Optymalizacja reguł przejścia systemu bonus-malus

Transkrypt

1 Optymalizaca rguł przścia systmu onus-malus Dr Marcin Topolwski Dr Michał Brnardlli Instytut Ekonomtrii Szkoła Główna Handlowa w Warszawi

2 Plan: Inspiraca, motywaca, cl i zakrs adania Ryzyko Systm onus-malus Modl systmu onus-malus Składki Miary akości systmu onus-malus Algorytm Badani Wyniki Wnioski OKA 014. M.Topolwski, M.Brnardlli Strona z 5

3 Inspiraca Marlock M. Aspcts of optimization in automoil insuranc, Springr, Próa optymalizaci rguł przścia systmu onus-malus: - dla ówczsngo systmu nimickigo, - dla wykładnicz funkci struktury ryzyka, - dla okrsu t = 5 lat. Motywaca Znan i stosowan: - miary akości (lastyczność składki staconarn, lastyczność struminia płatności,,, NSP, RSVP, ) - krytria oliczania składk (Norrg, Norrg-Borgan-Hom, Gild-Sundt) - łaknini zniżk (mtody programowania dynamiczngo) Suiktywn założnia przy konstrukci systmu onus-malus: - licza klas - licza wyróżnianych szkód - rguły przścia!!! Powszchny sposó konstrukci systmu onus-malus: - propozyca systmu, adani właściwości, korkta systmu, adani właściwości, Czy można usprawnić i zoiktywizować tn procs poprzz optymalizacę zasad przścia? OKA 014. M.Topolwski, M.Brnardlli Strona 3 z 5

4 Zakrs adania Próa optymalizaci rguł przścia dla systmów onus-malus: - różniących się liczą klas (s) i liczą wyróżnianych szkód (q), - dla funkci struktury ryzyka okrślon odwrotnym rozkładm gaussowskim, - dla różnych wartości śrdni i warianci częstości szkód, - dla okrsu staconarngo. Cl adania Rozszrzni i uogólnini wniosków płynących z optymalizaci rguł przścia systmu onus-malus. Czy optymalizaca rguł przścia pozwoli usprawnić i zoiktywizować procs udowy systmu onus-malus? Czy dążni do uzyskania dorych własności statystycznych idzi w parz z pożądanymi właściwościami rynkowymi? OKA 014. M.Topolwski, M.Brnardlli Strona 4 z 5

5 Ryzyko Zakładamy nizalżność wysokości szkody od liczy szkód Zakładamy, ż oczkiwana wysokość szkody =1 (częstotliwość szkód λ = szkodowość) K licza szkód K ~ Poisson (λ) Warunkow prawdopodoiństwo spowodowania k szkód w dnym okrsi λ λ Pk ( λ) P(K k / Λ λ) k! k Λ częstotliwość szkód (szkodowość), Λ ~ IG(µ, θ) odwrotny rozkład gaussowski (Willmot [1987]) Strukturę ryzyka w portflu okrśla u(λ) - rozkład gęstości zminn Λ Bzwarunkow prawdopodoiństwo spowodowania k szkód w dnym okrsi P k P(K k) 0 λ k λ k! u( λ)dλ 0 λ k λ k! du( λ) Przy powyższych założniach E Λ μ, VarΛ μθ oraz EK μ, VarK μ μθ OKA 014. M.Topolwski, M.Brnardlli Strona 5 z 5

6 Systm onus-malus Przymu się (np. Lmair [1985]), ż systm onus-malus składa się z: skończon liczy klas S,S { 1,,...,s } takich, ż uzpiczony nalży do dn klasy w dnostkowym okrsi uzpicznia (zwykl rok), a klasa w kolnym okrsi uzpicznia zalży tylko od klasy i liczy szkód zgłoszonych w poprzdnim okrsi, składk okrślonych dla każd klasy, okrślon klasy startow, do któr trafiaą uzpiczaący się po raz pirwszy (warunk zędny dla dalsz analizy). Ponadto przymumy, ż klasą nalpszą (o naniższ składc i nakorzystniszych rgułach przścia) st klasa o numrz 1, a nagorszą klasa o numrz s. Zasady przścia pomiędzy klasami można przdstawić w postaci tali przść (lu macirzy przść T = [t ik ]), która pokazu do któr klasy przchodzi uzpiczony z klasy i po zgłoszniu k szkód. Przykładowa tala przść dla systmu o 10-ciu klasach wyróżniaącgo do 3 szkód (klasa nalpsza 1). k = klasa T =[t ik ] = OKA 014. M.Topolwski, M.Brnardlli Strona 6 z 5

7 Modl systmu onus-malus Poniważ systm onus-malus posiada własność Markowa (klasa w kolnym okrsi zalży tylko od klasy i liczy szkód w poprzdnim okrsi) zwykl modlm takigo systmu st odpowidni łańcuch Markowa (Lmair [1985],[1995]). Macirzą transformaci nazywamy macirz postaci T k [ t i (k)], gdzi: t i 1 (k) 0 dla dla T (i) k T (i) Prawdopodoiństwo przścia z klasy i do p i ( λ) pk ( λ)ti(k) k0 Macirz prawdopodoiństw przścia i ( λ)] pk ( λ) k k0 P ( λ) [p T k Dla rgularn macirzy prawdopodoiństw przścia łańcuch posiada własność rgodyczności i rozkład staconarny ( ) [ ( λ ),..., s( λ )] λ 1 ( λ) P( λ) ( λ) ( λ) 1 1 Odpowidnio zwarunkowy rozkład staconarny [,..., s ] [ 1( λ)u( λ)dλ,..., s( λ)u( λ)dλ] OKA 014. M.Topolwski, M.Brnardlli Strona 7 z 5

8 Systmy dopuszczaln Skupiamy się na systmach spłniaących poniższ warunki: wirsz tali przść T są nimaląc (słaa monotoniczność w wirszach) w każd klasi kara* za spowodowani większ liczy szkód st ni mnisza niż za spowodowani mnisz liczy szkód, kolumny tali przść T są nimaląc (słaa monotoniczność w kolumnach) kara* za spowodowani taki sam liczy szkód w kasi gorsz ni moż yć mnisza niż w klasi lpsz (z wyątkim klasy nagorsz), systmy są niprzywidln (modlm st łańcuch niprzywidlny) żadn z lmntów wktora staconarngo ni st równy zro, systmy są rgodyczn (modlm st łańcuch rgodyczny) rozkład staconarny ni zalży od klasy startow. *kara rozumiana st tu ako przści pomiędzy klasami, a ni ako kara finansowa na tym tapi astrahumy od wysokości składk. Taki systmy nazywamy systmami dopuszczalnymi. Jst to rozszrzni dfinici systmu sprawidliwgo w snsi przść między klasami (Podgórska i inni [006]). Zatm modlm rozpatrywanych przz nas systmów onus-malus ędzi niprzywidlny i rgodyczny łańcuch Markowa. OKA 014. M.Topolwski, M.Brnardlli Strona 8 z 5

9 Składki Krytrium Norrga (Norrg [1976]) opira się na minimalizaci łędu śrdniokwadratowgo ocny uzpiczongo. W przypadku systmów onus-malus st to minimalizaca wartości oczkiwan kwadratu odchylnia składki staconarn od prawdziw szkodowości. Q( ) λ ( λ ) u( λ )dλ min 0 S Błąd ocny dla wktora składk składk = [] Q( ) EΛ EΛ S S Dla okrślongo portfla (rozkładu Λ) EΛ st stał, a nalpszy systm o składkach Q-optymalnych to taki, dla którgo: max S Składki Q-optymaln (ntto) λ ( λ ) u( λ )dλ 0 ( λ ) u( λ )dλ 0 Dla składk Q-optymalnych systm st finansowo zilansowany, czyli oczkiwana składka st równa śrdni częstości szkód EΛ S W dalsz części korzystamy wyłączni z składk Q-optymalnych wyłączni w uęciu ntto. OKA 014. M.Topolwski, M.Brnardlli Strona 9 z 5

10 OKA 014. M.Topolwski, M.Brnardlli Strona 10 z 5 Wskaźnik dokładności ocny uzpiczonych Biorąc łąd śrdniokwadratowy ocny przy składkach Q-optymalnych S E Q Λ i przymuąc 1 Λ Q E oraz Q S otrzymumy Q1 Q Q Dal analizuąc wartości aki moż przymować Q mamy dla systmu nagorszgo o stał składc (rak zróżnicowania składk): Λ Λ E E S lu Λ E Q dla systmu nalpszgo Q = 0 (doskonała ocna uzpiczonych): 0 EΛ Q S lu 1 Λ Q E Q Zatm, dla rzczywistych systmów onus-malus wartość Q podlga ograniczniu Λ EΛ E S lu 1 Λ Q Q E Nasza unormowana miara dokładności ocny uzpiczonych przz systm o składkach Q-optymalnych: Λ Λ Λ E E E QN S lu Λ 1 Λ E Q E Q QN QN wskazu gdzi lży wartość Q na odcinku pomiędzy swoą namniszą a nawiększą wartością dla okrślongo rozkładu Λ.

11 OKA 014. M.Topolwski, M.Brnardlli Strona 11 z 5 Charaktrystyki systmu onus-malus (miary akości) Składka staconarna (Loimaranta [197]) S Współczynnik zminności składki staconarn (Lmair [1985][1995]) S ) V ( Unormowana składka staconarna (RSAL Rlativ Stationary Avrag Lvl) (Lmair [1985][1995]) min max min RSAL Elastyczność składki staconarn (Loimaranta [197]) ) ( λ λ λ λ λ η Elastyczność całkowita (D Pril [1977]) λ λ λ η η 0 )d )u( (

12 Optymalizaca rguł przścia algorytm Marlocka: Good xprinc was mad Marlock [1985] dokonu optymalizaci rguł przścia ówczsngo nimickigo systmu onus-malus dla rozkładu po 5 latach, stosuąc hurystyczną procdurę zliżoną do podścia opartgo na kolnych itracach wykorzystywango w maksymalizaci prolmów wypukłych. Jak tłumaczy autor w procdurz t, każdy kolny lmnt tali przść sta się zminną pozwalaąc (przy odpowidnich warunkach) maksymalizować Q. Autor ni przytacza dnak dowodu na to, ż opisany algorytm znadu optimum gloaln. Ogranicza się do stwirdznia Good xprinc was mad. Zaznacza, ż z różnych punktów startowych osiągano to samo rozwiązani (to samo rozwiązani yło wskazywan ako nalpsz). OKA 014. M.Topolwski, M.Brnardlli Strona 1 z 5

13 Optymalizaca rguł przścia nasz algorytm Mamy do czyninia z zadanim programowania całkowitoliczowgo przy niliniow funkci clu. Rozważamy przypadk asymptotyczny (stan staconarny). Wprowadzamy warunki monotoniczności zarówno w wirszach i w kolumnach tali systmu onus-malus. Ograniczamy się do systmów niprzywidlnych i rgodycznych. Kolno dla każdgo lmntu [t ik ] tali przść T systmu zminiamy go wartości uwzględniaąc warunki monotoniczności oraz niprzywidlności i rgodyczności systmu. Oliczamy składki Q-optymaln i wartość Q. Wyiramy wartość [t ik ] maksymalizuącą Q T =[t ik ] = Po optymalizaci wszystkich lmntów tali T procdurę powtarzamy i porównumy wyniki z poprzdnią itracą. Jżli w dwóch kolnych krokach itracynych algorytm wskaż to samo rozwiązani procdurę przrywamy. OKA 014. M.Topolwski, M.Brnardlli Strona 13 z 5

14 Optymalizaca rguł przścia nasz algorytm c.d. Poszukumy rozwiązania dokonuąc zmian na dwa sposoy: - w kolnych wirszach, - w kolnych kolumnach. Sprawdzamy ziżność algorytmu do rozwiązania dla różnych punktów startowych (rozpoczynaąc od różnych systmów dopuszczalnych). W większości przypadków znalzion rozwiązani yło taki samo nizalżni od kirunku zmian w tali przść (w wirszach lu kolumnach) i rozwiązania początkowgo, al w niktórych przypadkach wskazan przz algorytm rozwiązania yły różn. Wówczas wyirano nalpsz. Dla kirunku poszukiwania w wirszach algorytm potrzu zwykl mni itraci niż w kolumnach. OKA 014. M.Topolwski, M.Brnardlli Strona 14 z 5

15 Porównani wyników algorytmu Marlocka (z lw) i naszgo (z praw) - Vry good xprinc was mad Q 0, Q 0, Q1 0,04 Q1 0,04 Q 0, Q 0, QN 0, QN 0, OKA 014. M.Topolwski, M.Brnardlli Strona 15 z 5

16 Badani Rozpatrumy systmy o 10 klasach wyróżniaąc do 3 szkód dla funkci struktury różniących się paramtrami rozkładu (IG), ay zadać portfl od niski częstości szkód i mał warianci do wysoki częstości szkód i wysoki warianci: portfl s1 portfl s portfl s3 μ 0,05 μ 0,05 μ 0,05 θ 0,01 θ 0,05 θ 0,15 portfl s4 portfl s5 portfl s6 μ 0,15 μ 0,15 μ 0,15 θ 0,01 θ 0,05 θ 0,15 portfl s7 portfl s8 portfl s9 μ 0,3 μ 0,3 μ 0,3 θ 0,01 θ 0,05 θ 0,15 Rozpatrumy systmy różn wilkości: - różną liczę klas dla systmów wyróżniaących do trzch szkód dla funkci struktury IG(0,15; 0,05), - różną liczę szkód wyróżnianych przz systmy o dzisięciu klasach i funkci struktury IG(0,15; 0,05). OKA 014. M.Topolwski, M.Brnardlli Strona 16 z 5

17 Wyniki systmy wskazan przz algorytm μ 0, μ 0, μ 0, θ 0, θ 0, θ 0, μ 0, μ 0, μ 0, θ 0, θ 0, θ 0, μ 0, μ 0, μ 0, θ 0, θ 0, θ 0, OKA 014. M.Topolwski, M.Brnardlli Strona 17 z 5

18 Wyniki systmy wskazan przz algorytm oraz ich charaktrystyki (% przy założniu, ż klasą startową st klasa 7) % μ 0,05 % μ 0,05 % μ 0,05 7% 0, ,930 θ 0,01 31% 0, ,861 θ 0,05 57% 0, ,776 θ 0,15 6% 0, ,031 VarΛ 0,001 54% 0, ,037 VarΛ 0,003 74% 0, ,036 VarΛ 0,008 49% 0, ,006 VarK 0,051 56% 0, ,039 VarK 0,053 75% 0, ,038 VarK 0,058 54% 0, ,007 V 1,775 86% 0, ,007 V 0,541 77% 0, ,041 V 0,199 73% 0, ,004 RSAL 0,017 90% 0, ,008 RSAL 0,058 78% 0, ,043 RSAL 0,11 80% 0, ,006 η 0,13 95% 0, ,009 η 0,10 98% 0, ,011 η 0,11 100% 0, ,005 Q 0, % 0, ,010 Q 0,00 100% 0, ,01 Q 0,001 15% 0, ,004 Q1 0, % 0, ,01 Q1 0,005 10% 0, ,013 Q1 0, % 0, ,004 Q 0, % 0, ,007 Q 0, % 0, ,014 Q 0,003 37% 1, ,00 QN 0, % 0, ,009 QN 0,93 106% 0, ,015 QN 0,119 % μ 0,15 % μ 0,15 % μ 0,15 % 0, ,945 θ 0,01 11% 0, ,80 θ 0,05 6% 0, ,790 θ 0,15 0% 0, ,009 VarΛ 0,00 5% 0, ,07 VarΛ 0,008 41% 0, ,093 VarΛ 0,03 9% 0, ,009 VarK 0,15 41% 0, ,0 VarK 0,158 58% 0, ,06 VarK 0,173 38% 1, ,016 V 3,46 58% 0, ,011 V 1,491 74% 0, ,010 V 0,747 65% 1, ,009 RSAL 0,015 64% 0, ,017 RSAL 0,035 79% 0, ,014 RSAL 0,071 86%, ,004 η 0,198 79% 0, ,019 η 0,344 94% 0, ,010 η 0, %, ,00 Q 0, % 0, ,00 Q 0, % 0, ,016 Q 0,010 15% 3, ,001 Q1 0, % 1, ,010 Q1 0, % 0, ,015 Q1 0, % 3, ,001 Q 0,9 197% 1, ,004 Q 0, % 0, ,013 Q 0,035 1% 6, ,004 QN 0,799 85%, ,005 QN 0, % 0, ,014 QN 0,557 % μ 0,3 % μ 0,3 % μ 0,3 % 0, ,958 θ 0,01 5% 0, ,887 θ 0,05 15% 0, ,818 θ 0,15 43% 1, ,018 VarΛ 0,003 % 0, ,04 VarΛ 0,015 37% 0, ,01 VarΛ 0,045 6%, ,006 VarK 0,303 31% 0, ,07 VarK 0,315 48% 0, ,014 VarK 0,345 75% 3, ,003 V 4,385 45% 1, ,0 V,197 53% 0, ,03 V 1,44 85% 3, ,00 RSAL 0,018 67% 1, ,017 RSAL 0,030 63% 0, ,031 RSAL 0,057 93% 4, ,001 η 0,158 86%, ,007 η 0,307 76% 0, ,040 η 0, % 4, ,001 Q 0, %, ,003 Q 0, % 1, ,06 Q 0, % 4, ,001 Q1,790 13% 3, ,003 Q1 0, % 1, ,011 Q1 0,70 110% 4, ,000 Q 1,81 133% 3, ,00 Q 0,54 169% 1, ,004 Q 0,9 66% 11, ,011 QN 0,641 06% 5, ,008 QN 0,804 39%, ,01 QN 0,774 OKA 014. M.Topolwski, M.Brnardlli Strona 18 z 5

19 Ranking systmów Systmy wdług wartości QN* μ θ Q Q QN η V RSAL s8 0,3 0,05 0,1057 0,543 0,8043 0,3070,1967 0,0304 s4 0,15 0,01 0,0678 0,9 0,7990 0,1976 3,460 0,0148 s9 0,3 0,15 0,0406 0,94 0,7743 0,4109 1,444 0,0567 s5 0,15 0,05 0,0175 0,075 0,7413 0,3438 1,4913 0,0346 s7 0,3 0,01 0,9695 1,805 0,6409 0,1581 4,3850 0,0177 s1 0,05 0,01 0,0046 0,0104 0,630 0,13 1,7751 0,0173 s6 0,15 0,15 0,0100 0,0350 0,5575 0,3343 0,7466 0,0710 s 0,05 0,05 0,0018 0,003 0,95 0,100 0,5409 0,0578 s3 0,05 0,15 0,0007 0,006 0,119 0,113 0,1993 0,114 * wyższ wartości QN są lpsz portfl s1 portfl s portfl s3 μ 0,05 μ 0,05 μ 0,05 θ 0,01 θ 0,05 θ 0,15 portfl s4 portfl s5 portfl s6 μ 0,15 μ 0,15 μ 0,15 θ 0,01 θ 0,05 θ 0,15 portfl s7 portfl s8 portfl s9 μ 0,3 μ 0,3 μ 0,3 θ 0,01 θ 0,05 θ 0,15 OKA 014. M.Topolwski, M.Brnardlli Strona 19 z 5

20 Ranking systmów c.d. Systmy wdług wartości wskaźników V RSAL η Q Q1 Q QN ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) portfl s1 portfl s portfl s3 s3 s4 s9 s7 s7 s7 s8 μ 0,05 μ 0,05 μ 0,05 s s1 s5 s8 s8 s8 s4 θ 0,01 θ 0,05 θ 0,15 s6 s7 s6 s4 s4 s4 s9 s9 s8 s8 s9 s9 s9 s5 portfl s4 portfl s5 portfl s6 s5 s5 s1 s5 s5 s5 s7 μ 0,15 μ 0,15 μ 0,15 s1 s9 s s6 s6 s6 s1 θ 0,01 θ 0,05 θ 0,15 s8 s s4 s1 s1 s1 s6 s4 s6 s7 s s s s portfl s7 portfl s8 portfl s9 s7 s3 s3 s3 s3 s3 s3 μ 0,3 μ 0,3 μ 0,3 θ 0,01 θ 0,05 θ 0,15 ( ) od nawyższych do naniższych ( ) od naniższych do nawyższych Q niższ wartości lpsz Q1 wartość stała zalżna od funkci struktury ryzyka Q, QN wyższ wartości lpsz η prfrowan wartości liski 1, tu wyższ wartości są lpsz, poniważ dla wszystkich portfli η < 1 V prfrowan wartości liski 1 OKA 014. M.Topolwski, M.Brnardlli Strona 0 z 5

21 Elastyczności składki staconarn dla systmów wskazanych przz algorytm OKA 014. M.Topolwski, M.Brnardlli Strona 1 z 5

22 Wyniki systmy różnych rozmiarów Systmy różniąc się liczą klas, q = 3, Λ~IG(0,15; 0,05) s = Q 0,050 0,0 0,00 0,0187 0,0175 0,0164 Q1 0,09 0,09 0,09 0,09 0,09 0,09 Q 0,0650 0,0678 0,0698 0,0713 0,075 0,0736 QN 0,6301 0,6715 0,7014 0,731 0,7413 0,7569 Systmy różniąc się liczą wyróżnianych szkód, s =10, Λ~IG(0,15; 0,05) q = Q 0,01 0,018 0,0175 0,0173 Q1 0,09 0,09 0,09 0,09 Q 0,069 0,0718 0,075 0,077 QN 0,6887 0,7306 0,7413 0,743 OKA 014. M.Topolwski, M.Brnardlli Strona z 5

23 Wnioski Wzrost liczy klas powodu spadk Q (dla okrślongo portfla) Wzrost liczy wyróżnianych szkód powodu spadk Q (dla okrślongo portfla) Minimalizaca Q moż prowadzić do systmu niakcptowango z względu na inn krytria Minimalizaca Q ni gwarantu innych dorych własności systmu (np. wktor składk, lastyczność całkowita, współczynnik zminności składki staconarn) Ni wyda się ay minimalizaca Q yła pożądana dla wszystkich portfli (funkci struktury) Ni wyda się ay minimalizaca Q pozwoliła zautomatyzować procs udowy systmu onus-malus [Ocna systmu onus-malus wymaga ulpsznia miar] Kirunki dalszych adań Optymalizaca rguł przścia przy składkach oliczanych wdług innych krytriów Optymalizaca rguł przścia przy składkach okrślonych przz dcydnta Optymalizaca rguł przścia względm innych charaktrystyk systmu onus-malus OKA 014. M.Topolwski, M.Brnardlli Strona 3 z 5

24 Biliografia Borgan O., Hom J.M., Norrg R., A Nonasymptotic Critrion for Evaluation of Automoil Bonus Systms, Scandinavian Actuarial Journal 1981, s D Pril N., Th Efficincy of a Bonus-Malus Systm, ASTIN Bulltin, Vol. 10, Part 1, 1978, s Gild V., Sundt B., On Bonus Systms with Crdiility Scal, Scandinavian Actuarial Journal, 1989, s.13-. Lmair J., Automoil Insuranc: Actuarial Modls, Kluwr Nihoff, Boston Lmair J., Bonus-malus Systms in Automoil Insuranc, Kluwr Nihoff, Boston Loimaranta K., Som Asymptotic Proprtis of Bonus Systms, ASTIN Bulltin, Vol. VI, Part 3, 197, s Marlock M., Aspcts of optimization in automoil insuranc, Lctur Nots in Economics and Mathmatics Systms, Springr Brlin-NY, 1985, s Norrg R., A crdiility thory for automoil onus systms, Scandinavian Actuarial Journal, 1976, Podgórska M., Ciślik B., Kryszń B., Nimic M., Topolwski M., Systm onus-malus sprawidliwy w snsi przść między klasami, Instytut Ekonomtrii SGH, Warszawa 006. Willmot G., Th Poisson-Invrs Gaussian Distriution as an Altrnativ to th Ngativ Binomial, Scandinavian Actuarial Journal, 1987, OKA 014. M.Topolwski, M.Brnardlli Strona 4 z 5

25 Dziękumy za uwagę OKA 014. M.Topolwski, M.Brnardlli Strona 5 z 5

26 Źródło: Marlock M., Aspcts of optimization in automoil insuranc, Lctur Nots in Economics and Mathmatics Systms, Springr Brlin-NY, OKA 014. M.Topolwski, M.Brnardlli Strona 6 z 5