% POWTÓRZENIE. 1) Procent jako część całości. 1% to po prostu część całości. Stąd wynika, że procenty możemy zapisywać jako ułamki zwykłe lub

Transkrypt

1 ZSO nr w Tychach % POWTÓRZENIE ) Procent jako część całości. % to po prostu część całości. Stąd wynika, że procenty możemy zapisywać jako ułamki zwykłe lub 00 dziesiętne. Dla przykładu: 0 / / 0% lub 0% 0, 00 % % % 0,% 0% / / 00 / / 00 / 00 0, lub % 0, lub % 0, lub % 0,0 / lub 0,% 0, / lub 0%, Zadanie. Zamień procenty na ułamki zwykłe i dziesiętne: a) % b) 6% c) % d) 0,8% e) 0% f) 0% g) 0,0% Odp. a) ; 0,0 b) ; 0,6 c) ;, d) ; 0, e) ; 0, f) ;, g) ; 00 0,000 Oczywiście również każdy ułamek możemy zapisać w formie procentu. W przypadku ułamków dziesiętnych jest to tylko kwestia przesunięcia przecinka: 0, 0%; 0,0 % 0,.%, % 0,00 0,% Aby zamienić ułamek zwykły na procent możemy postąpić na dwa sposoby. Najprościej, jeśli jest to możliwe zamieniamy ułamek na równy mu ułamek o mianowniku 00 np.: 0 % ; 0% ; % ; % Jednak nie zawsze jest to możliwe co zrobić z ułamkiem np.? W takim wypadku zamieniamy ułamek zwykły na dziesiętny (np. wykonując dzielenie) i przesuwamy przecinek. Metoda ta jest zawsze skuteczna. Prześledźmy kilka przykładów: 0,8...,8...% % (oczywiście działanie : wykonujemy pisemnie) 0, %, 0% 0,,% 8

2 Zadanie. Zamień ułamki na procenty: a) 0, b) 0,06 c), d),6 e) 0,000 f) 6 g) h) 0 i) 8 j) k) l) ł) 6 Odp: a) % b),6% c) % d) 6% e) 0,0% f) % g) % h) % i)8,% j) 80% k) 8,..%, czyli ok. 9% l) 66,6 %, czyli ok. 6% ł)6,6 %,czyli ok. % ) Obliczanie procentu z liczby. Ponieważ procent to pewna część całości (ułamek), więc obliczanie procentu to po prostu obliczanie ułamka z liczby, czyli mnożenie. Przykłady: 0/ 0% z / 0 lub inaczej: mnożymy 0, 00 0 lub prościej: 00/ 0/ jedna dziesiąta z 00 to właśnie 0. 0 / / 0 0% z lub inaczej: mnożymy 0, 0 lub prościej: 00 połowa z 0 to. / / % z 0 0 / / 0 00 / % z % z 0 % z 0,0 0% z 0,% z 0 00 / 00 0 / / / / 00/ 0 / / / / 9 0 lub inaczej: mnożymy pisemnie 0, 0 0 lub prościej: trzy czwarte z 0 to 0. lub inaczej: mnożymy pisemnie 0, 00 0 lub inaczej: mnożymy pisemnie 0, 0, 0 9 lub inaczej: mnożymy pisemnie 0,0 0,0 0, lub inaczej: mnożymy pisemnie, 0, 0, 0 0/ / lub inaczej: mnożymy pisemnie 0,00 0 0, / 00 Zadanie. Oblicz procent z liczby. Obliczenia przeprowadź na ułamkach zwykłych i dziesiętnych. a) % z 00 b) % z 6 c) 0% z d) 0,0% z 0 e)% z Odp: a) 90 b) ;,08 c) ; 60 60, d) ; 0,6 e) ;, 00

3 ) Obliczanie jakim procentem danej liczby jest inna liczba. Procenty służą między innymi do porównywania dwóch wielkości. Pozwalają określić, jaką częścią danej liczby jest inna liczna. Przykładowo: Jaką częścią liczby 0 jest liczba 0? Oczywiście widać, że 0 to jedna piąta z 0, więc stanowi 0%, ale 0/ można to przeliczyć: 00% 00% 0% 0%. Warto zwrócić uwagę, że w liczniku ułamka jest 0/ / liczba, którą porównujemy, a w mianowniku ta liczba, która stanowi punkt odniesienia (z którą porównujemy). Inne przykłady: Jaką część liczby 80 stanowi liczba 60? Oczywiście można odpowiedzieć od razu: trzy czwarte, czyli %, ale można też przeliczyć: 60 / / 00% 00% % % % 80 / / / Jaki procent liczby stanowi liczba 0,? 0, 00% 00% % % % 0 / / Jaki procent liczby 0 stanowi liczba 0? Oczywiście można odpowiedzieć, że stanowi pięciokrotność, czyli 00%, albo przeliczyć: 0 00% 00% 00% 0 / / Oczywiście zagadnienie to może wystąpić w formie konkretnej historyjki. Np. Pan Kowalski otrzymał spadek w wysokości zł. Od tego spadku zapłacił podatek w wysokości 0 zł. Jaka jest stawka procentowa tego podatku? Mówiąc wprost, musimy policzyć, jakim procentem liczby jest liczba 0, czyli: 9 0 0/ / / 9 00% / / % % % 0,% Ostatnia liczba to wynik dzielenia 9: / / 000/ Pan Nowak zarabiał do tej pory 00 zł. Niedawno otrzymał podwyżkę pensji o 00 zł., więc od tej pory będzie zarabiał 00 zł. O ile procent podwyższono pensję panu Nowakowi? Z treści wynika, że musimy obliczyć, jaki procent kwoty 00 stanowi 00, czyli: 00 / / 0% 00% 00% 0% %,...% % 00 / / / / Zadanie. Wśród 00 zabawek w sklepie 0 jest uszkodzonych. Jaki procent wszystkich zabawek stanowią zabawki nieuszkodzone? Odp: 8% Zadanie. W wyborach na przewodniczącego szkoły oddano 00 głosów. Darek otrzymał 0 głosów. Jaki procent wyborców głosowało na Darka? Odp: %

4 ) Podwyżki i obniżki Zagadnienie to wiąże się bezpośrednio z zagadnieniem omówionym poprzednio. Weźmy przykład: Cena pewnego towaru wynosi 0 zł. Ile będzie wynosić cena po podwyżce o % Najpierw obliczamy % ze 0: / / 0/ / / 6 6 8zł 00/ 0 / / / Czyli podwyżka wyniesie 8 zł, a więc cena końcowa to 8 zł Cena pewnego towaru wynosi 00 zł. Ile będzie wynosić cena po obniżce o %? Najpierw obliczamy % z 00: 00 0zł 00 Cena zostanie więc obniżona o 0 zł i będzie wynosić 9 zł. Cenę towaru podwyższono z 0zł do zł. O ile procent podwyższono cenę? Cena wzrosła o zł. Musimy więc policzyć jakim procentem kwoty 0 zł (ceny początkowej) jest kwota zł (różnica cen): 00% % % %. Czyli cenę podwyższono o %. 0 / / Cenę pewnego towaru obniżono ze 0 zł do 0 zł. O ile procent obniżono cenę? Cenę obniżono o 0 zł (różnica cen) więc musimy tą kwotę porównać z ceną początkową, czyli 0 zł. Obliczamy więc, jakim procentem kwoty 0 zł jest kwota 0 zł: 0 / / 00% 00% 0% 0% Czyli ceną obniżono o 0%. 0 / Cenę towaru podwyższono z, zł do,6 zł. O ile% podwyższono cenę? Różnica cen wynosi 0, zł. Obliczamy, jaki to procent kwoty początkowej, czyli, zł: 0, 0% 00% 00% 0% 6 % 6,66...% % Czyli cenę podwyższono o ok.%., / / Zadanie. Uzupełnij tabelę: Cena początkowa Podwyżka/obniżka (%) Cena końcowa a) zł +0% b) zł -0% c) zł 0zł d) 0 zł zł Odp: a)8zł b), zł c) +0% d) ok. 6,% Zadanie. Jabłka kosztują zł, a gruszki zł. a) o ile procent gruszki są droższe od jabłek? b) o ile procent jabłka są tańsze od gruszek? Odp: a) o % b) o 0% ) Obliczanie liczby, gdy dany jest jej procent. To zagadnienie trochę różni się od poprzednich, gdyż wymaga ułożenia i rozwiązania równania. Rozpatrzmy to na prostym przykładzie. Oblicz liczbę, której 0% wynosi. Oczywiście wiadomo, że 0% to jedna piąta, więc z treści wynika, że jedna piąta szukanej liczby to, czyli szukana liczba to 0. Przy innym układzie liczb nie uda się tego rozwiązać tak prosto, warto więc poznać ogólny sposób na rozwiązanie takiego zagadnienia: Oznaczmy przez x szukaną liczbę. Treść zadania możemy zapisać następująco: 0% z liczby x wynosi, czyli: 0% z x, aby obliczyć procent z liczby wystarczy zamienić procent na ułamek i pomnożyć przez liczbę ( punkt ) więc:

5 0,x /:0, x :0, 0 x : / / Szukana liczba wynosi więc 0. % pewnej liczby to 0. Jaka to liczba? % z x 0 0,x 0 / : 0, x 0 : 0, 0 : 0 / / 00 / / Czyli szukana liczba to pamięci 0%pewnej liczby to 0. Jaka to liczba? 0% z x 0,x 0 / :, x 0 :, 0 : Jak widać trudno byłoby uzyskać taki wynik wykonując obliczenia w 0 / / 0 0 / / 0 / 8 Oczywiście omawiane zagadnienie występuje najczęściej w powiązaniu z bardziej konkretną treścią. Prześledźmy kilka przykładów. Pan Kowalski dostał podwyżkę w wysokości % i będzie zarabiał więcej o 00 zł. Ile zarabiał przed podwyżką? x pensja pana Kowalskiego przed podwyżką % z x wynosi 00 zł 0,x 00 / :0, 00 x 00 : 0, 00 : zł 00 / / Odp: Pan Kowalski przed podwyżką zarabiał 800 zł. Wiadomo, że % uczniów pewnej klasy to chłopcy. Ilu uczniów liczy klasa, jeśli chłopców jest siedmiu? x liczba wszystkich uczniów klasy % z x 0,x / :0, / / 0 x : 0, : / / Odp: Klasa liczy 0 uczniów. Aby radzić sobie z trudniejszymi zadaniami warto nauczyć się zapisywać zmiany szukanej wartości w postaci jednego wyrażenia (jednomianu). Załóżmy, że chcemy zapisać liczbę o 0% większą od x. Można to zrobić następująco: Do liczby x musimy dodać jej 0%, czyli: x + 0% z x x + 0,x, x Można pomyśleć jeszcze prościej: Jeśli do pewnej liczby dodamy jej 0% to otrzymamy 0% tej liczby. Otrzymamy więc 0% liczby x, czyli,x Tak czy inaczej liczba większa o 0% od x to,x.

6 Prześledźmy jeszcze kilka przykładów: Liczba o % mniejsza od x to 0,8x (jeśli od danej liczby odejmiemy jej % to otrzymamy 8% tej liczby) Liczba o % większa od x to,0x (jeśli do danej liczby dodamy jej % to otrzymamy 0% tej liczby) Liczba o % mniejsza od b to 0,98b (jeśli od danej liczby odejmiemy jej % to otrzymamy 98% tej liczby) Liczba o 0% większa od c to,c (jeśli do danej liczby dodamy jej 0% to otrzymamy 0% tej liczby) Wykorzystajmy ten zapis w kilku przykładach: Liczba o 0% większa od a wynosi. Oblicz liczbę a. Jeśli a jest szukaną liczbą, to liczba większa od niej o 0% może być zapisana jako,a. Mamy więc równanie:,a / :, 0 a :, : / / / / Liczba a wynosi więc 0. Liczba o 0% większa od x wynosi 88. Oczywiście liczba o 0% większa od x to,x. Mamy więc:,x 88 / :, 0 x 88:, 88: 88 / / / / Poniżej wykorzystamy poznany sposób zapisu w bardziej konkretnych sytuacjach: Proszek do prania Zwykły podrożał o % i kosztuje teraz zł. Ile kosztował przed podwyżką? Oznaczmy przez x cenę proszku przed podwyżką. Po podwyżce o % można ją zapisać jako,0x. Mamy więc:,0x / :, x :,0 : / / Odp: Przed podwyżką proszek kosztował 0 zł. Prawdziwki po ususzeniu tracą ok. 9% masy. Ile kilogramów prawdziwków trzeba zebrać, aby otrzymać 0, kg suszonych grzybów Niech x oznacza ilość (w kg) zebranych grzybów. Z treści wynika, że po wysuszeniu grzyby będą ważyć o 9% mniej niż x, czyli zostanie 8% z x, więc: 0,08x 0, / :0, x 0,: 0,08 : 6 6 6, kg / / Odp: Należy zebrać 6, kg prawdziwków. Zadanie. Po obniżce cen o 0% za kurtkę zapłacono 0 zł. Ile kosztowała przed obniżką? Odp: 00 zł Zadanie. Biuro podróży podało, że aż osób, czyli 0% klientów biura odwiedziło Egipt. Ile osób skorzystało z usług tego biura? Odp: osób.