Wstęp do astrofizyli i kosmologia

Transkrypt

1 Wstęp do astrofizyli i kosmologia Ryszard Mańka-Marcisz 25 kwietnia Elementy Ogólnej Teorii Względności Obiekty astronomiczne są wynikiem istnienia równowagi miedzy zapadaniem grawitacyjnym a ciśniemiem wytworzonym przez ściskaną meterię. W tym rozdziale wprowadzimy podstawowe pojęcia i wzory ogólnej teorii względności które będą wykorzystywane w astrofizyce. W płaskiej czasoprzestrzeni interwał czasoprzestrzenny określający odległość między punktami p i p (o współrzędnych x µ i x µ + δx µ ) jest 0-0

2 zdefiniowany jako gdzie g µν = η µν = ds 2 = g µν dx µ dx ν Równania dla pól meterii otrzymujemy korzystając z formalizmu wariacyjnego. W płaskiej czasoprzestrzeni wariacja całki działania dla np. pola skalarnego φ A zdefiniowana jako S[φ] = d 4 xl(φ A, µ φ A ) generuje równania ruchu Eulera-Lagrange a µ L ( µ φ A ) = L φ A 0-1

3 W zakrzywionej czasoprzetrzeni ds 2 = g µν dx µ dx ν tensor metryczny można lokalnie zdiagonalizować g µν = e a µe b νη ab Definiując nowe współrzędne dy a = e a µdx µ interwał czasoprzestrzenny będzie wyglądał identycznie jak w przestrzeni płaskiej ds 2 = η ab dy a dy b. Jakobian transformacji jest równy J = y/ x = e = g (e = det(e a µ), g = det(g µν )). Całka działania w zakrzywionej czasoprzestrzeni można więc zapisać jako S = d 4 x J L = d 4 g L (1) L = L g + L matt Lagrangian L g jest funkcją niezmienników czasoprzestrzeni. Takim nieznienikiem jest np. skalar krzywizny zdefiniowany za pomocą R = g µν R µν (2) 0-2

4 tensora krzywizny Ricciego R µν = λ Γ λ µν ν Γ λ µλ + Γ λ µνγ ρ λρ Γρ µνγ λ νρ (3) Jest on zdefiniowany za pośrednictwem symboli Christoffera Γ λ µν określanymi następującym wzorem : Można więc uważać, że Γ λ µν = 1 2 gλρ { ν g ρµ + µ g ρν + ρ g µν } (4) L = L (R, R µν R µν,...) = Λ 0 + ar + br (5) W pierwszym kroku uwzględniamy tylko przybliżenie liniowe, wtedy : L g = 1 1 (R + 2Λ) = (R + 2Λ) (6) 2κ 16πG Dokonamy teraz wariacji całki działanial g ze względu na tensor metryczny g µν. Przy dokonywaniu wariacji całki działania względem tensora metrycznego g µν wygodnie jest wykorzystać algebraiczne własności 0-3

5 wyznacznika i macierzy odwrotnej 1 g = g gµν g µν. 2 Rachunki prowadzą do równania Einstaina gdzie κ = 8πG c 4 pędu R µν 1 2 g µνr g µν Λ = κt µν a Λ jest stałą kosmologiczną a T µν jest tensorem energii T µν = 2 L matt g µν g µν L matt Czasami wygodnie jest przedstawiać tensor energii - pędu w postaci ɛ = c 2 ρ T µν = (P + ɛ)u µ u ν P g µν = 0 P P 0 (7) P 0-4

6 właściwej dla cieczy, gdzie u µ u µ = 1 jest wektorem jednostkowym. P jest cisnieniem, ɛ gestością energii a ρ gęstością masy. Dywergencja tensora energii-pędu jest równa zero T λ µ;λ = 0 gdzie ; jest symbolem pochodnej kowariantnej, np. u µ;λ = µ u λ Γ ρ µλ u ρ O ile stała kosmologiczna Λ 0 to nawet w próżni gdy T µν = 0 przestrzeń jest zakrzywiona ze stałą krzywizną równą R = 4Λ. 2 Kosmologia 2.1 Kosmologia Newtonowska 1576 Digges, 1826 Olbes -> Paradoks Olbesa Dlaczego nocne niebo jest ciemne? Jasność jest proporcjonalna do ilości gwiazd dl dn 0-5

7 Rysunek 1: Soczewkowanie grawitacyjne. 0-6

8 dr r Observer Rysunek 2: Sfery gwiazd. 0-7

9 a liczba gwaizd dn dv = 4πr 2 dr stąd strumień dl Φ = 4πr 2 dr = 1915 powstaje ogólna teoria względności (GR) 1917 de Sitter, 1922 Friedmann, 1927 Lamaître -> wyniki wskazujące na ekspansje Wszechświata, 1929 Hubble 1934 Milne, McCrea odkrywają, że ekspansja może być wyjasniona przy pomocy mechaniki Newtonowskiej Robetrson, Walker -> metryka jednorodnego i izotropowego Wszechświata (FLRW) v = H 0 l W mechanice newtonowskiej oddziaływanie grawitacyjne między dwoma masami M i m opisane jest siłą F = G Mm u = U (8) r2 0-8

10 u = x/r jest wektorem jednostkowym. Potencjał U(r) = mφ z Φ = G M r Prawo zachowania energii oznacza, że E = 1 2 mv2 + U(r) odległość dl 0 między dwoma punktami ulega przeskalowaniu dl = a(t)dl 0. Zmiana czynnika skali z czasem oznacza oddalanie się wszystkich obiektów z prędkościa z stałą Hubbla v = dl dt = ȧdl 0 = ȧ a (adl 0) = Hdl H = ȧ a 0-9

11 Rysunek 3: Oryginalny wykres Hubbla. 0-10

12 W chwili obecnej t 0 H 0 = 71 ± 6 km s 1 Mpc = h 0100 km s 1 Mpc z h 0 = Podstawowym postulatem kosmologii jest postulat uśrednionej jednorodności i izotropowości Wszechświata (zasada kosmologiczna). W kosmologii postulat jednorodneści i izotropowości Wszechświata oznacza, iż interwał czasoprzestrzenny jest równy [ ] dr ds 2 = c 2 dt 2 a 2 2 (t) 1 kr 2 + r2 dθ 2 + r 2 sin 2 θdφ 2 Oznacza to, że tensor metryczny Robertsona-Waklera ma postać g µν = 1 a(t)2 1 kr 2 a(t) 2 r 2 a(t) 2 r 2 sin 2 θ 0-11

13 Rysunek 4: Trzy typy topologii przestrzeni. Równania Einsteina dają ( ) 2 a = H 2 = 8πG a 3c 2 ρ kc2 a 2 + Λc2 3 (9) a a = 4πG Λc2 (ρ + 3p) + 3c2 3 (10) 0-12

14 gdzie k = 0, ±1. Równanie ciągłości przyjmuje prostą postać dρ dt = 3H(ρ + p). Dla pyłu (p = 0) równanie to oznacza skalowanie ρ = a 3 ρ 0. W próżni (ρ = P = 0) w przestrzeni płaskiej istnieje rozwiązanie de Sittera (inflacja) a(t) = a 0 e Ht z H = Λc 2 3. Dzieląc równanie (9) w chwili bieżącej t 0 przez H 2 0 otrzymujemy 1 = Ω m + Ω k + Ω Λ gdzie Ω m = ρ ρ c z ρ c = 3H2 0 c 2 8πG 0-13

15 Ω k = kc2 a 2 H 2 0, Ω Λ = ρ Λ ρ c = Λc2 3H 2 0 Parametry te w pełni określają ewolucję Wszechświata. ρ c jest gęstością krytyczna. Składową materii Ω m można rozbić na część barionową Ω B i część opisującą ciemną materię Ω CDM Ω m = Ω B + Ω CDM. Drugie równanie (10) wymaga znajomości równania stanu. Zapiszemy je w prostej postaci p = wρ Jest to równanie stanu w kosmologii. Zakładamy że w chwili obecnej t 0, a 0 = a(t 0 ) = 1. Tak więc odległość dl 0 między dwoma punktami ulega przeskalowaniu dl = a(t)dl

16 parametr wielkość H 0 72 km s 1 Mpc 1 Ω m 0.30 Ω Λ 0.70 Ω B 0.04 Ω CDM 0.26 Ω k 0.00 q Tablica 1: Oszacowanie parametrów kosmologicznych. 0-15

17 Zmiana czynnika skali z czasem oznacza oddalanie się wszystkich obiektów z prędkościa z stałą Hubbla W chwili obecnej t 0 v = dl dt = ȧdl 0 = ȧ a (adl 0) = Hdl H 0 = 71 ± 6 km s H = ȧ a 1 Mpc = h 0100 km s 1 Mpc z h 0 = Dla przestrzeni płaskiej (k=0) bez stałej kosmologicznej (Λ = 0) mamy H 2 = 8πG 3 ρ co pozwala nam zdefiniować gęstość krytyczną ρ c = 3H2 0 8πG = h2 0r c ev cm 3 r c = M Mpc 3 = g cm 3 = ev cm

18 Pochodzenie stałej kosmologicznej jak i ciemnej materii jest tajemnicze. Możemy już teraz oszacować gęstość energii związanej z stałą kosmologiczną ρ Λ = Ω Λ ρ c ev cm 3 W Wszechświecie zdominowanym przez materię (ρ + 3p > 0) ekspansja będzie zwalniała. To zwolnienie opisujemy przez parametr q = ä0a 0 ȧ 2 0 = 1 2 Ω wω 2.2 Gorący Wielki Wybuch 1965 Penzias, Wilson - promieniowanie reliktowe Gaz fotonowy opisujemy hamiltonianem H = λ,k ω k a + kλ a kλ Średnią wielkości kwantowej A definiujemy jako 0-17

19 0-18

20 H o : Ω Λ 0.6 CLOSED 0.4 FLAT 0.2 OPEN Ω M

21 Rysunek 7: Promieniowanie reliktowe tła. < A >= T r(ρa) gdzie ρ = Z exp( βh) jest operatorem gęstości, Z = exp( βf ) = T r(exp( βh) jest sumą statystyczną a F energią swobodną. Ciśnienie to P = F V a entropia S = k B T r(ρ ln(ρ)) 0-20

22 spełnia związek stąd gęstość entropii Dla gazu fotonowego stąd a gęstość entropii U =< H >= ɛv = F + T S s = S V = (ɛ + P ). T < a + kλ a kλ >= ɛ = 1 π 2 dk 1 exp(β ck) 1 ck 3 exp(β ck) 1 = AT 4 s = S V T 3 V = a(t) 3 V 0 to S/V 0 = (T a(t)) 3 stąd T a(t) = const, czyli T (t) = T 0 a(t) 0-21

23 gdzie T 0 = 2.73 K. Średnia gęstość fotonów to n γ = 1 k 2 dk π 2 exp(β ck) 1 = BT cm 3 W wysokich temperaturach jest rówowaga γ + H e + p Gęstość materii barionowej n B 10 7 cm 3 daje η = n B n γ = 10 9 Przesunęcie ku czerwieni z zdefinowane jako z = λ λ 0 = λ λ 0 λ 0 ponieważ zgodnie z efektem Dopplera λ = a(t)λ

24 to z = 1 a(t) 1 W chwili rekombinacji z Średnia liczba fononów to n γ = N γ V = g γ (2π) 2 d 3 1 k (e βk 1) T 3. W chwili obecnej Średnia energia fotonów ɛ γ = c 2 ρ γ = < H γ > V i ma obecnie wartość n γ, cm 3. = g γ (2π) 2 d 3 k ɛ γ, ev/cm 3. ck (e βk 1) = σt

25 Fluktuacje gestości plazmy δρ generuja fluktuacje potencjału grawitacyjnego δφ a tym samym fluktuacje δz δρ ρ δt T δz 1 + z Fluktuacje te powstają jako fala akustyczna będąca wynikiem równowagi między przyciąganiem grawitacyjnym a cisniemiem wywołanym przez fotony. Fala akustyczna propaguje się z predkością c c s = η η = ρ B ργ Fluktuacje temperatury opisuje funkcja korelacyjna < δt (0)δT (n(ϑ)) >= C(ϑ) = 1 4π (2l + 1)c l P l (cos(ϑ)) l 0-24

26 Rysunek 8: Fluktuacje promieniowania 0-25 reliktowego obserowane przez

27 2.3 Era promieniowania W okresie gdy dominuje promieniowanie ɛ = c 2 ρ = σt 4 P = 1 3 σt 4 Temperatura w tym okresie maleje wraz z wzrostem czynnika skali T = 1 a(t) T 0. Pierwsze równanie Friedmanna ( ) 2 a = 8πG a 3c 2 ρ γ daje z a(t) = 2H γ t 1 2 H 2 γ = 8π 3 Gρ γ,

28 2.4 Era wpółczesna W chwili współczesnej dominuje materia masywna opisana równaniem stanu dla pyłu ρ = ρ 0 a 3 P = 0 Pierwsze równanie Friedmanna (k = 0) daje (dla Λ = 0) ( ) 2 a = 8πG a 3c 2 ρ + Λc2 3 a(t) = ( 3 2 H 0t) 2 3 Definiując czas Hubbla t H wieku Wszechswiata t 0 = 2 3 = ( t t 0 ) 2 3 = H 1 0 otrzymujemy pierwsze oszacowanie 1 H 0 = 2 3 t H. 0-27

29 Obecna stała Hubbla h daje zaledwie lat. Dodając stronami równania Friedmana (9,2 10) otrzymujemy równanie którego ewolucja jest określona tylko przez stała kosmologiczną 2 a a + ( ) 2 a = Λc 2. a Podstawienie ȧ/a = Ω Λ f(x) with x = 3 2 ΩΛ H 0 t daje proste równanie różniczkowe f +f 2 = 1 którego rozwiązaniem jest f(x) = cosh(x)/ sinh(x). Stąd mamy a(t) = sinh( 3 2 ΩΛ H 0 t) 2/3 sinh( 3 2 ΩΛ H 0 t 0 ). 2/3 Definicja stałej Hubbla w chwili obecnej daje równanie na wiek Wszechświata w obecności stałej kosmologicznej tanh( 3 2 ΩΛ H 0 t 0 ) = Ω Λ Otrzymujemy teraz wiek Wszechświata równy t 0 = lat. 0-28

30 3 Bariogeneza Symetia między cząstkami i antycząstkami B, L,obserwowalna w fizyce częstek elementarnuch prowadzi do pytania dlaczego we Wszechświecie istnieje przewaga materii nad antymaterią. Przewagę tą opisuje parametr η = n γ n B Jaki proces doprowadził do złamania tych symetrii w trakcie ochładzania się Wszechświata? 4 Nukleosynteza Po okresie hadronizacji pierwotna materia zbudowana jest z protonów, neutronów, elektronów, mionów i neutrin p, n, e, µ, ν f = {ν e, ν µ, ν τ } 0-29

31 będących w równowadze ze względu na słabe oddziaływania ( rozpad β) p + + e n + ν e µ + ν e e + ν µ Oscylacja zapachów neutrin oznacza również ν e ν µ ν τ. Reakcje te oznaczają równość odpowiednich potencjałów chemicznych µ p + µ e = µ n + µ νe µ µ + µ νe = µ e + µ νµ µ νe = µ νµ = µ ντ µ ν Pozwala to zredukować ilość niezależnych potencjałów do trzech µ n, µ e, µ ν. Mamy trzy warunki: * Neutralność ładunkową (Q=0) n Q i Q i n i (µ i, T ) = 0, 0-30

32 * symetrię L-B n L n B i (L i B i ) n i (µ i, T ) = 0, * warunek ekspansji adiabatycznej (S/B) (entropii na baryon) s i s i(µ i, T ) n B i B i n i (µ i, T ) = constant W niskich temperaturach (T 1 MeV) entropia jest określona przez fotony i prawie bezmasowe neutrina, czyli przez parametr Stąd mamy ograniczenie na η = n γ n B. S/B = Zamiast potencjału chemicznego np. µ n wygodnie jest wszystko parametryzować poprzez η. Wartość ηzgodna z przewidywaniami nukleosyntezy 0-31

33 waha się w przedziale < η < Dzięki misji WMAP znoamy go z dokładnością do 4% η = 6.14 ± W niskich temperaturach równowaga ze względu na rozpad β nie zachodzi i zaczyna się produkcja protonów i pierwszych lekkich jąder n + ν e p + + e n + e + p + + ν e n + p + D + γ D + D 3 H + p + D + D 3 He + N 3 H + D 4 He 3 H + 4 He 7 Li Synteza lekkich jąder kończy się gdy temperatura przekroczy 50 kev. 0-32

34 0-33