Efektywny algorytm obrazowania w tomografii ultradźwiękowej i radiowej dla zagadnień dwuwymiarowych

Transkrypt

1 omasz RYMARCZYK 1,, Jan SIKORA 3,4, Krzysztof POLAKOWSKI 5, Przemysław ADAMKIEWICZ 1 Research and Development Center, Netrix S.A. (1), University of Economics and Innovation in Lublin (), Lublin University of echnology (3), Electrotechnical Institute in Warsaw (4), Warsaw University of echnology (5) doi: / Efektywny algorytm obrazowania w tomografii ultradźwiękowe i radiowe dla zagadnień dwuwymiarowych Streszczenie. W artykule przedstawiono nową efektywną metodę obrazowania, która może być zastosowana w tomografii ultradźwiękowe i radiowe. Proponowana metoda poprzez zmianę kształtu piksela prowadzi do znacznego uproszczenia algorytmu, kosztem niewielkich przybliżeń. Jak udowodniono w pracy, przybliżenia te nie maą istotnego znaczenia co do czytelności obrazu, kilkunastokrotnie przyspieszaąc ego uzyskanie. Abstract:. his article presents a new effective imaging method that can be applied in ultrasonic and radio tomography. he proposed method by changing the shape of the pixels leads to a substantial simplification of the algorithm at the cost of small approximations. As proved in the work, these approximations do not have a significant impact on the readability of the image which is several times faster (Effective ultrasound and radio tomography imaging algorithm for two-dimensional problems). Słowa kluczowe: ransmisyna omografia Dyfuzyna, omografia Radiowa, Algebraiczne echniki Rekonstrukcyne, rozkład względem wartości osobliwych. Keywords: Ultrasound ransmission omography, Radio Frequency omography, Algebraic Reconstruction echniques, Singular Values Decomposition. Wstęp W ostatnich latach obserwuemy dynamiczny rozwó omografii niekonwenconalne ak na przykład dyfuzyne tomografii optyczne [1,13,16]. Przez tomografię konwenconalną, autorzy rozumieą tomografię o ustalonym zasięgu zastosowań w medycynie czy też przemyśle, ak na przykład tomografię rentgenowską, tomografię rezonansu magnetycznego czy tomografię ultradźwiękową nazywaną powszechnie USG. a ostatnia coraz śmiele stosowana est w przemyśle [4,10]. Również tomografia fal z radiowego zakresu est ostatnio coraz chętnie stosowana [,3,9,17]. ransmisyną tomografię ultradźwiękową i radiową tomografię łączy edna wspólna cecha. Fale ultradźwiękowe i radiowe, rozchodzą się po liniach prostych. Wykorzystuąc tę cechę, zaproponowano efektywną modyfikacę istotnego fragmentu dobrze znanego w literaturze algorytmu algebraiczne rekonstrukci obrazu (ang. Algebraic Reconstruction echniques (AR)), zaproponowanego po raz pierwszy przez S. Kaczmarza [5,6,7,15]. Istota te modyfikaci polega na przybliżeniu kształtu piksela, (który do te pory traktowany był ako kwadratowa komórka), do kształtu kołowego. Zmiana ta pozwala w sposób istotny przyspieszyć metodę wyznaczania pikseli, przez które przechodzi dany promień w rozpatrywanym obszarze. Dzięki temu w zagadnieniach D uzyskuemy znaczne przyspieszenie obrazowania, co ma szczególne znaczenie w przypadkach, kiedy zależy nam na obrazowaniu on line. Zysk czasowy będzie eszcze większy dla zagadnień 3D, ale będzie to przedmiotem osobnego artykułu. Metody algebraiczne obrazowania tomograficznego Większość algorytmów z grupy algebraicznych technik rekonstrukcynych AR bazue na metodologii aproksymaci funkci przez szeregi o skończone długości [6,15]. W metodach tych dokonue się uproszczenia polegaącego na przyęciu, że rekonstruowany obraz składa się ze skończone liczby elementów. Obraz odtwarzany est za pomocą algorytmu dyskretyzuącego badany obszar do postaci n kwadratowych komórek o wymiarach l l, (rysunek 1), których geometryczny środek odpowiada ednemu pikselowi w tworzonym obrazie. Oznacza to, że aby zrekonstruować obraz, należy nałożyć taką sama siatkę kwadratową na badany obiekt f xy, i tworzony obraz. Algorytmy algebraiczne w porównaniu do transformatowych maą istotną zaletę polegaącą na tym, że do proekci można w nich stosować nie tylko rzutowanie równoległe, ale również rzutowanie środkowe z rozbieżnymi wiązkami promieni. Przykładową siatkę przedstawia rysunek 1. Podstawy algebraiczne techniki rekonstrukcyne zostały opisane przez S. Kaczmarza [6], na długo przed powstaniem tomografii komputerowe i w swoe wersi oryginalne nie dotyczyły problemu rekonstrukci obrazu z proekci. a) b) Rys. 1. Siatka kwadratowa nakładana na badany obiekt podstawa wszystkich arytmetycznych metod rekonstrukci obrazu; a) promienie w geometrii równoległe, b) pęk rozbieżnych promieni; N nadanik, O odbiornik Przymue się, że każda komórka est opisana stałą funkca f xy, i w przypadku na przykład transmisyne tomografii ultradźwiękowe określa poszukiwaną prędkość fali ultradźwiękowe w dane komórce. Oznaczmy f ako stałą wartość -te komórki, a n ako całkowitą liczbę pikseli (kwadratowych komórek siatki). Dla arytmetycznych technik rekonstrukci obrazu promień s definiowany może być dwoako. Można przyąć, że promień est linią o szerokości równe np. długości boku piksela (kwadratu) l. Oznacza to, że do rozważań używamy całe wiązki promieni równoległych (ang. Ray sum), przechodzące 6 PRZEGLĄD ELEKROECHNICZNY, ISSN , R. 94 NR 6/018

2 przez rozpatrywany obszar. W większości przypadków szerokość wiązki est równa długości boku piksela. Na podstawie pomiarów czasów prześcia przebiegów impulsów ultradźwiękowych na stałe drodze między nadanikami N a odbiornikami O, otrzymue się scałkowane wartości prędkości na drogach i-tych wiązek ultradźwiękowych pomiędzy nadanikami a odbiornikami, określane rzutami lub proekcami s i. Związek pomiędzy wartościami f i proekcami s i wyraża zależność (1): (1) n 1 w f s, i 1,,..., m, i i gdzie: m to całkowita liczba promieni (we wszystkich proekcach), a w to współczynnik wagowy określaący i udział szukane wartości dla -te komórki w stosunku do całe zmierzone wartości wzdłuż i-tego promienia wiązki. Współczynnik wagowy może być równy stosunkowi zakreślanego w kwadracie siatki pola przez promień o dane szerokości do wartości pola całego kwadratu l albo, eżeli dla uproszczenia, przymiemy że promień ma szerokość zerową to wtedy współczynnik w i może być równy stosunkowi długości odcinka promienia zawartego w pikselu (kwadracie), do długości przekątne kwadratu l. Zależności te są różne od zera tylko dla kwadratów siatki, przez które przechodzi dany promień. W przypadku pikseli siatki, których dany promień nie przecina, współczynnik przymue wartość równą zeru. Jeżeli liczba promieni m i liczba kwadratów siatki n są niewielkie wówczas, do rozwiązania układu opisanego wzorem () można by było wykorzystać konwenconalne metody teorii macierzy polegaące na odwracaniu macierzy. Przy dużych rozmiarach m i n nie est możliwe stosowanie bezpośrednie inwersi macierzy. Aby rozwiązać duże układy równań stosue się bardzo skuteczne iteracyne metody numeryczne, oparte na zaproponowane po raz pierwszy przez S. Kaczmarza [11,15] metodzie proekci. Aby wyaśnić metodę uzyskiwania wyników, należy zapisać wzór (1) w formie układu równań (): () w11 f1 w1 f w1 n fn s1, w1 f1 w f wn fn s,, w f w f w f s. m1 1 m mn n m Odwzorowanie układu przy użyciu siatki kwadratowe złożone z n pikseli dae obraz n stopni swobody. Dlatego obraz reprezentowany przez f1, f, fn może być traktowany, ako poedynczy punkt w n wymiarowe przestrzeni. Wynika to z faktu, że w te przestrzeni każde z równań () stanowi hiperpłaszczyznę. Przez n wymiarową przestrzeń kartezańską C n rozumiemy zbiór wszystkich uporządkowanych układów f1, f, fn złożonych z n liczb rzeczywistych. Podzbiór C k przestrzeni C n nazywamy k wymiarową hiperpłaszczyzną C n. W szczególności hiperpłaszczyzny ednowymiarowe nazywaą się liniami prostymi, a dwuwymiarowe płaszczyznami. Metoda SVD w rozwiązywaniu liniowych nadokreślonych układów równań W obliczeniach praktycznych często poawia się problem rozwiązania nadokreślonego układu równań liniowych (3), który w wyniku błędów pomiarowych może być również układem sprzecznym: (3) Wfs, gdzie: W macierz m n i m > n, s1, s,, s m wektor prawe strony równania,,,, szukane rozwiązanie. s f f f f n 1 Jednym ze sposobów rozwiązania takiego problemu est * znalezienie wektora f, o możliwie małe normie euklidesowe, który dla zadane macierzy W i wektora s minimalizue normę euklidesową wektora residualnego r swf : (4) * min, min r s Wf f f Przy wyznaczaniu postaci analityczne rozwiązania liniowego zadania namnieszych kwadratów, korzystamy z twierdzenia o rozkładzie dowolne macierzy prostokątne na iloczyn macierzy ortogonalne, diagonalne i ortogonalne [8,15]. Mówi ono, że dla dowolne macierzy W ( ) istnieą macierze ortogonalne, i takie, że: (5) (6) W UDV, d d dk D R dk d n mn gdzie: d1 d dk 1 dk dk1 dk d n 0, a k est pseudo rzędem macierzy W. Wielkości d i nazywamy wartościami szczególnymi (osobliwymi) macierzy W, a rozkład (5) rozkładem według wartości szczególnych SVD (ang. Singular Value Decomposition). Pierwiastki d i są pierwiastkami wartości własnych macierzy W W, a kolumny macierzy V odpowiadaącymi im ortonormalnymi wektorami własnymi te macierzy. Z kolei kolumny U są wektorami własnymi WW. Widzimy stąd, że wartości szczególne są określone ednoznacznie, natomiast macierze U i V nie. Znaąc rozkład (5) można łatwo wyznaczyć rozwiązanie metodą liniowego zadania namnieszych kwadratów (LZNK) (7): (7) * f W s VD U s PRZEGLĄD ELEKROECHNICZNY, ISSN , R. 94 NR 6/018 63

3 gdzie: macierz W VD U nazywana est macierzą pseudoodwrotną do W (lub czasami nazywaną macierzą odwrotną w sensie Moore'a Penrose'a [8]) a macierz D możemy obliczyć w sposób następuący: 1 1 (8) D diag,, 0, 0 Rnm d1 d. k W tomografii komputerowe mamy zazwycza do czynienia z przypadkami złego uwarunkowania macierzy współczynników układu równań. Załóżmy, że macierz W ma wyznaczony rozkład względem wartości osobliwych (9), gdzie D d est macierzą diagonalną zawieraącą wartości osobliwe. Różnica w stosunku do macierzy D est taka że nie ma wierszy zerowych i est macierzą kwadratową o wymiarze n n: (9) Dd W U V 0. Na podstawie zależności (7), można wprowadzić oznaczenie w postaci g U s : (10) * f W s VD g, i rozważyć liniowe zadanie namnieszych kwadratów (LZNK) (11): Dd (11) q g, 0 gdzie: q est związane z wektorem f liniową transformacą ortogonalną (1): (1) f Vq. Zagadnienie (11) est równoważne zagadnieniu Wf sensie zagadnienia namnieszych kwadratów. s w Ponieważ D d est macierzą diagonalną Dd diag d1, dk, 0, 0, wpływ każde składowe na normę residuum est oczywisty. Wprowadzaąc składową q, ako (13): (13) q g, d redukue się sumę kwadratów residuum o wartość i q. Zgodnie z regułami dekompozyci wartości osobliwe są ustawione w porządku nierosnącym tzn. dk dk 1 k=1,,, n. Wtedy naturalną rzeczą est rozważenie rozwiązań próbnych problemu (11) w postaci (14) [15]: (14) q q1 qk 0 0 k 0,1,, n gdzie: q est dane równaniem (13). Wektor rozwiązania próbnego q est rozwiązaniem uzyskanym z (11) za pomocą pseudoinwersi (rozwiązania o minimalne normie) przy założeniu, że wartości osobliwe d dla k są na tyle małe, że traktuemy e ako wartości zerowe. Z rozwiązań próbnych (ang. Candidate Solutions [8]) można otrzymać wektory rozwiązań Wfs, ako (15): (15) gdzie: k 1 q f dla zagadnienia f Vq qv, k0,1,, n V oznacza -tą kolumnę macierzy V. Zauważmy, że: (16) gdzie: ( ) ( ) k k f k k q q q 1 1 d, f est niemaleącą funkcą k. Kwadrat normy związane z (17): (17) ( ) ( ) m k k g k1 r s Wf. f est dany zależnością Inspekca kolumn macierzy V stowarzyszonych z małymi wartościami osobliwymi est bardzo efektywną metodą identyfikaci zbioru kolumn macierzy W, które są niemal liniowo zależne. Załóżmy, że macierz W est źle uwarunkowana; wtedy pewne wartości osobliwe są znacząco mniesze od pozostałych. W takim przypadku niektóre z końcowych wartości q mogą być niepożądanie wielkie. Można określić indeks k, dla którego wszystkie współczynniki dla k są dostatecznie małe a wszystkie wartości osobliwe d dla k są dostatecznie duże, zaś norma residuum r est dostatecznie mała. Jeśli taki indeks istniee to rozwiązanie próbne f przymue się ako wektor rozwiązań LZNK. Aby określić preferowany indeks k nawygodnie est skorzystać z wykresu f q r f w skali logarytmiczne [8]. Dla zadań źle uwarunkowanych mamy wówczas wykres w kształcie litery L (niektórzy autorzy mówią o kształcie zbliżonym do hiperboli) i stosunkowo łatwo dae się określić optymalną wartość indeksu k. W przypadku danych syntetycznych zaszumionych lub danych pomiarowych, zadanie to uż nie est takie proste i bardzo często cała rodzina rozwiązań próbnych est położonych blisko siebie na wykresie f r f, 64 PRZEGLĄD ELEKROECHNICZNY, ISSN , R. 94 NR 6/018

4 ale daące różne obrazy [11,15]. Wtedy z pomocą, ako dodatkowe kryterium, może być pomocny rozkład wartości osobliwych (patrz na przykład rysunek 1). Przykład konstrukci obrazu w przestrzeni D Rozpatrzmy obiekt o przekrou poprzecznym w kształcie kwadratu ak pokazano na rysunku. Przykładową rozdzielczość przestrzenną zaproponowano na poziomie pikseli. Przekró poprzeczny może mieć kształt dowolny, ednak ze względów praktycznych wybrano naprostszy z możliwych, czyli kwadratowy. Rys. 6. Zasada wyznaczania elementów macierzy współczynników dla siatki kwadratowe Naczęście stosue się prostą modyfikacę metody AR, polegaącą na tym, że w odpowiednie miesca zamiast zer lub edynek wstawiamy obliczony stosunek długości odcinków: promienia wewnątrz piksela oraz długości przekątne danego piksela. Zasadę tą obrazue poniższy rysunek [15]. Rys.. Rozpatrywany obszar z naniesionymi węzłami i pierwszą warstwą pikseli Rys. 3. Ponumerowane piksele w rozdzielczości Na brzegu obszaru podzielonego siatką kwadratową na piksele (patrz rysunek i rysunek3) rozmieszczono po cztery nadaniki/odbiorniki ak pokazano na rysunku 4. Ze względu na specyfikę obszaru i ego podziału na kwadratowe piksele nadaniki/odbiorniki zostały przesunięte od pierwotne pozyci, tak aby żaden z promieni nie leżał na granicy pikseli. akie położenie utrudnia przypisanie promienia do danego piksela i w konsekwenci utrudnia sformowanie macierzy współczynników układu równań (3). Rys. 7. Zasada wyznaczania elementów macierzy współczynników W Na rysunku 8 przedstawiono obrazy uzyskane metodą zero edynkową i metodą stosunku długości promienia przechodzącego przez piksel do długości przekątne. Rys. 8. Obrazy uzyskane za pomocą metody zero edynkowe po lewe stronie i po prawe stronie metodą stosunku długości promienia do długości przekątne danego piksela Rys. 4. Rozlokowanie czuników ultradźwiękowych na brzegu obszaru Rys. 5. Przesuniecie czunika nr. 1 o dx w prawo a czunika 1 o dx w lewo tak, aby promień 1 1 nie pokrywał się z pionową linią podziału obszaru na piksele Maąc wyznaczone numery pikseli, przez które przechodzą poszczególne promienie, można zastosować edną z implementaci algorytmu AR [6,7]. Przy małych rozmiarach pikseli nie liczymy pól zakreślanych przez poszczególne wiązki. Przyęto, że eżeli promień przechodzi przez dany piksel wówczas w macierzy W (patrz wzór (3)) na pozyci odpowiadaące numerowi piksela wstawiamy 1. W pozostałych przypadkach, gdy promień nie przechodzi przez piksel wstawiamy 0 do te macierzy. Rysunek 6 obrazue powyższą zasadę [7]. Jak widać z porównania tych dwóch obrazów, różnią się one od siebie bardzo niewiele. Jak się późnie przekonamy nieco lepsze akości est obraz uzyskany gdy zastosowano zasadę obliczania stosunku długości odcinków promienia wewnątrz piksela oraz długości przekątne danego piksela, zgodnie z rysunkiem 7. Zwiększenie rozdzielczości przestrzenne obrazu W technikach tomograficznych zawsze nabardzie istotnym zagadnieniem, w szczególności w bioinżynierii medyczne, est rozdzielczość przestrzenna. Oznacza to między innymi zdolność wykrywania ak nadrobnieszych szczegółów obrazu. Zbadamy wpływ wielkości obiektu na zdolność ego identyfikaci. Zbadamy możliwość obrazowania znacznie mnieszego obiektu, którego bok wynosi 9.375% długości całego obiektu ak na rysunku 9. W tym celu konieczne est zwiększenie dyskretyzaci (zmnieszenie rozmiaru pikseli ak pokazano na rysunku 10, co pociąga za sobą zwiększenie ich liczby), oraz zwiększenie liczby czuników (rysunek 11), aby zachować nadokreśloność wynikowego układu równań (patrz równanie (3)). PRZEGLĄD ELEKROECHNICZNY, ISSN , R. 94 NR 6/018 65

5 Rys. 9. Model poszukiwanego obiektu Rys. 10. Zwiększona dyskretyzaca rozpatrywanego obszaru z naniesionymi węzłami i pierwszą warstwą pikseli Rys. 11. Rozlokowanie czuników ultradźwiękowych na brzegu obszaru i obraz promieni Rys. 1. Rozkład wartości osobliwych (u góry) i wybranych wartości osobliwych (u dołu) Rys. 13. Obrazy uzyskane dla 661 i kolenych trzech rozwiązań próbnych oraz odpowiadaące im rozkłady przestrzenne gęstości współczynnika materiałowego Zbadamy dalsze zmnieszenie obiektu poszukiwanego tak aby wymiar ego boku (obiekt est kwadratowy) wynosił 4.69% długości boku rozpatrywanego obszaru. W tym wypadku dyskretyzaca wzrośnie do piksele oraz liczba czuników do 17 na każdym boku obszaru kwadratowego. W celu utrudnienia zadania poszukiwany obiekt został dodatkowo przesunięty do środka obszaru (rysunek 14), gdzie wrażliwość na zmianę gęstości (współczynnika materiałowego) est namniesza, a więc obrazowanie obarczone est nawiększym błędem. Dla tak postawionego zadania sformułowano nadokreślony układ równań, który rozwiązano stosuąc metodę SVD [8,11]. Dane syntetyczne nie były zaszumione, dlatego na wykresach z rysunku 1 widać wyraźnie zbiór wartości osobliwych różnych od zera (668) i zbiór wartości osobliwych, które można traktować ako bliskie zeru. Na te podstawie można stwierdzić, ze macierz współczynników równania była niepełnego pseudo rzędu. ak wyraźna granica est możliwa edynie w przypadku niezaszumionych danych syntetycznych. Gdy mamy dane zaszumione, ta granica nie będzie uż taka wyraźna i określenie pseudo rzędu macierzy i numeru rozwiązania próbnego stae się bardzie problematyczne [7,11,15]. Rodzina trzech obrazów z okolic te granicy została przedstawiona na rysunku 13. Można stwierdzić że rozwiązanie tuż przed i tuż po skoku wartości osobliwych, est prawie identyczne i że obiekt co do kształtu, rozmiarów i położenia został zidentyfikowany poprawnie. Ale obiekt est również dobrze widoczny na trzecim z obrazów. Rys. 14. Model poszukiwanego obiektu Rys. 15. Zwiększona dyskretyzaca rozpatrywanego obszaru z naniesionymi węzłami i pierwszą warstwą pikseli Rys. 16. Rozlokowanie czuników ultradźwiękowych na brzegu obszaru Rys. 17. Rozkład wartości osobliwych (u góry) i wybranych wartości osobliwych (u dołu) 66 PRZEGLĄD ELEKROECHNICZNY, ISSN , R. 94 NR 6/018

6 Jak widać na rysunku 16 cały badany obszar est gęsto pokryty promieniami. Jedynie w samych końcówkach naroży mamy wolne fragmenty obszaru, co późnie odbie się na akości obrazowania. Granica wartości osobliwych uznawanych za zerowe (10 15 ), została przesunięta w stosunku do zadania poprzedniego. Położenie i rozmiar obiektu est wykryty prawidłowo, ednak otwór w ego wnętrzu nie został zobrazowany prawidłowo (rysunek 18). Podobnie ak i w poprzednich przypadkach w narożnikach obszaru występuą wyraźne artefakty. Rys. 18. Obrazy uzyskane dla 1859-tego rozwiązania próbnego oraz odpowiadaący mu rozkład przestrzenny gęstości współczynnika materiałowego Spowodowane to est rozmieszczeniem czuników, które nie pokrywaą promieniami właśnie tych naroży. Wadę tą można łatwo usunąć umieszczaąc czuniki w taki sposób, aby promienie przechodziły przez te obszary. Nowy algorytm tworzenia obrazu polegaący na zmianie kształtu piksela radycyny algorytm wymagał dla każdego z czterech boków kwadratowego piksela, wyznaczenia punktu przecięcia odcinka (promień) z odcinkiem (bok piksela kwadratu). Przy znaczne liczbie pikseli zadanie to oznaczało ogromne zaangażowanie procesora. Dlatego głównym zadaniem tego artykułu, est zaproponowanie znacznie prostsze metody identyfikaci numeru piksela, przez który przechodzi dany promień. Metoda polega na zmianie kształtu piksela z kwadratowego na kołowy. Dla takiego podeścia zamiast czterech zadań punkt przecięcia odcinka z odcinkiem zastąpiono tylko ednym zadaniem porównania odległości promienia od środka piksela, czyli rozwiązania tylko ednego zadania wyznaczenia odległości punktu (środek kołowego piksela) od odcinka (promień). Idea tego podeścia est przedstawiona schematycznie na rysunku 19. Długość promienia przechodzącego przez dany piksel możemy policzyć z następuące zależności: (18) x R d, gdzie: x est długością promienia przechodzącego przez dany piksel, d est odległością środka piksela od promienia. Kluczową sprawą est wyznaczenie odległości d środka piksela od promienia. Z pomocą przychodzi nam wbudowana funkca MALAB-a o nazwie distancepointline [18], wywoływana z parametrem segment. Parametr ten nalepie odpowiada promieniowi, który est odcinkiem proste łączące nadanik z odbiornikiem. Następnie w stosownym miescu macierzy W wstawiamy stosunek długości promienia do średnicy piksela, przez który promień przechodzi, zgodnie ze wzorem: d (19) Wi 1 R Zmiana kształtu piksela z kwadratowego na kołowy w badanym obszarze przedstawiona est na rysunku 0. Rys. 0. Zmiana kształtu piksela Rezultaty obrazowania nowym algorytmem w porównaniu do algorytmu poprzedniego, przedstawiono na poniższych rysunkach. PIKSEL KWADRA PIKSEL KOŁO Rys. 19. Zasada wyznaczania elementów macierzy współczynników W w przypadku piksela w kształcie kwadratu i w kształcie koła Dla zmodyfikowanego kołowego kształtu piksela, zamiast czterech skomplikowanych zadań [15], mamy tylko edno, o mnieszym stopniu komplikaci. Zadanie polega na określeniu czy odległość środka koła od odcinka (promień) est mniesza niż promień koła reprezentuącego piksel. Nadto łatwo możemy policzyć stosunek długości promienia przechodzącego przez dany piksel do długości średnicy piksela (poprzednio do przekątne piksela) (rysunek19). Rys. 1. Porównanie wyników obrazowania przed (lewa strona) i po (prawa strona) zmianie kształtu piksela PRZEGLĄD ELEKROECHNICZNY, ISSN , R. 94 NR 6/018 67

7 Na pierwszy rzut oka, różnice między obrazami z rysunków 1 są nieznaczne. Jednak ak przerzymy kilka rozwiązań próbnych, staą się one bardzie widoczne. est widoczna na rysunku 3. ło obrazu est bardzie niespokone, ale na obrazie obiekt wewnętrzny est całkiem wyraźnie widoczny. Jednak należy zauważyć, że to porównanie zostało dokonane przy uwzględnieniu te same liczby wartości osobliwych dla obu kształtów pikseli. Poniże wykażemy, że dla piksela kołowego, możemy osiągnąć prawie identyczny obraz, ale musimy zmnieszyć liczbę wartości osobliwych. Na skutek przybliżenia piksela kwadratowego kołowym, uzyskuemy macierz współczynników o mnieszym pseudo rzędzie niż poprzednio, dlatego aby uzyskać pożądane rozwiązanie, musimy zmnieszyć liczbę wartości osobliwych. Zwiększanie rozdzielczości - algorytm tworzenia obrazu w oparciu o zmianę kształtu piksela Naczelnym zadaniem obrazowania nie tylko w biomedycynie ale także w technice, est pozyskiwanie obrazów o możliwie ak nawiększe rozdzielczości przestrzenne. Postaramy się zbadać ak temu wyzwaniu est w stanie sprostać algorytm z pikselami w kształcie koła. Panue powszechna opinia, że dla tego typu algorytmów granicą rozdzielczości przestrzenne est obiekt o rozmiarach około 10% rozmiarów badanego obszaru. Biorąc pod uwagę zaproponowany algorytm zbadamy ego możliwości wykrycia małych obiektów wewnątrz badanego obszaru. Rozpatrzmy obiekt stanowiący niecałe 5% długości boku rozpatrywanego obszaru. W celu utrudnienia zadania umieścimy ten obiekt w środku obszaru, gdzie wrażliwość współczynnika materiałowego na zmiany wielkości mierzonych na brzegu, est namniesza. Rezultaty obrazowania przedstawiono na poniższych rysunkach. Rys.. Porównanie wyników obrazowania przed (lewa strona) i po (prawa strona) zmianie kształtu piksela Jak widać z przedstawionych wyników, obrazowanie nie ustępue metodzie z kwadratowym pikselem. Warto zauważyć, że przyspieszenie algorytmu dla przedstawione rozdzielczości było aż 13-to krotne. Jedną z wad tego sposobu obrazowanie i to niezależnie od kształtu piksela, est stosunkowo duża wrażliwość na zaszumienie danych. Wpływ takiego, stosunkowo niewielkiego bo 5% zaszumienia, ilustruą wyniki przedstawione poniże. d 1859 Rys. 4. Porównanie wyników obrazowania przed i po zmianie kształtu piksela dla zwiększone rozdzielczości Rys. 3. Porównanie obrazowania na podstawie danych bez i z szumem 5% Zbadamy aki wpływ na obrazowanie ma zwiększenie liczby pikseli i promieni. Zadanie est trudniesze, bo obiekt est mnieszy i większa est rozdzielczość przestrzenna. Różnice pomiędzy danymi syntetycznymi bez zaszumienia a danymi z szumem 5% dla piksela kołowego, Po lewe stronie rysunku mamy wyniki dla pikseli o kształcie kwadratu i obraz był uzyskany przy uwzględnieniu 1859 wartości osobliwych. W kolumnie środkowe mamy trzy obrazy dla 1838, 1840 i 1841 wartości osobliwych dla kołowych pikseli. Obraz z wtrąceniem powoli, w miarę uwzględniania kolenych wartości osobliwych zanika. I choć na pierwszy rzut oka obraz dla pikseli kwadratowych nie różni się wiele od obrazu górnego środkowe kolumny, to ednak dla pikseli kołowych musieliśmy odrzucić aż 1 wartości osobliwych więce, aby uzyskać czytelny obraz. Widać więc, że różnice są ednak znaczne i wymagaą baczne uwagi w wyborze rozwiązania próbnego. 68 PRZEGLĄD ELEKROECHNICZNY, ISSN , R. 94 NR 6/018

8 Co est istotne w tym przypadku to to, że przyspieszenie algorytmu było aż 18 to krotne. Konkluza Na podstawie przeprowadzonych badań, można stwierdzić że, obrazowania metodą AR są podatne na szum typu sól i pieprz (ang. salt & pepper). Błędy wynikaą między innymi z przybliżeń kwadratowych pikseli przez piksele o kształcie koła. Macierz est nieco inna o z reguły niższym pseudo rzędzie. Pozyskanie prawidłowego rozwiązania wymaga zatem odrzucenia większe liczby wartości osobliwych o małych wartościach, które możemy uznać ako zerowe. Z przeprowadzonych badań wynika, że zmodyfikowany algorytm nadae się równie dobrze do obrazowania ak algorytm poprzedni, z dodatkową bardzo istotną zaletą w postaci kilkunastokrotnego przyspieszenia, w zależności od przyęte rozdzielczości przestrzenne. Authors: Dr mgr inż. omasz Rymarczyk, Centrum Badawczo-Rozwoowe, NERIX S.A., Związkowa 6, Lublin, tomasz.rymarczyk@netrix.com.pl prof. dr hab. ing. Jan Sikora,. Electrical Engineering and Computer Science Faculty, Lublin University of echnology, Lublin 38A Nadbystrzycka str., sik59@wp.pl, dr hab. ing. Krzysztof Polakowski, he Faculty of Electrical Engineering, Warsaw University of echnology, Warszawa, Pl. Politechniki 1, Krzysztof.Polakowski@ee.pw.edu.pl, dr mgr inż. Przemysław Adamkiewicz, Centrum Badawczo- Rozwoowe, NERIX S.A., Związkowa 6, Lublin, p.adamkiewicz@netrix.com.pl LIERAURA [1] Adamkiewicz P., Rymarczyk., Duda K., Szumowski J., Sikora J.: New Electrical omographic Method to Determine Dampness in Historical Buildings. Vol. 65, Issue, Archives of Electrical Engineering (016), [] Bocca M, Kaltiokallio O., Patwari N., Venkatasubramanian S., Multiple arget racking with RF Sensor Networks, Mobile Computing IEEE ransactions on, vol. 13, (014), , ISSN [3] Das Y., Boerner W.M.: On Radar arget Shape Estimation Using Algorithms for Reconstruction from Proections, IEEE ransactions on Antennas and Propagation, AP 6(), (1978). [4] Gudra., Opieliński K.J.: he multi element probes for ultrasound transmission tomography, Journal de Physique 4, (006), 137, [5] Herman G.., Image Reconstruction from Proections: he Fundamentals of Computerized omography, Academic Press, New York, (1980). [6] Kaczmarz S., Angenäherte Auflösung von Systemen Linearer Gleichungen, Bull. Acad. Polon. Sci. Lett. A, vol. 6 8A, (1937), [7] Kak A.C., Slaney M., Principles of Computerized omographic Imaging, IEEE Press, New York, (1999). [8] Lawson Ch.L., Hanson R.J., Solving Least Squares Problems, Classics in Applied Mathematics 15, SIAM, (1995). [9] Santosh Nannuru, Yunpeng Li, Yan Zeng, Mark Coates, and Bo Yang, Radio Frequency omography for Passive Indoor Multitarget racking, IEEE ransactions on Mobile Computing, vol. 1, (013), no. 1. [10] Opieliński K., Analiza możliwości zobrazowania struktury wewnętrzne obiektów metodą ultradźwiękowe tomografii transmisyne, rozprawa doktorska, Politechnika Wrocławska, (1998). [11] Polakowski K., Wpływ wartości osobliwych na akość obrazów wielościeżkowe tomografii ultradźwiękowe, Prace Instytutu Elektrotechniki, 4, (009), [1] Rybak G., Chaniecki Z., Grudzień K., Romanowski A., Sankowski D.: Nieinwazyne metody kontrolno-pomiarowe w zastosowaniach przemysłowych, IAPGOŚ 014; 4 (3): 41-45; DOI: / [13] Rymarczyk., Charakteryzation of the shape of unknown obects by inverse numerical methods, Przegląd Elektrotechniczny, vol. 88, issue 7B, (01), [14] Sikora J., Boundary Element Method for Impedance and Optical omography, Warsaw University of echnology Publisher, (007). [15] Polakowski K., Sikora J., Podstawy matematyczne obrazowania ultradźwiękowego, Wydawnictwo Politechniki Lubelskie, (016). [16] Electrical Capacitance omography: heoretical Basis and Applications, edited by D. Sankowski and J. Sikora, Wydawnictwo IEL, Warszawa 010. Electrical Capacitance omography: heoretical Basis and Applications, edited by D. Sankowski and J. Sikora, Wydawnictwo IEL, Warszawa 010. [17] Wilson J., Patwari N., Radio omographic Imaging with Wireless Networks _ver sion_3.pdf [18] [dostęp: styczeń 016]. PRZEGLĄD ELEKROECHNICZNY, ISSN , R. 94 NR 6/018 69