SPIS TREŚCI SPIS TREŚCI 1 EDUKACJA TEMAT NUMERU FUNKCJA KWADRATOWA NAUCZANIE MATEMATYKI MATERIAŁY Z OSTATNIEJ ŁAWKI

Transkrypt

1

2 SPIS TREŚCI EDUKACJA Paweł Mazur: Jedenaste: nie ściągaj!... 2 Roman Augustyniak: Głuchy telefon... 4 Marcin Karpiński: O staninach (łopato)logicznie... 5 TEMAT NUMERU FUNKCJA KWADRATOWA List od Czytelniczki... 6 Jerzy Trzeciak: Wzory Viète a raz jeszcze... 7 Krystyna Chełmińska: Równanie czy funkcja?... 8 Danuta Buniecka: Funkcja kwadratowa z gumką Janusz Karkut: Zamiast delty NAUCZANIE MATEMATYKI Jacek Lech: Spytaj matematyka Maja Sędłak: Zbiory w grupach Krzysztof Nowakowski: Od lania wody do funkcji wykładniczej Mam pomysł Zdzisław Nuczuński: Matematyka plus WOS Jerzy Janowicz: O rozwijaniu wyobraźni Joanna Kazana: Dwa odchylenia Andrzej Dąbrowski: Sondaże, sondaże Adrian Pająk: Geometryczne czytanki Książki nadesłane Agnieszka Piecewska-Łoś: Bez Kartezjusza nie ma Newtona MATERIAŁY Przygotowanie do matury funkcje liniowe i kwadratowe Z OSTATNIEJ ŁAWKI Nie zarabiać na oświacie SPIS TREŚCI 1

3 Danuta Buniecka Funkcja kwadratowa zgumką Czy można wskazać jakieś doświadczenie fizyczne, którego wyniki tworzą funkcję kwadratową, i które w dodatku wychodzi w miarę dokładnie? Okazuje się, że tak. Kwadrat w gumce Gdy rozciągamy sprężynę czy też gumkę recepturkę, siła F, którą działamy, jest proporcjonalna do wydłużenia x. szczęście całka kxdx jest łatwa do policzenia. Gdybyśmy chcieli opowiedzieć o tym uczniom, możemy po prostu powiedzieć, że bierzemy średnią siłę, kx czyli 2 i mnożymy przez x. Możemy też obliczyć pracę, jako pole pod wykresem przedstawiającym zależność siły od wydłużenia. W = Fx 2 = kx x = kx2 2 2 Możemy to opisać wzorem F = k x, gdzie k jest współczynnikiem proporcjonalności, zwanym stałą sprężystości. Współczynnik k zależy od rodzaju sprężyny czy gumki. Gdy sprężyna jest mocniej rozciągnięta, musimy ciągnąć większą siłą to nic dziwnego. A że mamy tutaj właśnie proporcjonalność do pierwszej potęgi x, to już prawo przyrody stwierdzone doświadczalnie. Jaką pracę wykonujemy, rozciągając sprężynę od stanu nienapiętego aż osiągnie wydłużenie x? Praca to iloczyn siły i drogi, ale że w tym wypadku siła jest zmienna (im bardziej naciągnięta sprężyna, tym siła większa), trzeba by ją właściwie scałkować po drodze. Na Zmagazynowana w rozciągniętej sprężynie energia jest równa pracy, czyli mamy: E = kx2 2 W szkole na lekcjach fizyki zazwyczaj podaje się ten wzór bez wyprowadzenia. Możemy i my przyjąć go jako punkt wyjścia. Okazuje się, że jest prawdziwy i dla sprężyn, i dla gumki recepturki, zarówno rozciąganej wzdłuż, jak i użytej tak jak wprocy. Jeśli więc naciągamy gumkę, magazynujemy w niej energię proporcjonalną do kwadratu wychylenia z początkowego położenia. Dobrze, ale jak tę energię zmierzyć? Bezpośrednio byłoby trudno. Można natomiast pozwolić tej energii zamienić się w coś innego. 10 TEMAT NUMERU

4 Jak wygląda doświadczenie? Weźmy więc w miarę gładką deskę (np. kawałek sklejki) i wbijmy w nią dwie pinezki w odległości kilku centymetrów. Do pinezek przymocujmy końce rozciętej gumki recepturki. Nie powinna być napięta, ale też nie powinna mieć luzu. Zbudowaliśmy procę, z której można wystrzeliwać małe przedmioty, tak aby przesuwały się po desce. Możemy teraz zmierzyć dwie zmienne: x wychylenie przedmiotu przed strzałem względem neutralnego położenia gumki, y zasięg strzału względem położenia pocisku przed strzałem. Co z niego wychodzi? Jak wiemy, energia zmagazynowana w napiętej gumce jest proporcjonalna do kwadratu wychylenia x, bomamy: E = kx2 2 Ta energia jest w momencie puszczenia gumki równa energii kinetycznej poruszającego się przedmiotu. Aby zatrzymać przedmiot, trzeba wykonać pracę równą tej energii. Taką pracę wykonuje siła tarcia, która jest przez cały czas stała. Praca siły tarcia jest równa iloczynowi siły tarcia T i zasięgu strzału y, czyli W = T y. Praca siły tarcia jest ujemna, bo siła jest skierowana odwrotnie do przemieszczenia deseczki. Energia zmagazynowana w napiętej gumce i praca sił tarcia w trakcie ruchu (jest, jak wspomniałem, ujemna) daje energię równą zero na koniec ruchu. Stąd: kx 2 2 T y =0, czyli y = kx2 2T.Zarównok, jakit są stałe, więc można napisać: y = cx 2, gdzie c jest odpowiednią stałą. Jeśli więc zbierzemy w tabelce wyniki kilkunastu strzałów i zaznaczymy je w układzie współrzędnych, okaże się, że układają się one mniej więcej wzdłuż paraboli. Uczniowie mogą się też zastanawiać, co dzieje się z energią potencjalną. Jeżeli deseczka jest ustawiona poziomo (np. leży na ławce), to energia potencjalna nie zmienia się, stąd nie ma potrzeby pisać jej w równaniu (po obu stronach równania mielibyśmy taką samą wartość). Wykorzystanie w szkole Naszym uczniom możemy zaproponować takie zajęcia podczas wspólnej matematyczno fizycznej lekcji lub na kółku. Warto też polecić uczniom to zagadnienie, aby zajęli się nim w ramach projektu (pracy długoterminowej). Zdolniejsi użyją wtedy zapewne odpowiedniego oprogramowania, aby najlepiej dopasować parabolę do punktów doświadczalnych, wykorzystają doświadczenie np. do wyznaczenia współczynnika tarcia, a może wymyślą jeszcze jakieś inne ciekawe zastosowania. Jak to w projekcie najlepiej, jeśli wpadną na więcej pomysłów niż my. TEMAT NUMERU 11

5 Joanna Kazana Dwa odchylenia Elementów statystyki naucza się już w szkole podstawowej i w gimnazjum. W szkole ponadgimnazjalnej uczniowie poznają sposoby opracowywania danych, obliczania różnego rodzaju średnich, wariancji, czy odchylenia standardowego. Nabywają też umiejętność interpretowania tych wskaźników. Na przykład, aby przeanalizować, ile przyborów do pisania nosi średnio uczeń do szkoły, mogą zebrać dane dotyczące jednej klasy i obliczyć różne średnie oraz odchylenie standardowe. Przy okazji takich analiz warto powiedzieć nieco więcej o badaniach statystycznych dotyczących dużych populacji. Zebranie danych z całej badanej grupy byłoby bardzo pracochłonne, a czasem wręcz niemożliwe. Wracając do przytoczonego przykładu, zbadanie średniej liczby przyborów do pisania wśród uczniów np. wszystkich klas II byłoby w dużej szkole sporym przedsięwzięciem, nie mówiąc już o opracowaniu danych dotyczących całej szkoły lub kilku szkół. Przy tak dużej populacji konieczne jest analizowanie danych tylko z pewnej losowo wybranej próby. Kwestia jej reprezentatywności jest dobrym pretekstem do krótkiej dyskusji, która może rozbudzić ciekawość uczniów. Z którego wzoru liczyć? W podręcznikach szkolnych odchylenie standardowe danych x 1, x 2,..., x n o średniej arytmetycznej x oblicza się ze wzoru: (x σ n = 1 x) 2 +(x 2 x) (x n x) 2 n Nie możemy jednak użyć tego wzoru, gdy chcemy policzyć odchylenie standardowe pewnej cechy populacji, a mamy tylko dane dotyczące pewnej części tej populacji (próbki). W wypadku, gdy liczby x 1, x 2,..., x n reprezentują tylko część elementów całej badanej populacji, odchylenie standardowe całej populacji powinniśmy obliczać z innego wzoru: (x σ n 1 = 1 x) 2 +(x 2 x) (x n x) 2 n 1 Wzory różnią się tylko mianownikiem wyrażenia pod pierwiastkiem: w pierwszym dzieli się przez n, a w drugim przez n 1. Możemy nawet obliczyć, że z tego drugiego ( wzoru ) otrzymamy liczbę większą o n n 1 100%. Widać, że gdy danych jest dużo (liczba n jest duża), wyniki otrzymane z tych dwóch wzorów niewiele się różnią. Na przykład, gdy mamy 10 danych, liczba otrzymana z drugiego wzoru jest o około 5% większa, a gdy próbka ma 60 elementów, to liczba ta jest większa o mniej niż 1%. Kalkulatory o tym wiedzą Na wielu kalkulatorach możemy obliczyć zarówno σ n klasyczne odchylenie standardowe, jak i σ n 1 odchylenie standardowe liczone z próbki. Uczniowie mogą więc zadawać kłopotliwe pytania. Zwykle pytają się, po co dwa wzory, skoro tak niewiele się od siebie różnią. Może nawet uda nam się wyjaśnić, że liczenie odchylenia standardowego pewnego zestawu liczb to zupełnie co innego niż liczenie odchylenia standardowego całej populacji na podstawie tylko części danych. Natychmiast jednak pojawi 32 STATYSTYKA

6 się pytanie, skąd wiadomo, że to, co obliczymy ze wzoru na σ n 1, rzeczywiście będzie odchyleniem standardowym populacji. Niestety, w szkole średniej nie mamy możliwości, by w pełni to wyjaśnić, bo potrzebne są zbyt zaawansowane pojęcia rachunku prawdopodobieństwa. Warto jednak, byśmy sami wiedzieli, skąd się bierze taki wzór na σ n 1. Dlatego w poniższej ramce przedstawiam szkic rozumowania prowadzącego do tego wzoru. Niech X oznacza zmienną losową, zdefiniowaną za pomocą losowania ze zwracaniem z badanej populacji. Przez X i, gdzie,..., n, oznaczmy niezależne zmienne losowe o takim samym rozkładzie jak X (za ich pomocą będziemy interpretować losowy wybór n-elementowej próbki). Przyjmijmy też oznaczenia: σ odchylenie standardowe zmiennej X (i wszystkich zmiennych X i ), VarX = σ 2 wariancja zmiennych X, X 1,..., X n, µ wartość oczekiwana zmiennych losowych X, X 1,..., X n,tzn.µ =EX =EX i dla,..., n. Zarówno σ 2 jak i µ są nieznane. Chcemy oszacować σ 2. Definiujemy nową zmienną losową X: X = 1 n X i Będziemy korzystać ze wzoru: σ 2 =VarX =EX 2 (EX) 2 (1) Ze wzoru skróconego mnożenia mamy: E(X i X) 2 = n EX 2 i 2 n E(X i X)+ n EX 2 (2) Po skorzystaniu z równości (1), otrzymujemy: EX 2 i = n ( (EXi ) 2 ) +VarX i = (µ 2 + σ 2 )=nµ 2 + nσ 2 (3) (EX i X)= n ( = 1 n EX i X1+...+X n n ( ) = 1 n EX i X j = 1 n EX i X j = j =1 i, j =1 ) EX 2 i + n EX i X j = 1 n (n EX2 1 + n (n 1)EX 1X 2 ) (4) i j Ponieważ zmienne X i są niezależne, to: (EX i X)= 1 ( n n (µ 2 + σ 2 )+n (n 1)µ 2) = σ 2 + nµ 2 (5) ( ) ( EX 2 = n EX 2 = n E 1 ) n X i X =E X i X = n E(X i X) Stąd i z równości (5) wynika, że n EX 2 = σ 2 + nµ 2 (6) Po podstawieniu w równości (2) rezultatów otrzymanych w (3), (5) i (6) otrzymamy: E(X i X) 2 = nµ 2 + nσ 2 2 (σ 2 + nµ 2 )+σ 2 + nµ 2 =(n 1)σ 2 ( ) Stąd σ 2 = n 1 1 E(X i X) 2 =E 1 n 1 (X i X) 2 Inaczej mówiąc, średnio odchylenie standardowe zmiennej X (a więc i badanej populacji) powinno być równe: (X 1 X) 2 +(X 2 X) (X n X) 2 n 1 STATYSTYKA 33

7 Konkurs W majowo-czerwcowym numerze czasopisma pytaliśmy o datę pierwszej pełni Księżyca w tym roku. Odpowiedź można było znaleźć w artykule Jacka Lecha Sinus jest wszędzie. W artykule zamieszczono wykres przedstawiający procent widocznej części tarczy Księżyca w ciągu prawie czterdziestu pierwszych dni tego roku. Z wykresu można było odczytać, że pierwsza pełnia Księżyca nastąpiła w nocy z 26 na 27 stycznia. Niestety, nie otrzymaliśmy żadnej odpowiedzi na to pytanie. Kolejne pytanie brzmi: Kiedy i jaką kwotę pożyczył Wacław W.? Matematyka w Szkole Czasopismo dla nauczycieli szkół średnich Adres redakcji: Gdańsk al. Grunwaldzka 413, tel. (58) fax (58) Dział sprzedaży: tel. (58) Adres do korespondencji: Matematyka w Szkole Czasopismo dla nauczycieli szkół średnich skr. poczt Gdańsk 52 gazetamws@gwo.pl Wydawca: Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe, Sp. z o.o Gdańsk, al. Grunwaldzka 413 KRS przy Sądzie Rejonowym w Gdańsku Redaktor naczelny: Marcin Karpiński Redaguje kolegium: Marcin Braun Agnieszka Ciesielska Aleksandra Golecka-Mazur Marcin Karpiński Joanna Kniter Jacek Lech Małgorzata Pałys Michał Stukow Agnieszka Szulc Projekt graficzny, okładka, ilustracje: Sławomir Kilian Skład: Maria Chojnicka Łukasz Sitko Zdjęcie na okładce: Antoni Osowski Druk i oprawa: Normex Nakład: 2200 egz. 48

8