Odejmowanie ułamków i liczb mieszanych o różnych mianownikach

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Odejmowanie ułamków i liczb mieszanych o różnych mianownikach"

Transkrypt

1 Przedmowa Odejmowanie ułamków i liczb mieszanych o różnych mianownikach To opracowanie jest napisane z myślą o uczniach klas 4 szkół podstawowych którzy po raz pierwszy spotykają się z odejmowaniem ułamków o różnych mianownikach. Osoby które wiedzą już co to są liczby ujemne i potrafią wykonywać podstawowe działania na nich, znajdą tu dodatkowo odejmowanie liczb mieszanych z uwzględnieniem liczb ujemnych. Opracowanie to pisałem tak, by dosłownie każdy mógł zrozumieć tę część matematyki. Spis tematów 1. Jak odejmować ułamki zwykłe o różnych mianownikach?... 2 Jedna z liczb pod kreską ułamkową wymaga pomnożenia Obie liczby pod kreską ułamkową wymagają pomnożenia Jednoczesne odejmowanie kilku ułamków Jak odejmować liczby mieszane?... 6 Ułamek pierwszej liczby mieszanej jest większy od ułamka drugiej liczby mieszanej Pierwsza liczba nie zawiera ułamka (jest liczbą naturalną). Rozmienianie całości Ułamek pierwszej liczby mieszanej jest mniejszy od ułamka drugiej liczby mieszanej Odejmowanie liczb mieszanych z uwzględnieniem liczb ujemnych Przydatne linki Wersja z dnia Strona 1

2 Temat: Jak odejmować ułamki zwykłe o różnych mianownikach? a) Jedna z liczb pod kreską ułamkową wymaga pomnożenia Przypuśćmy, że masz wykonać działanie:. Patrzysz na liczby znajdujące się w mianownikach obu ułamków, czyli na liczby pod kreskami ułamkowymi i zastanawiasz się, przez ile trzeba pomnożyć mniejszą z nich (w tym przypadku liczbę 4) by otrzymać większą z nich (by otrzymać liczbę 8). W oparciu o tabliczkę mnożenia wiesz, że liczbę 4 musisz pomnożyć przez Mnożysz więc licznik pierwszego ułamka przez 2 i mianownik również przez Przepisujesz znak odejmowania który był między ułamkami. 3. Przepisujesz drugi ułamek, bo z nim nic nie było robione. Masz więc: = = ł ą ć = 5 8 Odejmowanie ułamków można wykonywać tylko wtedy, gdy są te same liczby pod kreskami ułamkowymi np.:. Jeśli pod kreskami ułamkowymi nie ma tych samych liczb np.:, to ułamki te trzeba tak przekształcić by pojawiły się te same liczby pod kreskami ułamkowymi: = =. Łatwe, prawda? Prześledź inne już rozwiązane przykłady. = = = Licznik i mianownik pierwszego ułamka został pomnożony przez 5. Zostało to zrobione po to, by w obu ułamkach była taka sama liczba pod kreską ułamkową (w tym przypadku 15). = = = Licznik i mianownik drugiego ułamka został pomnożony przez 3. Ponieważ otrzymany wynik jest ułamkiem skracalnym (liczbę 2 można podzielić przez 2 i liczbę 6 również można podzielić przez 2), więc powinien zostać jeszcze dopisany znak równości, a za nim ułamek nieskracalny. Cały przykład powinien więc wyglądać tak: = = = 2 6 = 1 3 Teraz spróbuj coś policzyć bez mojej pomocy. Napiszę Ci tylko odpowiedzi jakie powinny wyjść. Na razie nie wymagam zapisywania otrzymanego wyniku w postaci ułamka nieskracalnego. a) = b) = c) = d) [Odp. a) b) c) d) e).] = e) = No i jak? Wyszło Ci tyle co w odpowiedziach? Jeśli nie, to poszukaj błędów. Może licznik w jednym z ułamków nie został pomnożony przez tę samą liczbę co mianownik, a może jest gdzieś błąd w zakresie tabliczki mnożenia. Odpowiedzi są na pewno poprawne. Jeśli zaś masz wszystkie wyniki zgodne z odpowiedziami, to teraz zapisz je w postaci ułamków nieskracalnych. Pamiętaj, że niektóre już są ułamkami nieskracalnymi i nic z nimi nie zrobisz. Zajmij się tylko tymi, które dadzą się jeszcze skrócić. [Odp. Ułamki skracalne wyszły tylko w podpunktach: c) = (liczbę 12 podzieliłem przez 4 i liczbę 20 również przez 4), e) = (liczbę 3 podzieliłem przez 3 i liczbę 30 też przez 3).] Wersja z dnia Strona 2

3 Ćwiczenie: Wykonaj wskazane działanie i otrzymany wynik zapisz w postaci ułamka nieskracalnego = = = = = = = = [Odp. a) b) c) d) e) f) 0 g) h).] Pamiętaj! W niektórych przykładach obliczenia można było sobie ułatwić zauważając, że jeden z dwóch danych ułamków jest skracalny. a) Licznik drugiego ułamka tj. liczbę 3 można było podzielić przez 3 i mianownik tj. liczbę 15 również można było podzielić przez 3. Zamiast ułamka pojawiłby się ułamek i oba ułamki miałyby już te same (wspólne) mianowniki. Nie byłoby konieczności mnożenia jednego z nich, a potem skracania otrzymanego wyniku. b) Licznik drugiego ułamka tj. liczbę 7 można było podzielić przez 7 i mianownik tj. liczbę 21 również można było podzielić przez 7. Zamiast ułamka pojawiłby się ułamek i oba ułamki miałyby już te same (wspólne) mianowniki. Nie byłoby konieczności mnożenia jednego z nich, a potem skracania otrzymanego wyniku. d) Licznik pierwszego ułamka tj. liczbę 6 można było podzielić przez 2 i mianownik tj. liczbę 8 również można było podzielić przez 2. Zamiast ułamka pojawiłby się ułamek i drugi z ułamków wystarczyłoby rozszerzyć przez 2 a nie przez 4 (wyszłyby mniejsze liczby). [Sformułowanie rozszerzyć ułamek przez 2 oznacza, że jego licznik trzeba pomnożyć przez 2 i mianownik także przez 2.] f) Licznik pierwszego ułamka tj. liczbę 5 można było podzielić przez 5 i mianownik tj. liczbę 20 również można było podzielić przez 5. Zamiast ułamka pojawiłby się ułamek. Wówczas bez obliczeń byłoby widać, że wynikiem będzie 0. Zapis również jest poprawny, ale nie wygląda ładnie z punktu widzenia matematyki. h) Licznik pierwszego ułamka tj. liczbę 12 można było podzielić przez 2 i mianownik tj. liczbę 16 również można było podzielić przez 2. Zamiast ułamka pojawiłby się ułamek. W wyniku końcowym nie powinien występować ułamek skracalny. b) Obie liczby pod kreską ułamkową wymagają pomnożenia No dobra. Już coś umiesz. Wiesz, że by móc odjąć 2 ułamki zwykłe musisz w nich obu mieć ten sam mianownik (tę samą liczbę pod kreską ułamkową). Wiedz jednak, że czasami pomnożenie licznika i mianownika jednego ułamka nie wystarczy by otrzymać 2 ułamki o tych samych mianownikach. Zobacz. Jeśli będziesz mieć np. do obliczenia takie działanie: to nie znajdziesz takiej liczby która pomnożona przez 8 da 12. W takim przypadku musisz w oparciu o tabliczkę mnożenia zastanowić się, przez ile trzeba pomnożyć liczbę 8, a przez ile liczbę 12 by dostać tę samą liczbę? Zauważasz więc, że mnożąc liczbę 8 przez 3 oraz liczbę 12 przez 2 dostaniesz w obu przypadkach liczbę 24. Masz więc: Zapamiętaj = = = Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika (powyżej jest nim liczba 24) polega na tym, by we wszystkich ułamkach otrzymać te same liczby pod kreską ułamkową. Prześledź teraz te działania: = = = = = = Tu trzeba było się zastanowić przez ile trzeba pomnożyć liczbę 6 (jest ona pod kreską pierwszego ułamka), a przez ile liczbę 9 (jest ona pod kreską drugiego ułamka), by dostać tę samą liczbę. Zalecane jest tu jeszcze skrócenie otrzymanego wyniku przez 5 tj. podzielenie liczby 15 przez 5 i dodatkowo liczby 80 także przez 5. Wyjdzie wówczas, że =. Wersja z dnia Strona 3

4 i na ich podstawie spróbuj samodzielnie obliczyć: a) = b) = c) = d) = e) = [Odp. a) b) c) d) e). Wynik z podpunktu e) można jeszcze skrócić przez 24. Wyjdzie wówczas, że =.] No dobra. Umiesz już co raz więcej. Zerknij teraz na odpowiedź w podpunkcie b). Spójrz się na mianownik. Zobacz, że jest on równy 6 i że można go było wyliczyć mnożąc mianowniki obu ułamków z tego podpunktu. No i co w tym dziwnego? Przecież tak miało być. No teraz se spójrz na wynik z podpunktu c). W mianowniku wyszła liczba 20 i tak samo jak w podpunkcie b) można ją było obliczyć mnożąc mianowniki obu ułamków. Stawiam więc pytanie, czy wspólny mianownik można zawsze znaleźć mnożąc liczby z mianowników danych ułamków? Okazuje się że tak. Można zawsze tak robić, ale na ogół nie jest to wygodne i nie polecam tego robić. Oto dlaczego. Przypuśćmy że masz działanie: i w myślach nie możesz znaleźć wspólnego mianow- nika. Mnożysz więc oba te mianowniki, czyli liczbę 24 przez 32 otrzymując liczbę 768. Wnioskujesz więc, że: mianownik pierwszego ułamka został pomnożony przez 32, więc i jego licznik też mnożysz przez 32 mianownik drugiego ułamka został pomnożony przez 24, więc i licznik drugiego ułamka mnożysz przez 24. Masz więc: = = = = = 1 96 Wynik jest O.K. ale przyznasz, że przykład trudno się liczył i ciężko było określić przez ile można maksymalnie skrócić ułamek. Przyznasz, że takie obliczanie ułamków zniechęca on do dalszej pracy, prawda? Zobacz co jednak by się stało gdyby zauważyć, że licznik i mianownik pierwszego ułamka wystarczy pomnożyć przez 4, a licznik i mianownik drugiego ułamka przez 3. Wówczas obliczenia byłyby tylko takie: = = 1 96 czyli krótsze (oszczędność czasu) i na mniejszych liczbach (mniejsze prawdopodobieństwo błędu). Pewnie się teraz zastanawiasz, skąd wiedziałem lub jak obliczyłem, że pierwszy ułamek można było rozszerzyć przez 4, a drugi przez 3. Nie zgadywałem tego. Po prostu: spojrzałem na oba mianowniki i zobaczyłem że każdy z nich dzieli się przez 8 i że większej liczby nie ma podzieliłem w myślach każdy z nich przez 8 dostając odpowiednio liczby 3 i 4 mniejszy mianownik pomnożyłem przez większą z obliczonych liczb, czyli przez 4 większy mianownik pomnożyłem przez mniejszą z obliczonych liczb, czyli przez 3. Ot cała filozofia. Zadanie: Oblicz znajdując najmniejszy wspólny mianownik. Rozwiązanie W oparciu o tabliczkę mnożenia wiem, że liczby z obu mianowników tj. 72 i 56 dzielą się przez 8. Dzielę więc liczbę 72 przez 8 otrzymując liczbę 9, a następnie liczbę 56 także przez 8 otrzymując liczbę 7. Teraz większy z mianowników czyli liczbę 72 mnożę przez mniejszą z otrzymanych liczb (przez 7), a mniejszy z mianowników przez liczbę 9. Mam więc: = = = = = 1 36 Wersja z dnia Strona 4

5 Teraz Ty tak spróbuj. Ćwiczenie: Znajdując najmniejszy wspólny mianownik dla podanych ułamków, oblicz: = = = [Odp. a) b) c).] A co z odejmowaniem ułamków o dużych mianownikach, np.:? W oparciu o tabliczkę mnożenia nie widać nawet czy istnieje jakaś liczba, przez którą można by podzielić zarówno jak i a co dopiero mówić o jakichś tam obliczeniach. Czy więc jedynym wyjściem jest pomnożenie tych mianowników i babranie się w jeszcze większych liczbach? Otóż nie. Można sprawdzić czyli liczby i podzielą się przez jakąś liczbę rozkładając każdą z nich na iloczyn liczb pierwszych lub wykonując algorytym Euklidesa dla obu tych liczb jednocześnie (omówiony on jest w osobnym opracowaniu). Co to jest liczba pierwsza, dowiesz się z innego opracowania. Podsumowanie 1. Aby odjąć dwa ułamki zwykłe trzeba sprawić by pod ich kreskami ułamkowymi były te same liczby. 2. Mając już te same liczby w mianownikach (pod kreskami ułamkowymi) wystarczy od licznika pierwszego ułamka odjąć licznik drugiego ułamka, a mianownik przepisać. 3. Jeśli wynik końcowy wyjdzie ułamkiem skracalnym, to dodatkowo należy go skrócić przez największą możliwą liczbę. Innymi słowy trzeba go zapisać w postaci ułamka nieskracalnego. 4. Jeśli wynik końcowy będzie ułamkiem niewłaściwym (liczba nad kreską ułamkową większa od liczby pod kreską ułamkową), to dodatkowo należy ten ułamek zamienić na liczbę mieszaną, czyli wyciągnąć z niego całości. c) Jednoczesne odejmowanie kilku ułamków Przypuśćmy, że masz do obliczenia takie działanie: = Patrzysz na liczby jakie są pod kreskami ułamkowymi: 8, 4, 6 i zastanawiasz się przez ile trzeba pomnożyć liczbę 8, przez ile liczbę 4, a przez ile liczbę 12 by dostać tę samą liczbę tzw. wspólny mianownik. Jeśli dobrze znasz tabliczkę mnożenia to bez problemu zauważysz, że poszukiwanym wspólnym mianownikiem jest liczba 24. Zatem: pierwszy ułamek rozszerzasz przez 3 (licznik mnożysz przez 3 i mianownik również przez 3) drugi z ułamków rozszerzasz przez 6 (licznik mnożysz przez 6 i mianownik również przez 6) trzeci z ułamków rozszerzasz przez 2 (licznik mnożysz przez 2 i mianownik również przez 2) Masz więc: = = 1 24 Pewnie się zastanawiasz co by było, gdyby nad kreską ułamkową ostatniego ułamka była na przykład liczba 4. Otóż w takim przypadku wynik końcowy byłby mniejszy od 0, ale to już nie jest zakres klasy 4. Podsumowanie Aby wykonać jednoczesne odejmowanie kilku ułamków, trzeba znaleźć wspólny mianownik dla wszystkich danych ułamków. Wersja z dnia Strona 5

6 Temat: Jak odejmować liczby mieszane? a) Ułamek pierwszej liczby mieszanej jest większy od ułamka drugiej liczby mieszanej Odejmowanie liczb mieszanych jest bardzo podobne do ich dodawania. Mianowicie najpierw odejmuje się całości drugiej liczby od całości liczby pierwszej, a potem ułamki zwykłe które przy nich stoją. Przykłady: 6 2 = = 13 Od dużej liczby 6 została odjęta duża liczba 2. Potem zostało wykonane odejmowanie ułamków. Od dużej liczby 18 została odjęta duża liczba 5. Potem zostało wykonane odejmowanie ułamków. 8 = 8 = 8 ł ż óć Jeśli przy drugiej liczbie nie jest napisana duża liczba, to wyobraź sobie, że jest tam duże czerwone 0 i postępuj jak wyżej. Innymi słowy w myślach miej, że Twój przykład wygląda tak: 8 0 = Przypominam, że sformułowanie skrócić ułamek oznacza, że liczbę która jest nad i pod kreską ułamkową trzeba podzielić przez tę samą liczbę (większą od 1). 4 1 = 4 1 łó ó = 3 ł óć = 3 Jeśli ułamki mają różne mianowniki (liczby pod kreską ułamkową), to najpierw trzeba je doprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika, a dopiero potem wykonać odejmowanie jak wyżej. W tym przykładzie licznik i mianownik drugiego ułamka został pomnożony przez 2. Zostało to zrobione po to, by otrzymać 2 ułamki o mianowniku 10. Dopuszczalne jest także podzielenie licznika i mianownika danego ułamka przez tę samą liczbę (większą od 1). Przypominam, że sformułowanie rozszerzyć ułamek oznacza, że liczbę która jest nad i pod kreską ułamkową trzeba pomnożyć przez tę samą liczbę (większą od 1) = 10 7 ó ł ć ł = 17 = 17 Tu także są dwa ułamki o różnych mianownikach, ale tym razem nie ma przymusu rozszerzania jednego z nich. Wystarczy wykonać skrócenie pierwszego ułamka przez 2. Zauważ, że przy odejmowaniu tych liczb mieszanych powstał ułamek mający w liczniku 0. Ponieważ kreska ułamkowa zastępuje dzielenie, więc wynikiem działania 0 : 4 jest 0. Oznacza to, że liczbę mieszaną 17 należy traktować jako równoważny zapis liczby 17. Pamiętaj, że chcąc odjąć dwa ułamki muszą one mieć ten sam mianownik (tę samą liczbę pod kreską ułamkową), ale nie ma przymusu stosowania rozszerzania ułamków. Dopuszczalne jest także skracanie, a nawet rozszerzenie jednego ułamka i skracanie drugiego. Ćwiczenie: Wykonaj podane działania. Oblicz: Podpowiedź: Odp = Od dużej czerwonej liczby odejmij drugą dużą czerwoną liczbę. Potem odejmij ułamki. Masz już te same mianowniki, więc zajmij się tylko ich licznikami, a mianownik przepisz. 9 1 = W obu mianownikach masz już liczbę 11, więc postępuj jak wyżej. 8 4 = Wyobraź sobie, że przed drugim ułamkiem stoi duże czerwone zero. 4 1 = Wyobraź sobie, że przed drugim ułamkiem stoi duże czerwone zero = Rozszerz drugi ułamek przez 2, czyli pomnóż jego licznik przez 2 i mianownik także przez 2. Pamiętaj, że przy odejmowaniu ułamków obie liczby pod kreską muszą być takie same (czyli równe) = Skróć pierwszy ułamek przez 3, czyli podziel jego licznik przez 3 i mianownik także przez 3. Zamiast skracać pierwszy ułamek, możesz rozszerzyć drugi ułamek przez 3, a potem otrzymany wynik z odejmowania tych liczb mieszanych skrócić przez = Skróć pierwszy ułamek przez 4, a drugi przez 5. Pamiętaj też, że kreska ułamkowa zastępuje dzielenie, oraz to, że dzieląc liczbę 0 przez liczbę różną od 0, zawsze dostaniesz 0. Zamiast skracać te ułamki, możesz zastosować rozszerzanie pierwszego z nich przez 5, a drugiego przez = Pamiętaj, że jeśli z odjęcia dużych czerwonych liczb wychodzi 0, to tego zera się nie pisze. Pamiętaj również, że jeśli w liczniku i w mianowniku wyjdzie liczba parzysta, to dany ułamek można jeszcze skrócić co najmniej przez = Skróć pierwszy ułamek przez 3 (nie przez 6), bo wtedy dostaniesz 2 ułamki o tych samych mianownikach = Najpierw doprowadź oba ułamki do mianownika 70, bo to najmniejszy ich wspólny mianownik. Doprowadzenie tych ułamków do mianownika 140 również byłoby poprawne, ale potem wynik końcowy trzeba byłoby jeszcze skracać przez = Najpierw doprowadź oba ułamki do mianownika = Najmniejszy wspólny mianownik dla liczb 15 i 10 to 30. Poprawne będą również mianowniki: 60, 90, 120, 150, 180, 10 = Jeśli nie wiesz jak znaleźć najmniejszy wspólny mianownik dla liczb 8 i 18, to pomnóż te liczby przez siebie. Nie zapomnij o tym, że wynik końcowy powinien być zawsze zapisany w postaci ułamka nieskracalnego Wersja z dnia Strona 6

7 b) Pierwsza liczba nie zawiera ułamka (jest liczbą naturalną). Rozmienianie całości. Nim zacznę omawiać następne przypadki jakie mogą się zdarzyć przy odejmowaniu liczb mieszanych, wcześniej pokrótce omówię rozmienianie jednej całości w liczbach mieszanych. Na początek przypomnę, że w matematyce poprzez słowo całość rozumie się pojedynczą rzecz np. jedną figurę geometryczną. Mając więc 7 identycznych figur geometrycznych, możesz powiedzieć, że masz 7 całości. Sformułowanie rozmienić całość oznacza, że jedną z tych figur co masz, musisz podzielić na mniejsze identyczne części. Spójrz teraz na poniższy rysunek: Widzisz, że przedstawia on 4 w pełni zamalowane kwadraty, czyli 4 całości. Gdy jeden z tych kwadratów (np. ostatni) podzielisz przypuśćmy na 6 równych części, to pozostaną Ci 3 całości i następnej całości. Ponieważ obszar zamalowany się nie zmienił, więc wnioskujesz, że 4 to ty- le samo co 3. Matematycznie zapisuje się to tak: 4 = 3 Aby lepiej to zrozumieć, wyobraź sobie, że masz 5 zł i idziesz do sklepu by rozmienić je na 2 monety po 2 zł i 100 monet po 1 groszu. Gdy to zrobisz i ktoś Cię zapyta ile masz pieniędzy powiesz mu, że 4 zł i 100 groszy czyli 4 zł i zł, prawda? A przecież wartość tych pieniędzy jest nadal taka sama i wynosi 5 zł. Zatem: 5 zł = 4 zł Rozmieniając więc całość, pomniejszasz daną liczbę (powyżej było to 5 zł) o 1 i do tej pomniejszonej liczby dopisujesz ułamek mający w liczniku i mianowniku tę samą liczbę. Zobacz przykłady: 4 = 3 7 = 6 1 = 9 = 8 9 = 8 2 = 1 2 = 1 6 = 5 8 = 7 4 = 3 Ćwiczenie: Rozmień jedną całość w każdej podanej liczbie: 8, 10, 11, 53, 46, 97 na ułamek o mianowniku 5. [Odp. a) 7, b) 9, c) 10, d) 52, e) 45, f) 96.] Ćwiczenie: Rozmień jedną całość w każdej podanej liczbie: 28, 37, 54 na ułamek o mianowniku innym niż 5. [Przykładowe odpowiedzi: a) 27, b) 36, c) 53. Nie można używać tylko ułamka o mianowniku 0. Ułamek o mianowniku 1 niby może być, ale się go nie stosuje w matematyce.] No dobra. To teraz się wracamy do odejmowania liczb mieszanych. Rozpatrzmy taki przypadek: = Widzisz, że pierwsza liczba nie ma ułamka, więc pomniejszasz ją o 1 (zabierasz 1 całość) i tę zabraną całość, zamieniasz na ułamek o takim samym mianowniku jak ten napisany za znakiem odejmowania. Innymi słowy robisz tak: = = 4 Dlaczego zabrana całość została zamieniona na ułamek a nie na jakiś inny? Bo drugi ułamek (ten za znakiem minus) miał w mianowniku (pod kreską ułamkową) liczbę 8. Chodzi o to, by mieć 2 ułamki mające pod kreską tę samą liczbę. Zobacz inne przykłady: Wersja z dnia Strona 7

8 = = = = = 59 3 = = 24 4 = 20 Niebieska liczba jest zawsze o 1 mniejsza od liczby czerwonej. Zabrana całość z liczby czerwonej jest zastąpiona ułamkiem bo drugi ułamek miał pod kreską ułamkową liczbę 19. Pamiętaj także, że jeśli przed drugim ułamkiem nie ma napisanych całości (nie ma napisanej dużej liczby), to w myślach wyobraź sobie, że jest tam napisane duże zero. Zatem: = Niebieska liczba jest zawsze o 1 mniejsza od liczby czerwonej. Zabrana całość z liczby czerwonej jest zastąpiona ułamkiem bo drugi ułamek miał pod kreską ułamkową liczbę 32. Pamiętaj, że jeśli przed drugim ułamkiem nie ma napisanych całości (nie ma napisanej dużej liczby), to w myślach wyobraź sobie, że jest tam napisane duże zero. Niebieska liczba jest zawsze o 1 mniejsza od liczby czerwonej. Zabrana całość z liczby czerwonej jest zastąpiona ułamkiem bo drugi ułamek miał pod kreską ułamkową liczbę 18. Niebieska liczba jest zawsze o 1 mniejsza od liczby czerwonej. Zabrana całość z liczby czerwonej jest zastąpiona ułamkiem bo drugi ułamek miał pod kreską ułamkową liczbę 8. Druga liczba jest przepisana, bo nic z nią nie było robione. Ćwiczenie: Oblicz: 12 = 37 = 5 3 = 5 4 = = = 8 1 = 10 = [Odp. a) 11 b) 36 c) 1 d) e) 11 f) 49 g) 6 h) 9.] c) Ułamek pierwszej liczby mieszanej jest mniejszy od ułamka drugiej liczby mieszanej Zbliżamy się powoli do końca. Został już tylko jeden typ odejmowania liczb mieszanych. Jest to coś podobnego do tego wyżej (trzeba będzie rozmienić jedną całość w pierwszej liczbie), ale dodatkowo ta pierwsza liczba będzie miała jeszcze ułamek mniejszy od ułamka drugiej liczby. Zobacz przykład: 25 4 = 24 4 = 24 = 24 Nim zaczniesz coś liczyć, najpierw spójrz na poniższy rysunek: że: Zobacz, że przedstawia on 4 w pełni zamalowane kwadraty i jeszcze kwadratu następnego. Gdy jeden z kwadratów który jest cały zamalowany podzielisz na tyle samo części co ostatni kwadrat, to zostaną Ci 3 kwadraty w pełni zamalowane i jeszcze 11 paseczków pionowych. A przecież zamalowana powierzchnia się nie zmieniła, prawda? Zatem matematycznie możesz napisać, 4 = 3 Teraz zauważ, że żółta liczba 11 jest wynikiem dodania do siebie filoletowej liczby 5 i zielonej liczby 6, a duża niebieska 3-jka, jest liczbą o jednej mniejszą od dużej czerwonej 4-ki. Mianowniki się nie zmieniły. Wnioskujesz więc, że nie trzeba za każdym razem wykonywać rysunku, by móc rozmienić jedną całość w danej liczbie mieszanej. Zobacz rozmienianie całości w innych liczbach mieszanych: 8 = 7 3 = 2 1 = 16 = = 99 4 = 3 4 = 3 13 = 12 Ćwiczenie: Rozmień jedną całość w podanych liczbach mieszanych. 6 = 2 = 81 = 32 = [Odp. a) 5 b) 1 c) 80 d) 31 e) 42 f) 4 g) 3 h).] 43 = 5 = 4 = 1 = Wersja z dnia Strona 8

9 Wcześniej w tym opracowaniu wykonywane były np. takie działania: 4 1 = 4 1 łó ó = 3 ł óć Z odejmowaniem nie było problemów, bo ułamek drugi bez problemów się odejmował od ułamka pierwszego. Zobacz jednak co by się stało, gdyby trzeba było obliczyć taki przykład: 4 1 (zmieniła się tylko jedna cyferka w stosunku do tego co jest wyżej napisane). Wówczas było by: 4 1 = 4 1 =? Duże czerwone liczby dałyby się odjąć, ale czy od ułamka moglibyśmy odjąć ułamek? Zmieniać kolejności tych ułamków nie wolno. Nie można też pisać, że z odejmowania tych ułamków wyjdzie bo odejmowanie nie jest przemienne. W takiej sytuacji tj. gdy ułamek przy pierwszej liczbie mieszanej jest mniejszy od ułamka przy drugiej liczbie mieszanej, trzeba w pierwszej liczbie mieszanej rozmienić jedną całość, tak jak to było robione w powyższym ćwiczeniu. Obliczenia więc powinny być takie: 4 1 = 3 ł łść 1 ż ż ą ć Prześledź inne rozwiązane przykłady wraz z opisem do nich. = 3 = = 5 2 = 3 = 3 Ponieważ ułamków które stoją przy dużych czerwonych liczbach 6 i 2 nie da się odjąć, więc w pierwszej liczbie mieszanej rozmieniono jedną całość. W otrzymanym wyniku dodatkowo skrócono ułamek przez 2 (jego licznik podzielno przez 2 i mianownik także przez 2) = 9 4 = 5 10 = 9 = 9 Ponieważ ułamków które stoją przy dużych czerwonych liczbach 10 i 4 nie da się odjąć, więc w pierwszej liczbie mieszanej rozmieniono jedną całość. Drugą liczbę przepisano, bo z nią nic nie było robione. Tu jest coś podobnego jak wyżej. Trzeba było tylko pamiętać, że jak przy drugim ułamku nie ma napisanej dużej liczby (całości), to w myślach trzeba wyobrazić sobie że jest tam = 4 1 ó 4 1 = 3 łść = 3 łść 1 1 = 3 1 ó = 2 Jeśli ułamki w liczbach mieszanych mają różne mianowniki, to warto je najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika. Chodzi o to, że dopiero po sprowadzeniu ułamków do wspólnego mianownika widać, czy potrzebne będzie rozmienianie całości w pierwszej liczbie mieszanej. W tym przypadku okazało się że tak, bo ułamków nie dało się odjąć. = 2 W tym przykładzie najpierw rozmieniono całość w pierwszej liczbie mieszanej, a dopiero potem sprowadzono oba ułamki do wspólnego mianownika. Ja jednak polecam najpierw sprowadzać ułamki do wspólnego mianownika, a dopiero potem oceniać, czy trzeba rozmieniać jedną całość w pierwszej liczbie. Wynik końcowy oczywiście wyjdzie ten sam. Wersja z dnia Strona 9

10 Ćwiczenie: Doprowadź ułamki w podanych liczbach mieszanych do wspólnego mianownika i oceń w którym z podpunktów trzeba będzie rozmienić jedną całość w pierwszej liczbie mieszanej. [Podpowiedź: Rozmienić całość trzeba będzie w tych podpunktach, w których pierwszy ułamek jest mniejszy od drugiego. Najpierw sprowadź ułamki do wspólnego mianownika. Nie musi to być mianownik najmniejszy. Wystarczy że będzie taki sam w obu ułamkach.] a) 8 2 = b) 7 6 = c) 16 9 = d) 5 1 = [Odp. a) Najmniejszy wspólny mianownik: 12. Trzeba rozmienić jedną całość. b) Najmniejszy wspólny mianownik: 72. Nie trzeba rozmieniać całości. c) Najmniejszy wspólny mianownik: 48. Nie trzeba rozmieniać całości w pierwszej liczbie. d) Najmniejszy wspólny mianownik: 42. Trzeba rozmienić jedną całość w pierwszej liczbie.] Ćwiczenie: Oblicz. a) 8 2 = b) 7 6 = c) 16 9 = d) 5 1 = [Odp. a) 5 b) 1 c) 7 d) 3.] d) Odejmowanie liczb mieszanych z uwzględnieniem liczb ujemnych Załóżmy, że masz do obliczenia takie działanie: 5 15 = Na pierwszy rzut oka nie różni się ono zbytnio od tego co było robione do tej pory w tym opracowaniu. Jest jednak w nim pewien haczyk, w który wpada bardzo wielu uczniów (nawet piątkowych). Haczyk o którym myślę wymienię poniżej w punkcie 3. Teraz zaś napiszę w punktach co musisz wykonać krok po kroku by dojść do wyniku końcowego w powyższym przykładzie. 1. Aby odjąć 2 liczby mieszane, musisz mieć te same liczby pod kreskami ułamkowymi (w mianownikach). By to osiągnąć rozszerzasz ułamek drugiej liczby przez 2 (liczbę 4 mnożysz przez 2 i dodatkowo liczbę 1 mnożysz przez 2). Dzięki temu z ułamka o mianowniku 4 dostajesz ułamek o mianowniku ć = 5 15 = 2. Mając już 2 ułamki o tym samym mianowniku, odejmujesz całości od całości, czyli od liczby 5 odejmujesz liczbę 15 (nie odwrotnie). Otrzymujesz w tym przypadku liczbę ć = 5 15 = Patrzysz czy po odjęciu ułamków które stoją przy liczbach: 5 i 15 dostaniesz wynik dodatni czy ujemny. Jeśli pierwszy ułamek jest większy od drugiego, to do liczby otrzymanej w punkcie powyższym (w tym przypadku do liczby 10) dopisujesz znak +, jeśli nie, to. 4. Odejmujesz dane ułamki ć = 5 15 = ć = 5 15 = = Wersja z dnia Strona 10

11 5. Wykonujesz wskazane działanie ć = 5 15 = = = = 9 Trudne, prawda? To teraz przeanalizuj sobie poniższe już rozwiązane przykłady. Może stanie się to trochę bardziej zrozumiałe ć = 8 10 ż ł ą ą = = łść ą ó = 1 5 = 1 12 ę ł ą ą ( ) Ćwiczenie: Oblicz. a) 8 12 = b) 7 16 = c) [Odp. a) 3 b) 8 c) 2 d) 8.] = d) 5 14 = ć = ż ł ą ą = = łść ą ó = ć = ę ż ł ą ą = = ć = = ę, ż ł ą ą = ć = = ż ł ą ą = 18 Wersja z dnia Strona 11

12 Temat: Przydatne linki. 1. Dodawanie ułamków i liczb mieszanych o różnych mianownikach. 2. Co to jest ułamek zwykły? 3. Działania na ułamkach zwykłych on-line. Wersja z dnia Strona 12

Dodawanie ułamków i liczb mieszanych o różnych mianownikach

Dodawanie ułamków i liczb mieszanych o różnych mianownikach Dodawanie ułamków i liczb mieszanych o różnych mianownikach Przedmowa To opracowanie jest napisane z myślą o uczniach klas 4 szkół podstawowych którzy po raz pierwszy spotykają się z dodawaniem ułamków

Bardziej szczegółowo

Zamiana ułamków na procenty oraz procentów na ułamki

Zamiana ułamków na procenty oraz procentów na ułamki Zamiana ułamków na procenty oraz procentów na ułamki Przedmowa Opracowanie to jest napisane z myślą o uczniach szkół podstawowych którzy całkowicie nie rozumieją o co chodzi w procentach. Prawie wszystko

Bardziej szczegółowo

Ułamki zwykłe. mgr Janusz Trzepizur

Ułamki zwykłe. mgr Janusz Trzepizur Ułamki zwykłe mgr Janusz Trzepizur Ułamek jako część całości W ułamku wyróżniamy licznik i mianownik. kreska ułamkowa licznik mianownik (czytamy: jedna druga) czyli połowa całości. Dwie takie połowy tworzą

Bardziej szczegółowo

Liczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1

Liczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1 Robert Malenkowski 1 Liczby rzeczywiste. 1 Liczby naturalne. N {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8...} Liczby naturalne to liczby używane powszechnie do liczenia i ustalania kolejności. Liczby naturalne można ustawić

Bardziej szczegółowo

Podstawą w systemie dwójkowym jest liczba 2 a w systemie dziesiętnym liczba 10.

Podstawą w systemie dwójkowym jest liczba 2 a w systemie dziesiętnym liczba 10. ZAMIANA LICZB MIĘDZY SYSTEMAMI DWÓJKOWYM I DZIESIĘTNYM Aby zamienić liczbę z systemu dwójkowego (binarnego) na dziesiętny (decymalny) należy najpierw przypomnieć sobie jak są tworzone liczby w ww systemach

Bardziej szczegółowo

PRZEKSZTAŁCANIE WZORÓW!

PRZEKSZTAŁCANIE WZORÓW! PRZEKSZTAŁCANIE WZORÓW! Przekształcanie wzorów sprawia na początku kłopoty. Wielu uczniów omija zadania gdzie trzeba to zrobić, albo uczy się niepotrzebnie na pamięć tych samych wzorów w innych postaciach.

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji matematyki w kl. V.

Scenariusz lekcji matematyki w kl. V. Scenariusz lekcji matematyki w kl. V. T em a t : Powtórzenie wiadomości ułamki zwykłe, dodawanie i odejmowanie ułamków. C z a s z a jęć: 1 jednostka lekcyjna (45 minut). C e l e o g ó l n e : utrwalenie

Bardziej szczegółowo

Powtórzenie podstawowych zagadnień. związanych ze sprawnością rachunkową *

Powtórzenie podstawowych zagadnień. związanych ze sprawnością rachunkową * Powtórzenie podstawowych zagadnień związanych ze sprawnością rachunkową * (Materiały dydaktyczne do laboratorium fizyki) Politechnika Koszalińska październik 2010 Spis treści 1. Zbiory liczb..................................................

Bardziej szczegółowo

Lista 1 liczby rzeczywiste.

Lista 1 liczby rzeczywiste. Lista 1 liczby rzeczywiste Zad 1 Przedstaw liczbę m w postaci W każdym ze składników tej sumy musimy wyłączyd czynnik przed znak pierwiastka Można to zrobid rozkładając liczby podpierwiastkowe na czynniki

Bardziej szczegółowo

Usuwanie niewymierności z mianownika ułamka

Usuwanie niewymierności z mianownika ułamka Usuwanie niewymierności z mianownika ułamka Przedmowa To opracowanie jest napisane z myślą o uczniach gimnazjum którzy nie wiedzą w jaki sposób oraz po co się usuwa niewymierność z mianownika ułamka Starałem

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia z ułamkami

Ćwiczenia z ułamkami Ćwiczenia z ułamkami Wstęp Ułamki występują w sytuacjach życia codziennego. Jeżeli na przykład chcemy podzielić między kilka osób tabliczkę czekolady, to każda osoba dostanie pewną jej część. Te części

Bardziej szczegółowo

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.

Bardziej szczegółowo

PRZELICZANIE JEDNOSTEK MIAR

PRZELICZANIE JEDNOSTEK MIAR PRZELICZANIE JEDNOSTEK MIAR Kompleks zajęć dotyczący przeliczania jednostek miar składa się z czterech odrębnych zajęć, które są jednak nierozerwalnie połączone ze sobą tematycznie w takiej sekwencji,

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V Na ocenę wyższą uczeń powinien opanować wiedzę i umiejętności na ocenę (oceny) niższą. Dział programowy: LICZBY NATURALNE podać przykład liczby naturalnej czytać

Bardziej szczegółowo

KONSPEKT LEKCJI MATEMARTKI DLA KLASY 5

KONSPEKT LEKCJI MATEMARTKI DLA KLASY 5 KONSPEKT LEKCJI MATEMARTKI DLA KLASY 5 KLASA 5E PROWADZĄCA: Anna Sałyga DZIAŁ PROGRAMOWY: Arytmetyka TEMAT: Dodawanie i odejmowanie liczb mieszanych. CELE: Poziom wiadomości: (kategoria A) uczeń zna algorytm

Bardziej szczegółowo

WIOLETTA NAWROCKA nauczyciel matematyki w Zespole Szkół w Choczewie IDĘ DO GIMNAZJUM ZADANIA TESTOWE Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. VI.

WIOLETTA NAWROCKA nauczyciel matematyki w Zespole Szkół w Choczewie IDĘ DO GIMNAZJUM ZADANIA TESTOWE Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. VI. WIOLETTA NAWROCKA nauczyciel matematyki w Zespole Szkół w Choczewie IDĘ DO GIMNAZJUM ZADANIA TESTOWE Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. VI. Przeczytaj uważnie pytanie. Chwilę zastanów się. Masz do wyboru cztery

Bardziej szczegółowo

Pomniejszanie liczby o zadany procent

Pomniejszanie liczby o zadany procent Pomniejszanie liczby o zadany procent Przedmowa Początek tego opracowania jest napisany z myślą o uczniach szkół podstawowych którzy całkowicie nie rozumieją o co chodzi w procentach, a pozostała część

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Repetytorium szóstoklasisty

Matematyka. Repetytorium szóstoklasisty Matematyka Repetytorium szóstoklasisty 7 do sprawdzianu Najpierw... Potem... 4 1 2 + 8 Powodzenia!!! 7 Szóstoklasisto, już wkrótce ukończysz naukę w szkole podstawowej. Zanim to jednak nastąpi, w kwietniu

Bardziej szczegółowo

POMIAR DYDAKTYCZNY Z MATEMATYKI

POMIAR DYDAKTYCZNY Z MATEMATYKI POMIAR DYDAKTYCZNY Z MATEMATYKI DZIAŁANIA NA UŁAMKACH ZWYKŁYCH KLASA VI OPRACOWAŁ NAUCZYCIEL MATEMATYKI AGNIESZKA SZCZUCHNIAK CEL OGÓLNY: Umiejętność wykonywania działań na ułamkach zwykłych CELE OPERACYJNE:

Bardziej szczegółowo

Procenty - powtórzenie

Procenty - powtórzenie Procent to umowny zapis wartości, która jest ułamkiem dziesiętnym lub ułamkiem zwykłym o mianowniku 100. 25% to inaczej: lub 0,25. 100% to inaczej : lub 1. Zamiana ułamków na procenty Aby zamienić ułamek

Bardziej szczegółowo

Kompendium wiedzy dla gimnazjalisty. Matematyka

Kompendium wiedzy dla gimnazjalisty. Matematyka Kompendium wiedzy dla gimnazjalisty Matematyka Tekst: Anna Augustyn Konsultacja merytoryczna: Katarzyna Kabzińska Ilustracje: Maciej Maćkowiak Redakcja: Elżbieta Wójcik Korekta: Natalia Kawałko Projekt

Bardziej szczegółowo

Temat: Pojęcie potęgi i wykładniczy zapis liczb. Część I Potęga o wykładniku naturalnym

Temat: Pojęcie potęgi i wykładniczy zapis liczb. Część I Potęga o wykładniku naturalnym PRZELICZANIE JEDNOSTEK MIAR Kompleks zajęć dotyczący przeliczania jednostek miar składa się z czterech odrębnych zajęć, które są jednak nierozerwalnie połączone ze sobą tematycznie w takiej sekwencji,

Bardziej szczegółowo

Do gimnazjum by dobrze zakończyć! Do liceum by dobrze zacząć! MATEMATYKA. Na dobry start do liceum. Zadania. Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

Do gimnazjum by dobrze zakończyć! Do liceum by dobrze zacząć! MATEMATYKA. Na dobry start do liceum. Zadania. Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro 6 Na dobry start do liceum 8Piotr Drozdowski 6 Do gimnazjum by dobrze zakończyć! Do liceum by dobrze zacząć! MATEMATYKA Zadania Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro Piotr Drozdowski MATEMATYKA. Na dobry

Bardziej szczegółowo

PLAN KIERUNKOWY. Liczba godzin: 180

PLAN KIERUNKOWY. Liczba godzin: 180 Klasa V Matematyka Liczba godzin: 180 PLAN KIERUNKOWY Wstępne Wykonuje działania pamięciowo i pisemnie w zbiorze liczb naturalnych Zna i stosuje reguły kolejności wykonywania działań Posługuje się ułamkami

Bardziej szczegółowo

1 Całki funkcji wymiernych

1 Całki funkcji wymiernych Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA. JEDNOSTKI DŁUGOŚCI kilometr hektometr metr decymetr centymetr milimetr mikrometr km hm m dm cm mm µm

MATEMATYKA. JEDNOSTKI DŁUGOŚCI kilometr hektometr metr decymetr centymetr milimetr mikrometr km hm m dm cm mm µm MATEMATYKA Spis treści 1 jednostki miar 2 wzory skróconego mnożenia 3 podzielność liczb 3 przedrostki 4 skala 4 liczby naturalne 5 ułamki zwykłe 9 ułamki dziesiętne 9 procenty 10 geometria i stereometria

Bardziej szczegółowo

Konspekt. do lekcji matematyki w kl. V SP dział,,ułamki zwykłe

Konspekt. do lekcji matematyki w kl. V SP dział,,ułamki zwykłe Konspekt do lekcji matematyki w kl. V SP dział,,ułamki zwykłe Temat Dzielenie ułamków zwykłych. Czas trwania godzina lekcyjna Cel ogólny - rozwijanie umiejętności w zakresie dzielenia ułamków zwykłych.

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY IV

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY IV MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY IV Nauczyciel: Jacek Zoń WYMAGANIA EDUKACYJNE NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA KLASY IV : 1. przeczyta i zapisze liczbę wielocyfrową (do tysięcy) 2. zna nazwy rzędów

Bardziej szczegółowo

Skrypt 2. Liczby wymierne dodatnie i niedodatnie. 3. Obliczanie odległości między dwiema liczbami na osi liczbowej

Skrypt 2. Liczby wymierne dodatnie i niedodatnie. 3. Obliczanie odległości między dwiema liczbami na osi liczbowej Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla gimnazjów współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 2 Liczby wymierne dodatnie i niedodatnie

Bardziej szczegółowo

WSZYSTKO CO CHCECIE WIEDZIEĆ O MATEMATYCE ALE BOICIE SIĘ SPYTAĆ

WSZYSTKO CO CHCECIE WIEDZIEĆ O MATEMATYCE ALE BOICIE SIĘ SPYTAĆ WSZYSTKO CO CHCECIE WIEDZIEĆ O MATEMATYCE ALE BOICIE SIĘ SPYTAĆ Dla wszystkich, których przerażają opasłe podręczniki szkolne do matematyki, opracowałem w przystępnej formie to co trzeba wiedzieć by rozpocząć

Bardziej szczegółowo

SZCZEGÓŁOWE KRYTERIA OCENIANIA UCZNIÓW W ZAKRESIE TREŚCI PROGRAMOWYCH Z MATEMATYKI W KLASACH IV i V ZESPOŁU SZKÓŁ W ŚWILCZY

SZCZEGÓŁOWE KRYTERIA OCENIANIA UCZNIÓW W ZAKRESIE TREŚCI PROGRAMOWYCH Z MATEMATYKI W KLASACH IV i V ZESPOŁU SZKÓŁ W ŚWILCZY SZCZEGÓŁOWE KRYTERIA OCENIANIA UCZNIÓW W ZAKRESIE TREŚCI PROGRAMOWYCH Z MATEMATYKI W KLASACH IV i V ZESPOŁU SZKÓŁ W ŚWILCZY KLASA IV Uczeń otrzymuje ocenę celującą gdy: potrafi samodzielnie wyciągać wnioski,

Bardziej szczegółowo

UŁAMKI ZWYKŁE I DZIAŁANIA NA UŁAMKACH ZWYKŁYCH W KLASIE V SZKOŁY PODSTAWOWEJ

UŁAMKI ZWYKŁE I DZIAŁANIA NA UŁAMKACH ZWYKŁYCH W KLASIE V SZKOŁY PODSTAWOWEJ TEST SPRAWDZAJĄCY UMIEJĘTNOŚCI Z MATEMATYKI W KLASIE V UŁAMKI ZWYKŁE I DZIAŁANIA NA UŁAMKACH ZWYKŁYCH W KLASIE V SZKOŁY PODSTAWOWEJ program nauczania - Od Pitagorasa do Euklidesa test: sprawdzający nieformalny

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V Nauczyciel: Jacek Zoń WYMAGANIA EDUKACYJNE NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA KLASY V : 1. doda i odejmie liczby naturalne sposobem pisemnym z przekraczaniem progów

Bardziej szczegółowo

KARTY PRACY DLA SŁABYCH UCZNIÓW, CZ.6

KARTY PRACY DLA SŁABYCH UCZNIÓW, CZ.6 KARTY PRACY DLA SŁABYCH UCZNIÓW, CZ.6 Wiesława Janista, Elżbieta Mrożek, Marta Szymańska W tym roku szkolnym kontynuujemy cykl materiałów przeznaczonych dla słabych uczniów. Zadania układają: Elżbieta

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE V

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE V WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE V Uczeń na ocenę dopuszczającą potrafi: - Oszacować wyniki obliczeń na liczbach dziesiętnych w kontekście zakupów. - Korzystać z gotowego planu. - Narysować prostokąt

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka komputera. Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka. Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI

Arytmetyka komputera. Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka. Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI Arytmetyka komputera Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI Spis treści 1. Jednostki informacyjne 2. Systemy liczbowe 2.1. System

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY V

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY V WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY V Dział I LICZBY NATURALNE Ocena dopuszczająca 1. doda i odejmie liczby naturalne sposobem pisemnym z przekraczaniem progów dziesiątkowych 2. pomnoży pisemnie

Bardziej szczegółowo

ZMIERZYĆ SIĘ Z KALKULATOREM

ZMIERZYĆ SIĘ Z KALKULATOREM ZMIERZYĆ SIĘ Z KALKULATOREM Agnieszka Cieślak Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania z siedzibą w Rzeszowie Streszczenie Referat w prosty sposób przedstawia niekonwencjonalne sposoby mnożenia liczb. Tematyka

Bardziej szczegółowo

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) 1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki - Granica funkcji

Wykłady z matematyki - Granica funkcji Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Granica funkcji Otoczenie punktu 0 to przedział ( 0 ɛ, 0 + ɛ) dla każdego ɛ > 0 Sąsiedztwo punktu 0 to jego otoczenie bez punktu 0. Jeżeli funkcja jest określona w

Bardziej szczegółowo

Matematyka, kl. 4. Uczeń:

Matematyka, kl. 4. Uczeń: Matematyka, kl. 4 Liczby i działania Program Matematyka z plusem Ocena Uczeń: Zna: pojęcia składnika, sumy, odjemnej, odjemnika, różnicy, czynnika, iloczynu, dzielnej, dzielenia, ilorazu, niewykonalność

Bardziej szczegółowo

Obliczanie jakim procentem jednej liczby jest druga liczba

Obliczanie jakim procentem jednej liczby jest druga liczba Obliczanie jakim procentem jednej liczby jest druga liczba Przedmowa Początek tego opracowania jest napisany z myślą o uczniach szkół podstawowych którzy całkowicie nie rozumieją o co chodzi w procentach,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KLAS IV-VI

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KLAS IV-VI WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KLAS IV-VI Klasa IV Stopień dopuszczający otrzymuje uczeń, który potrafi: odejmować liczby w zakresie 100 z przekroczeniem progu dziesiątkowego,

Bardziej szczegółowo

Bukiety matematyczne dla gimnazjum

Bukiety matematyczne dla gimnazjum Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 1 X 2002 Bukiet I Dany jest prostokąt o bokach wymiernych a, b, którego obwód O i pole P są całkowite. 1. Sprawdź, że zachodzi równość

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE IV

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE IV WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE IV Zna zależności wartości cyfry od jej położenia w liczbie Zna kolejność działań bez użycia nawiasów Zna algorytmy czterech działań pisemnych

Bardziej szczegółowo

PRZYKŁADOWE SCENARIUSZE ZAJĘĆ

PRZYKŁADOWE SCENARIUSZE ZAJĘĆ PRZYKŁADOWE SCENARIUSZE ZAJĘĆ SCENARIUSZ NR 1 Temat zajęć: Obliczanie pól i obwodów prostokątów. Cele zajęć: Uczeń: Zna jednostki pola; Umie obliczyć pole i obwód prostokąta i kwadratu; Wykorzystuje swoje

Bardziej szczegółowo

UŁAMKI ZWYKŁE I DZIESIĘTNE

UŁAMKI ZWYKŁE I DZIESIĘTNE 137 - Ułamki zwykłe i dziesiętne - kółko matematyczne dla klasy VI Jesteś zalogowany(a) jako Recenzent (Wyloguj) Kreatywna szkoła ZP_137 Osoby Uczestnicy Certificates Fora dyskusyjne Głosowania Quizy Zadania

Bardziej szczegółowo

SZKOŁA PODSTAWOWA NR 1 W LUBARTOWIE. Równania

SZKOŁA PODSTAWOWA NR 1 W LUBARTOWIE. Równania Równania Jeżeli połączymy znakiem równości (=) dwa wyrażenia algebraiczne to tak stworzony zapis będzie nazywał się równaniem. W dalszych latach nauki poznasz wiele typów i rodzajów równań, w tej chwili

Bardziej szczegółowo

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Publikacja jest dystrybuowana bezpłatnie Program Operacyjny Kapitał Ludzki Priorytet 9 Działanie 9.1 Poddziałanie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KL. 4

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KL. 4 WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KL. 4 Na ocenę niedostateczną (1) uczeń nie spełnia wymagań koniecznych. Na ocenę dopuszczającą (2) uczeń spełnia wymagania konieczne, tzn.: 1. posiada i

Bardziej szczegółowo

Jak nie zostać niewolnikiem kalkulatora? Obliczenia pamięciowe i pisemne.

Jak nie zostać niewolnikiem kalkulatora? Obliczenia pamięciowe i pisemne. Jak nie zostać niewolnikiem kalkulatora? Obliczenia pamięciowe i pisemne. W miarę postępu techniki w niepamięć odeszły nawyki do wykonywania pisemnych albo pamięciowych obliczeń. O suwaku logarytmicznym,

Bardziej szczegółowo

Skrypt 1. Liczby wymierne dodatnie. Liczby naturalne, całkowite i wymierne - przypomnienie wiadomości

Skrypt 1. Liczby wymierne dodatnie. Liczby naturalne, całkowite i wymierne - przypomnienie wiadomości Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla gimnazjów współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 1 Liczby wymierne dodatnie Liczby naturalne,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI NA POSZCZEGOLNE OCENY W KLASIE IV

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI NA POSZCZEGOLNE OCENY W KLASIE IV WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI NA POSZCZEGOLNE OCENY W KLASIE IV I SEMESTR a) Wymagania konieczne (na ocenę dopuszczającą) Obejmują wiadomości i umiejętności umożliwiające uczniowi dalszą naukę, bez

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia.

ARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia. ARYTMETYKA BINARNA ROZWINIĘCIE DWÓJKOWE Jednym z najlepiej znanych sposobów kodowania informacji zawartej w liczbach jest kodowanie w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, w którym dla przedstawienia liczb

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Klasa IV

Matematyka. Klasa IV Matematyka Klasa IV Ocenę niedostateczną otrzymuje uczeń, który nie opanował umiejętności przewidzianych w wymaganiach na ocenę dopuszczającą Uczeń musi umieć: na ocenę dopuszczającą: odejmować liczby

Bardziej szczegółowo

Zaokrąglanie liczb. 5. Zadania utrwalające zaokrąglanie ułamków dziesiętnych... 18. 6. Zaokrąglanie ułamków zwykłych i liczb mieszanych...

Zaokrąglanie liczb. 5. Zadania utrwalające zaokrąglanie ułamków dziesiętnych... 18. 6. Zaokrąglanie ułamków zwykłych i liczb mieszanych... Zaokrąglanie liczb Przedmowa To opracowanie jest napisane głównie z myślą o uczniach szkół podstawowych którzy po raz pierwszy spotykają się z zaokrąglaniem liczb. Oprócz wiedzy potrzebnej uczniom szkół

Bardziej szczegółowo

GSP075 Pakiet. KArty pracy. MateMatyka

GSP075 Pakiet. KArty pracy. MateMatyka GSP075 klasa Pakiet 5 KArty pracy MateMatyka Instrukcja matematyka Uważnie czytaj teksty zadań i polecenia. Rozwiązania wpisuj długopisem lub piórem. Nie używaj długopisu w kolorze czerwonym. W zadaniach,

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY IV. Dział programowy: DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB NATURALNYCH

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY IV. Dział programowy: DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB NATURALNYCH MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY IV Na ocenę wyższą uczeń powinien opanować wiedzę i umiejętności na ocenę (oceny) niższą. Dział programowy: DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB NATURALNYCH dodawać w pamięci

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami

Wstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami Wstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami Przykład 1. Napisz program, który dla podanej liczby n wypisze jej rozkład na czynniki pierwsze. Oblicz asymptotyczną złożoność

Bardziej szczegółowo

Kryteria ocen z matematyki w klasie 5 Matematyka z plusem DKOW /08

Kryteria ocen z matematyki w klasie 5 Matematyka z plusem DKOW /08 Matematyka z plusem DKOW-5002-37/08 DZIAŁ LICZBY NATURALNE WŁASNOŚCI LICZB NATURALNYCH KONIECZNE ocena dopuszczająca rozumie dziesiątkowy system pozycyjny umie zapisywać i odczytywać liczby cyframi i słownie

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy IV

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy IV *na ocenę śródroczną: 1. LICZBY I DZIAŁANIA Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy IV zna pojęcie sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu rozumie rolę liczby 0 w dodawaniu i odejmowaniu rozumie rolę liczb

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki KLASA IV

Wymagania edukacyjne z matematyki KLASA IV Wymagania edukacyjne z matematyki KLASA IV Ocena dopuszczająca UCZEŃ: zna pojęcie składnika i sumy zna pojęcie odjemnej, odjemnika i różnicy rozumie rolę liczby 0 w dodawaniu i odejmowaniu umie pamięciowo

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W KLASIE IV

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W KLASIE IV KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W KLASIE IV Ocenę niedostateczną (1) otrzymuje uczeń, który nie spełnia wymagań na ocenę dopuszczającą. Wymagania na ocenę dopuszczającą (2) zna pojęcie składnika, sumy,

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia

1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia 1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia kwadratów i sześcianów przez małe liczby, cechy podzielności przez 2, 4, 8, 5, 25, 125, 3, 9. 26 września 2009 r. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału nauczania z matematyki dla klasy V

Rozkład materiału nauczania z matematyki dla klasy V Rozkład materiału nauczania z matematyki dla klasy V Lp. Temat lekcji uwagi D Lekcja organizacyjna. Zapoznanie uczniów z programem nauczania oraz systemem oceniania. LICZBY NATURALNE 1-22 1. Liczba, a

Bardziej szczegółowo

Dodawanie ułamków zwykłych lekcja w kl.ivb mgr Sylwia Naliwko nauczyciel matematyki w Zespole Szkół im.ks. Jerzego Popiełuszki w Juchnowcu Górnym

Dodawanie ułamków zwykłych lekcja w kl.ivb mgr Sylwia Naliwko nauczyciel matematyki w Zespole Szkół im.ks. Jerzego Popiełuszki w Juchnowcu Górnym SCENARIUSZ LEKCJI Klasa: IVb Data: 6.03.01 Przedmiot: matematyka Czas realizacji: 1 godzina lekcyjna Temat lekcji: Dodawanie ułamków zwykłych. Cele operacyjne lekcji: Uczeń: posługuje się pojęciem ułamka

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA - KLASA IV. I półrocze

MATEMATYKA - KLASA IV. I półrocze Liczby i działania MATEMATYKA - KLASA IV I półrocze Rozróżnia pojęcia: cyfra, liczba. Porównuje liczby naturalne proste przypadki. Dodaje i odejmuje liczby naturalne w zakresie 100. Mnoży i dzieli liczby

Bardziej szczegółowo

Układy równań stopnia pierwszego z dwiema i trzema niewiadomymi

Układy równań stopnia pierwszego z dwiema i trzema niewiadomymi Układy równań stopnia pierwszego z dwiema i trzema niewiadomymi Przedmowa To opracowanie jest napisane z myślą o gimnazjalistach, ale mogą z niego korzystać także Ci, co chcą się dowiedzieć np. jak rozwiązuje

Bardziej szczegółowo

Matematyka Matematyka z pomysłem Klasa 5 Szkoła podstawowa 4 6

Matematyka Matematyka z pomysłem Klasa 5 Szkoła podstawowa 4 6 Wymagania na poszczególne oceny szkolne Ocena postępów ucznia jest wynikiem oceny stopnia opanowania jego umiejętności podstawowych i ponadpodstawowych. W programie nauczania Matematyka z pomysłem umiejętności

Bardziej szczegółowo

UŁAMKI ZWYKŁE. Ułamek, jako iloraz liczb całkowitych. 1. Zapisz w postaci ułamka: i) j) k) l) e) f) g) h) a) b) c) d) 2. Zapisz, jako ułamek metra:

UŁAMKI ZWYKŁE. Ułamek, jako iloraz liczb całkowitych. 1. Zapisz w postaci ułamka: i) j) k) l) e) f) g) h) a) b) c) d) 2. Zapisz, jako ułamek metra: Ułamek, jako iloraz liczb całkowitych. 1. Zapisz w postaci ułamka: 2. Zapisz, jako ułamek metra: 3. Zapisz, jako ułamek tygodnia: 4. Zapisz, jako ułamek roku: 5. Zapisz, jako ułamek doby: 6. Zapisz, jako

Bardziej szczegółowo

podstawowe (ocena dostateczna) 3 Dział 1. Liczby naturalne i dziesiętne. Działania na liczbach naturalnych i dziesiętnych Uczeń:

podstawowe (ocena dostateczna) 3 Dział 1. Liczby naturalne i dziesiętne. Działania na liczbach naturalnych i dziesiętnych Uczeń: Klasa V Wymagania na poszczególne oceny szkolne Ocena postępów ucznia jest wynikiem oceny stopnia opanowania jego umiejętności podstawowych i ponadpodstawowych. W programie nauczania Matematyka z pomysłem

Bardziej szczegółowo

Cele nauczania: a)poznawcze: Cele ogólne kształcenia: -uczeń umie odejmować ułamki dziesiętne. Aktywności matematyczne:

Cele nauczania: a)poznawcze: Cele ogólne kształcenia: -uczeń umie odejmować ułamki dziesiętne. Aktywności matematyczne: Konspekt lekcji matematyki: Klasa: czwarta Prowadzący: Elżbieta Kruczek, nauczyciel Samorządowej Szkoły Podstawowej w Brześciu (z wykorzystaniem podręcznika Matematyka z plusem) Temat: Odejmowanie ułamków

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE IV SZKOŁY PODSTAWOWEJ

KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE IV SZKOŁY PODSTAWOWEJ KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE IV SZKOŁY PODSTAWOWEJ Na stopień dostateczny uczeń powinien umieć: Arytmetyka - dodawać i odejmować w pamięci liczby dwucyfrowe, - mnożyć i dzielić w pamięci liczby

Bardziej szczegółowo

Wielomiany zmiennej rzeczywistej

Wielomiany zmiennej rzeczywistej Wielomiany zmiennej rzeczywistej Przedmowa Niniejsze opracowanie jest poświęcone głównie wielomianom jednej zmiennej. Wielomiany wielu zmiennych będą pojawiać się tylko w formie ciekawostki. Omawianie

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1

W. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1 W. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1 W tym tekście zobaczymy rozwiązanie zadania 41 z Informatora o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 014/015 oraz rozwiązania

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie IV

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie IV Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie IV Na ocenę dopuszczającą uczeń potrafi: Dodawać i odejmować w pamięci liczby dwucyfrowe. Obliczyć wartości wyrażeń arytmetycznych z zachowaniem kolejności wykonywania

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

XXI Konferencja SNM UKŁADY RÓWNAŃ. Kilka słów o układach równań.

XXI Konferencja SNM UKŁADY RÓWNAŃ. Kilka słów o układach równań. 1 XXI Konferencja SNM UKŁADY RÓWNAŃ Piotr Drozdowski (Józefów), piotr.trufla@wp.pl Krzysztof Mostowski (Siedlce), kmostows@o.pl Kilka słów o układach równań. Streszczenie. 100 układów równań w 5 min, jak

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe kryteria oceniania wiedzy i umiejętności z przedmiotu matematyka Matematyka z kluczem dla klasy 4 Szkoły Podstawowej w Kończycach Małych

Szczegółowe kryteria oceniania wiedzy i umiejętności z przedmiotu matematyka Matematyka z kluczem dla klasy 4 Szkoły Podstawowej w Kończycach Małych Szczegółowe kryteria oceniania wiedzy i umiejętności z przedmiotu matematyka Matematyka z kluczem dla klasy 4 Szkoły Podstawowej w Kończycach Małych Ocena dopuszczająca (wymagania konieczne) Ocena dostateczna

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie 5

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie 5 Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie 5 PODSTAWOWE PONADPODSTAWOWE LICZBY I DZAŁANIA porównywać liczby porządkować liczby w kolejności od najmniejszej do największej lub odwrotnie przedstawiać liczby

Bardziej szczegółowo

Matematyka Matematyka z pomysłem Klasa 5 Szkoła podstawowa 4 6

Matematyka Matematyka z pomysłem Klasa 5 Szkoła podstawowa 4 6 Wymagania na poszczególne oceny szkolne Ocena postępów ucznia jest wynikiem oceny stopnia opanowania jego umiejętności podstawowych i ponadpodstawowych. W programie nauczania Matematyka z pomysłem umiejętności

Bardziej szczegółowo

dodaje liczby bez przekraczania progu dziesiątkowego, zapisuje słownie godziny przedstawione na zegarze,

dodaje liczby bez przekraczania progu dziesiątkowego, zapisuje słownie godziny przedstawione na zegarze, MATEMATYKA KLASA 4 Wymagania na poszczególne oceny Wymagania konieczne (na ocenę dopuszczającą) obejmują wiadomości i umiejętności umożliwiające uczniowi dalszą naukę, bez których uczeń nie jest w stanie

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do kombinatoryki

Wprowadzenie do kombinatoryki Wprowadzenie do kombinatoryki http://www.matemaks.pl/kombinatoryka.html Kombinatoryka jest działem matematyki, który pomaga odpowiedzieć na pytania typu: "ile jest możliwych wyników w rzucie monetą?",

Bardziej szczegółowo

GRUPA A UŁAMKI ZWYKŁE KLASA V

GRUPA A UŁAMKI ZWYKŁE KLASA V GRUPA A UŁAMKI ZWYKŁE KLASA V zas pracy: min. Drogi uczniu! Masz przed sobą sprawdzian z zakresu ułamków zwykłych. Składa się on z 7 zadań o różnym stopniu trudności. Do pierwszych zadań podano odpowiedzi.

Bardziej szczegółowo

Działania na ułamkach zwykłych powtórzenie wiadomości

Działania na ułamkach zwykłych powtórzenie wiadomości Działania na ułamkach zwykłych powtórzenie wiadomości. Cele lekcji a) Wiadomości. Uczeń zna pojęcia sumy, różnicy i iloczynu. 2. Uczeń zna sposób obliczania sumy ułamków zwykłych, różnicy ułamków zwykłych,

Bardziej szczegółowo

Ciekawe zadania o... liczbach całkowitych poziom 3

Ciekawe zadania o... liczbach całkowitych poziom 3 1/9 Małgorzata Rucińska-Wrzesińska Ciekawe zadania o... liczbach całkowitych poziom 3 Zadanie 1 Zapisz pięć liczb całkowitych co najmniej trzycyfrowych oraz liczby do nich przeciwne. Następnie uszereguj

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny szkolne w klasie V

Wymagania na poszczególne oceny szkolne w klasie V Wymagania na poszczególne oceny szkolne w klasie V Wymagania Dział 1. Liczby naturalne i dziesiętne. Działania na liczbach naturalnych i dziesiętnych Uczeń: Zastosowania matematyki praktycznych liczbę

Bardziej szczegółowo

LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ UWAGI TEMAT 1. LICZBY I DZIAŁANIA 23

LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ UWAGI TEMAT 1. LICZBY I DZIAŁANIA 23 TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ UWAGI 1. LICZBY I DZIAŁANIA 3 1. Rachunki pamięciowe, dodawanie i odejmowanie. O ile więcej, o ile mniej 3. Rachunki pamięciowe,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY IV REALIZOWANE WEDŁUG

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY IV REALIZOWANE WEDŁUG WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY IV REALIZOWANE WEDŁUG PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM Poziom podstawowy Poziom ponadpodstawowy Uczeń potrafi na: Uczeń potrafi na: ocenę dopuszczającą ocenę dostateczną

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie 5

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie 5 Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie 5 Wymagania podstawowe Wymagania ponadpodstawowe Rozdział konieczne (ocena dopuszczająca) 2 podstawowe (ocena dostateczna) 3 rozszerzające (ocena dobra) 4 dopełniające

Bardziej szczegółowo

Kryteria ocen z matematyki w klasie V

Kryteria ocen z matematyki w klasie V Uczeń musi umieć: Kryteria ocen z matematyki w klasie V na ocenę dopuszczającą: -odczytywać liczby zapisane cyframi -porównywać liczby naturalne, - przedstawiać liczby naturalne na osi liczbowej, - pamięciowo

Bardziej szczegółowo

Skrypt 7. Równania. 1. Zapisywanie związków między wielkościami za pomocą równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą

Skrypt 7. Równania. 1. Zapisywanie związków między wielkościami za pomocą równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla gimnazjów współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 7 Równania 1. Zapisywanie związków między

Bardziej szczegółowo

Procenty i promile. 1. Pojęcie procentu... 3 Zamiana ułamków zwykłych i dziesiętnych na procenty... 3

Procenty i promile. 1. Pojęcie procentu... 3 Zamiana ułamków zwykłych i dziesiętnych na procenty... 3 Procenty i promile Przedmowa Początek tego opracowania jest napisany z myślą o uczniach szkół podstawowych którzy całkowicie nie rozumieją o co chodzi w procentach, a pozostała część jest przeznaczona

Bardziej szczegółowo

Jak napisać program obliczający pola powierzchni różnych figur płaskich?

Jak napisać program obliczający pola powierzchni różnych figur płaskich? Część IX C++ Jak napisać program obliczający pola powierzchni różnych figur płaskich? Na początku, przed stworzeniem właściwego kodu programu zaprojektujemy naszą aplikację i stworzymy schemat blokowy

Bardziej szczegółowo

TEMAT 1. LICZBY I DZIAŁANIA Rachunki pamięciowe, dodawanie i odejmowanie. 2. O ile więcej, o ile mniej 2 LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH

TEMAT 1. LICZBY I DZIAŁANIA Rachunki pamięciowe, dodawanie i odejmowanie. 2. O ile więcej, o ile mniej 2 LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH TEMAT 1. LICZBY I DZIAŁANIA 3 1. Rachunki pamięciowe, dodawanie i odejmowanie LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH. O ile więcej, o ile mniej WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ 1. Liczby naturalne w dziesiątkowym

Bardziej szczegółowo

Wymagania z matematyki - KLASA IV

Wymagania z matematyki - KLASA IV Wymagania na ocenę dopuszczającą: Wymagania z matematyki - KLASA IV pamięciowe dodawanie i odejmowanie liczb w zakresie 200 bez przekraczania progu dziesiątkowego i z jego przekraczaniem powiększanie lub

Bardziej szczegółowo