Teoria grafów. Magdalena Lemańska

Transkrypt

1 Teoria grafów Magdalena Lemańska

2 Literatura Aspekty kombinatoryki Victor Bryant Graph Theory V.K. Balakrishnan Fundamentals of domination in graphs T. Haynes, S. Hedetniemi, P. Slater

3 Wstęp Graf Grafem nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest niepustym zbiorem punktów (wierzchołków), a E to zbiór dwuelementowych podzbiorow zbioru V (krawędzi). Moc zbioru V oznaczamy przez n i nazywamy rzędem grafu, a moc zbioru E przez m i nazywamy rozmiarem grafu.

4 Wstęp Graf Grafem nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest niepustym zbiorem punktów (wierzchołków), a E to zbiór dwuelementowych podzbiorow zbioru V (krawędzi). Moc zbioru V oznaczamy przez n i nazywamy rzędem grafu, a moc zbioru E przez m i nazywamy rozmiarem grafu. Jeżeli u, v V, to uv E. Piszemy też e E.

5 Wstęp Graf Grafem nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest niepustym zbiorem punktów (wierzchołków), a E to zbiór dwuelementowych podzbiorow zbioru V (krawędzi). Moc zbioru V oznaczamy przez n i nazywamy rzędem grafu, a moc zbioru E przez m i nazywamy rozmiarem grafu. Jeżeli u, v V, to uv E. Piszemy też e E. Sąsiedztwo Otwartym sąsiedztwem wierzchołka v V w grafie G nazywamy zbiór N G = {u V : uv E}. Domknięte sąsiedztwo wierzchołka v V to zbiór N G (v) {v}.

6 Wstęp Graf Grafem nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest niepustym zbiorem punktów (wierzchołków), a E to zbiór dwuelementowych podzbiorow zbioru V (krawędzi). Moc zbioru V oznaczamy przez n i nazywamy rzędem grafu, a moc zbioru E przez m i nazywamy rozmiarem grafu. Jeżeli u, v V, to uv E. Piszemy też e E. Sąsiedztwo Otwartym sąsiedztwem wierzchołka v V w grafie G nazywamy zbiór N G = {u V : uv E}. Domknięte sąsiedztwo wierzchołka v V to zbiór N G (v) {v}. Stopień wierzchołka Stopień wierzchołka v V w grafie G oznaczamy przez d G (v) i definiujemy jako ilość elementów w otwartym sąsiedztwie wierzchołka v; d G (v) = N G (v).

7 Wstęp Graf Grafem nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest niepustym zbiorem punktów (wierzchołków), a E to zbiór dwuelementowych podzbiorow zbioru V (krawędzi). Moc zbioru V oznaczamy przez n i nazywamy rzędem grafu, a moc zbioru E przez m i nazywamy rozmiarem grafu. Jeżeli u, v V, to uv E. Piszemy też e E. Sąsiedztwo Otwartym sąsiedztwem wierzchołka v V w grafie G nazywamy zbiór N G = {u V : uv E}. Domknięte sąsiedztwo wierzchołka v V to zbiór N G (v) {v}. Stopień wierzchołka Stopień wierzchołka v V w grafie G oznaczamy przez d G (v) i definiujemy jako ilość elementów w otwartym sąsiedztwie wierzchołka v; d G (v) = N G (v). Graf prosty Graf prosty jest to graf nieskierowany, bez pętli i krawędzi wielokrotnych.

8 Typy grafów Graf pełny Graf pełny jest to graf, w którym każde dwa wierzchołki połączone są krawędzią. Graf pełny o n wierzchołkach oznaczamy symbolem K n. Łatwo zauważyć, że E(K n) = n(n 1) 2.

9 Typy grafów Graf pełny Graf pełny jest to graf, w którym każde dwa wierzchołki połączone są krawędzią. Graf pełny o n wierzchołkach oznaczamy symbolem K n. Łatwo zauważyć, że E(K n) = n(n 1) 2. Dopełnienie grafu Dopełnienie grafu G = (V, E) to graf G = (V, E), przy czym e E, jeśli e / E.

10 Typy grafów Graf pełny Graf pełny jest to graf, w którym każde dwa wierzchołki połączone są krawędzią. Graf pełny o n wierzchołkach oznaczamy symbolem K n. Łatwo zauważyć, że E(K n) = n(n 1) 2. Dopełnienie grafu Dopełnienie grafu G = (V, E) to graf G = (V, E), przy czym e E, jeśli e / E. Graf dwudzielny Graf G nazywamy grafem dwudzielnym, jeśli zbiór jego wierzchołków można podzielić na dwa zbiory V 1, V 2 w taki sposób, że każda krawędź z grafu G łączy wierzchołek ze zbioru V 1 z wierzchołkiem ze zbioru V 2. Jeśli V 1 = r, V 2 = s, to graf pełny dwudzielny oznaczamy przez K r,s. Graf K 1,n 1 nazywamy gwiazdą.

11 Izomorfizm grafów Grafy izomorficzne Mówimy, że grafy G 1, G 2 są izomorficzne, jeśli istnieje funkcja f : V (G 1 ) V (G 2 ), która odwzorowuje wzajemnie jednoznacznie zbiór V 1 na zbiór V 2 oraz dla każdych dwóch wierzchołków u, v V (G 1 ), uv E(G 1 ) f (u)f (v) E(G 2 ).

12 Izomorfizm grafów Grafy izomorficzne Mówimy, że grafy G 1, G 2 są izomorficzne, jeśli istnieje funkcja f : V (G 1 ) V (G 2 ), która odwzorowuje wzajemnie jednoznacznie zbiór V 1 na zbiór V 2 oraz dla każdych dwóch wierzchołków u, v V (G 1 ), uv E(G 1 ) f (u)f (v) E(G 2 ). Uwaga Dwa grafy o tej samej ilości wierzchołków i krawędzi oraz o tych samych ciągach stopni nie muszą być izomorficzne.

13 Izomorfizm grafów Grafy izomorficzne Mówimy, że grafy G 1, G 2 są izomorficzne, jeśli istnieje funkcja f : V (G 1 ) V (G 2 ), która odwzorowuje wzajemnie jednoznacznie zbiór V 1 na zbiór V 2 oraz dla każdych dwóch wierzchołków u, v V (G 1 ), uv E(G 1 ) f (u)f (v) E(G 2 ). Uwaga Dwa grafy o tej samej ilości wierzchołków i krawędzi oraz o tych samych ciągach stopni nie muszą być izomorficzne. Podgraf Podgrafem danego grafu G nazywamy graf G = (V, E ) taki, że V V oraz E E.

14 Izomorfizm grafów Grafy izomorficzne Mówimy, że grafy G 1, G 2 są izomorficzne, jeśli istnieje funkcja f : V (G 1 ) V (G 2 ), która odwzorowuje wzajemnie jednoznacznie zbiór V 1 na zbiór V 2 oraz dla każdych dwóch wierzchołków u, v V (G 1 ), uv E(G 1 ) f (u)f (v) E(G 2 ). Uwaga Dwa grafy o tej samej ilości wierzchołków i krawędzi oraz o tych samych ciągach stopni nie muszą być izomorficzne. Podgraf Podgrafem danego grafu G nazywamy graf G = (V, E ) taki, że V V oraz E E. Podgraf indukowany Podgrafem danego grafu G nazywamy graf powstały przez usunięcie z grafu G pewnej liczby wierzchołków oraz krawędzi incydentnych z tymi wierzchołkami.

15 Szlak, ścieżka, cykl Szlak Szlakiem w grafie G nazywamy ciąg wierzchołków (v 1, v 2,..., v k ) (w którym dozwolone są powtórzenia) taki, że v 1 v 2, v 2 v 3,..., v k 1 v k są różnymi krawędziami w grafie.

16 Szlak, ścieżka, cykl Szlak Szlakiem w grafie G nazywamy ciąg wierzchołków (v 1, v 2,..., v k ) (w którym dozwolone są powtórzenia) taki, że v 1 v 2, v 2 v 3,..., v k 1 v k są różnymi krawędziami w grafie. Ścieżka Ścieżka jest to szlak, w którym nie są dozwolone powtórzenia wierzchołków. Szlak postaci (v 1, v 2,..., v k, v 1 ), gdzie (v 1, v 2,..., v k ) jest ścieżką, nazywamy cyklem.

17 Szlak, ścieżka, cykl Szlak Szlakiem w grafie G nazywamy ciąg wierzchołków (v 1, v 2,..., v k ) (w którym dozwolone są powtórzenia) taki, że v 1 v 2, v 2 v 3,..., v k 1 v k są różnymi krawędziami w grafie. Ścieżka Ścieżka jest to szlak, w którym nie są dozwolone powtórzenia wierzchołków. Szlak postaci (v 1, v 2,..., v k, v 1 ), gdzie (v 1, v 2,..., v k ) jest ścieżką, nazywamy cyklem. Graf spójny Graf G jest grafem spójnym, jeśli dla każdych dwóch wierzchołków tego grafu istnieje w G ścieżka pomiędzy nimi.

18 Szlak, ścieżka, cykl Szlak Szlakiem w grafie G nazywamy ciąg wierzchołków (v 1, v 2,..., v k ) (w którym dozwolone są powtórzenia) taki, że v 1 v 2, v 2 v 3,..., v k 1 v k są różnymi krawędziami w grafie. Ścieżka Ścieżka jest to szlak, w którym nie są dozwolone powtórzenia wierzchołków. Szlak postaci (v 1, v 2,..., v k, v 1 ), gdzie (v 1, v 2,..., v k ) jest ścieżką, nazywamy cyklem. Graf spójny Graf G jest grafem spójnym, jeśli dla każdych dwóch wierzchołków tego grafu istnieje w G ścieżka pomiędzy nimi. Lemat o uściskach dłoni Dla każdego grafu G, v V d G (v) = 2 E.

19 Drzewo Drzewem T nazywamy graf spójny nie zawierający cykli. Jeśli v V (T ) i d T (v) = 1, to v nazywamy wierzchołkiem końcowym lub liściem.

20 Drzewo Drzewem T nazywamy graf spójny nie zawierający cykli. Jeśli v V (T ) i d T (v) = 1, to v nazywamy wierzchołkiem końcowym lub liściem. Twierdzenie Jeśli T jest drzewem o n wierzchołkach, to E(T ) = n 1.

21 Drzewo Drzewem T nazywamy graf spójny nie zawierający cykli. Jeśli v V (T ) i d T (v) = 1, to v nazywamy wierzchołkiem końcowym lub liściem. Twierdzenie Jeśli T jest drzewem o n wierzchołkach, to E(T ) = n 1. Twierdzenie Jeśli T jest drzewem o n wierzchołkach, to następujące warunki są równoważne:

22 Drzewo Drzewem T nazywamy graf spójny nie zawierający cykli. Jeśli v V (T ) i d T (v) = 1, to v nazywamy wierzchołkiem końcowym lub liściem. Twierdzenie Jeśli T jest drzewem o n wierzchołkach, to E(T ) = n 1. Twierdzenie Jeśli T jest drzewem o n wierzchołkach, to następujące warunki są równoważne: T jest drzewem

23 Drzewo Drzewem T nazywamy graf spójny nie zawierający cykli. Jeśli v V (T ) i d T (v) = 1, to v nazywamy wierzchołkiem końcowym lub liściem. Twierdzenie Jeśli T jest drzewem o n wierzchołkach, to E(T ) = n 1. Twierdzenie Jeśli T jest drzewem o n wierzchołkach, to następujące warunki są równoważne: T jest drzewem T nie zawiera cykli i ma n 1 krawędzi

24 Drzewo Drzewem T nazywamy graf spójny nie zawierający cykli. Jeśli v V (T ) i d T (v) = 1, to v nazywamy wierzchołkiem końcowym lub liściem. Twierdzenie Jeśli T jest drzewem o n wierzchołkach, to E(T ) = n 1. Twierdzenie Jeśli T jest drzewem o n wierzchołkach, to następujące warunki są równoważne: T jest drzewem T nie zawiera cykli i ma n 1 krawędzi T jest spójny i ma n 1 krawędzi

25 Drzewo Drzewem T nazywamy graf spójny nie zawierający cykli. Jeśli v V (T ) i d T (v) = 1, to v nazywamy wierzchołkiem końcowym lub liściem. Twierdzenie Jeśli T jest drzewem o n wierzchołkach, to E(T ) = n 1. Twierdzenie Jeśli T jest drzewem o n wierzchołkach, to następujące warunki są równoważne: T jest drzewem T nie zawiera cykli i ma n 1 krawędzi T jest spójny i ma n 1 krawędzi T jest spójny i dla każdej jego krawędzi uv, graf T uv jest niespójny

26 Drzewo Drzewem T nazywamy graf spójny nie zawierający cykli. Jeśli v V (T ) i d T (v) = 1, to v nazywamy wierzchołkiem końcowym lub liściem. Twierdzenie Jeśli T jest drzewem o n wierzchołkach, to E(T ) = n 1. Twierdzenie Jeśli T jest drzewem o n wierzchołkach, to następujące warunki są równoważne: T jest drzewem T nie zawiera cykli i ma n 1 krawędzi T jest spójny i ma n 1 krawędzi T jest spójny i dla każdej jego krawędzi uv, graf T uv jest niespójny dowolne dwa wierzchołki grafu T są połączone dokładnie jedną ścieżką

27 Drzewo Drzewem T nazywamy graf spójny nie zawierający cykli. Jeśli v V (T ) i d T (v) = 1, to v nazywamy wierzchołkiem końcowym lub liściem. Twierdzenie Jeśli T jest drzewem o n wierzchołkach, to E(T ) = n 1. Twierdzenie Jeśli T jest drzewem o n wierzchołkach, to następujące warunki są równoważne: T jest drzewem T nie zawiera cykli i ma n 1 krawędzi T jest spójny i ma n 1 krawędzi T jest spójny i dla każdej jego krawędzi uv, graf T uv jest niespójny dowolne dwa wierzchołki grafu T są połączone dokładnie jedną ścieżką T nie posiada cykli, ale dla każdej pary niesąsiednich wierzchołków u, v graf T + uv zawiera dokładnie jeden cykl.

28 Zliczanie drzew Ile jest wszystkich drzew o n wierzchołkach?- tw. Cayleya Dla każdego drzewa T o n 2 wierzchołkach, ilość drzew n- wierzchołkowych wynosi T n = n n 2.

29 Zliczanie drzew Ile jest wszystkich drzew o n wierzchołkach?- tw. Cayleya Dla każdego drzewa T o n 2 wierzchołkach, ilość drzew n- wierzchołkowych wynosi T n = n n 2. Kody Prufera Prufer pokazał, że wszystkich drzew o n wierzchołkach jest dokładnie tyle, ile jest ciągów długości n 2, których elementy wybierane są ze zbioru n-elementowego (elementy mogą się powtarzać).

30 Zliczanie drzew Ile jest wszystkich drzew o n wierzchołkach?- tw. Cayleya Dla każdego drzewa T o n 2 wierzchołkach, ilość drzew n- wierzchołkowych wynosi T n = n n 2. Kody Prufera Prufer pokazał, że wszystkich drzew o n wierzchołkach jest dokładnie tyle, ile jest ciągów długości n 2, których elementy wybierane są ze zbioru n-elementowego (elementy mogą się powtarzać). Algorytm wyznaczania kodu Prufera Aby wyznaczyć kod Prufera danego drzewa T na zbiorze wierzchołków {1, 2,..., n}, należy:

31 Zliczanie drzew Ile jest wszystkich drzew o n wierzchołkach?- tw. Cayleya Dla każdego drzewa T o n 2 wierzchołkach, ilość drzew n- wierzchołkowych wynosi T n = n n 2. Kody Prufera Prufer pokazał, że wszystkich drzew o n wierzchołkach jest dokładnie tyle, ile jest ciągów długości n 2, których elementy wybierane są ze zbioru n-elementowego (elementy mogą się powtarzać). Algorytm wyznaczania kodu Prufera Aby wyznaczyć kod Prufera danego drzewa T na zbiorze wierzchołków {1, 2,..., n}, należy: 1 znaleźć najmniejszy wierzchołek stopnia jeden, powiedzmy v. Niech w będzie wierzchołkiem połączonym z v;

32 Zliczanie drzew Ile jest wszystkich drzew o n wierzchołkach?- tw. Cayleya Dla każdego drzewa T o n 2 wierzchołkach, ilość drzew n- wierzchołkowych wynosi T n = n n 2. Kody Prufera Prufer pokazał, że wszystkich drzew o n wierzchołkach jest dokładnie tyle, ile jest ciągów długości n 2, których elementy wybierane są ze zbioru n-elementowego (elementy mogą się powtarzać). Algorytm wyznaczania kodu Prufera Aby wyznaczyć kod Prufera danego drzewa T na zbiorze wierzchołków {1, 2,..., n}, należy: 1 znaleźć najmniejszy wierzchołek stopnia jeden, powiedzmy v. Niech w będzie wierzchołkiem połączonym z v; 2 zapisać w oraz usunąć wierzchołek v wraz z krawędzią wv;

33 Zliczanie drzew Ile jest wszystkich drzew o n wierzchołkach?- tw. Cayleya Dla każdego drzewa T o n 2 wierzchołkach, ilość drzew n- wierzchołkowych wynosi T n = n n 2. Kody Prufera Prufer pokazał, że wszystkich drzew o n wierzchołkach jest dokładnie tyle, ile jest ciągów długości n 2, których elementy wybierane są ze zbioru n-elementowego (elementy mogą się powtarzać). Algorytm wyznaczania kodu Prufera Aby wyznaczyć kod Prufera danego drzewa T na zbiorze wierzchołków {1, 2,..., n}, należy: 1 znaleźć najmniejszy wierzchołek stopnia jeden, powiedzmy v. Niech w będzie wierzchołkiem połączonym z v; 2 zapisać w oraz usunąć wierzchołek v wraz z krawędzią wv; 3 Jeśli w drzewie pozostała więcej niż jedna krawędź, to przejść do pierwszego kroku. Jeśli nie- zakończyć algorytm. Otrzymany ciąg jest ciągiem Prufera dla drzewa T.

34 Otrzymywanie drzewa z kodu Dla zadanego ciągu liczb (a 1, a 2,..., a n 2 ) wybranych w dowolny sposób ze zbioru {1, 2,..., n}, aby wyznaczyć drzewo T, dla którego ten ciąg jest kodem Prufera, należy:

35 Otrzymywanie drzewa z kodu Dla zadanego ciągu liczb (a 1, a 2,..., a n 2 ) wybranych w dowolny sposób ze zbioru {1, 2,..., n}, aby wyznaczyć drzewo T, dla którego ten ciąg jest kodem Prufera, należy: zapisać dwie listy: a 1, a 2,..., a n 2 oraz 1, 2,..., n i rozpocząć ze zbiorem wierzchołków {1, 2,..., n} i pustym zbiorem krawędzi;

36 Otrzymywanie drzewa z kodu Dla zadanego ciągu liczb (a 1, a 2,..., a n 2 ) wybranych w dowolny sposób ze zbioru {1, 2,..., n}, aby wyznaczyć drzewo T, dla którego ten ciąg jest kodem Prufera, należy: zapisać dwie listy: a 1, a 2,..., a n 2 oraz 1, 2,..., n i rozpocząć ze zbiorem wierzchołków {1, 2,..., n} i pustym zbiorem krawędzi; wyznaczyć z drugiej listy najmniejszą liczbę, powiedzmy i, która nie występuje na pierwszej liście. Usunąć pierwszy element z pierwszej listy, powiedzmy j, usunąć i z drugiej listy i dodać do zbioru krawędzi ji.

37 Otrzymywanie drzewa z kodu Dla zadanego ciągu liczb (a 1, a 2,..., a n 2 ) wybranych w dowolny sposób ze zbioru {1, 2,..., n}, aby wyznaczyć drzewo T, dla którego ten ciąg jest kodem Prufera, należy: zapisać dwie listy: a 1, a 2,..., a n 2 oraz 1, 2,..., n i rozpocząć ze zbiorem wierzchołków {1, 2,..., n} i pustym zbiorem krawędzi; wyznaczyć z drugiej listy najmniejszą liczbę, powiedzmy i, która nie występuje na pierwszej liście. Usunąć pierwszy element z pierwszej listy, powiedzmy j, usunąć i z drugiej listy i dodać do zbioru krawędzi ji. jeśli pierwsza lista zawiera co najmniej jedną liczbę, to przejść do poprzedniego punktu. Jeśli pierwsza lista jest pusta, to druga będzie się składać z dokładnie dwóch liczb. Dodać do zbioru krawędzi ostatnią, której wierzchołkami są właśnie te liczby i zakończyć algorytm.

38 Leonard Euler

39 Leonard Euler Leonard Euler

40 Leonard Euler

41 Leonard Euler Leonard Euler:

42 Leonard Euler Leonard Euler: w wieku 13 lat zaczął studiować teologię;

43 Leonard Euler Leonard Euler: w wieku 13 lat zaczął studiować teologię; w wieku lat 16 ukończył studia matematyczne;

44 Leonard Euler Leonard Euler: w wieku 13 lat zaczął studiować teologię; w wieku lat 16 ukończył studia matematyczne; znalazł matematyczny dowód na istnienie Boga;

45 Leonard Euler Leonard Euler: w wieku 13 lat zaczął studiować teologię; w wieku lat 16 ukończył studia matematyczne; znalazł matematyczny dowód na istnienie Boga; wymyślił popularną teraz łamigłówkę SUDOKU;

46 Leonard Euler Leonard Euler: w wieku 13 lat zaczął studiować teologię; w wieku lat 16 ukończył studia matematyczne; znalazł matematyczny dowód na istnienie Boga; wymyślił popularną teraz łamigłówkę SUDOKU; opublikował ponad 900 prac z różnych dziedzin, był wielkim popularyzatorem matematyki;

47 Leonard Euler Leonard Euler: w wieku 13 lat zaczął studiować teologię; w wieku lat 16 ukończył studia matematyczne; znalazł matematyczny dowód na istnienie Boga; wymyślił popularną teraz łamigłówkę SUDOKU; opublikował ponad 900 prac z różnych dziedzin, był wielkim popularyzatorem matematyki; 77 miejsce na 100 postaci, które miały największy wpływ na dzieje ludzkości;

48 Leonard Euler Leonard Euler: w wieku 13 lat zaczął studiować teologię; w wieku lat 16 ukończył studia matematyczne; znalazł matematyczny dowód na istnienie Boga; wymyślił popularną teraz łamigłówkę SUDOKU; opublikował ponad 900 prac z różnych dziedzin, był wielkim popularyzatorem matematyki; 77 miejsce na 100 postaci, które miały największy wpływ na dzieje ludzkości; jest autorem hipotezy, że ziemia jest wewnątrz pusta, w centrum ma słońce, na dodatek ta przestrzeń jest zamieszkana (UFO- forum top secret);

49 Leonard Euler Leonard Euler: w wieku 13 lat zaczął studiować teologię; w wieku lat 16 ukończył studia matematyczne; znalazł matematyczny dowód na istnienie Boga; wymyślił popularną teraz łamigłówkę SUDOKU; opublikował ponad 900 prac z różnych dziedzin, był wielkim popularyzatorem matematyki; 77 miejsce na 100 postaci, które miały największy wpływ na dzieje ludzkości; jest autorem hipotezy, że ziemia jest wewnątrz pusta, w centrum ma słońce, na dodatek ta przestrzeń jest zamieszkana (UFO- forum top secret); słynny "wzór Eulera"wymyślił, mając dokładnie roczek.

50 Mosty królewieckie

51 Mosty królewieckie Mosty królewieckie- siedem mostów łączących brzegi rzeki Pregoły (1736).

52 Mosty królewieckie Mosty królewieckie- siedem mostów łączących brzegi rzeki Pregoły (1736). Pytanie Eulera- czy można przejść przez miasto przechodząc przez każdy most dokładnie raz?

53

54 Zastępujemy obszary lądu wierzchołkami, a mosty krawędziami.

55 Zastępujemy obszary lądu wierzchołkami, a mosty krawędziami. Czy można przejść przez graf, używając każdej krawędzi dokładnie raz? (czy graf jest eulerowski?)

56 Zastępujemy obszary lądu wierzchołkami, a mosty krawędziami. Czy można przejść przez graf, używając każdej krawędzi dokładnie raz? (czy graf jest eulerowski?) Hymn teorii grafów (refren) Eulera graf, to fakt oczywisty, wszystkie wierzchołki ma stopni parzystych. To doskonale znana jest W teorii grafów pierwsza z tez.

57 Grafy eulerowskie Szlak domknięty Szlak domknięty- taki, który kończy się w swoim punkcie wyjścia.

58 Grafy eulerowskie Szlak domknięty Szlak domknięty- taki, który kończy się w swoim punkcie wyjścia. Szlak Eulera Szlak Eulera- szlak domknięty, przechodzący przez wszystkie krawędzie grafu.

59 Grafy eulerowskie Szlak domknięty Szlak domknięty- taki, który kończy się w swoim punkcie wyjścia. Szlak Eulera Szlak Eulera- szlak domknięty, przechodzący przez wszystkie krawędzie grafu. Graf eulerowski Graf Eulerowski- graf zawierający szlak Eulera.

60 Grafy eulerowskie Szlak domknięty Szlak domknięty- taki, który kończy się w swoim punkcie wyjścia. Szlak Eulera Szlak Eulera- szlak domknięty, przechodzący przez wszystkie krawędzie grafu. Graf eulerowski Graf Eulerowski- graf zawierający szlak Eulera. Twierdzenie Eulera- Hierholtza- warunek konieczny i dostateczny Niech G będzie grafem spójnym. Następujące trzy własności są równoważne:

61 Grafy eulerowskie Szlak domknięty Szlak domknięty- taki, który kończy się w swoim punkcie wyjścia. Szlak Eulera Szlak Eulera- szlak domknięty, przechodzący przez wszystkie krawędzie grafu. Graf eulerowski Graf Eulerowski- graf zawierający szlak Eulera. Twierdzenie Eulera- Hierholtza- warunek konieczny i dostateczny Niech G będzie grafem spójnym. Następujące trzy własności są równoważne: każdy wierzchołek w G ma stopień parzysty,

62 Grafy eulerowskie Szlak domknięty Szlak domknięty- taki, który kończy się w swoim punkcie wyjścia. Szlak Eulera Szlak Eulera- szlak domknięty, przechodzący przez wszystkie krawędzie grafu. Graf eulerowski Graf Eulerowski- graf zawierający szlak Eulera. Twierdzenie Eulera- Hierholtza- warunek konieczny i dostateczny Niech G będzie grafem spójnym. Następujące trzy własności są równoważne: każdy wierzchołek w G ma stopień parzysty, istnieje p cykli c 1,..., c p takich, że każda krawędź grafu G należy do dokładnie jednego cyklu (G można przedstawić jako sumę rozłącznych krawędziowo cykli)

63 Grafy eulerowskie Szlak domknięty Szlak domknięty- taki, który kończy się w swoim punkcie wyjścia. Szlak Eulera Szlak Eulera- szlak domknięty, przechodzący przez wszystkie krawędzie grafu. Graf eulerowski Graf Eulerowski- graf zawierający szlak Eulera. Twierdzenie Eulera- Hierholtza- warunek konieczny i dostateczny Niech G będzie grafem spójnym. Następujące trzy własności są równoważne: każdy wierzchołek w G ma stopień parzysty, istnieje p cykli c 1,..., c p takich, że każda krawędź grafu G należy do dokładnie jednego cyklu (G można przedstawić jako sumę rozłącznych krawędziowo cykli) G jest eulerowski.

64 Algorytmy znajdowania zamkniętego szlaku Eulera Algorytm- jak przejść graf eulerowski, używając każdej krawędzi dokładnie raz?

65 Algorytmy znajdowania zamkniętego szlaku Eulera Algorytm- jak przejść graf eulerowski, używając każdej krawędzi dokładnie raz? Wybieramy dowolny wierzchołek v 0 V (G) i cykl C zawiera v 0 ;

66 Algorytmy znajdowania zamkniętego szlaku Eulera Algorytm- jak przejść graf eulerowski, używając każdej krawędzi dokładnie raz? Wybieramy dowolny wierzchołek v 0 V (G) i cykl C zawiera v 0 ; Wszystkie krawędzie C oznaczamy cechą 0;

67 Algorytmy znajdowania zamkniętego szlaku Eulera Algorytm- jak przejść graf eulerowski, używając każdej krawędzi dokładnie raz? Wybieramy dowolny wierzchołek v 0 V (G) i cykl C zawiera v 0 ; Wszystkie krawędzie C oznaczamy cechą 0; Wybieramy cykl C, sąsiedni z cyklem już wybranym i jego krawędziom przypisujemy cechę c + 1, gdzie c jest cechą poprzednio wybraną- tak do wyczerpania krawędzi grafu G;

68 Algorytmy znajdowania zamkniętego szlaku Eulera Algorytm- jak przejść graf eulerowski, używając każdej krawędzi dokładnie raz? Wybieramy dowolny wierzchołek v 0 V (G) i cykl C zawiera v 0 ; Wszystkie krawędzie C oznaczamy cechą 0; Wybieramy cykl C, sąsiedni z cyklem już wybranym i jego krawędziom przypisujemy cechę c + 1, gdzie c jest cechą poprzednio wybraną- tak do wyczerpania krawędzi grafu G; Startujemy z v 0 i idziemy wzdłuż cyklu oznaczonego symbolem 0 aż do spotkania wierzchołka v i incydentnego z znieodwiedzaną jeszcze krawędzią oznaczoną wyższym symbolem. Wybieramy krawędź z najwyższą cechą aż do wyczerpania wszystkich krawędzi.

69 Algorytm Fleury ego

70 Algorytm Fleury ego Most Krawędź w grafie nazywamy mostem, jeżeli jej usunięcie powoduje utratę spójności grafu.

71 Algorytm Fleury ego Most Krawędź w grafie nazywamy mostem, jeżeli jej usunięcie powoduje utratę spójności grafu. Algorytm Fleury ego Niech G będzie grafem eulerowskim. Wtedy następująca konstrukcja jest wykonalna i daje w wyniku cykl (zamknięty szlak) Eulera w grafie G :

72 Algorytm Fleury ego Most Krawędź w grafie nazywamy mostem, jeżeli jej usunięcie powoduje utratę spójności grafu. Algorytm Fleury ego Niech G będzie grafem eulerowskim. Wtedy następująca konstrukcja jest wykonalna i daje w wyniku cykl (zamknięty szlak) Eulera w grafie G : Zacznij cykl w dowolnym wierzchołku i przechodź krawędzie w dowolnej kolejności, dbając jedynie o zachowanie zasad:

73 Algorytm Fleury ego Most Krawędź w grafie nazywamy mostem, jeżeli jej usunięcie powoduje utratę spójności grafu. Algorytm Fleury ego Niech G będzie grafem eulerowskim. Wtedy następująca konstrukcja jest wykonalna i daje w wyniku cykl (zamknięty szlak) Eulera w grafie G : Zacznij cykl w dowolnym wierzchołku i przechodź krawędzie w dowolnej kolejności, dbając jedynie o zachowanie zasad: 1. Usuwaj z grafu przechodzone krawędzie i wierzchołki izolowane powstałe w wyniku usuwania tych krawędzi.

74 Algorytm Fleury ego Most Krawędź w grafie nazywamy mostem, jeżeli jej usunięcie powoduje utratę spójności grafu. Algorytm Fleury ego Niech G będzie grafem eulerowskim. Wtedy następująca konstrukcja jest wykonalna i daje w wyniku cykl (zamknięty szlak) Eulera w grafie G : Zacznij cykl w dowolnym wierzchołku i przechodź krawędzie w dowolnej kolejności, dbając jedynie o zachowanie zasad: 1. Usuwaj z grafu przechodzone krawędzie i wierzchołki izolowane powstałe w wyniku usuwania tych krawędzi. 2. W każdym momencie przechodź przez most tylko wtedy, gdy nie masz innej możliwości.

75 Twierdzenie Halla- wersja małżeńska

76 Twierdzenie Halla- wersja małżeńska Twierdzenie o małżeństwach- przykład Kasia zna Maćka, Adama i Kubę. Monika- Adama i Kubę. Jola zna Kubę, Łukasza i Tomka. Marta- Adama i Maćka. Renia zna Kubę, Adama i Maćka; Magda- Michała, Łukasza i Bartka.

77 Twierdzenie Halla- wersja małżeńska Twierdzenie o małżeństwach- przykład Kasia zna Maćka, Adama i Kubę. Monika- Adama i Kubę. Jola zna Kubę, Łukasza i Tomka. Marta- Adama i Maćka. Renia zna Kubę, Adama i Maćka; Magda- Michała, Łukasza i Bartka. Pytanie: Czy jest możliwe znalezienie męża dla każdej z tych dziewcząt? (to znaczy, dla każdej innego chłopca spośród tych, których zna)

78

79 Rysunek

80 Twierdzenie o małżeństwach Twierdzenie Halla (wersja małżeńska) W grupie dziewcząt każda może wybrać męża spośród chłopców, których zna wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym podzbiorze dziewcząt (powiedzmy r spośród nich), dziewczyny te znają co najmniej r chłopców.

81 Twierdzenie o małżeństwach Twierdzenie Halla (wersja małżeńska) W grupie dziewcząt każda może wybrać męża spośród chłopców, których zna wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym podzbiorze dziewcząt (powiedzmy r spośród nich), dziewczyny te znają co najmniej r chłopców. Przykład 2 Agata zna Janka i Zbyszka; Asia- Pawła i Janka; Aga zna Janka, Zbyszka, Piotrka i Michała; Amelia- Pawła, Piotrka, Wojtka i Jurka; Ala zna Janka i Michała; Ania- Pawła i Janka.

82 Twierdzenie o małżeństwach Twierdzenie Halla (wersja małżeńska) W grupie dziewcząt każda może wybrać męża spośród chłopców, których zna wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym podzbiorze dziewcząt (powiedzmy r spośród nich), dziewczyny te znają co najmniej r chłopców. Przykład 2 Agata zna Janka i Zbyszka; Asia- Pawła i Janka; Aga zna Janka, Zbyszka, Piotrka i Michała; Amelia- Pawła, Piotrka, Wojtka i Jurka; Ala zna Janka i Michała; Ania- Pawła i Janka. W tym przypadku każdy pozdbiór r dziewcząt zna co najmniej r chłopców. Wybieramy dziewczynom mężów.

83 Co poradzimy Ani???

84 Ania urządza przyjęcie Ania urządza przyjęcie- zaprasza na nie wszystkich chłopców, których zna. Chłopcy przychodzą ze swoimi dziewczynami. Ania:

85 Ania urządza przyjęcie Ania urządza przyjęcie- zaprasza na nie wszystkich chłopców, których zna. Chłopcy przychodzą ze swoimi dziewczynami. Ania:

86 Ania urządza przyjęcie Ania urządza przyjęcie- zaprasza na nie wszystkich chłopców, których zna. Chłopcy przychodzą ze swoimi dziewczynami. Ania: Paweł + Asia

87 Ania urządza przyjęcie Ania urządza przyjęcie- zaprasza na nie wszystkich chłopców, których zna. Chłopcy przychodzą ze swoimi dziewczynami. Ania: Paweł + Asia Janek + Agata Dziewczyny zapraszają chłopców, których znają, a których nie ma jeszcze na przyjęciu. Oni przychodzą z dziewczynami itp. Łańcuch zaproszeń trwa do chwili, gdy na przyjęciu pojawi się wolny chłopak.

88 Ania urządza przyjęcie Ania urządza przyjęcie- zaprasza na nie wszystkich chłopców, których zna. Chłopcy przychodzą ze swoimi dziewczynami. Ania: Paweł + Asia Janek + Agata Dziewczyny zapraszają chłopców, których znają, a których nie ma jeszcze na przyjęciu. Oni przychodzą z dziewczynami itp. Łańcuch zaproszeń trwa do chwili, gdy na przyjęciu pojawi się wolny chłopak. Zbyszek + Aga

89 Ania urządza przyjęcie Ania urządza przyjęcie- zaprasza na nie wszystkich chłopców, których zna. Chłopcy przychodzą ze swoimi dziewczynami. Ania: Paweł + Asia Janek + Agata Dziewczyny zapraszają chłopców, których znają, a których nie ma jeszcze na przyjęciu. Oni przychodzą z dziewczynami itp. Łańcuch zaproszeń trwa do chwili, gdy na przyjęciu pojawi się wolny chłopak. Zbyszek + Aga Michał + Ala

90 Ania urządza przyjęcie Ania urządza przyjęcie- zaprasza na nie wszystkich chłopców, których zna. Chłopcy przychodzą ze swoimi dziewczynami. Ania: Paweł + Asia Janek + Agata Dziewczyny zapraszają chłopców, których znają, a których nie ma jeszcze na przyjęciu. Oni przychodzą z dziewczynami itp. Łańcuch zaproszeń trwa do chwili, gdy na przyjęciu pojawi się wolny chłopak. Zbyszek + Aga Michał + Ala Piotrek + Amelia

91 Ania urządza przyjęcie Ania urządza przyjęcie- zaprasza na nie wszystkich chłopców, których zna. Chłopcy przychodzą ze swoimi dziewczynami. Ania: Paweł + Asia Janek + Agata Dziewczyny zapraszają chłopców, których znają, a których nie ma jeszcze na przyjęciu. Oni przychodzą z dziewczynami itp. Łańcuch zaproszeń trwa do chwili, gdy na przyjęciu pojawi się wolny chłopak. Zbyszek + Aga Michał + Ala Piotrek + Amelia WOJTEK

92 Wojtek + Amelia Wojtek tańczy z dziewczyną, która go zaprosiła.

93 Wojtek + Amelia Wojtek tańczy z dziewczyną, która go zaprosiła. Piotrek + Aga Chłopak Amelii, Piotrek, tańczy z dziewczyną, która go zaprosiła.

94 Zbyszek + Agata Zbyszek, chłopak Agi, tańczy z dziewczyną, która go zaprosiła.

95 Zbyszek + Agata Zbyszek, chłopak Agi, tańczy z dziewczyną, która go zaprosiła. Janek + ANIA Chłopak Agaty, Piotrek, tańczy z dziewczyną, która go zaprosiła, czyli z ANIĄ

96 Tańczące pary tworzą związki małżeńskie Ania znalazła męża.

97 Tańczące pary tworzą związki małżeńskie Ania znalazła męża. Paweł + Asia, Michał + Ala Pozostałe pary pozostają bez zmian

98 Twierdzenie Halla- wersja transwersalowa Transwersala Transwersala- jest to zbiór różnych reprezentantów.

99 Twierdzenie Halla- wersja transwersalowa Transwersala Transwersala- jest to zbiór różnych reprezentantów. Definicja transwersali Dana jest uporządkowana rodzina zbiorów R = {A 1, A 2,..., A n}. Zbiór X n i=1 A i jest transwersalą rodziny R, gdy:

100 Twierdzenie Halla- wersja transwersalowa Transwersala Transwersala- jest to zbiór różnych reprezentantów. Definicja transwersali Dana jest uporządkowana rodzina zbiorów R = {A 1, A 2,..., A n}. Zbiór X n i=1 A i jest transwersalą rodziny R, gdy: X = n, X = {a 1, a 2,..., a n};

101 Twierdzenie Halla- wersja transwersalowa Transwersala Transwersala- jest to zbiór różnych reprezentantów. Definicja transwersali Dana jest uporządkowana rodzina zbiorów R = {A 1, A 2,..., A n}. Zbiór X n i=1 A i jest transwersalą rodziny R, gdy: X = n, X = {a 1, a 2,..., a n}; a i A i dla i = 1..., n, czyli a i reprezentuje zbiór A i dla każdego i.

102 Twierdzenie Halla- wersja transwersalowa Transwersala Transwersala- jest to zbiór różnych reprezentantów. Definicja transwersali Dana jest uporządkowana rodzina zbiorów R = {A 1, A 2,..., A n}. Zbiór X n i=1 A i jest transwersalą rodziny R, gdy: X = n, X = {a 1, a 2,..., a n}; a i A i dla i = 1..., n, czyli a i reprezentuje zbiór A i dla każdego i. Przykład A 1 = {1, 3}; A 2 = {2, 3}; A 3 = {1, 3, 4}; A 4 = {2, 4, 6, 7}; A 5 = {1, 5}; A 6 = {1, 2}.

103 Twierdzenie Halla- wersja transwersalowa Rodzina R = {A 1,..., A n} posiada transwersalę wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego podzbioru I {1,..., n} I = {i 1,..., i r } zachodzi warunek A i1 A i2... A ir r = I.

104 Twierdzenie Halla- wersja transwersalowa Rodzina R = {A 1,..., A n} posiada transwersalę wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego podzbioru I {1,..., n} I = {i 1,..., i r } zachodzi warunek A i1 A i2... A ir r = I. Odniesienie do wersji małżeńskiej A i1 - zbiór chłopców znanych dziewczynie 1; A ir - zbiór chłopców znanych dziewczynie r; r = I - moc podzbioru dziewcząt.

105 Twierdzenie Halla- wersja grafowa Skojarzenie Skojarzenie (matching) w grafie dwudzielnym G = (V 1, V 2, E) zbioru V 1 w zbiór V 2 jest to zbiór krawędzi E E taki, że każdy wierzchołek z V 1 należy do krawędzi z E i krawędzie te są wierzchołkowo rozłączne.

106

107 Twierdzenie Halla- wersja grafowa Jeżeli G = (V 1, V 2, E) jest grafem dwudzielnym, to istnieje skojarzenie zbioru V 1 w V 2 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego X V 1 jest N G (X ) X.

108 Twierdzenie Halla- wersja grafowa Jeżeli G = (V 1, V 2, E) jest grafem dwudzielnym, to istnieje skojarzenie zbioru V 1 w V 2 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego X V 1 jest N G (X ) X. Odniesienia do wersji małżeńskiej Skojarzenia- zawarte związki małżeńskie; Ilość sąsiadów- ilość znajomych chłopców; Graf ma skojarzenie wtedy i tylko wtedy, gdy każda dziewczyna znajdzie męża spośród chłopców, których zna.

109 Grafy hamiltonowskie

110 Grafy hamiltonowskie Firma kurierska Problem dotyczy kuriera, mającego rozwieźć przesyłki do odbiorców w ten sposób, by odwiedzić każdego klienta jedynie raz, a na końcu wrócić do siedziby firmy.

111 Grafy hamiltonowskie Firma kurierska Problem dotyczy kuriera, mającego rozwieźć przesyłki do odbiorców w ten sposób, by odwiedzić każdego klienta jedynie raz, a na końcu wrócić do siedziby firmy. Załóżmy, że na przesyłki czeka następujący zbiór osób: Henryk, Elżbieta, Maciej, Jan, Ula, Izabela, Gabriela oraz Maria. Niestety, jak widać na rysunku, nie ma połączeń umożliwiających przejazd między dowolnymi dwoma klientami.

112 Zachodzi pytanie, czy kurier mimo to może wykonać to zadanie. Jeśli prześledzimy warunki nałożone na trasę wędrówki, to okaże się, że szukamy tzw. cyklu Hamiltona.

113 Zachodzi pytanie, czy kurier mimo to może wykonać to zadanie. Jeśli prześledzimy warunki nałożone na trasę wędrówki, to okaże się, że szukamy tzw. cyklu Hamiltona. Cykl Hamiltona Cykl Hamiltona to cykl przechodzący przez wszystkie wierzchołki grafu (czyli szlak zamknięty, odwiedzający każdy wierzchołek dokładnie raz).

114 Zachodzi pytanie, czy kurier mimo to może wykonać to zadanie. Jeśli prześledzimy warunki nałożone na trasę wędrówki, to okaże się, że szukamy tzw. cyklu Hamiltona. Cykl Hamiltona Cykl Hamiltona to cykl przechodzący przez wszystkie wierzchołki grafu (czyli szlak zamknięty, odwiedzający każdy wierzchołek dokładnie raz). Ścieżka Hamiltona Ścieżka Hamiltona to ścieżka przechodząca przez wszystkie wierzchołki grafu, każdy odwiedzając jedynie raz.

115 Zachodzi pytanie, czy kurier mimo to może wykonać to zadanie. Jeśli prześledzimy warunki nałożone na trasę wędrówki, to okaże się, że szukamy tzw. cyklu Hamiltona. Cykl Hamiltona Cykl Hamiltona to cykl przechodzący przez wszystkie wierzchołki grafu (czyli szlak zamknięty, odwiedzający każdy wierzchołek dokładnie raz). Ścieżka Hamiltona Ścieżka Hamiltona to ścieżka przechodząca przez wszystkie wierzchołki grafu, każdy odwiedzając jedynie raz. Grafy Hamiltonowskie (posiadające cykl Hamiltona) W odróżnieniu od grafów eulerowskich, grafy hamiltonowskie nie posiadają prostej i szybkiej w użyciu charakteryzacji. Nie jest znana metoda pozwalająca szybko (tzn. w czasie wielomianowym) stwierdzić, czy dany graf jest hamiltonowski. Są jednak pewne warunki wystarczające na to, by graf był hamiltonowski.

116 Zachodzi pytanie, czy kurier mimo to może wykonać to zadanie. Jeśli prześledzimy warunki nałożone na trasę wędrówki, to okaże się, że szukamy tzw. cyklu Hamiltona. Cykl Hamiltona Cykl Hamiltona to cykl przechodzący przez wszystkie wierzchołki grafu (czyli szlak zamknięty, odwiedzający każdy wierzchołek dokładnie raz). Ścieżka Hamiltona Ścieżka Hamiltona to ścieżka przechodząca przez wszystkie wierzchołki grafu, każdy odwiedzając jedynie raz. Grafy Hamiltonowskie (posiadające cykl Hamiltona) W odróżnieniu od grafów eulerowskich, grafy hamiltonowskie nie posiadają prostej i szybkiej w użyciu charakteryzacji. Nie jest znana metoda pozwalająca szybko (tzn. w czasie wielomianowym) stwierdzić, czy dany graf jest hamiltonowski. Są jednak pewne warunki wystarczające na to, by graf był hamiltonowski. Twierdzenie Orego rok Jeśli w grafie prostym G = (V, E) o co najmniej trzech wierzchołkach, dowolne dwa niesąsiednie wierzchołki u, v spełniają d G (u) + d G (v) V, to graf G jest hamiltonowski.

117 Kolorowanie krawędzi Kolorowanie krawędzi Mając dany graf, chcemy pokolorować jego krawędzie tak, by żadne krawędzie tego samego koloru nie miały wspólnego wierzchołka.

118 Kolorowanie krawędzi Kolorowanie krawędzi Mając dany graf, chcemy pokolorować jego krawędzie tak, by żadne krawędzie tego samego koloru nie miały wspólnego wierzchołka. Indeks chromatyczny Najmniejszą liczbę kolorów potrzebną do pokolorowania w taki sposób krawędzi grafu G nazywamy indeksem chromatycznym grafu G i oznaczamy χ e(g).

119 Kolorowanie krawędzi Kolorowanie krawędzi Mając dany graf, chcemy pokolorować jego krawędzie tak, by żadne krawędzie tego samego koloru nie miały wspólnego wierzchołka. Indeks chromatyczny Najmniejszą liczbę kolorów potrzebną do pokolorowania w taki sposób krawędzi grafu G nazywamy indeksem chromatycznym grafu G i oznaczamy χ e(g). Jeżeli największy stopień wierzchołka w grafie G wynosi (G), to χ e(g) (G).

120 Kolorowanie krawędzi Kolorowanie krawędzi Mając dany graf, chcemy pokolorować jego krawędzie tak, by żadne krawędzie tego samego koloru nie miały wspólnego wierzchołka. Indeks chromatyczny Najmniejszą liczbę kolorów potrzebną do pokolorowania w taki sposób krawędzi grafu G nazywamy indeksem chromatycznym grafu G i oznaczamy χ e(g). Jeżeli największy stopień wierzchołka w grafie G wynosi (G), to χ e(g) (G). Twierdzenie Koniga Jeśli G jest grafem dwudzielnym, gdzie wierzchołek o największym stopniu ma stopień, to χ e(g) =.

121 Kolorowanie krawędzi Kolorowanie krawędzi Mając dany graf, chcemy pokolorować jego krawędzie tak, by żadne krawędzie tego samego koloru nie miały wspólnego wierzchołka. Indeks chromatyczny Najmniejszą liczbę kolorów potrzebną do pokolorowania w taki sposób krawędzi grafu G nazywamy indeksem chromatycznym grafu G i oznaczamy χ e(g). Jeżeli największy stopień wierzchołka w grafie G wynosi (G), to χ e(g) (G). Twierdzenie Koniga Jeśli G jest grafem dwudzielnym, gdzie wierzchołek o największym stopniu ma stopień, to χ e(g) =. Twierdzenie Vizinga Jeśli G jest grafem, gdzie wierzchołek o największym stopniu ma stopień, to χ e(g) + 1.

122 Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie wierzchołków Dany jest graf G = (V, E). Będziemy rozważać funkcję f : V N. Jest ona poprawnym kolorowaniem wierzchołków grafu G, jeśli dla każdych dwóch wierzchołków u, v V takich, że uv E jest f (u) f (v).

123 Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie wierzchołków Dany jest graf G = (V, E). Będziemy rozważać funkcję f : V N. Jest ona poprawnym kolorowaniem wierzchołków grafu G, jeśli dla każdych dwóch wierzchołków u, v V takich, że uv E jest f (u) f (v). Indeks chromatyczny Najmniejszą liczbę kolorów potrzebną do pokolorowania w taki sposób krawędzi grafu G nazywamy indeksem chromatycznym grafu G i oznaczamy χ e(g).

124 Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie wierzchołków Dany jest graf G = (V, E). Będziemy rozważać funkcję f : V N. Jest ona poprawnym kolorowaniem wierzchołków grafu G, jeśli dla każdych dwóch wierzchołków u, v V takich, że uv E jest f (u) f (v). Indeks chromatyczny Najmniejszą liczbę kolorów potrzebną do pokolorowania w taki sposób krawędzi grafu G nazywamy indeksem chromatycznym grafu G i oznaczamy χ e(g). χ(g) = min{ f (v) } (minimum po wszystkich możliwych kolorowaniach) - jest to liczba chromatyczna grafu G.

125 Wielomian chromatyczny Wielomian chromatyczny Jeśli G = (V, E) jest grafem, a k N, to przez P G (k) oznaczmy liczbę różnych kolorowań prawidłowych grafu G w dokładnie k kolorów.

126 Wielomian chromatyczny Wielomian chromatyczny Jeśli G = (V, E) jest grafem, a k N, to przez P G (k) oznaczmy liczbę różnych kolorowań prawidłowych grafu G w dokładnie k kolorów. Indeks chromatyczny Najmniejszą liczbę kolorów potrzebną do pokolorowania w taki sposób krawędzi grafu G nazywamy indeksem chromatycznym grafu G i oznaczamy χ e(g).

127 Wielomian chromatyczny Wielomian chromatyczny Jeśli G = (V, E) jest grafem, a k N, to przez P G (k) oznaczmy liczbę różnych kolorowań prawidłowych grafu G w dokładnie k kolorów. Indeks chromatyczny Najmniejszą liczbę kolorów potrzebną do pokolorowania w taki sposób krawędzi grafu G nazywamy indeksem chromatycznym grafu G i oznaczamy χ e(g). χ(g) = min{ f (v) } (minimum po wszystkich możliwych kolorowaniach) - jest to liczba chromatyczna grafu G.

128 Przykład P K3 (k) = k(k 1)(k 2). Ogólnie, P Kn (k) = k(k 1)... (k (n 1)).

129 Przykład P K3 (k) = k(k 1)(k 2). Ogólnie, P Kn (k) = k(k 1)... (k (n 1)). P K5 (6) = P K5 (4) = To znaczy, że nie da się prawidłowo pokolorować w cztery kolory graru pełnego o pięciu wierzchołkach.

130 Przykład P K3 (k) = k(k 1)(k 2). Ogólnie, P Kn (k) = k(k 1)... (k (n 1)). P K5 (6) = P K5 (4) = To znaczy, że nie da się prawidłowo pokolorować w cztery kolory graru pełnego o pięciu wierzchołkach. χ(g)- najmniejsze k N takie, że P G (k) > 0.

131 Oznaczenie G + uv Jeśli u, v są wierzchołkami grafu G i nie są połączone krawędzią, to przez G + uv oznaczmy graf powstały z G przez dodanie krawędzi uv.

132 Oznaczenie G + uv Jeśli u, v są wierzchołkami grafu G i nie są połączone krawędzią, to przez G + uv oznaczmy graf powstały z G przez dodanie krawędzi uv. Oznaczenie G(u = v) Jeśli u, v są wierzchołkami grafu G, to przez G(u = v) oznaczmy graf powstały z G przez ściągnięcie wierzchołka u do v.

133 Oznaczenie G + uv Jeśli u, v są wierzchołkami grafu G i nie są połączone krawędzią, to przez G + uv oznaczmy graf powstały z G przez dodanie krawędzi uv. Oznaczenie G(u = v) Jeśli u, v są wierzchołkami grafu G, to przez G(u = v) oznaczmy graf powstały z G przez ściągnięcie wierzchołka u do v. Twierdzenie Jeśli u, v są niesąsiednimi wierzchołkami grafu G, to P G (k) = P G+uv + P G(u=v).

134 Oznaczenie G + uv Jeśli u, v są wierzchołkami grafu G i nie są połączone krawędzią, to przez G + uv oznaczmy graf powstały z G przez dodanie krawędzi uv. Oznaczenie G(u = v) Jeśli u, v są wierzchołkami grafu G, to przez G(u = v) oznaczmy graf powstały z G przez ściągnięcie wierzchołka u do v. Twierdzenie Jeśli u, v są niesąsiednimi wierzchołkami grafu G, to P G (k) = P G+uv + P G(u=v). Zadanie Dla grafu G = C 4 znaleźć P G (k) oraz χ(g).

135 Grafy planarne Definicja Graf G = (V, E) jest planarny, jeżeli może być narysowany na płaszczyźnie tak, że dowolne jego krawędzie spotykają się co najwyżej we wspólnym wierzchołku końcowym. Każdy rysunek takiego grafu jest jego planarną reprezentacją.

136 Grafy planarne Definicja Graf G = (V, E) jest planarny, jeżeli może być narysowany na płaszczyźnie tak, że dowolne jego krawędzie spotykają się co najwyżej we wspólnym wierzchołku końcowym. Każdy rysunek takiego grafu jest jego planarną reprezentacją. Regiony Mając daną planarną reprezentację grafu, można rozpatrywać zbiór punktów na płaszczyźnie, którenie należą do tej reprezentacji; zbiór ten w naturalny sposób dzieli się na kawałki zwane regionami.

137 Wzór Eulera Twierdzenie (wzór Eulera) Jeśli G = (V, E) jest grafem planarnym, to w dowolnej jego planarnej reprezentacji liczba refionów f jest równa E V + 2.

138 Wzór Eulera Twierdzenie (wzór Eulera) Jeśli G = (V, E) jest grafem planarnym, to w dowolnej jego planarnej reprezentacji liczba refionów f jest równa E V + 2. Twierdzenie Dla każdego grafu planarnego G = (V, E) mamy i k(o i ) = 2 E, gdzie k(o i ) oznacza ilość krawędzi ograniczających obszar O i.

139 Wzór Eulera Twierdzenie (wzór Eulera) Jeśli G = (V, E) jest grafem planarnym, to w dowolnej jego planarnej reprezentacji liczba refionów f jest równa E V + 2. Twierdzenie Dla każdego grafu planarnego G = (V, E) mamy i k(o i ) = 2 E, gdzie k(o i ) oznacza ilość krawędzi ograniczających obszar O i. Twierdzenie Jeśli G = (V, E) jest grafem spójnym planarnym o co najmniej trzech wierzchołkach, to E 3 V 6.

140 Wzór Eulera Twierdzenie (wzór Eulera) Jeśli G = (V, E) jest grafem planarnym, to w dowolnej jego planarnej reprezentacji liczba refionów f jest równa E V + 2. Twierdzenie Dla każdego grafu planarnego G = (V, E) mamy i k(o i ) = 2 E, gdzie k(o i ) oznacza ilość krawędzi ograniczających obszar O i. Twierdzenie Jeśli G = (V, E) jest grafem spójnym planarnym o co najmniej trzech wierzchołkach, to E 3 V 6. Twierdzenie Jeśli G = (V, E) jest grafem spójnym planarnym dwudzielnym o co najmniej trzech wierzchołkach, to E 2 V 4.

141 Kolorowanie map W 1852 roku Francis Guthrie kolorując mapę Anglii zauważył, że cztery kolory wystarczą, by każde dwa sąsiadujące hrabstwa różniły się barwą.

142 Pomyślał: Czy cztery barwy wystarczą do pokolorowania dowolnej, nawet najbardziej skomplikowanej mapy?

143 Pomyślał: Czy cztery barwy wystarczą do pokolorowania dowolnej, nawet najbardziej skomplikowanej mapy? Kolorowanie mapy jest równoważne z kolorowaniem wierzchołków grafu planarnego.

144 Wierzchołki to obszary państw, a krawędź między wierzchołkami jest wtedy, gdy mają jedną lub więcej wspólnych granic.

145 Wierzchołki to obszary państw, a krawędź między wierzchołkami jest wtedy, gdy mają jedną lub więcej wspólnych granic. Pierwszy dowód pojawił się dopiero w roku Przedstawił go Alfred Kempe, londyński prawnik. Był to zapewne najsłynniejszy fałszywy dowód w całej historii matematyki.

146 Rok 1976, dowód komputerowy, Keneth Appel, Wolfgang Hakeh, wspomagani w sprawach komputerowych przez studenta Jana Kocha

147 Rok 1976, dowód komputerowy, Keneth Appel, Wolfgang Hakeh, wspomagani w sprawach komputerowych przez studenta Jana Kocha Lata 90-te dwudziestego wieku- Neil Robertson, Dan Sanders, Paul Seymour, Robin Thomas- dowód bardziej strukturalny.

148 Rok 1976, dowód komputerowy, Keneth Appel, Wolfgang Hakeh, wspomagani w sprawach komputerowych przez studenta Jana Kocha Lata 90-te dwudziestego wieku- Neil Robertson, Dan Sanders, Paul Seymour, Robin Thomas- dowód bardziej strukturalny. Twierdzenie Każda mapa może być pokolorowana pięcioma kolorami.

149 Oznaczenia Niech R oznacza zbiór wszystkich podgrafów spinających grafu G, tzn. R = {(V, E ) : E E}.

150 Oznaczenia Niech R oznacza zbiór wszystkich podgrafów spinających grafu G, tzn. R = {(V, E ) : E E}. W zbiorze R określamy dodawanie, przyjmując dla dowolnych (V, E ), (V, E ) R, (V, E ) (V, E ) = (V, E E ), gdzie E E jest różnicą symetryczną zbiorów E oraz E.

151 Oznaczenia Niech R oznacza zbiór wszystkich podgrafów spinających grafu G, tzn. R = {(V, E ) : E E}. W zbiorze R określamy dodawanie, przyjmując dla dowolnych (V, E ), (V, E ) R, (V, E ) (V, E ) = (V, E E ), gdzie E E jest różnicą symetryczną zbiorów E oraz E. Zbiór R z dodawaniem jest przestrzenią wektorową nad ciałem {0, 1}.

152 Oznaczenia Niech R oznacza zbiór wszystkich podgrafów spinających grafu G, tzn. R = {(V, E ) : E E}. W zbiorze R określamy dodawanie, przyjmując dla dowolnych (V, E ), (V, E ) R, (V, E ) (V, E ) = (V, E E ), gdzie E E jest różnicą symetryczną zbiorów E oraz E. Zbiór R z dodawaniem jest przestrzenią wektorową nad ciałem {0, 1}. W zbiorze R określamy mnożenie przez liczby z {0, 1} : dla dowolnego G = (V, E ) R mamy: 1 G = G 0 G = (V, ).

153 Wektorem zerowym jest graf (V, ), a wektorem przeciwnym do G jest G.

154 Wektorem zerowym jest graf (V, ), a wektorem przeciwnym do G jest G. Niech R oznacza zbiór tych podgrafów spinających grafu G, w których stopień każdego wierzchołka jest parzysty. Zauważmy, że elementami zbioru R są cykle i sumy krawędziowo rozłącznych cykli grafu G rozumiane jako jego podgrafy spinające.

155 Wektorem zerowym jest graf (V, ), a wektorem przeciwnym do G jest G. Niech R oznacza zbiór tych podgrafów spinających grafu G, w których stopień każdego wierzchołka jest parzysty. Zauważmy, że elementami zbioru R są cykle i sumy krawędziowo rozłącznych cykli grafu G rozumiane jako jego podgrafy spinające. Obserwacja R jest podprzestrzenią przestrzeni R.

156 Wektorem zerowym jest graf (V, ), a wektorem przeciwnym do G jest G. Niech R oznacza zbiór tych podgrafów spinających grafu G, w których stopień każdego wierzchołka jest parzysty. Zauważmy, że elementami zbioru R są cykle i sumy krawędziowo rozłącznych cykli grafu G rozumiane jako jego podgrafy spinające. Obserwacja R jest podprzestrzenią przestrzeni R. Przestrzeń cykli Podprzestrzeń R nazywamy przestrzenią cykli grafu G. Bazę C przestrzeni R złożoną jedynie z cykli nazywamy bazą cykli grafu G.

157 Weźmy pod uwagę graf G = (V, E) i jego drzewo spinające T = (V, E ) oraz wszystkie krawędzie {e 1,..., e m} E E, których liczba jest równa E V + 1.

158 Weźmy pod uwagę graf G = (V, E) i jego drzewo spinające T = (V, E ) oraz wszystkie krawędzie {e 1,..., e m} E E, których liczba jest równa E V + 1. Dodanie krawędzi e i = uv do drzewa T tworzy dokładnie jeden cykl c i złożony z krawędzi e i i jedynej ścieżki T (u, v).

159 Weźmy pod uwagę graf G = (V, E) i jego drzewo spinające T = (V, E ) oraz wszystkie krawędzie {e 1,..., e m} E E, których liczba jest równa E V + 1. Dodanie krawędzi e i = uv do drzewa T tworzy dokładnie jeden cykl c i złożony z krawędzi e i i jedynej ścieżki T (u, v). Tak więc zbiór C = {c 1,..., c m} jest bazą cykli grafu G, nazywamy ją fundamentalną bazą cykli wyznaczoną przez drzewo spinające T.

160 Weźmy pod uwagę graf G = (V, E) i jego drzewo spinające T = (V, E ) oraz wszystkie krawędzie {e 1,..., e m} E E, których liczba jest równa E V + 1. Dodanie krawędzi e i = uv do drzewa T tworzy dokładnie jeden cykl c i złożony z krawędzi e i i jedynej ścieżki T (u, v). Tak więc zbiór C = {c 1,..., c m} jest bazą cykli grafu G, nazywamy ją fundamentalną bazą cykli wyznaczoną przez drzewo spinające T. Dowolny cykl w G można wyrazić jako różnicę symetryczną pewnych cykli bazowych w odniesieniu do drzewa T.

161 Problem pięciu królowych (1850 r) Jaka jest najmniejsza liczba królowych jaka może być rozmieszczona na szachownicy 8 8 tak, by każde pole było w zasięgu jakiejś królowej?

162 Problem pięciu królowych (1850 r) Jaka jest najmniejsza liczba królowych jaka może być rozmieszczona na szachownicy 8 8 tak, by każde pole było w zasięgu jakiejś królowej? Problem pięciu królowych można sprowadzić do problemu znalezienia zbioru dominującego mocy 5.

163 Dominowanie Dla danych wierzchołków x, y grafu G mówimy, że x dominuje y, jeśli x = y albo jeśli xy E(G). W takim razie x dominuje siebie i wszystkich swoich sąsiadów.

164 Dominowanie Dla danych wierzchołków x, y grafu G mówimy, że x dominuje y, jeśli x = y albo jeśli xy E(G). W takim razie x dominuje siebie i wszystkich swoich sąsiadów. Zbiór dominujący Zbiór D V (G) jest zbiorem dominującym w grafie G, jeśli każdy wierzchołek z V (G) D jest dominowany przez jakiś wierzchołek ze zbioru D.

165 Dominowanie Dla danych wierzchołków x, y grafu G mówimy, że x dominuje y, jeśli x = y albo jeśli xy E(G). W takim razie x dominuje siebie i wszystkich swoich sąsiadów. Zbiór dominujący Zbiór D V (G) jest zbiorem dominującym w grafie G, jeśli każdy wierzchołek z V (G) D jest dominowany przez jakiś wierzchołek ze zbioru D. Obserwacja Jeśli D jest dominujący w G, to każdy nadzbiór D D też jest dominujący. Z drugiej strony, nie każdy podzbiór D D jest dominujący w G.

166 Dominowanie Dla danych wierzchołków x, y grafu G mówimy, że x dominuje y, jeśli x = y albo jeśli xy E(G). W takim razie x dominuje siebie i wszystkich swoich sąsiadów. Zbiór dominujący Zbiór D V (G) jest zbiorem dominującym w grafie G, jeśli każdy wierzchołek z V (G) D jest dominowany przez jakiś wierzchołek ze zbioru D. Obserwacja Jeśli D jest dominujący w G, to każdy nadzbiór D D też jest dominujący. Z drugiej strony, nie każdy podzbiór D D jest dominujący w G. Zbiór minimalny dominujący Zbiór dominujący D jest minimalny dominujący, jeśli żaden podzbiór właściwy D D nie jest dominujący.

167 Przykład- zbiory minimalne dominujące o różnej mocy

168 Twierdzenie Zbiór dominujący D jest minimalnym zbiorem dominującym w G wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego wierzchołka u D zachodzi jeden z dwóch warunków: a) u jest izolowany w G[D], podgrafie indukowanym przez zbiór D; b) istnieje v V D taki, dla którego N G (v) D = {u}.

169 Twierdzenie Zbiór dominujący D jest minimalnym zbiorem dominującym w G wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego wierzchołka u D zachodzi jeden z dwóch warunków: a) u jest izolowany w G[D], podgrafie indukowanym przez zbiór D; b) istnieje v V D taki, dla którego N G (v) D = {u}. Moc najmniejszego zbioru dominującego w grafie G nazywamy liczbą dominowania grafu G i oznaczamy γ(g).

170 Twierdzenie Zbiór dominujący D jest minimalnym zbiorem dominującym w G wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego wierzchołka u D zachodzi jeden z dwóch warunków: a) u jest izolowany w G[D], podgrafie indukowanym przez zbiór D; b) istnieje v V D taki, dla którego N G (v) D = {u}. Moc najmniejszego zbioru dominującego w grafie G nazywamy liczbą dominowania grafu G i oznaczamy γ(g). Moc największego minimalnego zbioru dominującego w grafie G nazywamy górną liczbą dominowania i oznaczamy Γ(G).