Odejmowanie ułamków i liczb mieszanych o różnych mianownikach

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Odejmowanie ułamków i liczb mieszanych o różnych mianownikach"

Transkrypt

1 Przedmowa Odejmowanie ułamków i liczb mieszanych o różnych mianownikach To opracowanie jest napisane z myślą o uczniach klas 4 szkół podstawowych którzy po raz pierwszy spotykają się z odejmowaniem ułamków o różnych mianownikach. Osoby które wiedzą już co to są liczby ujemne i potrafią wykonywać podstawowe działania na nich, znajdą tu dodatkowo odejmowanie liczb mieszanych z uwzględnieniem liczb ujemnych. Opracowanie to pisałem tak, by dosłownie każdy mógł zrozumieć tę część matematyki. Spis tematów 1. Jak odejmować ułamki zwykłe o różnych mianownikach?... 2 Jedna z liczb pod kreską ułamkową wymaga pomnożenia Obie liczby pod kreską ułamkową wymagają pomnożenia Jednoczesne odejmowanie kilku ułamków Jak odejmować liczby mieszane?... 6 Ułamek pierwszej liczby mieszanej jest większy od ułamka drugiej liczby mieszanej Pierwsza liczba nie zawiera ułamka (jest liczbą naturalną). Rozmienianie całości Ułamek pierwszej liczby mieszanej jest mniejszy od ułamka drugiej liczby mieszanej Odejmowanie liczb mieszanych z uwzględnieniem liczb ujemnych Przydatne linki Wersja z dnia Strona 1

2 Temat: Jak odejmować ułamki zwykłe o różnych mianownikach? a) Jedna z liczb pod kreską ułamkową wymaga pomnożenia Przypuśćmy, że masz wykonać działanie:. Patrzysz na liczby znajdujące się w mianownikach obu ułamków, czyli na liczby pod kreskami ułamkowymi i zastanawiasz się, przez ile trzeba pomnożyć mniejszą z nich (w tym przypadku liczbę 4) by otrzymać większą z nich (by otrzymać liczbę 8). W oparciu o tabliczkę mnożenia wiesz, że liczbę 4 musisz pomnożyć przez Mnożysz więc licznik pierwszego ułamka przez 2 i mianownik również przez Przepisujesz znak odejmowania który był między ułamkami. 3. Przepisujesz drugi ułamek, bo z nim nic nie było robione. Masz więc: = = ł ą ć = 5 8 Odejmowanie ułamków można wykonywać tylko wtedy, gdy są te same liczby pod kreskami ułamkowymi np.:. Jeśli pod kreskami ułamkowymi nie ma tych samych liczb np.:, to ułamki te trzeba tak przekształcić by pojawiły się te same liczby pod kreskami ułamkowymi: = =. Łatwe, prawda? Prześledź inne już rozwiązane przykłady. = = = Licznik i mianownik pierwszego ułamka został pomnożony przez 5. Zostało to zrobione po to, by w obu ułamkach była taka sama liczba pod kreską ułamkową (w tym przypadku 15). = = = Licznik i mianownik drugiego ułamka został pomnożony przez 3. Ponieważ otrzymany wynik jest ułamkiem skracalnym (liczbę 2 można podzielić przez 2 i liczbę 6 również można podzielić przez 2), więc powinien zostać jeszcze dopisany znak równości, a za nim ułamek nieskracalny. Cały przykład powinien więc wyglądać tak: = = = 2 6 = 1 3 Teraz spróbuj coś policzyć bez mojej pomocy. Napiszę Ci tylko odpowiedzi jakie powinny wyjść. Na razie nie wymagam zapisywania otrzymanego wyniku w postaci ułamka nieskracalnego. a) = b) = c) = d) [Odp. a) b) c) d) e).] = e) = No i jak? Wyszło Ci tyle co w odpowiedziach? Jeśli nie, to poszukaj błędów. Może licznik w jednym z ułamków nie został pomnożony przez tę samą liczbę co mianownik, a może jest gdzieś błąd w zakresie tabliczki mnożenia. Odpowiedzi są na pewno poprawne. Jeśli zaś masz wszystkie wyniki zgodne z odpowiedziami, to teraz zapisz je w postaci ułamków nieskracalnych. Pamiętaj, że niektóre już są ułamkami nieskracalnymi i nic z nimi nie zrobisz. Zajmij się tylko tymi, które dadzą się jeszcze skrócić. [Odp. Ułamki skracalne wyszły tylko w podpunktach: c) = (liczbę 12 podzieliłem przez 4 i liczbę 20 również przez 4), e) = (liczbę 3 podzieliłem przez 3 i liczbę 30 też przez 3).] Wersja z dnia Strona 2

3 Ćwiczenie: Wykonaj wskazane działanie i otrzymany wynik zapisz w postaci ułamka nieskracalnego = = = = = = = = [Odp. a) b) c) d) e) f) 0 g) h).] Pamiętaj! W niektórych przykładach obliczenia można było sobie ułatwić zauważając, że jeden z dwóch danych ułamków jest skracalny. a) Licznik drugiego ułamka tj. liczbę 3 można było podzielić przez 3 i mianownik tj. liczbę 15 również można było podzielić przez 3. Zamiast ułamka pojawiłby się ułamek i oba ułamki miałyby już te same (wspólne) mianowniki. Nie byłoby konieczności mnożenia jednego z nich, a potem skracania otrzymanego wyniku. b) Licznik drugiego ułamka tj. liczbę 7 można było podzielić przez 7 i mianownik tj. liczbę 21 również można było podzielić przez 7. Zamiast ułamka pojawiłby się ułamek i oba ułamki miałyby już te same (wspólne) mianowniki. Nie byłoby konieczności mnożenia jednego z nich, a potem skracania otrzymanego wyniku. d) Licznik pierwszego ułamka tj. liczbę 6 można było podzielić przez 2 i mianownik tj. liczbę 8 również można było podzielić przez 2. Zamiast ułamka pojawiłby się ułamek i drugi z ułamków wystarczyłoby rozszerzyć przez 2 a nie przez 4 (wyszłyby mniejsze liczby). [Sformułowanie rozszerzyć ułamek przez 2 oznacza, że jego licznik trzeba pomnożyć przez 2 i mianownik także przez 2.] f) Licznik pierwszego ułamka tj. liczbę 5 można było podzielić przez 5 i mianownik tj. liczbę 20 również można było podzielić przez 5. Zamiast ułamka pojawiłby się ułamek. Wówczas bez obliczeń byłoby widać, że wynikiem będzie 0. Zapis również jest poprawny, ale nie wygląda ładnie z punktu widzenia matematyki. h) Licznik pierwszego ułamka tj. liczbę 12 można było podzielić przez 2 i mianownik tj. liczbę 16 również można było podzielić przez 2. Zamiast ułamka pojawiłby się ułamek. W wyniku końcowym nie powinien występować ułamek skracalny. b) Obie liczby pod kreską ułamkową wymagają pomnożenia No dobra. Już coś umiesz. Wiesz, że by móc odjąć 2 ułamki zwykłe musisz w nich obu mieć ten sam mianownik (tę samą liczbę pod kreską ułamkową). Wiedz jednak, że czasami pomnożenie licznika i mianownika jednego ułamka nie wystarczy by otrzymać 2 ułamki o tych samych mianownikach. Zobacz. Jeśli będziesz mieć np. do obliczenia takie działanie: to nie znajdziesz takiej liczby która pomnożona przez 8 da 12. W takim przypadku musisz w oparciu o tabliczkę mnożenia zastanowić się, przez ile trzeba pomnożyć liczbę 8, a przez ile liczbę 12 by dostać tę samą liczbę? Zauważasz więc, że mnożąc liczbę 8 przez 3 oraz liczbę 12 przez 2 dostaniesz w obu przypadkach liczbę 24. Masz więc: Zapamiętaj = = = Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika (powyżej jest nim liczba 24) polega na tym, by we wszystkich ułamkach otrzymać te same liczby pod kreską ułamkową. Prześledź teraz te działania: = = = = = = Tu trzeba było się zastanowić przez ile trzeba pomnożyć liczbę 6 (jest ona pod kreską pierwszego ułamka), a przez ile liczbę 9 (jest ona pod kreską drugiego ułamka), by dostać tę samą liczbę. Zalecane jest tu jeszcze skrócenie otrzymanego wyniku przez 5 tj. podzielenie liczby 15 przez 5 i dodatkowo liczby 80 także przez 5. Wyjdzie wówczas, że =. Wersja z dnia Strona 3

4 i na ich podstawie spróbuj samodzielnie obliczyć: a) = b) = c) = d) = e) = [Odp. a) b) c) d) e). Wynik z podpunktu e) można jeszcze skrócić przez 24. Wyjdzie wówczas, że =.] No dobra. Umiesz już co raz więcej. Zerknij teraz na odpowiedź w podpunkcie b). Spójrz się na mianownik. Zobacz, że jest on równy 6 i że można go było wyliczyć mnożąc mianowniki obu ułamków z tego podpunktu. No i co w tym dziwnego? Przecież tak miało być. No teraz se spójrz na wynik z podpunktu c). W mianowniku wyszła liczba 20 i tak samo jak w podpunkcie b) można ją było obliczyć mnożąc mianowniki obu ułamków. Stawiam więc pytanie, czy wspólny mianownik można zawsze znaleźć mnożąc liczby z mianowników danych ułamków? Okazuje się że tak. Można zawsze tak robić, ale na ogół nie jest to wygodne i nie polecam tego robić. Oto dlaczego. Przypuśćmy że masz działanie: i w myślach nie możesz znaleźć wspólnego mianow- nika. Mnożysz więc oba te mianowniki, czyli liczbę 24 przez 32 otrzymując liczbę 768. Wnioskujesz więc, że: mianownik pierwszego ułamka został pomnożony przez 32, więc i jego licznik też mnożysz przez 32 mianownik drugiego ułamka został pomnożony przez 24, więc i licznik drugiego ułamka mnożysz przez 24. Masz więc: = = = = = 1 96 Wynik jest O.K. ale przyznasz, że przykład trudno się liczył i ciężko było określić przez ile można maksymalnie skrócić ułamek. Przyznasz, że takie obliczanie ułamków zniechęca on do dalszej pracy, prawda? Zobacz co jednak by się stało gdyby zauważyć, że licznik i mianownik pierwszego ułamka wystarczy pomnożyć przez 4, a licznik i mianownik drugiego ułamka przez 3. Wówczas obliczenia byłyby tylko takie: = = 1 96 czyli krótsze (oszczędność czasu) i na mniejszych liczbach (mniejsze prawdopodobieństwo błędu). Pewnie się teraz zastanawiasz, skąd wiedziałem lub jak obliczyłem, że pierwszy ułamek można było rozszerzyć przez 4, a drugi przez 3. Nie zgadywałem tego. Po prostu: spojrzałem na oba mianowniki i zobaczyłem że każdy z nich dzieli się przez 8 i że większej liczby nie ma podzieliłem w myślach każdy z nich przez 8 dostając odpowiednio liczby 3 i 4 mniejszy mianownik pomnożyłem przez większą z obliczonych liczb, czyli przez 4 większy mianownik pomnożyłem przez mniejszą z obliczonych liczb, czyli przez 3. Ot cała filozofia. Zadanie: Oblicz znajdując najmniejszy wspólny mianownik. Rozwiązanie W oparciu o tabliczkę mnożenia wiem, że liczby z obu mianowników tj. 72 i 56 dzielą się przez 8. Dzielę więc liczbę 72 przez 8 otrzymując liczbę 9, a następnie liczbę 56 także przez 8 otrzymując liczbę 7. Teraz większy z mianowników czyli liczbę 72 mnożę przez mniejszą z otrzymanych liczb (przez 7), a mniejszy z mianowników przez liczbę 9. Mam więc: = = = = = 1 36 Wersja z dnia Strona 4

5 Teraz Ty tak spróbuj. Ćwiczenie: Znajdując najmniejszy wspólny mianownik dla podanych ułamków, oblicz: = = = [Odp. a) b) c).] A co z odejmowaniem ułamków o dużych mianownikach, np.:? W oparciu o tabliczkę mnożenia nie widać nawet czy istnieje jakaś liczba, przez którą można by podzielić zarówno jak i a co dopiero mówić o jakichś tam obliczeniach. Czy więc jedynym wyjściem jest pomnożenie tych mianowników i babranie się w jeszcze większych liczbach? Otóż nie. Można sprawdzić czyli liczby i podzielą się przez jakąś liczbę rozkładając każdą z nich na iloczyn liczb pierwszych lub wykonując algorytym Euklidesa dla obu tych liczb jednocześnie (omówiony on jest w osobnym opracowaniu). Co to jest liczba pierwsza, dowiesz się z innego opracowania. Podsumowanie 1. Aby odjąć dwa ułamki zwykłe trzeba sprawić by pod ich kreskami ułamkowymi były te same liczby. 2. Mając już te same liczby w mianownikach (pod kreskami ułamkowymi) wystarczy od licznika pierwszego ułamka odjąć licznik drugiego ułamka, a mianownik przepisać. 3. Jeśli wynik końcowy wyjdzie ułamkiem skracalnym, to dodatkowo należy go skrócić przez największą możliwą liczbę. Innymi słowy trzeba go zapisać w postaci ułamka nieskracalnego. 4. Jeśli wynik końcowy będzie ułamkiem niewłaściwym (liczba nad kreską ułamkową większa od liczby pod kreską ułamkową), to dodatkowo należy ten ułamek zamienić na liczbę mieszaną, czyli wyciągnąć z niego całości. c) Jednoczesne odejmowanie kilku ułamków Przypuśćmy, że masz do obliczenia takie działanie: = Patrzysz na liczby jakie są pod kreskami ułamkowymi: 8, 4, 6 i zastanawiasz się przez ile trzeba pomnożyć liczbę 8, przez ile liczbę 4, a przez ile liczbę 12 by dostać tę samą liczbę tzw. wspólny mianownik. Jeśli dobrze znasz tabliczkę mnożenia to bez problemu zauważysz, że poszukiwanym wspólnym mianownikiem jest liczba 24. Zatem: pierwszy ułamek rozszerzasz przez 3 (licznik mnożysz przez 3 i mianownik również przez 3) drugi z ułamków rozszerzasz przez 6 (licznik mnożysz przez 6 i mianownik również przez 6) trzeci z ułamków rozszerzasz przez 2 (licznik mnożysz przez 2 i mianownik również przez 2) Masz więc: = = 1 24 Pewnie się zastanawiasz co by było, gdyby nad kreską ułamkową ostatniego ułamka była na przykład liczba 4. Otóż w takim przypadku wynik końcowy byłby mniejszy od 0, ale to już nie jest zakres klasy 4. Podsumowanie Aby wykonać jednoczesne odejmowanie kilku ułamków, trzeba znaleźć wspólny mianownik dla wszystkich danych ułamków. Wersja z dnia Strona 5

6 Temat: Jak odejmować liczby mieszane? a) Ułamek pierwszej liczby mieszanej jest większy od ułamka drugiej liczby mieszanej Odejmowanie liczb mieszanych jest bardzo podobne do ich dodawania. Mianowicie najpierw odejmuje się całości drugiej liczby od całości liczby pierwszej, a potem ułamki zwykłe które przy nich stoją. Przykłady: 6 2 = = 13 Od dużej liczby 6 została odjęta duża liczba 2. Potem zostało wykonane odejmowanie ułamków. Od dużej liczby 18 została odjęta duża liczba 5. Potem zostało wykonane odejmowanie ułamków. 8 = 8 = 8 ł ż óć Jeśli przy drugiej liczbie nie jest napisana duża liczba, to wyobraź sobie, że jest tam duże czerwone 0 i postępuj jak wyżej. Innymi słowy w myślach miej, że Twój przykład wygląda tak: 8 0 = Przypominam, że sformułowanie skrócić ułamek oznacza, że liczbę która jest nad i pod kreską ułamkową trzeba podzielić przez tę samą liczbę (większą od 1). 4 1 = 4 1 łó ó = 3 ł óć = 3 Jeśli ułamki mają różne mianowniki (liczby pod kreską ułamkową), to najpierw trzeba je doprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika, a dopiero potem wykonać odejmowanie jak wyżej. W tym przykładzie licznik i mianownik drugiego ułamka został pomnożony przez 2. Zostało to zrobione po to, by otrzymać 2 ułamki o mianowniku 10. Dopuszczalne jest także podzielenie licznika i mianownika danego ułamka przez tę samą liczbę (większą od 1). Przypominam, że sformułowanie rozszerzyć ułamek oznacza, że liczbę która jest nad i pod kreską ułamkową trzeba pomnożyć przez tę samą liczbę (większą od 1) = 10 7 ó ł ć ł = 17 = 17 Tu także są dwa ułamki o różnych mianownikach, ale tym razem nie ma przymusu rozszerzania jednego z nich. Wystarczy wykonać skrócenie pierwszego ułamka przez 2. Zauważ, że przy odejmowaniu tych liczb mieszanych powstał ułamek mający w liczniku 0. Ponieważ kreska ułamkowa zastępuje dzielenie, więc wynikiem działania 0 : 4 jest 0. Oznacza to, że liczbę mieszaną 17 należy traktować jako równoważny zapis liczby 17. Pamiętaj, że chcąc odjąć dwa ułamki muszą one mieć ten sam mianownik (tę samą liczbę pod kreską ułamkową), ale nie ma przymusu stosowania rozszerzania ułamków. Dopuszczalne jest także skracanie, a nawet rozszerzenie jednego ułamka i skracanie drugiego. Ćwiczenie: Wykonaj podane działania. Oblicz: Podpowiedź: Odp = Od dużej czerwonej liczby odejmij drugą dużą czerwoną liczbę. Potem odejmij ułamki. Masz już te same mianowniki, więc zajmij się tylko ich licznikami, a mianownik przepisz. 9 1 = W obu mianownikach masz już liczbę 11, więc postępuj jak wyżej. 8 4 = Wyobraź sobie, że przed drugim ułamkiem stoi duże czerwone zero. 4 1 = Wyobraź sobie, że przed drugim ułamkiem stoi duże czerwone zero = Rozszerz drugi ułamek przez 2, czyli pomnóż jego licznik przez 2 i mianownik także przez 2. Pamiętaj, że przy odejmowaniu ułamków obie liczby pod kreską muszą być takie same (czyli równe) = Skróć pierwszy ułamek przez 3, czyli podziel jego licznik przez 3 i mianownik także przez 3. Zamiast skracać pierwszy ułamek, możesz rozszerzyć drugi ułamek przez 3, a potem otrzymany wynik z odejmowania tych liczb mieszanych skrócić przez = Skróć pierwszy ułamek przez 4, a drugi przez 5. Pamiętaj też, że kreska ułamkowa zastępuje dzielenie, oraz to, że dzieląc liczbę 0 przez liczbę różną od 0, zawsze dostaniesz 0. Zamiast skracać te ułamki, możesz zastosować rozszerzanie pierwszego z nich przez 5, a drugiego przez = Pamiętaj, że jeśli z odjęcia dużych czerwonych liczb wychodzi 0, to tego zera się nie pisze. Pamiętaj również, że jeśli w liczniku i w mianowniku wyjdzie liczba parzysta, to dany ułamek można jeszcze skrócić co najmniej przez = Skróć pierwszy ułamek przez 3 (nie przez 6), bo wtedy dostaniesz 2 ułamki o tych samych mianownikach = Najpierw doprowadź oba ułamki do mianownika 70, bo to najmniejszy ich wspólny mianownik. Doprowadzenie tych ułamków do mianownika 140 również byłoby poprawne, ale potem wynik końcowy trzeba byłoby jeszcze skracać przez = Najpierw doprowadź oba ułamki do mianownika = Najmniejszy wspólny mianownik dla liczb 15 i 10 to 30. Poprawne będą również mianowniki: 60, 90, 120, 150, 180, 10 = Jeśli nie wiesz jak znaleźć najmniejszy wspólny mianownik dla liczb 8 i 18, to pomnóż te liczby przez siebie. Nie zapomnij o tym, że wynik końcowy powinien być zawsze zapisany w postaci ułamka nieskracalnego Wersja z dnia Strona 6

7 b) Pierwsza liczba nie zawiera ułamka (jest liczbą naturalną). Rozmienianie całości. Nim zacznę omawiać następne przypadki jakie mogą się zdarzyć przy odejmowaniu liczb mieszanych, wcześniej pokrótce omówię rozmienianie jednej całości w liczbach mieszanych. Na początek przypomnę, że w matematyce poprzez słowo całość rozumie się pojedynczą rzecz np. jedną figurę geometryczną. Mając więc 7 identycznych figur geometrycznych, możesz powiedzieć, że masz 7 całości. Sformułowanie rozmienić całość oznacza, że jedną z tych figur co masz, musisz podzielić na mniejsze identyczne części. Spójrz teraz na poniższy rysunek: Widzisz, że przedstawia on 4 w pełni zamalowane kwadraty, czyli 4 całości. Gdy jeden z tych kwadratów (np. ostatni) podzielisz przypuśćmy na 6 równych części, to pozostaną Ci 3 całości i następnej całości. Ponieważ obszar zamalowany się nie zmienił, więc wnioskujesz, że 4 to ty- le samo co 3. Matematycznie zapisuje się to tak: 4 = 3 Aby lepiej to zrozumieć, wyobraź sobie, że masz 5 zł i idziesz do sklepu by rozmienić je na 2 monety po 2 zł i 100 monet po 1 groszu. Gdy to zrobisz i ktoś Cię zapyta ile masz pieniędzy powiesz mu, że 4 zł i 100 groszy czyli 4 zł i zł, prawda? A przecież wartość tych pieniędzy jest nadal taka sama i wynosi 5 zł. Zatem: 5 zł = 4 zł Rozmieniając więc całość, pomniejszasz daną liczbę (powyżej było to 5 zł) o 1 i do tej pomniejszonej liczby dopisujesz ułamek mający w liczniku i mianowniku tę samą liczbę. Zobacz przykłady: 4 = 3 7 = 6 1 = 9 = 8 9 = 8 2 = 1 2 = 1 6 = 5 8 = 7 4 = 3 Ćwiczenie: Rozmień jedną całość w każdej podanej liczbie: 8, 10, 11, 53, 46, 97 na ułamek o mianowniku 5. [Odp. a) 7, b) 9, c) 10, d) 52, e) 45, f) 96.] Ćwiczenie: Rozmień jedną całość w każdej podanej liczbie: 28, 37, 54 na ułamek o mianowniku innym niż 5. [Przykładowe odpowiedzi: a) 27, b) 36, c) 53. Nie można używać tylko ułamka o mianowniku 0. Ułamek o mianowniku 1 niby może być, ale się go nie stosuje w matematyce.] No dobra. To teraz się wracamy do odejmowania liczb mieszanych. Rozpatrzmy taki przypadek: = Widzisz, że pierwsza liczba nie ma ułamka, więc pomniejszasz ją o 1 (zabierasz 1 całość) i tę zabraną całość, zamieniasz na ułamek o takim samym mianowniku jak ten napisany za znakiem odejmowania. Innymi słowy robisz tak: = = 4 Dlaczego zabrana całość została zamieniona na ułamek a nie na jakiś inny? Bo drugi ułamek (ten za znakiem minus) miał w mianowniku (pod kreską ułamkową) liczbę 8. Chodzi o to, by mieć 2 ułamki mające pod kreską tę samą liczbę. Zobacz inne przykłady: Wersja z dnia Strona 7

8 = = = = = 59 3 = = 24 4 = 20 Niebieska liczba jest zawsze o 1 mniejsza od liczby czerwonej. Zabrana całość z liczby czerwonej jest zastąpiona ułamkiem bo drugi ułamek miał pod kreską ułamkową liczbę 19. Pamiętaj także, że jeśli przed drugim ułamkiem nie ma napisanych całości (nie ma napisanej dużej liczby), to w myślach wyobraź sobie, że jest tam napisane duże zero. Zatem: = Niebieska liczba jest zawsze o 1 mniejsza od liczby czerwonej. Zabrana całość z liczby czerwonej jest zastąpiona ułamkiem bo drugi ułamek miał pod kreską ułamkową liczbę 32. Pamiętaj, że jeśli przed drugim ułamkiem nie ma napisanych całości (nie ma napisanej dużej liczby), to w myślach wyobraź sobie, że jest tam napisane duże zero. Niebieska liczba jest zawsze o 1 mniejsza od liczby czerwonej. Zabrana całość z liczby czerwonej jest zastąpiona ułamkiem bo drugi ułamek miał pod kreską ułamkową liczbę 18. Niebieska liczba jest zawsze o 1 mniejsza od liczby czerwonej. Zabrana całość z liczby czerwonej jest zastąpiona ułamkiem bo drugi ułamek miał pod kreską ułamkową liczbę 8. Druga liczba jest przepisana, bo nic z nią nie było robione. Ćwiczenie: Oblicz: 12 = 37 = 5 3 = 5 4 = = = 8 1 = 10 = [Odp. a) 11 b) 36 c) 1 d) e) 11 f) 49 g) 6 h) 9.] c) Ułamek pierwszej liczby mieszanej jest mniejszy od ułamka drugiej liczby mieszanej Zbliżamy się powoli do końca. Został już tylko jeden typ odejmowania liczb mieszanych. Jest to coś podobnego do tego wyżej (trzeba będzie rozmienić jedną całość w pierwszej liczbie), ale dodatkowo ta pierwsza liczba będzie miała jeszcze ułamek mniejszy od ułamka drugiej liczby. Zobacz przykład: 25 4 = 24 4 = 24 = 24 Nim zaczniesz coś liczyć, najpierw spójrz na poniższy rysunek: że: Zobacz, że przedstawia on 4 w pełni zamalowane kwadraty i jeszcze kwadratu następnego. Gdy jeden z kwadratów który jest cały zamalowany podzielisz na tyle samo części co ostatni kwadrat, to zostaną Ci 3 kwadraty w pełni zamalowane i jeszcze 11 paseczków pionowych. A przecież zamalowana powierzchnia się nie zmieniła, prawda? Zatem matematycznie możesz napisać, 4 = 3 Teraz zauważ, że żółta liczba 11 jest wynikiem dodania do siebie filoletowej liczby 5 i zielonej liczby 6, a duża niebieska 3-jka, jest liczbą o jednej mniejszą od dużej czerwonej 4-ki. Mianowniki się nie zmieniły. Wnioskujesz więc, że nie trzeba za każdym razem wykonywać rysunku, by móc rozmienić jedną całość w danej liczbie mieszanej. Zobacz rozmienianie całości w innych liczbach mieszanych: 8 = 7 3 = 2 1 = 16 = = 99 4 = 3 4 = 3 13 = 12 Ćwiczenie: Rozmień jedną całość w podanych liczbach mieszanych. 6 = 2 = 81 = 32 = [Odp. a) 5 b) 1 c) 80 d) 31 e) 42 f) 4 g) 3 h).] 43 = 5 = 4 = 1 = Wersja z dnia Strona 8

9 Wcześniej w tym opracowaniu wykonywane były np. takie działania: 4 1 = 4 1 łó ó = 3 ł óć Z odejmowaniem nie było problemów, bo ułamek drugi bez problemów się odejmował od ułamka pierwszego. Zobacz jednak co by się stało, gdyby trzeba było obliczyć taki przykład: 4 1 (zmieniła się tylko jedna cyferka w stosunku do tego co jest wyżej napisane). Wówczas było by: 4 1 = 4 1 =? Duże czerwone liczby dałyby się odjąć, ale czy od ułamka moglibyśmy odjąć ułamek? Zmieniać kolejności tych ułamków nie wolno. Nie można też pisać, że z odejmowania tych ułamków wyjdzie bo odejmowanie nie jest przemienne. W takiej sytuacji tj. gdy ułamek przy pierwszej liczbie mieszanej jest mniejszy od ułamka przy drugiej liczbie mieszanej, trzeba w pierwszej liczbie mieszanej rozmienić jedną całość, tak jak to było robione w powyższym ćwiczeniu. Obliczenia więc powinny być takie: 4 1 = 3 ł łść 1 ż ż ą ć Prześledź inne rozwiązane przykłady wraz z opisem do nich. = 3 = = 5 2 = 3 = 3 Ponieważ ułamków które stoją przy dużych czerwonych liczbach 6 i 2 nie da się odjąć, więc w pierwszej liczbie mieszanej rozmieniono jedną całość. W otrzymanym wyniku dodatkowo skrócono ułamek przez 2 (jego licznik podzielno przez 2 i mianownik także przez 2) = 9 4 = 5 10 = 9 = 9 Ponieważ ułamków które stoją przy dużych czerwonych liczbach 10 i 4 nie da się odjąć, więc w pierwszej liczbie mieszanej rozmieniono jedną całość. Drugą liczbę przepisano, bo z nią nic nie było robione. Tu jest coś podobnego jak wyżej. Trzeba było tylko pamiętać, że jak przy drugim ułamku nie ma napisanej dużej liczby (całości), to w myślach trzeba wyobrazić sobie że jest tam = 4 1 ó 4 1 = 3 łść = 3 łść 1 1 = 3 1 ó = 2 Jeśli ułamki w liczbach mieszanych mają różne mianowniki, to warto je najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika. Chodzi o to, że dopiero po sprowadzeniu ułamków do wspólnego mianownika widać, czy potrzebne będzie rozmienianie całości w pierwszej liczbie mieszanej. W tym przypadku okazało się że tak, bo ułamków nie dało się odjąć. = 2 W tym przykładzie najpierw rozmieniono całość w pierwszej liczbie mieszanej, a dopiero potem sprowadzono oba ułamki do wspólnego mianownika. Ja jednak polecam najpierw sprowadzać ułamki do wspólnego mianownika, a dopiero potem oceniać, czy trzeba rozmieniać jedną całość w pierwszej liczbie. Wynik końcowy oczywiście wyjdzie ten sam. Wersja z dnia Strona 9

10 Ćwiczenie: Doprowadź ułamki w podanych liczbach mieszanych do wspólnego mianownika i oceń w którym z podpunktów trzeba będzie rozmienić jedną całość w pierwszej liczbie mieszanej. [Podpowiedź: Rozmienić całość trzeba będzie w tych podpunktach, w których pierwszy ułamek jest mniejszy od drugiego. Najpierw sprowadź ułamki do wspólnego mianownika. Nie musi to być mianownik najmniejszy. Wystarczy że będzie taki sam w obu ułamkach.] a) 8 2 = b) 7 6 = c) 16 9 = d) 5 1 = [Odp. a) Najmniejszy wspólny mianownik: 12. Trzeba rozmienić jedną całość. b) Najmniejszy wspólny mianownik: 72. Nie trzeba rozmieniać całości. c) Najmniejszy wspólny mianownik: 48. Nie trzeba rozmieniać całości w pierwszej liczbie. d) Najmniejszy wspólny mianownik: 42. Trzeba rozmienić jedną całość w pierwszej liczbie.] Ćwiczenie: Oblicz. a) 8 2 = b) 7 6 = c) 16 9 = d) 5 1 = [Odp. a) 5 b) 1 c) 7 d) 3.] d) Odejmowanie liczb mieszanych z uwzględnieniem liczb ujemnych Załóżmy, że masz do obliczenia takie działanie: 5 15 = Na pierwszy rzut oka nie różni się ono zbytnio od tego co było robione do tej pory w tym opracowaniu. Jest jednak w nim pewien haczyk, w który wpada bardzo wielu uczniów (nawet piątkowych). Haczyk o którym myślę wymienię poniżej w punkcie 3. Teraz zaś napiszę w punktach co musisz wykonać krok po kroku by dojść do wyniku końcowego w powyższym przykładzie. 1. Aby odjąć 2 liczby mieszane, musisz mieć te same liczby pod kreskami ułamkowymi (w mianownikach). By to osiągnąć rozszerzasz ułamek drugiej liczby przez 2 (liczbę 4 mnożysz przez 2 i dodatkowo liczbę 1 mnożysz przez 2). Dzięki temu z ułamka o mianowniku 4 dostajesz ułamek o mianowniku ć = 5 15 = 2. Mając już 2 ułamki o tym samym mianowniku, odejmujesz całości od całości, czyli od liczby 5 odejmujesz liczbę 15 (nie odwrotnie). Otrzymujesz w tym przypadku liczbę ć = 5 15 = Patrzysz czy po odjęciu ułamków które stoją przy liczbach: 5 i 15 dostaniesz wynik dodatni czy ujemny. Jeśli pierwszy ułamek jest większy od drugiego, to do liczby otrzymanej w punkcie powyższym (w tym przypadku do liczby 10) dopisujesz znak +, jeśli nie, to. 4. Odejmujesz dane ułamki ć = 5 15 = ć = 5 15 = = Wersja z dnia Strona 10

11 5. Wykonujesz wskazane działanie ć = 5 15 = = = = 9 Trudne, prawda? To teraz przeanalizuj sobie poniższe już rozwiązane przykłady. Może stanie się to trochę bardziej zrozumiałe ć = 8 10 ż ł ą ą = = łść ą ó = 1 5 = 1 12 ę ł ą ą ( ) Ćwiczenie: Oblicz. a) 8 12 = b) 7 16 = c) [Odp. a) 3 b) 8 c) 2 d) 8.] = d) 5 14 = ć = ż ł ą ą = = łść ą ó = ć = ę ż ł ą ą = = ć = = ę, ż ł ą ą = ć = = ż ł ą ą = 18 Wersja z dnia Strona 11

12 Temat: Przydatne linki. 1. Dodawanie ułamków i liczb mieszanych o różnych mianownikach. 2. Co to jest ułamek zwykły? 3. Działania na ułamkach zwykłych on-line. Wersja z dnia Strona 12

Ułamki zwykłe. mgr Janusz Trzepizur

Ułamki zwykłe. mgr Janusz Trzepizur Ułamki zwykłe mgr Janusz Trzepizur Ułamek jako część całości W ułamku wyróżniamy licznik i mianownik. kreska ułamkowa licznik mianownik (czytamy: jedna druga) czyli połowa całości. Dwie takie połowy tworzą

Bardziej szczegółowo

Podstawą w systemie dwójkowym jest liczba 2 a w systemie dziesiętnym liczba 10.

Podstawą w systemie dwójkowym jest liczba 2 a w systemie dziesiętnym liczba 10. ZAMIANA LICZB MIĘDZY SYSTEMAMI DWÓJKOWYM I DZIESIĘTNYM Aby zamienić liczbę z systemu dwójkowego (binarnego) na dziesiętny (decymalny) należy najpierw przypomnieć sobie jak są tworzone liczby w ww systemach

Bardziej szczegółowo

Lista 1 liczby rzeczywiste.

Lista 1 liczby rzeczywiste. Lista 1 liczby rzeczywiste Zad 1 Przedstaw liczbę m w postaci W każdym ze składników tej sumy musimy wyłączyd czynnik przed znak pierwiastka Można to zrobid rozkładając liczby podpierwiastkowe na czynniki

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji matematyki w kl. V.

Scenariusz lekcji matematyki w kl. V. Scenariusz lekcji matematyki w kl. V. T em a t : Powtórzenie wiadomości ułamki zwykłe, dodawanie i odejmowanie ułamków. C z a s z a jęć: 1 jednostka lekcyjna (45 minut). C e l e o g ó l n e : utrwalenie

Bardziej szczegółowo

Usuwanie niewymierności z mianownika ułamka

Usuwanie niewymierności z mianownika ułamka Usuwanie niewymierności z mianownika ułamka Przedmowa To opracowanie jest napisane z myślą o uczniach gimnazjum którzy nie wiedzą w jaki sposób oraz po co się usuwa niewymierność z mianownika ułamka Starałem

Bardziej szczegółowo

WIOLETTA NAWROCKA nauczyciel matematyki w Zespole Szkół w Choczewie IDĘ DO GIMNAZJUM ZADANIA TESTOWE Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. VI.

WIOLETTA NAWROCKA nauczyciel matematyki w Zespole Szkół w Choczewie IDĘ DO GIMNAZJUM ZADANIA TESTOWE Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. VI. WIOLETTA NAWROCKA nauczyciel matematyki w Zespole Szkół w Choczewie IDĘ DO GIMNAZJUM ZADANIA TESTOWE Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. VI. Przeczytaj uważnie pytanie. Chwilę zastanów się. Masz do wyboru cztery

Bardziej szczegółowo

Do gimnazjum by dobrze zakończyć! Do liceum by dobrze zacząć! MATEMATYKA. Na dobry start do liceum. Zadania. Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

Do gimnazjum by dobrze zakończyć! Do liceum by dobrze zacząć! MATEMATYKA. Na dobry start do liceum. Zadania. Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro 6 Na dobry start do liceum 8Piotr Drozdowski 6 Do gimnazjum by dobrze zakończyć! Do liceum by dobrze zacząć! MATEMATYKA Zadania Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro Piotr Drozdowski MATEMATYKA. Na dobry

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA. JEDNOSTKI DŁUGOŚCI kilometr hektometr metr decymetr centymetr milimetr mikrometr km hm m dm cm mm µm

MATEMATYKA. JEDNOSTKI DŁUGOŚCI kilometr hektometr metr decymetr centymetr milimetr mikrometr km hm m dm cm mm µm MATEMATYKA Spis treści 1 jednostki miar 2 wzory skróconego mnożenia 3 podzielność liczb 3 przedrostki 4 skala 4 liczby naturalne 5 ułamki zwykłe 9 ułamki dziesiętne 9 procenty 10 geometria i stereometria

Bardziej szczegółowo

Zaokrąglanie liczb. 5. Zadania utrwalające zaokrąglanie ułamków dziesiętnych... 18. 6. Zaokrąglanie ułamków zwykłych i liczb mieszanych...

Zaokrąglanie liczb. 5. Zadania utrwalające zaokrąglanie ułamków dziesiętnych... 18. 6. Zaokrąglanie ułamków zwykłych i liczb mieszanych... Zaokrąglanie liczb Przedmowa To opracowanie jest napisane głównie z myślą o uczniach szkół podstawowych którzy po raz pierwszy spotykają się z zaokrąglaniem liczb. Oprócz wiedzy potrzebnej uczniom szkół

Bardziej szczegółowo

ZMIERZYĆ SIĘ Z KALKULATOREM

ZMIERZYĆ SIĘ Z KALKULATOREM ZMIERZYĆ SIĘ Z KALKULATOREM Agnieszka Cieślak Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania z siedzibą w Rzeszowie Streszczenie Referat w prosty sposób przedstawia niekonwencjonalne sposoby mnożenia liczb. Tematyka

Bardziej szczegółowo

Obliczanie jakim procentem jednej liczby jest druga liczba

Obliczanie jakim procentem jednej liczby jest druga liczba Obliczanie jakim procentem jednej liczby jest druga liczba Przedmowa Początek tego opracowania jest napisany z myślą o uczniach szkół podstawowych którzy całkowicie nie rozumieją o co chodzi w procentach,

Bardziej szczegółowo

Matematyka, kl. 4. Uczeń:

Matematyka, kl. 4. Uczeń: Matematyka, kl. 4 Liczby i działania Program Matematyka z plusem Ocena Uczeń: Zna: pojęcia składnika, sumy, odjemnej, odjemnika, różnicy, czynnika, iloczynu, dzielnej, dzielenia, ilorazu, niewykonalność

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka komputera. Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka. Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI

Arytmetyka komputera. Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka. Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI Arytmetyka komputera Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI Spis treści 1. Jednostki informacyjne 2. Systemy liczbowe 2.1. System

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI NA POSZCZEGOLNE OCENY W KLASIE IV

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI NA POSZCZEGOLNE OCENY W KLASIE IV WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI NA POSZCZEGOLNE OCENY W KLASIE IV I SEMESTR a) Wymagania konieczne (na ocenę dopuszczającą) Obejmują wiadomości i umiejętności umożliwiające uczniowi dalszą naukę, bez

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia.

ARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia. ARYTMETYKA BINARNA ROZWINIĘCIE DWÓJKOWE Jednym z najlepiej znanych sposobów kodowania informacji zawartej w liczbach jest kodowanie w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, w którym dla przedstawienia liczb

Bardziej szczegółowo

Jak nie zostać niewolnikiem kalkulatora? Obliczenia pamięciowe i pisemne.

Jak nie zostać niewolnikiem kalkulatora? Obliczenia pamięciowe i pisemne. Jak nie zostać niewolnikiem kalkulatora? Obliczenia pamięciowe i pisemne. W miarę postępu techniki w niepamięć odeszły nawyki do wykonywania pisemnych albo pamięciowych obliczeń. O suwaku logarytmicznym,

Bardziej szczegółowo

Układy równań stopnia pierwszego z dwiema i trzema niewiadomymi

Układy równań stopnia pierwszego z dwiema i trzema niewiadomymi Układy równań stopnia pierwszego z dwiema i trzema niewiadomymi Przedmowa To opracowanie jest napisane z myślą o gimnazjalistach, ale mogą z niego korzystać także Ci, co chcą się dowiedzieć np. jak rozwiązuje

Bardziej szczegółowo

Procenty i promile. 1. Pojęcie procentu... 3 Zamiana ułamków zwykłych i dziesiętnych na procenty... 3

Procenty i promile. 1. Pojęcie procentu... 3 Zamiana ułamków zwykłych i dziesiętnych na procenty... 3 Procenty i promile Przedmowa Początek tego opracowania jest napisany z myślą o uczniach szkół podstawowych którzy całkowicie nie rozumieją o co chodzi w procentach, a pozostała część jest przeznaczona

Bardziej szczegółowo

Matematyka Matematyka z pomysłem Klasa 5 Szkoła podstawowa 4 6

Matematyka Matematyka z pomysłem Klasa 5 Szkoła podstawowa 4 6 Wymagania na poszczególne oceny szkolne Ocena postępów ucznia jest wynikiem oceny stopnia opanowania jego umiejętności podstawowych i ponadpodstawowych. W programie nauczania Matematyka z pomysłem umiejętności

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych z matematyki na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka wokół nas klasa 4

Katalog wymagań programowych z matematyki na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka wokół nas klasa 4 Katalog wymagań programowych z matematyki na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka wokół nas klasa 4 Kategorie zostały określone następująco: dotyczy wiadomości uczeń zna uczeń rozumie dotyczy przetwarzania

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ REALIZOWANY PRZY POMOCY PODRĘCZNIKA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY VI I.

Bardziej szczegółowo

Jak napisać program obliczający pola powierzchni różnych figur płaskich?

Jak napisać program obliczający pola powierzchni różnych figur płaskich? Część IX C++ Jak napisać program obliczający pola powierzchni różnych figur płaskich? Na początku, przed stworzeniem właściwego kodu programu zaprojektujemy naszą aplikację i stworzymy schemat blokowy

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ 1. LICZBY NATURALNE I DZIESIĘTNE. DZIAŁANIA NA LICZBACH NATURALNYCH I DZIESIĘTNYCH (40 GODZ.)

DZIAŁ 1. LICZBY NATURALNE I DZIESIĘTNE. DZIAŁANIA NA LICZBACH NATURALNYCH I DZIESIĘTNYCH (40 GODZ.) Matematyka w otaczającym nas świecie Gra tabliczka mnożenia Karta pracy 1 Po IV klasie szkoły podstawowej Ślimak gra edukacyjna z tabliczką mnożenia 1. Zastosowania matematyki w sytuacjach praktycznych

Bardziej szczegółowo

Widoczność zmiennych Czy wartości każdej zmiennej można zmieniać w dowolnym miejscu kodu? Czy można zadeklarować dwie zmienne o takich samych nazwach?

Widoczność zmiennych Czy wartości każdej zmiennej można zmieniać w dowolnym miejscu kodu? Czy można zadeklarować dwie zmienne o takich samych nazwach? Część XVIII C++ Funkcje Widoczność zmiennych Czy wartości każdej zmiennej można zmieniać w dowolnym miejscu kodu? Czy można zadeklarować dwie zmienne o takich samych nazwach? Umiemy już podzielić nasz

Bardziej szczegółowo

mgr Agnieszka Łukasiak Zasadnicza Szkoła Zawodowa przy Zespole Szkół nr 3 we Włocławku

mgr Agnieszka Łukasiak Zasadnicza Szkoła Zawodowa przy Zespole Szkół nr 3 we Włocławku Wybrane scenariusze lekcji matematyki aktywizujące uczniów. mgr Agnieszka Łukasiak Zasadnicza Szkoła Zawodowa przy Zespole Szkół nr 3 we Włocławku Scenariusz 1- wykorzystanie metody problemowej i czynnościowej.

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie IV

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie IV Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie IV a) Wymagania konieczne (na ocenę dopuszczającą) obejmują wiadomości i umiejętności umożliwiające uczniowi dalszą naukę, bez których uczeń nie jest w stanie

Bardziej szczegółowo

podręcznik z ćwiczeniami dla klasy drugiej

podręcznik z ćwiczeniami dla klasy drugiej Matematyka 2 podręcznik z ćwiczeniami dla klasy drugiej MNOŻENIE 4 grupy po 3 chłopców to razem 12 chłopców. Można to zapisać za pomocą dodawania: 3+3+3+3=12 lub krócej za pomocą mnożenia: 4. 3=12 czytamy:

Bardziej szczegółowo

KLASA IV LICZBY NATURALNE

KLASA IV LICZBY NATURALNE KLASA IV LICZBY NATURALNE - umie dodawad i odejmowad pamięciowo w zakresie 100 bez przekraczania progu dziesiątkowego, - zna tabliczkę mnożenia i dzielenia w zakresie 100, - potrafi zapisywad i odczytywad

Bardziej szczegółowo

Matematyka z kluczem klasa 4. I. Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie 4 szkoły podstawowej

Matematyka z kluczem klasa 4. I. Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie 4 szkoły podstawowej Matematyka z kluczem klasa 4 I. Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie 4 szkoły podstawowej 1. W zakresie sprawności rachunkowej uczeń: wykonuje proste działania pamięciowe na liczbach naturalnych,

Bardziej szczegółowo

Katarzyna Bereźnicka Zastosowanie arkusza kalkulacyjnego w zadaniach matematycznych. Opiekun stypendystki: mgr Jerzy Mil

Katarzyna Bereźnicka Zastosowanie arkusza kalkulacyjnego w zadaniach matematycznych. Opiekun stypendystki: mgr Jerzy Mil Katarzyna Bereźnicka Zastosowanie arkusza kalkulacyjnego w zadaniach matematycznych Opiekun stypendystki: mgr Jerzy Mil 1 Działania na ułamkach Wyłączanie całości z dodatnich ułamków niewłaściwych Formuła

Bardziej szczegółowo

LICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE

LICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE LICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE Liczby zmiennoprzecinkowe są komputerową reprezentacją liczb rzeczywistych zapisanych w formie wykładniczej (naukowej). Aby uprościć arytmetykę na nich, przyjęto ograniczenia

Bardziej szczegółowo

Matematyka, kl. 5. Konieczne umiejętności

Matematyka, kl. 5. Konieczne umiejętności Matematyka, kl. 5 Liczby i działania Program Matematyka z plusem Ocena Konieczne umiejętności Opanowane algorytmy pisemnego dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia liczb naturalnych. Prawidłowe wykonywanie

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA W KLASACH IV-VI NA LEKCJACH MATEMATYKI

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA W KLASACH IV-VI NA LEKCJACH MATEMATYKI PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA W KLASACH IV-VI NA LEKCJACH MATEMATYKI KONTRAKT 1. Przedmiotem oceniania są: umiejętności, wiedza ucznia, zaangażowanie w proces nauczania (aktywność). 2. Sprawdzanie wiedzy

Bardziej szczegółowo

Wymagania programowe na poszczególne stopnie szkolne klasa 4

Wymagania programowe na poszczególne stopnie szkolne klasa 4 Wymagania programowe na poszczególne stopnie szkolne klasa 4 Nauczyciel matematyki ocenia osiągnięcia ucznia, wykorzystując następujące formy: prace pisemne (prace klasowe, sprawdziany, kartkówki) odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY VI

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY VI MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY VI WYMAGANIA EDUKACYJNE NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA KLASY VI : 1. zamieni ułamek zwykły na dziesiętny dowolnym sposobem 2. porówna ułamek zwykły i dziesiętny 3.

Bardziej szczegółowo

Matematyka z plusem dla szkoły podstawowej ZAŁOŻENIA DO PLANU WYNIKOWEGO Z MATEMATYKI DLA KLASY IV

Matematyka z plusem dla szkoły podstawowej ZAŁOŻENIA DO PLANU WYNIKOWEGO Z MATEMATYKI DLA KLASY IV Program nauczania: Matematyka z plusem Liczba godzin nauki w tygodniu: 4 Planowana liczba godzin w ciągu roku: 130 Matematyka z plusem dla szkoły podstawowej ZAŁOŻENIA DO PLANU WYNIKOWEGO Z MATEMATYKI

Bardziej szczegółowo

SPRAWDZIAN UMIEJĘTNOŚCI MATEMATYCZNYCH

SPRAWDZIAN UMIEJĘTNOŚCI MATEMATYCZNYCH SPRAWDZIAN UMIEJĘTNOŚCI MATEMATYCZNYCH PO KLASIE 3 SZKOŁY PODSTAWOWEJ Autor: Grażyna Wójcicka Konsultacje: Weronika Janiszewska, Joanna Zagórska, Maria Zaorska, Tomasz Zaorski imię i nazwisko 1 Zapisz

Bardziej szczegółowo

SCENARIUSZ LEKCJI MATEMATYKI W KLASIE V.

SCENARIUSZ LEKCJI MATEMATYKI W KLASIE V. Autor: Marzena Dłużewska SCENARIUSZ LEKCJI MATEMATYKI W KLASIE V. Temat: Ułamki zwykłe, liczba mieszana- powtórzenie wiadomości. Tytuł cyklu WSiP na podstawie, którego został opracowany scenariusz: Matematyka

Bardziej szczegółowo

3 Potęgi i pierwiastki

3 Potęgi i pierwiastki Potęgi i pierwiastki W tej lekcji przypomnimy sobie podstawowe własności działań na potęgach i pierwiastkach. Prosimy o zapoznanie się z regulaminem na ostatniej stronie..1 Potęga o wykładniku całkowitym

Bardziej szczegółowo

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d.

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d. 2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d.) 10 października 2009 r. 20. Która liczba jest większa,

Bardziej szczegółowo

3.3.1. Metoda znak-moduł (ZM)

3.3.1. Metoda znak-moduł (ZM) 3.3. Zapis liczb binarnych ze znakiem 1 0-1 0 1 : 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 reszta 0 0 0 0 0 0 0 1 3.3. Zapis liczb binarnych ze znakiem W systemie dziesiętnym liczby ujemne opatrzone są specjalnym

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA MATEMATYKA. Szkoła Podstawowa w Stęszewie

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA MATEMATYKA. Szkoła Podstawowa w Stęszewie PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA MATEMATYKA Szkoła Podstawowa w Stęszewie Przedmiotowy System Oceniania z Matematyki I. Zasady oceniania 1) Ocenie podlegają wszystkie wymienione formy aktywności ucznia określone

Bardziej szczegółowo

HOSPITACJA DIAGNOZUJĄCA

HOSPITACJA DIAGNOZUJĄCA HOSPITACJA DIAGNOZUJĄCA SPRAWDZAJĄCA OPANOWA UMIEJĘTNOŚCI Z ZAKRESU POJĘCIA UŁAMKA ZWYKŁEGO W KL. IV TEMAT ZAJĘĆ : WYCIECZKA DO OJCOWA OPRACOWA I PROWADZE ZAJĘĆ: mgr Strona z 8 Data:.0.00 r. Klasa: IVb

Bardziej szczegółowo

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej V Konkurs Matematyczny Politechniki iałostockiej Rozwiązania - klasy pierwsze 27 kwietnia 2013 r. 1. ane są cztery liczby dodatnie a b c d. Wykazać że przynajmniej jedna z liczb a + b + c d b + c + d a

Bardziej szczegółowo

Uczeń wykonuje proste działania pamięciowe na liczbach naturalnych, całkowitych i ułamkach, zna i stosuje algorytmy działań pisemnych oraz potrafi

Uczeń wykonuje proste działania pamięciowe na liczbach naturalnych, całkowitych i ułamkach, zna i stosuje algorytmy działań pisemnych oraz potrafi Rozkład materiału nauczania. Matematyka wokół nas Klasa 4 DZIAŁANIA NA LICZBACH NATURALNYCH (22 h) 1 Liczby naturalne. Oś liczbowa 1. 1 ) odczytuje i zapisuje liczby naturalne wielocyfrowe 1. 2 ) interpretuje

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowe zasady oceniania dla klasy 4 Matematyka z plusem

Przedmiotowe zasady oceniania dla klasy 4 Matematyka z plusem Przedmiotowe zasady oceniania dla klasy 4 Matematyka z plusem 1. Przedmiotowe zasady oceniania (PZO) to podstawowe zasady wewnątrzszkolnego oceniania uczniów zgodny z podstawą programową oraz wewnątrzszkolnymi

Bardziej szczegółowo

Czesław i Łukasz Kuncewicz. matematyka. sprawdziany kompetencji. dla klasy 5 zreformowanej szkoły podstawowej

Czesław i Łukasz Kuncewicz. matematyka. sprawdziany kompetencji. dla klasy 5 zreformowanej szkoły podstawowej matematyka sprawdziany kompetencji dla klasy zreformowanej szkoły podstawowej Łódź 2001 Korekta Grażyna Pysznicka-Kozik Projekt okładki Jacek Wilk Skład Krzysztof Jodłowski Copyright by Piątek Trzynastego,

Bardziej szczegółowo

Program edukacyjny wspierający nauczanie matematyki w klasach IV i VI

Program edukacyjny wspierający nauczanie matematyki w klasach IV i VI Program edukacyjny wspierający nauczanie matematyki w klasach IV i VI Teresa Świrska Aleksandra Jakubowska Małgorzata Niedziela Jolanta Dyjakon Mariusz Mielczarek Wrocław 2013 I. W S T Ę P Intencją autorów

Bardziej szczegółowo

Wymagania programowe na poszczególne stopnie szkolne klasa VI

Wymagania programowe na poszczególne stopnie szkolne klasa VI Wymagania programowe na poszczególne stopnie szkolne klasa VI Nauczyciel matematyki ocenia osiągnięcia ucznia, wykorzystując następujące formy: prace pisemne (prace klasowe, sprawdziany, kartkówki) odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

W jakim stopniu uczniowie opanowali umiejętność Wykorzystywania wiedzy w praktyce? Analiza zadań otwartych z arkusza Sprawdzian 2012

W jakim stopniu uczniowie opanowali umiejętność Wykorzystywania wiedzy w praktyce? Analiza zadań otwartych z arkusza Sprawdzian 2012 Jerzy Matwijko Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Krakowie W jakim stopniu uczniowie opanowali umiejętność Wykorzystywania wiedzy w praktyce? Analiza zadań otwartych z arkusza Sprawdzian 2012 W Pracowni

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie IV

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie IV Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie IV Wymagania na ocenę celującą stosowanie znanych wiadomości i umiejętności w sytuacjach trudnych, nietypowych, złożonych. Propozycja własnych nietypowych rozwiązań.

Bardziej szczegółowo

SCENARIUSZ LEKCJI MATEMATYKI W KLASIE IV

SCENARIUSZ LEKCJI MATEMATYKI W KLASIE IV SCENARIUSZ LEKCJI MATEMATYKI W KLASIE IV Opracowała: Hanna Nowakowska Szkoła Podstawowa im. Jana Pawła II w Żydowie TEMAT : ŻEGNAMY FIGURY PŁASKIE Cel ogólny: Utrwalenie wiadomości o figurach płaskich

Bardziej szczegółowo

O 3.1. Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 4

O 3.1. Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 4 O 3.1. Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 4 Kategorie zostały określone następująco: dotyczące wiadomości uczeń zna uczeń rozumie dotyczące przetwarzania wiadomości uczeń

Bardziej szczegółowo

ARCHITEKRURA KOMPUTERÓW Kodowanie liczb ze znakiem 27.10.2010

ARCHITEKRURA KOMPUTERÓW Kodowanie liczb ze znakiem 27.10.2010 ARCHITEKRURA KOMPUTERÓW Kodowanie liczb ze znakiem 27.10.2010 Do zapisu liczby ze znakiem mamy tylko 8 bitów, pierwszy od lewej bit to bit znakowy, a pozostałem 7 to bity na liczbę. bit znakowy 1 0 1 1

Bardziej szczegółowo

Szkoła Podstawowa. Uczymy się dowodzić. Opracowała: Ewa Ślubowska. ewa.slubowska@wp.pl

Szkoła Podstawowa. Uczymy się dowodzić. Opracowała: Ewa Ślubowska. ewa.slubowska@wp.pl Szkoła Podstawowa Uczymy się dowodzić Opracowała: Ewa Ślubowska ewa.slubowska@wp.pl PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA II etap edukacyjny: klasy IV VI I. Sprawność rachunkowa. Uczeń wykonuje proste

Bardziej szczegółowo

Scenariusz zajęć. Moduł VI. Projekt Gra logiczna zgadywanie liczby

Scenariusz zajęć. Moduł VI. Projekt Gra logiczna zgadywanie liczby Scenariusz zajęć Moduł VI Projekt Gra logiczna zgadywanie liczby Moduł VI Projekt Gra logiczna zgadywanie liczby Cele ogólne: przypomnienie i utrwalenie poznanych wcześniej poleceń i konstrukcji języka

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WOKÓŁ NAS Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 6

MATEMATYKA WOKÓŁ NAS Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 6 MATEMATYKA WOKÓŁ NAS Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 6 UCZEŃ Dział programu: Liczby naturalne Oblicza różnice czasu proste Wymienia jednostki opisujące prędkość, drogę,

Bardziej szczegółowo

ADAM KONSTANTYNOWICZ MATEMATYKA KOREPETYCJE GIMNAZJALISTY

ADAM KONSTANTYNOWICZ MATEMATYKA KOREPETYCJE GIMNAZJALISTY ADAM KONSTANTYNOWICZ MATEMATYKA KOREPETYCJE GIMNAZJALISTY Redaktor serii: Marek Jannasz Redakcja: Inga Linder-Kopiecka Korekta: Marek Kowalik Projekt okładki: Teresa Chylińska-Kur, KurkaStudio Projekt

Bardziej szczegółowo

Lista zadań. Babilońska wiedza matematyczna

Lista zadań. Babilońska wiedza matematyczna Lista zadań Babilońska wiedza matematyczna Zad. 1 Babilończycy korzystali z tablicy dodawania - utwórz w arkuszu kalkulacyjnym EXCEL tablicę dodawania liczb w układzie sześćdziesiątkowym, dla liczb ze

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań na poszczególne oceny z matematyki dla kl. VI Program nauczania Matematyka wokół nas

Katalog wymagań na poszczególne oceny z matematyki dla kl. VI Program nauczania Matematyka wokół nas Katalog wymagań na poszczególne oceny z matematyki dla kl. VI Program nauczania Matematyka wokół nas OCENA DOPUSZCZAJĄCA (wymagania na ocenę dopuszczającą są równoważne z minimum programowe dla klasy VI)

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W KLASACH IV-VI

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W KLASACH IV-VI PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W KLASACH IV-VI 1. Każdy uczeń jest oceniany zgodnie z zasadami sprawiedliwości. 2. Na lekcjach matematyki oceniane są następujące obszary aktywności ucznia:

Bardziej szczegółowo

Wymagania programowe z matematyki w klasie 4 sp. PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV

Wymagania programowe z matematyki w klasie 4 sp. PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV Wymagania programowe z matematyki w klasie 4 sp. Program nauczania: Matematyka z plusem, numer dopuszczenia programu DKOW 5002-37/08 Liczba godzin nauki w tygodniu: 4 Planowana liczba godzin w ciągu roku:

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki do klasy 4 a) Wymagania konieczne (na ocenę dopuszczającą) obejmują wiadomości i umiejętności

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki do klasy 4 a) Wymagania konieczne (na ocenę dopuszczającą) obejmują wiadomości i umiejętności Wymagania na poszczególne oceny z matematyki do klasy 4 a) Wymagania konieczne (na ocenę dopuszczającą) obejmują wiadomości i umiejętności umożliwiające uczniowi dalszą naukę, bez których uczeń nie jest

Bardziej szczegółowo

Wymagania programowe na poszczególne stopnie szkolne klasa 5

Wymagania programowe na poszczególne stopnie szkolne klasa 5 Wymagania programowe na poszczególne stopnie szkolne klasa 5 Nauczyciel matematyki ocenia osiągnięcia ucznia, wykorzystując następujące formy: prace pisemne (prace klasowe, sprawdziany, kartkówki) odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 6.

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 6. Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 6. Semestr 1 Dział programu: Liczby naturalne Oblicza różnice czasu proste Wymienia

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA SZKOŁA PODSTAWOWA TEST CAŁOROCZNY PO KLASIE PIĄTEJ

MATEMATYKA SZKOŁA PODSTAWOWA TEST CAŁOROCZNY PO KLASIE PIĄTEJ MATEMATYKA SZKOŁA PODSTAWOWA TEST CAŁOROCZNY PO KLASIE PIĄTEJ Drogi uczniu, przed Tobą test sprawdzający wiadomości i umiejętności matematyczne po klasie V. Rozwiązując zadania dowiesz się, co z matematyki

Bardziej szczegółowo

Scenariusz zajęć nr 8

Scenariusz zajęć nr 8 Autor scenariusza: Małgorzata Marzycka Blok tematyczny: Świat wokół nas Scenariusz zajęć nr 8 Temat dnia: Zabawy matematyką. I. Czas realizacji: 2 jednostki lekcyjne. II. Czynności przed lekcyjne: przygotowanie

Bardziej szczegółowo

XV MIĘDZYSZKOLONA LIGA PRZEDMIOTOWA PŁOCK 2009. ZADANIA KONKURSOWE Z MATEMATYKI dla klasy V szkoły podstawowej. Opracowanie: mgr Władysława Paczesna

XV MIĘDZYSZKOLONA LIGA PRZEDMIOTOWA PŁOCK 2009. ZADANIA KONKURSOWE Z MATEMATYKI dla klasy V szkoły podstawowej. Opracowanie: mgr Władysława Paczesna XV MIĘDZYSZKOLONA LIGA PRZEDMIOTOWA PŁOCK 009 ZADANIA KONKURSOWE Z MATEMATYKI dla klasy V szkoły podstawowej Opracowanie: mgr Władysława Paczesna 1 Zapraszamy Cię do wzięcia udziału w Międzyszkolnej Lidze

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy

Bardziej szczegółowo

Ciekawe zadania o... liczbach całkowitych poziom 2

Ciekawe zadania o... liczbach całkowitych poziom 2 1/6 Małgorzata Rucińska-Wrzesińska Ciekawe zadania o... liczbach całkowitych poziom 2 Zadanie 1 Zapisz w postaci liczb ujemnych: a. temperaturę powietrza zanotowaną pewnego zimowego poranka i wynoszącą

Bardziej szczegółowo

ZAŁOŻENIA DO PLANU WYNIKOWEGO Z MATEMATYKI DLA KLASY IV

ZAŁOŻENIA DO PLANU WYNIKOWEGO Z MATEMATYKI DLA KLASY IV ZAŁOŻENIA DO PLANU WYNIKOWEGO Z MATEMATYKI DLA KLASY IV Program nauczania: Matematyka z plusem, numer dopuszczenia programu DKW 4014 138/99 Liczba godzin nauki w tygodniu: 4 Planowana liczba godzin w ciągu

Bardziej szczegółowo

Autor: Małgorzata Urbańska. Temat lekcji: Zadania matematyczne nie z tej planety.

Autor: Małgorzata Urbańska. Temat lekcji: Zadania matematyczne nie z tej planety. Autor: Małgorzata Urbańska Klasa I Edukacja: matematyczna, muzyczna, ruchowa, Cel/cele zajęć: - rozwijanie zainteresowania dziecięcą matematyką, - wskazanie sposobów rozwiązania problemów, - wyrabianie

Bardziej szczegółowo

ZAŁOŻENIA DO PLANU WYNIKOWEGO Z MATEMATYKI DLA KLASY IV

ZAŁOŻENIA DO PLANU WYNIKOWEGO Z MATEMATYKI DLA KLASY IV ZAŁOŻENIA DO PLANU WYNIKOWEGO Z MATEMATYKI DLA KLASY IV Program nauczania: Matematyka z plusem, numer dopuszczenia programu DKW 4014 138/99 Liczba godzin nauki w tygodniu: 4 Planowana liczba godzin w ciągu

Bardziej szczegółowo

Matematyka od podstaw do matury czyli Everest w zasięgu Twojej dłoni

Matematyka od podstaw do matury czyli Everest w zasięgu Twojej dłoni Matematyka od podstaw do matury czyli Everest w zasięgu Twojej dłoni Drogi Czytelniku W tej książce pragnę nauczyć Cię matematyki. W prosty i przyjazny sposób wytłumaczę Ci teorię i przećwiczymy ją na

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

Data.. Klasa.. Wersja A. Tabelkę wypełnia nauczyciel Zadanie 4. Zadanie 5. Zadanie 9 pkt. pkt. pkt. pkt. pkt. pkt. pkt. pkt. pkt.

Data.. Klasa.. Wersja A. Tabelkę wypełnia nauczyciel Zadanie 4. Zadanie 5. Zadanie 9 pkt. pkt. pkt. pkt. pkt. pkt. pkt. pkt. pkt. Imię i nazwisko Data.. Klasa.. Wersja A 2 3 Tabelkę wypełnia nauczyciel 4 5 6 7 8 9 pkt. pkt. pkt. pkt. pkt. pkt. pkt. pkt. pkt. MATEMATYKA Diagnoza wstępna absolwenta gimnazjum Na rozwiązanie poniżej

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

Lista 8 Wyrażenia wymierne. Przypomnijmy, że: Jeżeli wykres funkcji przesuniemy o wektor, to otrzymamy wykres funkcji.

Lista 8 Wyrażenia wymierne. Przypomnijmy, że: Jeżeli wykres funkcji przesuniemy o wektor, to otrzymamy wykres funkcji. Lista 8 Wyrażenia wymierne. Zad 1. Narysuj wykres funkcji. Przykład 1:. Przypomnijmy, że: Jeżeli wykres funkcji przesuniemy o wektor, to otrzymamy wykres funkcji. Funkcję nazywamy funkcja podstawową, a

Bardziej szczegółowo

P L A N R E A L I Z A C J I M A T E R I A Ł U Z M A T E M A T Y K I D L A K L A S Y I V d r o k s z k o l n y 2 0 1 5 / 2 0 1 6

P L A N R E A L I Z A C J I M A T E R I A Ł U Z M A T E M A T Y K I D L A K L A S Y I V d r o k s z k o l n y 2 0 1 5 / 2 0 1 6 P L A N R E A L I Z A C J I M A T E R I A Ł U Z M A T E M A T Y K I D L A K L A S Y I V d r o k s z k o l n y 0 1 5 / 0 1 6 Program nauczania: Matematyka z pomysłem, numery dopuszczenia podręczników 687/1/014,

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum - nie potrafi konstrukcyjnie podzielić odcinka - nie potrafi konstruować figur jednokładnych - nie zna pojęcia skali - nie rozpoznaje figur jednokładnych

Bardziej szczegółowo

SCENARIUSZ LEKCJI. o ułamkach zwykłych cz.2. 4. Integracja:

SCENARIUSZ LEKCJI. o ułamkach zwykłych cz.2. 4. Integracja: SCENARIUSZ LEKCJI 1. Informacje wstępne Klasa IV c PSP 20 w Opolu Czas trwania zajęć 2 45 minut Nauczany przedmiot matematyka Nauczyciel przedmiotu Małgorzata Jackowska 2. Program nauczania Matematyka

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne klasa trzecia.

Wymagania edukacyjne klasa trzecia. TEMAT Wymagania edukacyjne klasa trzecia. WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Lekcja organizacyjna System dziesiątkowy System rzymski Liczby wymierne i niewymierne

Bardziej szczegółowo

Urządzenia Techniki. Klasa I TI. System dwójkowy (binarny) -> BIN. Przykład zamiany liczby dziesiętnej na binarną (DEC -> BIN):

Urządzenia Techniki. Klasa I TI. System dwójkowy (binarny) -> BIN. Przykład zamiany liczby dziesiętnej na binarną (DEC -> BIN): 1. SYSTEMY LICZBOWE UŻYWANE W TECHNICE KOMPUTEROWEJ System liczenia - sposób tworzenia liczb ze znaków cyfrowych oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie operacji arytmetycznych na liczbach. Do zapisu

Bardziej szczegółowo

Matematyka z kluczem. Wymagania edukacyjne Klasa 4

Matematyka z kluczem. Wymagania edukacyjne Klasa 4 Matematyka z kluczem Wymagania edukacyjne Klasa 4 Przedmiotowy system oceniania 1 I. Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie 4 szkoły podstawowej 1. W zakresie sprawności rachunkowej uczeń: wykonuje

Bardziej szczegółowo

znajdowały się różne instrukcje) to tak naprawdę definicja funkcji main.

znajdowały się różne instrukcje) to tak naprawdę definicja funkcji main. Część XVI C++ Funkcje Jeśli nasz program rozrósł się już do kilkudziesięciu linijek, warto pomyśleć o jego podziale na mniejsze części. Poznajmy więc funkcje. Szybko się przekonamy, że funkcja to bardzo

Bardziej szczegółowo

ZAŁOŻENIA DO PLANU WYNIKOWEGO Z MATEMATYKI DLA KLASY IV

ZAŁOŻENIA DO PLANU WYNIKOWEGO Z MATEMATYKI DLA KLASY IV ZAŁOŻENIA DO PLANU WYNIKOWEGO Z MATEMATYKI DLA KLASY IV Program nauczania: Matematyka z plusem, numer dopuszczenia podręcznika 340/1/2011 Liczba godzin nauki w tygodniu: 4 Planowana liczba godzin w ciągu

Bardziej szczegółowo

Poziom wymagao edukacyjnych: K konieczny (ocena dopuszczająca) P podstawowy (ocena dostateczna) R rozszerzający (ocena dobra)

Poziom wymagao edukacyjnych: K konieczny (ocena dopuszczająca) P podstawowy (ocena dostateczna) R rozszerzający (ocena dobra) MATEMATYKA (wg programu Nie tylko wynik ) Wymagania programowe na poszczególne oceny Poziom wymagao edukacyjnych: K konieczny (ocena dopuszczająca) P podstawowy (ocena dostateczna) R rozszerzający (ocena

Bardziej szczegółowo

5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH

5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH 5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH Temat, którym mamy się tu zająć, jest nudny i żmudny będziemy się uczyć techniki obliczania wartości logicznej zdań dowolnie złożonych. Po co? możecie zapytać.

Bardziej szczegółowo

Matematyka z kluczem. Przedmiotowy system oceniania Klasa 4

Matematyka z kluczem. Przedmiotowy system oceniania Klasa 4 Matematyka z kluczem Przedmiotowy system oceniania Klasa 4 Przedmiotowy system oceniania 1 Przedmiotowy system oceniania I. Ogólne zasady oceniania uczniów 1. Ocenianie osiągnięć edukacyjnych ucznia polega

Bardziej szczegółowo

System liczbowy jest zbiorem reguł określających jednolity sposób zapisu i nazewnictwa liczb.

System liczbowy jest zbiorem reguł określających jednolity sposób zapisu i nazewnictwa liczb. 2. Arytmetyka komputera. Systemy zapisu liczb: dziesietny, dwójkowy (binarny), ósemkowy, szesnatskowy. Podstawowe operacje arytmetyczne na liczbach binarnych. Zapis liczby binarnej ze znakiem. Reprezentacja

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania (klasa 4)

Przedmiotowy system oceniania (klasa 4) 1 Przedmiotowy system oceniania (klasa 4) Przedmiotowy system oceniania (PSO) to podstawowe zasady wewnątrzszkolnego oceniania uczniów z konkretnego przedmiotu. Powinien być zgodny z podstawą programową

Bardziej szczegółowo

Matematyka z kluczem. Przedmiotowy system oceniania Klasa 4

Matematyka z kluczem. Przedmiotowy system oceniania Klasa 4 Matematyka z kluczem Przedmiotowy system oceniania Klasa 4 Przedmiotowy system oceniania 1 Przedmiotowy system oceniania (PSO) to podstawowe zasady wewnątrzszkolnego oceniania uczniów z konkretnego przedmiotu.

Bardziej szczegółowo

11.6 Klasa do obsługi liczb wymiernych

11.6 Klasa do obsługi liczb wymiernych 246 11.6 Klasa do obsługi liczb wymiernych Klasa do obsługi liczb wymiernych, którą teraz zaprojektujemy w celu zilustrowania korzyści wynikających z programowania obiektowego, służy do zgrabnego wykonywania

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki w klasie IV Matematyka z kluczem

Przedmiotowy system oceniania z matematyki w klasie IV Matematyka z kluczem Przedmiotowy system oceniania z matematyki w klasie IV Matematyka z kluczem Przedmiotowy system oceniania (PSO) to podstawowe zasady wewnątrzszkolnego oceniania uczniów z konkretnego przedmiotu. Powinien

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI DLA KLASY IV

WYMAGANIA EDUKACYJNE I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI DLA KLASY IV WYMAGANIA EDUKACYJNE I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI DLA KLASY IV Program nauczania: Matematyka z plusem, numer dopuszczenia podręcznika 340/1/2011 Liczba godzin nauki w tygodniu: 4 Planowana liczba

Bardziej szczegółowo

Które z poniższych adresów są adresem hosta w podsieci o masce 255.255.255.248

Które z poniższych adresów są adresem hosta w podsieci o masce 255.255.255.248 Zadanie 1 wspólne Które z poniższych adresów są adresem hosta w podsieci o masce 255.255.255.248 17.61.12.31 17.61.12.93 17.61.12.144 17.61.12.33 17.61.12.56 17.61.12.15 Jak to sprawdzić? ODPOWIEDŹ. Po

Bardziej szczegółowo