ZAPRASZAM DO LEKTURY! 1

Transkrypt

1

2 ZAPRASZAM DO LEKTURY! 1 Nie na temat Zuzanna Mikołajska pisze w swoim artykule (s. 42), że lekcja matematyki zawsze jest na jakiś temat, a wiele umiejętności matematycznych nie pasuje do żadnego tematu. Mieści się w tym na przykład umiejętność wyboru odpowiedniej strategii obliczeń. Mam nadzieję, że w artykułach z działu Temat numeru Sprytne liczenie znajdą Państwo pomysły, jak w tę ważną umiejętność wyposażyć Państwa uczniów. Sprytne obliczenia służą nie tylko temu, by szybciej rachować (w dobie komputerów to nie jest najważniejsza umiejętność), chodzi o to, by na lekcjach matematyki nie postępować bezmyślnie, w końcu podstawowe nasze zadanie to nauczyć rozumowania. Jak łatwo sami ulegamy schematom myślowym, opisuje Marek Pisarski w artykule Po wodzie pływa. Na pewno stęsknili się już Państwo za zmianami podstawy programowej. W tym numerze Danuta Zaremba w artykule na s. 3 5 przedstawia swoje uwagi do nowej, obowiązującej od września, podstawy programowej, a tu już są ogłaszane jeszcze nowsze podstawy. Mam nadzieję, że w wypadku matematyki nie będzie rewolucyjnych zmian, bo ile rewolucji można znieść w tak krótkim czasie. Na wszelki wypadek na stargane nerwy polecam artykuł Michała Szurka (s ), no i oczywiście Matematołka.

3 Matematyka wszkole Czasopismo dla nauczycieli szkół podstawowych i gimnazjów SPIS TREŚCI EDUKACJA 3 Danuta Zaremba O podstawie programowej Adres redakcji: Gdańsk al. Grunwaldzka 413, tel fax Dział sprzedaży: tel prenumerata@gwo.pl Adres do korespondencji: Matematyka w Szkole Czasopismo dla nauczycieli szkół podstawowych i gimnazjów skr. poczt Gdańsk 52 gazetamws@gwo.pl Wydawca: Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe, Sp. z o.o Gdańsk, al. Grunwaldzka 413 KRS przy Sądzie Rejonowym w Gdańsku Redaktor naczelny: Marcin Karpiński Redaguje kolegium: Marcin Braun Małgorzata Domian Aleksandra Golecka-Mazur Joanna Kniter Jacek Lech Agnieszka Szulc Projekt graficzny: Rafał Szczawiński / Pracownia Ilustracje: Sławomir Kilian Skład: Maria Chojnicka Łukasz Sitko Joanna Szyller TEMAT NUMERU SPRYTNE LICZENIE 5 Partycja Prymulewicz Licz sprytnie w pamięci 7 Paulina Landryn Zamiana jednostek prędkości 8 Janusz Karkut Pouczająca wskazówka 9 Paweł Skamecki Zwykłe czy dziesiętne 11 Milena Rdzewka Prościej, szybciej, lepiej NAUCZANIE MATEMATYKI 12 Zofia Zyzak Trójkąty liczbowe 16 Marcin Karpiński Diabeł tkwi w szczegółach 18 Jolanta Ostrowska Superpamięć, superczytanie, cz Mam pomysł 22 Marek Pisarski Po wodzie pływa 24 Janina Morska Sprawiedliwy podział 26 Marian Maciocha Kwadrat liczby naturalnej 27 Katarzyna Koś Arytmetyka na wesoło 28 Janusz Karkut Uczyć algorytmów czy myślenia? 30 Wiktor Żarnowiecki Ostrożnie z upraszczaniem 31 List od Czytelnika 33 Wiesława Janista, Bożena Kukier Magiczna matematyka 38 Aneta Góra Edukacyjne rysunki 39 Michał Szurek Uwaga oszust! 42 Zuzanna Mikołajska Przykład z układem równań MATERIAŁY 44 Dorota Szarek Ułamkowe memo ZOSTATNIEJŁAWKI 46 Analiza przypadku Zdjęcie na okładce: Katarzyna Micun Druk i oprawa: Normex, Gdańsk Nakład: 4000 egz.

4 TEMAT NUMERU 11 Milena Rdzewka PROŚCIEJ, SZYBCIEJ, LEPIEJ W jednej z klas gimnazjalnych, w których uczę, jest kilkoro bardzo aktywnych uczniów. Chodzą na kółko matematyczne, biorą udział we wszystkich konkursach matematycznych, krótko mówiąc, bardzo interesują się matematyką. Na lekcjach zdarza im się niestandardowo rozwiązać zadanie. Wtedy zapraszam ich do tablicy, żeby reszta klasy też mogła zobaczyć inne rozwiązanie. Kiedy wykorzystywaliśmy twierdzenie Pitagorasa do obliczania długości boków trójkątów prostokątnych, klasowi geniusze wpadli na pomysł, jak ułatwić sobie obliczenia, gdy znana jest długość przeciwprostokątnej i jednej przyprostokątnej. Pomysł dotyczy szczególnie trójkątów o długich bokach. Weźmy taki przykład. Zadanie Oblicz długość trzeciego boku trójkąta. Zapisujemy równość wynikającą z twierdzenie Pitagorasa: x 2 = I tu pojawia się trudność rachunkowa. Uczniowie przeważnie nie pamiętają, ile wynoszą kwadraty liczb dwucyfrowych. Ale przecież można skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, żeby stwierdzić, że x 2 = ( ) (15 12) = 27 3=81 x =9 Ze wzoru skróconego mnożenia uczniowie korzystają też podczas obliczania pola pierścienia. Na przykład w takim przypadku: P = π( )=π = 240π Niektórzy tak polubili stosowanie tego wzoru, że obliczając różnicę kwadratów, zawsze z niego korzystają. Jednak najbardziej przydaje się wtedy, gdy w obliczeniach występuje liczba, której kwadratu nie pamiętamy.

5 12 NAUCZANIE MATEMATYKI Zofia Zyzak TRÓJKĄTY LICZBOWE Przeglądając strony internetowe związane z matematyką, natrafiłam na ciekawe kolorowe trójkąty liczbowe trójkąty Pascala. Postanowiłam wykorzystać je na lekcjach związanych z podzielnością liczb. Ich własności świetnie nadają się również na lekcje, podczas których ćwiczymy umiejętności wyciągania wniosków oraz odkrywania zależności. Na zabawę trójkątem Pascala przeznaczyłam dwie lekcje. Załączniki wykorzystane podczas lekcji można pobrać ze strony Na początku lekcji powiedziałam, że będziemy się zajmować trójkątami, które nie są figurami geometrycznymi. Są zbudowane z liczb naturalnych i nazywamy je trójkątami Pascala. Pokazałam uczniom część trójkąta Pascala (zob. rysunek obok), a oni mieli podać swoje propozycje na uzupełnienie następnych rzędów liczb. Pomysłów mieli sporo. W końcu wspólnie sformułowaliśmy regułę, według której powinien być uzupełniany trójkąt. W najwyższym wierszu wpisujemy jedynkę. W drugim wierszu dwie jedynki. W każdym następnym wierszu na lewym i prawym brzegu wpisujemy jedynki, a w pozostałych miejscach liczbę, która jest sumą dwóch liczb będących w poprzednim wierszu bezpośrednio nad nią. Uczniowie otrzymali trójkąt z pustymi komórkami (załącznik nr 1) i wypełniali swoje trójkąty przez 10 minut. Pierwsze 3 osoby, które wypełniły poprawnie najwięcej komórek, otrzymały piątki. (Jeżeli ktoś liczy szybko i zabraknie mu komórek, może je sobie dorysować). Następnie sprawdziliśmy poprawność wyników i zajęliśmy się szukaniem prawidłowości i związków między liczbami w komórkach. Dla tych uczniów, którzy źle wypełnili komórki, miałam przygotowane wypełnione trójkąty Pascala (załącznik nr 2).

6 NAUCZANIE MATEMATYKI 13 Ciekawe zależności Uczniowie sami zauważyli, że trójkąt jest symetryczny oraz że liczby w drugim szeregu (na poniższym rysunku jest zacieniowany) są kolejnymi liczbami naturalnymi. Dodaj liczby w każdym wierszu. Ile razy następna suma jest większa od poprzedniej? Rozłóż każdą z nich na czynniki pierwsze. Jak można inaczej zapisać każdą z tych liczb? Pozostałe ciekawe zależności odkrywali, korzystając z moich wskazówek. Zbadaj trzeci szereg liczb. Od drugiej liczby odejmij pierwszą, od trzeciej drugą itd. Zapisz wyniki, a potem sformułuj wniosek. 1=2 0 2=2 1 4=2 2=2 2 8=2 2 2= = = = =2 5 Suma liczb w poszczególnych wierszach jest kolejną potęgą liczby 2. Oblicz, ile wynosi oraz Czy w trójkącie występują te wyniki? Jak to wygląda dla kolejnych potęg liczby 11? Numer Potęga Kolejne liczby wiersza liczby 11 wwierszu = = = = = = 5 6 3= = = = = = = Liczby w trzecim szeregu różnią się o kolejne liczby naturalne. Liczby z pięciu pierwszych wierszy są kolejnymi potęgami liczby 11.

7 14 NAUCZANIE MATEMATYKI Dodaj kilka kolejnych liczb (zaczynając od 1) w dowolnym szeregu i sprawdź, czy w jakiejś komórce występuje liczba będąca sumą tych liczb. Czy to przypadek czy reguła? Jeśli pomalujemy komórki tak jak na powyższym rysunku, to mnożąc przez siebie liczby z niebieskich pól, otrzymamy taki sam wynik jak po wymnożeniu liczb z szarych pól. Kolorowanie i podzielność Jeżeli dodamy do siebie kilka kolejnych liczb z dowolnego szeregu (zaczynając od 1), to w trójkącie zawsze znajdziemy liczbę będącą sumą tych liczb. Pokoloruj trójkąt tak, jak na poniższym rysunku. Pomnóż przez siebie liczby z niebieskich pól, a potem liczby z szarych pól. Porównaj wyniki. Liczby z obu iloczynów rozłóż na czynniki pierwsze = = = = 600 Co by się stało, gdyby środkiem była inna komórka? Czy rezultat byłby podobny? Wybierz dowolną komórkę i postępując tak jak poprzednio, sprawdź swoje przypuszczenia. Uczniowie otrzymali trzy jednakowe trójkąty wypełnione liczbami (załącznik nr 2): dwa do wykorzystania na lekcji, jeden do pracy domowej. Mieli wykonać następujące polecenia. Zamaluj na niebiesko wszystkie pola z liczbami parzystymi, a pozostałe zostaw puste. Jak sądzisz, których liczb będzie więcej? Przypomnij sobie cechę podzielności przez 3. Zamaluj na zielono pola z liczbami podzielnymi przez 3, na żółto pola z liczbami, których reszta z dzielenia przez 3 wynosi 1, na czerwono pola z liczbami, których reszta z dzielenia przez 3 wynosi 2. Jak sądzisz, których kolorów będzie najwięcej? Uczniowie z zapałem wypełniali komórki trójkąta, jednocześnie powtarzając i utrwalając regułę podzielności przez trzy. Część uczniów zauważyła nawet, że jeżeli liczba daje przy dzieleniu przez 3 resztę 1, to suma cyfr tej liczby też daje przy dzieleniu przez 3 resztę 1. Zamalowane trójkąty znajdują się na następnej stronie. Pod koniec lekcji weszliśmy na stronę: wiw.pl/obrazki/matematyka/ tekst/ asp, aby zobaczyć inne pokolorowane trójkąty oraz na stronę: granville/support/pascalform.html, na której można tworzyć trójkąty w zależności od wybranej reguły. Zadanie domowe polegało na pokolorowaniu trójkąta Pascala zgodnie z wymyśloną regułą związaną z podzielnością.

8