Co ma wspólnego czarna dziura i woda w szklance?

Transkrypt

1 Co ma wspólnego czarna dziura i woda w szklance? Czarne dziury są obiektami tajemniczymi i fascynującymi, aczkolwiek część ich właściwości można oszacować przy pomocy prostych równań algebry. Pokazuje to także, jak wiele do powiedzenia ma łatwa matematyka (gdzie najbardziej skomplikowane jest potęgowanie). Najpierw rozruch, czyli zadajmy sobie pytanie: jaki byłby promień czarnej dziury powstałej z Ziemi? Wykorzystamy do tego równanie Schwarzschilda w postaci: r=(2 G M )/(c 2 ) gdzie: r promień czarnej dziury G stała grawitacyjna M masa czarnej dziury c prędkość światła Podstawiając wszystkie potrzebne dane do równania, tzn.: za G stałą grawitacyjną, za M masę Ziemi, otrzymujemy wynik... 8,8 milimetra. Właśnie w takim rzędzie wielkości zawierałby się promień nierotującej czarnej dziury powstałej z Ziemi. Artystyczna wizja materii krążącej wokół czarnej dziury. (NASA/Dana Berry/SkyWorks Digital)

2 W tym równaniu występuje ciekawa zależność. Nieważne ile razy zwiększymy masę promień będzie zwiększał się tak samo. To znaczy, kiedy pod M podstawimy połowę masy Ziemi, otrzymamy o połowę mniejszy promień (4,4 milimetra). Gdybyśmy zwiększyli masę dwukrotnie, dwukrotnie wzrośnie promień (17,7 milimetra). I tak dalej i dalej... Matematycznie przedstawiono to w tabeli i wykresie poniżej. Warto zaznaczyć, że wykres zawsze będzie linią prostą (przebieg liniowy). Obiekt Masa, kg Masy Ziemi Promień CD, m Promień CD, mm 0,5 Ziemi 2,985E+024 0,50 0,0044 4,4244 Ziemia 5,970E+024 1,00 0,0088 8, Ziemie 1,194E+025 2,00 0, , Ziemie 1,791E+025 3,00 0, , Ziemie 2,388E+025 4,00 0, , , , ,0000 Stosunek promienia do masy Czarnej Dziury Promień R, mm 25, , , ,0000 5,0000 0,0000 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 Masa, masy Ziemi Stosunek promienia do masy czarnej dziury Gęstość czarnej dziury dąży do nieskończoności. Jednakże wcale nie musi być olbrzymia, przy czarnych dziurach o odpowiednich masach początkowych, gęstość ta może być podobna gęstości wody. Zadziwiające, czyż nie? Na tej podstawie powstawały teorie naukowe, które określały Wszechświat w którym żyjemy, jako wnętrze czarnej dziury. Jednakże zostały mocno nadszarpnięte przez obserwacje tempa rozszerzania się Wszechświata gdybyśmy byli we wnętrzu czarnej dziury, nasze uniwersum kurczyłoby się a nie rozrastało.

3 Jak oszacować gęstość czarnej dziury? Można wykorzystać do tego wzór wiążący masę, gęstość i objętość: ρ =M /V gdzie: ρ gęstość M masa V objętość Artystyczna wizja rosnącej czarnej dziury (kwazara) w odległej galaktyce. (NASA/JPL-Caltech) Musimy mieć daną jakąś objętość (czyli naczynie, w jakim znajduje się nasza czarna dziura). Najlepsza byłaby kula, jednakże czarne dziury opisane są promieniem SFERY w czterowymiarowej przestrzeni, co nie oznacza, że są kulami takimi jak na przykład piłka. Bez paniki! Do oszacowania wartości gęstości, możemy skorzystać ze wzoru na objętość kuli rząd wielkości w wyniku powinien być odpowiedni do naszych rozważań. Przekształcamy wzór na promień Schwarzschilda. Zrobimy to krok po kroku, jako ćwiczenie z fizyki. Zaczynamy od wzoru wyjściowego: 1) r=(2 G M )/(c 2 ) Dobrze by było przerzucić masę M na lewo, a promień r na prawo, ponieważ w masie zawiera się szukana przez nas gęstość. 2) M =R c 2 /2 G Teraz za masę M podstawiamy gęstość ρ i objętość V. 3) ρ V = R c 2 / 2 G Przenosimy objętość na prawą stronę równania. 4) ρ =R c 2 /2 G V

4 Podstawiamy pod objętość V wzór na objętość kuli, przyjmując, że nasza czarna dziura jest kulą (choć raz jeszcze podkreślam nie jest to prawda, lecz założenie to umożliwi nam oszacowanie odpowiednich wartości). 5) ρ =R c 2 /2 G (4 /3 Π R 3 ) Wzór na objętość kuli wstawiłem w nawias, żeby było widoczne co zostało zmienione. Aczkolwiek pamiętajmy o tym, że iloczyn i tak jest przemienny, więc tego nawiasu tam być nie musi. Pozostaje nam skrócić współczynnik R z R 3. Przy okazji możemy przenieść 3 z dzielenia 4/3 do licznika i finalny wzór wygląda następująco: 6) ρ =3 c 2 /8 G Π R 2 Tak oto dotarliśmy do równania, z którego możemy szacować gęstość poszczególnych czarnych dziur w zależności od ich promienia. Zacznijmy od przykładu Ziemi. Gdyby skurczyła się do czarnej dziury, jej gęstość wzrosłaby do 2,08 * 10^30 kg/m^3. To dużo czy mało? Bardzo dużo! Jest to wręcz niewyobrażalna gęstość, dlatego czarne dziury nie powstają z planet lecz z bardzo masywnych gwiazd (znacznie większych od Słońca). Gęstość czarnej dziury maleje sukcesywnie ze wzrostem jej promienia. Przy pewnej jego wielkości, czarna dziura może być tak gęsta jak woda! Nim jednak określimy masę i promień czarnej dziury o gęstości wody, spójrzmy na tabelę i wykres dla ziemskich czarnych dziur. Przebieg wykresu znacznie różni się od poprzedniego i nie jest już linią prostą lecz zakrzywionym łukiem (przebieg wykładniczy). Obiekt Promień, m Gęstość, kg/m^3 Gęstość, (kg/m^3)*10^30 0,5 Ziemi 0, ,00 8,32 Ziemia 0, , Ziemie 0, , Ziemie 0, , Ziemie 0, , Gęstość czarnej dziury w zależności od jej promienia Gęstość czarnej dziury, kg/m^3*10^30 9,00 8,00 7,00 6,00 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 0,00 0 0,01 0,01 0,02 0,02 0,03 0,03 0,04 0,04 Promień czarnej dziury, m Spadek gęstości wraz ze wzrostem promienia

5 Dlaczego tak się dzieje? Ponieważ spadek gęstości jest wykładniczy. Spójrzmy na równanie 6): 6) ρ =3 c 2 /8 G Π R 2 Załóżmy, że promień R wynosi 2. Jeśli wzrośnie 2 razy będzie wynosił 4 (2*R=2*2). Jednakże gęstość uzależniona jest od promienia poprzez potęgę, tzn. jeśli promień będzie wynosił 2 i wzrośnie 2 razy, to gęstość spadnie 4 razy ponieważ dzieli się przez kwadrat tego promienia R^2 (2^2=4). Gdyby promień wzrósł trzy razy jego wartość wynosiłaby 6 (3*2=6). Natomiast gęstość spadnie 9 razy, ponieważ R=3 i 3^2=9! Dalej promień wzrośnie 4 razy, a gęstość spadnie 16 razy (4^2). Promień wzrośnie 5 razy a gęstość spadnie 25 razy (5^2). Promień powiększy się 100-krotnie, a gęstość zmniejszy się razy (100^2). I tak dalej i dalej, wraz ze wzrostem masy obiektu tworzącego czarną dziurę. Trochę to zagmatwane, ale najlepiej widać to właśnie na wykresach dlatego są tak ważnym narzędziem w nauce! Teraz wróćmy do pytania tytułowego: skąd wziąć czarną dziurę o gęstości wody w szklance? Przyjmijmy, że gęstość takiej wody wynosi 1000 kilogramów na metr sześcienny. Musimy nieznacznie przekształcić nasz wzór 1), ponieważ zakładamy, że znamy gęstość ale nie znamy promienia. Stąd: 7) R 2 =c 2 /0,67 G Π ρ Promień czarnej dziury o gęstości wody będzie wynosił około 8 * 10^8 kilometrów. Jest to 5,37 j.a. więc odległość olbrzymia, porównywalna z dystansem od Słońca do Jowisza. Supermasywna czarna dziura (NASA). Masa takiego obiektu będzie oscylować w granicach 5,4*10^38 kg. Przeliczając tę wielkość na masy Słońca otrzymamy równoważność 270 milionów Słońc. Są to wielkości wręcz niewyobrażalne i przy opisie zjawisk zachodzących we Wszechświecie bardzo często korzysta z dziesiątek do różnych potęg lub kosmicznych miar lat świetlnych, parseków itp. Nasze obliczenia doprowadzają nas do wyniku zbliżonego do mas aktywnych jąder galaktyk. Możemy uznać, że skala została oszacowana w miarę poprawnie. W ten sposób, znając podstawy matematyki, możemy rozważać podobieństwo czarnych dziur do wody w szklance! Szymon Moliński