Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 9-10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów
|
|
|
- Stanisław Biernacki
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 9-10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski MISH UW, semestr zimowy P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
2 Mapa czterobarwna, Wikipedia P. Strzelecki (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
3 Inna mapa czterobarwna, Wikipedia P. Strzelecki (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
4 Twierdzenie o czterech barwach Twierdzenie (K. Appel, W. Haken, 1976). Każdą mapę na płaszczyźnie można pokolorować czterema barwami. To sformułowanie jest bardzo nieprecyzyjne. Ważne pytania: Co to jest mapa? Jaki kształt mogą mieć państwa? Kiedy dwa państwa graniczą ze sobą? Sciślej: wierzchołki każdego grafu planarnego można dobrze pokolorowować czterema barwami. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
5 Wystarczy mówić o kolorowaniu grafów P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
6 O historii problemu 1852, Francis Guthrie (student z Londynu): obserwacja: hrabstwa na mapie Anglii można pomalować 4 barwami; hipoteza: państwa na każdej mapie też. 1852, Augustus de Morgan: na żadnej mapie płaskiej nie ma pięciu państw, które sąsiadowałyby każde z każdym 23 października 1852: de Morgan pisze o całej sprawie list do Williama Hamiltona. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
7 Augustus De Morgan ( ) P. Strzelecki (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
8 List De Morgana do Hamiltona P. Strzelecki (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
9 List z 23 października 1852 Jeden z moich studentów poprosił mnie dziś, żebym podał mu powód, dla którego prawdziwy jest pewien fakt, którego nie znałem i wciąż nie wiem, czy jest prawdziwy. Twierdzi on, że jeśli figurę podzielimy w dowolny sposób na części, które zostaną pokolorowane tak, żeby dwie figury, które mają wspólną linię graniczną, miały różne kolory to może trzeba będzie czterech kolorów, ale nie więcej. Oto przykład, w którym trzeba czterech kolorów. Poszukiwania nie pozwalają [mi] podać przykładu, który wymagałby pięciu lub więcej kolorów. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
10 Wiek XIX, cd. De Morgan opowiedział o problemie wielu matematykom, w tym Charlesowi Sandersowi Peirce owi i Arthurowi Cayley owi Czerwiec 1878: Arthur Cayley opowiada o problemie na posiedzeniu Londyńskiego Towarzystwa Matematycznego. Wkrótce potem pojawiają się dwa dowody hipotezy 4 barw: 1879, Alfred Bray Kempe, adwokat z Londynu 1880, Peter Guthrie Tait Kempe zostaje członkiem Royal Society. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
11 Dowód Kempego Na każdej mapie jest państwo, które ma co najwyżej pięciu sąsiadów (poprawna część dowodu) Wykorzystanie teorii grafów Technika łańcuchów Kempego i wymiany kolorów w krytycznych obszarach Subtelny błąd w dowodzie, niełatwy do wykrycia P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
12 Dygresja: teoria grafów i wzór Eulera Zadanie o 7 mostach: Czy można pójść na spacer po mieście i przejść po każdym z mostów dokładnie raz? 26 sierpnia 1735, Leonard Euler: nie Początek teorii grafów P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
13 Twierdzenie Eulera o grafach jednobieżnych Stopień wierzchołka: liczba krawędzi, wychodzących z tego wierzchołka. cykl Eulera: droga, która przechodzi dokładnie raz po każdej krawędzi, a ponadto kończy się i zaczyna w tym samym miejscu. ścieżka Eulera: przechodzi dokładnie raz po każdej krawędzi, ale może kończyć się w dowolnym miejscu. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
14 Twierdzenie Eulera o grafach jednobieżnych Stopień wierzchołka: liczba krawędzi, wychodzących z tego wierzchołka. cykl Eulera: droga, która przechodzi dokładnie raz po każdej krawędzi, a ponadto kończy się i zaczyna w tym samym miejscu. ścieżka Eulera: przechodzi dokładnie raz po każdej krawędzi, ale może kończyć się w dowolnym miejscu. Twierdzenie. Niech G będzie grafem spójnym. Wtedy G ma cykl Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wierzchołki G są parzystego stopnia, a ścieżkę Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy są najwyżej 2 wierzchołki stopnia nieparzystego. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
15 Wzór Eulera Wersja I: Dany jest dowolny wielościan wypukły. S, K i W są, odpowiednio, liczbą jego ścian, krawędzi i wierzchołków. Wówczas S K + W = 2. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
16 Wzór Eulera Wersja I: Dany jest dowolny wielościan wypukły. S, K i W są, odpowiednio, liczbą jego ścian, krawędzi i wierzchołków. Wówczas S K + W = 2. Wersja II: Dany jest graf planarny. S, K i W są, odpowiednio, liczbą jego ścian (= obszarów, na które graf dzieli płaszczyznę), krawędzi i wierzchołków. Wówczas S K + W = 2. Dowód tego wzoru nie jest ani szczególnie trudny, ani bardzo łatwy. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
17 Znane łamigłówki i wzór Eulera 1 Zadanie o trzech domkach i trzech studniach. Trzy domki łączymy ścieżkami z trzema studniami (każdy domek ma oddzielne dojście do każdej studni). Właściciele domków bardzo się nie lubią i dlatego ścieżki nie mogą się przecinać. Jak je poprowadzić? 2 Zadanie o pięciu miastach. Pięć miast łączymy liniami kolejowymi, każde z każdym. Udowodnić, że któreś dwie linie kolejowe muszą się przecinać. Wzór Eulera pozwala rozwiązać oba zadania. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
18 Zadanie o trzech domkach i trzech studniach Metoda prób i błędów: jak poprowadzić ostatnią ścieżkę? P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
19 Zadanie o trzech domkach i trzech studniach 1 Przypuśćmy, że istnieje rozwiązanie. Odpowiada mu graf planarny, w którym W = = 6 i K = 3 3 = 9. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
20 Zadanie o trzech domkach i trzech studniach 1 Przypuśćmy, że istnieje rozwiązanie. Odpowiada mu graf planarny, w którym W = = 6 i K = 3 3 = 9. 2 Wobec wzoru Eulera, S = 2 + K W = 5. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
21 Zadanie o trzech domkach i trzech studniach 1 Przypuśćmy, że istnieje rozwiązanie. Odpowiada mu graf planarny, w którym W = = 6 i K = 3 3 = 9. 2 Wobec wzoru Eulera, S = 2 + K W = 5. 3 Każda ściana ma co najmniej 4 krawędzie (bo nie ma połączeń typu studnia studnia i domek domek.) P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
22 Zadanie o trzech domkach i trzech studniach 1 Przypuśćmy, że istnieje rozwiązanie. Odpowiada mu graf planarny, w którym W = = 6 i K = 3 3 = 9. 2 Wobec wzoru Eulera, S = 2 + K W = 5. 3 Każda ściana ma co najmniej 4 krawędzie (bo nie ma połączeń typu studnia studnia i domek domek.) 4 Dlatego krawędzi powinno być przynajmniej = 10 (zliczając krawędzie wokół ścian, każdą krawędź uwzględnimy dwukrotnie.) P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
23 Zadanie o trzech domkach i trzech studniach 1 Przypuśćmy, że istnieje rozwiązanie. Odpowiada mu graf planarny, w którym W = = 6 i K = 3 3 = 9. 2 Wobec wzoru Eulera, S = 2 + K W = 5. 3 Każda ściana ma co najmniej 4 krawędzie (bo nie ma połączeń typu studnia studnia i domek domek.) 4 Dlatego krawędzi powinno być przynajmniej = 10 (zliczając krawędzie wokół ścian, każdą krawędź uwzględnimy dwukrotnie.) Uzyskana sprzeczność kończy dowód. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
24 Zadanie o 5 miastach i liniach kolejowych 1 Przypuśćmy, że istnieje rozwiązanie. Odpowiada mu graf planarny, w którym W = 5 i K = Wobec wzoru Eulera, S = 2 + K W = 7. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
25 Zadanie o 5 miastach i liniach kolejowych 1 Przypuśćmy, że istnieje rozwiązanie. Odpowiada mu graf planarny, w którym W = 5 i K = Wobec wzoru Eulera, S = 2 + K W = 7. 3 Każda ściana ma co najmniej 3 krawędzie. Dlatego (jak w poprzednim rozwiązaniu) krawędzi jest co najmniej tzn. co najmniej = Uzyskana sprzeczność kończy dowód. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
26 Zadanie o 5 miastach i liniach kolejowych 1 Przypuśćmy, że istnieje rozwiązanie. Odpowiada mu graf planarny, w którym W = 5 i K = Wobec wzoru Eulera, S = 2 + K W = 7. 3 Każda ściana ma co najmniej 3 krawędzie. Dlatego (jak w poprzednim rozwiązaniu) krawędzi jest co najmniej tzn. co najmniej = Uzyskana sprzeczność kończy dowód. W języku map: na żadnej mapie płaskiej nie ma pięciu map, z których każde graniczy z wszystkimi czterema pozostałymi. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
27 Wracamy do map i dowodu Kempego Mapa jest na sferze. Dla ustalenia uwagi: cała sfera pocięta na państwa. Oznaczenia: S = liczba państw, K = liczba wspólnych odcinków granic, W = liczba punktów zbiegu różnych granic. Spostrzeżenie: wobec wzoru Eulera, W K + S = 2. Pytanie: czy wszystkie państwa mają wielu sąsiadów? Może na każdej mapie musi być takie państwo, które ma niewielu sąsiadów? P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
28 Istnienie państwa o 5 sąsiadach Niech S k = liczba państw, które mają dokładnie k sąsiadów. (Można przyjąć S 1 = 0.) Wtedy S = S 2 + S 3 + S 4 + S 5 + S 6 + S 7 + P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
29 Istnienie państwa o 5 sąsiadach Niech S k = liczba państw, które mają dokładnie k sąsiadów. (Można przyjąć S 1 = 0.) Wtedy S = S 2 + S 3 + S 4 + S 5 + S 6 + S 7 + (1) 2K = 2S 2 + 3S 3 + 4S 4 + 5S 5 + 6S 6 + 7S 7 + P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
30 Istnienie państwa o 5 sąsiadach Niech S k = liczba państw, które mają dokładnie k sąsiadów. (Można przyjąć S 1 = 0.) Wtedy a stąd S = S 2 + S 3 + S 4 + S 5 + S 6 + S 7 + (1) 2K = 2S 2 + 3S 3 + 4S 4 + 5S 5 + 6S 6 + 7S 7 + (2) 2K 3W (zliczamy krawędzie) (3) 12 Euler = 6S 6K + 6W P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
31 Istnienie państwa o 5 sąsiadach Niech S k = liczba państw, które mają dokładnie k sąsiadów. (Można przyjąć S 1 = 0.) Wtedy a stąd S = S 2 + S 3 + S 4 + S 5 + S 6 + S 7 + (1) 2K = 2S 2 + 3S 3 + 4S 4 + 5S 5 + 6S 6 + 7S 7 + (2) 2K 3W (zliczamy krawędzie) (3) 12 Euler = 6S 6K + 6W (3) 6S 6K + 4K = 6S 2K P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
32 Istnienie państwa o 5 sąsiadach Niech S k = liczba państw, które mają dokładnie k sąsiadów. (Można przyjąć S 1 = 0.) Wtedy a stąd S = S 2 + S 3 + S 4 + S 5 + S 6 + S 7 + (1) 2K = 2S 2 + 3S 3 + 4S 4 + 5S 5 + 6S 6 + 7S 7 + (2) 2K 3W (zliczamy krawędzie) (3) 12 Euler = 6S 6K + 6W (3) 6S 6K + 4K = 6S 2K (1),(2) = 4S 2 P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
33 Istnienie państwa o 5 sąsiadach Niech S k = liczba państw, które mają dokładnie k sąsiadów. (Można przyjąć S 1 = 0.) Wtedy a stąd S = S 2 + S 3 + S 4 + S 5 + S 6 + S 7 + (1) 2K = 2S 2 + 3S 3 + 4S 4 + 5S 5 + 6S 6 + 7S 7 + (2) 2K 3W (zliczamy krawędzie) (3) 12 Euler = 6S 6K + 6W (3) 6S 6K + 4K = 6S 2K (1),(2) = 4S 2 + 3S 3 P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
34 Istnienie państwa o 5 sąsiadach Niech S k = liczba państw, które mają dokładnie k sąsiadów. (Można przyjąć S 1 = 0.) Wtedy a stąd S = S 2 + S 3 + S 4 + S 5 + S 6 + S 7 + (1) 2K = 2S 2 + 3S 3 + 4S 4 + 5S 5 + 6S 6 + 7S 7 + (2) 2K 3W (zliczamy krawędzie) (3) 12 Euler = 6S 6K + 6W (3) 6S 6K + 4K = 6S 2K (1),(2) = 4S 2 + 3S 3 + 2S 4 P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
35 Istnienie państwa o 5 sąsiadach Niech S k = liczba państw, które mają dokładnie k sąsiadów. (Można przyjąć S 1 = 0.) Wtedy a stąd S = S 2 + S 3 + S 4 + S 5 + S 6 + S 7 + (1) 2K = 2S 2 + 3S 3 + 4S 4 + 5S 5 + 6S 6 + 7S 7 + (2) 2K 3W (zliczamy krawędzie) (3) 12 Euler = 6S 6K + 6W (3) 6S 6K + 4K = 6S 2K (1),(2) = 4S 2 + 3S 3 + 2S 4 + S 5 P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
36 Istnienie państwa o 5 sąsiadach Niech S k = liczba państw, które mają dokładnie k sąsiadów. (Można przyjąć S 1 = 0.) Wtedy a stąd S = S 2 + S 3 + S 4 + S 5 + S 6 + S 7 + (1) 2K = 2S 2 + 3S 3 + 4S 4 + 5S 5 + 6S 6 + 7S 7 + (2) 2K 3W (zliczamy krawędzie) (3) 12 Euler = 6S 6K + 6W (3) 6S 6K + 4K = 6S 2K (1),(2) = 4S 2 + 3S 3 + 2S 4 + S 5 + ( S 7 ) P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
37 Istnienie państwa o 5 sąsiadach Niech S k = liczba państw, które mają dokładnie k sąsiadów. (Można przyjąć S 1 = 0.) Wtedy a stąd S = S 2 + S 3 + S 4 + S 5 + S 6 + S 7 + (1) 2K = 2S 2 + 3S 3 + 4S 4 + 5S 5 + 6S 6 + 7S 7 + (2) 2K 3W (zliczamy krawędzie) (3) 12 Euler = 6S 6K + 6W (3) 6S 6K + 4K = 6S 2K (1),(2) = 4S 2 + 3S 3 + 2S 4 + S 5 + ( S 7 ) 2S 8 Zatem: jedna z liczb S 2, S 3, S 4, S 5 musi być dodatnia. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
38 Łańcuchy Kempego: kluczowy fragment jego dowodu Załóżmy, że twierdzenie o 4 barwach jest fałszywe. Istnieje wtedy kontrprzykład. Na mapie, która stanowi minimalny kontrprzykład (z najmniejszą liczbą państw), bierzemy państwo, które ma 4 lub 5 sąsiadów. kolorujemy mapę bez tego państwa; śledzimy dwa dwukolorowe łańcuchy. Tylko jeden z nich może się zamknąć w kółko, w drugim można pozmieniać kolory. Popatrzmy na przypadek 4 sąsiadów. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
39 Łańcuchy Kempego: państwo z 4 sąsiadami Zmieniamy kolory C i N w jednej części łańcucha czerwono niebieskiego. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
40 Łańcuchy Kempego: państwo z 4 sąsiadami Zmieniamy kolory C i N w jednej części łańcucha czerwono niebieskiego. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
41 Łańcuchy Kempego: państwo z 4 sąsiadami Po takiej zamianie kolorów C i N, białe państwo kolorujemy niebiesko P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
42 Łańcuchy Kempego: państwo z 5 sąsiadami Kempe: 1 tworzymy dwa łańcuchy, C1 N w lewej części rysunku i C2 Z w prawej części. 2 Pierwszy nie dochodzi do kropki N po prawej. 3 Drugi nie dochodzi do kropki Z po lewej. 4 Zatem: w każdym z tych łańcuchów można zmienić kolory, nie powodując konfliktu barw. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
43 Łańcuchy Kempego: państwo z 5 sąsiadami Kempe: 1 tworzymy dwa łańcuchy, C1 N w lewej części rysunku i C2 Z w prawej części. 2 Pierwszy nie dochodzi do kropki N po prawej. 3 Drugi nie dochodzi do kropki Z po lewej. 4 Zatem: w każdym z tych łańcuchów można zmienić kolory, nie powodując konfliktu barw. Pytanie: czy na pewno można to zrobić jednocześnie w obu łańcuchach? P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
44 Państwo z 5 sąsiadami, błąd Kempego Łańcuch pomarańczowo zielony może krzyżować się z pomarańczowo niebieskim w punktach pomarańczowych. Wtedy jednoczesna zmiana kolorów C1 N w lewej części rysunku i C2 Z w prawej części prowadzi do kolizji. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
45 Państwo z 5 sąsiadami, błąd Kempego Łańcuch pomarańczowo zielony może krzyżować się z pomarańczowo niebieskim w punktach pomarańczowych. Wtedy jednoczesna zmiana kolorów C1 N w lewej części rysunku i C2 Z w prawej części prowadzi do kolizji. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
46 1890, Percy John Heawood Sześciostronicowa praca w Quarterly Journal of Mathematics: kontrprzykład do dowodu Kempego, dowód faktu, że dowolną mapę można pomalować co najwyżej pięcioma barwami, twierdzenie o mapach na powierzchniach innych od sfery. Twierdzenie (Heawood, 1890). Dla g 1 dowolną mapę położoną na powierzchni rodzaju g można pomalować używając co najwyżej h(g) barw, gdzie [ ] g h(g) =, oraz [m] = część całkowita m. 2 Np. dla g = 1 (torus) jest h(g) = 7. I to jest optymalne! P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
47 Następnym razem: 1 O dowodzie Heawooda, który wymaga tylko wzoru Eulera i umiejętności rozwiązywania równań kwadratowych; 2 O komputerowo wspieranym dowodzie Hakena i Appela; 3 O nowszych wersjach tego dowodu; 4 Jeszcze o formalnej weryfikacji twierdzeń i nieoczekiwanych zastosowaniach niepotrzebnych, masywnych obliczeń; 5 O zastosowaniach teorii grafów; 6 O innych miejscach, gdzie można spotkać dowody wspierane komputerowo. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice etc / 29
Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów, cz. 2
Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów, cz. 2 P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski MISH UW, semestr zimowy
Wprowadzenie Podstawy Fundamentalne twierdzenie Kolorowanie. Grafy planarne. Przemysław Gordinowicz. Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka
Grafy planarne Przemysław Gordinowicz Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka Grafy i ich zastosowania Wykład 12 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Podstawy 3 Fundamentalne twierdzenie 4 Kolorowanie grafów
Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie
Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy
Wojciech Guzicki. Konferencja SEM(Kolory matematyki) Sielpia, 26 października 2018 r.
1 O KOLOROWANIU Wojciech Guzicki Konferencja SEM(Kolory matematyki) Sielpia, 26 października 2018 r. W. Guzicki: O kolorowaniu 2 KILKA ZADAŃ OLIMPIJSKICH NA DOBRY POCZĄTEK W. Guzicki: O kolorowaniu 3 Zadanie
Kombinowanie o nieskończoności. 2. Wyspy, mosty, mapy i kredki materiały do ćwiczeń
Kombinowanie o nieskończoności. 2. Wyspy, mosty, mapy i kredki materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 15 marzec 2018 Szybkie przypomnienie z wykładu Prezentacja
Matematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym
Matematyczne kolorowanki. Tomasz Szemberg. Wykład dla studentów IM UP Kraków, 18 maja 2016
Wykład dla studentów IM UP Kraków, 18 maja 2016 Gra wstępna Dany jest prostokąt podzielony na 8 pól. Gracze zamalowują pola na zmianę. Jeden na kolor czerwony, a drugi na kolor niebieski. Gra wstępna Dany
Drzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew
Drzewa Las - graf, który nie zawiera cykli Drzewo - las spójny Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Niech T graf o n wierzchołkach będący
Teoria grafów II. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Teoria grafów II Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Graf planarny Graf planarny Graf, który może być narysowany tak, by uniknąć przecinania się krawędzi, nazywamy grafem
Grafy co o ich rysowaniu wiedzą przedszkolaki i co z tego wynika dla matematyków
Wykłady popularne z matematyki Grafy co o ich rysowaniu wiedzą przedszkolaki i co z tego wynika dla matematyków Joanna Jaszuńska Politechnika Warszawska, 6 maja 2010 Grafy Wykłady popularne z matematyki,
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1B/14 Drogi w grafach Marszruta (trasa) w grafie G z wierzchołka w do wierzchołka u to skończony ciąg krawędzi w postaci. W skrócie
Cała prawda o powierzchniach
Topologia Właściwości geometryczne, niezmiennicze przy ciagłych deformacjach Można: rozciagać giać Nie można: rozcinać złamać Jednak można rozciać wzdłuż linii, a potem skleić wzdłuż tejże linii: rozwiazać
Elementy teorii grafów Elementy teorii grafów
Spis tresci 1 Spis tresci 1 Często w zagadnieniach praktycznych rozważa się pewien zbiór obiektów wraz z zależnościami jakie łączą te obiekty. Dla przykładu można badać pewną grupę ludzi oraz strukturę
Teoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska
Teoria grafów dla małolatów Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Wstęp Matematyka to wiele różnych dyscyplin Bowiem świat jest bardzo skomplikowany wymaga rozważenia
Matematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),
SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny podzbiór krawędzi parami niezależnych.
SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Rozważamy graf G = (V, E) Dwie krawędzie e, e E nazywamy niezależnymi, jeśli nie są incydentne ze wspólnym wierzchołkiem. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny
WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las
Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów
Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów Jadwiga Czyżewska Pisane pod kierunkiem W.Guzickiego W 2013 roku na II etapie VIII edycji Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów pojawiło się zadanie o następującej
Kolorowanie wierzchołków
Kolorowanie wierzchołków Mając dany graf, pokolorować jego wierzchołki w taki sposób, aby każde dwa wierzchołki sąsiednie miały inny kolor. Każda krawędź łączy wierzchołki różnych kolorów. Takie pokolorowanie
V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej
V Konkurs Matematyczny Politechniki iałostockiej Rozwiązania - klasy pierwsze 27 kwietnia 2013 r. 1. ane są cztery liczby dodatnie a b c d. Wykazać że przynajmniej jedna z liczb a + b + c d b + c + d a
Ubogi kartograf Kolorowanie grafu
Temat 13 Ubogi kartograf Kolorowanie grafu Streszczenie Wiele problemów optymalizacyjnych dotyczy sytuacji, gdy dwa zdarzenia nie mogą wystąpić w tym samym momencie lub gdy pewne obiekty nie mogą do siebie.
Treści zadań Obozu Naukowego OMG
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OMG 2015 rok SZCZYRK 2015 Treści zadań Pierwsze zawody indywidualne
Z twierdzenia Pitagorasa mamy więc: =1 3 4 =1 4, CE 2 =AC 2 AE 2 =1 2. skądwynika,żece= 1 2.ZatemCD=1.
O kolorowaniu Wojciech Guzicki. Kilka zadań na początek Kolorowanie jest częstym tematem zadań o charakterze olimpijskim. Na początku tego wykładu pokażę 0 takich zadań; większość(dokładniej: wszystkie
WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający
MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2
1 MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2 GRUPA A RACHUNKI+KRÓTKIE WYJAŚNIENIA! NA TEJ KARTCE! KAŻDA DODATKOWA KARTKA TO MINUS 1 PUNKT! Imię i nazwisko...... Nr indeksu... 1. (3p.) Znajdź drzewo o kodzie Prufera
Czy kwadrat da się podzielić na nieparzystą liczbę trójkątów o równych polach? Michał Kieza
Czy kwadrat da się podzielić na nieparzystą liczbę trójkątów o równych polach? Michał Kieza Łatwo zauważyć, że kwadrat można podzielić na 2, 4, 6,..., a także na dowolną parzystą liczbę trójkątów o równych
XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów
XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (8 września 017 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. W każdym z trzech lat 018, 019 i 00 pensja pana Antoniego będzie o 5% większa
Wykłady z Matematyki Dyskretnej
Wykłady z Matematyki Dyskretnej dla kierunku Informatyka dr Instytut Informatyki Politechnika Krakowska Wykłady na bazie materiałów: dra hab. Andrzeja Karafiata dr hab. Joanny Kołodziej, prof. PK Kolorowanie
Lista 4. Kamil Matuszewski 22 marca 2016
Lista 4 Kamil Matuszewski 22 marca 2016 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Zadanie 2 Ułóż algorytm który dla danego n-wierzchołkowego drzewa i liczby k pokoloruje jak najwięcej wierzchołków tak, by na każdej ścieżce
X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
www.omg.edu.pl X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (10 listopada 01 r. 15 grudnia 01 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. nia rozmieniła banknot
KRZYSZTOF WÓJTOWICZ Instytut Filozofii Uniwersytetu Warszawskiego
KRZYSZTOF WÓJTOWICZ Instytut Filozofii Uniwersytetu Warszawskiego wojtow@uw.edu.pl 1 2 1. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU Czy są empiryczne aspekty dowodów matematycznych? Jeśli tak to jakie stanowisko filozoficzne
6d. Grafy dwudzielne i kolorowania
6d. Grafy dwudzielne i kolorowania Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w6d. Krakowie) Grafy dwudzielne i kolorowania zima
ELEMENTY TEORII WĘZŁÓW
Łukasz Janus 10B2 ELEMENTY TEORII WĘZŁÓW Elementarne deformacje węzła Równoważność węzłów Węzły trywialne Ruchy Reidemeistera Twierdzenie o równoważności węzłów Grafy Powtórzmy Diagram węzła Węzły reprezentuje
MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY
ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5 Prof. dr hab. inż. Jan Magott DMT rozwiązuje problem decyzyjny π przy kodowaniu e w co najwyżej wielomianowym czasie, jeśli dla wszystkich łańcuchów wejściowych
Matematyka Dyskretna Zestaw 2
Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje
XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2016 r. 17 października 2016 r.)
XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 06 r. 7 października 06 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczby wymierne a, b, c spełniają równanie
Grafy dla każdego. dr Krzysztof Bryś. Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska.
Grafy dla każdego dr Krzysztof Bryś brys@mini.pw.edu.pl Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska www.mini.pw.edu.pl Warszawa, 28 marca 2015 Graf składa się z elementów pewnego zbioru
Przykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Algorytmiczna teoria grafów
Przedmiot fakultatywny 20h wykładu + 20h ćwiczeń 21 lutego 2014 Zasady zaliczenia 1 ćwiczenia (ocena): kolokwium, zadania programistyczne (implementacje algorytmów), praca na ćwiczeniach. 2 Wykład (egzamin)
Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 3: jak liczy kalkulator i o źródłach chaosu
Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 3: jak liczy kalkulator i o źródłach chaosu P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski MISH UW, semestr zimowy 2011-12 P.
E ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem
Niech G będzie grafem spójnym. Wierzchołek x nazywamy rozcinającym, jeśli G\{x} jest niespójny. Niech G będzie grafem spójnym. V ' V G nazywamy zbiorem rozcinającym jeśli G\V' jest niespójny Niech G będzie
Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz?
DROGI i CYKLE EULERA w grafach Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? Czy można narysować podaną figurę nie odrywając ołówka od papieru
O TYM, JAK LEONHARD EULER SPACEROWAŁ PO MOSTACH W KRÓLEWCU I CO Z TEGO WYNIKŁO...
O TYM, JAK LEONHARD EULER SPACEROWAŁ PO MOSTACH W KRÓLEWCU I CO Z TEGO WYNIKŁO... Bogusław Uniwersytet Warmińsko Mazurski Olsztyn, 23.05.2016 Problem Czy można przejść wszystkie mosty przechodzac przez
G. Wybrane elementy teorii grafów
Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów Grafy są stosowane współcześnie w różnych działach nauki i techniki. Za pomocą grafów znakomicie
Siedem cudów informatyki czyli o algorytmach zdumiewajacych
Siedem cudów informatyki czyli o algorytmach zdumiewajacych Łukasz Kowalik kowalik@mimuw.edu.pl Instytut Informatyki Uniwersytet Warszawski Łukasz Kowalik, Siedem cudów informatyki p. 1/25 Problem 1: mnożenie
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 3 szkice rozwiązań zadań 1. Plansza do gry składa się z 15 ustawionych w rzędzie kwadratów. Pierwszy z graczy
Polowanie na Snarka. Męczarnia w trzech konwulsjach
Polowanie na Snarka 2009. Męczarnia w trzech konwulsjach Jest to zapis odczytu wygłoszonego na XLIII Szkole Matematyki Poglądowej, Wbrew intuicji, Grzegorzewice, sierpień Zofia MIECHOWICZ, Zielona Góra
Matematyka Dyskretna - zadania
zad. 1. Chcemy zdefiniować rekurencyjnie zbiór Z wszystkich trójkątów równoramiennych ABC, gdzie współrzędne wierzchołków będą liczbami całkowitymi, wierzchołek A zawsze będzie leżeć w początku układu
Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów
Suma dwóch grafów G 1 = ((G 1 ), E(G 1 )) G 2 = ((G 2 ), E(G 2 )) (G 1 ) i (G 2 ) rozłączne Suma G 1 G 2 graf ze zbiorem wierzchołków (G 1 ) (G 2 ) i rodziną krawędzi E(G 1 ) E(G 2 ) G 1 G 2 G 1 G 2 Zespolenie
SCENARIUSZ ZAJĘĆ KOŁA NAUKOWEGO z MATEMATYKI prowadzonego w ramach projektu Uczeń OnLine
SCENARIUSZ ZAJĘĆ KOŁA NAUKOWEGO z MATEMATYKI prowadzonego w ramach projektu Uczeń OnLine 1. Autor: Anna Wołoszyn 2. Grupa docelowa: Klasa 2 Gimnazjum 3. Liczba godzin: 2 4. Temat zajęć: Geometria brył
Jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze I
Jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze I 1. W Biwerlandii w obiegu są monety o nominałach 5 eciepecie i 8 eciepecie. Jaką najmniejszą (dodatnią) kwotę można zapłacić za zakupy, jeżeli sprzedawca
Wielokąty foremne. (Konstrukcje platońskie)
Wielokąty foremne (Konstrukcje platońskie) 1 Definicja 1. Wielokąt wypukły nazywa się foremny, jeżeli ma wszystkie kąty równe i wszystkie boki równe. Przykładami wielokątów foremnych są trójkąt równoboczny,
Treści zadań Obozu Naukowego OMG
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OMG 2016 rok SZCZYRK 2016 Pierwsze zawody indywidualne Treści
Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2018/2019 Ćwiczenia nr 5
Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2018/2019 Ćwiczenia nr 5 Zadanie domowe Kolokwium: przeczytaj z [U] o błędach w stosowaniu zasady poglądowości w nauczaniu matematyki
STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH
STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste
XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów
XIII Olimpiada atematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2017 r. 16 października 2017 r.) 1. iczby a, b, c spełniają zależności Wykaż, że a 2 +b 2 = c 2. Szkice
Twierdzenie Halla o małżeństwach
Twierdzenie Halla o małżeństwach Tomasz Tkocz Streszczenie. Notatki te, przygotowane do referatu wygłoszonego na kółku w II LO w Rybniku, pokazują jak można rozwiązywać życiowe problemy oraz te bardziej
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7 Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy NP-zupełne Transformacją wielomianową problemu π 2 do problemu π 1 (π 2 π 1 ) jest funkcja f: D π2 D π1 spełniająca
9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie
9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadania do samodzielnego rozwiązania I. Podzielność liczb całkowitych 1. Pewna liczba sześciocyfrowa a kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestawimy na miejsce pierwsze ze strony lewej, to otrzymamy nową
X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (27 listopada 2014 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Istnieje ostrosłup, który ma dokładnie 15 14 a) wierzchołków;
Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć
Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 3 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego
XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (24 września 2015 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Dane są takie dodatnie liczby a i b, że 30% liczby a
Bukiety matematyczne dla gimnazjum
Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 1 X 2002 Bukiet I Dany jest prostokąt o bokach wymiernych a, b, którego obwód O i pole P są całkowite. 1. Sprawdź, że zachodzi równość
VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (18 października 01 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Miary α, β, γ kątów pewnego trójkąta spełniają warunek
Teoria grafów dla małolatów
Teoria grafów dla małolatów Andrzej P.Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Wstęp Matematyka w szkole podstawowej kojarzy się przede wszystkim z arytmetyką, ale współcześni matematycy rzadko
Czworościany ortocentryczne zadania
Czworościany ortocentryczne zadania 1. Wykazać, że nastepujące warunki są równoważne: a) istnieje przecięcie wysokości czworościanu, b) przeciwległe krawędzie są prostopadłe, c) sumy kwadratów długości
IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (3 października 2013 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba 3 9 3 27 jest a) niewymierna; b) równa 3 27;
Ilustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna
Grafy płaskie G=(V,E) nazywamy grafem płaskim, gdy V jest skończonym podzbiorem punktów płaszczyzny euklidesowej, a E to zbiór krzywych Jordana (łamanych) o końcach w V i takich, że: 1) rożne krzywe mają
TEORIA GRAFÓW I SIECI
TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 3: Marszruty, łańcuchy, drogi w grafach dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 261-83-95-04, p.225/100
Kolorowanie grafów planarnych, discharging
Wykład 6 (12.04.2013) Opracował: Krzysztof Węsek Kolorowanie grafów planarnych, discharging 1 Przykłady dischargingu Standardowo będziemy oznaczać dla grafu G i jego rysunku planarnego (graf i rysunek
Etap finałowy konkursu MbG Senior - edycja 2016/2017
Etap finałowy konkursu MbG Senior - edycja 2016/2017 Zadanie 1. (7 punktów) Nieuporządkowane rzędy Niech n oznacza liczbę krzeseł w rzędzie. Sala konferencyjna ma 9n krzeseł. Podczas pierwszej konferencji
Znajdowanie najkrótszych dróg oraz najniższych i najkrótszych drzew
Znajdowanie najkrótszych dróg oraz najniższych i najkrótszych drzew Maciej M. Sysło Uniwersytet Wrocławski, UMK w Toruniu syslo@ii.uni.wroc.pl, syslo@mat.uni.torun.pl http://mmsyslo.pl/ < 250 > Informatyka
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 15/15 Twierdzenie Dla grafu prostego następujące warunki są równoważne: 1) jest drzewem, 2) nie zawiera cykli i ma krawędzi, 3)
VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (29 września 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Istnieje taki graniastosłup, którego liczba krawędzi
Problem skoczka szachowego i inne cykle Hamiltona na szachownicy n x n
i inne cykle Hamiltona na szachownicy n x n Uniwersytet Warszawski 15 marca 2007 Agenda 1 2 naiwne Prosty algorytm liniowy 3 Problem znany był już od bardzo dawna, jako łamigłówka logiczna. Był też stosowany
GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA)
GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Na początek omówimy
Sortowanie. Tomasz Żak zak. styczeń Instytut Matematyki i Informatyki, Politechnika Wrocławska
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/ zak Instytut Matematyki i Informatyki, Politechnika Wrocławska styczeń 2014 Przypuśćmy, że po sprawdzeniu 30 klasówek układamy je w kolejności alfabetycznej autorów. Jak
XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2018 r. 15 października 2018 r.)
XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 0 r. października 0 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczbę naturalną n pomnożono przez, otrzymując
Zadania optymalizacyjne w szkole ponadgimnazjalnej. Materiały do przedmiotu Metodyka Nauczania Matematyki 2 (G-PG). Prowadzący dr Andrzej Rychlewicz
Zadania optymalizacyjne w szkole ponadgimnazjalnej. Materiały do przedmiotu Metodyka Nauczania Matematyki 2 G-PG). Prowadzący dr Andrzej Rychlewicz Przeanalizujmy następujące zadanie. Zadanie. próbna matura
MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1
Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia
Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych.
Grafy Graf Graf (ang. graph) to zbiór wierzchołków (ang. vertices), które mogą być połączone krawędziami (ang. edges) w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków. Graf
KURS MATEMATYKA DYSKRETNA
KURS MATEMATYKA DYSKRETNA LEKCJA 28 Grafy hamiltonowskie ZADANIE DOMOWE www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Drogę nazywamy
wynosiła jest budowlane do
KONKURS MATEMATYCZNY SZKÓŁ GIMNAZJALNYCH W POGONI ZA INDEKSEM ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE rok szkolny 010/011 1. Długopis kosztuje o 60% mniej niżż piórnik. Piórnik kosztuje o 60% mniej niżż plecak. O ile procent
Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje cykl styczniowy Poziom: szkoły ponadgimnazjalne, 10 punktów za każde zadanie
Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje cykl styczniowy oziom: szkoły ponadgimnazjalne, 0 punktów za każde zadanie Zadanie Znajdź dwa dzielniki pierwsze liczby - Można skorzystać z artykułu
Metoda objętości zadania
Metoda objętości zadania Płaszczyzny i dzielą graniastosłup trójkątny na cztery bryły Znaleźć stosunki objętości tych brył 2 any jest równoległościan o objętości V Wyznaczyć objętość części wspólnej czworościanów
Graf to nie tylko tytuł szlachecki
Kàcik olimpijski Grafy Graf to nie tylko tytuł szlachecki karta pracy Graf to nie tylko tytuł szlachecki Graf co to takiego? Pojęcie grafu wprowadził szwajcarski matematyk Leonhard Euler (707 783). Grafem
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór
Szkoła Podstawowa nr 151 w Krakowie. Barbara Doncer
Szkoła Podstawowa nr 151 w Krakowie Barbara Doncer opiekun: mgr Wiesława Kałużny Kraków, 2014r. Wstęp Jak rozstrzygnąć, kto ma większe szanse na zwycięstwo w grach losowych, jak zaplanować spacer po rynku,
gimnazjalista.fundacja2lo.pl
Matematyka na szachownicy Legenda głosi, że pewien sułtan tak bardzo szachy pokochał iż wynalazcy tej gry, braminowi Sissa Nassir obiecał każdą nagrodę, której zażąda. Ten jednak nie chciał ani złota ani
Spis treści. Wyrażenia wymierne. Prawdopodobieństwo. Stereometria
Spis treści Wyrażenia wymierne Przekształcanie wielomianów... 8 Równania wymierne... 12 Hiperbola. Przesuwanie hiperboli... 19 Powtórzenie... 26 Praca badawcza Hiperbola, elipsa, parabola... 28 Prawdopodobieństwo
Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV
Algorytmy grafowe Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów Tomasz Tyksiński CDV Rozkład materiału 1. Podstawowe pojęcia teorii grafów, reprezentacje komputerowe grafów 2. Przeszukiwanie grafów
Charakterystyka Eulera Sławomir Cynk
Charakterystyka Eulera Sławomir Cynk 22 listopada 2001 roku Leonard Euler ur. 15 kwietnia 1707 w Bazylei (Szwajcaria) zm. 18 września 1783 w St. Petersburgu (Rosja). Wzór Eulera Twierdzenie 1. Dla dowolnego
Jeśli lubisz matematykę
Witold Bednarek Jeśli lubisz matematykę Część 3 Opole 011 1 Wielokąt wypukły i kąty proste Pewien wielokąt wypukły ma cztery kąty proste. Czy wielokąt ten musi być prostokątem? Niech n oznacza liczbę wierzchołków
Karta pracy M+ do multipodręcznika dla klasy 8 szkoły podstawowej
Karta pracy M+ do multipodręcznika dla klasy 8 szkoły podstawowej Geometria w starożytnym świecie Część A. Sprawdź, czy rozumiesz film. 1. Skreśl w tekście niewłaściwe słowa i sformułowania. Bryły platońskie
STUDIUM PODYPLOMOWE INFORMATYKI SPI 51
STUDIUM PODYPLOMOWE INFORMATYKI SPI 51 ALGORYTMIKA I ROZWIĄZYWANIE PROBLEMÓW Temat: Kolorowanie figur (uproszczona wersja kolorowania map grafy). Zastosowanie: Edukacja wczesnoszkolna: matematyczna, plastyczna,
W. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1
W. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1 W tym tekście zobaczymy rozwiązanie zadania 41 z Informatora o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 014/015 oraz rozwiązania
Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów
Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69
Metody numeryczne w przykładach
Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach