Temat: Co to jest układ równań? Co to jest rozwiązanie układu równań?

Transkrypt

1 Przedmowa Rozwiązywanie układów równań stopnia pierwszego metodą przeciwnych współczynników To opracowanie jest napisane z myślą o gimnazjalistach, ale mogą z niego korzystać wszyscy którzy chcą się dowiedzieć lub przypomnieć sobie jak rozwiązuje się układy równań liniowych (stopnia pierwszego) metodą przeciwnych współczynników. Wszystko co tu znajdziesz jest wyjaśnione od podstaw. Nie musisz być orłem z matematyki by zrozumieć o co tu chodzi. Zamieściłem tu bardzo dużo rozwiązanych zadań wraz z opisem wszystkich wykonywanych czynności. Spis tematów 1. Co to jest układ równań? Co to jest rozwiązanie układu równań? Rozwiązywanie układów dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi metodą przeciwnych współ. 4 sprawdzanie otrzymanego wyniku zadania tekstowe Przydatne linki Wersja z dnia: Układy równań strona 1

2 Temat: Co to jest układ równań? Co to jest rozwiązanie układu równań? Układ równań to przynajmniej dwa równania spięte z lewej strony klamerką np. + = 10 = 4. Każde z równań musi zawierać przynajmniej jedną zmienną (niewiadomą) np. lub. Zmienne mogą być podniesione do jakiejś potęgi, ale różnej od 0. Przykłady układów równań: 3 7 = = = = = 10 Równania tworzące układ równań powinno się podpisywać tak, by znaki równości były idealnie jeden nad drugim. W matematyce układy równań stosuje się w celu szybszego otrzymania wyniku z zadania tekstowego. Zasada jest taka, że na podstawie treści zadania układasz przynajmniej dwa równania z dwiema niewiadomymi, spinasz je z lewej strony klamerką i przystępujesz do znalezienia rozwiązania. Co jest rozwiązaniem układu równań napiszę później. Ponieważ w gimnazjum omawiane są tylko układy złożone z dwóch równań o dwóch zmiennych podniesionych do potęgi pierwszej (wówczas potęgi się nie pisze), więc od tej pory wszystko co będę pisać, będzie się tyczyć wyłącznie tego typu układów równań. Znalezienie rozwiązania danego układu równań polega na tym, by znaleźć takie liczby które wstawione zamiast zmiennych sprawią, że w obu równaniach strona lewa będzie równa stronie prawej. Zobacz to na przykładzie już wcześniej napisanego układu równań: + = 10 = 4 Jeśli w równaniu pierwszym zamiast napiszesz liczbę przypuśćmy 8 i zamiast np. liczbę 2, to strona lewa będzie równa stronie prawej. Wstawiając jednak te same liczby do równania drugiego, sprawisz, że jego strona lewa nie będzie równa stronie prawej. Wnioskujesz więc, że liczby te nie spełniają tego układu równań (nie są jego rozwiązaniem), bo w równaniu drugim lewa strona nie wyszła równa stronie prawej. Skoro powyższe liczby tj. = 8 i = 2 nie były rozwiązaniem powyższego układu równań, więc szukasz innych liczb i robisz to tak długo, aż znajdziesz dwie takie liczby, które spełniają oba równania jednocześnie. Wybierasz więc przykładowo = 5 i = 1 i sprawdzasz czy spełniają one dany układ równań. Jeśli zamiast w obu równaniach napiszesz liczbę 5 i w obu równaniach zamiast napiszesz liczbę 1, to w drugim równaniu strona lewa będzie w prawdzie równa stronie prawej, ale w pierwszym równaniu nie. Zatem = 5 i = 1 nie spełniają tego układu równań, bo tylko w jednym równaniu strona lewa wyszła równa stronie prawej. Szukasz więc innych liczb. Niech tym razem będą nimi: = 10 i = 15. Jeśli zamiast w obu równaniach napiszesz liczbę 10 i w obu równaniach zamiast napiszesz liczbę 15, to ani w pierwszym ani w drugim równaniu strona lewa nie będzie równa stronie prawej. Zatem te liczby również nie spełniają tego układu równań. Wybierasz więc jeszcze inne liczby takie które wydają Ci się że mogą spełniać ten układ równań, choć nie masz pewności czy tak w rzeczywistości będzie. Sprawdzasz więc liczby = 7 i = 3. Jeśli zamiast w obu równaniach napiszesz liczbę 7 i w obu równaniach zamiast napiszesz liczbę 3, to w pierwszym równaniu strona lewa będzie równa stronie prawej i w równaniu drugim również strona lewa będzie równa stronie prawej. Nareszcie metodą prób i błędów udało się znaleźć takie dwie liczby które spełniają oba te równania jednocześnie. Zatem rozwiązaniem rozpatrywanego układu równań jest = i = lub krócej jest nim para liczb (7; 3) zauważ, że liczby są ujęte w nawias zwykły i rozdzielone średnikiem (tak jakby to były współrzędne punktu w układzie współrzędnych). W rozwiązywaniu układów równań chodzi o to, by nie znajdować rozwiązania (wspólnej pary dla podanych równań) w taki sposób jak to robiliśmy powyżej (chybił-trafił), lecz dokładnie je wyliczyć w oparciu o jakąś metodę. Wersja z dnia: Układy równań strona 2

3 No dobra. Masz już rozwiązanie powyższego układu równań i mogłoby się wydawać, że to już koniec. Tymczasem tak nie jest. Sformułowanie rozwiązać układ równań oznacza, że trzeba znaleźć wszystkie wspólne pary (; ) dla podanych równań, a nie tylko jedną z nich. Zobacz: równanie pierwsze tj. + = 10 jest spełnione m.in. przez pary (; ): (0; 10), (1; 9), (2; 8), (3; 7), (7; 3), (8; 2), (9; 1), (11; 1), (12; 2) a równanie drugie: = 4 m.in. przez pary (; ): (0; 4), (1; 3), (2; 2), (5; 1), (7; 3), (8; 4), (9; 5), (10; 6), (13; 9). Ponieważ oba równania są spełnione przez nieskończenie wiele różnych par, więc może się zdarzyć, że oprócz znalezionej wspólnej pary (7; 3) istnieją jeszcze inne wspólne pary które spełniają ten układ równań. Tych wspólnych par może być nawet nieskończenie wiele, a szukać ich należy także pośród ułamków, pierwiastków, liczb mieszanych oraz liczb ujemnych. Nie można więc poszukiwać rozwiązania układu równań metodą na chybił-trafił jak to było robione powyżej. Co by było gdybym zamiast nie wstawił liczby 7 i zamiast liczby 3? Powstałoby wrażenie, że powyższy układ równań nie ma rozwiązania a tak nie jest. By znaleźć wszystkie rozwiązania danego układu równań, należy posłużyć się jakąś metodą która pozwoli w sposób rachunkowy (bez zgadywania), wyznaczyć wszystkie wspólne pary. W przypadku układu równań składającego się z dwóch równań stopnia pierwszego (zmienne są podniesione do potęgi pierwszej), metody pozwalające wyznaczyć wszystkie rozwiązania nazywają się tak: podstawiania (algebraiczna) przeciwnych współczynników (algebraiczna) graficzna wyznacznikowa (algebraiczna) eliminacji Gaussa Kroneckera-Cappellego i zostaną one pojedynczo omówione w następnych tematach (oprócz dwóch ostatnich zakres studiów). Zauważ, że sposób zapisywania par spełniających dane równanie jest dokładnie taki sam jak sposób zapisywania współrzędnych punktów w układzie współrzędnych. Nie jest to zbieg okoliczności. Każdą parę spełniającą dane równanie możesz zaznaczyć w układzie współrzędnych jako punkt. Jeśli w jednym układzie współrzędnych zaznaczysz wszystkie pary spełniające równanie pierwsze (na ogół będzie ich nieskończenie wiele), to otrzymasz jakąś linię (wykres funkcji) w zadaniach z zakresu gimnazjum na ogół będzie to prosta. Gdy zrobisz to samo z drugim równaniem, to otrzymasz drugą linię (następny wykres funkcji). Rozwiązaniem danego układu równań będą współrzędne tych punktów które należą jednocześnie do obu narysowanych wykresów. 7 2 = 29 Sprawdź czy para (5; 3) spełnia układ równań: 4 + = 23. [Podpowiedź. W obu równaniach zamiast napisz liczbę 5 (pierwsza podana współrzędna) a zamiast liczbę 3. Sprawdź, czy w każdym równaniu strona lewa jest równa stronie prawej. Odp. Tak, spełnia.] Wypisz 8 par (; ) spełniających równanie pierwsze, a następnie 8 par (; ) spełniających równanie 2 = 12 drugie układu równań: + 2 = 6. Jaka para liczb (; ) jest wspólna dla obu tych równań? [Odp. (; ) = (6; 0).] Wypisz po 10 par (; ) spełniających równania układu równań: 2 3 = = 5. Jaka para liczb (; ) jest wspólna dla obu tych równań? [Odp. (; ) = (3; 2).] Wersja z dnia: Układy równań strona 3

4 Temat: Rozwiązywanie układów dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi metodą przeciwnych współczynników. Sformułowanie rozwiązać układ równań o zmiennych i oznacza, że trzeba znaleźć takie liczby, które po napisaniu zamiast i zamiast sprawią, że we wszystkich równaniach strona lewa będzie równa jej stronie prawej. Przypuśćmy, że dany jest układ równań: = = 9 Jego rozwiązaniem są liczby = i =, bo wstawiając je do obu równań dostaniesz w obu równaniach równość strony lewej i prawej. Znalezienie ich metodą prób i błędów nie jest łatwe. By je wyliczyć musiałem zastosować jakąś metodę która to umożliwia. Nazwy tych metod oraz na czym one polegają omówię za chwilę. Szukanie rozwiązania na chybił trafił jest dozwolone, ale w praktyce się go nie stosuje. Do rozwiązywania układów dwóch równań liniowych (stopnia pierwszego) o dwóch niewiadomych, wystarczy zastosować np. metodę: podstawiania (algebraiczna, czyli wyliczeniowa) Z jednego równania wyliczasz np. i to co otrzymasz wstawiasz do innego równania z którego wyliczasz drugą zmienną. przeciwnych współczynników (algebraiczna, czyli wyliczeniowa) Przekształcasz równania układu równań w taki sposób, by po dodaniu równań stronami otrzymać 0 lub 0. Wyliczasz tę zmienną która się nie wyzerowała i stosując metodę podstawiania obliczasz drugą zmienną z dowolnego równania. graficzną (rysunkowa) Z obu równań wyliczasz zmienną i oba równania które otrzymasz traktujesz jako wzory funkcji liniowych. Rysujesz wykresy tychże funkcji liniowych w jednym układzie współrzędnych i z rysunku (na oko) odczytujesz współrzędne punktu przecięcia tych wykresów. Jeśli takiego punktu nie ma, to układ równań jest sprzeczny, a jeśli punktów tych jest nieskończenie wiele (proste pokrywają się), to układ równań jest nieoznaczony. wyznacznikową (algebraiczna, czyli wyliczeniowa) Wyliczasz 3 tzw. wyznaczniki i na ich podstawie prawie od razu dostajesz poszukiwane rozwiązania. Szczegóły są opisane w osobnym temacie. eliminacji Gaussa (algebraiczna, czyli wyliczeniowa) Zapisujesz liczby występujące w obu równaniach w postaci tzw. macierzy i ją przekształcasz do tzw. macierzy schodkowej. Jest to zakres studiów, więc tekst ten napisałem małym drukiem i nie będę go omawiać. Kroneckera-Capellego (algebraiczna, czyli wyliczeniowa) Wypisujesz liczby ze wszystkich równań i układasz je tak by utworzyły tzw. macierz. Następnie wykreślasz jedną kolumnę i jeden wiersz napisanej macierzy koniecznie z pierwszego wiersza lub pierwszej kolumny, dzięki czemu z niewykreślonych liczb powstanie Ci mniejsza macierz. Obliczasz wyznacznik tej mniejszej macierzy i mnożysz go przez liczbę która była na przecięciu wykreślonej kolumny i wiersza oraz dodatkowo otrzymany wynik mnożysz przez liczbę 1 lub 1 w zależności którym miejscu macierzy znajdowało się przecięcie wykreślonego wiersza i kolumny. Czynności te powtarzasz tyle razy ile masz kolumn lub wierszy w danej macierzy. Dla układów dwóch równań metoda ta jest równoważna metodzie wyznacznikowej. Tą metodą można rozwiązywać nawet układy mające 100 równań o 100 niewiadomych. Metody tej nie poznają gimnazjaliści ani licealiści ze względu na dość skomplikowane obliczenia. Aby pokazać, że każda z powyższych metod daje ten sam wynik, rozwiążmy ponownie układ równań: + = 10 = 4 ale tym razem nie na chybił trafił, lecz powyżej wspomnianymi metodami. Wersja z dnia: Układy równań strona 4

5 Metoda przeciwnych współczynników Nim omówię tę metodę, musisz najpierw umieć dodawać równania stronami. Dodawanie równań stronami oznacza nic innego jak dodawanie do siebie jednomianów ze wszystkich równań, przy czym oddzielnie dodaje się lewe (kolor żółty) i prawe (kolor zielony) strony tychże równań. Przypuśćmy, że masz układ równań: 2 = = 8 Dodając jego równania stronami (strona lewa + strona lewa = strona prawa + strona prawa), otrzymujesz: a po ich przekształceniu: = = = 7 Jeśli chcesz otrzymać to samo równanie co w powyższej ramce, ale dużo szybciej, to najpierw przekształcić układ równań do postaci mu równoważnej (wyrażenia z oraz przenosisz w obu równaniach na stronę lewą, a wyrażenia nie zawierające ani ani przenosisz na stronę prawą): 2 5 = = 4 by mieć iksy pod iksami, igreki pod igrekami, a wyraz wolne po prawej stronie znaku równości i dopiero teraz dodaj te równania stronami (kolumnami tak jak pokazują to kolory). Robiąc tak, od razu otrzymasz to samo równanie co w powyższej ramce: 6 5 = 7 Zadanie: Przekształć najpierw podany układ równań do postaci mu równoważnej, a następnie dodaj jego równania stronami (kolumnami). Pamiętaj, że przy przenoszeniu wyrażenia na drugą stronę znaku równości, należy zmienić jego znak na przeciwny. a) b) c) 7 = = = = = 6 7 = = 1 Postać równoważna: 2 8 = = = = = 14 Po dodaniu stronami: 9 10 = = = 19 lub 14 = 19 Przekształć najpierw podany układ równań do postaci mu równoważnej, a następnie dodaj jego równania stronami (kolumnami). Pamiętaj, że przy przenoszeniu wyrażenia na drugą stronę znaku równości, należy zmienić jego znak na przeciwny. a) = = 6 b) = = 8 = 14 c) = 6 [Odp.: a) 3 10 = 11 b) + 4 = 10 c) 0 7 = 14 d) = 2.] = 3 d) = Rozwiązywanie układu równań (o zmiennych i ) metodą przeciwnych współczynników, polega na tym, żeby po dodaniu równań stronami otrzymać 0 lub 0. Innymi słowy we wcześniejszym układzie równań: Wersja z dnia: Układy równań strona 5

6 2 5 = = 4 by po dodaniu stronami otrzymać 0 lub 0 musisz najpierw obie strony równania pierwszego pomnożyć przez 4 lub obie strony równania drugiego podzielić przez 4, bo wówczas po dodaniu równań stronami otrzymasz 0. Zobacz: 2 5 = 3 / = = = = = 16 /: 20 = = 4 5 No i masz już wyliczony y. Pozostaje już tylko wykorzystać metodę podstawiania, i wyliczony y wstawić do którego kol wiek równania w głównym układzie równań i wyliczyć x. Główny układ równań był taki: więc np. z równania pierwszego, masz, że: 2 = = 8 2 = = 4 /: 2 = 2 No i masz już wyliczony także. Wystarczy tylko udzielić odpowiedź. Zauważ również, że w powyższym układzie równań z równania drugiego tj. 4 = 8 można było od razu wyliczyć że = 2 i wstawić go do równania pierwszego. Stosowanie metody przeciwnych współczynników do rozwiązania tego układu równań nie było konieczne. Dla przejrzystości obliczeń polecam zawsze obliczony oraz brać w rameczkę. Lepiej wówczas widać co już zostało wyliczone i w którym miejscu. Rozwiążmy teraz tą metodą układ równań: = = 2 Zauważ, że oba równania są już zapisane tak jak być powinny, więc wystarczy tylko: przekształcić oba równania w taki sposób, aby dodaniu stronami otrzymać 0 lub przekształcić oba równania w taki sposób, aby dodaniu stronami otrzymać 0. Wersja z dnia: Układy równań strona 6

7 Jeśli wybierzesz sposób pierwszy, to musisz znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb stojących przed iksami tj. dla liczb: 3 i 7. Ponieważ wielokrotnością tą jest liczba 21, więc obie strony równania pierwszego musisz pomnożyć przez 7, a drugiego przez 3. Otrzymasz wówczas w pierwszym równaniu 21 i w drugim również 21. Niestety po dodaniu tych wyrażeń nie dostaniesz upragnionego 0 lecz 42. Aby tego uniknąć musisz: w równaniu pierwszym mieć 21 i w drugim 21 lub w równaniu pierwszym mieć 21 i w drugim 21. Zatem, albo: 1a) obie strony równania pierwszego mnożysz przez 7, a drugiego przez 3, otrzymując: albo = = 6 1b) obie strony równania pierwszego mnożysz przez 7, a drugiego przez 3, otrzymując: Jeśli wybierzesz sposób drugi, to musisz znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb stojących przed igrekami tj. dla liczb: 4 i 6 (znaki stojące przed tymi liczbami są teraz nieistotne). Ponieważ wielokrotnością tą jest liczba 12, więc: 2a) obie strony równania pierwszego mnożysz przez 3 i drugiego przez 2, otrzymując: lub = = 4. 2b) obie strony równania pierwszego mnożysz przez 3 i drugiego przez 2 otrzymując: 9 12 = = 4. Niezależnie od tego czy wybierzesz 2a) czy 2b) zawsze po dodaniu tych równań stronami, dostaniesz = = 6 Niezależnie od tego czy wybierzesz 1a) czy 1b) zawsze po dodaniu tych równań stronami, dostaniesz 0. Wniosek: Układ równań: = = 2 można rozwiązać metodą przeciwnych współczynników na cztery różne sposoby: 1a), 1b), 2a), 2b). I jeszcze jedna sprawa o której nie powiedziałem. Dodając równania stronami, należy u dołu układu równań wykonać kreskę poziomą (taką jak przy dodawaniu pisemnym) i tuż nad nią, z lewej strony (na wysokości dolnego równania) napisać symbol działania które będziemy wykonywać (najczęściej dodawania). Rozwiązanie każdego z 4-ch powyższych przypadków będzie wyglądać tak: Wersja z dnia: Układy równań strona 7

8 1a) = 5 / ( 7) 7 6 = 2 / 3 1b) = 5 / = 2 / ( 3) 2a) = 5 / = 2 / 2 2b) = 5 / ( 3) 7 6 = 2 / ( 2) + 28 = = = = = = = = = = = = = 29/: ( 46) 46 = 29/: = 19/: = 19/: ( 23) = = = = Z równania pierwszego: = 5 masz, że: = = 5 3 = = = / 1 3 = = = Z równania pierwszego: = 5 masz, że: = = 5 4 = = = / 1 4 = = = = 5 Odp. Rozwiązaniem układu równań 7 6 = 2 jest = i =. W tej metodzie dozwolone jest także odejmowanie równań stronami, a w szczególnych przypadkach także mnożenie i dzielenie. W praktyce jednak, stosuje się tylko dodawanie stronami, a to ze względu na to, że prawie do zera zostaje obniżone prawdopodobieństwo popełnienia błędu w trakcie obliczeń. Gdybyśmy jednak uparli się na odejmowanie równań stronami, to należy bardzo uważać na zmiany znaków na przeciwne w odejmowanym (drugim) równaniu. Prześledź odejmowanie równań stronami na poniższym przykładzie: 5 7 = = = = 12 8 = 12 lub bez skrótów 5 7 = 3 myślowych: 3 7 = = = 12 8 = 12 Jak widać o pomyłkę bardzo łatwo. Nie polecam stosować tego sposobu przy rozwiązywaniu układów równań. Wersja z dnia: Układy równań strona 8

9 Metodą przeciwnych współczynników można także rozwiązywać te układy równań, których równania z pozoru nie dają się przekształcić do postaci + =. Rozpatrz przykładowo taki układ równań: = = 8. Skoro nie można równań tego układu zapisać w postaci + = więc trzeba się zastanowić jak to ominąć. Sposób jest banalny. Wystarczy wykorzystać tzw. proporcje 1 (strona Błąd! Nie zdefiniowano zakładki.) i w oparciu o nie zapisać równania w postaci: 4 = 3 3 = 8(5 + 2) Przekształcając równanie pierwsze do postaci + = oraz opuszczając w równaniu drugim nawiasy, dostajesz: 3 4 = 0 3 = Przenosząc w równaniu drugim wszystkie jednomiany ze zmienną i na lewą stronę równania, a wszystkie pozostałe na prawą, masz: 3 4 = = = = 0 o co właśnie chodziło. By wyliczyć zmienne i wystarczy obie strony równania pierwszego pomnożyć przez 10, bo po dodaniu stronami otrzymasz 0 i kontynuować tak, jak pokazuje to metoda przeciwnych współczynników. Sprawy kolejne: 1. Podczas wykonywania obliczeń tą metodą dobrze jest brać w ramki otrzymane wyniki. Zwiększa to czytelność obliczeń i lepiej uświadamia jakimi danymi już dysponujemy. 2. Po skończeniu obliczeń, należy zawsze udzielić odpowiedź. Można to jednak zrobić na kilka różnych, ale równoważnych sposobów. Przypuśćmy, że rozwiązaniem jest x = 2 i y = 5. Odpowiedź wówczas możemy zapisać następująco: a) = 2 i = 5 b) = 2, = 5 Jeśli rozwiązaniem są ułamki dziesiętne, to zamiast przecinka można stosować średnik. c) = 2 = 5 Użyty symbol matematyczny:, oznacza tzw. koniunkcję, i czyta się go i. d) = 2 = 5 e) ; = (2; 5). Sposób ten stosuje się głównie wtedy, gdy układ równań był rozwiązywany metodą graficzną. f) Jeśli w zadaniu przez oznaczona została np. cyfra dziesiątek, zaś przez cyfra jedności, to odpowiedzią jest liczba w tym przypadku 25, a nie jej cyfry. Pisanie, że rozwiązaniem jest = 2, = 5 jest wówczas błędne. 1 Co to jest proporcja oraz jak się ją rozwiązuje, możesz szczegółowo dowiedzieć się czytając opracowanie o rozwiązywaniu równań i nierówności. Wersja z dnia: Układy równań strona 9

10 g) Jeśli w zadaniu przez oznaczona została np. cyfra jedności, zaś przez cyfra dziesiątek, to odpowiedzią jest liczba w tym przypadku 52, a nie jej cyfry. Pisanie, że rozwiązaniem jest = 5, = 2 jest wówczas błędne. 3. Po obliczeniu wszystkich zmiennych, zaleca się wykonanie sprawdzenia otrzymanych wyników (strona 10). Sprawdzanie wyniku w metodzie przeciwnych współczynników Przypuśćmy, że robiąc obliczenia tą metodą, masz już wyliczoną jedną ze zmiennych i drugą z nich wyliczasz np. z równania pierwszego. Wówczas robiąc sprawdzenie, obie wyliczone liczby musisz wstawić do równania drugiego w pierwotnym układzie równań, bo z niego nie wyliczana była zmienna. Gdyby zmienna była wyliczana z równania drugiego, to sprawdzenie robione było by poprzez wstawienie obliczonej liczby do równania pierwszego. Zadania tekstowe Znając już metody rozwiązywania układów dwóch równań liniowych (stopnia pierwszego) z dwiema niewiadomymi, przystąpmy do rozwiązywania zadań tekstowych. Nim jednak to zrobisz, pamiętaj o tym by: treść zadania czytać fragmentami (do najbliższego znaku interpunkcyjnego lub najbliższego spójnika) na podstawie pytania zadanego w treści zadania, odgadywać co należy oznaczyć zmiennymi na podstawie przeczytanych fragmentów od razu układać stosowne równania (lub nierówności) weryfikować na bieżąco poprawność ułożonych równań (nierówności) z treścią zadania dobierać w sposób intuicyjny oznaczenia zmiennych, np. liczba chłopców, liczba dziewczyn, objętość beczki, liczba większa, liczba mniejsza, wiek Agnieszki, wiek Beaty, itp. w miarę możliwości robić założenia, nawet jeśli są oczywiste np. b 0, gdzie b oznacza długość boku, A > 0, gdzie A oznacza wiek Agnieszki, w > m, gdzie w oznacza liczbę większą, zaś m liczbę mniejszą, itp. otrzymane wyniki oraz ważniejsze fragmenty obliczeń brać od razu w ramki sprawdzać zgodność otrzymanych wyników z poczynionymi wcześniej założeniami udzielać odpowiedzi jeśli w treści zadania było zadane pytanie wykonywać sprawdzenia otrzymanych wyników. Poniżej przedstawiam najczęściej spotykane w gimnazjum typy zadań na wykorzystanie układów równań. Wersja z dnia: Układy równań strona 10

11 Zadanie: Suma dwóch liczb jest równa 32. Jeżeli od każdej z nich odejmiesz 4, to otrzymasz dwie liczby, z których jedna jest 2 razy większa od drugiej. Jakie to liczby? Oznaczenia: liczba większa liczba mniejsza Stosując oznaczenia intuicyjne, nie musisz dokonywać powyższych objaśnień. Założenia: > Jeśli założenia są oczywiste np. takie jak wyżej, możesz je pominąć. Rozwiązanie: + = 32 4 = = 32 4 = = 32 2 = = = 4 3 = 36 /: 3 = 12 Zauważasz, że liczba ( 4) jest 2 razy większa od liczby 4, a nie odwrotnie wynika to z faktu, że pomiędzy tymi liczbami można postawić znak równości tylko wtedy, gdy liczbę mniejszą pomnożysz 2 razy, lub liczbę większą podzielisz 2 razy. Opuszczasz w równaniu drugim nawiasy. Przekształcasz równanie drugie. Zauważasz, że mnożąc równanie pierwsze lub drugie przez 1 dostaniesz po dodaniu stronami 0. Mnożysz więc równanie drugie przez 1 i wykonujesz dodawanie stronami. Wiedząc już, że = 12, wracasz się na przykład do równania pierwszego w pierwotnym układzie równań i wstawiasz zamiast m liczbę 12. Wyliczasz = 32 = = 20 Sprawdzasz już tylko, czy obliczone liczby są zgodne z założeniem. Jeśli tak, to piszesz odpowiedź, jeśli nie, to szukasz błędu w obliczeniach tak długo aż go znajdziesz. Sprawdzasz czy otrzymane w ramkach liczby spełniają poczynione na początku założenie. Jeśli tak, to piszesz odpowiedź, jeśli nie to szukasz błędu (lub błędów) w obliczeniach. Odp. Szukane liczby to 12 i 20. Suma dwóch liczb jest równa 20, a ich różnica wynosi 9. Znajdź te liczby. [Odp. 29/2 i 11/2.] Suma dwóch liczb jest równa 34. Jeden ze składników jest o 12 większy od drugiego. Znajdź te składniki. [Odp. 22 i 12.] Suma dwóch liczb wynosi 22. Jeżeli jedną z nich zwiększymy dwukrotnie, a drugą zmniejszymy o połowę, to ich suma zwiększy się o 1. Jakie to liczby? [Odp. 9 i 16.] Suma dwóch liczb jest równa 15, a suma czterokrotności pierwszej liczby i trzykrotności drugiej liczby jest równa 52. Jakie to liczby? [Odp. 7 i 8.] Suma dwóch liczb jest równa 41, a różnica podwojonej drugiej liczby i połowy pierwszej jest równa 42. Jakie to liczby? [Odp. 16 i 25.] Suma dwóch liczb równa jest 34, a różnica ich kwadratów 136. Znajdź te liczby. [Wykorzystaj odpowiedni wzór skróconego mnożenia. Zastosuj metodę podstawiania. Odp. 15 i 19.] Suma dwóch liczb wynosi 11, a różnica liczby większej i podwojonej liczby mniejszej jest równa 26. Co to za liczby? [Odp. 5 i 16.] Wersja z dnia: Układy równań strona 11

12 Zadanie: Suma dwóch liczb jest równa Znajdź te liczby, jeżeli 10,5% jednej liczby jest równe 7,5% drugiej liczby. Oznaczenia: pierwsza liczba druga liczba Nie można było zastosować oznaczeń (liczba większa) i (liczba mniejsza), bo z treści zadania nie wynika czy 10,5% tyczy się liczby większej czy mniejszej. Założenia: Brak założeń, bo nie wiesz, czy 10,5% tyczy się liczby pierwszej czy drugiej. Jeśli by się bardzo uprzeć, to założenie można zrobić. Wystarczy zauważyć, że 10,5% > 7,5% i na podstawie tego wysnuć wniosek, że gdyby pierwsza liczba była większa do drugiej liczby, to 10,5% z liczby większej nigdy nie byłoby równe 7,5% z liczby mniejszej. Zatem w przypadku tego zadania liczba pierwsza musi być mniejsza od liczby drugiej: < Rozwiązanie: + = ,5% = 7,5% + = ,5 100 = 7,5 100 / = ,5 = 7,5 + = 1440 / 7,5 10,5 7,5 = 0 + 7,5 + 7,5 = ,5 7,5 = = = /: 18 = = 1440 = = 840 Odp. Szukane liczby to 600 i 840. Taki układ równań układasz na podstawie treści zadania. W równaniu drugim zamieniasz procenty na ułamki zwykłe o mianowniku 100, a równanie pierwsze przepisujesz bo nic z nim nie robisz. By pozbyć się mianowników w równaniu drugim, obie jego strony mnożysz przez 100, a równanie pierwsze ponownie przepisujesz bo nadal z nim nic nie robisz. Zauważasz, że równanie drugie wygląda prawie tak samo jak w wyjściowym układzie równań (nie posiada tylko symbolów %) i wyciągasz wniosek, że mając symbol % przy każdej liczbie w danym równaniu, wystarczy go po prostu skasować. Dzięki temu oszczędzasz czas na wykonywanie przekształceń jakie były powyżej. Przenosisz w równaniu drugim wyrażenie 7,5 ze strony prawej na lewą ze zmienionym znakiem by później móc zastosować metodę przeciwnych współczynników. Równanie pierwsze znowu przepisujesz, bo nadal z nim nic nie robisz. Piszesz jak zwykle znak równości pod znakiem równości. Zauważasz, że przy igrekach w obu równaniach masz już przeciwne znaki, więc by po dodaniu równań stronami otrzymać 0 wystarczy równanie pierwsze pomnożyć przez 7,5 a równanie drugie przepisać. Można też było obie strony pierwszego równania pomnożyć przez 10,5, ale nie jest to polecane, gdyż można zapomnieć o zmianie wszystkich znaków na przeciwne. Dodajesz równania stronami. Ponieważ wyrażenia z są napisane jedno pod drugim oraz wyrażenia z również są napisane jedno pod drugim, więc dodawanie tych równań stronami jest równoważne dodawaniu ich kolumnami. Obie strony równania dzielisz przez liczbę stojącą przy, bo chcesz wyliczyć. Obliczoną liczbę 600 wstawiasz zamiast do któregokolwiek równania w głównym układzie równań (lepiej w tym przypadku wybrać równanie pierwsze) i obliczasz. Mając już wyliczone obie liczby i sprawdzasz czy wyszły one zgodnie z poczynionym na początku zadania założeniem: <. Jeśli tak, to udzielasz odpowiedź. Jeśli nie, to szukasz choćby jednego błędu w obliczeniach. Suma dwóch liczb jest równa 180. Połowa drugiej liczby stanowi 25% pierwszej liczby. Oblicz te liczby. [Odp. 120 i 60.] Suma dwóch liczb jest równa 32, a 15% jednej liczby równe drugiej liczby. Znajdź te liczby. [Odp. 24 i 8.] Suma dwóch liczb jest równa 480, a różnica 60% pierwszej liczby i 45% drugiej liczby wynosi 90. Jakie to liczby? [Odp. 120 i 360.] Suma dwóch liczb jest równa % połowy drugiej liczby jest o 100% większe od czwartej części pierwszej liczby. Oblicz te liczby. [Podpowiedź. Czwarta część danej liczby to inaczej tej liczby. Zwiększenie danej liczby o 100% jest rów- noważne pomnożeniu tej liczby przez 2. Odp. 180 i 240.] Suma 6% pierwszej liczby i 8% drugiej liczby wynosi 15, a suma 42% pierwszej i 1% drugiej liczby wynosi 39. Znajdź te liczby. [Odp. 90 i 120.] Wersja z dnia: Układy równań strona 12

13 Suma 18% pierwszej liczby i 28% drugiej liczby jest równa 40. Różnica 0,6 drugiej liczby i 0,1 pierwszej liczby jest równa sześcianowi liczby 2. Co to za liczby? [Podpowiedź. Sześcian liczby to inna nazwa potęgi 3-ciej. Odp. 160 i 40.] Suma 10% pierwszej liczby i 10% drugiej liczby jest równa 10, a różnica drugiej liczby i pierwszej liczby jest równa 3,9. Oblicz te liczby. [Odp. 82 i 18.] Różnica dwóch liczb wynosi 52, a 15% pierwszej z nich jest równe 67% drugiej. Jakie to liczby? [Odp. 67; 15.] Różnica 13% drugiej liczby i dziesiątej części pierwszej liczby wynosi tyle co 8 % pierwszej liczby, zaś różnica 15% potrojonej drugiej liczby i ósmej części podwojonej liczby pierwszej stanowi 71% liczby pierwszej. Znajdź te liczby. [Podpowiedzi: Dziesiąta część danej liczby to inaczej 0,1 tej liczby. Liczby mieszane zamień na ułamki niewłaściwe. Aby pozbyć się symbolów procenta, pomnóż obie strony równań przez 100. Odp. 30 i 64.] Różnica dwóch liczb wynosi tyle co podwojony kwadrat liczby 3. Jakie to liczby jeśli dodatkowo wiadomo, że stosunek liczby większej do liczby mniejszej pomniejszonej o 10% wynosi 2 : 1? [Podpowiedzi: Kwadrat to inna nazwa potęgi 2-giej. Podwajając kwadrat jakiejś liczby należy najpierw wykonać potęgowanie, bo tak orzeka kolejność wykonywania działań. Jeśli różnica dwóch liczb jest dodatnia, to od liczby większej odjęto liczbę mniejszą. Odp. 20 i 38.] Wersja z dnia: Układy równań strona 13

14 Wszystko jest legalne. Wystarczy zainwestować jednorazowo tylko 5 zł by po kilku miesiącach cieszyć się systematycznymi wpływami od innych osób po 5 zł. Proste? Proste. Dołącz się do powyższego linku. Zarejestruj się na próbę.zadanie: Julia ma w swoim portfelu 12 banknotów. Są to wyłącznie banknoty dwudziesto- i pięćdziesięciozłotowe. Policzyła, że gdyby banknotów dwudziestozłotowych miała tyle co pięćdziesięciozłotowych, a pięćdziesięciozłotowych tyle co dwudziestozłotowych, to miałaby o 120 zł więcej niż ma teraz. Ile pieniędzy ma Julia? Oznaczenia: liczba banknotów 20-stozłotowych liczba banknotów 50-stozłotowych 20 wartość w banknotach 20-stozłotowych przed zamianą Pewnie się zastanawiasz skąd wziął się powyższy zapis 20. Otóż zobacz, że jeśli masz 2 banknoty po 20 zł, to razem dają one 40 zł. Jeśli masz 7 banknotów po 20 zł, to razem dają one 140 zł. Jeśli masz 10 banknotów po 20 zł to razem dają one 200 zł. Widzisz więc, że łączną wartość banknotów możesz wyliczyć mnożąc ich nominał (w tym przypadku 20 zł) przez ilość tych banknotów. Skoro banknotów 20-złotowych masz, więc łączna ich wartość to wartość w banknotach 50-stozłotowych przed zamianą Uzasadnienie zapisu 50 jest dokładnie takie samo jak zapisu wartość w banknotach 20-stozłotowych po zamianie W treści zadania jest mowa o tym co by było gdyby banknotów 20-złotowych było tyle co 50-ciozłotowych. Oznacza to, że po zamianie banknotów 20-złotowych byłoby tyle ile jest teraz banknotów 50-ciozłotowych, czyli. Zatem ich wartość po zamianie wyniosłaby 20 stąd ten zapis. 50 wartość w banknotach 50-stozłotowych po zamianie Założenia: > 0 > 0 Analiza zadania: Z treści zadania wiesz, że + = 12 oraz, że wartość banknotów po zamianie jest równa i jest o 120 zł większa od kwoty przed zamianą, czyli od Rozwiązanie: + = = ą + = = 120 Taki układ równań układasz na podstawie treści zadania. W równaniu drugim przenosisz 20 oraz 50 ze strony prawej na lewą (ze zmienionym znakiem) by później móc wykonać redukcję wyrazów podobnych i zastosować metodę przeciwnych współczynników. Równanie pierwsze przepisujesz bo nic z nim w tej chwili nie robisz. W równaniu drugim wykonujesz redukcję wyrazów podobnych, a równanie pierwsze przepisujesz bo nadal z nim nic nie robisz. + = = 120 By móc zastosować metodę przeciwnych współczynników, w równaniu drugim zamieniasz kolejnością wyrazy po lewej stronie znaku równości. + = 12 / = 120 /: = = = 48 6 = 48 /: 6 = = 112 = 12 8 = 4 Zauważasz, że przy literkach są przeciwne znaki, więc obie strony równania pierwszego mnożysz przez 3 i dodatkowo obie strony równania drugiego dzielisz przez 10. Dzięki temu po dodaniu równań stronami dostaniesz 0. Dodajesz równania stronami. Ponieważ wyrażenia z są napisane jedno pod drugim oraz wyrażenia z również są napisane jedno pod drugim, więc dodawanie tych równań stronami jest równoważne dodawaniu ich kolumnami. Obie strony równania dzielisz przez liczbę stojącą przy, bo chcesz wyliczyć. Obliczoną liczbę 8 wstawiasz zamiast do któregokolwiek równania w głównym układzie równań (lepiej w tym przypadku wybrać równanie pierwsze) i obliczasz. Mając już wyliczone obie liczby i sprawdzasz czy wyszły one zgodnie z poczynionym na początku zadania założeniami. Jeśli tak, to zliczasz wartość pieniędzy Julii i udzielasz odpowiedź. Jeśli nie, to szukasz choćby jednego błędu w obliczeniach. Wersja z dnia: Układy równań strona 14

15 = 20 zł zł 4 = 160 zł zł = 360 zł Odp. Julia ma w swoim portfelu 8 banknotów po 20 zł i 4 banknoty po 50 zł czyli 360 zł. Zadanie: W zakładzie krawieckim w marcu dwie grupy ludzi uszyły razem 500 biało-czerwonych flag Polski. Miesiąc później obie te grupy zwiększyły swoją wydajność pierwsza o 15%, a druga o 10% dzięki czemu liczba uszytych flag zwiększyła się o 561. Ile flag Polski uszyła każda z grup w marcu, a ile w kwietniu? Oznaczenia: liczba flag wykonanych przez pierwszą grupę w marcu liczba flag wykonanych przez drugą grupę w marcu liczba flag wykonanych przez pierwszą grupę w kwietniu liczba flag wykonanych przez drugą grupę w kwietniu Założenia: > > Rozwiązanie: + = = 561 = 115% = 110% + = % + 110% = = = = 1100 /: 5 = 220 Taki układ równań układasz na podstawie treści zadania. W przypadku tego zadania będą 4 równania o 2-ch zmiennych. Liczba 115% wzięła się stąd, że wydajność pierwszej grupy z marca wynosząca 100% wzrosła o 15%. Liczba 110% wzięła się stąd, że wydajność drugiej grupy z marca wynosząca 100% wzrosła o 10%. W równaniu drugim zamiast dużej literki piszesz 115%m bo tak masz w równaniu 3-cim. W równaniu drugim zamiast dużej literki piszesz 110%k bo tak masz w równaniu 4-tym. W równaniu drugim pozbywasz się symboli % wykonując mnożenie obu stron przez 100. Obie strony równania pierwszego mnożysz przez 110 by później móc zastosować metodę przeciwnych współczynników. Dodajesz równania stronami. Wiesz już że = 220. Wracasz się do równania pierwszego w wyjściowym układzie równań i zamiast literki piszesz 220. Obliczasz. = = 280 = 115% 220 = 1, = 253 = 110% 280 = 1, = 308 To nie koniec obliczeń. W zadaniu tym trzeba także wyliczyć oraz. Robisz to wstawiając wyliczone przed chwilą liczby do 3-ciego i 4-tego równania w wyjściowym układzie równań. Sprawdzasz czy otrzymane wyniki są zgodne z poczynionymi na początku założeniami. Jeśli tak, to udzielasz odpowiedź, bo w treści zadania było zadane pytanie. Jeśli nie, to szukasz błędu w obliczeniach. Odp. W marcu pierwsza grupa uszyła 220 a druga 280 flag. Miesiąc później grupy te uszyły odpowiednio 253 i 308 flag. Do biblioteki zakupiono 30 egzemplarzy Pana Tadeusza wydanego w dwóch okładkach: twardej i miękkiej. Ile zakupiono egzemplarzy w okładce miękkiej, a ile w twardej jeśli 2,5% książek w okładce miękkiej jest równe 1,6% książek w okładce twardej? [Odp. = 12 i = 18.] Klasy III a i III b gimnazjum liczą w sumie 45 uczniów. Na wycieczkę zagraniczną pojechało 80% uczniów klasy III a i 72% uczniów klasy III b. Ilu uczniów liczy klasa III a oraz III b jeśli na wycieczkę tę pojechało 38 osób (w tym czterech nauczycieli)? [Podpowiedź. Skoro pojechało 4-ch nauczycieli, to ilu pojechało uczniów? Odp. = 20, = 25.] Profesjonalny aparat fotograficzny wraz z akcesoriami kosztuje 6850 zł. Gdyby akcesoria do niego były tańsze o 246 zł, a aparat fotograficzny droższy o 7%, to cały taki zestaw kosztowałby o 209 zł więcej niż teraz kosztuje. Ile kosztuje aparat fotograficzny? [Odp zł.] Klasa II b gimnazjum liczy 28 osób. Gdyby w tej klasie liczbę dziewcząt zmniejszyć o 6,25%, a liczbę chłopców zwiększyć o 25%, to w klasie byłoby tyle samo dziewcząt i chłopców. Ilu chłopców oraz ile dziewcząt liczy klasa II b? [Odp. = 12, = 16.] Wersja z dnia: Układy równań strona 15

16 Suma dwóch liczb jest równa 300. Różnica 25% pierwszej z nich i 15% drugiej wynosi 3. Jakie to liczby? [Odp. 120 i 180.] W gospodarstwie pana Józka są świnie, krowy, konie oraz kury i gęsi. Wszystkie one razem mają 56 nóg. Gdyby pan Józek dokupił 25% liczby już posiadanych czworonogów i 25% liczby posiadanych dwunogów to liczba nóg posiadanych przez niego stworzeń wzrosłaby o 14. Ile czworonogów i dwunogów posiada pan Józek? [Odp. = 8, = 12.] Zadanie: Dwa kanistry są napełnione do pełna i zawierają razem 33 litry wody. Gdyby z kanistra drugiego wypuścić piątą a z pierwszego trzecią część wody się w nim znajdującej, to w obu kanistrach zostanie tyle samo wody. Ile wody mieści się maksymalnie do pierwszego, a ile do drugiego kanistra? Oznaczenia: ilość wody znajdującej się w pierwszym kanistrze ilość wody znajdującej się w drugim kanistrze Założenia: > 0 > 0 Analiza treści zadania: Na podstawie zdania pierwszego wiesz, że + = 33. Z pierwszej części zdania następnego wiesz, że z kanistra drugiego wypuszczono wody jaka w nim była, czyli, że: =. Z drugiej części tego samego zdania wiesz, że =. Czytając zadanie dalej dowiadujesz się, że po wypuszczeniu z obu kanistrów wskazanych ilości wody, w nich obu zostanie tyle samo wody. Oznacza to, że wyniki dwóch ostatnich równań musisz złączyć w jedno nowe równanie: =. Rozwiązanie: + = = = 33 / = = = 0 22 = 396 /: 22 = 18 = = 15 Taki układ równań układasz na podstawie treści zadania. By pozbyć się mianowników w równaniu drugim możesz albo zastosować mnożenie po skosie (bo równanie to jest proporcją), albo obie strony tego równania pomnożyć np. przez 20 (czyli przez najmniejszą wspólną wielokrotność dla liczb znajdujących się w mianownikach). Wybranie mnożenia po skosie jest wygodniejsze, bo da mniejsze liczby i dany układ równań będzie się łatwiej rozwiązywać. Równanie pierwsze mnożysz przez 12 by później po dodaniu równań stronami zniknęły wyrażenia z niewiadomą. By rozwiązać ten układ równań metodą przeciwnych współczynników przenosisz wyrażenie 12 ze strony prawej równania na stronę lewą (oczywiście ze zmienionym znakiem na przeciwny). Dodajesz równania stronami. Wiesz już że = 18. Wracasz się do równania pierwszego w wyjściowym układzie równań i zamiast literki piszesz 18. Obliczasz. Sprawdzasz czy otrzymane wyniki są zgodne z poczynionymi na początku założeniami. Jeśli tak, to udzielasz odpowiedź, bo w treści zadania było zadane pytanie. Jeśli nie, to szukasz błędu w obliczeniach. Odp. Do pierwszego kanistra mieści się maksymalnie 18 litrów wody a do drugiego 15 litrów. [W treści zadania pytanie było postawione w czasie teraźniejszym. Zatem odpowiedź też musi być w czasie teraźniejszym. Użycie słowa mieściło zamiast mieści nie byłoby poprawne.] Wersja z dnia: Układy równań strona 16

17 Zadanie: W dwóch kanistrach jest 16 litrów wody. Gdyby z pierwszego kanistra przelać 8 litrów wody do kanistra drugiego, to w kanistrze drugim będzie 3 razy więcej wody niż w kanistrze pierwszym. Ile wody jest w kanistrze pierwszym, a ile w drugim? Oznaczenia: ilość wody znajdującej się w pierwszym kanistrze ilość wody znajdującej się w drugim kanistrze Założenia: > 0 > 0 Analiza treści zadania: Na podstawie zdania pierwszego wiesz, że + = 16. Z pierwszej części zdania następnego wiesz, że gdyby w kanistrze pierwszym ubyło 8 litrów to jednocześnie w kanistrze drugim przybyłoby 8 litrów wody. Zatem: 8 ilość wody w kanistrze pierwszym po ulaniu z niego 8 litrów + 8 ilość wody w kanistrze drugim po wlaniu do niego 8 litrów z kanistra pierwszego Ponieważ po przelaniu tych 8 litów w kanistrze drugim będzie 3 razy więcej wody niż w kanistrze pierwszym, więc układasz równanie: + 8 = 3 ( 8) Rozwiązanie: + = = 3( 8) + = 16 / = = = 32 4 = 16 /: 4 = 4 = 16 4 = 12 Taki układ równań układasz na podstawie treści zadania. By w równaniu drugim pozbyć się nawiasu, wymnażasz liczbę która przed nim stoi, przez wszystko co jest w nawiasie. Równanie pierwsze przepisujesz bo nic z nim nie robisz. Równanie pierwsze mnożysz przez 3 by później po dodaniu równań stronami zniknęły wyrażenia z niewiadomą. By rozwiązać ten układ równań metodą przeciwnych współczynników przenosisz wyrażenie 3 ze strony prawej równania na stronę lewą (oczywiście ze zmienionym znakiem na przeciwny) i dodatkowo liczbę 8 ze strony lewej na stronę prawą (również ze zmienionym znakiem na przeciwny). Dodajesz równania stronami. Wiesz już że = 4. Wracasz się do równania pierwszego w wyjściowym układzie równań i zamiast literki piszesz 4. Obliczasz. Sprawdzasz czy otrzymane wyniki są zgodne z poczynionymi na początku założeniami. Jeśli tak, to udzielasz odpowiedź, bo w treści zadania było zadane pytanie. Jeśli nie, to szukasz błędu w obliczeniach. Odp. W pierwszym kanistrze jest 12 litrów wody, a w drugim są 4 litry wody. [W treści zadania pytanie było postawione w czasie teraźniejszym. Zatem odpowiedź też musi być w czasie teraźniejszym. Użycie słowa było zamiast jest nie byłoby poprawne.] W dwóch kanistrach znajduje się benzyna. Gdyby pan Marek przelał 5 litrów benzyny z kanistra drugiego do pierwszego, to w obu kanistrach miałby tyle samo benzyny. Gdyby zaś przelał 5 litrów benzyny z kanistra pierwszego do drugiego, to w kanistrze drugim miałby o 20 litrów benzyny więcej niż w kanistrze pierwszym. Ile pan Marek ma benzyny razem w obu kanistrach? [Odp. 50 litrów.] Na dwóch półkach sklepowych jest razem 100 kostek masła. Gdyby z drugiej półki przełożyć 2 kostki masła na półkę pierwszą, to na drugiej półce będzie o 50% więcej kostek masła niż na półce pierwszej. Ile kostek masła jest na każdej z półek? [Odp. p = 38 szt., d = 62 szt.] W dwóch kanistrach znajduje się benzyna. Gdyby pan Tomek przelał 5 litrów benzyny z kanistra pierwszego do drugiego, to w obu kanistrach miałby tyle samo benzyny. Gdyby zaś przelał 5 litrów benzyny Wersja z dnia: Układy równań strona 17

18 z kanistra drugiego do pierwszego, to w kanistrze pierwszym miałby 2 razy więcej benzyny niż w kanistrze drugim. Ile pan Tomek ma benzyny w każdym z kanistrów? [Odp. = 35, = 25.] Gdyby 2 osoby z klasy III b przeszły do klasy III a, to w obu klasach byłaby taka sama liczba uczniów. Gdyby zaś 6 osób z klasy III a przeszło do klasy III b, to w klasie III b byłoby 2 razy więcej uczniów niż w klasie III a. Ile uczniów liczy klasa III a, a ilu III b? [Odp. = 22, = 26.] W dwóch koszykach znajdują się gruszki. Gdyby połowę gruszek znajdujących się w koszyku drugim przełożyć do koszyka pierwszego, to w koszyku pierwszym będzie o 12 gruszek więcej niż w koszyku drugim. Gdyby zaś z koszyka pierwszego przełożyć trzecią część znajdujących się w nim gruszek, to w koszyku drugim będzie o 32 gruszki więcej niż jest obecnie w koszyku pierwszym. Ile gruszek jest w każdym z koszyków? [Odp. = 12, = 40.] Dwa pociągi towarowe miały razem 200 wagonów. Na jednej ze stacji odpięto 20 wagonów z pociągu pierwszego i 30 wagonów z pociągu drugiego. Następnie wagony odpięte z pociągu pierwszego dołączono do pociągu drugiego, a te z odpięte z pociągu drugiego dołączono do pociągu pierwszego. Po takiej zamianie wagonów okazało się, że pociąg drugi ma o 50% więcej wagonów niż pociąg pierwszy. Ile wagonów miał początkowo każdy z pociągów? [Odp. = 70, = 130.] Wersja z dnia: Układy równań strona 18

19 Zadanie: W 1991 roku dwaj robotnicy otrzymali za pracę zł. Pierwszy pracował 15 dni, a drugi 14 dni. Ile złotych dziennie zarabiał każdy z nich, jeśli wiadomo, że pierwszy robotnik za 4 dni otrzymał o zł więcej niż drugi za 3 dni? Oznaczenia: dniówka robotnika pierwszego dniówka robotnika drugiego Analiza treści zadania: 15 tyle zarobił pierwszy robotnik przez 15 dni 14 tyle zarobił drugi robotnik przez 14 dni = tyle zarobili obaj robotnicy razem 4 = na podstawie ostatniego zdania w treści zadania Założenia: > 0 > 0 Rozwiązanie: = = = / = / = = = /: 101 = = = = = 3 /: = Taki układ równań układasz na podstawie treści zadania. W równaniu drugim przenosisz wyrażenie 3d na lewą stronę równania ze zmienionym znakiem na przeciwny. Równanie pierwsze przepisujesz bo nic z nim nie robisz. Zauważasz, że przy niewiadomych masz przeciwne znaki, więc wygodnie będzie obie strony równania pierwszego pomnożyć przez 3 a drugiego przez 14, by po dodaniu tych równań stronami zniknęła niewiadoma. Dodajesz równania stronami (kolumnami). Sprawdzasz czy otrzymany wynik jest zgodny z poczynionym na początku założeniem. Jeśli tak, to obliczasz niewiadomą. Jeśli nie to szukasz błędu w obliczeniach. Niewiadomą wyliczasz np. z pierwszego równania głównego układu równań pisząc zamiast literki wyliczoną przed chwilą liczbę tj Odp. Pierwszy robotnik zarabiał dziennie zł a drugi zł. W dawnych czasach czas odmierzano za pomocą klepsydry. Na turnieju rycerskim jedna walka trwała 10 minut. Czas tej walki można było odmierzyć obracając małą klepsydrę 8 razy, a następnie dużą 4 razy lub małą 14 razy, a dużą 2 razy. Jaki czas odmierzały te klepsydry? [Podpowiedź. Zmiennymi m i d oznacz czas jednego obrotu odpowiednio klepsydry małej i dużej. Odp. m = 30 s, d = 90 s.] Do zbiornika prowadzą dwie rury. Jeśli pierwszą z nich woda będzie wpuszczana przez 6 minut a drugą przez 10 minut, to do basenu napłynie 228 litrów wody. Jeśli zaś pierwsza rura będzie otwarta przez 10 minut, a druga przez 6 minut, to do zbiornika napłyną 252 litry wody. Ile litrów wody wpływa do tego zbiornika każdą z tych rur? [Podpowiedź. Przez p i d oznacz ilość wody wpływającej odpowiednio przez rurę pierwszą i drugą w ciągu jednej minuty. Odp. p = 18 l, d = 12 l.] Do zbiornika prowadzą dwie rury. Jeśli pierwszą z nich woda będzie wpuszczana przez 12 minut a drugą przez 7 minut, to do basenu napłyną 332 litry wody. Jeśli zaś pierwsza rura będzie otwarta 2 razy krócej, a druga 2 razy dłużej, to do zbiornika wpłyną 376 litry wody. Ile litrów wody wpływa do tego zbior- Wersja z dnia: Układy równań strona 19

20 nika każdą z tych rur? [Podpowiedź. Przez p i d oznacz ilość wody wpływającej odpowiednio przez rurę pierwszą i drugą w ciągu jednej minuty. Odp. p = 16 l, d = 20 l.] Do basenu prowadzą dwie rury. Jeśli pierwszą z nich woda będzie wpuszczana przez 10 godzin a drugą przez 7 godzin, to do basenu napłynie 20,88 m 3 wody. Jeśli zaś pierwsza rura będzie otwarta przez 7 godzin, a druga przez 10 godzin, to do basenu napłynie 21,96 m 3 wody. Ile litrów wody wpływa do tego basenu każdą z tych rur w ciągu minuty? [Podpowiedź. 1 m 3 = 1000 litrów. Godzina ma 60 minut, czyli by zamienić godziny na minuty, trzeba liczbę godzin pomnożyć przez 60. Odp. p = 18 l, d = 24 l.] Do zbiornika prowadzą dwie rury. Pierwszą z nich można wlewać 16 litrów wody w ciągu minuty, a drugą 20 litrów w ciągu minuty. Ile czasu potrzeba by przy otwartych obu tych rurach wlać do tego zbiornika 216 litrów wody? [Podpowiedź. Szukany czas wyrażony w minutach oznacz przez. Odp. 6 minut.] Jaś napisał na kartce ułamek zwykły i zauważył, że jeśli zwiększy o 1 jego licznik i mianownik, to powstanie ułamek. Jeśli zaś od licznika i mianownika odejmie liczbę 2, to powstanie ułamek. Jaki uła- mek napisał Jaś? [Odp. ] Iga napisała na kartce ułamek zwykły i zauważyła, że jeśli zwiększy o 2 jego licznik, a mianownik zmniejszy o 2, to powstanie ułamek mający tę samą liczbę w liczniku i mianowniku. Jeśli zaś licznik zmniejszy o 2, a mianownik zwiększy o 3, to powstanie jej ułamek. Jaki ułamek napisała Iga? [Odp. ] Krzyś napisała na kartce ułamek zwykły i zauważył, że jeśli jego licznik zwiększy 2 razy, a mianownik zwiększy o 1, to powstanie mu liczba 1. Jeśli zaś licznik zmniejszy 3 razy, a mianownik zmniejszy o 1, to powstanie mu ułamek. Jaki ułamek napisał Krzyś? [Odp. ] Matylda napisała na kartce ułamek zwykły właściwy i zauważyła, że jeśli jego licznik zwiększy 40 razy, a mianownik pozostawi bez zmian, to licznik będzie 15 razy większy od mianownika. Dodatkowo zauważyła, że różnica między mianownikiem a licznikiem napisanego ułamka wynosi 5. Jaki ułamek napisała Matylda? [Odp. ] Wersja z dnia: Układy równań strona 20

21 Zadanie: Miara jednego z kątów trójkąta ABC wynosi 80 i jest ona równa różnicy dwóch pozostałych kątów. Jakie miary mają kąty tego trójkąta? Oznaczenia: miara pierwszego kąta (można też zastosować oznaczenie: α) miara drugiego kąta (można też zastosować oznaczenie: β) Analiza treści zadania: Założenia: > 0 > = 180 wynika to z faktu, że suma kątów w każdym trójkącie wynosi 180 = 80 tyle wynosi różnica między dwoma pozostałymi kątami na podstawie treści zadania Rozwiązanie: = 180 = 80 + = = = 100 = 80 2 = 180 /: 2 = = = 10 = Taki układ równań układasz na podstawie treści zadania. W równaniu pierwszym przenosisz 80 na stronę prawą ze zmienionym znakiem. Równanie drugie przepisujesz bo nic z nim nie robisz. Zauważasz, że przy niewiadomych masz przeciwne znaki, więc wygodnie będzie zastosować metodę przeciwnych współczynników. Obliczasz to co jest po stronie prawej pierwszego równania. Drugie równanie przepisujesz bo z nim nic nie robisz. Dodajesz równania stronami (kolumnami). Sprawdzasz czy otrzymany wynik jest zgodny z poczynionym na początku założeniem. Jeśli tak, to obliczasz niewiadomą. Jeśli nie to szukasz błędu w obliczeniach. Wyliczoną przed chwilą liczbę 90 wstawiasz do równania np. drugiego w wyjściowym układzie równań. Dzięki temu dostajesz nowe równanie z niewiadomą d. Zauważasz, że wygodne będzie przeniesienie tej niewiadomej na stronę prawą równania i jednoczesne przeniesienie liczby 80 ze strony prawej na stronę lewą tegoż równania. Ponieważ w treści zadania było zadane pytanie, więc trzeba jeszcze napisać odpowiedź. Zauważ jednak, że pytanie dotyczy miar wszystkich kątów, a nie tylko tych dwóch które były wyliczane. Odp. Kąty tego trójkąta mają miary: 10, 80, 90. Jeden z kątów trójkąta ma miarę 15 a różnica dwóch pozostałych wynosi 45. Jakie miary mają kąty tego trójkąta? [Podpowiedź. Suma kątów w każdym trójkącie wynosi 180. Odp.: 15, 60, 105.] Zadanie: Dowódca wojska ustawił żołnierzy w szeregach jeden za drugim. Gdyby zmniejszył liczbę szeregów o 5 i w każdym szeregu zmniejszyłby liczbę żołnierzy o 4, to liczba żołnierzy zmniejszyłaby się o 62. Gdyby zaś zwiększył liczbę szeregów o 2 i liczbę żołnierzy w każdym szeregu o 3, to wszystkich żołnierzy byłoby o 50 więcej niż jest teraz. W ilu szeregach stali żołnierze? Ilu żołnierzy było w każdym z szeregów? Oznaczenia: s liczba szeregów; z liczba żołnierzy w jednym szeregu; w liczba wszystkich żołnierzy; Założenie: N Założenie: N Założenie: N Oznaczenie: N oznacza zbiór liczb naturalnych dodatnich, czyli liczby: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, }. Używając takiego zapisu w założeniach zapewniasz sobie, że liczba szeregów oraz liczba żołnierzy nie może wyrażać się ułamkiem. Wersja z dnia: Układy równań strona 21