TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAŁIV. Drzewa. Drzewa

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAŁIV. Drzewa. Drzewa"

Transkrypt

1 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAŁIV Drzewa Drzewem lub drzewem wolnym nazywamy dowolny graf spójny i acykliczny. Drzewa Ćwiczenie 1. Narysować wszystkie, z dokłado sci a do izomorfizmu, drzewa o 1, 2, 3, 4 i 5 wierzchołkach. Ćwiczenie 2. Narysować wszystkie, z dokłado sci a do izomorfizmu, drzewa o 6 i 7 wierzchołkach. Drzewem spinajacym (lub rozpinajacym) grafu G nazywamy dowolny podgraf będacy drzewem i zawierajacy wszystkie wierzchołki grafu. G Drzewa spinajace grafu G Twierdzenie 1. Każdy graf spójny ma drzewo spinajace. Dowód. Niech T będzie podgrafem spójnym zawierajacym wszystkie wierzchołki i majacym minimalna liczbę krawędzi. Pokażemy, że T jest acykliczny. Przypuśćmy nie wprost, że T zawiera cykl oraz wybierzmy dowolna krawędzi a k tego cyklu. Z twierdzenia?? wynika, że graf T \ {k} jest spójny. Graf ten ma te same wierzchołki co T i mniej krawędzi. Przeczy to minimalności T. Otrzymana sprzeczność dowodzi, że graf T jest acykliczny, czyli jest drzewem spinajacym. Przedstawiony dowód istnienia drzewa spinajacego grafu spójnego jest nieefektywny, tzn. nie podaje metody szukania tego drzewa. W dalszej części wykładu będziemy omawiać algorytmy znajdowania drzewa spinajacego. Twierdzenie 2. Dla dowolnego grafu G następujace warunki sa równoważne. (1) Graf G jest drzewem. 1

2 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAŁIV 2 (2) Dowolne dwa wierzchołki w G można poł aczyć dokładnie jedna scieżk a prosta. (3) Graf G jest spójny i każda jego krawęd z jest mostem. (4) Graf G jest acykliczny, ale przestaje być acykliczny po dodaniu jakiejkolwiek krawędzi. (5) Graf G jest spójny oraz E G = V G 1. (6) Graf G jest acykliczny oraz E G = V G 1. Dowód. (1) (2) Teza wynika z twierdzeń?? i??. (2) (3) Spójność G jest oczywista. Pokażemy, że dowolna krawędź k jest mostem. Zauważmy najpierw, że k nie jest pętla. Rzeczywiście, gdyby krawędź k była pętla o końcu a, to wierzchołek a można by poł aczyć z samym soba dwoma ścieżkami prostymi: ścieżka trywialna a i ścieżka aka. Tak więc krawędź k ł aczy różne wierzchołki a, b. Ponieważ akb jest jedyna ścieżka prosta ł aczac a a z b, więc w G \ {k} nie ma ścieżki prostej ł aczacej te wierzchołki. Nie ma więc żadnej ścieżki je ł aczacej (twierdzenie??). Oznacza to, że graf G \ {k} jest niespójny, czyli k jest mostem. (3) (4) Ponieważ każda krawędź jest mostem, więc acykliczność wynika z twierdzenia??. Dodajmy do grafu G krawędź k. Jeżeli k jest pętla o końcu a, to tworzy ona cykl aka w G {k}. Możemy zatem założyć, że k ł aczy różne wierzchołki a, b. Ze spójności wynika, że istnieje w G ścieżka prosta bez powtarzajacych się wierzchołków ł aczaca a z b. Dodajac do niej krawędź k dostajemy cykl w G {k}. (4) (1) Wystarczy sprawdzić, że graf G jest spójny. Niech a, b będa różnymi wierzchołkami. Dodajmy do G krawędź k ł aczac a a i b. Z założenia graf G {k} zawiera pewien cykl d. Oczywiście k należy do tego cyklu. Usuwajac k z d dostajemy ścieżkę ł aczac a a z b w G. (1) (5) i (1) (6) Wystarczy pokazać, że (0.1) E G = V G 1. Dowód przeprowadzimy przez indukcję ze względu na liczbę wierzchołków n = V G. Dla n = 1 równość (0.1) jest oczywista, bo drzewo o jednym wierzchołku nie może mieć krawędzi. Niech n będzie dowolna liczba naturalna. Załóżmy, że równość (0.1) zachodzi dla dowolnego drzewa o n wierzchołkach (założenie indukcyjne). Pokażemy, że równość ta zachodzi dla każdego drzewa o n + 1 wierzchołkach (teza indukcyjna). Niech G = (V, E) będzie drzewem o n + 1 wierzchołkach. Z własności?? wynika, że G posiada liść a. Niech k = ab będzie jedyna krawędzi a incydentna z a. Pokażemy, że graf G 0 = G \ {a} = (V \ {a}, E \ {k}) jest drzewem. Acykliczność G 0 wynika z acykliczności G. Weźmy dowolne wierzchołki u, v G 0. Ze spójności oraz twierdzenia?? wynika, że w G istnieje ścieżka prosta d ł aczaca te wierzchołki.

3 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAŁIV 3 Gdyby ścieżka d zawierała wierzchołek a, to musiałaby powtarzać się w niej krawędź k, co jest sprzeczne z definicj a ścieżki prostej. Wynika stad, że d nie zawiera a i w konsekwencji jest ścieżka w G 0. Oznacza to, że graf G 0 jest spójny, czyli jest drzewem o n wierzchołkach. Z założenia indukcyjnego dostajemy E G = E G0 + 1 = ( V G0 1) + 1 = V G0 = V G 1. Równość (0.1) zachodzi więc dla drzewa G i na mocy zasady indukcji, równość ta zachodzi dla dowolnego drzewa. (5) (1) Niech T będzie drzewem spinajacym grafu G. Oznacza to, że V G = V T. Z założenia oraz implikacji (1) (5) wnioskujemy, że E G = V G 1 = V T 1 = E T. E T jest skończonym podzbiorem E G o tej samej ilości elementów. Zatem E G = E T i w konsekwencji G = T, czyli G jest drzewem. (6) (1) Mamy pokazać, że graf G jest spójny. Niech n oznacza liczbę wierzchołków, t liczbę składowych oraz n 1,..., n t ilość wierzchołków w poszczególnych składowych tego grafu. Każda składowa grafu acyklicznego jest oczywiście drzewem. Korzystajac z założenia oraz implikacji (1) (5) stwierdzamy, że n 1 = E G = (n 1 1) (n t 1) = (n n t ) t = n t. Stad t = 1, czyli graf G jest spójny. Wniosek 1. Niech G będzie grafem o n wierzchołkach. (1) Jeżeli G jest drzewem, to E G = n 1. (2) Jeżeli G jest grafem spójnym, to E G n 1. (3) Jeżeli G jest grafem acyklicznym, to E G = n t n 1, gdzie t oznacza liczbę składowych grafu G. Wniosek 2. Jeżeli a jest lísciem w drzewie T, to T \ {a} jest drzewem. Ćwiczenie 3. Udowodníc wniosek 2. Ćwiczenie 4. Czasteczka węglowodoru składa się z atomów węgla (warto sciowo sć 4) i atomów wodoru (warto sciowo sć 1). Traktuj ac atomy jako wierzchołki, można ja przedstawíc jako graf spójny. (1) Udowodníc, że każdy alkan, to jest węglowodór o wzorze C n H 2n+2 ma czasteczkę o strukturze drzewa. Narysować czasteczki metanu, etanu i propanu. (2) Pokazać, że istnieja dwa izomery (nieizomorficzne drzewa) alkanu C 4 H 10. [Izomery te to butan oraz izobutan (metylopropan)]. (3) Znale zć wszystkie teoretycznie możliwe izomery alkanu C 5 H 12 oraz węglowodoru C 4 H 8.

4 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAŁIV 4 Ćwiczenie 5. Znale zć (narysować) wszystkie drzewa spinajace poniższych grafów Ćwiczenie 6. Niech G będzie grafem spójnym. Wyznaczyć wszystkie krawędzie, które (1) należa do wszystkich drzew spinajacych grafu G, (2) nie należa do żadnego drzewa spinajacego grafu G. Zanim zajmiemy się problemem wyznaczania drzewa spinajacego grafu, zastanowimy się ile jest takich drzew. W ogólnym przypadku problem jest trudny do rozwiazania. Ograniczymy się więc do szczególnego, ale ważnego, przypadku grafu pełnego. Odpowiedź wynika ze słynnego twierdzenia Cayleya. Twierdzenie 3 (Cayleya). Graf pełny o n wierzchołkach ma n n 2 drzew spinajacych (n N). Dowód. Dla n = 1 i n = 2 teza jest oczywista. Załóżmy, że n 3. Niech G = K n będzie grafem pełnym o n wierzchołkach. Oznaczmy przez T rodzinę wszystkich drzew spinajacych grafu G. Ustalmy (dowolnie wybrany) wierzchołek a i przyjmijmy T p = {A T ; deg A a = p}, t p = T p dla p = 1,..., n 1. Oczywiście t n 1 = 1. Szukana liczba drzew spinajacych wynosi T = t 1 + t t n 1. Dla ustalonej liczby p {2,..., n 1}, znajdziemy zwiazek między t p i t p 1. Niech r p oznacza liczbę wszystkich par (A, B) drzew takich, że A T p 1, B T p oraz A, B powstaja z siebie przez zastapienie pewnej krawędzi inna krawędzi a z nia współkońcow a. n = 7 p = 3 A A \ {bc} B Aby z A otrzymać B należy zastapić pewna krawędź bc inna krawędzi a kończac a się w b lub c. Ponieważ stopień a ma się zwiększyć, więc a nie może być końcem usuwanej krawędzi, natomiast musi być końcem krawędzi dodawanej (czyli dodajemy krawędź ab lub ac). Po usunięciu krawędzi bc z drzewa A dostajemy graf o dwóch składowych. Aby po dodaniu nowej krawędzi dostać drzewo musimy poł aczyć wierzchołek a z tym z wierzchołków b lub c, który należy do drugiej składowej. Oznacza to, że dodawana krawędź jest jednoznacznie

5 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAŁIV 5 wyznaczona przez usuwana krawędź bc. Drzewo A można wybrać na t p 1 sposobów, drzewo B jest jednoznacznie wyznaczone przez usuwana krawędź bc, która można wybrać na sposobów. Ilość par (A, B) wynosi więc E A deg A a = (n 1) (p 1) = n p (0.2) r p = (n p) t p 1. Rozważmy teraz drzewo B T p. Przez b 1,..., b p oznaczmy sasiadów wierzchołka a, przez B i składow a grafu B\{ab i } zawierajac a b i oraz przez n i liczbę wierzchołków w B i. Z acykliczności B wynika, że grafy B i nie maja wspólnych wierzchołków, a ze spójności B, wynika że każdy wierzchołek, z wyjatkiem a, należy do któregoś B i. Zatem n n p = n 1. Aby z drzewa B dostać drzewo A należace do T p 1, musimy jedna z krawędzi ab i zastapić krawędzi a b i c taka, że c a i c / B i. B B \ {ab 3 } A Drzewo B można wybrać na t p sposobów. Drzewo A jest wyznaczone przez wybór krawędzi ab i i krawędzi b i c. Krawędź b i c można wybrać na sposobów, czyli A można uzyskać z B na V B 1 V Bi = n 1 n i p (n 1 n i ) = (n 1) p p n i = (n 1) (p 1) i=1 sposobów. Stad ilość par (A, B) wynosi (0.3) r p = (n 1) (p 1) t p. Z (0.2) i (0.3) wnioskujemy, że i=1 t p 1 = (n 1) (p 1) t p dla p {2,..., n 1}. n p

6 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAŁIV 6 Stad dla dowolnego i {1,..., n 1} t i = i w konsekwencji = (n 1) i (n 1) (i + 1) n i 1 n i 2 (n 1) i n i 1 t i+1 = (n 1) i (n 1) (i + 1)... n i 1 n i 2 = (n 1) n i 1 i (i + 1)... (n 2) (n i 1) = = (n 1) n i 1 (n 2)! (i 1)! (n i 1)! T = n 1 i=1 = n 2 t i = n 1 i=1 ( n 2 i i=0 t i+2 =... = (n 1) (n 2) t n 1 = 1 = (n 1)n i 1 ( ) n 2 i 1 ( ) n 2 (n 1) n i 1 = i 1 ) (n 1) n i 2 1 i = (n 1 + 1) n 2 = n n 2. Twierdzenie Cayleya jest na ogółformułowane w trochę innej (ale równoważnej) postaci. Nie mówi się tam o liczbie drzew spinajacych grafu pełnego, ale o liczbie drzew oznakowanych, czyli drzew o ustalonym zbiorze wierzchołków. Jest to dla nas trochę kłopotliwe, bo przy naszej definicji grafu, każde drzewo o ustalonych wierzchołkach możemy zastapić formalnie innym drzewem zmieniajac nazwy krawędzi. Na szczęście możemy zaradzić tej niejednoznaczności traktujac drzewo jako parę (V, E) (porównaj komentarz po własności??). Przy takiej definicji drzewa, możemy jako wniosek podać wspomniana wersję twierdzenia. Wniosek 3 (Twierdzenie Cayleya). Istnieje n n 2 drzew oznakowanych o n wierzchołkach. Zaprezentowany na wykładzie dowód twierdzenia Cayleya pochodzi z ksiażki "Wprowadzenie do teorii grafów" R. Wilsona. W literaturze można znaleźć wiele różnych dowodów tego twierdzenia. Zainteresowani moga zajrzeć do ksiażki Wilsona (drugi dowód), "Aspektów kombinatoryki" V. Bryanta albo "Dowodów z Księgi" H. Aignera i G. Zieglera (cztery kolejne dowody). Nasze rozważania dotyczace zliczania drzew zakończymy krótka prezentacja metody etykietowania (numerowania) drzew oznakowanych. Pokażemy, że drzewa oznakowane o n wierzchołkach można odpowiednio "ponumerować" przy pomocy (n 2)-wyrazowych ciagów wierzchołków, zwanych kodami Prüfera. Aby uprościć zapis, będziemy przyjmować, że wierzchołkami sa liczby 1, 2,..., n. Takie samo rozumowanie jest poprawne dla dowolnych wierzchołków a 1, a 2,..., a n. Kody Prüfera zdefiniujemy indukcyjnie (skończona indukcja). Dla zwiększenia czytelności definicję zapiszemy w postaci algorytmu Prüfer. Niech n 3 oraz T = (V, E) będzie drzewem o wierzchołkach ze zbioru V = {1, 2,..., n}. Prüfer(T ) T 1 := T for i := 1 to n 2 do % T i - podgraf drzewa T

7 t i := min { a V Ti ; deg Ti a = 1 } p i := sasiad wierzchołka t i w T i T i+1 := T i \ {t i } p (T ) := (p 1, p 2,..., p n 2 ) TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAŁIV 7 % t i - najmniejszy liść w T i % Usuwamy z T i liść t i wraz z krawędzi a t i p i Ciag p (T ) = (p 1, p 2,..., p n 2 ) nazywamy kodem Prüfera drzewa T. p (T ) = (p 1, p 2, p 3, p 4 ) = 4344 Własność 1. Definicja kodu Prüfera jest poprawna (wszystkie operacje w algorytmie Prüfer sa wykonalne). Dowód. Z założenia T 1 = T jest nietrywialnym drzewem. Weźmy dowolne i n 2 i załóżmy, że graf T i jest nietrywialnym drzewem. Musimy pokazać, że definicje t i, p i sa poprawne oraz że graf T i+1 jest nietrywialnym drzewem. Ponieważ T i jest nietrywialnym drzewem, więc posiada przynajmniej dwa liście. Zatem zbiór { a VTi ; deg Ti a = 1 } jest niepusty i można z niego wybrać element najmniejszy t i. Ponieważ t i jest liściem, więc ma dokładnie jednego sasiada. Definicja p i jest więc również poprawna. Z wniosku 2 wynika z kolei, że T i+1 jest drzewem. Ponieważ drzewo T i+1 ma o jeden wierzchołek mniej niż drzewo T i, więc dla każdego i n 1 zachodzi V Ti = V T1 (i 1) = n i + 1 2, czyli wszystkie drzewa T i sa nietrywialne. Natychmiast z definicji wynika, że przy oznaczeniach z algorytmu Prüfera mamy Własność 2. E = {t 1 p 1,..., t n 2 p n 2 } {ab}, gdzie a, b sa jedynymi wierzchołkami drzewa T n 1. Liczbę wystapień wierzchołka a w kodzie Prüfera będziemy oznaczać symbolem δ (a). Dla drzewa z ostatniego przykładu mamy δ (1) = 0, δ (2) = 0, δ (3) = 1, δ (4) = 3, δ (5) = 0, δ (6) = 0. Własność 3. Liczba wystapień dowolnego wierzchołka a w kodzie Prüfera wynosi deg a 1. Dowód. Pokażemy najpierw, że dla dowolnego wierzchołka zachodzi nierówność (0.4) δ (a) deg a 1.

8 Z definicji kodu Prüfera wynika, że TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAŁIV 8 deg Ti+1 p i = deg Ti p i 1. Gdyby wierzchołek a wystapiłw kodzie Prüfera deg a razy, to miałby stopień 0 w którymś z grafów T i, co jest sprzeczne ze spójnościa tego grafu. Dowodzi to nierówności (0.4). Pokażemy teraz, że dla wszystkich wierzchołków zachodzi δ (a) deg a 1. Przypuśćmy nie wprost, że istnieje wierzchołek b taki, że δ (b) < deg b 1. Stad oraz z nierówności (0.4) zastosowanej do wierzchołków a b dostajemy n 2 = a V δ (a) = δ (b) + a b δ (a) < a V (deg a 1) = a V deg a a V 1 = = 2 E n = 2 (n 1) n = n 2. Otrzymana sprzeczność kończy dowód. Własność 4. Różnym drzewom oznakowanym odpowiadaj a różne kody Prüfera. Dowód. Niech T, S będa drzewami oznakowanymi o wierzchołkach 1,..., n takimi, że p (T ) = p (S) = (p 1,..., p n 2 ). Pokażemy, że T = S. Oznaczmy przez t i oraz s i ciagi liści definiowanych w algorytmie Prüfer dla drzew T oraz S. Udowodnimy, że (0.5) t i = s i dla i = 1,..., n 2. Przypuśćmy nie wprost, że tak nie jest. Niech j będzie najmniejszym indeksem, dla którego t j s j. Możemy przyjać, że t j < s j (jeśli t j > s j, to dowód jest podobny). Mamy więc t 1 = s 1,..., t j 1 = s j 1 oraz t j < s j. Z własności 3 oraz równości kodów Prüfera wynika, że deg T t j = δ (t j ) + 1 = deg S t j Ponieważ T j oraz S j powstaja przez usunięcie z T oraz S tych samych wierzchołków t 1,..., t j 1 oraz tych samych krawędzi t 1 p 1,..., t j 1 p j 1, więc (0.6) deg Tj t j = deg Sj t j. Wierzchołek t j jest najmniejszym liściem w T j, zaś wierzchołek s j jest najmniejszym liściem w S j. Z nierówności t j < s j wynika więc, że t j nie jest liściem w S j, co przeczy równości (0.6). Otrzymana sprzeczność dowodzi równości (0.5). Z (0.5) wynika, że V Tn 1 = V \ {t 1,..., t n 2 } = V \ {s 1,..., s n 2 } = V Sn 1.

9 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAŁIV 9 Zatem T n 1 i S n 1 składaj a się z tych samych wierzchołków a, b. Z własności 2 dostajemy ostatecznie, że E T = {t 1 p 1,..., t n 2 p n 2 } {ab} = {s 1 p 1,..., s n 2 p n 2 } {ab} = E S, czyli T = S. Pokazaliśmy, że funkcja p : T p (T ) przyporzadkowuj ac a drzewu oznakowanemu T jego kod Prüfera p (T ) jest różnowartościowa. Wartości funkcji należa do zbioru Vn n 2 wszystkich (n 2)-wyrazowych ciagów wierzchołków (czyli wszystkich (n 2)-wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego). Ponieważ ilość drzew oznakowanych i liczba elementów zbioru Vn n 2 jest taka sama (i wynosi n n 2 ), więc funkcja p jest bijekcja. Mamy zatem Twierdzenie 4. Funkcja p zdefiniowana w algorytmie Prüfer jest bijekcja zbioru wszystkich drzew oznakowanych o n 3 wierzchołkach na Vn n 2. Uwaga 1. Zaprezentowany wyżej algorytm szukania kodu Prüfera jest napisany z użyciem zmiennych, które moga być pominięte. Tablice [t i ] oraz [T i ] moga być zastapione pojedynczymi zmiennymi. Tablice zostały użyte w celu zwiększenia czytelno sci dowodów. Prostsza wersja algorytmu mogłaby wygladać następujaco: Prüfer(T ) S := T for i := 1 to n 2 do t := min {a V S ; deg S a = 1} p i := sasiad wierzchołka t w S S = S \ {t} p (T ) := (p 1, p 2,..., p n 2 ) Ćwiczenie 7. Znale zć kody Prüfera następujacych drzew oznakowanych Pokażemy jeszcze jak dla ustalonego ciagu (p 1,..., p n 2 ) Vn n 2 znaleźć drzewo oznakowane T o wierzchołkach 1,..., n takie, że p (T ) = (p 1,..., p n 2 ). W tym celu zdefiniujemy algorytm, który dla ciagu (p 1,..., p n 2 ) wyznacza krawędzie drzewa T. Inaczej mówiac pokażemy jak z kodu Prüfera odtworzyć odpowiadajace mu drzewo. Niech (p 1,..., p n 2 ) będzie dowolnym ciagiem liczb ze zbioru V = {1,..., n}, n 3. Dekodowanie (p 1,..., p n 2 ) A 1 := V % A i - zbiór niewykorzystanych wierzchołków

10 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAŁIV 10 for i := 1 to n 2 do t i := min (A i \ {p i,..., p n 2 }) % Definiujemy krawędź t i p i A i+1 := A i \ {t i } E := {t i p i ; i = 1,..., n 2} {ab}, gdzie A n 1 = {a, b}, a < b Własność 5. Wszystkie operacje w algorytmie Dekodowanie sa wykonalne, graf T = (V, E) jest drzewem oraz p (T ) = (p 1,..., p n 2 ). Dowód powyższej własności pominiemy. Pokażemy jedynie działanie algorytmu Dekodowanie dla ciagu otrzymanego w poprzednim przykładzie. Rozważmy ciag (4, 3, 4, 4) V6 4. Znajdziemy drzewo oznakowane o wierzchołkach 1, 2,..., 6 takie, że p (T ) = (4, 3, 4, 4). Mamy p 1 = 4, p 2 = 3, p 3 = 4, p 4 = 4, A 1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, t 1 = min ({1, 2, 3, 4, 5, 6} \ {4, 3, 4, 4}) = 1, A 2 = {2, 3, 4, 5, 6}, p 1 t 1 = 41, t 2 = min ({2, 3, 4, 5, 6} \ {3, 4, 4}) = 2, A 3 = {3, 4, 5, 6}, p 2 t 2 = 32, t 3 = min ({3, 4, 5, 6} \ {4, 4}) = 3, A 4 = {4, 5, 6}, p 3 t 3 = 43, t 4 = min ({4, 5, 6} \ {4}) = 5, A 5 = {4, 6}, p 4 t 4 = 45, a = 4, b = 6, ab = 46, E = {41, 32, 43, 45, 46} Z poprzedniego przykładu wynika, że p (T ) = (4, 3, 4, 4). Ćwiczenie 8. Narysowć drzewa oznakowane o wierzchołkach 1, 2, 3, 4, 5, 6, których kody Prüfera sa równe (1) 2222 (2) 5432 (3) 5252 (4) 2255 (5) 1335 Ćwiczenie 9. Narysować wszystkie drzewa oznakowane na zbiorze {1, 2, 3, 4} i wyznaczyć ich kody Prüfera. (Porównaj ćwiczenie 5).

11 TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAŁIV 11 Ćwiczenie 10. Znale zć liczbę drzew spinajacych następujacych grafów. Ćwiczenie 11. Obliczyć liczbę drzew spinjacych grafu pełnego K n (1) posiadajacych wierzchołek stopnia n 1, (2) posiadajacych wierzchołek stopnia n 2, (3) których wszystkie wierzchołki maja stopień 1 lub 2. Ćwiczenie 12. Niech t (n) oznacza liczbę drzew oznakowanych na zbiorze {1,..., n}, za s t t 1 (n) liczbę takich drzew spełniaj acych warunek deg 1 = 1. Obliczyć t 1 (n) oraz lim 1 (n) n t(n).

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym

Bardziej szczegółowo

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki.

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki. SPÓJNOŚĆ Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B. Definicja równoważna: Graf jest spójny, gdy każde dwa wierzchołki są połączone ścieżką

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczna teoria grafów

Algorytmiczna teoria grafów Przedmiot fakultatywny 20h wykładu + 20h ćwiczeń 21 lutego 2014 Zasady zaliczenia 1 ćwiczenia (ocena): kolokwium, zadania programistyczne (implementacje algorytmów), praca na ćwiczeniach. 2 Wykład (egzamin)

Bardziej szczegółowo

(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x

(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x 2. Wykład 2: algebry Boole a, kraty i drzewa. 2.1. Algebra Boole a. 1 Ważnym dla nas przykładem algebr są algebry Boole a, czyli algebry B = (B,,,, 0, 1) typu (2, 2, 1, 0, 0) spełniające własności: (1)

Bardziej szczegółowo

Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych

Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Metody boolowskie w informatyce Robert Sulkowski http://robert.brainusers.net 23 stycznia 2010 1 Definicja 1 (Cykl skierowany). Niech C = (V, A)

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych

Bardziej szczegółowo

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów Wykład 3. Własności grafów 1 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2).

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10 System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki

Bardziej szczegółowo

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 (12p.)Niech n 3k > 0. Zbadać jaka jest najmniejsza możliwa liczba krawędzi w grafie, który ma dokładnie n wierzchołków oraz dokładnie k składowych, z których

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz

Bardziej szczegółowo

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów 1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i

Bardziej szczegółowo

Minimalne drzewa rozpinające

Minimalne drzewa rozpinające KNM UŚ 26-28 listopada 2010 Ostrzeżenie Wprowadzenie Motywacja Definicje Niektóre pojęcia pojawiające się podczas tego referatu są naszymi autorskimi tłumaczeniami z języka angielskiego. Nie udało nam

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy

Bardziej szczegółowo

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz?

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? DROGI i CYKLE EULERA w grafach Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? Czy można narysować podaną figurę nie odrywając ołówka od papieru

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

6. Wstępne pojęcia teorii grafów

6. Wstępne pojęcia teorii grafów 6. Wstępne pojęcia teorii grafów Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Wstępne pojęcia teorii grafów zima 2016/2017

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d) Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język

Bardziej szczegółowo

Sieć (graf skierowany)

Sieć (graf skierowany) Sieci Sieć (graf skierowany) Siecia (grafem skierowanym) G = (V, A) nazywamy zbiór wierzchołków V oraz zbiór łuków A V V. V = {A, B, C, D, E, F}, A = {(A, B), (A, D), (A, C), (B, C),..., } Ścieżki i cykle

Bardziej szczegółowo

LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów)

LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbę rozwiązań (x 1,x

Bardziej szczegółowo

Problemy Decyzyjne dla Systemów Nieskończonych

Problemy Decyzyjne dla Systemów Nieskończonych Problemy Decyzyjne dla Systemów Nieskończonych Ćwiczenia 1 17 lutego 2012 Na tych ćwiczeniach zajmiemy się pojęciem well quasi-ordering (WQO) bardzo przydatnym do analizy nieskończonych ciągów. Definicja

Bardziej szczegółowo

Algebry skończonego typu i formy kwadratowe

Algebry skończonego typu i formy kwadratowe Algebry skończonego typu i formy kwadratowe na podstawie referatu Justyny Kosakowskiej 26 kwietnia oraz 10 i 17 maja 2001 Referat został opracowany w oparciu o prace Klausa Bongartza Criterion for finite

Bardziej szczegółowo

Ilustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna

Ilustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna Grafy płaskie G=(V,E) nazywamy grafem płaskim, gdy V jest skończonym podzbiorem punktów płaszczyzny euklidesowej, a E to zbiór krzywych Jordana (łamanych) o końcach w V i takich, że: 1) rożne krzywe mają

Bardziej szczegółowo

Przykład: Σ = {0, 1} Σ - zbiór wszystkich skończonych ciagów binarnych. L 1 = {0, 00, 000,...,1, 11, 111,... } L 2 = {01, 1010, 001, 11}

Przykład: Σ = {0, 1} Σ - zbiór wszystkich skończonych ciagów binarnych. L 1 = {0, 00, 000,...,1, 11, 111,... } L 2 = {01, 1010, 001, 11} Języki Ustalmy pewien skończony zbiór symboli Σ zwany alfabetem. Zbiór Σ zawiera wszystkie skończone ciagi symboli z Σ. Podzbiór L Σ nazywamy językiem a x L nazywamy słowem. Specjalne słowo puste oznaczamy

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Grafy i grafy skierowane. Izomorfizmy grafów

Grafy i grafy skierowane. Izomorfizmy grafów TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL I Grafy i grafy skierowane. Izomorfizmy grafów Rozważmy rysunki 1. Schemat mostów na rzece Pregole w Królewcu 2. Drzewo prawdopodobieństwa przy rzucie moneta 3. Schemat

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Halla o małżeństwach

Twierdzenie Halla o małżeństwach Twierdzenie Halla o małżeństwach Tomasz Tkocz Streszczenie. Notatki te, przygotowane do referatu wygłoszonego na kółku w II LO w Rybniku, pokazują jak można rozwiązywać życiowe problemy oraz te bardziej

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania, seria 5.

Rozwiązania, seria 5. Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.

Bardziej szczegółowo

Kompresja bezstratna. Entropia. Kod Huffmana

Kompresja bezstratna. Entropia. Kod Huffmana Kompresja bezstratna. Entropia. Kod Huffmana Kodowanie i bezpieczeństwo informacji - Wykład 10 29 kwietnia 2013 Teoria informacji Jeśli P(A) jest prawdopodobieństwem wystapienia informacji A to niech i(a)

Bardziej szczegółowo

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,

Bardziej szczegółowo

Wykład 8. Drzewo rozpinające (minimum spanning tree)

Wykład 8. Drzewo rozpinające (minimum spanning tree) Wykład 8 Drzewo rozpinające (minimum spanning tree) 1 Minimalne drzewo rozpinające - przegląd Definicja problemu Własności minimalnych drzew rozpinających Algorytm Kruskala Algorytm Prima Literatura Cormen,

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie 1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n

Bardziej szczegółowo

Schemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej

Schemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Schemat rekursji 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Dla dowolnej liczby naturalnej a i dowolnej funkcji h: N 2 N istnieje dokładnie jedna funkcja f: N N spełniająca następujące warunki: f(0)

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Nierówność Krafta-McMillana, Kodowanie Huffmana

Nierówność Krafta-McMillana, Kodowanie Huffmana Nierówność Krafta-McMillana, Kodowanie Huffmana Kodowanie i kompresja informacji - Wykład 2 1 marca 2010 Test na jednoznaczna dekodowalność Kod a jest prefiksem kodu b jeśli b jest postaci ax. x nazywamy

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji. 27 grudnia Granica funkcji

Granica funkcji. 27 grudnia Granica funkcji 27 grudnia 2011 Punkty skupienia Definicja Niech D R będzie dowolnym zbiorem. Punkt x 0 R nazywamy punktem skupienia zbioru D jeżeli δ>0 x D\{x0 } : x x 0 < 0. Zbiór punktów skupienia zbioru D oznaczamy

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji. 8 listopada Wykład 4

Granica funkcji. 8 listopada Wykład 4 Granica funkcji 8 listopada 2011 Definicja Niech D R będzie dowolnym zbiorem. Punkt x 0 R nazywamy punktem skupienia zbioru D jeżeli δ>0 x D\{x0 } : x x 0 < δ. Zbiór punktów skupienia zbioru D oznaczamy

Bardziej szczegółowo

Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej algorytmy

Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej algorytmy Rozdział 15 Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej algorytmy 15.1 Algorytm dzielenia Definicja 15.1 Niech dany będzie niezerowy wielomian f K[x] (K jest ciałem) f = a 0 x m + a 1 x m 1 +... + a m, gdzie

Bardziej szczegółowo

Skończone rozszerzenia ciał

Skończone rozszerzenia ciał Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie

Bardziej szczegółowo

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j

Bardziej szczegółowo

Aproksymacja diofantyczna

Aproksymacja diofantyczna Aproksymacja diofantyczna Szymon Draga Ustroń, 4 listopada 0 r Wprowadzenie Jak wiadomo, każdą liczbę niewymierną można (z dowolną dokładnością) aproksymować liczbami wymiernymi Powstaje pytanie, w jaki

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 1. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski

WYKŁAD 1. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski WYKŁAD 1 Witold Bednorz, Paweł Wolff Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Wprowadzenie Gry hazardowe Wprowadzenie Gry hazardowe Klasyczna definicja prawdopodobieństwa.

Bardziej szczegółowo

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów Suma dwóch grafów G 1 = ((G 1 ), E(G 1 )) G 2 = ((G 2 ), E(G 2 )) (G 1 ) i (G 2 ) rozłączne Suma G 1 G 2 graf ze zbiorem wierzchołków (G 1 ) (G 2 ) i rodziną krawędzi E(G 1 ) E(G 2 ) G 1 G 2 G 1 G 2 Zespolenie

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna - 7.Drzewa

Matematyka dyskretna - 7.Drzewa Matematyka dyskretna - 7.Drzewa W tym rozdziale zajmiemy się drzewami: specjalnym przypadkiem grafów. Są one szczególnie przydatne do przechowywania informacji, umożliwiającego szybki dostęp do nich. Definicja

Bardziej szczegółowo

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu E-learning - matematyka - poziom rozszerzony Funkcja wykładnicza Materiały merytoryczne do kursu Definicję i własności funkcji wykładniczej poprzedzimy definicją potęgi o wykładniku rzeczywistym. Poprawna

Bardziej szczegółowo

Kody blokowe Wykład 5a;

Kody blokowe Wykład 5a; Kody blokowe Wykład 5a; 31.03.2011 1 1 Kolorowanie hiperkostki Definicja. W teorii grafów symbol Q n oznacza kostkę n-wymiarową, czyli graf o zbiorze wierzchołków V (Q n ) = {0, 1} n i zbiorze krawędzi

Bardziej szczegółowo

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości. Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii grafów Elementy teorii grafów

Elementy teorii grafów Elementy teorii grafów Spis tresci 1 Spis tresci 1 Często w zagadnieniach praktycznych rozważa się pewien zbiór obiektów wraz z zależnościami jakie łączą te obiekty. Dla przykładu można badać pewną grupę ludzi oraz strukturę

Bardziej szczegółowo

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi. Rozdział 3 Logarytm i potęga 3.1 Potęga o wykładniku naturalnym Definicja potęgi o wykładniku naturalnym. Niech x R oraz n N. Potęgą o podstawie x i wykładniku n nazywamy liczbę x n określoną następująco:

Bardziej szczegółowo

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie Podstawy Fundamentalne twierdzenie Kolorowanie. Grafy planarne. Przemysław Gordinowicz. Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka

Wprowadzenie Podstawy Fundamentalne twierdzenie Kolorowanie. Grafy planarne. Przemysław Gordinowicz. Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka Grafy planarne Przemysław Gordinowicz Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka Grafy i ich zastosowania Wykład 12 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Podstawy 3 Fundamentalne twierdzenie 4 Kolorowanie grafów

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Wykład 3. Miara zewnętrzna. Definicja 3.1 (miary zewnętrznej) Funkcję µ przyporządkowującą każdemu podzbiorowi

Wykład 3. Miara zewnętrzna. Definicja 3.1 (miary zewnętrznej) Funkcję µ przyporządkowującą każdemu podzbiorowi Wykład 3 Miara zewnętrzna Definicja 3.1 (miary zewnętrznej Funkcję przyporządkowującą każdemu podzbiorowi A danej przestrzeni X liczbę (A [0, + ] (a więc określoną na rodzinie wszystkich podzbiorów przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu

Bardziej szczegółowo

E ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem

E ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem Niech G będzie grafem spójnym. Wierzchołek x nazywamy rozcinającym, jeśli G\{x} jest niespójny. Niech G będzie grafem spójnym. V ' V G nazywamy zbiorem rozcinającym jeśli G\V' jest niespójny Niech G będzie

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji. 16 grudnia Wykład 5

Granica funkcji. 16 grudnia Wykład 5 Granica funkcji 16 grudnia 2010 Tw. o trzech funkcjach Twierdzenie Niech f, g, h : R D R będa funkcjami takimi, że lim f (x) = lim h(x), x x 0 x x0 gdzie x 0 D. Jeżeli istnieje otoczenie punktu x 0 w którym

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje uniwersalne

1 Funkcje uniwersalne 1 1 Funkcje uniwersalne 1.1 Konstrukcja funkcji uniweralnej Niech P będzie najmniejszym zbiorem liczb spełniającym warunki 1) 0, 2, 0, 0, 2, 1, 0, 2, 2 P, 2) 0, n, 3, k P dla wszystkich n > 0 oraz k takich,

Bardziej szczegółowo

Ci agło s c funkcji 2 grudnia 2014 Ci agło s c funkcji

Ci agło s c funkcji 2 grudnia 2014 Ci agło s c funkcji 2 grudnia 2014 ciagłość - zaufanie 1 Dlaczego zbliżajac się do łuku drogi nie hamujemy wiedzac, że nie zdołamy się zatrzymać na widocznym kawałku drogi? Ponieważ wierzymy, że dalej ciagnie się droga. 2

Bardziej szczegółowo

Grzegorz Bobiński. Matematyka Dyskretna

Grzegorz Bobiński. Matematyka Dyskretna Grzegorz Bobiński Matematyka Dyskretna Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2016 Spis treści 1 Elementy teorii liczb 1 1.1 Twierdzenie o dzieleniu z resztą.................

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub WYKŁAD 2 1 2. FUNKCJE. 2.1.PODSTAWOWE DEFINICJE. Niech będą dane zbiory i. Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru,, przyporządkujemy jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

Kongruencje pierwsze kroki

Kongruencje pierwsze kroki Kongruencje wykład 1 Definicja Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą, natomiast a i b dowolnymi liczbami całkowitymi. Liczby a i b nazywamy przystającymi (kongruentnymi) modulo n i piszemy a b (mod

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska

Teoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Teoria grafów dla małolatów Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Wstęp Matematyka to wiele różnych dyscyplin Bowiem świat jest bardzo skomplikowany wymaga rozważenia

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2

MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2 1 MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2 GRUPA A RACHUNKI+KRÓTKIE WYJAŚNIENIA! NA TEJ KARTCE! KAŻDA DODATKOWA KARTKA TO MINUS 1 PUNKT! Imię i nazwisko...... Nr indeksu... 1. (3p.) Znajdź drzewo o kodzie Prufera

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów

Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów Jadwiga Czyżewska Pisane pod kierunkiem W.Guzickiego W 2013 roku na II etapie VIII edycji Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów pojawiło się zadanie o następującej

Bardziej szczegółowo

Spotkanie olimpijskie nr lutego 2013 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa

Spotkanie olimpijskie nr lutego 2013 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Spotkanie olimpijskie nr 5 16 lutego 2013 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka Jadwiga Słowik Reguła mnożenia Jeśli wybór polega na podjęciu k decyzji, przy czym pierwszą decyzję możemy

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

Wstęp do programowania. Drzewa. Piotr Chrząstowski-Wachtel

Wstęp do programowania. Drzewa. Piotr Chrząstowski-Wachtel Wstęp do programowania Drzewa Piotr Chrząstowski-Wachtel Drzewa Drzewa definiują matematycy, jako spójne nieskierowane grafy bez cykli. Równoważne określenia: Spójne grafy o n wierzchołkach i n-1 krawędziach

Bardziej szczegółowo

7. Teoria drzew - spinanie i przeszukiwanie

7. Teoria drzew - spinanie i przeszukiwanie 7. Teoria drzew - spinanie i przeszukiwanie Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. wteoria Krakowie) drzew - spinanie i przeszukiwanie

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

KONGRUENCJE. 1. a a (mod m) a b (mod m) b a (mod m) a b (mod m) b c (mod m) a c (mod m) Zatem relacja kongruencji jest relacją równoważności.

KONGRUENCJE. 1. a a (mod m) a b (mod m) b a (mod m) a b (mod m) b c (mod m) a c (mod m) Zatem relacja kongruencji jest relacją równoważności. KONGRUENCJE Dla a, b, m Z mówimy, że liczba a przystaje do liczby b modulo m a b (mod m) m (a b) (a b (mod m) można też zapisać jako: a = km + b, k Z). Liczbę m nazywamy modułem kongruencji. Własności:

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 9A/14 Permutacje Permutacja zbioru skończonego X to bijekcja z X w X. Zbiór permutacji zbioru oznaczamy przez, a permutacje małymi

Bardziej szczegółowo

Teoria ciała stałego Cz. I

Teoria ciała stałego Cz. I Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3

Bardziej szczegółowo

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę

Bardziej szczegółowo