Zadania z ćwiczeń #18 (pon. 7 maja) Matematyka Dyskretna
|
|
- Grzegorz Krupa
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zadania z ćwiczeń #18 (pon. 7 maja) Matematyka Dyskretna Q1.: Mamy dany zbiór artykułów, z których każdy ma co najmniej k z n możliwych tagów. Chcemy bardzo z grubsza pokategoryzować artykuły w jak najmniejszą liczbę kategorii żeby artykuły w jednej kategorii miały cokolwiek wspólnego ze sobą, czyli każde dwa artykuły w jednej kategorii mają mieć jakiś wspólny tag. Niech f(n, k) to najmniejsza liczba kategorii jaką musimy mieć, w najgorszym przypadku. a) Jak wyrazić f(n, k) jako liczbę chromatyczną jakiegoś skończonego grafu? b) Ile to f(5, 2)? (odpowiedni graf można narysować jako graf Petersena). c ) Udowodnij, że f(6, 2) = 4. d) Pokaż, że f(n, k) n 2k + 2, dla n 2k. Uwaga na boku: zachodzi f(n, k) = n 2k + 2, ale jedyny znany dowód używa topologii (tw. Borsuka-Ulama). Przypomnienie: Tw. Halla dla grafu dwudzielnego (V 1, V 2, E) mówi, że istnieje pełne skojarzenie od V 1 do V 2 (podzbiór krawędzi E, t. że z każdy v V 1 jest incydentny z dokładnie jedną, a każdy v V 2 z co najwyżej jedną) wtw gdy S V1 N(S) S. (Tu N(S) w grafie to zbiór sąsiadów S, czyli {x s S xs E}). Zamiast o grafie dwudzielnym można mówić o rodzinie zbiorów i SRR (systemie wspólnych reprezentantów). Na rodzinę zbiorów F = {F 1, F 2..., F n } można patrzeć jako na graf dwudzielny z elementami zbiorów (czyli i F i) po jednej stronie, i zbiorami (czy równoważnie ich indeksami [n]) po drugiej stronie. Mamy krawędź między elementem a zbiorem kiedy element należy do zbioru. Np. graf dwudzielny K n,m pełny odpowiada n identycznym zbiorom, zawierającym te same m elementów. Pełnemu skojarzeniu od zbiorów do elementów odpowiada właśnie SRR (z każdego zbioru wybieramy dokładnie jeden element do niego należący, wybierając przy tym różne elementy dla różnych zbiorów). Q2.: Ud. że jeśli w grafie dwudzielnym (V 1, V 2, E) zachodzi x V1 y V2 deg(x) deg(y), to istnieje pełne skojarzenie z V 1 do V 2. (Uogólnia to stwierdzenie, że w grafie dwudzielnym regularnym istnieje pełne skojarzenie). Q3.: Dla k < n naturalnych mamy prostokąt łaciński, tzn. macierz n kolumn k wierszy wypełnioną liczbami między 1 a n tak że w żadnym wierszu ani w żadnej kolumnie nie powtarza się żadna liczba. Udowodnij, że każdy prostokąt łaciński można roszerzyć do kwadratu łacińskiego n n. Q3.: Dla k < n mamy częściowo wypełniony kwadrat łaciński n n, tzn. każda liczba od 1 do k występuje dokładnie n razy, z warunkiem jak wyżej. Pokaż, że można uzupełnić kwadrat. Q4.: Jaką postać przyjmie warunek Halla jeśli chcemy i-ty element V 1 skojarzyć z dokładnie d i elementami V 2 (zamiast z dokładnie jednym), dla jakichś danych d 1,..., d V1? Przypomnienie: Dla dwóch podziałów A 1 A n = Ω = B 1 B n zbioru Ω na n rozłącznych podzbiorów, wspólny SRR to wybór elementów z Ω, które można doskonale skojarzyć z obiema stronami. Formalnie, ciąg różnych elementów a 1,..., a n taki, że istnieją permutacje π, σ, że a π(i) A i oraz a σ(i) B i (możemy bez straty ogólności ustalić π = id zmieniając kolejność elementów w ciągu). Inaczej mówiąc wybrane elementy zawierają po dokładnie jednym elemencie z każdego A i i z każdego B i.
2 Tw. z wykładu mówi, że taki wspólny SRR istnieje wtw gdy dla każdego wyboru J podzbiorów z lewej strony (czy wyboru ich indeksów), jest co najmniej tyle samo podzbiorów po prawej, które się z nimi jakkolwiek przecinają: J [n] (liczba i [n] t.że B i A j ) J Sieć Closa (patrz wykład) to sieć złożona z pewnych bramek. Każda taka bramka ma dwa wejścia i dwa wyjścia, można ją przełączać żeby albo wejście i przekazywała do wyjścia i, albo odwrotnie, żeby je zamieniała. Sieć Closa k-ta łączy takimi bramki 2 k wejść z 2 k wyjściami tak, że każdą permutację 2 k da się zrealizować przełączając odpowiednio te małe bramki. Np. dla k = 1 to po prostu jedna taka bramka. Dla większych k jest konstruujemy (rekurencyjnie) korzystając z dwóch sieci Closa dla k 1 (patrz wykład). Permutację da się zrealizować patrząc na podziały {1, 2} {3, 4} {5, 6} {7, 8} = [8] = {6, 7} {2, 4} {8, 1} {3, 5}. Warunek z tw. o wspólnych SRR łatwo sprawdzić (bo wszystkie podzbiory są tego samego rozmiaru, więc można jak zwykle policzyć krawędzie z lewej stron i policzyć je od prawej...). Więc istnieje ciąg, tu np. 1, 4, 5, 7, który zawiera po dokładnie jednym elemencie z każdej pary po lewej i każdej po prawej. Można więc przełączyć bramki z lewej (patrz rysunek z wykładu) tak, by te wybrany elementy 1, 4, 5, 7 szły do góry, i tak patrząc w prawej. Górna podsieć Closa k 1 ustawiamy (indukcyjnie) tak, by 1, 4, 5, 7 przenosiła 7, 4, 1, 5 (czyli wybrane elementy w kolejności występowania po prawej). Analogicznie dolną. Q5.: a) Jak można algorytmicznie znaleźć stosowny wspólny SRR? b) Pokaż, że w k-tej sieci Closa każdą 2 k -permutację można zrealizować na co najmniej 2 sposoby. c) Na wykładniczo wiele. j J P1.: a) Kolory powinny raczej odpowiadać kategoriom, więc wierzchołki artykułom. Przydzielając artykułom/wierzchołkom kategorie/kolory, chcemy żeby śąsiednie wierzchołki dostawały różne kolory. Które zatem są sąsiednie? Dalej, artykuły można utożsamić ze zbiorem tagów; które zbiory nas interesują w najgorszym przypadku? Dla n = 5, k = 2 wystarczy bez straty ogólności rozważyć 10 artykułów... b) Wystarczy pokazać, że nie jest dwudzielny i wskazać 3-kolorowanie. c) Najpierw pokaż 4 (jak powstaje graf dla 6, 2 z grafu dla 5, 2 czyli grafu Petersena?). Dalej, jak może wyglądać 3-kolorowanie, 5-cykl w podgrafie Petersena i jak musiałoby wyglądać rozszerzenie tego 3-kolorowania na nowe wierzchołki? (na drugi 5-cykl w podgrafie Petersena nie ma potrzeby patrzeć). d) Indukcja po n, dla dowolnego ustalonego k. P2.: Niech t takie, że xinv1 deg(x) t oraz y V2 deg(y) t (np. t = min x V1 deg(x)). Aby pokazać warunek Halla, oszacuj liczbę krawędzi między S V 1 a N(S) V 2 (na dwa sposoby). P3.: Wystarczy pokazać, że potrafimy uzupełnić jeden wiersz. (Bo potem uzupełniami po jednym wierszu póki k < n). P4.: Można łatwo sprowadzić do zwykłego przypadku tw. Halla. Albo można się zastanowić jak wygląda warunek konieczny i pokazać że jest wystarczajacy korzystając jakoś z tw. Halla.
3 P5.: a) Jak na przykładzie {1, 2} {3, 4} {5, 6} {7, 8} = [8] = {6, 7} {2, 4} {8, 1} {3, 5} można znaleźć wspólny SRR? Bez straty ogólności zacznij od 1 i wywnioskuj z tego kto musi a kto nie może należeć do SRR. Jak w ogólnym przypadku wygląda graf tych wnioskowań? b) Proste. c) Podobnie. A1.: a) W najgorszym przypadku mamy artykuł dla każdego k-podzbioru z n możliwych tagów (artykuły z więcej niż k tagów możemy pokategoryzować w te same kategorie, patrząc tylko na ich pierwsze k tagów). Czyli mamy ( n k) wierzchołków, jeden dla każdego k-podzbioru [n]. Warunek zadania jest równoważny z tym, żeby artykuły o rozłącznych zbiorach tagów dostały różne kategorie/kolory, więc między dwoma wierzchołkami S, T ( [n] ) k dajemy krawędź gdy są rozłączne. Wtedy minimalna liczba kolorów w poprawnym kolorowaniu tego grafu to szukana odpowiedź. Ten graf nazywa się grafem Knesera KG(n, k), czyli f(n, k) = χ(kg(n, k)). Np. graf KG(5, 2): 5,1 1,2 2,3 5,1 1,2 2,3 4,5 3,4 1,3 5,2 1,3 5,2 z 3-kolorowaniem np.: b) Nie jest 2-kolorowalny, bo to to samo co powiedzieć że nie jest dwudzielny, bo to to samo co powiedzieć, że ma cykl nieparzystej długości (5). Jest 3-kolorowalny jak wyżej. c) Dodajemy pięć wierzchołków {6, 1}, {6, 2},..., {6, 5}. Nowe wierzchołki są parami niesąsiednie, bo każde dwa mają niepuste przecięcie (równe {6}), czyli możemy je wszystkie pokolorować na jeden, czwarty kolor. Zatem χ(kg(6, 2)) 4. Przypuśćmy, że istnieje 3-kolorowanie. Wtedy bez straty ogólności zewnętrzny cykl podgrafu Petersena (tego na starych wierzchołkach) jest pokolorowany na: niebieski, czerwony, zielony, czerwony, zielony (bo musimy użyć trzech kolorów, jednego użyjemy dokładnie raz, pozostałe dwa razy na przemian, więc mamy takie właśnie kolorowanie z dokładnością do przenazwania kolorów, obrotów i odbicia C 5 ). Ale każdy nowy wierzchołek ma na tym cyklu sąsiedztwo postaci tej, albo dowolnie obróconej: 4,5 3,4 6,1 1,3 5,2 Zatem dla któregoś i (tu dla i = 4), wierzchołek {6, i} jest sąsiedni z trzema wierzchołkami różnych kolorów, więc nie da się rozszerzyć na niego 3-kolorowania. χ(kg(6, 2)) > 3. d) Indukcja po n. Dla n = 2k graf KG(n, k) to skojarzenie, w sensie ( 2k) k par wierzchołków połączonych krawędzią, bez żadnych krawędzi między różnymi parami (bo dla danego k-podzbioru [2k], jedyny podzbiór z nim sąsiedni, czyli rozłączny, to jego dopełnienie). Zatem graf jest dwudzielny czyli 2-kolorowalny, czyli χ(kg(n, k)) = 2 = n 2k + 2.
4 Dla n + 1 bierzemy kolorowanie KG(n, k) z założenia indukcyjnego i dokładamy nowe wierzchołki postaci {n + 1, i}. Tworzą zbiór niezależny (nie sąsiadują ze sobą, bo mają wspólny element), więc można je wszystkie pokolorować na jeden nowy kolor. A2.: Niech t spełnia xinv1 deg(x) t oraz y V2 deg(y) t. Dal dowolnego S V 1 mamy, że liczba krawędzi wychodzących z S jest co najmniej E(S, N(S)) S t (liczba wierzchołków razy stopień). Z drugiej strony wszystkie te krawędzie mają drugi koniec w N(S), więc E(S, N(S)) N(S) t. Zatem S N(S) dla każdego S V 1, więc z tw. Halla istnieje pełne skojarzenie od V 1. A3.: Aby uzupełnić jeden wiersz, chcemy znaleźć dla każdej kolumny jeden element, żeby wybrać parami różne elementy i wybrać w każdej kolumnie element w niej nie występujący. Wystarczy więc znaleźć SRR rodziny zbiorów {A 1,..., A n } gdzie A i to zbiór elementów nie występujących w i-tej kolumnie. Alternatywnie, można powiedzieć, że szukamy pełnego skojarzenia w grafie dwudzielnym z elementami 1,..., n po jednej stronie i kolumnami 1,..., n po drugiej stronie, z krawędzią kiedy element nie występuje w kolumnie. Stopień każdej kolumny w tym grafie to n k (bo występuje w niej k różnych elementów) i podobnie stopień każdego elementu to n k (bo element występuje w dokładnie k wierszach, każde wystąpienie w innej kolumnie). Zatem pełne skojarzenie/srr istnieje i możemy odpowiedni uzupełnić wiersz (jeśli w skojarzeniu jest krawędź między i-tą kolumną a j-tym elementem, to dopisujemy ten element do tej kolumny). Argument działa tak samo dla każdego k < n, więc możemy powtarzać (za każdym razem znajdując nowe skojarzenie w nowym grafie) aż uzupełnimy do n wierszy. A3.: Uzupełniamy liczba po liczbie. Aby dopisać n razy liczbę k + 1 wystarczy znaleźć zbiór pustych pól, które nie mają wspólnej kolumny ani wiersza. Taki zbiór pól to skojarzenie wierszy z kolumnami; stawiamy krawędź między kolumną a wierszem kiedy ich przecięcie to dostępne (puste) pole. Skojarzenie istnieje, bo znów graf jest (n k)- regularny. Inne rozwiązanie: można sprowadzić do poprzedniego zadania zauważając, że taki częściowo uzupełniony kwadrat łaciński n n liczbami do k odpowiada dokładnie prostokątowi łacińskiemu n k z liczbami do n: w kwadracie pole (x, y) ma liczbę z wtw gdy w prostokącie pole (x, z) ma liczbę y (dla każdego x, y [n], z [k]). A4.: Łatwo zauważyć, że koniecznym warunkiem jest S V1 N(S) i S d i. Jest to warunek też wystarczający najłatwiej pokazać to stwierdzając, że niby-skojarzenia, które chcemy uzyskać odpowiadają dokładnie skojarzeniom w grafie (V 1, V 2, E) otrzymanym z (V 1, V 2, E) przez skopiowanie i-tego wierzchołka V 1 dokładnie d i razy. Inne rozwiązanie: można pokazać indukcyjnie, że ten warunek jest wystarczający, dla dowolnych d i 0. Istotnie, wierzchołki z d i = 0 możemy po prostu usunąć, i indukcyjnie znaleźć niby-skojarzenie na mniejszym grafie. Jeśli zaś wszystkie d i 1, to mamy warunek S V1 N(S) i S d i S, czyli możemy znaleźć pełne skojarzenie z lewej do prawej. Usuwamy krawędzie z tego skojarzenia i pomniejszamy każde d i o 1; nasz warunek jest wtedy nadal spełniony w mniejszym grafie, bo w każdej nierówności N(S) i S d i lewa strona zmniejszyła się o co najwyżej S a prawa o dokładnie S.
5 A5.: a) Jeśli bierzemy 1 z pary {1, 2}, to nie możemy wziąć 2 z pary {2, 4}, więc musimy wziąć 4, więc w parze {3, 4} nie możemy wziąć też 3, więc z pary {3, 5} musimy wziąć 5, i tak dalej aż wybierzemy wszystko. Skoro wspólny SRR istnieje to ten proces nie skończy się sprzecznością, bo nie mamy innego wyboru. W ogólności patrzymy na graf na wierzchołkach 1,..., 2 k i krawędziach na każdej z par (z obu rodzin par, z wejściowej i wyjściowej strony sieci Closa). Jeśli para występuje w obu rodzinach rysujemy krawędź dwukrotnie. Multigraf ten jest więc sumą dwóch skojarzeń, w szczególności każdy wierzchołek ma stopień dokładnie 2. Jest więc sumą cykli (w tym być może cykli długości 2). Krawędzie są na przemian z jednej lub drugiej rodziny par, więc cykle są parzystej długości. Zatem graf jest dwudzielny i dowolny podział na lewe i prawe wierzchołki daje SRR (tzn. do SRR bierzemy dowolną połowę każdego cyklu, w sensie co drugi wierzchołek). b,c) Oprócz opisanego sposobu, można skorzystać z tego samego wspólnego SRR (np. 1, 4, 5, 7), ale przerzucić je wszystkie na dolną podsieć zamiast na górną. To daje drugą realizację tej samej permutacji. Można też w każdej podsieci zrobić podobną zamianę otrzymując inne realizacje permutacji W sumie w k-tej sieci liczba możliwych realizacji a k jest co najmniej 2 a k 1 a k 1. To indukcyjnie łatwo pokazać co najmniej a k 2 k 1 sposobów. (A jak dokładniej rozwiązać tę rekurencję (logarytmując stronami a k 2 a 2 k 1, a 1 = 1) dostaniemy nawet a k 2 2k 1.)
Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie
Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las
Bardziej szczegółowoPodstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów
Wykład 3. Własności grafów 1 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2).
Bardziej szczegółowoKolorowanie wierzchołków
Kolorowanie wierzchołków Mając dany graf, pokolorować jego wierzchołki w taki sposób, aby każde dwa wierzchołki sąsiednie miały inny kolor. Każda krawędź łączy wierzchołki różnych kolorów. Takie pokolorowanie
Bardziej szczegółowoZad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 (12p.)Niech n 3k > 0. Zbadać jaka jest najmniejsza możliwa liczba krawędzi w grafie, który ma dokładnie n wierzchołków oraz dokładnie k składowych, z których
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoSKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny podzbiór krawędzi parami niezależnych.
SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Rozważamy graf G = (V, E) Dwie krawędzie e, e E nazywamy niezależnymi, jeśli nie są incydentne ze wspólnym wierzchołkiem. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1B/14 Drogi w grafach Marszruta (trasa) w grafie G z wierzchołka w do wierzchołka u to skończony ciąg krawędzi w postaci. W skrócie
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki Dyskretnej
Wykłady z Matematyki Dyskretnej dla kierunku Informatyka dr Instytut Informatyki Politechnika Krakowska Wykłady na bazie materiałów: dra hab. Andrzeja Karafiata dr hab. Joanny Kołodziej, prof. PK Kolorowanie
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY
ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych
Bardziej szczegółowoLista 4. Kamil Matuszewski 22 marca 2016
Lista 4 Kamil Matuszewski 22 marca 2016 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Zadanie 2 Ułóż algorytm który dla danego n-wierzchołkowego drzewa i liczby k pokoloruje jak najwięcej wierzchołków tak, by na każdej ścieżce
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoKURS MATEMATYKA DYSKRETNA
KURS MATEMATYKA DYSKRETNA LEKCJA 28 Grafy hamiltonowskie ZADANIE DOMOWE www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Drogę nazywamy
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Halla o małżeństwach
Twierdzenie Halla o małżeństwach Tomasz Tkocz Streszczenie. Notatki te, przygotowane do referatu wygłoszonego na kółku w II LO w Rybniku, pokazują jak można rozwiązywać życiowe problemy oraz te bardziej
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 15/15 Twierdzenie Dla grafu prostego następujące warunki są równoważne: 1) jest drzewem, 2) nie zawiera cykli i ma krawędzi, 3)
Bardziej szczegółowoKolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów
Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów Jadwiga Czyżewska Pisane pod kierunkiem W.Guzickiego W 2013 roku na II etapie VIII edycji Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów pojawiło się zadanie o następującej
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający
Bardziej szczegółowoReprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów
Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, a/15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2017 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3a/15 Indukcja matematyczna Zasada Minimum Dowolny niepusty podzbiór S zbioru liczb naturalnych ma w sobie liczbę najmniejszą. Zasada
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój
Bardziej szczegółowo7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :
WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowoTeoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Teoria grafów podstawy Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Grafy zorientowane i niezorientowane Przykład 1 Dwa pociągi i jeden most problem wzajemnego wykluczania się Dwa
Bardziej szczegółowoKrzywa uniwersalna Sierpińskiego
Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę
Bardziej szczegółowoLI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów)
LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbę rozwiązań (x 1,x
Bardziej szczegółowoGraf. Definicja marca / 1
Graf 25 marca 2018 Graf Definicja 1 Graf ogólny to para G = (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków (węzłów, punktów grafu), E jest rodziną krawędzi, które mogą być wielokrotne, dokładniej jednoelementowych
Bardziej szczegółowoCzy kwadrat da się podzielić na nieparzystą liczbę trójkątów o równych polach? Michał Kieza
Czy kwadrat da się podzielić na nieparzystą liczbę trójkątów o równych polach? Michał Kieza Łatwo zauważyć, że kwadrat można podzielić na 2, 4, 6,..., a także na dowolną parzystą liczbę trójkątów o równych
Bardziej szczegółowoKolorowanie wierzchołków grafu
Kolorowanie wierzchołków grafu Niech G będzie grafem prostym. Przez k-kolorowanie właściwe wierzchołków grafu G rozumiemy takie przyporządkowanie wierzchołkom grafu liczb naturalnych ze zbioru {1,...,
Bardziej szczegółowo6d. Grafy dwudzielne i kolorowania
6d. Grafy dwudzielne i kolorowania Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w6d. Krakowie) Grafy dwudzielne i kolorowania zima
Bardziej szczegółowoSortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych
Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Metody boolowskie w informatyce Robert Sulkowski http://robert.brainusers.net 23 stycznia 2010 1 Definicja 1 (Cykl skierowany). Niech C = (V, A)
Bardziej szczegółowoKombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń
Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 22 marzec 2018 Szybkie przypomnienie z wykładu Prezentacja
Bardziej szczegółowoAlgorytmiczna teoria grafów
Przedmiot fakultatywny 20h wykładu + 20h ćwiczeń 21 lutego 2014 Zasady zaliczenia 1 ćwiczenia (ocena): kolokwium, zadania programistyczne (implementacje algorytmów), praca na ćwiczeniach. 2 Wykład (egzamin)
Bardziej szczegółowoRachunek podziałów i elementy teorii grafów będą stosowane w procedurach redukcji argumentów i dekompozycji funkcji boolowskich.
Pojęcia podstawowe c.d. Rachunek podziałów Elementy teorii grafów Klasy zgodności Rachunek podziałów i elementy teorii grafów będą stosowane w procedurach redukcji argumentów i dekompozycji funkcji boolowskich.
Bardziej szczegółowoGrupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.
Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1A/14 Literatura obowiązkowa [1] K.A.Ross, Ch.R.B.Wright: Matematyka Dyskretna. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996 [2] R.L.Graham,
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowoa) 7 b) 19 c) 21 d) 34
Zadanie 1. Pytania testowe dotyczące podstawowych własności grafów. Zadanie 2. Przy każdym z zadań może się pojawić polecenie krótkiej charakterystyki algorytmu. Zadanie 3. W zadanym grafie sprawdzenie
Bardziej szczegółowoSpis treści Podstawowe definicje Wielomian charakterystyczny grafu Grafy silnie regularne
Spis treści 1 Podstawowe definicje 4 1.1 Grafy................................ 4 1.2 Przykłady grafów......................... 12 1.2.1 Grafy puste i pełne.................... 12 1.2.2 Grafy dwudzielne.....................
Bardziej szczegółowoSuma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów
Suma dwóch grafów G 1 = ((G 1 ), E(G 1 )) G 2 = ((G 2 ), E(G 2 )) (G 1 ) i (G 2 ) rozłączne Suma G 1 G 2 graf ze zbiorem wierzchołków (G 1 ) (G 2 ) i rodziną krawędzi E(G 1 ) E(G 2 ) G 1 G 2 G 1 G 2 Zespolenie
Bardziej szczegółowoE ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem
Niech G będzie grafem spójnym. Wierzchołek x nazywamy rozcinającym, jeśli G\{x} jest niespójny. Niech G będzie grafem spójnym. V ' V G nazywamy zbiorem rozcinającym jeśli G\V' jest niespójny Niech G będzie
Bardziej szczegółowo15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 8/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoIlustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna
Grafy płaskie G=(V,E) nazywamy grafem płaskim, gdy V jest skończonym podzbiorem punktów płaszczyzny euklidesowej, a E to zbiór krzywych Jordana (łamanych) o końcach w V i takich, że: 1) rożne krzywe mają
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności
Bardziej szczegółowoSPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki.
SPÓJNOŚĆ Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B. Definicja równoważna: Graf jest spójny, gdy każde dwa wierzchołki są połączone ścieżką
Bardziej szczegółowo(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x
2. Wykład 2: algebry Boole a, kraty i drzewa. 2.1. Algebra Boole a. 1 Ważnym dla nas przykładem algebr są algebry Boole a, czyli algebry B = (B,,,, 0, 1) typu (2, 2, 1, 0, 0) spełniające własności: (1)
Bardziej szczegółowoTest, dzień pierwszy, grupa młodsza
Test, dzień pierwszy, grupa młodsza 1. Na połowinkach 60 procent wszystkich uczniów to dziewczyny. Impreza jest kiepska, bo tylko 40 procent wszystkich uczniów chce się tańczyć. Sytuacja poprawia sie odrobinę,
Bardziej szczegółowoTEORIA GRAFÓW I SIECI
TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 7: Przydziały w grafach i sieciach dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 26-83-95-04, p.225/00 Zakład
Bardziej szczegółowo; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze...
Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie. Dane są macierze: A D 0 ; E 0 0 0 ; B 0 5 ; C Wykonaj poniższe obliczenia: 0 4 5 Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję
Bardziej szczegółowoAlgorytmiczna teoria grafów
Podstawowe pojęcia i klasy grafów Wykład 1 Grafy nieskierowane Definicja Graf nieskierowany (graf) G = (V,E) jest to uporządkowana para składająca się z niepustego skończonego zbioru wierzchołków V oraz
Bardziej szczegółowoKombinowanie o nieskończoności. 2. Wyspy, mosty, mapy i kredki materiały do ćwiczeń
Kombinowanie o nieskończoności. 2. Wyspy, mosty, mapy i kredki materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 15 marzec 2018 Szybkie przypomnienie z wykładu Prezentacja
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 5/14 Rekurencja Weźmy dla przykładu wzór (przepis) na liczenie silni: n! to iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n oraz 0!=1.
Bardziej szczegółowoPrzykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:
Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 4A/15 Liczby Fibonacciego Spośród ciągów zdefiniowanych rekurencyjnie, jednym z najsłynniejszych jest ciąg Fibonacciego (z roku 1202)
Bardziej szczegółowoGrafy (3): drzewa. Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków. UTP Bydgoszcz
Grafy (3): drzewa Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków UTP Bydgoszcz 13 (Wykłady z matematyki dyskretnej) Grafy (3): drzewa 13 1 / 107 Drzewo Definicja. Drzewo to graf acykliczny
Bardziej szczegółowoCzy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz?
DROGI i CYKLE EULERA w grafach Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? Czy można narysować podaną figurę nie odrywając ołówka od papieru
Bardziej szczegółowoPrzykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych.
Grafy Graf Graf (ang. graph) to zbiór wierzchołków (ang. vertices), które mogą być połączone krawędziami (ang. edges) w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków. Graf
Bardziej szczegółowoWprowadzenie Podstawy Fundamentalne twierdzenie Kolorowanie. Grafy planarne. Przemysław Gordinowicz. Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka
Grafy planarne Przemysław Gordinowicz Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka Grafy i ich zastosowania Wykład 12 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Podstawy 3 Fundamentalne twierdzenie 4 Kolorowanie grafów
Bardziej szczegółowoGrzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe
Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia
Bardziej szczegółowoWojciech Guzicki. Konferencja SEM(Kolory matematyki) Sielpia, 26 października 2018 r.
1 O KOLOROWANIU Wojciech Guzicki Konferencja SEM(Kolory matematyki) Sielpia, 26 października 2018 r. W. Guzicki: O kolorowaniu 2 KILKA ZADAŃ OLIMPIJSKICH NA DOBRY POCZĄTEK W. Guzicki: O kolorowaniu 3 Zadanie
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowob) bc a Rys. 1. Tablice Karnaugha dla funkcji o: a) n=2, b) n=3 i c) n=4 zmiennych.
DODATEK: FUNKCJE LOGICZNE CD. 1 FUNKCJE LOGICZNE 1. Tablice Karnaugha Do reprezentacji funkcji boolowskiej n-zmiennych można wykorzystać tablicę prawdy o 2 n wierszach lub np. tablice Karnaugha. Tablica
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 6/10 Zasada Dirichleta 1 ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA (1ZSD) Jeśli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n > m > 0, to
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 4/10 rekurencja Wzór (przepis) na liczenie silni: n! to iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n oraz 0!=1. Oto wartości silni
Bardziej szczegółowoZnaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
Bardziej szczegółowoObóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów
Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 0/03 Seria IV październik 0 rozwiązania zadań 6. Dla danej liczby naturalnej n rozważamy wszystkie sumy postaci a b a b 3 a 3 b 3 a b...n
Bardziej szczegółowoDrzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew
Drzewa Las - graf, który nie zawiera cykli Drzewo - las spójny Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Niech T graf o n wierzchołkach będący
Bardziej szczegółowoX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
www.omg.edu.pl X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (10 listopada 01 r. 15 grudnia 01 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. nia rozmieniła banknot
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Talesa. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz. Teoria
Twierdzenie Talesa. drian Łydka ernadeta Tomasz Teoria efinicja 1. Mówimy, że odcinki i są proporcjonalne odpowiednio do odcinków EF i GH, jeżeli = EF GH. Twierdzenie 1. (Twierdzenie Talesa) Jeżeli ramiona
Bardziej szczegółowoDrzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II
Wykład 6. Drzewa cz. II 1 / 65 drzewa spinające Drzewa spinające Zliczanie drzew spinających Drzewo T nazywamy drzewem rozpinającym (spinającym) (lub dendrytem) spójnego grafu G, jeżeli jest podgrafem
Bardziej szczegółowoAlgebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i
Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 9A/14 Permutacje Permutacja zbioru skończonego X to bijekcja z X w X. Zbiór permutacji zbioru oznaczamy przez, a permutacje małymi
Bardziej szczegółowoKURS MATEMATYKA DYSKRETNA
KURS MATEMATYKA DYSKRETNA LEKCJA 28 Grafy hamiltonowskie Odpowiedzi do zadania domowego www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST 1) b 2) a 3) b 4) d 5) c 6) d 7) b 8) b 9) d 10) a Zad. 1 ODPOWIEDZI
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór
Bardziej szczegółowoXII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2016 r. 17 października 2016 r.)
XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 06 r. 7 października 06 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczby wymierne a, b, c spełniają równanie
Bardziej szczegółowoLista 6. Kamil Matuszewski 13 kwietnia D n =
Lista 6 Kamil Matuszewski 3 kwietnia 6 3 4 5 6 7 8 9 Zadanie Mamy Pokaż, że det(d n ) = n.... D n =.... Dowód. Okej. Dla n =, n = trywialne. Załóżmy, że dla n jest ok, sprawdzę dla n. Aby to zrobić skorzystam
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 15/15 TWIERDZENIE HALLA Twierdzenie o kojarzeniu małżeństw rozważa dwie grupy dziewcząt i chłopców, oraz podgrupy dziewczyn i podgrupy
Bardziej szczegółowoMateriały dla finalistów
Materiały dla finalistów Malachoviacus Informaticus 2016 11 kwietnia 2016 Wprowadzenie Poniższy dokument zawiera opisy zagadnień, które będą niezbędne do rozwiązania zadań w drugim etapie konkursu. Polecamy
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 4/14 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowoO rekurencji i nie tylko
O rekurencji i nie tylko dr Krzysztof Bryś Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska 10 grudnia 2011 Intuicyjnie: rekurencja sprowadzenie rozwiązania danego problemu do rozwiązania
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2
1 MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2 GRUPA A RACHUNKI+KRÓTKIE WYJAŚNIENIA! NA TEJ KARTCE! KAŻDA DODATKOWA KARTKA TO MINUS 1 PUNKT! Imię i nazwisko...... Nr indeksu... 1. (3p.) Znajdź drzewo o kodzie Prufera
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7 Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy NP-zupełne Transformacją wielomianową problemu π 2 do problemu π 1 (π 2 π 1 ) jest funkcja f: D π2 D π1 spełniająca
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowo1 Automaty niedeterministyczne
Szymon Toruńczyk 1 Automaty niedeterministyczne Automat niedeterministyczny A jest wyznaczony przez następujące składniki: Alfabet skończony A Zbiór stanów Q Zbiór stanów początkowych Q I Zbiór stanów
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 11/14 Współczynniki multimianowe (wielomianowe) Współczynniki dwumianowe pojawiały się przy rozwinięciu dwumianu. Odpowiadały one
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Zadanie 28 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1
W. uzicki Zadanie 8 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie 8. any jest sześcian (zobacz rysunek) o krawędzi równej 1. unkt S jest środkiem krawędzi. Odcinek W jest wysokością ostrosłupa
Bardziej szczegółowoRegionalne Koło Matematyczne
Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 16 (27.02.2010) Twierdzenia evy i Menelaosa 1.
Bardziej szczegółowoGrafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane:
Wykład 4 grafy Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, E zbiór krawędzi, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane: Formalnie, w grafach skierowanych E jest podzbiorem
Bardziej szczegółowoLX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
Bardziej szczegółowo