Wpływ zdarzeń ekstremalnych i superekstermalnych na stochastyczną dynamikę szeregów czasowych

Transkrypt

1 Proc. niegaussowskie Smoki Metodologia Symulacje Podsumowanie Wpływ zdarzeń ekstremalnych i superekstermalnych na stochastyczną dynamikę szeregów czasowych T.R. Werner 1 T. Gubiec 2 P. Kosewski 2 R. Kutner 2 D. Sornette 3 1 Instytut Fizyki Teoretycznej, Wydział Fizyki Uniwersytet Warszawski 2 Instytut Fizyki Doświadczalnej, Wydział Fizyki Uniwersytet Warszawski 3 Department of Management, Technology, and Economics, ETH Zürich, Switzerland 5 Ogólnopolskie Sympozjum FENS, Warszawa /18

2 Proc. niegaussowskie Smoki Metodologia Symulacje Podsumowanie Projekt częściowo finansowany przez Grant nr 119 Pierwszego Konkursu na Projekty Badawcze Instytutu Ekonomicznego Narodowego Banku Polskiego 2/18

3 Proc. niegaussowskie Smoki Metodologia Symulacje Podsumowanie Niektóre pozycje bibliograficzne D. Sornette Critical Phenomena in Natural Sciences. Chaos, Fractals, Selforganization and Disorder: Concepts and Tools Springer-Verlag, D. Sornette Dragon-Kings, Black Swans and the Prediction of Crises International Journal of Terraspace and Engineering, 2(1), 1 17 (2009) R. Kutner, F. Świtała Stochastic simulations of time series within Weierstrass-Mandelbrot walks Quant. Finance, 3, (2003). R. Kutner, F. Świtała Study of the non-linear autocorrelations within the Gaussian regime EPJ, B33, (2003). T. Gubiec, R. Kutner, T.R. Werner, D. Sornette Super-extreme event s influence on a Weierstrass-Mandelbrot continuous-time random walk Wysłane do druku w Physica A. 3/18

4 Proc. niegaussowskie Smoki Metodologia Symulacje Podsumowanie Plan 1 Procesy niegaussowskie 2 Zdarzenia superekstremalne 3 Metodologia Funkcja autokorelacji prędkości Model WM-CTRW Własności asymptotyczne modelu WM-CTRW 4 Symulacje Autokorelacje w obecności długotrwałych zdarzeń superekstremalnych Superszoki 5 Podsumowanie i Zamierzenia 4/18

5 Proc. niegaussowskie Smoki Metodologia Symulacje Podsumowanie Dane empiryczne - wpływ kryzysu na postać rozkładu Przykład danych empirycznych ilustrujących wpływ kryzysu na kształt rozkładów statystycznych i ich odstępstwa od rozkładów gaussowskich. Rozrzut zmian kursu EUR/USD w latach 2004, 2006, 2008 i Histogram Zmiana kursu EUR/USD [pips] 5/18

6 Proc. niegaussowskie Smoki Metodologia Symulacje Podsumowanie Zdarzenia superekstremalne: dwa skrajne scenariusze Schematyczny przebieg procesów ze zdarzeniami superekstremalnymi ( smokami ) szokowymi i długotrwałymi Smok szokowy Smok długotrwały 6/18

7 Proc. niegaussowskie Smoki Metodologia Symulacje Podsumowanie Dane empiryczne - superszoki Przykład danych empirycznych z superszokiem Kurs EUR/USD maja 22:00 7/9 maja 22:00 10 maja 22:00 Kurs EUR/USD z superszokiem z 10 maja /18

8 Proc. niegaussowskie Smoki Metodologia Symulacje Podsumowanie Dane empiryczne - długotrwałe zdarzenia superekstremalne Przykłady danych empirycznych z długotrwałymi zdarzeniami superekstremalnymi Cena akcji BP Cena złota 8/18

9 Proc. niegaussowskie Smoki Metodologia Symulacje Podsumowanie Autokorelacje WM-CTRW Własności WM-CTRW Funkcja autokorelacji prędkości Funkcja autokorelacji prędkości: VAF( t) = v(t ) v(t + t) v(t ) v(t + t) { C( t) bez smoka = v 1 v 2 ( t) v 1 v 2 = C d ( t) ze smokiem gdzie... oznacza średniowanie po czasie t t tot t dla danej różnicy czasów (lag) t, a v(t ) := [X(t ) X(t dt)]/dt. Dla kroku dyskretyzacji czasu zachodzi oczywiście dt t, t. 9/18

10 Proc. niegaussowskie Smoki Metodologia Symulacje Podsumowanie Autokorelacje WM-CTRW Własności WM-CTRW Rozkład w modelu WM-CTRW Rozkład dla pojedynczego kroku w czasie i przestrzeni : ψ( x, t) = 1 2 w(j) [ δ( x v 0 v j t) + δ( x + v 0 v j t) ] j=0 1 τ 0 τ j exp( t/τ 0 τ j ) gdzie wagi dla poszczególych poziomów hierarchii wynoszą ( w(j) = 1 1 ) 1, N > 1, j = 1,... N Nj W naszych symulacjach przyjęliśmy N = 4, τ 0 = v 0 = 1, τ = 2.52, b = 2.5, v = b/τ = Poziom w hierarchii określa j im ma większą wartość, tym mniejsze prawdopodobieństwo jego wystąpienia: w(j + 1)/w(j) = 1/N. 10/18

11 Proc. niegaussowskie Smoki Metodologia Symulacje Podsumowanie Autokorelacje WM-CTRW Własności WM-CTRW Hierarchia zdarzeń Schematyczna ilustracja spaceru Weierstrassa ze zdarzeniami z różnych poziomów hierarchii 11/18

12 Proc. niegaussowskie Smoki Metodologia Symulacje Podsumowanie Autokorelacje WM-CTRW Własności WM-CTRW Parametry asymptotyczne Asymptotyczne własności procesu determinowane są parametrem η, zależącym z kolei od parametrów α i β (temporal/spatial diffusion exponents): α = log N log τ and β = log N log b α i β η α > 1, β > 2 1 α < 1, β > 2 α α > 1, β < 2 1 α + 2α β α < 1, β < 2 2α β (w naszych symulacjach: N = 4, b = 2.5, τ = 2.52 η 1.48) 12/18

13 Proc. niegaussowskie Smoki Metodologia Symulacje Podsumowanie Autokorelacje WM-CTRW Własności WM-CTRW Asymptotyka i funkcja autokorelacji Asymptotyczne zachowanie wielkości X 2 (t) może być wyrażone przez parametr η: X 2 (t) = 2D Γ(1 + η) tη gdzie D ( fractional diffusion coefficient ) również zależy od α i β. Dla η 1 proces jest fraktalny η < 1 subdiffusion 1 < η < 2 enhanced diffusion (superdiffusion) 2 < η < 3 hyperdiffusion Funkcja autokorelacji prędkości ma postać C(t) = v(t 0 )v(t 0 + t) 2D Γ(η 1) 1 t 2 η gdzie średniowanie jest po t 0. Tak więc na wykresie log-log powinniśmy otrzymać opadającą prostą log C(t) (η 2) log t z, w naszym przypadku, współczynnikiem kierunkowym η /18

14 Proc. niegaussowskie Smoki Metodologia Symulacje Podsumowanie Autokorelacje WM-CTRW Własności WM-CTRW Funkcja autokorelacji w obecności długotrwałego zdarzenia superekstremalnego Jeśli w czasie procesu wystąpiło pojedyncze długotrwałe zdarzenie ekstremalne o czasie trwania t d, to jak można pokazać przy dość ogólnych założeniach otrzymuje się następujący wzór na funkcję autokorelacji C d (t) = 1 γ d 2t/t tot C(t) 1 t/t tot [ ( γ d t/t tot γ d 1 t/t tot ) t/t tot 1 t/t tot ] v 2 d, gdzie γ d := t d /t tot a v d odpowiada prędkości smoka. Dla małych t MAX t tot formuła ta upraszcza się do C d (t) = (1 γ d ) [ C(t) + γ d v 2 d ]. która to postać była użyta do porównań z wynikami symulacji. 14/18

15 Proc. niegaussowskie Smoki Metodologia Symulacje Podsumowanie Autokorelacje WM-CTRW Własności WM-CTRW Funkcja autokorelacji w obecności superszoku Dla superszoku na funkcję autokorelacji otrzymuje się wzór C d (t) = C(t) ± 2 σ f ( ) 2 X d t tot t Xd, t tot t gdzie σ f := f σ 2 v + C(2t) (z fenomenologicznym parametrem 0 < f 1) a X d jest skokiem przestrzennym szokowego zdarzenia superekstermalnego, zachodzącym w czasie zaniedbywalnie małym w skali czasowej procesu. 15/18

16 Proc. niegaussowskie Smoki Metodologia Symulacje Podsumowanie Smoki długotrwałe Superszoki Autokorelacje w obecności długich smoków Funkcja autokorelacji prędkości (VAF) w obecności długotrwałych smoków 1 Autocorrelation j d =19 j d =17 j d =15 j d =13 theory without dragon-king Time lag Całkowity czas procesu: jednostek. 16/18

17 Proc. niegaussowskie Smoki Metodologia Symulacje Podsumowanie Smoki długotrwałe Superszoki Autokorelacje w obecności superszoków Funkcja autokorelacji prędkości (VAF) w obecności smoków typu szokowego 1 Autocorrelation X d = X d = X d = no dragon (simulation) no dragon (theory) Time lag Całkowity czas procesu: jednostek. 17/18

18 Proc. niegaussowskie Smoki Metodologia Symulacje Podsumowanie Podsumowanie VAF jest czułym detektorem Podsumowanie 1 występowania zdarzeń ekstremalnych i superekstermalnych 2 odróżniającym różne rodzaje zdarzeń superekstermalnych 3 pozwalającym na wyznaczanie parametrów definiujących różne zdarzenia superekstermalne Zamierzenia 1 analiza danych empirycznych pod kątem występowania i wpływu zdarzeń superekstermalnych 2 prognozowanie krachów za pomocą techniki opartej na krytycznym spowolnieniu 3 analiza wpływu zdarzeń superekstermalnych na ryzyko 18/18