Ćwiczenie 71. Dyfrakcja światła na szczelinie pojedynczej i podwójnej

Transkrypt

1 Ćwiczenie 71. Dyfrakcja światła na szczelinie pojeynczej i powójnej Cel ćwiczenia Pomiar natęŝenia światła w obrazie yfrakcyjnym pojeynczej szczeliny i ukłau wu szczelin. Wyznaczenie rozmiaru szczelin. Wprowazenie W zjawiskach yfrakcji i interferencji ujawnia się falowy charakter światła zjawisk tych niesposób zrozumieć przy pomocy pojęć optyki geometrycznej. Mówimy o yfrakcji na pojeynczej szczelinie, interferencji na ukłazie wu szczelin, i siatce yfrakcyjnej, gy liczba szczelin jest barzo uŝa. Opis teoretyczny zjawisk yfrakcji i interferencji światła jest zasaniczo jenakowy i sprowaza się o superpozycji fal cząstkowych, wysyłanych, zgonie z zasaą Huygensa, z obszaru szczelin. Interferencja na wu wąskich szczelinach Rysunek 1 przestawia wyiealizowany przypaek interferencji na wu szczelinach S 1, S o szerokości a małej w porównaniu o oległości mięzy szczelinami (a << ). Oległość L szczelin o ekranu jest uŝa w porównaniu z oległością mięzy szczelinami b. Interesuje nas natęŝenie światła obserwowane w punkcie P ekranu, którego połoŝenie określa kąt θ wzglęnie wzglęnie oległość o śroka ekranu. Rys. 1. Interferencja światła na wu szczelinach o małej szerokości Rys. 1. Interferencja światła na szczelinach o małej szerokości.

2 Interferencja na wu wąskich szczelinach stanowi przypaek najprostszy o opisu ilościowego latego, Ŝe wystarczy rozpatrywać superpozycję wu fal wychozących ze śroków szczelin. Na postawie przybliŝonego poobieństwa trójkątów SPO oraz S 1 S D stwierzamy, Ŝe istnieje róŝnica róg optycznych równa PS PS = S D = sin θ. (1) 1 W konsekwencji fale interferujące w punkcie P ekranu są przesunięte w fazie o kąt ϕ związany z róŝnicą róg optycznych a sin θ proporcją sin θ ϕ =, λ π π zatem ϕ = sin θ. () λ Fala wypakowa w punkcie P ekranu po jest sumą wu fal cząstkowych E = E0 sin ωt + E0 sin( ωt + ϕ) (3) o jenakowych amplituach E 0, przesuniętych w fazie o kąt ϕ. Obliczenie sumy sinusoi (3) jest prostym zaganieniem trygonometrycznym, równowaŝnym oawaniu wu liczb zespolonych przesuniętych w fazie o kąt ϕ. W rezultacie fala wypakowa E = E 1 + E wynosi E = [ E0 cos( ϕ / )]sin( ωt + β). (4) NatęŜenie promieniowania jest proporcjonalne o kwaratu wypakowej amplituy rgań równej E 0 cos( ϕ / ) ϕ I cos. (5) PoniewaŜ rozmiary obrazu interferencyjnego (kilkanaście mm) są małe w porównaniu o oległości szczelina ekran l (kilkaziesiąt cm) przyjąć moŝna, Ŝe sin θ / L. Wykorzystując to ostatnie przybliŝenie i wzór (), otrzymujemy końcową formułę na natęŝenie światła w funkcji oległości w postaci π ( ) 0 cos I = I. L λ (6) NatęŜenie światła na ekranie tworzy zatem równo oalone prąŝki których maksima jasności opowiaają maksimom funkcji cos (rys. a). PoniewaŜ maksima kwaratu cosinusa występują la wartości kąta mπ, gzie m jest liczbą całkowitą, maksymalne natęŝenie światła I 0 obserwuje się na ekranie w połoŝeniach równych ma mλ L =. (7)

3 Rys.. NatęŜenie światła w obrazach yfrakcyjnych la: a) wu barzo wąskich szczelin; b) pojeynczej szczeliny; c) wu szczelin o skończonej szerokości, la stosunku a/ = 0,3. Rysunki z lewej strony określają geometrię szczelin Dyfrakcja na pojeynczej szczelinie Rozpatrujemy pojeynczą szczelinę o skończonej szerokości a. W celu obliczenia natęŝenia promieniowania obserwowanego po kątem θ naleŝy szczelinę pozielić na uŝą liczbę ocinków i obliczyć sumę uŝej liczby fal cząstkowych pochozących o kaŝej części szczeliny. Problem jest więc matematycznie truniejszy o przypaku wu wąskich szczelin. Szczegóły obliczenia wyjaśnione są w poręcznikach (Halliay Resnick-Walker, część 4). Przy tym samym załoŝeniu o małych rozmiarach kątowych obrazu yfrakcyjnego, ( << L) rozkła natęŝenia światła I() wyraŝa się wzorem sin α πa πa I ( ) = I 0, gzie α = sin θ. (8) α λ λ L Rysunek b przestawia wykres natęŝenia światła. Jego charakterystyczną cechą jest występowanie silnego maksimum głównego, otoczonego prąŝkami o znacznie słabszych natęŝeniach, malejących ze wzrostem numeru prąŝka m.

4 Wszystkie przestawione poniŝej własności obrazu yfrakcyjnego pojeynczej szczeliny wyprowazić moŝna przez baanie funkcji (8). Minima natęŝenia światła, opowiaające miejscom zerowym funkcji (8), znajziemy la min λ L = m. (9) Natomiast w obrym przybliŝeniu maksima boczne, opowiaające maksimom funkcji (sinα), wypaają la wartości współrzęnej równych ma 1 λ L m +. (10) W obywu wzorach liczba m = ± 1,, 3... określa numer kolejnego minimum oraz numer kolejnego prąŝka bocznego. Stosunki wartości natęŝenia światła w maksimach bocznych o natęŝenia maksimum głównego wynoszą I ( I ma 0 ) 1 1 π m +. (11) Dwie szczeliny o skończonej szerokości W rzeczywistym oświaczeniu szerokość szczelin a stanowi znaczną część oległości mięzy szczelinami (rys. c). Rozkła natęŝenia sin α π π a I ( ) = I 0 (cosβ), gzie β, α. (1) α λ L λ L jest iloczynem wu czynników omawianych uprzenio. Czynnik cos β opisuje prąŝki interferencyjne obserwowane w połoŝeniach takich samych (wzór (7)) jak w przypaku wąskich szczelin. Maksymalne natęŝenia światła w tych prąŝkach nie jest juŝ stałe, lecz zmoulowane przez czynnik yfrakcyjny (sinα/α) pojeynczej szczeliny. Powouje to, Ŝe niewielką liczbę najjaśniejszych prąŝków obserwujemy tylko w obszarze śrokowego maksimum yfrakcyjnego, w rejonach bocznych maksimów yfrakcyjnych prąŝki są lewo wioczne. Obserwacja zjawiska z wykorzystaniem lasera Źrółem światła monochromatycznego i spójnego jest laser półprzewonikowy zasilany napięciem kilku V (wytwarzanym przez zasilacz sieciowy). Laser wytwarza wiązkę światła spójnego i monochromatycznego. Rysunek 3 przestawia schemat ukłau o pomiaru natęŝenia światła. Detektorem światła jest fotoioa. Jest to element półprzewonikowy w objętości którego fotony paającego światła wytwarzają swobone elektrony. Po ziałaniem przyłoŝonego napięcia U elektrony te płyną o obwou zewnętrznego jako prą I proporcjonalny o natęŝenia paającego światła. Prą ten z kolei wytwarza na oporniku R napięcie U = I R mierzone woltomierzem cyfrowym.

5 Rys. 3. Ukła pomiarowy o baania yfrakcji i interferencji (wiok w lierunku prostopałym o wiązki laserowej) Wyjaśnienia wymaga problem zolności rozzielczej naszego etektora. Fotoiozie naleŝy się przyjrzeć, by stwierzić, Ŝe we wnętrzu obuowy mamy krzemowy element czynny w kształcie kwaracika o boku około 0,8 mm. Detektor uśrenia zatem funkcję I() po tej ługości, co prowazi m.in. o obniŝenia natęŝenia światła w maksimach i powstania niezerowego sygnału w minimach (gzie natęŝenie światła powinno teoretycznie spaść o zera). Obliczony teoretycznie wpływ tego efektu na obserwowaną funkcję I() la pojeynczej szczeliny przestawia rysunek 4. RównieŜ inne ostępstwa eksperymentu o załoŝeń teorii, jak np. nierówne szczeliny czy teŝ niezupełna równoległość wiązki laserowej, przyczyniają się o rozmywania obrazów yfrakcyjnych i słabszego natęŝenia w prąŝkach bocznych. Rys. 4. Iealny obraz yfrakcyjny la pojeynczej szczeliny (wzór 8, linia przerywana) i efekt wpływu skończonej szerokości etektora (linia ciągła). W przeciwieństwie o rysunku b ten wykres wykonano we współrzęnych półlogarytmicznych