Lucie Mazurová AS
|
|
- Danuta Pluta
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Dynamické modelování úmrtnosti Lucie Mazurová AS
2 Riziko úmrtnosti a) volatilita - odchylky od očekáváných hodnot způsobené náhodným charakterem délky života, b) katastrofické riziko - krátkodobé zvýšení úmrtnosti (epideme, přírodní katastrofy,...) c) riziko nejistoty - systematické odchylky způsobené nevhodnou volbou modelu, případně vychýlením v odhadech parametrů zvoleného modelu spec.: riziko dlouhověkosti - pokles úmrtnosti ve vyšším dospělém věku
3 Matematický popis úmrtnosti T x - zbývající doba života osoby ve věku x, náhodná veličina tq x = P(T x t), q x = 1 q x funkce přežití: S(t) = P(T 0 > t) Předpoklad: tp x = P(T x > t) = P(T 0 > x T 0 > x) = S(x + t) S(x)
4 Matematický popis úmrtnosti intenzita úmrtnosti: P(T x t) P(x < T 0 x + t T 0 > x) µ x = lim = lim t 0+ t t 0+ t = d ln S(x) d x Podobně hustota náhodné veličiny T x : µ x+t = d d t ln tp x f x (t) = t p x µ x+t
5 Typicky pru be h hustoty f0 (x) a intenzity u mrtnosti µx
6 Matematický popis úmrtnosti míra úmrtnosti: S(x) S(x + 1) m x = 1 0 S(x + u) du výpočet pro reálnou populaci za kalendářní rok t: m x (t) = D x,t E x,t D x,t - počet osob zemřelých ve věku x v roce t E x,t - (centrální) expozice - v praxi střední velikost věkové skupiny v polovině roku
7 Matematický popis úmrtnosti Předpoklad konstantní intenzity úmrtnosti uvnitř věkového intervalu (x, x + 1): µ x+t = µ (x), 0 < t < 1 Odtud plyne m x = µ (x), q x = 1 e µ (x) V praxi se užívá k výpočtu pravděpodobností úmrtí q x = 1 e mx
8 Matematický popis úmrtnosti střední zbývající délka života ve věku x: střední délka života: ē x = E T x = 1 S(x) ē 0 = E T 0 = 0 0 S(x + t) dt S(t) dt
9 Trendy ve vývoji úmrtnosti rektangularizace - zvyšující se koncentrace úmrtí kolem modu rozdělení náhodné veličiny T 0 (ve vysokých věcích)
10 Trendy ve vývoji úmrtnosti expanze - modus rozdělení n. v. T 0 se posunuje k vyšším věkům
11 Dynamické modelování úmrtnosti dynamický model úmrtnosti: Γ(x, t) - funkce věku a času (např. q x (t), m x (t), µ(x, t), S(x, t)) t - referenční rok (poslední období, ke kterému jsou k dispozici data) projekce úmrtnosti: Γ(x, t), t > t Příklad projekce vyjádřené pomocí redukčního faktoru: q x (t) = q x (t ) R x (t t ), Pro t > t se předpokládá R x (t t ) < 1.
12 Příklad Continuous Mortality Investigation Bureau, 1999 R x (t t ) = α x + (1 α x ) (1 f x ) t t 20, f x = 0.13, x < 60 = 1 + (1 0.13) x 110, 60 x = 1 x > 110, α x = 0.55, x < 60 = kde t = (110 x) (x 60) 0.29, 60 x = 0.29 x > 110,
13 Lee-Carterův model Model předpokládá závislost cenrální míry úmrtnosti (resp. intenzity úmrtnosti) na věku a čase ve tvaru ln m x (t) = α x + β x κ t, α x - (průměrná) závislost úmrtnosti na věku κ t - změna v úrovni úmrtnosti v čase β x - citlivost na změnu v časovém indexu pro daný věk Parametry nejsou určeny jednoznačně, proto se zavádí omezení β x = 1, κ t = 0. x t
14 Lee-Carterův model Z pozorovaných hodnot pro dané věky a časy se získají odhady ˆα x, ˆβ x, ˆκ t pro t t. Předpovědi budoucích hodnot κ t pro t > t se dostanou užitím vhodného modelu časové řady. Projekce pro t > t : m x (t) = exp(ˆα x + ˆβ x κ t ) nebo m x (t) = m x (t ) exp [ ˆβ x ( κ t ˆκ t ) ].
15 Lee-Carterův model Základem pro odhad parametrů mohou být různé stochastické předpoklady. Klasický LC model předpokládá ln m x (t) = α x + β x κ t + ɛ x,t, kde ɛ x,t jsou náhodné veličiny s nulovou střední hodnotou a rozptylem σɛ 2. Pro odhad parametrů máme k dispozici pozorování uspořádaná do matice M = { m xi (t j ) } i=1,...,m;j=1,...,n.
16 LC model - odhad parametrů Metoda nejmenších čtverců: Odhady ˆα x, ˆβ x, ˆκ t minimalizují O = x m x=x 1 t n t=t 1 (ln m x (t) α x β x κ t ) 2. Za předpokladu normálního rozdělení chyb ɛ x,t jde o maximálně věrohodné odhady. Alternativa: vážená metoda nejmenších čtverců (váhy w x,t = D x,t ).
17 LC model - odhad parametrů Možnosti řešení minimalizační úlohy 1) užitím singulárního rozkladu matice Položením derivace O podle α x rovné 0 dostáváme t n t=t 1 ln m x (t) = (t n t 1 + 1) α x + β x t n t=t 1 κ t. Odtud vzhledem k t κ t = 0 plyne ˆα x = 1 t n t t n t=t 1 ln m x (t).
18 LC model - odhad parametrů Označme Z = ln M ˆα matici s prvky z x,t = ln m x (t) α x, x = x 1,..., x m, t = t 1,..., t n. Hledané odhady ˆβ x, ˆκ t minimalizují x m t n x=x 1 t=t 1 (z xt β x κ t ) 2. Necht u 1 je vlastní vektor odpovídající největšímu vlastnímu číslu λ 1 matice Z T Z, v 1 je odpovídající vlastní vektor matice ZZ T. Nejlepší přibĺıžení matice Z: λ 1 v 1 u1 T.
19 LC model - odhad parametrů S ohledem na x β x = 1 klademe ˆβ = pokud x n x 1 +1 j=1 v 1j 0. v 1 xn x 1 +1 j=1 v 1j, ˆκ = (x n x 1 +1 λ 1 j=1 v 1j ) u 1,
20 LC model - odhad parametrů Numerický výpočet odhadů ˆα x, ˆβ x, ˆκ t užitím Newton-Raphsonova algoritmu: Položením derivací O podle jednotlivých parametrů rovných 0 dostaneme soustavu: t n 0 = (ln m x (t) α x β x κ t ), x = x 1,..., x m t=t 1 x m 0 = β x (ln m x (t) α x β x κ t ), t = t 1,..., t n x=x 1 0 = t n t=t 1 κ t (ln m x (t) α x β x κ t ), x = x 1,..., x m.
21 LC model - odhad parametrů ˆα (k+1) x ˆκ (k+1) t ˆβ (k+1) x tn = ˆα x (k) + t=t1 (ln m x (t) ˆα x (k) t n t xm = ˆκ (k) t + tn = ˆβ x (k) + ˆβ(k) x=x1 x t=t1 ˆκ (k+1) t ˆβ x (k) κ (k) t ) (ln m x (t) ˆα x (k+1) xm ( ) ˆβ(k) 2 x=x1 x (ln m x (t) ˆα x (k+1) tn (k+1)) 2 t=t1 (ˆκ x (k) ˆβ x κ (k) t ) (k) ˆβ x κ (k+1) t )
22 LC model Úprava výsledných odhadů s ohledem na omezující podmínky: ˆα x ˆα x + ˆβ x κ ˆκ t (ˆκ t κ) ˆβ ˆβ x ˆβ x / ˆβ, kde κ = 1 t n t 1 +1 tn t=t1 κ t.
23 LC model Úprava výsledných odhadů ˆκ t - např. na základě shody s pozorovaným celkovým počtem úmrtí v roce t: x m x=x 1 D x,t = x m D x,t...počet úmrtí ve věku x v roce t x=x 1 E x,t exp(ˆα x + ˆβ x ˆκ t ), E x,t...expozice riziku úmrtí ve věku x v čase t (pozorované míry úmrtnosti m x (t) = Dx,t E x,t ) Následně nahradíme ˆκ t hodnotou ˆκ t κ a ˆα x hodnotou ˆα x + ˆβ x κ.
24 Poissonovský model Alternativní přístup k odhadu parametrů LC modelu vychází z předpokladu, že máme k dispozici počty zemřelých D x,t a expozice E x,t. Předpokládáme, že náhodná veličina D x,t má Poissonovo rozdělení s parametrem E x,t exp(α x + β x κ t ) Parametry odhadujeme maximalizací logaritmické věrohodnostní funkce L = x m t n x=x 1 t=t 1 ( Dx,t (α x + β x κ t ) E x,t exp(α x + β x κ t ) ) + konst.
25 Poissonovský model Položením derivace L podle α x rovné nule dostáváme t n t n D x,t = E x,t exp(ˆα x + ˆβ x ˆκ t ), t=t 1 t=t 1 odhady reprodukují pozorované celkové počty úmrtí v jednotlivých věcích obsažené v datech.
26 Další aspekty LC modelu Řadu odhadů parametrů β x je často před použitím k projekci úmrtnosti třeba vyhladit. Požadavek na hladkost průběhu β x v závislosti na věku může být součástí optimalizační úlohy pro odhad parametrů, např. místo funkce O lze minimalizovat x m x=x 1 t n x n (ln m x (t) α x β x κ t ) 2 + π β (β x+2 2 β x+1 + β x ) 2 t=t 1 x=x 1
27 modelování časového indexu Na odhady ˆκ t se pohĺıží jako na realizaci časové řady, kteá se řídí ARIMA modelem. ARIMA(p,d,q) je stacionární proces splňující d κ t = φ 1 d κ t 1 + +φ p d κ t p +ξ t +ψ 1 ξ t ψ q ξ t q, kde φ p 0, ψ q 0, d κ t je d-tá diference procesu κ t. Posloupnost ξ t je gaussovský bílý šum s kladným rozptylem.
28 modelování časového indexu Z empirických studíı vyplývá, že často je vhodným modelem pro κ t κ t = κ t 1 + d + ξ t, kde ξ t jsou i.i.d. normální se střední hodnotou 0 a rozptylem σ 2. (náhodná procházka s driftem) odhady parametrů: ˆσ 2 = 1 t n t 1 ˆd = ˆκ t n ˆκ t1 t n t 1 t n t t 2 ( ) 2 ˆκ t ˆκ t 1 ˆd
29 Cairns-Blake-Dowdův model CBD model (2006) je založen na empiricky podložené představě, že funkce ln q x(t) p x (t) pro pevné t závisí na x přibližně lineárně. CBD model předpokládá ln q x(t) p x (t) = κ[1] t + κ [2] t kde κ [1] t a κ [2] t jsou náhodné procesy. x
30 kalibrace CBD modelu Kalibrace metodou nejmenších čtverců vychází z modelu ln q x(t) p x (t) = κ[1] t + κ [2] t x + ɛ x,t, kde ɛ x,t jsou nezávislé normálně rozdělené veličiny s nulovou střední hodnotou a stejným rozptylem. Součet O = x m x=x 1 ( ln q x(t) p x (t) κ[1] t κ [2] t se minimalizuje pro každý kalendářní rok t. ) 2 x
31 modelování časových indexů Možnost: dvourozměrná náhodná procházka s driftem κ [1] t = κ [1] t 1 + d 1 + ξ [1] t κ [2] t = κ [2] t 1 + d 2 + ξ [2] t kde (ξ [1] t, ξ [2] t ) jsou nezávislé náhodné vektory s dvourozměrným normálním rozdělením s nulovou střední hodnotou a varianční maticí Σ. Kromě driftů a rozptylů je třeba odhadovat i kovarianci.
32 APC rozšíření LC modelu Renshaw-Habermanův model (2006) rozšířil původní LC model o složku závislou na roce narození (příslušnosti ke kohortě) APC - age-period-cohort speciální případy: AC: β (1) x = 0 LC: β (0) x = 0 ln m x (t) = α x + β x (0) i t x + β x (1) κ t
33 Poissonovský model Uvažujeme zobecněný nelineární model pro počty úmrtí D x,t - model s poissonovskou odezvou a logaritmickým linkem Y x,t = D x,t E Y x,t = E x,t exp Var Y x,t = φ E Y x,t ( α x + β (0) x i t x + β (1) x κ t ) η x,t = ln(e Y x,t ) = ln E x,t + α x + β x (0) i t x + β x (1) κ t
34 kohortnı efekt
35 Literatura Pitacco, E., Denuit, M., Haberman, S., Olivieri, A.: Modelling Longevity Dynamics for Pensions and Annuity Business. Oxford University Press, 2009.
Lucie Mazurová. AS a
Dynamické modelování úmrtnosti Lucie Mazurová AS 13.10. a 27.10.2017 Riziko úmrtnosti a) volatilita - odchylky od očekáváných hodnot způsobené náhodným charakterem délky života b) katastrofické riziko
Bardziej szczegółowoStochastické modelování v ekonomii a financích Konzistence odhadu LWS. konzistence OLS odhadu. Předpoklady pro konzistenci LWS
Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě Stochastické modelování v ekonomii a financích 7. 12. 2009 Obsah Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě 1 Whitův 2 pro 3 heteroskedasticitě
Bardziej szczegółowoAproximace funkcí 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885. Body proložíme lomenou čarou.
Příklad Známe následující hodnoty funkce Φ: u Φ(u) 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885 Odhadněte přibližně hodnoty Φ(1,02) a Φ(1,16). Možnosti: Vezmeme hodnotu v nejbližším bodě. Body proložíme lomenou čarou.
Bardziej szczegółowoMatematika III Stechiometrie stručný
Matematika III Stechiometrie stručný matematický úvod Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík Ústav matematiky Přednášky LS 2015-2016 Obsah 1 Zápis chemické reakce 2 umožňuje jednotný přístup
Bardziej szczegółowo1 Soustava lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Soustava lineárních rovnic 2 Řešitelnost soustavy lineárních rovnic 3 Gaussova eliminační metoda 4 Jordanova eliminační
Bardziej szczegółowoNecht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f(b) f(a) b a. Geometricky
Monotónie a extrémy funkce Diferenciální počet - průběh funkce Věta o střední hodnotě (Lagrange) Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f (ξ)
Bardziej szczegółowoElementární funkce. Edita Pelantová. únor FJFI, ČVUT v Praze. katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze
Elementární funkce Edita Pelantová FJFI, ČVUT v Praze Seminář současné matematiky katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze únor 2013 c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor 2013 1 / 19 Polynomiální
Bardziej szczegółowo5. a 12. prosince 2018
Integrální počet Neurčitý integrál Seminář 9, 0 5. a. prosince 08 Neurčitý integrál Definice. Necht funkce f (x) je definovaná na intervalu I. Funkce F (x) se nazývá primitivní k funkci f (x) na I, jestliže
Bardziej szczegółowoVybrané partie z kvantitativního řízení rizik - kreditní riziko
Vybrané partie z kvantitativního řízení rizik - kreditní riziko 1 Úvod Kreditní riziko je riziko vyplývající z neschopnosti nebo neochoty protistrany splatit své závazky. Basilejský rámec pro kapitálovou
Bardziej szczegółowoCo to znamená pro vztah mezi simultánní a marginální hustotou pravděpodobnosti f (x) (pravděpodobnostní funkci p(x))?
Ondřej Pokora M5120 Lineární statistické modely I poznámky do cvičení podzim 2011 1 / 36 12.12.2011 Maximálně věrohodné odhady Náhodný výběr X 1,..., X n rosahu n z rozdělení pravděpodobnosti P: X i P
Bardziej szczegółowoKristýna Kuncová. Matematika B2 18/19
(6) Určitý integrál Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 1 / 28 Newtonův integrál Zdroj: https://kwcalculus.wikispaces.com/integral+applications Kristýna Kuncová (6)
Bardziej szczegółowoKapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu
Sbírka příkladů Matematika II pro strukturované studium Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1 řádu Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter
Bardziej szczegółowokontaktní modely (Winklerův, Pasternakův)
TÉMA 7: Pružný poloprostor, modely podloží pružný poloprostor základní předpoklady pružný poloprostor Boussinesqueovo řešení kontaktní modely (Winklerův, Pasternakův) 1 Pružný poloprostor (1) vychází z
Bardziej szczegółowoprof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií
Náhodné vektory prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman Kotecký,
Bardziej szczegółowoCo nám prozradí derivace? 21. listopadu 2018
Co nám prozradí derivace? Seminář sedmý 21. listopadu 2018 Derivace základních funkcí Tečna a normála Tečna ke grafu funkce f v bodě dotyku T = [x 0, f (x 0 )]: y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) Normála: y
Bardziej szczegółowoStatistika (KMI/PSTAT)
Statistika (KMI/PSTAT) Cvičení deváté aneb Důležitá rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Statistika (KMI/PSTAT) 1 / 15 Spojitá náhodná veličina Spojitá náhodná veličina Spojitá náhodná veličina
Bardziej szczegółowoStavový popis Stabilita spojitých systémů (K611MSAP) Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT. čtvrtek 20. dubna 2006
Modelování systémů a procesů (K611MSAP) Přednáška 4 Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT Pravidelná přednáška K611MSAP čtvrtek 20. dubna 2006 Obsah 1 Laplaceova transformace Přenosová funkce
Bardziej szczegółowoMartin Dlask (KSI FJFI) 3. března 2016
Využití zlomkových stochastických procesů pro analýzu signálu a časových řad Seminář strojového učení a modelování Martin Dlask (KSI FJFI) http://people.fjfi.cvut.cz/dlaskma1/ 3. března 2016 Martin Dlask
Bardziej szczegółowoMatematika pro ekonomiku
Statistika, regresní analýza, náhodné procesy 7.10.2011 1 I. STATISTIKA Úlohy statistiky 2 1 Sestavit model 2 Odhadnout parametr(y) 1 Bodově 2 Intervalově 3 Testovat hypotézy Častá rozdělení ve statistice:
Bardziej szczegółowoKomplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18
Komplexní analýza Mocninné řady Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18 Posloupnosti komplexních čísel opakování
Bardziej szczegółowoKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text
Bardziej szczegółowoInverzní Z-transformace
Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 9. přednáška 11MSP úterý 16. dubna 2019 verze: 2019-04-15 12:25
Bardziej szczegółowoPoslední úprava dokumentu: 7. května 2019
Poslední úprava dokumentu: 7. května 2019 Budu velmi vděčný za upozornění na případné chyby a překlepy. 1 Podmíněné hustoty, podmíněné momenty Z teorie pravděpodobnosti (NMSA 333 víme, že podmíněná střední
Bardziej szczegółowoGeometrická nelinearita: úvod
Geometrická nelinearita: úvod Opakování: stabilita prutů Eulerovo řešení s využitím teorie 2. řádu) Stabilita prutů Ritzovou metodou Stabilita tenkých desek 1 Geometrická nelinearita Velké deformace průhyby,
Bardziej szczegółowoMartin Branda. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky
Tvorba optimálních sazeb v neživotním pojištění Martin Branda Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Seminář z aktuárských věd 2013 M.Branda
Bardziej szczegółowoMATEMATIKA 3. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATIKA 3 Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Osnova: Komplexní funkce - definice, posloupnosti, řady Vybrané komplexní funkce
Bardziej szczegółowoSb ırka pˇr ıklad u z matematick e anal yzy II Petr Tomiczek
Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah 0 Diferenciální rovnice. řádu 0. Separace proměnných Příklad : Najděte obecné řešení (obecný integrál) diferenciální rovnice y = tg x tg y.
Bardziej szczegółowoPROGRAMECH JOSEF TVRDÍK ČÍSLO OBLASTI PODPORY: STUDIJNÍCH PROGRAMECH OSTRAVSKÉ UNIVERZITY REGISTRAČNÍ ČÍSLO PROJEKTU: CZ.1.07/2.2.00/28.
ANALÝZA VÍCEROZMĚRNÝCH DAT URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH JOSEF TVRDÍK ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ.1.07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST OPATŘENÍ:
Bardziej szczegółowoVybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2018-2019 Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 1 / 11 Křivkový integrál Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 2 / 11 Parametricky zadaná křivka v R 3 :
Bardziej szczegółowoheteroskedasticitě Radim Navrátil, Jana Jurečková Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky, MFF UK, Praha
Pořadové testy v regresi při rušivé heteroskedasticitě Radim Navrátil, Jana Jurečková Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky, MFF UK, Praha Robust 2014, Jetřichovice 22.1.2014 Radim Navrátil,
Bardziej szczegółowoMatematika 2, vzorová písemka 1
Matematika 2, vzorová písemka Pavel Kreml 9.5.20 Přesun mezi obrazovkami Další snímek: nebo Enter. Zpět: nebo Shift + Enter 2 3 4 Doporučení Pokuste se vyřešit zadané úlohy samostatně. Pokud nebudete vědět
Bardziej szczegółowoNumerické metody 8. května FJFI ČVUT v Praze
Obyčejné diferenciální rovnice Numerické metody 8. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Základní metody Pokročilejší metody Soustava Vyšší řád Program 1 Úvod Úvod - Úloha Základní úloha, kterou řešíme
Bardziej szczegółowoFunkce zadané implicitně. 4. března 2019
Funkce zadané implicitně 4. března 2019 Parciální derivace druhého řádu Parciální derivace druhého řádu funkce z = f (x, y) jsou definovány: Parciální derivace 2 f 2 = ( ) f 2 f 2 = ( ) f 2 f a 2 f 2 f
Bardziej szczegółowoDFT. verze:
Výpočet spektra signálu pomocí DFT kacmarp@fel.cvut.cz verze: 009093 Úvod Signály můžeme rozdělit na signály spojité v čase nebo diskrétní v čase. Další možné dělení je na signály periodické nebo signály
Bardziej szczegółowoKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 8. přednáška: Kvadratické formy Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la Text byl vytvořen
Bardziej szczegółowoCauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici
Řešení ODR v MATLABu Přednáška 3 15. října 2018 Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici y = f (x, y), y(x 0 ) = y 0 Víme, že v intervalu a, b existuje jediné řešení. (f (x, y) a f y jsou spojité
Bardziej szczegółowoTeorie plasticity. Varianty teorie plasticity. Pružnoplastická matice tuhosti materiálu
Teorie plasticity Varianty teorie plasticity Teorie plastického tečení Přehled základních vztahů Pružnoplastická matice tuhosti materiálu 1 Pružnoplastické chování materiálu (1) Pracovní diagram pro případ
Bardziej szczegółowoLinea rnı (ne)za vislost
[1] Lineární (ne)závislost Skupiny, resp. množiny, vektorů mohou být lineárně závislé nebo lineárně nezávislé... a) zavislost, 3, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010,
Bardziej szczegółowo(1) Derivace. Kristýna Kuncová. Matematika B2 17/18. Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35
(1) Derivace Kristýna Kuncová Matematika B2 17/18 Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35 Růst populací Zdroj : https://www.tes.com/lessons/ yjzt-cmnwtvsq/noah-s-ark Kristýna Kuncová (1) Derivace 2 / 35 Růst
Bardziej szczegółowoZápadočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky bakalářská práce vícebodové okrajové úlohy Plzeň, 18 Hana Levá Prohlášení Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracovala
Bardziej szczegółowov = v i e i v 1 ] T v = = v 1 v n v n ] a r +q = a a r 3q =
v U = e i,..., e n ) v = n v i e i i= e i i v T v = = v v n v v v v n 3q q q q r q = r 3q = E = E q E 3q E q = k q rq 3 k 3q r 3q 3 r q = k q rq 3 = kq 4 3 ) 4 q d b d c d d X d ± = d r = x y T d ± r ±
Bardziej szczegółowoKapitola 2. Nelineární rovnice
Kapitola. Nelineární rovnice Formulace: Je dána funkce f : R! R definovaná na intervalu ha; bi. Hledáme x ha; bi tak, aby f(x) = 0. (x... kořen rovnice) Poznámka: Najít přesné řešení analyticky je možné
Bardziej szczegółowoUniverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. bankovnictví. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Barbora Janečková Aplikace 2-dimenzionálních rozdělení v bankovnictví Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí
Bardziej szczegółowoNumerické metody minimalizace
Numerické metody minimalizace Než vám klesnou víčka - Stříbrnice 2011 12.2. 16.2.2011 Emu (Brkos 2011) Numerické metody minimalizace 12.2. 16.2.2011 1 / 19 Obsah 1 Úvod 2 Základní pojmy 3 Princip minimalizace
Bardziej szczegółowoUrčitý (Riemannův) integrál a aplikace. Nevlastní integrál. 19. prosince 2018
Určitý (Riemnnův) integrál plikce. Nevlstní integrál Seminář 9. prosince 28 Určitý integrál Existence: Necht funkce f (x) je definovná n uzvřeném intervlu, b. Necht je splněn n tomto intervlu kterákoliv
Bardziej szczegółowoUniverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. rizik. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Milena Benešová Aktuárský přístup k modelování kreditních rizik Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí diplomové
Bardziej szczegółowoStochastyczne modelowanie intensywności zgonów na przykładzie Polski
Roczniki Kolegium Analiz Ekonomicznych Zeszyt 31/2013 Kamil Jodź Stochastyczne modelowanie intensywności zgonów na przykładzie Polski Streszczenie W artykule zostaną przedstawione różne sposoby stochastycznego
Bardziej szczegółowoGEM a soustavy lineárních rovnic, část 2
GEM a soustavy lineárních rovnic, část Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: B6B0LAG 8.3.09: GEM a soustavy, část / Minulá přednáška Gaussova
Bardziej szczegółowoKatedra kybernetiky skupina Inteligentní Datové Analýzy (IDA) 3. listopadu Filip Železný (ČVUT) Vytěžování dat 3. listopadu / 1
Vytěžování dat Filip Železný Katedra kybernetiky skupina Inteligentní Datové Analýzy (IDA) 3. listopadu 2014 Filip Železný (ČVUT) Vytěžování dat 3. listopadu 2014 1 / 1 Metafora pro tuto přednášku Filip
Bardziej szczegółowoJednoduchá zobrazení. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.
Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Obsah 1 2 Obsah 1 2 Společné vlastnosti jednoduchých zobrazení: Zobrazovací ref. plocha je rovina - souřadnice X, Y, případně ρ, ɛ Zobrazovaná ref. plocha je eliposid
Bardziej szczegółowoEdita Pelantová, katedra matematiky / 16
Edita Pelantová, katedra matematiky seminář současné matematiky, září 2010 Axiomy reálných čísel Axiomy tělesa Axiom 1. x + y = y + x a xy = yx (komutativní zákon). Axiom 2. x + (y + z) = (x + y) + z a
Bardziej szczegółowoLineární algebra - iterační metody
Lineární algebra - iterační metody Numerické metody 7. dubna 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Rozdělení Metody Zastavení SOR Programy 1 Úvod Úvod - LAR Mějme základní úlohu A x = b, (1) kde A R n,n je
Bardziej szczegółowoOperace s funkcemi [MA1-18:P2.1] funkční hodnota... y = f(x) (x argument)
KAPITOLA : Funkce - úvod [MA-8:P.] reálná funkce (jedné) reálné proměnné... f : A R...... zobrazení množin A R do množin reálných čísel R funkční hodnota... = f() ( argument) ( tj. reálná funkce f : A
Bardziej szczegółowox2 + 2x 15 x 2 + 4x ) f(x) = x 2 + 2x 15 x2 + x 12 3) f(x) = x 3 + 3x 2 10x. x 3 + 3x 2 10x x 2 + x 12 10) f(x) = log 2.
Příklady k 1 zápočtové písemce Definiční obor funkce Určete definiční obor funkce: x + x 15 1 f(x x + x 1 ( x + x 1 f(x log x + x 15 x + x 1 3 f(x x 3 + 3x 10x ( x 3 + 3x 10x f(x log x + x 1 x3 + 5x 5
Bardziej szczegółowoObsah. 1.2 Integrály typu ( ) R x, s αx+β
Sbírka úloh z matematické analýzy. Čížek Jiří Kubr Milan. prosince 006 Obsah Neurčitý integrál.. Základní integrály...................................... Integrály typu ) R, s α+β γ+δ d...........................
Bardziej szczegółowoOkrajový problém podmínky nejsou zadány v jednom bodu nejčastěji jsou podmínky zadány ve 2 bodech na okrajích, ale mohou být
Obyčejné diferenciální rovnice 1 Úvod Obyčejnou diferenciální rovnici N-tého řádu f ( x,y,y,y,...,y (N)) = g(x) převádíme na soustavu N diferenciálních rovnic 1. řádu. Provedeme substituce y z 1 y z 2...
Bardziej szczegółowoKristýna Kuncová. Matematika B2
(3) Průběh funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 1 / 26 Monotonie (x 2 ) = 2x (sin x) = cos x Jak souvisí derivace funkce a fakt, zda je funkce rostoucí nebo klesající?
Bardziej szczegółowoProces rezerwy w czasie dyskretnym z losową stopą procentową i losową składką
z losową stopą procentową i losową składką Instytut Matematyki i Informatyki Politechniki Wrocławskiej 10 czerwca 2008 Oznaczenia Wprowadzenie ξ n liczba wypłat w (n 1, n], Oznaczenia Wprowadzenie ξ n
Bardziej szczegółowoZadání: Vypočítejte hlavní momenty setrvačnosti a vykreslete elipsu setrvačnosti na zadaných
Příklad k procvičení : Průřeové charakteristik Zadání: Vpočítejte hlavní moment setrvačnosti a vkreslete elipsu setrvačnosti na adaných obracích. Příklad. Zadání: Rokreslení na jednoduché obrace: 500 T
Bardziej szczegółowoPrůvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více
5 Diferenciální počet funkcí více proměnných Průvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více proměnných, především budeme pracovat s funkcemi dvou proměnných Ukážeme
Bardziej szczegółowoJednoduchá zobrazení. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.
Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Obsah 1 2 Obsah 1 2 Společné vlastnosti jednoduchých zobrazení: Zobrazovací ref. plocha je rovina - souřadnice X, Y, případně ρ, ɛ Zobrazovaná ref. plocha je eliposid
Bardziej szczegółowoMetody, s nimiž se seznámíme v této kapitole, lze použít pro libovolnou
2. Řešení nelineárních rovnic Průvodce studiem Budeme se zabývat výpočtem reálných kořenů nelineární rovnice f(x) =0, (2.0.1) kde f je v jistém smyslu rozumná reálná funkce. Pro některé funkce (kvadratické,
Bardziej szczegółowoMatematická analýza II pro kombinované studium. Konzultace první a druhá. RNDr. Libuše Samková, Ph.D. pf.jcu.cz
Učební texty ke konzultacím předmětu Matematická analýza II pro kombinované studium Konzultace první a druhá RNDr. Libuše Samková, Ph.D. e-mail: lsamkova@ pf.jcu.cz webová stránka: home.pf.jcu.cz/ lsamkova/
Bardziej szczegółowov = v i e i v 1 ] T v =
v U = e i,..., e n ) v = n v i e i i= e i i v T v = = v v n v n U v v v +q 3q +q +q b c d XY X +q Y 3q r +q = r 3q = r +q = r +q = r 3q = r +q = E = E +q + E 3q + E +q = k q r+q 3 + k 3q r 3q 3 b V = kq
Bardziej szczegółowoRovnice proudění Slapový model
do oceánského proudění Obsah 1 2 3 Co způsobuje proudění v oceánech? vyrovnávání rozdílů v teplotě, salinitě, tlaku, ρ = ρ(p, T, S) vítr - wind stress F wind = ρ air C D AU 2 10 slapy produkují silné proudy,
Bardziej szczegółowoPetr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187
Nekonečné řady Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy III c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187 Obsah 1 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Řady s nezápornými členy Řady s libovolnými
Bardziej szczegółowoÚstav teorie informace a automatizace RESEARCH REPORT. Pavel Boček, Karel Vrbenský: Implementace algoritmu MIDIA v prostředí Google Spreadsheets
Akademie věd České republiky Ústav teorie informace a automatizace Academy of Sciences of the Czech Republic Institute of Information Theory and Automation RESEARCH REPORT Pavel Boček, Karel Vrbenský:
Bardziej szczegółowo1 Předmluva Značení... 3
Sbírka příkladů k předmětu Lineární systémy Jan Krejčí, korektura Martin Goubej 07 Obsah Předmluva. Značení..................................... 3 Lineární obyčejné diferenciální rovnice s konstantními
Bardziej szczegółowoKybernetika a umělá inteligence. Gerstnerova laboratoř katedra kybernetiky. Daniel Novák
Kybernetika a umělá inteligence 2. Strojové učení laboratory Gerstner Gerstnerova laboratoř katedra kybernetiky České vysoké učení technické v Praze Daniel Novák Poděkování: Filip Železný Shrnutí minulé
Bardziej szczegółowoLineární algebra II, přednáška Mgr. Milana Hladíka, Ph.D.
Lineární algebra II, přednáška Mgr. Milana Hladíka, Ph.D. Poznámky sepsal Robert Husák Letní semestr 29/21 Obsah 1 Permutace 1 2 Determinant 3 3 Polynomy 7 4 Vlastní čísla 9 5 Positivně definitní matice
Bardziej szczegółowoMatematické modelování elmg. polí 2. kap.: Magnetostatika
Matematické modelování elmg. polí 2. kap.: Magnetostatika Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/ Text byl
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoÚvodní informace. 18. února 2019
Úvodní informace Funkce více proměnných Cvičení první 18. února 2019 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Úvodní informace. Komunikace: e-mail: olga@majling.eu nebo olga.majlingova@fs.cvut.cz
Bardziej szczegółowo(A B) ij = k. (A) ik (B) jk.
Příklady z lineární algebry Michael Krbek 1 Opakování 1.1 Matice, determinanty 1. Je dána matice 1 2 0 M = 3 0 1. 1 0 1 Určete M 2, MM T, M T M a vyjádřete M jako součet symetrické a antisymetrické matice!
Bardziej szczegółowoMATEMATIKA 3 NUMERICKÉ METODY. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATIKA 3 NUMERICKÉ METODY Dana Černá http://kmd.fp.tul.cz Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci INFORMACE O PŘEDMĚTU Konzultační hodiny: ÚT 11:00-12:00, budova G,
Bardziej szczegółowoAnna Kratochvílová Anna Kratochvílová (FJFI ČVUT) PDR ve zpracování obrazu / 17
Parciální diferenciální rovnice ve zpracování obrazu Anna Kratochvílová FJFI ČVUT 10. 6. 2009 Anna Kratochvílová (FJFI ČVUT) PDR ve zpracování obrazu 10. 6. 2009 1 / 17 Obsah 1 Motivace 2 Vyšetření pomocí
Bardziej szczegółowoKatedra kybernetiky laboratoř Inteligentní Datové Analýzy (IDA) Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
Vytěžování dat: klasifikace Filip Železný Katedra kybernetiky laboratoř Inteligentní Datové Analýzy (IDA) Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Filip Železný (ČVUT) Vytěžování
Bardziej szczegółowoPOLIURETANOWE SPRĘŻYNY NACISKOWE. POLYURETHANOVÉ TLAČNÉ PRUŽINY
POLIURETAOWE SPRĘŻYY ACISKOWE. POLYURETHAOVÉ TLAČÉ PRUŽIY Oferowane są wymiary wyrobów o różnych twardościach. Konstrukcja tych sprężyn umożliwia zastąpienie sprężyn tradycyjnych tam, gdzie korozja, wibracje,
Bardziej szczegółowoZákladní elektrotechnická terminologie,
Přednáška č. 1: Základní elektrotechnická terminologie, veličiny a zákony Obsah 1 Terminologie 2 2 Veličiny 6 3 Kirchhoffovy zákony 11 4 Literatura 14 OBSAH Strana 1 / 14 1 TERMINOLOGIE Strana 2 / 14 1
Bardziej szczegółowoDiferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se
Diferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se separovanými proměnnými. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské
Bardziej szczegółowoFAKULTA STAVEBNÍ. Stavební statika. Telefon: WWW:
VYSOKÁ ŠKOA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA AKUTA STAVEBNÍ Stavební statika Pohyblivé zatížení Jiří Brožovský Kancelář: P H 406/3 Telefon: 597 32 32 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz WWW: http://fast0.vsb.cz/brozovsky
Bardziej szczegółowoEnergetické principy a variační metody ve stavební mechanice
Energetické principy a variační metody ve stavební mechanice Přetvárná práce vnějších sil Přetvárná práce vnitřních sil Potenciální energie Lagrangeův princip Variační metody Ritzova metoda 1 Přetvárná
Bardziej szczegółowo(a). Pak f. (a) pro i j a 2 f
Připomeň: 1. Necht K R n. Pak 1. Funkce více proměnných II 1.1. Parciální derivace vyšších řádů K je kompaktní K je omezená a uzavřená. 2. Necht K R n je kompaktní a f : K R je spojitá. Pak f nabývá na
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoDiskontované řízení portfolia
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Martina Kalužíková Diskontované řízení portfolia Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: Mgr.
Bardziej szczegółowoK SAMOSTATNÉ MODULOVÉ SCHODY MONTÁŽI. asta
N O V I N K A K SAMOSTATNÉ MODULOVÉ SCHODY MONTÁŽI asta MODULOVÉ SCHODY asta...jsou nejnovějším výrobkem švédsko-polského koncernu, který se již 10 let specializuje na výrobu schodů různého typu. Jednoduchá
Bardziej szczegółowo7. Aplikace derivace
7. Aplikace derivace 7A. Taylorův polynom 7. Aplikace derivace Verze 20. července 207 Derivace funkce se využívá při řešení úloh technické prae i teorie. Uvedeme několik z nich: vyčíslení hodnot funkce,
Bardziej szczegółowoKombinatorika a grafy I
Kombinatorika a grafy I Martin Balko 1. přednáška 19. února 2019 Základní informace Základní informace úvodní kurs, kde jsou probrány základy kombinatoriky a teorie grafů ( pokračování diskrétní matematiky
Bardziej szczegółowopodle přednášky doc. Eduarda Fuchse 16. prosince 2010
Jak souvisí plochá dráha a konečná geometrie? L ubomíra Balková podle přednášky doc. Eduarda Fuchse Trendy současné matematiky 16. prosince 2010 (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince 2010
Bardziej szczegółowoNekomutativní Gröbnerovy báze
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Zuzana Požárková Nekomutativní Gröbnerovy báze Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: RNDr. Jan Št ovíček, Ph.D. Studijní
Bardziej szczegółowoFunkce více proměnných: limita, spojitost, derivace
Matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: limita, spojitost, derivace Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 22. 9. 2014 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Zobrazení a funkce více
Bardziej szczegółowoChyby, podmíněnost a stabilita
Chyby, podmíněnost a stabilita Numerické metody 4. března 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Čísla v počítači Chyby Citlivost Stabilita 1 Čísla v počítači Čísla v počítači - Celá čísla jméno bity rozsah typy
Bardziej szczegółowoStatistika (KMI/PSTAT)
Cvičení sedmé (a asi i osmé a doufám, že ne deváté) aneb Náhodná veličina, rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny Náhodná veličina Náhodná veličina Studenti skládají písemku sestávající ze tří úloh.
Bardziej szczegółowoLineární regrese. Skutečné regresní funkce nejsou nikdy lineární! regrese extrémně užitečná jak svou koncepcí, tak prakticky.
Lineární regrese Lineární regrese je jednoduchý přístup k učení s učitelem (supervizovanému učení). Předpokládá, že závislost Y na X 1, X 2,..., X p je lineární. Skutečné regresní funkce nejsou nikdy lineární!
Bardziej szczegółowoTGH01 - Algoritmizace
TGH01 - Algoritmizace Jan Březina Technical University of Liberec 31. března 2015 Metainformace materiály: jan.brezina.matfyz.cz/vyuka/tgh (./materialy/crls8.pdf - Introduction to algorithms) SPOX: tgh.spox.spoj.pl
Bardziej szczegółowox y (A)dy. a) Určete a načrtněte oblasti, ve kterých je funkce diferencovatelná. b) Napište diferenciál funkce v bodě A = [x 0, y 0 ].
II.4. Totální diferenciál a tečná rovina Značení pro funkci z = f,: totální diferenciál funkce f v bodě A = 0, 0 ]: dfa = A 0+ A 0 Označme d = 0, d = 0. Pak dfa = A d+ A d Příklad91.Je dána funkce f, =.
Bardziej szczegółowoObsah. 1 Konstrukce (definice) Riemannova integrálu Výpočet Newtonova Leibnizova věta Aplikace výpočet objemů a obsahů 30
Určitý integrál Robert Mřík 6. září 8 Obsh 1 Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. Výpočet Newtonov Leibnizov vět. 18 3 Numerický odhd Lichoběžníkové prvidlo 19 4 Aplikce výpočet objemů obshů 3 c Robert
Bardziej szczegółowoROBUST January 19, Zdeněk Fabián Ústav informatiky AVČR Praha
ROBUST 2014 Zdeněk Fabián Ústav informatiky AVČR Praha January 19, 2014 Starověk x 1,..., x n data průměry Starověk x 1,..., x n data průměry aritm., geom., harm. Novověk Model F a skórová funkce Ψ F inferenční
Bardziej szczegółowoMatematika (KMI/PMATE)
Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam (smysl) koeficientů lineární
Bardziej szczegółowo