WYKORZYSTANIE PODSTAWOWYCH PRAW FIZYKI W MODELOWANIU WŁAŚCIWOŚCI MECHANICZNYCH MATERIAŁU

Transkrypt

1 MODELOWANIE INśYNIERSKIE ISSN X 5 s. -8 Gliwic 8 WYKORZYSTANIE PODSTAWOWYCH PRAW FIZYKI W MODELOWANIU WŁAŚCIWOŚCI MECHANICZNYCH MATERIAŁU TADEUSZ WEGNER DARIUSZ KURPISZ Instytut Mchaniki Stosowanj Politchnika Poznańska -mail: Tadusz.Wgnr@put.poznan.pl dark_kurpisz@o.pl Strszczni. W ninijszj pracy bazując na grunci zasady zachowania nrgii oraz gomtrycznj intrprtacji procsu odkształcnia przdstawionj w pracy [Wgnr T. Matmatyczn modlowani mchanicznych właściwości matriałów. Biultyn WAT Vol. LIV Nr 5 s. 5-5.] wyprowadzono wzór na funkcję gęstości nrgii wwnętrznj oraz zaproponowano sposób jj podziału na część objętościową i postaciową. Przyjęto takŝ inny sposób opisu wybranych właściwości matriału bazujący na intnsywności przyrostu funkcji gęstości nrgii wwnętrznj. Na podstawi tj koncpcji uzyskano związki pozwalając na wyznaczni zalŝności odkształcń poprzcznych od wzdłuŝnych w procsi iąŝania oraz składowych stanu odkształcnia po zakończniu tgo procsu. Całość rozwaŝań odnisiono do jdnoosiowgo rozciągania i poddano wryfikacji wykorzystując wyniki ksprymntu przprowadzongo dla aluminium w statycznj próbi rozciągania uzupłnionj o pomiary odkształcń poprzcznych do osi rozciągania.. WSTĘP Matmatyczny opis właściwości mchanicznych matriału bazujący na klarownych załoŝniach i trafnj intrprtacji fizycznj jst nizwykl istotny w badaniu zjawiska zniszcznia matriału. Większość modli właściwości fizycznych matriałów cytowanych powszchni w litraturz sprowadza się do aproksymacji ksprymntalnych zalŝności uzyskanych w próbi jdnoosiowgo rozciągania np. [5]. Tgo rodzaju modl ni stwarzają moŝliwości opisu właściwości matriału w złoŝonym stani napręŝnia. Budowa modli mchanicznych właściwości matriału dla trójosiowgo stanu napręŝnia jst trudnym zadanim zwłaszcza wtdy gdy właściwości t są niliniow. W takich przypadkach pomocn są modl nrgtyczn. Opirają się on na zdfiniowaniu wilkości skalarnj nazywanj funkcją gęstości nrgii wwnętrznj która wprowadza związk pomiędzy nizminnikami stanu odkształcnia a całkowitą nrgią zakumulowaną w odkształconym matrial. Wprowadzni takigo związku pomiędzy składowymi stanu odkształcnia a nrgią zgromadzoną w matrial pozwala na ocnę stanów

2 T. WEGNER D. KURPISZ nibzpicznych z względu na moŝliwość plastyczngo płynięcia bądź zniszcznia matriału. Enrgtyczn krytria nistabilności stosowan są między innymi w pracach [4] i [7]. Ni istnij ogólni obowiązująca postać funkcji gęstości nrgii która byłaby prawdziwa dla wszystkich matriałów. Znany jst jdnak zspół załoŝń który powinna spłniać prawidłowo dobrana funkcja gęstości nrgii wwnętrznj. Podają j min. Ogdn i Taylor w swojj pracy []. Wykorzystując t załoŝnia konstruuj się postać funkcji gęstości nrgii wwnętrznj aproksymującj właściwości matriału. Przdmiotm zaintrsowania są takŝ matriały anizotropow stąd podjmowan są próby wykorzystania modlu nrgtyczngo do opisu właściwości tych matriałów [] [6]. Zdcydowana większość modli nrgtycznych nizalŝni od przyjętych załoŝń cchuj się znacznym stopnim trudności matmatycznj tymczasm przyroda rządzi się prostymi prawami któr mogą skutczni pomóc w rozpatrywaniu skomplikowanych zagadniń. W ninijszj pracy co jst jj oryginalną częścią posługując się zasadą zachowania nrgii oraz fizyczną intrprtacją procsu iąŝania wyprowadzono związki matmatyczn pozwalając na dokonani podziału nrgii na część objętościową i postaciową. Wykorzystując pojęci intnsywności przyrostu funkcji gęstości nrgii wwnętrznj wyznaczono trajktorię obciąŝnia wzdłuŝ którj matriał wykazuj największą sztywność. Okrślono takŝ zalŝność odkształcń poprzcznych od wzdłuŝnych w procsi iąŝania oraz składow stanu odkształcnia po całkowitym iąŝniu lmntu. Tortyczn rozwaŝania przprowadzono dla statycznj próby jdnoosiowgo rozciągania przy załoŝniu izotropowości matriału oraz zminności współczynnika odkształcń poprzcznych. Uzyskan związki poddano wryfikacji na postawi wyników ksprymntu przprowadzongo dla aluminium.. PODSTAWOWE ZWIĄZKI MATEMATYCZNO FIZYCZNE Przyjmijmy zgodni z tokim rozumowania przdstawionym w pracy [7] Ŝ procs odkształcnia matriału poddango działaniu zwnętrznych obciąŝń moŝna przdstawić w przstrzni głównych składowych odkształcnia za pomocą linii którj punkty odpowiadają okrślonym stanom odkształcnia. Rys.. Procs jdnoosiowgo rozciągania matriału liniowo spręŝystgo w przstrzni głównych składowych odkształcnia x y z

3 WYKORZYSTANIE PODSTAWOWYCH PRAW FIZYKI W MODELOWANIU WŁAŚCIWOŚCI Przy odkształcniu czysto objętościowym linia ta jst pochylona pod jdnakowym kątm do wszystkich osi układu ink OO co oznacza Ŝ odlgłość mirzona wzdłuŝ tj linii moŝ być uznawana za miarę odkształcnia objętościowgo. ZałóŜmy dalj analogiczni Ŝ odlgłość mirzona w kirunku prostopadłym do tj linii okrślać będzi odkształcni postaciow. Oznaczając główn składow stanu odkształcnia przz zaś wspomnian odlgłości przz h i r otrzymujmy h + + I r [ ] I I gdzi I oraz I są nizminnikami stanu odkształcnia. Gwarantuj to ich nizalŝność od przyjętgo układu odnisinia dzięki czmu moŝmy od nich uzalŝnić funkcj gęstości nrgii wwnętrznj W h C. Przyrost wartości tj funkcji wyraŝa się wzorm dw dh+ dr. r Zakładając Ŝ mamy do czyninia z procsm statyczngo jdnoosiowgo rozciągania oraz przyjmując izotropowość matriału i znajomość aproksymacji jgo charaktrystyk ksprymntalnych otrzymujmy wzory transformacyjn h cosα + r sinα sinα cosα 4 okrślając zalŝność pomiędzy składowymi stanu odkształcnia h i r w przstrzni R H a wydłuŝnim względnym. Korzystając z faktu Ŝ dw σ 5 d na mocy związku otrzymujmy dh dr σ + 6 d r d który po wykorzystaniu związków 4 i wykonaniu kilku lmntarnych przkształcń przyjmuj postać równania róŝniczkowgo cząstkowgo gdzi cos sin + W σ h r α + h r α sinα h cosα 7 r σ h σ h cosα+ r sinα h hcosα+ r sin. α Rozwiązani ogóln równania 7 moŝna przdstawić w postaci

4 4 T. WEGNER D. KURPISZ F r cosα hsinα+ r h W r h σ d 8 gdzi F jst dowolną funkcją h cosα+ r sinα zaś h h cosα+ r sinα bądź równowaŝni w postaci cosα hsinα+ r h W h σ d+ G r 9 gdzi G jst dowolną funkcją zaś i h okrślon są tak jak wyŝj. W intrprtacji fizycznj funkcja G jst funkcją kary przyjmującą wartości nizrow poza ściŝką odkształcnia. Jst to bzpośrdnią konskwncją zasady zachowania nrgii. Zatm na ściŝc odkształcnia mamy W h σ d. W clu dokonania podziału nrgii na części objętościową i postaciową wystarczy powołać się na wyniki doświadczaln procsu iąŝania matriału. Korzystając z faktu Ŝ procs iąŝania przbiga wzdłuŝ prostj równolgłj do linii rprzntującj zalŝność napręŝnia od odkształcnia w początkowym tapi obciąŝania próbki oraz zakładając Ŝ odzyskiwana jst tylko część objętościowa nrgii otrzymujmy oraz W s W v σ E σ W E v s gdzi W i W oznaczają odpowidnio część objętościową i postaciową nrgii. Odwołując się do przdstawionj wczśnij intrprtacji składowych stanu odkształcnia oraz wykorzystując związki 4 po wykonaniu srii przkształcń otrzymujmy: gdzi W v σ g h h E g h hcosα + f hsin 4 α zaś r jst funkcją składowj h r f h wyznaczoną na podstawi związków 4. Podobni na podstawi zalŝności mamy W g r s σ g σ d 5 E gdzi g f cosα + r sinα 6 zaś f jst wyznaczoną na mocy związków 4 zalŝnością składowj h od r. r

5 WYKORZYSTANIE PODSTAWOWYCH PRAW FIZYKI W MODELOWANIU WŁAŚCIWOŚCI 5 Całkowita nrgia zgromadzona wwnątrz odkształcongo matriału wyraŝa się zatm za pomocą związku s v W h W + W h. 7. INTENSYWNOŚĆ PRZYROSTU FUNKCJI GĘSTOŚCI ENERGII WEWNĘTRZNEJ Przyjmując Ŝ związki 4 okrślają postać paramtryczną dowolnj krzywj C zawartj w płaszczyźni R H zaś W h jst klasy C na tj płaszczyźni pochodną kirunkową funkcji W h względm krzywj C moŝmy wyrazić związkim dw c o W 8 ds c c dr dh gdzi s jst długością łuku natomiast W. d d r Z drugij strony na mocy dfinicji iloczynu skalarngo związk 8 moŝmy przdstawić w postaci dw W cos c W. 9 ds Z otrzymango powyŝj związku wynika Ŝ o intnsywności przyrostu funkcji gęstości cos c W. W zalŝności od wartości nrgii wwnętrznj dcydował będzi przyjmowanj przz cos c W moŝmy wyróŝnić następując skrajn przypadki:. cos c W co odpowiada sytuacji w którj intnsywność przyrostu nrgii wwnętrznj jst maksymalna. Przkształcni związku 9 pozwala wyznaczyć w przstrzni RH równani róŝniczkow trajktorii stanów odkształcnia wzdłuŝ którj następuj najszybszy przyrost nrgii wwnętrznj a więc sztywność matriału jst największa. Równani tj trajktorii przyjmuj postać dh. dr r. cos l r W w wyniku czgo uzyskujmy zrową intnsywność przyrostu nrgii wwnętrznj co odpowiada brakowi obciąŝnia. v. cos c W gdzi mamy do czyninia z największą intnsywnością spadku części objętościowj nrgii. Odpowiada to procsowi iąŝnia lmntu. Wykorzystując związk 9 w odnisiniu do części objętościowj nrgii i wykonując kilka lmntarnych przkształcń otrzymujmy w przstrzni RH równani róŝniczkow trajktorii wzdłuŝ którj następuj procs iąŝania v dh. v dr r

6 6 T. WEGNER D. KURPISZ W clu wyznacznia zalŝności odkształcń poprzcznych od wzdłuŝnych w procsi iąŝania wystarczy tylko wykorzystać związki 4 i któr po wykonaniu przkształcń pozwalają zapisać σ d dh E dh. dr σ d E dr Z drugij strony dh +. dr Wykorzystując związki i oraz wykonując srię przkształcń otrzymujmy równani zalŝności odkształcń poprzcznych od wzdłuŝnych któr przyjmuj postać 4 gdzi jst składowa poprzczną stanu odkształcnia w chwili inicjacji procsu iąŝania. Składow wzdłuŝną i poprzczną po zakończniu procsu iąŝania moŝmy wyznaczyć z wzorów E σ od c oraz. Korzystając z dfinicji współczynnika odkształcń poprzcznych i związku 4 mamy ~ ν. 5 Otrzyman równani opisuj współczynnik odkształcń poprzcznych w trakci iąŝania lmntu. 4. WYKORZYSTANIE WYNIKÓW PRÓBY STATYCZNEGO JEDNOOSIOWEGO ROZCIĄGANIA DLA ALUMINIUM. Doświadczaln charaktrystyki zaczrpnięt z badań M. Obsta [] moŝna aproksymować funkcjami R dla σ 6 a + b+ c dla > oraz 4ν dla 4 ~ 6 ν ν xp dla < < ν xp 74 xp 74 dla 74 < R gdzi m R R a m R Rm R r b r c Rr 6 natomiast m m R 84 MPa Rm 8MPa są stałymi matriałowymi. Zstawini tych aproksymacji z wykrsami doświadczalnymi przdstawiają rysunki i. m

7 WYKORZYSTANIE PODSTAWOWYCH PRAW FIZYKI W MODELOWANIU WŁAŚCIWOŚCI 7 ~ ν 6 σ [MPa] 5 4 D 5 5 D Rys.. Aproksymacja wykrsu zalŝności napręŝnia od odkształcnia względngo w próbi jdnoosiowgo rozciągania dla aluminium Rys.. Aproksymacja zalŝności współczynnika odkształcń poprzcznych od wzdłuŝnych w próbi jdnoosiowgo rozciągania dla aluminium Na podstawi wprowadzonych aproksymacji 6 7 oraz wzorów i 5 otrzymujmy wykrsy części objętościowj i postaciowj nrgii P Rys. 4. Wykrs części objętościowj funkcji gęstości nrgii wwnętrznj w zalŝności od składowj h stanu odkształcnia Rys. 5. Wykrs części postaciowj funkcji gęstości nrgii wwnętrznj w zalŝności od składowj r stanu odkształcnia Punkt P na wykrsach i 4 okrśla początk procsu plastyczngo płynięcia który zachodzi wskutk poślizgów w sici krystalicznj na co wskazuj stałość części objętościowj nrgii przy zmiani składowj h stanu odkształcnia. Na podstawi charaktrystyk ksprymntalnych i wzorów 4 5 otrzymujmy wykrsy zalŝności odkształcń poprzcznych oraz współczynnika odkształcń poprzcznych od odkształcń wzdłuŝnych w procsi iąŝania lmntu obc Rys. 6. Wykrs przdstawiający zalŝność odkształcń poprzcznych od wzdłuŝnych w procsi obciąŝania i iąŝania matriału v~ obc Rys. 7. Wykrs przdstawiający zalŝność współczynnika odkształcń poprzcznych od odkształcń wzdłuŝnych w procsi obciąŝania i iąŝania matriału v~

8 8 T. WEGNER D. KURPISZ 5. WNIOSKI Zaproponowany w ninijszj pracy opis zjawisk zachodzących w odkształcanym matrial umoŝliwia wyznaczani zmian nrgii wwnętrznj odkształcnia objętościowgo i postaciowgo w procsi odkształcnia matriału. Przyjęty sposób podziału nrgii wwnętrznj jst koncpcją pomocną w opisi iąŝania lmntu. Enrgia odkształcnia objętościowgo zgromadzona w obciąŝonym matrial stanowi niwilką część całkowitj nrgii odkształcnia. W procsi plastyczngo płynięcia nrgia odkształcnia objętościowgo zachowuj stałą wartość Szybkość wzrostu współczynnika odkształcń poprzcznych w procsi iąŝania rys.6. jst stała. Zmiana współczynnika odkształcń poprzcznych w procsi iąŝania jst w przybliŝniu liniowa. LITERATURA. Kambouchv N Radovitzky R Frnandz J.: Anisotropic matrials which can b modld by polyconvx strain nrgy functions. 47th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structurs Structural Dynamics and Matrials Confrnc 4 May 6 Nwport Rhod Island.. Obst M.: Enrgtyczny modl matriału o niliniowych właściwościach. Rozprawa doktorska pod kirunkim T. Wgnra. Poznań 7.. Ogdn R. W.: Non-linar lastic dformations. Dovr Publications Minola NY Ptryk H.: Th nrgy critria of instability in th tim-indpndnt inlastic solids. Archiwum Mchaniki Stosowanj s Rasmussn K.J.R.: Full-rang strss-strain curvs for stainlss stl alloys. Journal of Constructional Stl Rsarch 59 s Rovati M Talircio A.: A gnral approach for th valuation of strain nrgy xtrma in anisotropic lasticity. Th Frithiof Niordson Volum. 7. Wgnr T. Matmatyczn modlowani mchanicznych właściwości matriałów. Biultyn WAT Vol. LIV Nr 5 s APPLYING OF BASIC PHYSICAL PRINCIPLES IN MODELING OF MECHANICAL PROPERTIES OF MATERIAL Summary. Th physical modl of th matrial proprtis basd on physical laws was proposd by authors in this papr. Th consrvation nrgy principl was usd to build strain nrgy dnsity function. On th bas of this principl and dfinition of th strain nrgy incrmnt intnsity th division of nrgy was proposd what is important lmnt of this work. Th concption of nrgy splitting into volumtric and shar parts is accptd for dscription of matrial proprtis. All assumptions ar basd on uniaxial tnsion tst supportd by transvrs dformations masurmnts. Th rsults of uniaxial tnsion tst wr acquird from dissrtation [] whil gomtrical intrprtation of matrial dformation procss was takn from papr [7]. All considrations wr carrid out for aluminium.