P. Castiglione A. Mazzino A. Vulpiani Simple stochastic models showing strong anomalous diffusion Eur. Phys. J. B doi:1.17/s [2] C. Beck Generalised information and entropy measures in physics Contemporary Phys doi:1.18/ [3] O. Bénichou M. Coppey P.H. Suet R. Voituriez Optimal search strategies for hidden targets Phys. Rev. Lett doi:1.113/physrevlett [4] L. Borland F. Pennini A. Plastino A. Plastino The nonlinear Fokker Planck equation with statedependent diffusion a nonextensive maximum entropy approach Eur. Phys. J. B doi:1.17/s [5] A. Bouchaud J. Georges Anomalous diffusion in disordered media: Statistical mechanisms models and physical applications Phys. Rep doi:1.116/ (9)999-n [6] A.V. Chechkin R. Gorenflo I.M. Sokolov Retarding subdiffusion and accelerating superdiffusion governed by distributed-order fractional diffusion equation Phys. Rev. E doi:1.113/physreve
14 14 K.D. LEWANDOWSKA I T. KOSZTOŁOWICZ [7] A. Compte Stochastic foundations of fractional dynamics Phys. Rev. E doi:1.113/physreve [8] A. Compte D. Jou Non-equilibrium thermodynamics and anomalous diffusion J. Phys. A: Math. Gen doi:.188/35-447/29/15/7 [9] G. Drazer H. Wio C. Tsallis Exact time-dependent solutions for anomalous diffusion with absorption Granular Matter doi:1.17/pl1883 [1] B. Dybiec E. Gudowska Nowak Subordinated diffusion and continuous time random walk asymptotics Chaos doi:1.163/ [11] T.D. Frank A Langevin approach for the microscopic dynamics of nonlinear Fokker-Planck equations Physica A doi:1.116/s (1)345-4 [12] T.D. Frank Generalized Fokker Planck equations derived from generalized linear nonequilibrium thermodynamics Physica A doi:1.116/s (2)821-x [13] T.D. Frank Stochastic feedback nonlinear families of Markov processes and nonlinear Fokker-Planck equations Physica A doi:1.116/j.physa [14] T.D. Frank Nonlinear Fokker Planck Equations. Fundamental and Applications Springer 25. [15] T.D. Frank Nonextensive cutoff distributions of postural sway for the old and the young Physica A doi:1.116/j.physa [16] T.D. Frank A. Daffertshofer Exact time-dependent solutions of the Rényi Fokker-Planck equation and the Fokker-Planck equations related to the entropies proposed by Sharma and Mittal Physica A doi:1.116/s ()178-3 [17] T.D. Frank R. Friedrich Estimating the nonextensivity of systems from experimental data: a nonlinear diffusion equation approach Physica A doi:1.116/j.physa [18] G. Guigas M. Weiss Sampling the Cell with Anomalous DiffusionÙThe Discovery of Slowness Biophys. J doi:.1529/biophysj [19] A. Kamińska T. Srokowski Stochastic equation for a jumping with long-time correlation time Phys. Rev. E doi:1.113/physreve [2] A. Klemm R. Metzler R. Kimmich Diffusion on random-site percolation clusters: theory and NMR microscpoy experiments with model objects Phys. Rev. E doi:1.113/physreve [21] T. Kosztołowicz From the solutions of diffusion equation to the solutions of subdiffusive one J. Phys. A doi:1.188/35-447/37/45/5 [22] T. Kosztołowicz K. Dworecki S. Mrówczyński Measuring subdiffusion parameters Phys. Rev. E doi:1.113/physreve [23] T. Kosztołowicz K. Dworecki S. Mrówczyński How to measure subdiffusion parameters Phys. Rev. Lett doi:1.113/physrevlett [24] T. Kosztołowicz K.D. Lewandowska Time evolution of the reaction front in a subdiffusive system Phys. Rev. E doi:1.113/physreve [25] T. Kosztołowicz K.D. Lewandowska First passage time for subdiffusion: Nonextensive entropy approach versus fractional model Phys. Rev. E doi:1.113/physreve [26] T. Kosztołowicz K.D. Lewandowska The nonextensive entropy approach versus the stochastic in describing subdiffusion Acta Phys. Pol. B doi:1.556/aphyspolb [27] L.D. Kramer R.L. McLaughlin The Behavioral Ecology of Intermittent Locomotion No Access Amer. Zool doi:1.1668/3-1569(21)41[137:tbeoil]2..co;2 [28] K. Luby Phelps The physical chemistry of cytoplasm and its influence on cell function: an update Mol. Biol. Cell doi:1.191/mbc.e [29] R. Metzler J. Klafter The random walk s guide to anomalous diffusion: A fractional dynamics approach Phys. Rep doi:1.116/s ()7-3 [3] R. Metzler J. Klafter The restaurant at the end of the random walk: recent developments in the description of anomalous transport by fractional dynamics J. Phys. A 37 R161 R doi:1.188/35-447/37/31/r1 [31] A. Plastino A. Plastino Non-extensive statistical mechanics and generalized Fokker-Planck equation Physica A doi:1.116/ (95)211-1 [32] F. Reif Fizyka statystyczna PWN Warszawa 1973.
15 ZASTOSOWANIE ENTROPII NIEADDYTYWNYCH W OPISIE SUBDYFUZJI 15 [33] A. Scarfone T. Wada Lie symmetries and related group-invariant solutions of a nonlinear Fokker-Planck equation based on the Sharma-Taneja-Mittal entropy Braz. J. Phys doi:1.159/s [34] C. Tsallis Nonextensive statistics: theoretical. Experimental and computational evidences and connections Braz. J. Phys doi:1.159/s [35] C. Tsallis Introduction to Nonextensive Statistical Mechanics Springer 29. [36] C. Tsallis D. Bukman Anomalous diffusion in the presence of external forces: exact time-dependent solutions and their rhermostatical basis Phys. Rev. E 54 R2197 R doi:1.113/physreve.54.r2197 [37] A. Wehrl General properties of entropy Rev. Mod. Phys doi:1.113/revmodphys [38] M. Weiss T. Nilsson In a mirror dimly: tracing the movements of molecules in living cells Trends Cell Biol doi:1.116/j.tcb [39] G. Wilk Z. Włodarczyk Interpretation of the Nonextensivity Parameter q in Some Applications of Tsallis Statistics and Lévy Distributions Phys. Rev. Lett doi:1.113/physrevlett [4] Z. Wu J. Zhao J. Yim H. Li Nonlinear diffusion equations World Scientific 21. [41] D.H. Zanette Statistical thermodynamical foundations of anomalous diffusion Braz. J. Phys doi:1.159/s KATARZYNA D. LEWANDOWSKA ZAKŁAD INFORMATYKI RADIOLOGICZNEJ I STATYSTYKI GDAŃSKI UNIWERSYTET MEDYCZNY UL. TUWIMA GDAŃSK Adres kale@gumed.edu.pl TADEUSZ KOSZTOŁOWICZ INSTYTUT FIZYKI UNIWERSYTET JANA KOCHANOWSKIEGO W KIELCACH UL. ŚWIETOKRZYSKA KIELCE Adres tadeusz.kosztolowicz@ujk.edu.pl
Subdyfuzja w układach membranowych
Subdyfuzja w układach membranowych Tadeusz Kosztołowicz Institute of Physics, Jan Kochanowski University, ul. Świȩtokrzyska 15, 25-406 Kielce, Poland, tadeusz.kosztolowicz@ujk.edu.pl Między teorią a zastosowaniami
Superdyfuzja. Maria Knorps. Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki stosowanej, Politechnika Gdańska
VI Matematyczne Warsztaty KaeNeMów p. 1/2 Superdyfuzja Maria Knorps maria.knorps@gmail.com Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki stosowanej, Politechnika Gdańska VI Matematyczne Warsztaty KaeNeMów p.
ZASTOSOWANIE MODELU BŁADZENIA LOSOWEGO CZASTECZKI DO OPISU PROCESÓW SUBDYFUZJI REAKCJI
ISBN 978-83-942947--7 PORTAL CZM 25 ZASTOSOWANIE MODELU BŁADZENIA LOSOWEGO CZASTECZKI DO OPISU PROCESÓW SUBDYFUZJI REAKCJI TADEUSZ KOSZTOŁOWICZ STRESZCZENIE. W niniejszej pracy zostanie zaprezentowany
HIPERBOLICZNE RÓWNANIE DYFUZJI
ISBN 978-83-94947--4 PORTAL CZM 15 HIPERBOLICZNE RÓWNANIE DYFUZJI TADEUSZ KOSZTOŁOWICZ STRESZCZENIE Paraboliczne równanie dyfuzji normalnej ma niefizyczną własność, a mianowicie jego rozwiązanie fundamentalne
Wykład 2. Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova)
Wykład 2 Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova) 1. Procesy Markova: definicja 2. Równanie Chapmana-Kołmogorowa-Smoluchowskiego 3. Przykład dyfuzji w kapilarze
STOCHASTYCZNY MODEL BEZPIECZEŃSTWA OBIEKTU W PROCESIE EKSPLOATACJI
1-2011 PROBLEMY EKSPLOATACJI 89 Franciszek GRABSKI Akademia Marynarki Wojennej, Gdynia STOCHASTYCZNY MODEL BEZPIECZEŃSTWA OBIEKTU W PROCESIE EKSPLOATACJI Słowa kluczowe Bezpieczeństwo, procesy semimarkowskie,
CZY SUBDYFUZJA WARUNKUJE ROZWÓJ PRÓCHNICY SZKLIWA? DOES SUBDIFFUSION OCCUR IN PROGRESS OF CARIOUS LESION IN ENAMEL?
Ann. Acad. Med. Gedan., 2005, 35, 133 138 KATARZYNA D. LEWANDOWSKA CZY SUBDYFUZJA WARUNKUJE ROZWÓJ PRÓCHNICY SZKLIWA? DOES SUBDIFFUSION OCCUR IN PROGRESS OF CARIOUS LESION IN ENAMEL? Katedra i Zakład Fizyki
Fizyka statystyczna, elementy termodynamiki nierównowagowej Cele, zakres zagadnień
Fizyka statystyczna, elementy termodynamiki nierównowagowej Cele, zakres zagadnień Narzędzia przypomnienie podstawowych definicji i twierdzeń z rachunku prawdopodobienstwa; podstawowe rozkłady statystyczne
Jak dyfuzja anomalna stała się normalna
FOTON 19, Lato 015 13 Jak dyfuzja anomalna stała się normalna Bartłomiej Dybiec Instytut Fizyki UJ Dyfuzja jest procesem samoistnego przemieszczania się cząsteczek na skutek zderzeń z innymi cząsteczkami.
Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
WSKAZÓWKI DO WYKONANIA SPRAWOZDANIA Z WYRÓWNAWCZYCH ZAJĘĆ LABORATORYJNYCH
WSKAZÓWKI DO WYKONANIA SPRAWOZDANIA Z WYRÓWNAWCZYCH ZAJĘĆ LABORATORYJNYCH Dobrze przygotowane sprawozdanie powinno zawierać następujące elementy: 1. Krótki wstęp - maksymalnie pół strony. W krótki i zwięzły
Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju
Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji -go i 2-go rodzaju Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
- prędkość masy wynikająca z innych procesów, np. adwekcji, naprężeń itd.
4. Równania dyfuzji 4.1. Prawo zachowania masy cd. Równanie dyfuzji jest prostą konsekwencją prawa zachowania masy, a właściwie to jest to prawo zachowania masy zapisane dla procesu dyfuzji i uwzględniające
Równanie przewodnictwa cieplnego (II)
Wykład 5 Równanie przewodnictwa cieplnego (II) 5.1 Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego 5.1.1 Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego Poszukujemy rozwiązania równania przewodnictwa spełniającego
TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNA
TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNA Lech Longa pok. D.2.49, II piętro, sektor D Zakład Fizyki Statystycznej e-mail: lech.longa@uj.edu.pl Dyżury: poniedziałki 13-14 można się umówić wysyłając e-maila 1
Weryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Modelowanie stochastyczne Stochastic Modeling. Poziom przedmiotu: II stopnia. Liczba godzin/tydzień: 2W E, 2C
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Matematyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla specjalności matematyka przemysłowa Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Modelowanie stochastyczne Stochastic Modeling Poziom przedmiotu:
HISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N =
HISTOGRAM W pewnych przypadkach interesuje nas nie tylko określenie prawdziwej wartości mierzonej wielkości, ale także zbadanie całego rozkład prawdopodobieństwa wyników pomiarów. W takim przypadku wyniki
166 Wstęp do statystyki matematycznej
166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej
Wykład 8 i 9. Hipoteza ergodyczna, rozkład mikrokanoniczny, wzór Boltzmanna
Wykład 8 i 9 Hipoteza ergodyczna, rozkład mikrokanoniczny, wzór Boltzmanna dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW)
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Dyskretne procesy stacjonarne o nieskończonej entropii nadwyżkowej
Dyskretne procesy stacjonarne o nieskończonej entropii nadwyżkowej Łukasz Dębowski ldebowsk@ipipan.waw.pl i Instytut Podstaw Informatyki PAN Co to jest entropia nadwyżkowa? Niech (X i ) i Z będzie procesem
TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNA
TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNA Lech Longa pok. D.2.49, II piętro, sektor D Zakład Fizyki Statystycznej e-mail: lech.longa@uj.edu.pl Dyżury: poniedziałki 14-15.50 można się umówić wysyłając e-maila
Rozdział 2: Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów
Rozdział : Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów W tym rozdziale omówione zostaną dwie najpopularniejsze metody estymacji parametrów w ekonometrycznych modelach nieliniowych,
Twierdzenia graniczne fluktuacji procesów przebywania dla układów gałazkowych
Publiczna obrona rozprawy doktorskiej Twierdzenia graniczne fluktuacji procesów przebywania dla układów gałazkowych Piotr Miłoś Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk 23.10.2008 Warszawa Plan 1 Układy
Model Pasywnego Trasera w Lokalnie Ergodycznym Środowisku
w Lokalnie Ergodycznym Środowisku Tymoteusz Chojecki UMCS, Lublin Tomasz Komorowski IMPAN, Warszawa Kościelisko, 10 września 2016, XLV Konferencja Zastosowań Matematyki T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie
TRANSPORT NIEELEKTROLITÓW PRZEZ BŁONY WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA PRZEPUSZCZALNOŚCI
Ćwiczenie nr 7 TRANSPORT NIEELEKTROLITÓW PRZEZ BŁONY WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA PRZEPUSZCZALNOŚCI Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z podstawami teorii procesów transportu nieelektrolitów przez błony.
Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16
Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego
Definicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Proces rezerwy w czasie dyskretnym z losową stopą procentową i losową składką
z losową stopą procentową i losową składką Instytut Matematyki i Informatyki Politechniki Wrocławskiej 10 czerwca 2008 Oznaczenia Wprowadzenie ξ n liczba wypłat w (n 1, n], Oznaczenia Wprowadzenie ξ n
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby
ZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO
ZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO Na egzaminie magisterskim student powinien: 1) omówić wyniki zawarte w pracy magisterskiej posługując się swobodnie pojęciami i twierdzeniami zamieszczonymi w pracy
5. Analiza dyskryminacyjna: FLD, LDA, QDA
Algorytmy rozpoznawania obrazów 5. Analiza dyskryminacyjna: FLD, LDA, QDA dr inż. Urszula Libal Politechnika Wrocławska 2015 1 1. Liniowe funkcje dyskryminacyjne Liniowe funkcje dyskryminacyjne mają ogólną
Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y)
Wykład 6 Funkcje harmoniczne Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. e f i n i c j a Funkcję u (x 1, x 2,..., x n ) nazywamy harmoniczną w obszarze R n wtedy i
Pochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8
Pochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu sem. zimowy, r. akad. 2016/2017 Funkcja logistyczna 40 Rozważmy
Statystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
O procesie Wienera. O procesie Wienera. Procesy stochastyczne Wykład XV, 15 czerwca 2015 r. Proces Wienera. Ruch Browna. Ułamkowe ruchy Browna
Procesy stochastyczne Wykład XV, 15 czerwca 2015 r. Ruch 1 {X t } jest martyngałem dokładnie wtedy, gdy E(X t F s ) = X s, s, t T, s t. Jeżeli EX 2 (t) < +, to E(X t F s ) jest rzutem ortogonalnym zmiennej
Fizyka statystyczna Równanie Fokkera-Plancka. P. F. Góra
Fizyka statystyczna Równanie Fokkera-Plancka P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Mamy równanie master dla ciagłych rozkładów prawdopodobieństwa: P (y, t) t = (W (y y )P (y, t) W (y y)p
Układy statystyczne. Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna. Instytut Fizyki
Instytut Fizyki 2015 Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym N rozróżnialnych cząstek, z których każda może mieć energię
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 20 KWANTOWE METODY MONTE CARLO 20.1 Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek (H E 0 )ψ 0 (r)
Testowanie hipotez statystycznych. Wprowadzenie
Wrocław University of Technology Testowanie hipotez statystycznych. Wprowadzenie Jakub Tomczak Politechnika Wrocławska jakub.tomczak@pwr.edu.pl 10.04.2014 Pojęcia wstępne Populacja (statystyczna) zbiór,
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),
ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW
ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną
Metody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji
Ćwiczenia nr 4. Sformułowanie zagadnienia interpolacji Niech będą dane punkty x 0,..., x n i wartości y 0,..., y n, takie że i=0,...,n y i = f (x i )). Szukamy funkcji F (funkcji interpolującej), takiej
TEST STATYSTYCZNY. Jeżeli hipotezę zerową odrzucimy na danym poziomie istotności, to odrzucimy ją na każdym większym poziomie istotności.
TEST STATYSTYCZNY Testem statystycznym nazywamy regułę postępowania rozstrzygająca, przy jakich wynikach z próby hipotezę sprawdzaną H 0 należy odrzucić, a przy jakich nie ma podstaw do jej odrzucenia.
Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych
Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 konsultacje: poniedziałek, 10-11, środa: 11-12 www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd
Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
n=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa
Równanie Bessela Będziemy rozważać następujące równanie Bessela x y xy x ν )y 0 ) gdzie ν 0 jest pewnym parametrem Rozwiązania równania ) nazywamy funkcjami Bessela rzędu ν Sprawdzamy, że x 0 jest regularnym
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna
Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 (5.11.07) Funkcja logistyczna Rozważmy funkcję logistyczną y = f 0 (t) = 40 1+5e 0,5t Funkcja f może być wykorzystana np. do modelowania wzrostu masy ziaren kukurydzy (zmienna
Matematyka Stosowana na Politechnice Wrocławskiej. Komitet Matematyki PAN, luty 2017 r.
Matematyka Stosowana na Politechnice Wrocławskiej Komitet Matematyki PAN, luty 2017 r. Historia kierunku Matematyka Stosowana utworzona w 2012 r. na WPPT (zespół z Centrum im. Hugona Steinhausa) studia
Statystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje
Fizyka statystyczna Równanie Fokkera-Plancka
Fizyka statystyczna Równanie Fokkera-Plancka P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 17 marca 2015 Mamy równanie master dla ciagłych rozkładów prawdopodobieństwa: P (y, t) t = (W (y y )P (y, t)
ANALIZA WŁAŚCIWOŚCI FILTRU PARAMETRYCZNEGO I RZĘDU
POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 78 Electrical Engineering 2014 Seweryn MAZURKIEWICZ* Janusz WALCZAK* ANALIZA WŁAŚCIWOŚCI FILTRU PARAMETRYCZNEGO I RZĘDU W artykule rozpatrzono problem
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt
Równanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
Elementy rachunku różniczkowego i całkowego
Elementy rachunku różniczkowego i całkowego W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami
Modelowanie absorbcji cząsteczek LDL w ściankach naczyń krwionośnych
Modelowanie absorbcji cząsteczek LDL w ściankach naczyń krwionośnych Plan prezentacji Co to jest LDL? 1 Budowa naczynia krwionośnego 2 Przykładowe wyniki 3 Mechanizmy wnikania blaszki miażdżycowej w ścianki
Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Procesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 2 marca 2015 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane są
Estymacja parametrów w modelu normalnym
Estymacja parametrów w modelu normalnym dr Mariusz Grządziel 6 kwietnia 2009 Model normalny Przez model normalny będziemy rozumieć rodzine rozkładów normalnych N(µ, σ), µ R, σ > 0. Z Centralnego Twierdzenia
Wielki rozkład kanoniczny
, granica termodynamiczna i przejścia fazowe Instytut Fizyki 2015 Podukład otwarty Podukład otwarty S opisywany układ + rezerwuar R Podukład otwarty S opisywany układ + rezerwuar R układ S + R jest izolowany
Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania
Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Szeregi czasowe 1 Szeregi czasowe 2 3 Szeregi czasowe Definicja 1 Szereg czasowy jest to proces stochastyczny z czasem dyskretnym
AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA
AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej KATEDRA MATEMATYKI TEMAT PRACY: ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA AUTOR: BARBARA MARDOSZ Kraków, styczeń 2008 Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Definicja
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
Ważne rozkłady i twierdzenia
Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne
Wynik pomiaru jako zmienna losowa
Wynik pomiaru jako zmienna losowa Wynik pomiaru jako zmienna losowa Zmienne ciągłe i dyskretne Funkcja gęstości i dystrybuanta Wartość oczekiwana Momenty rozkładów Odchylenie standardowe Estymator zmiennej
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Momenty Zmienna losowa jest wystarczająco dokładnie opisana przez jej rozkład prawdopodobieństwa. Względy praktyczne dyktują jednak potrzebę znalezienia charakterystyk
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Procesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 21 lutego 2017 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane
Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych
Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura
ZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI
Budownictwo 18 Mariusz Poński ZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI 1. Metody transformacji całkowych Najczęściej spotykaną metodą rozwiązywania
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Układy równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
GRA Przykład. 1) Zbiór graczy. 2) Zbiór strategii. 3) Wypłaty. n = 2 myśliwych. I= {1,,n} S = {polować na jelenia, gonić zająca} S = {1,,m} 10 utils
GRA Przykład 1) Zbiór graczy n = 2 myśliwych I= {1,,n} 2) Zbiór strategii S = {polować na jelenia, gonić zająca} S = {1,,m} 3) Wypłaty jeleń - zając - 10 utils 3 utils U i : S n R i=1,,n J Z J Z J 5 0
6. Zmienne losowe typu ciagłego ( ) Pole trapezu krzywoliniowego
6. Zmienne losowe typu ciagłego (2.04.2007) Pole trapezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ograniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją ciągłą; proste x = a, x = b, a < b, oś OX
Zasada maksimum Pontriagina
25.04.2015 Abstrakt Wiele zagadnień praktycznych dotyczących układów dynamicznych wymaga optymalizacji pewnych wielkości. Jednakże zwykła teoria gładkich układów dynamicznych zajmuje się jednak tylko opisem
WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony. Wiadomości i umiejętności
WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna. Stopień Wiadomości i umiejętności -definiować potęgę
Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych
Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych Marcin Orchel Spis treści Wstęp. Metody przybliżone dla równań pierwszego rzędu................ Metoda kolejnych przybliżeń Picarda...................2
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Spis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44
Księgarnia PWN: Ryszard Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej Spis treści Rozdział I. Wstęp do matematyki... 13 1.1. Elementy logiki i teorii zbiorów... 13 1.1.1. Rachunek zdań... 13 1.1.2. Reguły
Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Wpływ zdarzeń ekstremalnych i superekstermalnych na stochastyczną dynamikę szeregów czasowych
Proc. niegaussowskie Smoki Metodologia Symulacje Podsumowanie Wpływ zdarzeń ekstremalnych i superekstermalnych na stochastyczną dynamikę szeregów czasowych T.R. Werner 1 T. Gubiec 2 P. Kosewski 2 R. Kutner
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Analiza Matematyczna III Mathematical Analysis III Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom przedmiotu: I
MODEL RACHUNKU OPERATORÓW DLA RÓŻ NICY WSTECZNEJ PRZY PODSTAWACH
ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MARYNARKI WOJENNEJ ROK LIV NR 1 (192) 2013 Hubert Wysocki Akademia Marynarki Wojennej Wydział Mechaniczno-Elektryczny, Katedra Matematyki i Fizyki 81-103 Gdynia, ul. J. Śmidowicza
Dr hab. Bartłomiej Dybiec Kraków, 24 marca 2014 Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego Uniwersytet Jagielloński ul. W. Reymonta Kraków
Dr hab. Bartłomiej Dybiec Kraków, 24 marca 2014 Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego Uniwersytet Jagielloński ul. W. Reymonta 4 30-059 Kraków Curriculum Vitae Imię i nazwisko Bartłomiej Dybiec Rok
PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω)
PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω) określonych na tej samej przestrzeni probabilistycznej
Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.
Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...
Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Kolokwium ze statystyki matematycznej
Kolokwium ze statystyki matematycznej 28.05.2011 Zadanie 1 Niech X będzie zmienną losową z rozkładu o gęstości dla, gdzie 0 jest nieznanym parametrem. Na podstawie pojedynczej obserwacji weryfikujemy hipotezę
Program MC. Obliczyć radialną funkcję korelacji. Zrobić jej wykres. Odczytać z wykresu wartość radialnej funkcji korelacji w punkcie r=
Program MC Napisać program symulujący twarde kule w zespole kanonicznym. Dla N > 100 twardych kul. Gęstość liczbowa 0.1 < N/V < 0.4. Zrobić obliczenia dla 2,3 różnych wartości gęstości. Obliczyć radialną
7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej
7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Wstęp
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji
Pojęcie funkcji. Funkcja liniowa
Pojęcie funkcji. Funkcja liniowa dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Wykład 2; rok akademicki 2016/2017 Zależności funkcyjne w naukach przyrodniczych Rozwój algebry
Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t.
Procesy stochastyczne WYKŁAD 5 Proces Poissona. Proces {N(t), t } nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Proces zliczający musi