t. sztywny problem w pojedynczym równaniu: u(t)=cos(t) dla dużych ż t rozwiązanie i ustalone

Transkrypt

1 Problem opisany RRZ jest sztywny gdy: jest charakteryzowany yróżnymi skalami czasowymi. 2. Stabilność bezwzględna nakłada silniejsze ograniczenia na krok czasowy niż dokładność. 3. Metody jawne się nie sprawdzają. sztywny problem w pojedynczym równaniu: dla dużych ż t rozwiązanie i ustalone u(t)=cos(t) cos(t) dwie bardzo różne skale czasowe 1) rozwiązania ustalonego okres 2pi 2) skala czasowa tłumienia odchylenia od stanu ustalonego exp( 100 t) czasowa stała zaniku t

2 z u(0)=2 rozwiązanie: ustalone u(t)=cos(t) Euler dt = 0.01 ł k k jawny schemat Eulera 4 Stały krok czasowy: rozpoznajemy ograniczenie: Δt < 2/ dt=0.019 dt= dt= t

3 niejawny schemat Eulera krok stały dt=0.1 dt=0.2 dt= tutaj: startowane od warunku u(0)=1

4 wyniki do uzyskania na laboratorium start u(0)=2 2,tolerancja 1e-2 niejawny, jawny, cos (t) akc ceptowane dt akceptowane dt niejawny jawny tol1e-2 u t t 2 niejawny Euler tolerancja 1e-3 niejawny, jawny, cos (t) akceptowan ne dt u tol1e-3 u t ak kceptowane dt u t tol 1e-6 gdy wymagana b. duża dokładność schemat niejawny stawia równie krótkie kroki co jawny, obydwie metody tego samego rzędu dokładności t t

5 następny przykład: równanie swobodnego oscylatora van der Pola [historycznie = odkrycie deterministycznego chaosu w lampach firmy Philips aperiodyczne oscylacje przy periodycznym wymuszeniu ] (λ=0 = zwykły o. harmoniczny) jawny RK4 = zmienny krok czasowy u λ=1 punkt u(t) policzony = krzyż po lewej: krzyże położone rozsądnie w porównaniu ze zmiennością rozwiązania 2.00 u 0.00 λ= t po prawej: problem sztywny gładkie rozwiązanie a krzyże się zlewają t

6 Równanie oscylatora van der Pola : czasem sztywne czasem nie 0.00 u przydałoby się narzędzie do wykrywania sztywności np. dla podjęcia decyzji: t tam gdzie sztywność = schemat niejawny tam gdzie nie = schemat jawny (tańszy)

7 Detekcja sztywności dla problemu nieliniowego (dla liniowego = wystarczy rozwiązać jednorodny problem własny) układ N równań (u,f-wektory) w chwili t rozwiązanie u * (t) rozwiązanie chwilę później opisane przez odchylenie du(t) od u * u(t)= u * (t) + du(t) linearyzacja: zakładamy, że odchylenie małe, rozwijamy f(t,u) względem u wokół f(t,u * ): [Taylor dla wektora] macierz Jakobiego [N na N]

8 u(t)= u * (t) + du(t) po wyeliminowaniu i i problem zlinearyzowany w chwili t * : A=J(t * ) -przybliżone zachowanie rozwiązania w okolicach t,u * (t) rozwiązać problem własny A: dostaniemy wartości własne λ i : Aby rachunek się powiódł: Δt λ i musi leżeć w regionie y ę p i g stabilności używanej metody dla wszystkich i. Jeśli duża rozpiętość λ : problem będzie sztywny.

9 Przykład: nieliniowy układ równań z warunkowo występującą sztywnością jeśli druga składowa u urośnie macierz prawie diagonalna z szerokim zakresem wartości własnych sztywność

10 Przykład detekcja sztywności dla: oscylatora van der Pola wartości własne:

11 niebieskie i czarne: części rzeczywistewartościwłasnychwartości własnych λ= λ= w w t dt0.40 jawny RK +automat dt t dt t t

12 2.0 λ=1 jawny RK +automat dt λ=100 w w t t 0.10 dt dt u(t) t u(t) t t

13 Metody RK cd. 1) bezwzględnastabilność metod RK 2) konstrukcja niejawnych metod RK (metoda kolokacji) 3) metody niejawne: klasyfikacja a tabele Padé współczynników wzmocnienia 4) rozwiązywanie równań predyktora dla metod niejawnych ij

14 Metody RK własności tabel Butchera 1)do regionów stabilności jawnych RK 2) do metod niejawnych RK ogólna w wersji ogólnej (niejawnej = sumowanie do s) dla metod jawnych

15 Metoda musi być dokładna dla rozwiązania stałego: w przeciwnym wypadku powstanie błąd lokalny O(Δt) (metoda nie będzie zbieżna zerowy rząd zbieżności ) jeśli f=0 to u n =u n 1 to mamy zawsze podobnie, jeśli rząd zbieżności 1 (jak Euler) lub więcej = wynik dokładny dla funkcji liniowej f=1 np RK4

16 rozwiązania pośrednie = mniej dokładne niż wynik końcowy, ale: zażądajmy ż dj aby rozwiązania i pośrednie ś U i (dla chwili t n 1 +c i Δt) ) były rzędu zbieżności pierwszego (nie gorsze niż Euler). Mają działać dokładnie dla f=1 i rozwiązania u=d+t, co daje: u(t+dt)=u(t)+dt dla RK4: /2 1/ /2 0 1/ /6 1/3 1/3 1/6

17 metoda RK rzędu dokładności p jeśli działać będzie dokładnie dla wielomianów stopnia p z rozwiązaniem: wstawić dla l12 l=1,2,...,p /2 1/ /2 0 1/ /6 1/3 1/3 1/6 l=1 poznajemy Zastosowanie do tabeli Butchera RK4: ½= 1/6 *0 +1/3*1/2+1/3*1/2+1/6*1=3/6 1/3= 1/3 * ¼ +1/3 * ¼+1/6=2/6 / ¼=1/3*1/8+1/3*1/8+1/6=1/12+1/6=3/12 dla l=5 prawa strona= warunki tego typu są konieczne, ale nie wystarczają do wyznaczenia całej tabeli B. można podać więcej rozważając inne równania i wykorzystując założony rząd dokładności metody.

18 można podać więcej warunków rozważając inne równania i wykorzystując założony rząd dokładności metody p. Rozwinięcia w szereg Taylora metody i rozwiązania konkretnego równania mają zgadzać się do wyrazu z Δt p włącznie. u = u (1) w notacji wektorowej (2) z oznaczeniami: z (2) eliminujemy U wstawiamy do (1)

19 u = u dokładne rozwiązanie u(t)= exp(t) u n = exp(δt)u ) n 1 dokładne: RK: zrównując wyrazy tego samego rzędu w Δt dla metody RK rzędu ę dokładności p czyli dla k=1,2,..,p

20 dla k=1,2,..,p k=1 k=2 wcześniej dowiedzieliśmy się, że ora z dla l=2 da wzór po lewej (zał. że pośrednie min rzędu 2) nowe niezależne warunki dostaniemy dla k>2

21 stabilność bezwzględna jawnych metod RK u = λu z oznaczeniem z=λδt dostaniemy wg wcześniejszej analizy metoda RK rzędu p dokładnie odtwarza p pierwszych wyrazów r.t rozwiązania dokładnego dla k=1,2,..,p

22 stabilność bezwzględna jawnych metod RK u = λu z oznaczeniem z=λδt dostaniemy wg wcześniejszej analizy metoda RK rzędu ę p dokładnie odtwarza p pierwszych wyrazów r.t rozwiązania dokładnego dla k=1,2,..,p

23 stabilność bezwzględna jawnych metod RK u = λu z oznaczeniem z=λδt dostaniemy wg wcześniejszej analizy metoda RK rzędu ę p dokładnie odtwarza p pierwszych wyrazów r.t rozwiązania dokładnego dla k=1,2,..,p macierz A dla jawnych dolna trójkątna bez diagonali dla m s dl t ż ć d dlatego: możemy urwać drugą sumę współczynnik wzmocnienia dla jawnych RK jest wielomianem

24 rząd dokładności liczba stopni (odsłon) metody zamiast Liczba kroków a rząd zbieżności jawnych metod RK: rząd p minimalna liczba odsłon s czyli dla p 4 druga suma znika, mamy dokładnie: stąd współczynnik wzmocnienia dla RK1,RK2,RK3 i RK4 rozwiązanie dokładne u=exp(λt) RK dokładności p dokładnie odtwarza pierwsze p wyrazów rozwinięcia Taylora p p p y ę y rozwiązania dokładnego

25 Stabilność bezwzględna RK ponadto: dla p 4 mamy dla stabilności bezwzględnej: wniosek: region stabilności bezwzględnej jawnych metod RK o rzędzie dokładności nie większym niż 4 jestniezależny odwyborua a,b,c bc!! w szczególności dwie poznane metody rzędu drugiego: mają ten sam region stabilności

26 rejony bezwzględnej stabilności jawnych metod RK w s odsłonach dla danego s rejony identyczne dla wszystkich wariantów dt Im(λ) RK2 Euler dt Re(λ) rysunek skopiowany z Quarteroni: Numerical Mathematics zakres stabilności rośnie z rzędem dokładności zobaczymy, że przeciwnie niż dla liniowych formuł wielokrokowych! RK3/RK4 obejmują również fragment Re(λ)>0 dla rzeczywistego λ region stabilności: dtλ RK1 ( 2,0) RK2 ( 2,0) RK3 ( 2.51,0) RK4 ( 2.78,0)

27 przypomnienie: RK / λ 1 RK3/RK4 obejmują również fragment Re(λ)>0 dla rzeczywistego λ region stabilności: dtλ RK1 ( 2,0) RK2 ( 2,0) RK3 ( 2.51,0) RK4 ( 2.78,0)

28 Region stabilności jawnych metod RK jest ograniczony funkcja pod modułem jest wielomianem (skończone rozwinięcie w szereg Taylora) każdy wielomian ucieka do nieskończoności gdy z daleko od początku układu wsp. (niezależnie od kierunku na płaszczyźnie Gaussa) dla szerszych regionów bezwzględnej stabilności: niejawne metody RK dla niejawnych RK druga suma może ustablizować rozbieżność pierwszej dla dużego z

29 niejawna metoda Rungego Kutty w jednej odsłonie [jawny RK w jednej odsłonie= jawny schemat Eulera] aby wyznaczyć współczynniki b 1 =b, c 1 =c, a 11 =a rozwijamy metodę RK w Taylora względem t n 1 i u(t n 1 ) i porównujemy z rozwiązaniem dokładnym liczone w t n 1, u(t n 1 ) celujemy w błąd lokalny O(Δt 3 ) wstawić wyżej

30 liczone w t n 1, u(t n 1 ) wstawić wyżej

31 niejawna metoda Rungego Kutty w jednej odsłonie (będzie stopnia 2) do porównania z rozwinięciem dokładnego rozwiązania (poprzedni wykłady) b=1 c=a=1/2

32 niejawna metoda Rungego Kutty w jednej odsłonie (będzie stopnia 2) do porównania z rozwinięciem dokładnego rozwiązania (3 wykłady wstecz) b=1 c=a=1/2 zamiast Taylora mogliśmy użyć warunków koniecznych: s

33 niejawna metoda Rungego Kutty w jednej odsłonie (stopnia 2) b=1 c=a=1/2 2) korektor wykonać krok wg reguły punktu środowego z U 1 policzonym niejawnym Eulerem niejawna metoda punktu środkowego 1) predyktor predyktor = niejawny Euler do połowy kroku czasowego (rozwiązać trzeba jak pokazywaliśmy)

34 porównanie metod RK drugiego rzędu = jawnej i niejawnej jawna metoda punktu środkowego g RK2 (dwustopniowa znaczy f wzywane w 2 chwilach czasowych): predyktor = jawny Euler korektor = punkt środkowy ½ 1/ niejawna metoda punktu środkowego NJRK (jednostopniowa f tylko w jednej chwili) 1/2 1/2 1 2) wykonać krok wg reguły punktu środowego z U 1 1) predyktor = niejawny Euler do połowy kroku czasowego

35 region bezwzględnej stabilności niejawnej metody punktu środkowego u =λu, z=λδt R() 0 Re(z) 0 (gdy rozwiniemy w Taylora 1+z+z 2 /2+z 3 /4 [zamiast 6] wsp. wmocnienia=funkcja wymierna jest A-stabilna, ale metodę 2 rzędu dokładności już mieliśmy (trapezów)

36 niejawna metoda Rungego Kutty w jednej odsłonie (metoda rzędu dokładności 2) tabela Butchera 1/2 1/2 1 maksymalny rząd metody RK w s odsłonach wynosi 2s najdokładniejsza niejawna metoda Rungego Kutty w 2 odsłonach rząd dokładności 4 jak jawne RK4 dla najdokładniejszych niejawnych RK nie używamy chwili t n-1, ani chwili t n tylko c danych przez mapowanie zer wielomianów Legendre a do przedziału [0,1] (patrz dalej)

37 Metody kolokacji dla zwyczajnego równania różniczkowego u =f zajmiemy się pojedynczym krokiem czasowym t n 1 do t n u dofitowany wielomian dokładna u poszukiwany wielomian, który spełnia warunek początkowy i nachylenie (f) w 2 chwilach t poszukujemy wielomianu, który interpoluje a) wartość funkcji w chwili początkowej b) równanie różniczkowe w 2 dyskretnych punktach wartość tego wielomianu w chwili t n wyprodukuje przepis na u n

38 Metody kolokacji dla zwyczajnego równania różniczkowego u =f najpierwprzykład przykład, potem uogólnienie: zajmiemy się pojedynczym krokiem czasowym t n 1 do t n u wielomian, który interpoluje a) wartość funkcji w chwili początkowej b) równanie różniczkowe w 2 dyskretnych punktach jego wartość w chwili t n produkuje u n 3 warunki potrzebna parabola poszukiwany wielomian, który spełnia warunek początkowy i nachylenie (f) w 2 chwilach t w(t n )=u n

39 Metody kolokacji dla zwyczajnego równania różniczkowego u =f najpierwprzykład przykład, potem uogólnienie: zajmiemy się pojedynczym krokiem czasowym t n 1 do t n u wielomian, który interpoluje a) wartość funkcji w chwili początkowej b) równanie różniczkowe w 2 dyskretnych punktach jego wartość w chwili t n produkuje u n 3 warunki potrzebna parabola poszukiwany wielomian, który spełnia warunek początkowy i nachylenie (f) w 2 chwilach t w(t n )=u n wzór trapezów (dlatego rzędu 2: dokładny d dla paraboli!)

40 Niejawne metody Rungego Kutty można uzyskać na drodze kolokacji (zakładamy c szukamy a i b) poszukujemy przybliżonego rozwiązania problemu początkowego w postaci wielomianu stopnia s do wykonania kroku: w(tn) zobaczymy jak generować metody RK: wejście = chwile pośrednie ś [c] wyjście = wagi a i b

41 Niejawne metody Rungego Kutty można uzyskać na drodze kolokacji (zakładamy c szukamy a i b) u) poszukujemy przybliżonego rozwiązania problemu początkowego w postaci wielomianu stopnia s do wykonania kroku: w(tn) do wyznaczenia (s+1) współczynników wielomianu: ma spełniać warunek początkowy i ó i óż i k i12 s i równanie różniczkowe w i=1,2,...s wybranych punktach w przedziale [t n 1,t n ] wybór definiowany przez c i [0,1]

42 Interpolujemy pochodną w wielomianem interpolacyjnym Lagrange a w chwilach czasowych t n 1 +c j Δt z gdzie wielomian węzłowy Lagrange a

43 scałkowana pochodna + warunek początkowy daje na końcu przedziału: jak RK pod warunkiem, że włożyliśmy c dostaliśmy b jeszcze a do wyznaczenia

44 pochodna scałkowana do τ + warunek początkowy daje wstawić do: jak w RK pod warunkiem że

45 po przesunięciu t o t n 1 : po podstawieniu τ =t /Δt wyrażenia, na a i b są niezależne od kroku czasowego: podobnie: Mamy przepis na uzyskiwanie a i b z c wybór punktów kolokacji : t n 1 +c i Δt = tak aby uzyskać maksymalny rząd dokładności albo np L stabilność tabela Butchera dla najdokładniejszej niejawnej RK (2 odsłony, rząd 4): A oraz b w tabeli Butchera wynikają z wyboru punktów kolokacji c

46 c1 c2 b1 b2 b 1 b 2 a 11 itd. współczynniki w tabeli Butchera dla niejawnych RK można uzależnić od punktów kolokacji a 12

47 z teorii kwadratur Gaussa maksymalny dokładność [do całkowania wielomianów stopnia 2s 1 ] uzyskujemy ywybierając punkty kolokacji (Gaussa) w s zerach wielomianów Legendre a. 2 punkty: Gauss scałkuje dokładnie w (t) gdy ta będzie wielomianem stopnia 3, stąd 4 ty rząd metody RK 2 punkty Gaussa: dokładnie scałkujemy do wielomianu trzeciego stopnia dla 2 punktów wybranych hjk jak popadło dokładnie d tlk tylko do pierwszego stopnia P 2 w przedziale [ 1,1] ma zera w ± sqrt(3) / 3 Przedział [ 1,1] w [0,1] mapowany wg. t := (x+1)/2 co daje punkty kolokacji niejawnej metody RK maksymalnej dokładności mamy przepis na generacje tablic Butchera z zer wielomianów Legendre a