ALGEBRAICZNE METODY KONSTRUKCJI OBRAZÓW TOMOGRAFII ULTRADŹWIĘKOWEJ

Transkrypt

1 Krzysztof POLAKOWSKI Jan SIKORA Stefan F. FILIPOWICZ ALGEBRAICZNE METODY KONSTRUKCJI OBRAZÓW TOMOGRAFII ULTRADŹWIĘKOWEJ STRESZCZENIE W artykule przedstawiono zastosowanie tomografii ultradźwiękowe do tworzenia obrazów rozkładu prędkości gazów przepływaących w rurze walcowe. Do pomiaru średnie wartości współosiowe prędkości przepływu gazu w rurze wykorzystano przepływomierz ultradźwiękowy. Metodę pomiaru przepływów rozszerzono o badanie profilu rozkładu prędkości w całym przekrou poprzecznym rury. Idea ta stanowi istotę działania ultradźwiękowe tomografii wielościeżkowe. Do tworzenia obrazów tomograficznych zastosowano liniowe zadanie namnieszych kwadratów. Zaproponowana metoda została zilustrowana wynikami uzyskanymi z numerycznych symulaci. Słowa kluczowe: tomografia ultradźwiękowa, badania profilu prędkości, zadanie namnieszych kwadratów, obrazowanie tomograficzne dr inż. Krzysztof POLAKOWSKI kp@zkue.ime.pw.edu.pl prof. dr hab. inż. Jan SIKORA sik@iem.pw.edu.pl dr hab. inż. Stefan F. FILIPOWICZ xf@nov.iem.pw.edu.pl Politechnika Warszawska, Wydział Elektryczny PRACE INSTYTUTU ELEKTROTECHNIKI, zeszyt 30, 007

2 8 K. Polakowski, J. Sikora, S.F. Filipowicz 1. WSTĘP Przy badaniach prędkości i strumienia przepływu obętości w dużych przekroach wydae się interesuącym zastosowanie ultradźwiękowych metod tomograficznych, pozwalaących obrazować badane przepływy wielofazowe wraz z możliwością pomiaru prędkości poszczególnych składników [, 6]. Pierwsze publikace poświęcone zastosowaniu ultradźwięków do pomiaru prędkości i strumienia obętości poawiły się przed siedemdziesięciu laty, zaś pierwszy patent związany z zastosowaniem pomiaru przepływu opublikowano w 199 roku [1]. O dokładności przepływomierzy ultradźwiękowych przed czterdziestu laty i wcześnie decydował układ elektroniczny, obecnie dzięki zastosowaniu mikroprocesorów o dokładności decydue znaomość modelu matematycznego problemu pomiarowego [1]. Współczesne przepływomierze ultradźwiękowe powinny, więc charakteryzować się większą dokładnością oraz niższymi kosztami obsługi i utrzymania. Przepływomierze można podzielić na dwie podstawowe grupy. Pierwsza grupa, w które wykorzystywane są zawiska fizyczne związane z energią generowaną przez same przepływy, (czyli naogólnie umuąc zawiska związane z pomiarem strat energii przepływów). Do drugie grupy należy zaliczyć przepływomierze, w których wykorzystue się zawiska związane z pomiarem przepływów z pomocą energii zewnętrzne dostarczane do przepływaącego strumienia, w formie energii pola magnetycznego, fal dźwiękowych lub ciepła [8, 1].. PRZEPŁYWOMIERZE ULTRADŹWIĘKOWE Podstawową zaletą ultradźwiękowe metody pomiarowe est fakt, że bazue ona na bezkontaktowym nieinwazynym pomiarze przepływu, nie powoduącym zmian ciśnienia ani innych parametrów fizyko-chemicznych w badanym środowisku. Dzięki zastosowaniu impulsów wysokoczęstotliwościowych minimalizowane są w pomiarach błędy powodowane efektami związanymi z pulsacą i fluktuacą przepływu. Umożliwia ona ponadto pomiar przepływu niezależnie od temperatury, ciśnienia i gęstości mierzonego medium. Przepływomierze ultradźwiękowe charakteryzuą się dużą czułością, nie posiadaą żadnych ruchomych części stykaących się z mierzonym przepływaącym medium, są proste w instalaci i stosunkowo niedrogie. W tomografii ultradźwiękowe wykorzystywane są układy pomiarowe wyposażone w wielościeżkowe układy pobudzaące, pozwalaące odbierać syg-

3 Algebraiczne metody konstrukci obrazów tomografii ultradźwiękowe 83 nały ednocześnie przez wszystkie czuniki odbiorcze [6]. Na rysunku 1 przedstawiono drogi pobudzaących sygnałów ultradźwiękowych dla ednego i wszystkich kolenych pobudzeń nadaników. a) b) Rys. 1. Ścieżki pomiarowe: a) pomiędzy pierwszym nadanikiem N1, a wszystkimi odbiornikami (O1 O10), b) wszystkie ścieżki pomiarowe pomiędzy wszystkimi nadanikami (N1 N10) i odbiornikami (O1 O10) Pobudzenie ednego nadanika i zebranie danych (są to opóźnienia czasowe) z wszystkich czuników pomiarowych, nazwano proekcą, zaś pełny cykl pobudzeń wszystkich nadaników ultradźwiękowych wraz uzyskaniem danych z wszystkich odbiorników skanem obiektu. Odbieranym sygnałom przypisane są standardowe opóźnienia czasowe związane z różną odległością od nadanika. Zakłócenia strumienia ultradźwiękowego przez przemieszczaące się z pew-

4 84 K. Polakowski, J. Sikora, S.F. Filipowicz ną prędkością medium wprowadzaą dodatkowe opóźnienia. System kontrolno pomiarowy powinien dokonywać archiwizaci zebranych danych z każde proekci [6]. W opisywanym układzie (rys. 1) czuniki ultradźwiękowe rozmieszczono równomiernie na obwodzie profilu zewnętrznego rurociągu w dwóch płaszczyznach prostopadłych do osi rurociągu. W edne płaszczyźnie znadue się zespół czuników nadawczych zaś w drugie płaszczyźnie są czuniki odbiorcze. Kolene nadaniki generuą impulsy ultradźwiękowe w systemie sekwencynym, które z różnym opóźnieniem docieraą do czuników odbiorczych. Przymuąc częstotliwość pobudzaącą poniże 100 khz kąt rozprzestrzeniania się fali ultradźwiękowe est wystarczaąco duży, aby swym zasięgiem obąć wszystkie elementy odbiorcze. W przypadku montowania głowic ultradźwiękowych nakładanych na rurociąg należy uwzględnić przechodzenie promieni fali ultradźwiękowe przez różne ośrodki [3]. Jedna z wybranych możliwości przechodzenia fali ultradźwiękowe przedstawiona est na rys.. Rys.. Przechodzenie strumienia fali ultradźwiękowe w urządzeniu pomiarowym nakładanym na ściankę rurociągu; N nadanik, O odbiornik, P przetwornik pomiarowy, c, c 1, c, c 3, c 4 prędkości fali podłużne na drodze l, l 1, l, l 3, l 4 od nadanika do odbiornika, D średnica wewnętrzna rury, v prędkość badanego przepływu. Fala ultradźwiękowa est falą mechaniczną i na granicy dwóch ośrodków o różnych oporach akustycznych właściwych ulega załamaniu zgodnie z prawem Snelliusa i w drugim ośrodku powstae zarówno fala podłużna ak i poprzeczna [1].

5 Algebraiczne metody konstrukci obrazów tomografii ultradźwiękowe 85 sin sin t sin t sin l t 1 1 (1) c l c t c c t 1 1 l gdzie: c l1, c l prędkość fali podłużne w ośrodkach 1 i, c t1, c t1 prędkość rozchodzenia się fali poprzeczne w ośrodkach 1 i, l1 kąt padania i odbicia fali podłużne, l kąt załamania fali podłużne, t1 kąt odbicia fali poprzeczne, t kąt załamania fali poprzeczne. W ośrodku ciekłym lub gazowym może rozchodzić się tylko fala podłużna, więc do klina w głowicy będące odbiornikiem, dociera ona w trzech miescach. Jako drogę fali ultradźwiękowe wybiera się tę, w które stosunek czasu przebiegu w cieczy lub gazie, do czasu przebiegu między przetwornikami będzie nawiększy. Warunek ten może być sformułowany ako wymaganie maksymalne wartości kąta między promieniem centralnym fali ultradźwiękowe w cieczy lub gazie a prostopadłą do osi rurociągu. Podstawową niedogodnością te metody est fakt, że prędkość rozchodzenia się fali ultradźwiękowe est silnie zależna od temperatury i wilgotności ośrodka, co wymusza przy proektowaniu urządzeń wykorzystuących zawiska rozprzestrzeniania się takich fal, wprowadzania odpowiednich korekci lub odpowiednich bliźniaczych układów pomiarowych. Czasy przebiegu fali ultradźwiękowe t 1 między przetwornikami ultradźwiękowymi (ściankach rurociągu, cieczy i głowicach) w kierunku pod prąd cieczy i t z prądem cieczy można określić wzorami [1]: l 4 l t i 1 c v l sin i 1ci l 4 l t i c v l sin i 1ci () Z powyższe zależności wynika, że na pomiar prędkości przepływu głównie maą wpływ zależności geometryczne układu pomiarowego i czasy przebiegów fal ultradźwiękowych w mierzonym środowisku. W celu dokładnieszego określenia wartości prędkości przepływu niezbędne est [8] matematyczne oszacowanie średnie wartości prędkości V śr, na

6 86 K. Polakowski, J. Sikora, S.F. Filipowicz przykład poprzez wprowadzenie zintegrowanych współczynników wagowych w i, zgodnie z zależnością: V śr n w i V i (3) i 1 gdzie: V i wartość prędkości z i-te ścieżki pomiarowe, n ilość ścieżek pomiarowych. Średnia wartość prędkości przepływu est niewystarczaąca do prawidłowego określenia przepływu w całym przekrou rury. Wymagany est w miarę pełny obraz rozkładu prędkości występuących w badanym przekrou rury. Obraz pola rozkładu prędkości w płaszczyźnie prostopadłe do kierunku badanego przepływu można uzyskać metodą tomografii ultradźwiękowe [, 6, 9, 10], w które po odpowiednim przetworzeniu wyników pomiaru wektorów prędkości przepływaących cząstek można uzyskać zmieniaące się w czasie, w danym przekrou rury obrazy rozkładu wektorów prędkości (a pośrednio również obrazy rozkładu zagęszczeń cząstek w badanym ośrodku oraz innych wielkości fizycznych związanych z tymi prędkościami). Naważniesze parametry konstrukcyne układu pomiarowego to konfiguraca czunika pomiarowego, kąt nachylenia drogi fali ultradźwiękowe w stosunku do osi rurociągu, konstrukce głowicy i częstotliwość fali ultradźwiękowe. Parametry te maą zarówno wpływ na czułość urządzenia ak i dokładność pomiaru. Duże zmiany w konstrukcach przepływomierzy zachodzą w zakresie nowoczesnych technologii. Udoskonalane przepływomierze wychodzą poza zwykłe opomiarowanie, wchodząc w dziedzinę rozwiązywania problemów: polegaące na dylemacie ak wykorzystać informace, akie obecnie są w stanie przekazać te urządzenia, ak e wykorzystać do zwiększenia możliwości diagnostycznych, czy też ak zamienić e w dane, które będą przydatne dla badanych procesów. Takim wyzwaniem est tomograf ultradźwiękowy, który wychodząc poza funkcę typowych przyrządów pomiarowych stae się oknem pozwalaącym w sposób ciągły monitorować te procesy. 3. PRZEPŁYWOMIERZE TOMOGRAFICZNE Nowe generace tomografów komputerowych bazuą na algorytmach rekonstrukci obrazu z proekci wykonywanych z wykorzystaniem wiązek pro-

7 Algebraiczne metody konstrukci obrazów tomografii ultradźwiękowe 87 mieni naczęście ustawionych do siebie równolegle [13]. W przedstawionym przypadku zastosowano algorytmy z grupy metod algebraicznych, bazuących na metodologii aproksymaci funkci przez szeregi o skończone długości (ang. finite series). Obraz odtwarzany est przy pomocy algorytmu dyskretyzuącego badany obszar do postaci kwadratowych komórek o długości boku l, których środki geometryczne traktowane są ako piksele w odtwarzanym obrazie [6]. Przyęcie takiego algorytmu uzasadnione est następuącymi względami: 1. ultradźwięki rozchodzą się po liniach prostych, a więc nie istniee konieczność stosowania takich uproszczeń, ak w tomografii impedancyne lub poemnościowe [9, 11],. proponowana metoda umożliwia obrazowanie badanych wielkości w czasie rzeczywistym i est stosunkowo prosta, 3. dokładność w przypadku obrazowania profilu rozkładu prędkości nie est sprawą krytyczną, 4. może być szeroko stosowany niezależnie od mierzone geometrii i rodzau danych [] Odtworzenie profilu rozkładu prędkości w płaszczyźnie odbiorników oznacza wyznaczenie estymat skończonego zbioru nieznanych wartości prędkości, które możemy określić ako f(x, y). Na podstawie pomiarów czasów przebiegów impulsów ultradźwiękowych możemy uzyskać scałkowane wartości prędkości na drogach i - tych ścieżek pomiarowych (zwanych promieniami) między nadanikami a odbiornikami, które mogą być, zgodnie z zaproponowaną przez Kaczmarza lub Radona metodą tworzenia rzutu (lub proekci), określane rzutami (lub proekcami) s i [6, 8]. Przymuemy, że w dyskretyzowanym profilu rozkładu prędkości f(x, y) w każde - te komórce funkca f określaąca poszukiwaną wartość ma wartość stałą. Zależność między tak określonymi rzutami s i a wartościami f można określić ako [5]: n wi f s i, i = 1,,, m (4) 1 gdzie: m n w i liczba wszystkich promieni, liczba komórek, które przecinaą promienie, współczynniki wagowe określaące udział szukane wartości dla -te komórki, w stosunku do całe pomierzone wartości wzdłuż i-tego promienia.

8 88 K. Polakowski, J. Sikora, S.F. Filipowicz Równanie (4) w formie rozwinięte można przedstawić ako układ równań: w f w f w f... w f s n n 1 w 1 f 1 w f w 3 f 3... w n f n s. (5) w m1 f 1 w m f w m3 f 3... wmn fn sm Stosuąc numeryczne metody iteracyne, oparte o transformace Fouriera lub transformace Radona, dla dużych wartości n oraz m można wyliczyć wszystkie wartości f z równania (5), czyli stworzyć obraz tomograficzny poszukiwane wartości. Numeryczne metody iteracyne bazuą na zaproponowane po raz pierwszy przez Stefana Kaczmarza metodzie proekci a edną z bardzie popularnych metod te grupy est tak zwana metodą ART. (ang. Algebraic Reconstruction Technique) [1, 5]. W metodzie Kaczmarza siatka zbudowana z n komórek odzwierciedla obraz n stopni swobody. Przy takim założeniu obraz reprezentowany przez (f 1, f,, f n ) może być rozpatrywany w postaci poedynczych punktów w n wymiarowe przestrzeni. W przestrzeni te każde z równań (4) opisue hiperpłaszczyznę. Jeżeli istniee rozwiązanie (przy spełnionym warunku m n) tego układu równań, to znadue się ono w punkcie przecięcia prostych odzwierciedlaących te hiperpłaszczyzny [5, 11]. Każda ze zmierzonych wartości s i est ednak obarczona nieznanym, co do wartości, błędem a ponieważ poszukiwany zbiór rozwiązań [f 1, f,, f n ] T powinien ednakowo dobrze spełniać każde z m równań rzutów układu (5), to rozwiązanie tego problemu sprowadza się do poszukiwania współrzędnych globalnego minimum w przestrzeni n - wymiarowe, na przykład z pomocą dość skuteczne i szybko zbieżne metody iteracyne ART. W metodzie te algorytm rekonstrukci obrazu profilu poszukiwanych wartości wygląda następuąco: f 0 0 s T i w i f f i 1 i f w i 1 T i (6) w i wi f (k1) f 0 m gdzie: i = 1,,, m a indeks górny (k) est kolenym numerem iteraci.

9 Algebraiczne metody konstrukci obrazów tomografii ultradźwiękowe 89 Wartości poszukiwanych współczynników f i zawiera n elementowy wektor f f [ f, f, f,..., f T n ] (7) 1 3 Wartości rzutów obemue m elementowy wektor s s [ s, s, s,..., s T m ] (8) 1 3 W komórkach, których nie przecinaą promienie, współczynniki w i przymuą wartość równą zero. W innych przypadkach dla -te komórki przecinane i-tym promieniem współczynnik ten można wyliczyć zgodnie z zależnością: w i l (9) lp i gdzie: l lp i wymiar boku komórki, wymiar długości odcinka i-tego promienia w obrębie -te komórki. Pełną informacę o geometrii rzutów zawiera składaący się z m n elementów zbiór m wektorów [ w, w, w,..., w T 1 3 m ], gdzie każdy n-elementowy wektor w i : w w, w,..., w ] T 1 [ n w w, w,..., w ] T [ 1 n... w w T i [ w, w,..., i i in ] (10) 1... w w T m [ w, w,..., m m mn ] 1

10 90 K. Polakowski, J. Sikora, S.F. Filipowicz W przedstawiane metodzie, aby uzyskać równoległe ustawienie wiązek ścieżek pomiarowych spośród wszystkich ścieżek do obrazowania tomograficznego wybrano tylko te, które były do siebie równoległe dla wszystkich impulsów ultradźwiękowych koleno generowanych przez poszczególne nadaniki, ak pokazano to na rys. 3. Rys. 3. Równoległe ścieżki pomiarowe Do obliczeń przyęto rozdzielczość badanego obszaru 64 64, co dae 4096 pikseli, a więc liczba równań związana z liczbą promieni i proekci była mniesza od liczby niewiadomych. Zagęszczenie ścieżek pomiarowych w celu uzyskania lepsze akości obrazu spowodowało w obliczeniach konieczność rozwiązania nadokreślonego układu równań liniowych [9, 11]: W f s (11) gdzie: s [ s, s,..., s T m ] wektor prawe strony równania, 1 f [ f, f,..., f T n ] szukane rozwiązanie, 1 W macierz m n.

11 Algebraiczne metody konstrukci obrazów tomografii ultradźwiękowe 91 Jednym ze sposobów rozwiązania tego problemu est znalezienie wektor * f, który dla zadane macierzy W i wektora s minimalizue normę euklidesową wektora residualnego [4]: r * min s Wf, f min f fr n gdzie ostatnie minimum liczone est po wszystkich wektorach f spełniaących równość f * min f. Jest to tzw. liniowe zadanie namnieszych kwadratów (LZNK) [7]. Przy wyznaczaniu rozwiązania liniowego zadania namnieszych kwadratów i badaniu ego własności, korzystamy z twierdzenia o rozkładzie dowolne macierzy prostokątne na iloczyn macierzy ortogonalne, diagonalne i ortogonalne. Mówi ono, że dla dowolne macierzy W Rmn ( m n) istnieą macierze ortogonalne U Rmm i V Rnn takie, że: W D 0 V T U (1) gdzie: d 1 0 D. 0 0 d Rnxn. dn oraz d 1 d... d k d k1 d k... dn 0 a k est pseudo-rzędem macierzy W. Wielkości d i nazywamy wartościami osobliwymi (szczególnymi) macierzy W, a rozkład (1) rozkładem według wartości osobliwych SVD (ang. Singular Value Decomposition) [7]. Wartości osobliwe d i są pierwiastkami wartości własnych macierzy W T W, a kolumny macierzy V, odpowiadaącymi im ortonormalnymi wektorami własnymi te macierzy. Z kolei wektory U są T wektorami własnymi WW.

12 9 K. Polakowski, J. Sikora, S.F. Filipowicz Korzystaąc z wartości osobliwych macierzy W, e liczbę warunkową można obliczyć ze wzoru: cond(w) = d 1 (13) d k Znaąc rozkład (1) można łatwo wyznaczyć rozwiązanie LZNK: f* Ws (14) T gdzie: W VD U nazywana est macierzą pseudoodwrotną do W (lub czasami macierzą odwrotną w sensie Moore'a Penrose'a), D diag { 1,..., 1,0,...,0} R d d nxm (15) 1 k Dla nieosobliwe macierzy kwadratowe zachodzi równość: W W 1 (16) Rozwiązanie w przypadku złego uwarunkowania macierzy, (gdy k < n) można uzyskać podaną poniże metodą [4]. Załóżmy, że macierz W ma wyznaczony rozkład względem wartości osobliwych W D 0 V T U (17) Można, zatem wyznaczyć wektor: g UTs (18) i rozważyć liniowe zadanie namnieszych kwadratów (LZNK) D q g 0 (19) gdzie q est związane z wektorem f liniową transformacą ortogonalną

13 Algebraiczne metody konstrukci obrazów tomografii ultradźwiękowe 93 f Vq (0) Zagadnienie (0) est równoważne zagadnieniu W f s w sensie zagadnienia namnieszych kwadratów dla ogólne ortogonalne transformaci. Ponieważ macierz D est macierzą diagonalną ( D diag d, d,..., d }), to { 1 n wpływ każde składowe na normę residuum est oczywisty. Wprowadzaąc składową q ako: g q (1) d można zredukować sumę kwadratów residuum o wartość Załóżmy, że wartości osobliwe są ustawione w porządku nierosnącym tzn. dk dk 1, k 1,,..., n. Wtedy naturalną rzeczą est rozważenie rozwiązań próbnych (ang. candidate solutions) problemu (0) w postaci: g. q 1 q k q k 0,1,, n () 0 0 gdzie q est dane równaniem (1). Wektor rozwiązania próbnego (k) q est rozwiązaniem uzyskanym z () za pomocą pseudo-inwersi (rozwiązanie o minimalne normie) przy założeniu, że wartości osobliwe d dla k są na tyle małe, że traktuemy e ako wartości zerowe. Z rozwiązań próbnych zagadnienia gdzie Wf s ako: (k ) q można otrzymać wektory rozwiązań (k ) f dla k f Vq q v k 0,, n (3) 1 v oznacza -tą kolumnę wektora V.

14 94 K. Polakowski, J. Sikora, S.F. Filipowicz Zauważmy, że k k g f q q (4) 1 1 d gdzie (k) f est niemaleącą funkcą k. (k ) Kwadrat normy związane z f est dany zależnością: m ( q ) s Wf g (5) k 1 Inspekca kolumn macierzy V stowarzyszonych z małymi wartościami osobliwymi est bardzo efektywną metodą identyfikaci zbioru kolumn macierzy W, które są niemal liniowo zależne. Załóżmy, że macierz W est źle uwarunkowana; wtedy pewne wartości osobliwe są znacząco mniesze od pozostałych. W takim przypadku niektóre z końcowych wartości q mogą być niepożądanie wielkie. Należy określić indeks k, dla którego wszystkie współczynniki q dla k są dostatecznie małe, wszystkie wartości osobliwe d dla k są dostatecznie duże, a norma residuum q (k) est dostatecznie mała. Jeśli taki indeks k istniee to rozwiązanie próbne f (k) przymue się ako wektor rozwiązań LZNK. Aby określić indeks k nawygodnie est skorzystać z wykresu r f f. Dla zadań źle uwarunkowanych mamy wówczas wykres przypominaący kształtem literę L, z którego stosunkowo łatwo można określić optymalną wartość indeksu k, co zostało przedstawione na rys w normie wektora reszt. PRACE INSTYTUTU ELEKTROTECHNIKI, zeszyt 30, 007

15 Algebraiczne metody konstrukci obrazów tomografii ultradźwiękowe WYNIKI EKSPERYMENTU NUMERYCZNEGO Eksperyment numeryczny został przeprowadzony na danych syntetycznych niezaszumionych. Jak to zostało podane we wcześnieszych rozdziałach algorytm budowy obrazu został zaproektowany w ten sposób, aby można było wygenerować nadokreślony układ równań, to znaczy taki, dla którego liczba równań est większa niż liczba niewiadomych. Niestety immanentną cechą tomografii est między innymi i to, że macierz współczynników est macierzą prostokątną o niepełnym pseudo rzędzie. Zatem zmuszeni zostaliśmy do rozpatrzenia rozwiązań próbnych (ang. candidate solutions) [10] oraz do wyboru ednego z nich. Obrazy wybranych poszczególnych rozwiązań są przedstawione na rys. 4. Jako kryterium wyboru pseudo rzędu macierzy, a zatem i rozwiązania próbnego, przyęto rozwiązanie o możliwie małe normie, gwarantuące możliwie minimalną normę wektora residualnego. Interpretacę graficzną przyętego kryterium przedstawiono na rys. 5, 6 i 7. Rozwiązanie optymalne występue na zagięciu krzywych normy wektora reszt przedstawionych obok obrazu tomograficznego. Jak łatwo zauważyć, obrazy tomograficzne dla zbyt małe oraz zbyt duże liczby wartości osobliwych staą się nieczytelne. Dla obiektu typu krzyż akościowo nalepsze odwzorowania uzyskano w zakresie 00 do 500 wartości osobliwych. (za nalepszy wynik uznano obraz dla 481 nawiększych wartości osobliwych). Wybrane obrazy eksperymentu numerycznego dla trzech różnych obiektów (krzyż, kwadrat i prostokąt) przedstawiono na rys łącznie z wykresami normy residualne w funkci normy wektora rozwiązań r f f. Uzyskane wyniki są surowym obrazem odwzorowań tomograficznych uzyskanych dla danych syntetycznych. Nie zastosowano też żadne metody regularyzacyne, pozwalaące na uzyskanie obrazów bez smug, ponieważ na tym etapie nie było to konieczne.

16 96 K. Polakowski, J. Sikora, S.F. Filipowicz k = 001 wartości osobliwych k = 005 wartości osobliwych k = 010 wartości osobliwych k = 05 wartości osobliwych k = 050 wartości osobliwych k = 075 wartości osobliwych k = 150 wartości osobliwych k = 00 wartości osobliwych k = 50 wartości osobliwych k = 300 wartości osobliwych k = 450 wartości osobliwych k = 481 wartości osobliwych k = 500 wartości osobliwych k = 508 wartości osobliwych k = 510 wartości osobliwych k = 51 wartości osobliwych Rys. 4. Obrazy tomograficzne kolenych rozwiązań próbnych w funkci wzrastaących od 1 do 51 wartości osobliwych k

17 Algebraiczne metody konstrukci obrazów tomografii ultradźwiękowe 97 Rys. 5. Model obiektu typu krzyż i ego profil tomograficzny oraz norma wektora reszt w funkci normy wektora rozwiązań r f f Rys. 6. Model obiektu typu kwadrat i ego profil tomograficzny oraz norma wektora reszt w funkci normy wektora rozwiązań r f f Rys. 7. Model obiektu typu prostokąt i ego profil tomograficzny oraz norma wektora reszt w funkci normy wektora rozwiązań r f f

18 98 K. Polakowski, J. Sikora, S.F. Filipowicz 4. WNIOSKI KOŃCOWE Uzyskane wyniki są surowym obrazem odwzorowań tomograficznych dla danych syntetycznych. W przedstawionym eksperymencie numerycznym nie zastosowano też żadne metody regularyzacyne, pozwalaące na uzyskanie obrazów bez smug. Pomimo tego można stwierdzić, że uzyskane zaproponowaną metodą wyniki są dość wiernym odwzorowaniem modelowanych obiektów oraz umożliwiaą ich precyzyną lokalizacę wewnątrz rozpatrywanego obszaru. Potwierdza to, że zaproponowano skuteczną i efektywną metodę tworzenia obrazów tomograficznych. LITERATURA 1. Ciernik R.: Tomografia komputerowa, Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT, Warszawa, (005). Dobrucki A.B, Opieliński K.J : Adaptation of Image Reconstruction Algorithm for Purposes of Ultrasound Transmission Tomography (UTT), Archives of Acoustic, 5, 4, (000) 3. Gudra T.: Właściwości I zastosowanie przetworników ultradźwiękowych do pracy w ośrodkach gazowych, Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskie, Wrocław (005) 4. Guziak T., Kamińska A., Pańczyk B., Sikora J.: Metody numeryczne w elektrotechnice, Wydawnictwa Politechniki Lubelskie, Lublin, wyd. III (00) 5. Kak A., C., Slaney M.: Principles of Computerized Tomographic Imaging, IEEE Press, (1999) 6. Kurniadi D., Trisnobudi A., Suanto S., Ultrasonic Tomography for Airflow Velocity Profile Measurement using Multipath Transducers, Proc. Of 4 th world Congress on Industrial Process Tomography, Aizu, Japan, (005) 7. Lawson C. L., Hanson R. J.: Solving Least Squares Problems, Classics in Applied Mathematics 15, SIAM (1995) 8. Michalski A., A New Approach To Estimating the Main Error Of A Primary Transducer for an Electromagnetic Flowmeter, Transactions on Instrumentation and Measurement, vol. 50, no 3, (001) 9. Mosorov V., Sankowski D., Mazurkiewicz Ł., Dyak owski T., The 'best - correlated pixels' method for solid mass flow measurements using electrical capacitance tomography, Measurement Science and Technology, 13, (00) 10. Polakowski K., Sikora J., Filipowicz S. F.,: Liniowe zadanie namnieszych kwadratów w konstrukci obrazów wielościeżkowe tomografii ultradźwiękowe, Przegląd Elektrotechniczny, R. LXXXII, Nr 10, (006) 11. Sikora J.: Numeryczne algorytmy w tomografii impedancyne i wiroprądowe, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskie Warszawa (000)

19 Algebraiczne metody konstrukci obrazów tomografii ultradźwiękowe W aluś S., Optymalizaca metrologiczna strumienia płynu za pomocą przepływomierzy próbkuących, Wydawnictwo Politechniki Śląskie, Gliwice (003) 13. Yeh T. T., Espina P. I.: An Intelligent Ultrasonic Flow Meter for Improved Measurement and Flow Calibration Facility, IEEE Instrumentation and Measurement and flow Calibration Facility, Budapest, Hungary, (001) Rękopis dostarczono, dnia r. Opiniował: prof. dr hab. inż. Antoni Cieśla LINEAR PROBLEM OF THE LEAST SQUARES IN CONSTRUCTION IMAGES OF MULTIPATH ULTRASONIC TOMOGRAPHY Krzysztof POLAKOWSKI, Jan SIKORA, Stefan F. FILIPOWICZ ABSTRACT Application of the ultrasound tomography for velocity images (profiles) of gas in circular pipe is presented in this paper. Single or multi path flowmeters are currently used to measure the average co-pivotal value of the gas speed flowing in a pipe. In this paper we have extended the idea of measurement of an average speed flow to a measuring a speed profile in a cross section of the pipe. The idea extension directly leads to a multipath ultrasonic tomography. The image construction was done with an aid of linear least squares problem. Proposed method was illustrated with a numerical simulation results.