Biologia Zadania przygotowawcze do egzaminu z matematyki

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Biologia Zadania przygotowawcze do egzaminu z matematyki"

Transkrypt

1 Biologia Zadania przygotowawcze do egzaminu z matematyki Zagadnienia wstępne 1. Oblicz:, 5 + ( , 8) : ( 1 3 ), b) ( ) 8, c) (0, 76 : ) + ( : 1, 6), d) , e) Uprość wyrażenie (8/7) 1 3 (3/) 1 (3/) 1, f) x x 1 x x(x 1) x+1 b) 1 x 1 x+x + 1+x 1+x+x 1+x 1+x+x 1 x. 1 x+x 3. Oblicz wartość wyrażenia dla a = / i b = 1/ 3. [a 3/ b(ab ) 1/ (a 1 ) /3 ] 3 4. Dla zbiorów A i B znajdź A B, A B, A \ B, B \ A oraz A B. Podaj moce tak otrzymanych zbiorów. Czy zachodzi zawieranie A B lub B A? Czy zbiory A i B są rozłączne? A = {1,, 3, 4} i B = {0, 1}, b) A = {7} i B = {5, 7, 9} 5. Wyznacz zbiory A B, A B, A \ B i B \ A dla: A = {x N : x < 15} B = {x Z : 5 x}, b) A = {x Z : x 5} B = {x Z : 1 x < 10}. 6. Dla zbiorów A i B znajdź A B, A B, A \ B, B \ A oraz A B. Podaj moce tak otrzymanych zbiorów. Czy zachodzi zawieranie A B lub B A? Czy zbiory A i B są rozłączne? A = {1,, 3, 4} i B = {0, 1}, b) A = {7} i B = {5, 7, 9}, c) A = {3, 5, 9} i B = {, 4, 6}, d) A = {1, 4, 9} i B = {1, 4}, e) A = {, 1, 0} i B = {0, 1, }, f) A = { 3, 3} i B = { 3, 3}. 7. Dla danych zbiorów A i B znajdź A B i A B oraz przedstaw je w postaci przedziału lub sumy rozłącznych przedziałów: A = ( 3; 3) {7} 8; 15) i B = ( 5; 1 0; 5) {7} (10; 1 0; + ), b) A = ( ; 1 1; 8) {11} i B = 5; ) (5; 1) 15; + ), c) A = ( ; 5) { 1} ( 1; 3 5; + ) i B = ( ; 1 (; 6) 10; + ), d) A = ( ; 3) { } ( 1; 3 5; + ) i B = ( ; (; 6) 10; + ), e) A = ( ; 0) {1} (1; 3 4; + ) i B = ( ; 1 (1; 4) 10; + ). 8. Poniższe zbiory przedstaw w postaci przedziału lub sumy rozłącznych przedziałów: {x R : (x 0) (x > 3)}, b) {x R : (x < 8) (x 4)}, c) {x R : (x > 3) (x < 5) (x 0)}, d) {x R : ((x 5) (x 3)) ((x 0) (x > 1))}, e) {x R : ((x < ) (x )) ((x < 3) (x 0))}, f) {x R : ((x < 0) (x 3)) ((x < 3) (x 7))},

2 g) {x R : ((x < ) (x 3)) ((x < ) (x 3))}, h) ( 3; \ ( 3; 0), i) 1; 6) \ (; 3, j) ( 3; 1) \ ; 1, k) ( 4; 3 \ 3; 4), l) ( 1 ; 1 + ) \ { }. 9. Oblicz 16 % liczby Wyznacz liczbę, której 1% jest równe Liczba 16, ile to procent liczby 5? 1. Komputer kosztował 3000zł, a oprogramowanie do niego 000 zł. W ciągu roku komputer staniał o 0%, a oprogramowanie podrożało o 15%. Ile obecnie kosztuje zestaw komputer z oprogramowaniem? 13. Pewien towar kosztuje 44zł, z czego % to podatek VAT. Oblicz cenę netto tego towaru. 14. Bilet kolejowy na pewnej trasie kosztuje ze zniżką 48% 57 zł 0 gr. Ile kosztuje bilet na tej samej trasie ze zniżką 37%? 15. Towar taniał czterokrotnie o 5 %. Obecna cena, ile to procent pierwotnej ceny towaru? 16. Towar z opakowaniem waży 86 kg. Waga opakowania to 4% tego ciężaru. Ile waży sam towar? 17. Uprość wyrażenia: (a 3) 3 (a )(a +4)(a+), b) (a 3) 3 4a(a+3)(a 3)+( Rozłóż poniższe wyrażenia na czynniki: 9a 1, b)(1 + x) (x + ), c)x + y + xy z, d)a 3 b 3 +ab(a b), e)0, 07a b3, f)15(p+q) p 3 q Uprość wyrażenie: (3 n k ) (3 n + k ) (3 n+1 + k+1 ). 0. Oblicz wartość wyrażenia dla podanej wartości x: (x + 5) + (x 4) (3 + x)(3 x) + 6x, dla x = 1, b) (3x + ) + (x + 1)(1 x), dla x =, c) (x + 1) + (x + 1)(1 x) (1 x) 1, dla x = Usuń niewymierność z mianownika liczb: 1 3, b) , 4 c) , d)

3 . Oblicz 3. Oblicz wartość sumy: 8 log 4, b) log 7 3 log 3 49, c) log 3 log, (log d) 6 3) + log 6 16 log 6 3 log (log 6 4). log 8+log 16+log 3+log 64+log 18+log 56+log 51+log 104, b) log log log log log Wykaż, że: 1 log + log 3 + log log = 10, b) 1 + log 3 7 log 7 5 log 5 4 = log 3 1, c) log 1 18 log (log 1 18 log 4 54) = Oblicz wartość wyrażenia: 4 +log 7, b) log 3 log 5 9, c) log 6 + log 36 9, log d) log (log ), e) 409 Funkcje, funkcje liniowe i kwadratowe 3 log 3 6 (( log 7) log 5 6 ). 1. Dla danej funkcji f znajdź jej dziedzinę, zbiór wartości i miejsca zerowe. Czy funkcja ta jest różnowartościowa, stała, rosnąca, malejąca, niemalejąca, nierosnąca, parzysta, nieparzysta? Naszkicuj wykres tej funkcji: f(x) = x 1; b) f(x) = x 5; c) f(x) = x + 1; d) f(x) = 1; e) f(x) = x ; { x dla x 0 f) f(x) = 0 dla x > 0 ; { 1 dla x 1 g) f(x) = x dla x > 1.. Znajdź funkcję liniową, która przyjmuje następujące wartości: f() = 5, f(3) = 7; b) f(1) = 1, f() = ; c) f( ) = 7, f(3) = Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli o równaniu: y = x + x 3, b) y = x + 4x + 6, c) y = x 6x Wyznacz zbiór wartości funkcji kwadratowej f, gdy: f(x) = x + x + 1, b) f(x) = 3x + x 5, c) f(x) = x + x

4 5. Przedstaw poniższe trójmiany kwadratowe w postaci iloczynowej: x 9x + 14, b) x 8x 33, c) x + x 1, d) 6x x. 6. Rozwiąż równania: x 1 = 0, b) x + x = 0, c) x + 5x = 0, d) x 3x + = 0, e) x + 3x + = 0, f) x 8x + 7 = 0, g) x + 3x 1 = 0, h) x x 6 x 5 = 0, i) x 6x+7 x x 4 =, j) x 5 x +x 1 = 3, k) 4 x x 3x+5 = Rozwiąż nierówności: x 4 > 0, b) 6 5x + x 0, c) 5 + 4x + x 0, d)x 8x + 7 0, e) x + x + 1 > 0, f) x 7x + 4 < 0, g) x x 6 0, h) x 6x Rozwiąż nierówności: x 3 x 4 0, b) x 1 0, c) 4 d) x 3 x 3 > 3, 5, e) x x 1 3, f) Wielomiany, funkcje wymierne x Następujące wielomiany rozłożyć na czynniki nierozkładalne: (x + x + 1)(x + x + ) 1 b) (x + 4x + 8) + 3x((x + 4x + 8) + x. Wykonać dzielenie z resztą wielomianu P (x) przez wielomian Q(x): P (x) = x 4 3x 3 + 4x 5x + 6, Q(x) = x 3x + 1 b) P (x) = x 4 x 3 + 4x 6x + 8, Q(x) = x 1 3. Wykonaj dzielenie wielomianów: (x 3 8x + 15x 8) : (x 1), b) (x x + x 15) : (x + 5), c) (0x 3 +7x 19x+) : (5x ), d) (8x 3 41x +63x 36) : (4x 3), e) (x 4 x 3 5x + 16x ) : (x + 4x ), f) (x 4 x x 11x + 33) : (x x + 3). 4. Wykazać, że x 0 jest pierwiastkiem wielomianu W (x) dla: W (x) = x 4 3x 3 + 4x 3, x 0 = 1 b) W (x) = x 3 + 3x x, x 0 = 5. Wykazać, że x 0 jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu W (x) = x 3 5x + 7x 3, x 0 = 1 6. Nie wykonując dzielenia, oblicz resztę z dzielenia wielomianu W przez wielomian V : W (x) = x 3 + 5x 7x + 9, V (x) = x 1 b) W (x) = x 5 + 3x 3 x + x, V (x) = x Nie wykonując dzielenia, wykaż, że W jest podzielny przez V : W (x) = x 3 + x 13x + 10, V (x) = x 3x + b) W (x) = x 3 + 0x x 0, V (x) = x 1 4

5 8. Rozwiąż równania: x 3 6x + 11x 6 = 0, b) x 3 + 3x 4 = 0, c) x 3 3x + = 0, d) 3x 3 3x + 4x 4 = 0, e) x 3 + x + x + 1 = 0, f) x 3 + x 7x + 4 = 0, g) x 4 + x 3 7x x + 6 = 0, h) x 4 + 6x 3 8x 6x + 7 = 0, i) x 3 + x 4x = 0, j) 3x 5 19x 4 + 9x x 84x + 0 = Rozwiązać nierówności: (x 1)(x )(x 3) > 0 b) (x 9)(x 5x + 4) < 0 c) x 3 + x 13x d) x 4 + x 3 x < 0 e) x 13 x 1 x 7 + x 6 < Rozwiąż równania: 4x 1 x+1 3 x x Rozwiąż nierówności: x 1 = 5 x +5 x 1, b) 4 1 4x = 1 x 1+x + 1+x 1 x, c) x+3 x+ + x 3 x = 3x 1 10x+8 x+ 1, b) x+ > 5x 17 x 3, c) x +4x+6 x+4 3, d) x3 x +x+7 x+8 1, e) x+ x+3 x x 3, f) 1 x+1 x x+1 1 x x Ciągi, granice ciągów 1. Sprawdź, czy ciąg (a n ) jest monotoniczny: a n = n n, b) a n = 3 n, c) a n = ( 1 )n, d) a n = n+7 e) a n = 7 n n, f) a n = 1 n, g) a n = 1 n 19.. Sprawdź, czy dany ciąg (a n ) jest arytmetyczny: a n = n 3 + 5, b) a n = n, c) a n = 1 n, d) a n = 15n. 3. Wyznacz a n oraz S n w ciągu arytmetycznym (a n ), jeśli: a 1 = 1, r = 5, n = 11; b) a 1 = 3, r =, n = 13; c) a 1 = 3, r = 8, n = 9; d) a 1 = 1, r = 1 4, n = Wyznacz ciąg arytmetyczny (a n ), gdy: n+11, a = 3, a 4 = 9; b) a 3 = 0, a 10 = 7; c) a 5 + a 7 = 0, a 4 + a 11 = 6; d) a 6 a 4 = 1, a 5 + a 13 = Rozwiąż równanie, przyjmując, że lewa strona jest sumą pewnej liczby kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego: x = 78, b) x = 81, c) x = 153, d) x = Sprawdź, czy dany ciąg (a n ) jest geometryczny: a n = 3 ( 1) n, b) a n = 7n, c) a n = n n, d) a n = n!, e) a n = ( )n, f) a n = 1 n. 7. Wyznacz 5 początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (a n ), jeśli: a 1 = 1 3, q = 3; b) a 1 = 4, q = 1 ; c) a 1 = 1 5, a = 1; d) a 1 = 1, a 3 = 4. 5

6 8. Wyznacz ciąg geometryczny (a n ), jeśli: a = 6, a 3 = 18; b) a 3 = 9, a 5 = 81; c) a 5 = 1, a 9 = 4; d) a 4 =, a 8 = Oblicz granice ciągów: 8 5n 7 b) 9( 1)n 1 4n 3 + 3n c) ( 5 ) 4 d) n n 4n n + 1 e) f) ( n n n) g) 9 n 7 + n h) n n 5 i) 3n + 8 n 5n n j) + 3n 7 n+1 k) 7 3n 6 4 n 3n 3 4 n n l) n n + 5 n + 7 n m) n ( 1 3 )n + ( 1 4 )n n) n o) n 3n n 3 + 4n + 5n + 6 p) n 3 n n r) n ( 1) n n w) n n Oblicz granice ciągów: + n s) n 3n + sin n t) n 1 3 n u) n + n n 4 + 5n 11 x) n 100n + n y) n4 + ( 1) n 5 n 1 z) ( 1)n + n 3 n n n n 3 n + n 3 n + n + n b) 3 n+1 + n 004 c) 3n + n n 3 + n d) n + 5n 7 n 4 cos(n+6) 1 e) n n 1 sin( n n + 1 ) f) (1+ n )n+ g) (1 3 n + )n+1 h) (1 4 n ) n+4 i) ( n + 5 n )n j) ( n + n + 1 )n k) ( n 1 n ) n l) ( n + 6 n ) n m) n n + 1 n) o) ( n + 8 n) p) 7 3n 6 4 n n 9 n 3 4 n n r) n n + 5 n + 7 n s) n ( 1 3 )n + ( 1 4 )n t) n u) n 3n n 3 + 4n + 5n + 6. Macierze, układy równań 1. Oblicz wyznacznik macierzy [ 1 0 ] b) [ ]. Oblicz wyznacznik macierzy stosując schemat Sarrusa b) 3. Oblicz wyznacznik macierzy A = B = c) C =

7 4. Oblicz wyznacznik macierzy stosując rozwinięcie Laplace a względem dowolnej kolumny lub dowolnego wiersza. A = B = 5. Rozwiąż poniższe układy Cramera c) { x y = 3 3x + y = { x + 7y = x y = b) d) C = x y + 3z = 7 3x + y + 4z = 5 x + 5y + z = 18 x + y + z = 5 x + y + z = 3 3x + y + z = Rozwiąż poniższe układy równań stosując wzory Cramera x x + y + z = x 3 3x 4 = 1 3x x y z = 3 b) 1 x 3 = 4 x 4x 5y 3z = 7 1 x + x 4 = x + x 3 = 7. Rozwiąż poniższe układy równań stosując wzory Cramera x 3y + z = x y + 3z = 4 b) x + y z = 1 c) x 1 + x + x 3 x 4 = 1 x 1 x + x 4 = 3 x + x 3 x 4 = x x 4 = 1 8. Wyznacz rząd poniższych macierzy b) d) x + 4y + z = 8 x y + z = 3 3x + y z = 14 x 1 x + x 3 3x 4 = 3 4x 1 + x 3 + x 4 = 4 x + 4x 3 + 3x 4 = x x 3 + x 4 = c) d) Określ liczbę rozwiązań równania i, jeśli rozwiązania istnieją, rozwiąż układ równań x 3y = 0 x y + z + t = 1 x + y = 1 { x + y z + t = 1 3x + y + z t = b) 5x y = c) x y z + 3t = 5x y + 5z + t = 4 x 10y = 1 x + y = 1 d) y + z = x + y = 3 y + z = 3 x + y + z = 3 e) x + y + z + t = 1 y + 3z 3t = 1 x + y + z t = 1 { f), x + y + z + t = 1 x + 4y + z + t = 1 7

8 Funkcje wykładnicze i logarytmiczne 1. Rozwiąż równania: x+3 = 4 x 1, b) (0, 5) x 4 = 16 5x 4, c) ( 7) 3x = 9 5x 3, d) x = 4 3x+7, e) x+ 5 x+ = 3x 5 3x, f) (0, 5) x+4 = 7 4 x+5, g) 5 7 x = 81 x+8, h) π 3x+ = 4 6x, i) 17 3 x = 4x 1, j) ( 3 7 )1 x = ( ) 6x 3.. Rozwiąż poniższe nierówności: 8 x < 4 x b)( )x+ ( 1 ) x 1 c) 5 8 3x 1 > 4 x d)8( 8) x 3 > 3. Oblicz dziedzinę funkcji f określonej wzorem: f(x) = log 5 (3x 7), b) f(x) = log 3 [log (x + 1)], c) f(x) = log(x 3) + log(8 x), d) f(x) = log x log(3x + 8), x e) f(x) = log 5 3x 7, f) f(x) = log (x+1)(3x + 5). 4. Rozwiąż równania: log (x + ) + log (x + 14) = 6, b) log 5 (1 x) = log 5 6 log 5 ( x), c) log 3 (x + 1) + log 3 ( x) = log 3 x, d) 1 log(x + 3) = 1 1 log(x + 4), e) log 6 (5 x) + log 6 3 x = Rozwiąż poniższe nierówności: 5 log (x 3) < b) log π 0x 1 > log 1 π 8 c) log 3 (x 1) 1 < log 3 (x ) 3x + d) log 0,5 x + 1 < 3 e) log 5(x ) < log 5 ( 3 x 1) Pochodne funkcji i jej zastosowania 1. Oblicz pochodną funkcji f, gdy: f(x) = 3x 8 + x + 3 7, b) f(x) = x 11 6x 5 + x + 3 x, c) f(x) = 5 x 3 x x 5 + 9, d) f(x) = (x + 1 x ) x, e) f(x) = (x + 4)(x + 5x + 7), f) f(x) = (1 + x)( x), g) f(x) = (x 3 + 3x + 7)(x + 1 x + 15), h) f(x) = (x 11 6x 5 + x)(x + 6), i) f(x) = ( 3 x 8 x + 4 x 6 + 9)(3x + 8), j) f(x) = x x 3, k) f(x) = 1 3x x+7, l) f(x) = 3x 8 x +9, m) f(x) = x +3x 5x+1, n) f(x) = x +5x 3x +5, o) f(x) = x 5x+.. Oblicz pochodną funkcji h, gdy: h(x) = (3x + 7) 3, b) h(x) = (x + 4x + 1) 5, c) h(x) = x + x + 3, ( ) x+1 8 8

9 d) h(x) = 3x + 1 x + x, e) h(x) = ( x+5 3x+5 )4, f) h(x) = ( x(5x + )) 1/3, g) h(x) = e x +3x+7, h) h(x) = x + x3 x, i) h(x) = ln(x + 4x + 5), j) h(x) = ln(x + 3) + 5x ln(x + 1), k) h(x) = e x ln x + 3x ln x, l) h(x) = ln(e x + 3x + 5), m) h(x) = ln x + 1 ln x + (ln x)3, n) h(x) = ln( ln x x ). 3. Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f (tzn. kiedy jest ona rosnąca lub malejąc oraz ekstrema funkcji f: f(x) = x 3 3x, b) f(x) = x 3 5x 8x + 11, c) f(x) = x 3 x + x 5, d) f(x) = 4x 3 + 6x , e) f(x) = x 3 + 6x + 0x 5, f) f(x) = e x (x + 3), g) f(x) = ex x+1, h) f(x) = e x (x x + 1), i) f(x) = ex x Wyznacz drugą pochodną funkcji f: f(x) = x 5x + 6, b) f(x) = 1 x, c) f(x) = x, d) f(x) = x x, e) f(x) = 4x x Korzystając z drugiej pochodnej wyznacz ekstrema funkcji f: f(x) = x 3 x, b) f(x) = (x 5). 6. Zbadaj wypukłość, wklęsłość i punkty przegięcia funkcji f: f(x) = 1 1+x, 1 x b) f(x) = 1+x, c) f(x) = x 3 1, d) f(x) = 1 x, e) f(x) = x 3 6x + 9x + 3, f) f(x) = e x (x ). 7. Naszkicuj wykres funkcji f: f(x) = x (x 3), b) f(x) = x 1+x, c) f(x) = x 1 x +1, d) f(x) = x x+1 x +1, e) f(x) = e x (x 1), f) f(x) = e x (x 3). 9

10 Całki nieoznaczone i oznaczone 1. Oblicz całki nieoznaczone: (x 4x + 6) dx, b) ( 5 x ) dx, c) 18x 8 dx, d) e x dx, e) ( ex 5 + x ) dx f) 4 x dx 3 g) 1 x dx h) 5 x 3 dx i) (x + 3)(x ) dx.. Znajdź funkcję pierwotną F funkcji f spełniającą warunek F (1) = 0: f(x) = 1 x, b) f(x) = x + 3, c) f(x) = 4, d) f(x) = x, e) f(x) = x (x 1). 3. Oblicz całki oznaczone: 1 (5x + 3) dx, b) x dx, 1 1 c) (x + x + 1) dx, d) (1 x) dx, e) g) e x dx, x dx. 0 1 f) ( + 7x x ) dx, 4. Wyznacz pole figury P ograniczonej odcinkami prostych x = 1, x =, y = 0 oraz wykresem funkcji f, gdzie: f(x) = x 3, c) f(x) = x, b) f(x) = 1, d) f(x) = x x, e) f(x) = 4x + x 1, f) f(x) = e x + x Oblicz pole obszaru D ograniczonego: wykresami funkcji y = x, y = x + 3, b) parabolami y = x, y = x oraz prostą y = 8 (x 0), c) łukami parabol y = 4 x, y = x x, d) krzywymi x = y, x + y =. Kombinatoryka 1. Każdej z pięciu osób przyporządkowujemy dzień tygodnia w którym się urodziła. Ile różnych wyników możemy otrzymać?. Każdej z pięciu osób przyporządkowujemy miesiąc w którym się urodziła. Ile różnych wyników możemy otrzymać? 3. Ile jest wszystkich rozmieszczeń sześciu ponumerowanych kul w trzech ponumerowanych komórkach? 10

11 4. Ile wszystkich liczb czterocyfrowych można utworzyć z cyfr należących do zbioru {1,,..., 9}, jeżeli cyfry mogą się powtarzać? 5. Ile wszystkich liczb czterocyfrowych można utworzyć z cyfr należących do zbioru {1,,..., 9}, jeżeli cyfry nie mogą się powtarzać? 6. Na zebraniu zarządu, w skład którego wchodzi 1 osób, należy wybrać: prezesa, wiceprezesa i sekretarza. Ile jest wszystkich różnych wyników wyborów? 7. Ile można wytypować wszystkich różnych czwórek (cztery pierwsze konie w kolejności na mecie) w gonitwie, w której startuje 10 koni? 8. Na ile wszystkich różnych sposobów można ustawić w rzędzie 5 chłopców i dziewczynki tak, aby najpierw stały dziewczynki, a następnie chłopcy? 9. Na ile wszystkich różnych sposobów można ustawić w rzędzie 5 chłopców i dziewczynki tak, aby pierwsza stała dziewczynka? 10. Ile różnych liczb sześciocyfrowych można utworzyć z cyfr 1,,3,5,7,9, jeżeli każda cyfra może występować dokładnie jeden raz? 11. W klasie jest 30 uczniów. Na ile wszystkich różnych sposobów można spośród uczniów tej klasy wybrać delegację złożoną z trzech osób? 1. Na płaszczyźnie zaznaczono 8 różnych punktów. Ile różnych odcinków o końcach w tych punktach można narysować? 13. Ile nastąpi powitań (uścisków dłoni), gdy spotka się 10 osób? 14. W rozgrywkach ligi piłkarskiej (18 drużyn) drużyny grają każda z każdą mecz i rewanż. Ile spotkań zostanie rozegranych? 15. W następujących doświadczeniach losowych określ zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych: trzykrotny rzut monetą; b) rzut kostką do gry i monetą; c) jednoczesne losowanie dwóch kul z pojemnika, w którym znajdują się trzy kule: biała, czerwona, zielona; d) losowanie po kolei, ze zwracaniem, dwóch kul z pojemnika, w którym znajdują się trzy kule: biała, czerwona, zielona; e) losowe ustawienie w szeregu czterech osób: A, B, C, D. 16. Rzucamy dwa razy monetą. Niech A 1 oznacza zdarzenie w pierwszym rzucie otrzymamy orła, A w drugim rzucie otrzymamy orła. Za pomocą zdarzeń A 1, A, A 1, A i odpowiednich działań zapisz zdarzenia: B 1 otrzymamy dwa razy orła, B otrzymamy dwa razy reszkę, B 3 otrzymamy co najmniej jednego orła, B 4 otrzymamy dokładnie jednego orła. Rachunek prawdopodobieństwa 1. Z talii 5 kart wybieramy losowo jedną. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania: karty koloru pikowego, b) asa, c) karty koloru pikowego lub asa. 11

12 . Z pojemnika, w którym znajdują się trzy kule białe i pięć kul czerwonych losujemy kolejno dwa razy po jednej kuli: ze zwracaniem b) bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: A otrzymamy dwie kule białe, B otrzymamy kule tego samego koloru, C za drugim razem otrzymamy kulę białą. 3. Z urny zawierającej 4 kul białych i 3 czarnych wyciągnięto bez oglądania 6 kul Jakie jest prawdopodobieństwo, że w urnie została kula biała? 4. Rzucamy na raz 4 sześcienne kostki. Oblicz prawdopodobieństwo, że na wszystkich kostkach pojawi się ta sama liczba oczek. 5. W pudle znajdują się dwa szare i trzy białe szczury. Chcesz kupić dwa zwierzątka. Sprzedawca wyjmuje je z pudła za różowe, bezwłose ogony, tak że nie widzisz koloru futerka. Oblicz prawdopodobieństwo, że oba Twoje szczury będą białe. 6. Z talii 5 kart wylosowano 1 kartę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że tą kartą będzie pik lub figura? 7. Rzucamy raz kostką do gry. Sprawdź, czy zdarzenia A i B są niezależne, gdy: A otrzymamy parzystą liczbę oczek, B otrzymamy liczbę oczek podzielną przez trzy. b) A otrzymamy parzystą liczbę oczek, B otrzymamy liczbę oczek większą od trzech. c) A otrzymamy liczbę oczek podzielną przez trzy, B otrzymamy liczbę oczek większą od trzech. 8. Ze zbioru liczb {1,,..., 10} losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez trzy, jeżeli wiadomo, że otrzymano liczbę parzystą. 9. Za zbioru {1,,..., 1} losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby nieparzystej, jeśli wiadomo, że wylosowano liczbą pierwszą. 10. Rzucamy kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania parzystej liczby oczek, jeżeli wiadomo, że otrzymano liczbę oczek podzielną przez Dane są dwa pojemniki. W pierwszym jest 6 kul białych i 5 czarnych, w drugim 4 białe i 5 czarnych. Z losowo wybranego pojemnika losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania kuli czarnej. 1. Dwie babcie Staszka mieszkają na przeciwległych krańcach miasta. Codziennie po lekcjach Staszek jedzie do jednej z nich na obiad. Ponieważ autobusy w obu kierunkach odjeżdzają z tego samego przystanku, Staszek zawsze wsiada do tego, który przyjedzie pierwszy. Ponieważ Staszek przychodzi na przystanek w chwili losowej, więc wybór babci, u której je obiad jest również losowy. Przypuśćmy, że z prawdopodobieństwem 1 3 jeździ do babci Zosi, a z prawdopodobieństwem 3 do babci Kasi. Obie babcie wiedzą, że Staś uwielbia szarlotkę, więc pieką ją dość często. Babcia Kasia średnio co 3 dni, zaś babcia Zosia co cztery. Dziś Staszek jak zwykle jedzie na obiad. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zje na deser szarlotkę? 13. Na 100 mężczyzn 5, a na kobiet 5 to daltoniści. Z grupy o jednakowej liczbie mężczyzn i kobiet wylosowano jedną osobę i okazało się, że jest ona daltonistą. Jakie jest p-stwo, że był to mężczyzna? 1

13 14. Wiemy, że 95% produkcji jest dobrej jakości, a pozostałe 5% jest złej jakości. Kontrola przepuszcza przedmioty dobrej jakości z prawdopodobieństwem 0,98, a przedmioty złej jakości z prawdopodobieństwem 0,05. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrany przedmiot przejdzie przez kontrolę. b) Oblicz prawdopodobieństwo tego, że przedmiot przepuszczony przez kontrolę będzie dobrej jakości. 15. Egzaminator, do którego zgłosił się student na egzamin, przedstawia mu dwa jednakowo liczne, ale różne co do składu zestawy pytań, informując jednocześnie, że za chwilę rzuci kostką do gry. Jeśli wypadnie parzysta liczba oczek, to zada mu pytanie z pierwszego zestawu, a jeśli wypadnie nieparzysta liczba oczek z drugiego. Oblicz prawdopodobieństwo, że student odpowie na pytanie, jeżeli wiadomo, że oba zestawy zawierają po 30 pytań, a student zna odpowiedź na 0 pytań z pierwszego zestawu i na 1 pytań z drugiego. 16. Pewna choroba występuje u 0, 1% ludzi. Przygotowano test do jej wykrycia. Daje on wynik pozytywny dla 99% ludzi chorych i 5% osób zdrowych. Oblicz prawdopodobieństwo, że osoba mająca dodatni odczyt jest naprawdę chora. 17. Mamy dwa pojemniki z kulami. W pierwszym znajduje się 99 kul białych i 1 czarna, zaś w drugim - 99 kul czarnych i 1 biała. Wylosowaliśmy kulę biała z jednej z urn. Jakie jest prawdpodobieństwo, że losowaliśmuy z urny pierwszej? 18. Rzucamy osiem razy symetryczną monetą. Oblicz: prawdopodobieństwo otrzymania trzy razy orła, b) prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej raz orła, c) najbardziej prawdopodobną liczbę uzyskanych orłów w tym doświadczeniu. 19. Z pojemnika, w którym znajdują się trzy kule białe i dwie czarne, losujemy sześć razy po jednej kuli ze zwracaniem. Oblicz: prawdopodobieństwo uzyskania trzy razy kuli białej, b) prawdopodobieństwo uzyskania co najmniej raz kuli białej, c) najbardziej prawdopodobną liczbę losowań, w których uzyskamy kulę białą. 0. Strzelec trafia do celu w pojedynczym strzale z prawdopodobieństwem 0, 8. Strzelec ma strzelać pięć razy. Oblicz: prawdopodobieństwo, że strzelec trafi pięć razy, b) prawdopodobieństwo, że strzelec trafi cztery razy razy, c) prawdopodobieństwo, że strzelec trafi co najmniej raz, d) prawdopodobieństwo, że strzelec trafi co najwyżej raz, e) najbardziej prawdopodobną liczbę trafień w tym doświadczeniu. 1. Rzucamy symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo uzyskania trzeciego orła w siódmym rzucie i piątego orła w jedenastym rzucie.. Rzucamy symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo uzyskania drugiej szóstki w czwartym i czwartej szóstki w dziesiątym rzucie. 13

Biologia Zadania przygotowawcze do drugiego kolokwium z matematyki

Biologia Zadania przygotowawcze do drugiego kolokwium z matematyki Biologia Zadania przygotowawcze do drugiego kolokwium z matematyki Pochodne funkcji i jej zastosowania 1. Oblicz pochodną funkcji f, gdy: a) f(x) = 3x 8 + 2 x + 3 7, b) f(x) = x 11 6x 5 + 2 x + 3 x, c)

Bardziej szczegółowo

Matematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa

Matematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa Matematyka podstawowa X Rachunek prawdopodobieństwa Zadania wprowadzające: 1. Rzucasz trzy razy monetą a) Napisz zbiór wszystkich wyników tego doświadczenia losowego. Ile ich jest? Wyrzuciłeś większą liczbę

Bardziej szczegółowo

ZAGADANIENIA NA EGZAMIN USTNY Z MATEMATYKI

ZAGADANIENIA NA EGZAMIN USTNY Z MATEMATYKI ZAGADANIENIA NA EGZAMIN USTNY Z MATEMATYKI SEMESTR I ZESTAW. Podaj liczbę przeciwną i odwrotną do liczby 2 2. Jak zmieniła się cena wyrobu po podwyżce o 20%, a następnie po obniżeniu otrzymanej ceny o

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM.

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. I GEOMETRIA ANALITYCZNA 1. Równanie prostej w postaci ogólnej i kierunkowej powtórzenie 2. Wzajemne położenie dwóch prostych powtórzenie

Bardziej szczegółowo

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

c) Zaszły oba zdarzenia A i B; d) Zaszło zdarzenie A i nie zaszło zdarzenie B;

c) Zaszły oba zdarzenia A i B; d) Zaszło zdarzenie A i nie zaszło zdarzenie B; Rachunek prawdopodobieństwa rozwiązywanie zadań 1. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Zapisujemy liczbę oczek, jakie wypadły w obu rzutach. Wypisz zdarzenia elementarne tego doświadczenia.

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo Prawdopodobieństwo http://www.matemaks.pl/ Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa http://www.matemaks.pl/wstep-do-rachunku-prawdopodobienstwa.html Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 3 Definicja prawdopodobieństwa Kołmogorowa. Prawdopodobieństwa warunkowe i niezależne. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM.

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. I Geometria analityczna 1. Równanie prostej w postaci ogólnej i kierunkowej powtórzenie 2. Wzajemne położenie dwóch prostych powtórzenie

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

c) ( 13 (1) (2) Zadanie 2. Losując bez zwracania kolejne litery ze zbioru AAAEKMMTTY, jakie jest prawdopodobieństwo Odp.

c) ( 13 (1) (2) Zadanie 2. Losując bez zwracania kolejne litery ze zbioru AAAEKMMTTY, jakie jest prawdopodobieństwo Odp. Zadania na kolokwium nr Zadanie. Spośród kart w tali wylosowano. Jakie jest prawdopodobieństwo: pików, kierów, trefli i karo otrzymania wszystkich kolorów otrzymania dokładnie pików a ( b ( ( c ( ( ( (

Bardziej szczegółowo

Doświadczenie i zdarzenie losowe

Doświadczenie i zdarzenie losowe Doświadczenie i zdarzenie losowe Doświadczenie losowe jest to takie doświadczenie, które jest powtarzalne w takich samych warunkach lub zbliżonych, a którego wyniku nie można przewidzieć jednoznacznie.

Bardziej szczegółowo

P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt.

P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. Lekcja 2 Temat: Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Str. 10-21 1. Doświadczenie losowe jest to doświadczenie,

Bardziej szczegółowo

Zdarzenie losowe (zdarzenie)

Zdarzenie losowe (zdarzenie) Zdarzenie losowe (zdarzenie) Ćw. 1. Ze zbioru cyfr (l, 2,3,..., 9} losowo wybieramy jedną. a) Wypisz zdarzenia elementarne, sprzyjające: zdarzeniu A, że wybrano liczbę parzystą zdarzeniu B, że wybrano

Bardziej szczegółowo

I. FUNKCJA WYKŁADNICZA I LOGARYTMY 1. POTĘGI Zad.1. Zapisz za pomocą potęgi o podanej podstawie:

I. FUNKCJA WYKŁADNICZA I LOGARYTMY 1. POTĘGI Zad.1. Zapisz za pomocą potęgi o podanej podstawie: Strona 1 z 9 I. FUNKCJA WYKŁADNICZA I LOGARYTMY 1. POTĘGI Zapisz za pomocą potęgi o podanej podstawie: 5 4 ( 27) ( ) a), podstawa : ( ) b) 6 ( 9) c), podstawa: (5) d) Oblicz: a) 1 6 4 2 1 1 1 2 (0,25)

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA CYKL 3 GODZINNY

MATEMATYKA CYKL 3 GODZINNY MATURA EUROPEJSKA 010 MATEMATYKA CYKL 3 GODZINNY DATA 4 czerwca 010 CZAS TRWANIA EGZAMINU : 3 godziny (180 minut) DOZWOLONE POMOCE Europejski zestaw wzorów Kalkulator (bez grafiki, bez programowania) UWAGI:

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYCH Z MATEMATYKI

ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYCH Z MATEMATYKI ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYCH Z MATEMATYKI AUTORZY: Zespół w12i SPIS TREŚCI LICZBY RZECZYWISTE.2 FUNKCJE 11 CIĄGI...27 GEOMETRIA ANALITYCZNA.36 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, STATYSTYKA.44 1 LICZBY RZECZYWISTE

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI. Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI. Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub 1. W grupie jest 15 kobiet i 18 mężczyzn. Losujemy jedną osobę

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZNI OTWRTE KRÓTKIEJ OPOWIEZI Zadanie 54. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

Rzucamy dwa razy sprawiedliwą, sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania:

Rzucamy dwa razy sprawiedliwą, sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania: Statystyka Ubezpieczeniowa Część 1. Rachunek prawdopodobieństwa: - prawdopodobieństwo klasyczne - zdarzenia niezależne - prawdopodobieństwo warunkowe - prawdopodobieństwo całkowite - wzór Bayesa Schemat

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω) ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające

Bardziej szczegółowo

Lista zadania nr 2 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie

Lista zadania nr 2 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Lista zadania nr 2 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Marzec 2016 POZIOM ROZSZERZONY 1. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Skrypt 30. Prawdopodobieństwo

Skrypt 30. Prawdopodobieństwo Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 30 Prawdopodobieństwo 5.

Bardziej szczegółowo

Elementy statystyki opisowej, teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka

Elementy statystyki opisowej, teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka Wymagania egzaminacyjne: a) oblicza średnią arytmetyczną, średnią ważoną, medianę i odchylenie standardowe danych; interpretuje te parametry dla danych empirycznych, b) zlicza obiekty w prostych sytuacjach

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zad. 1 (2 pkt) Rozwiąż równanie Zad.2 (2 pkt) 2 3x 1 = 1 2x 2 Rozwiąż układ równań x +3y =5 2x y = 3 Zad.3 (2 pkt) 2 Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0 Zad.4 (2 pkt) 3 2

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 2 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Według klasycznej

Bardziej szczegółowo

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 2 6 + 3 1. Oblicz 3. 3 x 1 3x 2. Rozwiąż nierówność > x. 2 3 3. Funkcja f przyporządkowuje każdej

Bardziej szczegółowo

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH VIII. ZIÓR PRZYKŁDOWYCH ZDŃ MTURLNYCH ZDNI ZMKNIĘTE Zadanie. ( pkt) 0 90 Liczba 9 jest równa 0.. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa.. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba log jest równa.

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM.

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. I. Trygonometria. 1. Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. 2. Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian

Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian Zad. 1. Zdarzenia A, B, C oznaczają, że wzięto co najmniej po jednej książce odpowiednio z pierwszych, drugich i trzecich dzieł zebranych. Każde z dzieł zebranych

Bardziej szczegółowo

Liczby rzeczywiste, wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności, statystyka, prawdopodobieństwo.

Liczby rzeczywiste, wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności, statystyka, prawdopodobieństwo. Liczby rzeczywiste, wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności, statystyka, prawdopodobieństwo. Zagadnienia szczegółowe: obliczanie wartości wyrażeń arytmetycznych; działania na pierwiastkach i potęgach;

Bardziej szczegółowo

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zadanie PP RP 1. Z pojemnika, w którym znajdują się cztery losy z numerami 112, 121, 211, 212 losujemy trzy razy po jednym losie, po każdym losowaniu zwracając wylosowany los do pojemnika. Oblicz prawdopodobieństwo,

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska

ZADANIA MATURALNE - RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska ZADANIA MATURALNE - RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska Zad. 1. (1 pkt) Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których

Bardziej szczegółowo

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy

Bardziej szczegółowo

W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych, linijki i cyrkla oraz kalkulatora.

W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych, linijki i cyrkla oraz kalkulatora. Egzamin maturalny od roku szkolnego 2014/2015 Matematyka Poziom rozszerzony Przykładowy zestaw zadań dla osób słabowidzących (A4) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych,

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki w klasie III zsz. 5. Statystyka-średnia arytmetyczna, średnia ważona, mediana, dominanata.

Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki w klasie III zsz. 5. Statystyka-średnia arytmetyczna, średnia ważona, mediana, dominanata. Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki w klasie III zsz 1. Wzajemne położenia prostych, płaszczyzn w przestrzeni. 2. Graniastosłupy- podział, pole powierzchni i objętość. 3. Ostrosłupy- podział,

Bardziej szczegółowo

01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa

01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa 01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa Ω zbiór zdarzeń elementarnych. Gdy Ω < oraz P({ω} = 1 Ω, dla każdego ω Ω (tzn. każde zdarzenie elementarne jest równo prawdopodobne, to P (A = A Ω Przydatne

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 204/205 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ DLA OSÓB Z AUTYZMEM, W TYM Z ZESPOŁEM ASPERGERA (A2) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z

Bardziej szczegółowo

NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 1 oczka. ZADANIE 2 iloczynu oczek równego 12.

NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 1 oczka. ZADANIE 2 iloczynu oczek równego 12. IMIE I NAZWISKO ZADANIE 1 Rzucamy sześcienna kostka do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadna co najmniej dwa oczka. ZADANIE 2 Rzucamy trzy razy symetryczna sześcienna kostka do gry. Oblicz prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY LISTOPAD 2012 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 180 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 014/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ DLA OSÓB SŁABOSŁYSZĄCYCH (A3) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych,

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY LISTOPAD 2012 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 180 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 13

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 204/205 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ (A) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych, linijki i cyrkla

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Wiadomo, że A, B i C są trzema zdarzeniami losowymi takimi, że P (A) = 2/5, P (B A) = 1/4, P (C A B) = 0.5, P (A B) = 6/10, P (C B) = 1/3.

Zadanie 2. Wiadomo, że A, B i C są trzema zdarzeniami losowymi takimi, że P (A) = 2/5, P (B A) = 1/4, P (C A B) = 0.5, P (A B) = 6/10, P (C B) = 1/3. Zadanie 1. O zdarzeniach A, B, C z pewnej przestrzeni uzyskaliśmy informacje, iż P (A B C) = 0.6, P (B A C) = 0.3 oraz P (C A B) = 0.9. Obliczyć P [A B C (A B) (A C) (B C)]. Odp. 9/37 Zadanie 2. Wiadomo,

Bardziej szczegółowo

Określ zbiór wartości i przedziały monotoniczności funkcji.

Określ zbiór wartości i przedziały monotoniczności funkcji. Zadanie 1 Sprowadź do postaci ogólnej funkcję kwadratową Zadanie 2 Wyznacz zbiór wartości funkcji Zadanie 3 Określ zbiór wartości i przedziały monotoniczności funkcji Zadanie 4 Wykres funkcji kwadratowej

Bardziej szczegółowo

x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. x a 1 = x a 2 ( a 1) = x 1 = 1 x.

x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. x a 1 = x a 2 ( a 1) = x 1 = 1 x. Zestaw. Funkcja potęgowa, wykładnicza i logarytmiczna. Elementarne równania i nierówności. Przykład 1. Wykonać działanie x a x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. Rozwiązanie. Niech

Bardziej szczegółowo

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki 3 semestr LO dla dorosłych I. Sumy algebraiczne 1. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 2. Mnożenie sum algebraicznych 3. Wzory skróconego mnożenia - zastosowanie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 2 CZERWCA 2015 POZIOM ROZSZERZONY. Godzina rozpoczęcia: 14:00. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 2 CZERWCA 2015 POZIOM ROZSZERZONY. Godzina rozpoczęcia: 14:00. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

Ćw,1. Wypisz wszystkie k-wyrazowe wariacje bez powtórzeń zbioru A = {1, 2,3 }, gdy: a) k = l, b) k = 2, c) k = 3. Wariacje 1 z 6

Ćw,1. Wypisz wszystkie k-wyrazowe wariacje bez powtórzeń zbioru A = {1, 2,3 }, gdy: a) k = l, b) k = 2, c) k = 3. Wariacje 1 z 6 Wariacje bez powtórzeń Jeśli w doświadczeniu losowym ze zbioru n-elementowego wybieramy k elementów w ten sposób, że: wybrane elementy nie mogą się powtarzać kolejność wybranych elementów jest istotna

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron

Bardziej szczegółowo

Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie = Rozwiąż układ równań: (( + 1 ( + 2 = = 1

Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie  = Rozwiąż układ równań: (( + 1 ( + 2 = = 1 Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/). Rozwiąż układ równań: (( + ( + 2 = 3 = 4. http://www.zadania.info/d38/2287 2. Rozwiąż układ równań: ( + 2 (

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 03 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Instrukcja

Bardziej szczegółowo

{( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( RRR)

{( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( RRR) .. KLASYCZNA DEFINICJA PRAWDOPODOBIEŃSTWA Klasyczna definicja prawdopodobieństwa JeŜeli jest skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych jednakowo prawdopodobnych i A, to liczbę A nazywamy prawdopodobieństwem

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) PRAWDOPODOBIEŃSTWO ZAJŚCIA ZDARZENIA A POD WARUNKIEM, ŻE ZASZŁO ZDARZENIE B

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) PRAWDOPODOBIEŃSTWO ZAJŚCIA ZDARZENIA A POD WARUNKIEM, ŻE ZASZŁO ZDARZENIE B KLASYCZ NA DEFINICJA PRAW DOPOD OBIEŃSTWA ( ) PRAWDOPOD OBIEŃSTW O W A RUNKOWE PRAWDOPODOBIEŃSTWO ZAJŚCIA ZDARZENIA A POD WARUNKIEM, ŻE ZASZŁO ZDARZENIE B ( ) WIĘC CO OZNACZA, ŻE ZDARZENIE B NIE MA WPŁYWU

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013 Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R1_1P-092 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 2009 Czas pracy 180 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA ODBIERZ KOD DO GIEŁDY MATURALNEJ Zobacz klucz odpowiedzi Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY LISTOPAD 016 Instrukcja dla zdającego Czas pracy:

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste

Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste Liczby naturalne Liczby całkowite. Liczby wymierne Liczby niewymierne Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej Pierwiastek

Bardziej szczegółowo

Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO

Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO Dział programowy. Zakres realizacji 1. Liczby, działania i procenty Liczby wymierne i liczby niewymierne-działania, kolejność

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Co powinienem umieć Umiejętności znam pojęcie zdarzenia elementarnego znam pojęcie doświadczenia losowego i potrafię

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dyskalkulia dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY

Bardziej szczegółowo

Prace semestralne luty 2011 czerwiec Z każdej pracy wybieramy jeden poziom i robimy zadania TYLKO z tego poziomu

Prace semestralne luty 2011 czerwiec Z każdej pracy wybieramy jeden poziom i robimy zadania TYLKO z tego poziomu Prace semestralne luty 2011 czerwiec 2011 Z każdej pracy wybieramy jeden poziom i robimy zadania TYLKO z tego poziomu Praca semestralna nr 1a Semestr II Funkcje, funkcja liniowa. Zadania na ocenę dopuszczającą:

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy:

Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy: Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy: a) sumę oczek równą 6, b) iloczyn oczek równy 6, c) sumę oczek mniejszą niż 11, d) iloczyn oczek będący liczbą parzystą,

Bardziej szczegółowo

Arkusz I Próbny Egzamin Maturalny z Matematyki

Arkusz I Próbny Egzamin Maturalny z Matematyki Arkusz I Próbny Egzamin Maturalny z Matematyki Poziom Podstawowy 2 kwietnia 2010 r. Czas trwania 170min. Arkusz przygotowany przez serwis www.akademiamatematyki.pl Zadanie 1. ( 1 pkt. ) Liczba jest o większa

Bardziej szczegółowo

Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa

Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Jerzy Rutkowski Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa 2. Elementy kombinatoryki 2.1. Permutacje Definicja 1. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru

Bardziej szczegółowo

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów:

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów: dr Urszula Konieczna-Spychała Instytut Matematyki i Fizyki UTP imif.utp.edu.pl Literatura: M. Lassak, Matematyka dla studiów technicznych. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. M. Gewert, Z.

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 64130 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM ROZSZERZONY CZAS PRACY: 180 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Wielomian P(x)

Bardziej szczegółowo

ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE TRZECIEJ.

ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE TRZECIEJ. ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE TRZECIEJ. I. Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa ) Ile liczb pięciocyfrowych można utworzyć, wykorzystując wszystkie cyfry liczby 476? ) Pięciu przyjaciół

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE

ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE Zad.1. (1p) Liczba 3 30 9 90 jest równa: A. 3 210 B. 3 300 C. 9 120 D. 27 2700 Zad.2. (1p) Liczba 3 8 3 3 9 2 jest równa: A. 3

Bardziej szczegółowo

Matematyka rozszerzona matura 2017

Matematyka rozszerzona matura 2017 Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem

Bardziej szczegółowo

MATURA probna listopad 2010

MATURA probna listopad 2010 MATURA probna listopad 00 ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaniach od. do 5. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. Zadanie. ( pkt) - 4 $ 4 Liczba 0 jest równa 4-0, 5 A. B. C. D. 4 Zadanie. ( pkt) Liczba log 6 - log

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY entralna Komisja Egzaminacyjna rkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny KE 00 KO WPISUJE ZJĄY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI

Bardziej szczegółowo

dr Jarosław Kotowicz 14 października Zadania z wykładu 1

dr Jarosław Kotowicz 14 października Zadania z wykładu 1 Rachunek prawdopodobieństwa - ćwiczenia drugie Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Wzór Bayesa. Zdarzenia niezależne. kierunek: informatyka i ekonometria I dr Jarosław Kotowicz 14 października 2011

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 120 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA. MaturoBranie

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA. MaturoBranie Uzupełnia zdający PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY DATA: 25 stycznia 2017 r. GODZINA ROZPOCZĘCIA: 9:00 CZAS PRACY: 170 minut MaturoBranie LICZBA PUNKTÓW DO UZYSKANIA: 50 Instrukcja

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2015 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 8

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie: Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI

MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI STYCZEŃ 0 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 70 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz zawiera 0 stron.. W zadaniach od. do 0. są podane odpowiedzi: A, B, C, D,

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2015 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 8

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 011 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

P (A B) P (B) = 1/4 1/2 = 1 2. Zakładamy, że wszystkie układy dwójki dzieci: cc, cd, dc, dd są jednakowo prawdopodobne.

P (A B) P (B) = 1/4 1/2 = 1 2. Zakładamy, że wszystkie układy dwójki dzieci: cc, cd, dc, dd są jednakowo prawdopodobne. Wykład Prawdopodobieństwo warunkowe Dwukrotny rzut symetryczną monetą Ω {OO, OR, RO, RR}. Zdarzenia: Awypadną dwa orły, Bw pierwszym rzucie orzeł. P (A) 1 4, 1. Jeżeli już wykonaliśmy pierwszy rzut i wiemy,

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 015 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 5 sierpnia

Bardziej szczegółowo

Uczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów

Uczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów Wymagania edukacyjne PRZEDMIOT: Matematyka KLASA: III Th ZAKRES: zakres podstawowy Poziom wymagań Lp. Dział programu Konieczny-K Podstawowy-P Rozszerzający-R Dopełniający-D Uczeń: 1. Ciągi liczbowe. -zna

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY+ 19 MARCA 2011 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT.) Wskaż nierówność, która

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ WPISUJE ZDAJĄCY KOD IMIĘ I NAZWISKO * * nieobowiązkowe PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ matematyka-poziom PODSTAWOWY dysleksja Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 22

Bardziej szczegółowo