Znajdowanie skojarzeń na maszynie równoległej

Podobne dokumenty
Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów

Drzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY

Graf. Definicja marca / 1

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki.

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott

Wykład 8. Drzewo rozpinające (minimum spanning tree)

Matematyka dyskretna

Znajdowanie maksymalnych skojarzeń przy pomocy eliminacji Gaussa

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14

Matematyczne Podstawy Informatyki

Drzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew

Kolorowanie wierzchołków

Minimalne drzewa rozpinające

Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych.

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny podzbiór krawędzi parami niezależnych.

E ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Wprowadzenie Podstawy Fundamentalne twierdzenie Kolorowanie. Grafy planarne. Przemysław Gordinowicz. Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka

Kolorowanie wierzchołków grafu

Wstęp do programowania. Drzewa. Piotr Chrząstowski-Wachtel

Grafy (3): drzewa. Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków. UTP Bydgoszcz

Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle

Grafy. Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie:

Wykłady z Matematyki Dyskretnej

6d. Grafy dwudzielne i kolorowania

Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane:

Drzewa rozpinajace, zbiory rozłaczne, czas zamortyzowany

Wykłady z Matematyki Dyskretnej

Dynamiczne drzewa. Marian M. Kędzierski. 26 listopada Wstęp Euler-Tour Trees Dynamiczna spójność Algorytm Dinica Link-Cut Trees

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Algorytmiczna teoria grafów

Digraf. 13 maja 2017

Sieć (graf skierowany)

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów

Grafy i Zastosowania. 5: Drzewa Rozpinające. c Marcin Sydow. Drzewa rozpinające. Cykle i rozcięcia fundamentalne. Zastosowania

Teoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott

KURS MATEMATYKA DYSKRETNA

Akademickie Mistrzostwa Polski w Programowaniu Zespołowym

Równoległy algorytm wyznaczania bloków dla cyklicznego problemu przepływowego z przezbrojeniami

E: Rekonstrukcja ewolucji. Algorytmy filogenetyczne

Skojarzenia w grafach

Ilustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz?

Kernelizacja ćwiczenia 1

Algorytmy równoległe. Rafał Walkowiak Politechnika Poznańska Studia inżynierskie Informatyka 2010

Algorytmika Problemów Trudnych

Algorytmy dynamiczne. Piotr Sankowski. - p. 1/14

Sprzedaż online. Piotr Sankowski Uniwersytet Warszawski Warszawa p. 1/40

a) 7 b) 19 c) 21 d) 34

Praca dyplomowa magisterska

Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych

Maksymalne skojarzenia przy pomocy eliminacji Gaussa

Algorytmy i Struktury Danych.

Indukowane Reguły Decyzyjne I. Wykład 3

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Opracowanie prof. J. Domsta 1

Kombinowanie o nieskończoności. 2. Wyspy, mosty, mapy i kredki materiały do ćwiczeń

Matematyka dyskretna - 7.Drzewa

Ogólne wiadomości o grafach

TEORIA GRAFÓW I SIECI

Algorytmiczna teoria grafów

Algorytmy i Struktury Danych, 2. ćwiczenia

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Siedem cudów informatyki czyli o algorytmach zdumiewajacych

Algorytm obejścia drzewa poszukiwań i zadanie o hetmanach szachowych

Matematyka dyskretna - 5.Grafy.

Zofia Kruczkiewicz, Algorytmu i struktury danych, Wykład 14, 1

Algorytmy Grafowe. dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak, prof. UJD. Wykład 5 i 6. Uniwersytet Humanistyczno-Przyrodniczy im. Jana Długosza w Częstochowie

Elementy teorii grafów Elementy teorii grafów

Wysokość drzewa Głębokość węzła

Podstawowe pojęcia dotyczące drzew Podstawowe pojęcia dotyczące grafów Przykłady drzew i grafów

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV

ĆWICZENIE NR 1 WPROWADZENIE DO INFORMATYKI

Metody teorii gier. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2

Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych

Algorytmy aproksymacyjne dla problemów stochastycznych

Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14

6. Wstępne pojęcia teorii grafów

1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza

Matematyka od zaraz zatrudnię

Podejście zachłanne, a programowanie dynamiczne

Zadania z egzaminów z Algorytmiki

Skojarzenia. Najliczniejsze skojarzenia: Dokładne skojarzenia o maksymalnej sumie wag w obcionych pełnych grafach dwudzielnych.

(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x

Teoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki

Egzaminy i inne zadania. Semestr II.

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów

Algorytmy i Struktury Danych.

Transkrypt:

11 grudnia 2008

Spis treści 1 Skojarzenia w różnych klasach grafów Drzewa Grafy gęste Grafy regularne dwudzielne Claw-free graphs 2

Drzewa Skojarzenia w drzewach Fakt Wybierajac krawędź do skojarzenia w drzewie zawsze warto jest wybrać krawędź połaczon a z liściem.

Drzewa Skojarzenia w drzewach Fakt Wybierajac krawędź do skojarzenia w drzewie zawsze warto jest wybrać krawędź połaczon a z liściem. Funkcja: Wszystkim liściom przypisz value(v) := 0, dla pozostałych: value(v) = NAND(x 1,..., x k ) gdzie x i to dziecko v, NAND(x 1,..., x k ) = (x 1... x k ). Wartość 1 oznacza więc, że wierzchołek zostanie skojarzony z którymś ze swoich dzieci (posiada albo liść jako dziecko albo wierzchołek który nie skojarzy się z żadnym ze swoich dzieci).

Drzewa Skojarzenia w drzewach: algorytm

Drzewa Skojarzenia w drzewach: algorytm

Drzewa Skojarzenia w drzewach: algorytm

Drzewa Skojarzenia w drzewach: algorytm

Drzewa Skojarzenia w drzewach: algorytm

Drzewa Skojarzenia w drzewach: algorytm

Drzewa Skojarzenia w drzewach: algorytm for each leaf v do in parallel value(v) := 0; dla każdego wierzchołka wewnętrznego wykonaj NAND używając tree-constraction; for each v: value(v) = 1 do in parallel wybierz dziecko w: value(w) = 0; dodaj (v, w) do skojarzenia;

Drzewa Skojarzenia w drzewach: algorytm for each leaf v do in parallel value(v) := 0; dla każdego wierzchołka wewnętrznego wykonaj NAND używając tree-constraction; for each v: value(v) = 1 do in parallel wybierz dziecko w: value(w) = 0; dodaj (v, w) do skojarzenia; Twierdzenie Najliczniejsze skojarzenie w drzewie może być wyliczone w czasie O(log(n)) przy użyciu O(n/log(n)) procesorów na maszynie EREW PRAM.

Grafy gęste Grafy gęste Definicja Graf nazywamy gęstym jeżeli stopień każdego wierzchołka to minimum n/2.

Grafy gęste Grafy gęste Definicja Graf nazywamy gęstym jeżeli stopień każdego wierzchołka to minimum n/2. Lemat W grafach gęstych dowolne maksymalne skojarzenie pokrywa co najmiej n/2 wierzchołków.

Grafy gęste Algorytm: grafy gęste o parzystej liczbie wierzchołków znajdź maksymalne skojarzenie w G stwórz ścieżki powiększające długości 3 pomiędzy nieskojarzonymi wierzchołkami zawierające po jednej krawędzi skojarzonej znajdź skojarzenie doskonałe pomiędzy możliwymi ścieżkami a krawędziami skojarzenia z G wykorzystaj wybrane ścieżki osiągając skojarzenie doskonałe

Grafy gęste Algorytm: grafy gęste o parzystej liczbie wierzchołków

Grafy gęste Algorytm: grafy gęste o parzystej liczbie wierzchołków

Grafy gęste Algorytm: grafy gęste o parzystej liczbie wierzchołków

Grafy gęste Algorytm: grafy gęste o parzystej liczbie wierzchołków

Grafy gęste Grafy gęste Fakt Dla każdej pary wierzchołków wolnych istnieje minimum k możliwych ścieżek powiększajacych gdzie k to liczba par wierzchołków wolnych.

Grafy gęste Grafy gęste Fakt Dla każdej pary wierzchołków wolnych istnieje minimum k możliwych ścieżek powiększajacych gdzie k to liczba par wierzchołków wolnych. Fakt Majac maszynę z Common Read można wyznaczyć ścieżki powiększajace w czasie O(log(n)).

Grafy gęste Grafy gęste Fakt Dla każdej pary wierzchołków wolnych istnieje minimum k możliwych ścieżek powiększajacych gdzie k to liczba par wierzchołków wolnych. Fakt Majac maszynę z Common Read można wyznaczyć ścieżki powiększajace w czasie O(log(n)). Twierdzenie W grafie gęstym o parzystej liczbie wierzchołków skojarzenie doskonałe można wyznaczyć w czasie O(log 4 (n)) używajac O(m) procesorów na maszynie CREW PRAM.

Grafy regularne dwudzielne Grafy regularne dwudzielne Fakt Majac kolorowanie krawędziowe grafu regularnego z użyciem (G) kolorów gdzie (G) to stopień wierzchołków w G można łatwo znaleźć skojarzenie doskonałe - wystarczy wziać krawędzie pokolorowane na jeden wybrany kolor.

Grafy regularne dwudzielne Grafy regularne dwudzielne Fakt Majac kolorowanie krawędziowe grafu regularnego z użyciem (G) kolorów gdzie (G) to stopień wierzchołków w G można łatwo znaleźć skojarzenie doskonałe - wystarczy wziać krawędzie pokolorowane na jeden wybrany kolor. Lemat Niech 2 k będzie największa potęga dwójki nie przekraczajac a > 0. Wtedy istnieje rozkład = δ 1 + δ 2 + δ 3 + δ 4 gdzie δ i sa nieujemnymi liczbami całkowitymi oraz δ i + δ j 2 k dla każdej pary 1 i j 4.

Grafy regularne dwudzielne Grafy o stopniu 2 k Easy_Bipartite_Color(G, X) if (G) = 1 then pokoloruj graf 1 kolorem; else G1 := Halve(G); G2 := G G1; podziel zbiór X na równe zbiory X1 i X2; perform in parallel Easy_Bipartite_Color(G1, X1); Easy_Bipartite_Color(G2, X2);

Grafy regularne dwudzielne Grafy o dowolnym stopniu {λ i } i=1..4 - podział zbioru kolorów spełniający podział liczby z lematu ( λ i = δ i )

Grafy regularne dwudzielne Grafy o dowolnym stopniu {λ i } i=1..4 - podział zbioru kolorów spełniający podział liczby z lematu ( λ i = δ i ) Φ ij = λ i λ j X - zbiór X - dowolne dodatkowe kolory tak aby Φ ij było potęgą dwójki

Grafy regularne dwudzielne Grafy o dowolnym stopniu {λ i } i=1..4 - podział zbioru kolorów spełniający podział liczby z lematu ( λ i = δ i ) Φ ij = λ i λ j X - zbiór X - dowolne dodatkowe kolory tak aby Φ ij było potęgą dwójki Locally_Valid_Coloring(G, Φ) - kolorowanie niepokolorowanych krawędzi w G tak aby z każdego wierzchołka wychodziły krawędzie o różnych kolorach - jednak krawędzie mogą mieć różne kolory na końcach

Grafy regularne dwudzielne Grafy o dowolnym stopniu {λ i } i=1..4 - podział zbioru kolorów spełniający podział liczby z lematu ( λ i = δ i ) Φ ij = λ i λ j X - zbiór X - dowolne dodatkowe kolory tak aby Φ ij było potęgą dwójki Locally_Valid_Coloring(G, Φ) - kolorowanie niepokolorowanych krawędzi w G tak aby z każdego wierzchołka wychodziły krawędzie o różnych kolorach - jednak krawędzie mogą mieć różne kolory na końcach BadEdges(G) - ilość krawędzi mających różne kolory na końcach w G

Grafy regularne dwudzielne Grafy o dowolnym stopniu {λ i } i=1..4 - podział zbioru kolorów spełniający podział liczby z lematu ( λ i = δ i ) Φ ij = λ i λ j X - zbiór X - dowolne dodatkowe kolory tak aby Φ ij było potęgą dwójki Locally_Valid_Coloring(G, Φ) - kolorowanie niepokolorowanych krawędzi w G tak aby z każdego wierzchołka wychodziły krawędzie o różnych kolorach - jednak krawędzie mogą mieć różne kolory na końcach BadEdges(G) - ilość krawędzi mających różne kolory na końcach w G SubGraph(G, Φ) - podgraf G w którym obydwa kolory każdej z krawędzi należą do Φ

Grafy regularne dwudzielne Grafy o dowolnym stopniu {λ i } i=1..4 - podział zbioru kolorów spełniający podział liczby z lematu ( λ i = δ i ) Φ ij = λ i λ j X - zbiór X - dowolne dodatkowe kolory tak aby Φ ij było potęgą dwójki Locally_Valid_Coloring(G, Φ) - kolorowanie niepokolorowanych krawędzi w G tak aby z każdego wierzchołka wychodziły krawędzie o różnych kolorach - jednak krawędzie mogą mieć różne kolory na końcach BadEdges(G) - ilość krawędzi mających różne kolory na końcach w G SubGraph(G, Φ) - podgraf G w którym obydwa kolory każdej z krawędzi należą do Φ Fakt Istnieja i, j takie że: BadEdges(SubGraph(G, Φ ij )) 1 6 BadEdges(G).

Grafy regularne dwudzielne Grafy o dowolnym stopniu - algorytm Bipartite_Edge_Coloring(G, Φ) Φ := kolorowanie puste; Locally_Valid_Coloring(G, Φ); while istnieje zła krawędź w G do znajdź i, j maksymalizujące BadEdges(SubGraph(G, Φ ij )); Easy_Bipartite_Color(SubGraph(G, Φ ij ), Φ ij ); usuń kolor ze złych krawędzi; Locally_Valid_Coloring(G, Φ);

Grafy regularne dwudzielne Grafy o dowolnym stopniu - algorytm

Grafy regularne dwudzielne Grafy o dowolnym stopniu - algorytm

Grafy regularne dwudzielne Grafy o dowolnym stopniu - algorytm

Grafy regularne dwudzielne Grafy o dowolnym stopniu - algorytm

Grafy regularne dwudzielne Grafy o dowolnym stopniu - algorytm

Grafy regularne dwudzielne Grafy o dowolnym stopniu - algorytm

Grafy regularne dwudzielne Grafy o dowolnym stopniu - algorytm

Grafy regularne dwudzielne Grafy o dowolnym stopniu - algorytm

Grafy regularne dwudzielne Grafy o dowolnym stopniu - algorytm

Grafy regularne dwudzielne Grafy o dowolnym stopniu - algorytm

Grafy regularne dwudzielne Grafy o dowolnym stopniu - algorytm

Grafy regularne dwudzielne Grafy o dowolnym stopniu - algorytm

Grafy regularne dwudzielne Grafy o dowolnym stopniu - algorytm

Grafy regularne dwudzielne Grafy o dowolnym stopniu - algorytm

Claw-free graphs Claw-free graphs Definicja Claw-free graph (pl: graf bez szponów) to graf który nie zawiera indukowanego podgrafu K 1,3 (claw). u v w Pomiędzy którąś parą wierzchołków u, v, w musi istnieć krawędź.

Claw-free graphs Skojarzenie pseudo-doskonałe Definicja Skojarzenie pseudo-doskonałe jest grafem rozpinajacym G w którym każdy wierzchołek ma nieparzysty stopień.

Claw-free graphs Skojarzenie pseudo-doskonałe Definicja Skojarzenie pseudo-doskonałe jest grafem rozpinajacym G w którym każdy wierzchołek ma nieparzysty stopień.

Claw-free graphs Budowa skojarzenia pseudo-doskonałego Lemat Istnieje algorytm należacy do klasy NC konstruujacy/testuj acy skojarzenie pseudo-doskonałe.

Claw-free graphs Budowa skojarzenia pseudo-doskonałego Lemat Istnieje algorytm należacy do klasy NC konstruujacy/testuj acy skojarzenie pseudo-doskonałe. Układ n równań z m zmiennymi nad GF(2) można rozwiązać w czasie O(log 2 (n)) przy użyciu m 5.5 procesorów.

Claw-free graphs Cykle poprawiające Definicja x y = x + y(mod2) - operacja na zbiorach krawędzi - x, y {0, 1} m reprezentuja zbiory krawędzi.

Claw-free graphs Cykle poprawiające Definicja x y = x + y(mod2) - operacja na zbiorach krawędzi - x, y {0, 1} m reprezentuja zbiory krawędzi. Np. Jeśli 1 m - zbiór E (wszystkie krawędzie) to 1 m 1 m = 0 m - zbiór pusty.

Claw-free graphs Cykle poprawiające Definicja x y = x + y(mod2) - operacja na zbiorach krawędzi - x, y {0, 1} m reprezentuja zbiory krawędzi. Np. Jeśli 1 m - zbiór E (wszystkie krawędzie) to 1 m 1 m = 0 m - zbiór pusty. Fakt Jeśli M to skojarzenie pseudo-doskonałe, a C jest cyklem to M C jest skojarzeniem pseudo-doskonałym.

Claw-free graphs Cykle poprawiające Definicja x y = x + y(mod2) - operacja na zbiorach krawędzi - x, y {0, 1} m reprezentuja zbiory krawędzi. Np. Jeśli 1 m - zbiór E (wszystkie krawędzie) to 1 m 1 m = 0 m - zbiór pusty. Fakt Jeśli M to skojarzenie pseudo-doskonałe, a C jest cyklem to M C jest skojarzeniem pseudo-doskonałym. Definicja Dodatkowo jeśli M C ma mniej krawędzi niż M to C nazywamy cyklem poprawiajacym (augmenting cycle).

Claw-free graphs Cykle poprawiające

Claw-free graphs Cykle poprawiające

Claw-free graphs Cykle poprawiające

Claw-free graphs Skojarzenie pseudo-doskonałe Twierdzenie Niech G graf claw-free o parzystej liczbie wierzchołków, wtedy każda spójna składowa w G posiada skojarzenie doskonałe.

Claw-free graphs Skojarzenie pseudo-doskonałe Twierdzenie Niech G graf claw-free o parzystej liczbie wierzchołków, wtedy każda spójna składowa w G posiada skojarzenie doskonałe. Obserwacja Niech M skojarzenie pseudo-doskonałe grafu claw-free G, jeśli M jest lasem indukowanym to M jest skojarzeniem doskonałym.

Claw-free graphs Skojarzenie pseudo-doskonałe Twierdzenie Niech G graf claw-free o parzystej liczbie wierzchołków, wtedy każda spójna składowa w G posiada skojarzenie doskonałe. Obserwacja Niech M skojarzenie pseudo-doskonałe grafu claw-free G, jeśli M jest lasem indukowanym to M jest skojarzeniem doskonałym. Algorithm Perfect_Matching skonstruuj skojarzenie pseudo-doskonałe M; konwertuj M do skojarzenia pseudo-doskonałego F które jest lasem; konwertuj F do skojarzenia pseudo-doskonałego F które jest lasem indukowanym;

Claw-free graphs Cykle fundamentalne Definicja Niech T będzie drzewem rozpinajacym grafu M. Cyklem fundamentalnym ze względu na T nazywamy cykl powstały przez dodanie jednej krawędzi z M do T.

Claw-free graphs Cykle fundamentalne

Claw-free graphs Cykle fundamentalne

Claw-free graphs Cykle fundamentalne

Claw-free graphs Cykle fundamentalne

Claw-free graphs Cykle fundamentalne

Claw-free graphs Cykle fundamentalne

Claw-free graphs Cykle fundamentalne

Claw-free graphs Cykle fundamentalne

Claw-free graphs Algorytm: konwersja M do lasu F Fakt Niech M skojarzenie pseudo-doskonałe, T drzewo rozpinajace M a C 1,..., C r zbiór cykli fundamentalnych ze względu na T, wtedy M C 1... C r jest skojarzeniem pseudo-doskonałym które jest lasem.

Claw-free graphs Algorytm: konwersja M do lasu F Definicja P(e, T, M) - ilość cykli fundamentalnych w M ze względu na T zawierajacych e modulo 2.

Claw-free graphs Algorytm: konwersja M do lasu F Definicja P(e, T, M) - ilość cykli fundamentalnych w M ze względu na T zawierajacych e modulo 2. Fakt Niech e = (u, v) gdzie v jest dzieckiem u. Wtedy P(e, T, M) jest suma modulo 2 wartości p(w) po wszystkich wierzchołkach w poddrzewa o korzeniu w v, gdzie p(w) oznacza ilość niedrzewowych krawędzi z M wychodzacych z w.

Claw-free graphs Algorytm: konwersja M do lasu F Definicja P(e, T, M) - ilość cykli fundamentalnych w M ze względu na T zawierajacych e modulo 2. Fakt Niech e = (u, v) gdzie v jest dzieckiem u. Wtedy P(e, T, M) jest suma modulo 2 wartości p(w) po wszystkich wierzchołkach w poddrzewa o korzeniu w v, gdzie p(w) oznacza ilość niedrzewowych krawędzi z M wychodzacych z w. Czyli: F = {e : e T P(e, T, M) = 0}

Claw-free graphs Algorytm: konwersja lasu F do lasu indukowanego F Podejście dziel i rządź - szukamy wierzchołka który dzieli drzewo na komponenty maksimum 2 3 wielkości skojarzenia. W każdej fazie zmniejszamy rozmiar największego złego komponentu o współczynnik maksymalnie 2 3.

Claw-free graphs Algorytm: konwersja drzewa F do drzewa indukowanego F v e f

Claw-free graphs Algorytm: konwersja drzewa F do drzewa indukowanego F v

Claw-free graphs Algorytm: konwersja drzewa F do drzewa indukowanego F v

Claw-free graphs Algorytm: konwersja drzewa F do drzewa indukowanego F v

Claw-free graphs Algorytm: konwersja drzewa F do drzewa indukowanego F v

Claw-free graphs Algorytm: konwersja drzewa F do drzewa indukowanego F v

Claw-free graphs Algorytm: konwersja drzewa F do drzewa indukowanego F v

Claw-free graphs Algorytm: konwersja drzewa F do drzewa indukowanego F v

Claw-free graphs Algorytm: konwersja drzewa F do drzewa indukowanego F v

Marek Karpinski, Wojciech Rytter (1998) Fast Parallel Algorithms for Graph Matching Problems: Combinatorial, Algebraic, and Probabilistic Approach, rozdziały 1,7,9