Prawo Gaussa Tekst jest wolnym tłumaczeniem pliku guide04.pdf kursu dostępnego na stronie http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/visualizations/coursenotes/index.htm Wszystkie rysunki i animacje zaczerpnięto ze strony http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/visualizations/electrostatics/index.htm Jeśli pole elektryczne jest prostopadłe do powierzchni A, to strumieo pola elektrycznego wynosi 1
Jeśli pole elektryczne jest nie prostopadłe do powierzchni A, to strumieo pola elektrycznego wynosi Jeśli powierzchnia Gaussa jest zakrzywiona a pole elektryczne przenika przez nią, to powierzchnię Gaussa dzielimy na mniejsze części (wycinki podpowierzchni) i wystawiamy nad nią wektor prostopadły o wartości Długośd tego wektora jest równa powierzchni wycinka; a więc wymiarem jest m 2. Wtedy strumieo pola elektrycznego przez ten wycinek zamkniętej powierzchni Gaussa jest równy. 2
Strumieo pola elektrycznego przez całą powierzchnię Gaussa wynosi Pole ładunku punktowego Q 3
Pole elektryczne nieskooczonego pręta naładowanego z gęstością liniową ładunku Graficzna prezentacja. 4
Nieskooczona naładowana płaszczyzna. 5
Reprezentacja graficzna Nieciągłośd na powierzchni naładowanej powierzchni 6
Pole elektrostatyczne jednorodnie naładowanej sfery ładunkiem Q o promieniu a Przypadek Ponieważ wewnątrz sfery/powierzchni Gaussa o promieniu r<a ładunek jest równy zeru, to. 7
Przypadek Z prawa Gaussa wynika, że. Ostatecznie wyniki naszych obliczeo możemy przedstawid w następujący sposób., 8
Ilustracja graficzna Skok natężenia na powierzchni sfery Policzymy jeszcze różnicę potencjałów elektrycznych między punktami A i B pola, którego źródłem jest nasza sfera. 9
Z definicji mamy Przypadek gdzie przyjęto, że Przypadek gdzie przyjęto, że Ilustracja graficzna 10
Ile wynosi energia potencjalna naładowanej sfery? Wyobraźmy sobie, że ładunek elektryczny jest przenoszony stopniowo z nieskooczoności na powierzchnię sfery. Niechaj w danej chwili czasu na sferze zgromadzony będzie ładunek q. Wtedy potencjał sfery jest równy Elementarna praca wykonana przez siłę zewnętrzną nad przeniesieniem ładunku dq z nieskooczoności na powierzchnię sfery jest równa gdzie wykorzystano wzór na potencjał sfery Zauważmy, że w przypadku ładunku punktowego praca siły zewnętrznej jest dwukrotnie większa. 11
Rozważmy sytuację zaprezentowana na kolejnym rysunku. Przedstawia on dwie metalowe sfery/kule o różnych promieniach, na których zgromadzone są różne ładunki. Sfery/kule łączymy przewodnikiem. Przez przewodnik zaczyna płynąd prąd, aż do momentu wyrównania się potencjałów. Niechaj ładunki zgromadzone po ustaniu przepływu prądu będą q 1 i q 2. Równośd potencjałów wymaga, aby co prowadzi do równości (o ile sfery/kule są dostatecznie daleko od siebie). Zauważmy, że natężenia pól elektrycznych na powierzchniach obu sfer/kul wynoszą, co pozwala wnioskowad, że Wniosek: Im mniejszy promieo krzywizny tym silniejsze pole elektryczne oraz gęstośd powierzchniowa ładunku elektrycznego. 12
Pole elektrostatyczne jednorodnie naładowanej ładunkiem Q nieprzewodzącej kuli o promieniu a Przypadek Z prawa Gaussa wynika, że gdzie jest ładunkiem zgromadzonym w kuli o promieniu r. Zatem i 13
Przypadek Z prawa Gaussa wynika, że Ilustracja graficzna 14
Przewodząca kula/sfera naładowana ładunkiem Q umieszczona w zewnętrznym polu elektrycznym E 0 1. Pole wewnątrz sfery/kuli jest równe zeru! jest indukowanym polem elektrycznym będącym wynikiem redystrybucji ładunków na powierzchni (we wnętrzu) sfery (kuli). W rezultacie suma wektorów natężenia pola zewnętrznego E 0 i wewnętrznego E wynosi zero. Opór elektryczny przewodników (metali) jest mały. Mówimy, że metale są dobrymi (a nawet bardzo dobrymi) przewodnikami prądu elektrycznego. Takie zachowanie się przewodnika umieszczonego w polu elektrycznym i duże przewodnictwo prądu (tj. łatwośd przepływu prądu) są spowodowane istnieniem w objętości przewodników (metali) swobodnych nośników prądu gazu elektronów swobodnych. Gaz elektronów w metalach reaguje po czasie rzędu s na zewnętrzne pole elektryczne, co powoduje przestrzenny rozdział ładunków elektrycznych w objętości metalu. Wytworzony rozkład ładunków jest źródłem pola elektrycznego, którego natężenie kompensuje całkowicie zewnętrzne pole elektryczne. 15
2. Ładunki są zgromadzone na powierzchni sfery/kuli. Jeśli byłoby inaczej, to w objętości metalu istniałoby niezerowe pole elektryczne, które powodowałoby przepływ ładunków elektrycznych (tj. swobodnych elektronów). Z tym hipotetycznym przepływem ładunków związane byłyby efekty cieplne (przepływ prądu powoduje ogrzewanie się metalu, o czym najlepiej świadczy doświadczenie). Jednak tego efektu nie obserwuje się. Innym źródłem uzasadnienia wyżej sformułowanego wniosku jest prawo Gaussa. Gdyby ładunek był zgromadzony we wnętrzu metalu, to otaczając wybraną (leżącą wewnątrz metalu) objętośd powierzchnią Gaussa, otrzymalibyśmy niezerowy strumieo pola przenikającego przez tę powierzchnię. Zatem w objętości metalu istniałoby pole elektryczne. Ale to jest sprzeczne z doświadczeniem, o czym była mowa wcześniej. Na powyższym rysunku linią przerywaną zaznaczono przekrój powierzchni Gaussa obejmującej wewnątrz metalu jego określoną objętośd. Uwaga: Na powierzchni metalu gęstośd powierzchniowa ładunków jest niezerowa i może zależed od miejsca położenia. Gęstośd tę oznaczamy zwyczajowo symbolem 16
3. Składowa styczna do powierzchni przewodnika wektora natężenie pola elektrycznego jest na tej powierzchni równa zeru. Na tym rysunku E n oznacza składową normalną do powierzchni przewodnika (conductor), a E t składową styczną. Pole ładunku stacjonarnego zgromadzonego na powierzchni metalu jest zachowawcze. Wobec tego całka po dowolnej krzywej zamkniętej z wektora natężenia pola elektrycznego jest równa zeru. W szczególności po drodze a b c d a z rysunku, całka ta wynosi i w granicy, gdy jednocześnie oraz zmierzają do zera musi byd spełniony warunek co jest możliwe, ze względu na, wtedy i tylko wtedy, gdy składowa styczna natężenia pola elektrycznego jest równa zeru, 17
Innym, fizycznym (doświadczalnym) uzasadnieniem tego wyniku, jest brak przepływu prądu po powierzchni przewodnika (metalu) umieszczonego w polu elektrostatycznym. Gdyby, to po powierzchni metalu płynąłby prąd elektryczny, czemu towarzyszyłoby wydzielanie się ciepła (temperatura powierzchni metalu rosłaby). Tego efektu jednak nie obserwujemy. Jeśliby istniał, mielibyśmy perpetuum mobile I rodzaju, czyli wiecznie działająca maszyna będąca nieskooczonym źródłem energii cieplnej. 4. Powierzchnia przewodnika umieszczonego w polu elektrostatycznym jest ekwipotencjalna Jeśli wybierzemy na powierzchni metalu dwa punkty A i B, to można im przypisad potencjały V A i V B, których różnica wynosi. Ostatnia równośd jest uzasadnieniem wniosku czwartego. 18
5. Wektor natężenia pola elektrycznego jest prostopadły do powierzchni zewnętrznej przewodnika Wniosek ten jest ponownie konsekwencją prawa Gaussa. Jeśli wybierzemy powierzchnię Gaussa tak, jak pokazuje rysunek ( powierzchnia fiolki na pigułki), to strumieo pola elektrycznego przez te powierzchnię jest równy zatem 19
Poniższy rysunek ilustruje linie sił pola elektrycznego wokół i w pobliżu powierzchni przewodnika umieszczonego w polu elektrycznym. Zauważmy, że małym promieniom krzywizny odpowiada silniejsze pole elektryczne (więcej linii sił pola), co świadczy o nierównomiernym rozkładzie ładunków elektrycznych (w tym przypadku dodatnich) na powierzchni przewodnika. Zauważmy jeszcze, że wartośd wektora natężenia pola elektrycznego doznaje skokowej zmiany na granicy przewodnikośrodek zewnętrzny równej 20
Pole przewodnika z ładunkiem we wnęce Wyobraźmy sobie, że przewodnik jest naładowany ładunkiem Q zgromadzonym na jego powierzchni. Ponadto w objętości przewodnika znajduje się wnęka powietrzna, w której umieszczono ładunek +q. Jaki jest ładunek na powierzchni przewodnika? Korzystając z prawa Gaussa i właściwości pola elektrycznego w przewodniku, które w jego objętości jest równe zeru, wnosimy, że na powierzchni wnęki zgromadził się ładunek q (tylko wtedy strumieo pola przez powierzchnię Gaussa z rysunku jest równy zeru). Oznacza to, że ładunek dodatni powierzchni wzrósł o +q (obowiązuje zasada zachowania ładunku elektrycznego) i wynosi Q+q. Gdyby przewodnik miał kształt kuli, a wnęka z ładunkiem byłaby umieszczona gdziekolwiek w jego objętości, to na zewnątrz kuli pole elektrostatyczne takiego układu miałoby natężenie równe 21
W poniższej tabeli zestawiono wyniki dotychczasowych obliczeo stosując prawo Gaussa. 22
Siła działająca na przewodnik Rozpatrzmy fragment (łatę=patch) powierzchni przewodnika, na którym zgromadzona gęstośd powierzchniowa ładunku elektrycznego wynosi. Ilustruje to rysunek, na którym pokazano wektory pola elektrycznego nad i pod powierzchnią fragmentu przewodnika. Jaka siła jest przyłożona do tego wyróżnionego fragmentu powierzchni przewodnika? W celu udzielenia odpowiedzi na tak postawione pytanie zapiszmy natężenie pola w dowolnym punkcie przestrzeni poza rozważanym fragmentem w postaci gdzie jest wkładem do ładunków zgromadzonych na, fragmencie powierzchni; ładunków powierzchniowych. jest natężeniem od pozostałych 23
Zauważmy, że Tak więc natężenie pola elektrycznego nad łatą jest równe oraz bezpośrednio pod łatą Pole jest ciągłe (po usunięciu łaty pole elektryczne jest ciągłe). Z tych dwóch równao wyznaczamy pole W przypadku przewodnika mamy więc 24
Zatem siła działająca na wybrany fragment przewodnika o powierzchni A umieszczonego w polu elektrycznym wynosi Jest to wartośd siły niezbędnej do przeniesienia ładunków na powierzchnię przewodnika do stanu równowagi (redystrybucji ładunków w przewodniku), który charakteryzuje zerowa wartośd natężenie pola elektrycznego wewnątrz przewodnika i niezerowa wartośd na zewnątrz przewodnika. Ponadto zauważmy, że bez względu na znak ładunku pole elektryczne przyciąga fragment (łatę) powierzchni. Ile wynosi ciśnienie p pola elektrycznego na rozważany fragment powierzchni przewodnika? Na podstawie wzoru ostatniego otrzymujemy szukaną wartośd ciśnienia.. Zauważmy, że wymiar tej wielkości jest równy N/m 2, co jest zgodne z wymiarem gęstości energii J/m 3. Zbieżnośd nie jest przypadkowa, ponieważ gęstośd energii pola elektrostatycznego między okładkami kondensatora wyraża się wzorem wyprowadzonym powyżej. 25
Podsumowanie 1. Strumieo elektryczny przenikający przez powierzchnię jest równy, gdzie jest kątem miedzy wektorami i. 2. W ogólnym przypadku strumieo pola elektrycznego przez dowolna powierzchnię wyraża się wzorem 3. Zgodnie z prawem Gaussa w próżni 4. Składowa prostopadła wektora natężenia pola elektrostatycznego doznaje skokowej zmiany (jest nieciągła) na płaszczyźnie naładowanej z gęstością powierzchniową ładunku równą. Wartośd tego skoku jest równa, jeśli płaszczyzna znajduje się w próżni. 5. Podstawowe właściwości przewodnika umieszczonego w polu elektrostatycznym: a. Natężenie pola elektrycznego w objętości przewodnika jest równe zeru b. Ładunki elektryczne są rozmieszczone na powierchni przewodnika c. Powierzchnia przewodnika jest ekwipotencjalna d. Składowa równoległa wektora natężenia pola elektrycznego jest ciągła na powierzchni przewodnika 26
e. Tuż nad powierzchnią przewodnika wektor natężenia pola elektrycznego jest prostopadły do powierzchni przewodnika. 6. Elektrostatyczne ciśnienie wywierana na powierzchnię przewodnika umieszczonego w polu elektrycznym jest równe. Uwaga ad pkt. 6. Wyobraźmy sobie przewodnik, jak na rysunku, umieszczony w polu elektrycznym. Teraz na wszystkie powierzchnie przewodnika oddziaływuje pole w opisany wyżej sposób. Wektory natężenia pola elektrycznego są pokazane za pomocą długich wektorów, które mają identyczny zwrot, tj. ku górze. Przeanalizujmy siłę przyłożoną do górnej powierzchni. Pole oddziaływuje na tę powierzchnię w ten sposób jakby rozciągało przewodnik w kierunku pionowym, ponieważ powstała siła ze 27
strony pola ciągnie (wciąga w pole) górną powierzchnię do góry. Można sobie wyobrażad to jako przyczepioną do górnej powierzchni rozciągniętą sprężynę, która stara się przyciągnąd przewodnik. Na rysunku przedstawia te siłę szeroki i jednocześnie krótki wektor umieszczony przy górnej powierzchni poniżej długiego wektora natężenia pola elektrycznego. Podobne rozważania można przeprowadzid dla dolnej powierzchni, która jest wciągana w pole siłą działającą pionowo w dół. Natomiast na ściany boczne przewodnika pole oddziaływuje naciskając ciśnieniem o wartości podanej wyżej. Przy czym kierunki sił polowych, są prostopadłe do powierzchni bocznych, a więc są prostopadłe także do wektora natężenia pola elektrycznego. Zauważamy, że mówiąc o górnej i dolnej powierzchni używaliśmy terminów: rozciąganie (w dół, w górę), przyciąganie, a analizując ściany boczne słowa: nacisk/naciskanie/ciśnienie. 28
Ruch ładunku elektrycznego w polu elektrycznym Wyobraźmy sobie, że ładunek elektryczny porusza się w górę w dodatnim kierunku osi OZ, a pole elektryczne jest skierowane w dół. Jego wektor natężenia wynosi Na ładunek działa siła skierowana w dół która jednostajnie spowalnia ruch ładunku i po skooczonym czasie spowoduje jego chwilowe zatrzymanie, zmieni zwrot jego prędkości. W efekcie ładunek zacznie przyspieszad zgodnie z kierunkiem pola. Ilustrują to dwa kolejne rysunki. Pierwszy z nich przedstawia linie sił pola elektrycznego skierowane w dół.., 29
Drugi rysunek przedstawia położenie ładunku w polu elektrycznym w chwili, gdy jego prędkośd jest równa zeru (ładunek zawraca). Jak można zinterpretowad rysunki za pomocą naprężeo (inaczej: nacisków, presji) emitowanych przez pole elektryczne i działających na ładunek w kierunku pionowym i skierowanych w dół? 30
Przyjrzyjmy się kolejnemu rysunkowi przedstawiającym ładunek otoczony hipotetyczną (myślowo skonstruowaną) współśrodkową sferą. Linie sił pola elektrycznego przenikające dolną częśd sfery transmitują nacisk (naprężenie) skierowany zgodnie z liniami pola, tj. w dół. Ten nacisk linii pola ciągnie ładunek w dół. Linie pola wpływające do górnej części hipotetycznej sfery wywierają nacisk skierowany także w dół. Linie te wywierają także ciśnienie na jej boczne powierzchnie, ale siły pochodzące od nich wzajemnie się znoszą. W efekcie powstaje wypadkowa siła przyłożona do ładunku i skierowana w dół. Widad również, że linie sił pola powyżej sfery zagęszczają się a poniżej rozrzedzają się. Animacja dostępna na stronie http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/visualizations/el ectrostatics/qinfield/chargeinfield_640.mpg Animacja i opisane zjawisko jest także przykładem zasady zachowania energii i zasady zachowania pędu. Początkowa energia kinetyczna ładunku jest zachowana. Wprawdzie początkowo 31
maleje, ale częśd energii jest przekazywana poprzez pole ładunkom, które są jego źródłem. Ładunki te nie są przedstawione ani na rysunku ani na animacji. Podobnie rzecz się ma z pędem układu, ruchomy ładunek żadne inne zewnętrzne siły. Ładunek elektryczny w zmiennym w czasie polu elektrycznym Jako kolejny przykład nacisków wywieranych na ładunki w polu elektrycznym rozpatrzymy ładunek dodatni umieszczony w początku układu odniesienia poddany działaniu zmiennego w czasie pola elektrycznego Poniższe rysunki są ilustracjami kolejnych animacji. 32
Adres strony, na której jest dostępna powyższa animacja: http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/visualizations/electros tatics/forceq/forceq_640.mpg Pierwszy z powyższych rysunków przedstawia Iinie sił dodatniego ładunku w chwili t=0, kiedy to pole elektryczne źródła jest równe zeru. Drugi rysunek przedstawia sytuację po czasie t=t/4. Wtedy pole elektryczne osiąga maksimum i wektor wypadkowej siły przyłożonej do ładunku ze strony źródła pola jest skierowany w dół. Uwagi dotyczące przekazywania oddziaływania, tzw. nacisków (presji) ze strony pola na ładunek, opisane szerzej nieco wcześniej, maja tutaj także zastosowanie do określenia wypadkowej siły działającej na ładunek umieszczony w polu zmiennym w czasie. 33
Ładunki elektryczne na wahadle matematycznym Dwa wahadła fizyczne, których punkty zawieszenie są ruchome, naładowano ładunkami jednoimiennymi. Poniższy rysunek jest fotografią zaczerpniętą z animacji dostępnej na stronie: http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/visualizations/el ectrostatics/pithballsrepel/pithrepel_640_new.mpg Rysunek pokazuje moment zbliżania się punktów podwieszenia wahadeł. Pole grawitacyjne ciągnie ładunki w dół, a pole elektryczne odpycha je wzdłuż linii łączącej ładunki. Pole elektryczne jest tutaj przykładem pola, które transmituje ciśnienie w kierunku prostopadłym do kierunku swego działania, czego widocznym rezultatem jest wyginanie się linii sił pola w obszarze 34
przestrzeni między ładunkami, gdy punkty zawieszenia wahadeł zbliżają się. Kolejny rysunek jest zaczerpnięty z animacji zamieszczonej pod adresem: http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/visualizations/electrostatics/pit hballsattract/pithattract_640.mpg, która demonstruje zachowanie się ładunków różnoimiennych umieszczonych na wahadle matematycznym Tym razem ponownie pole grawitacyjne ciągnie ładunki w dół, a pole elektryczne powoduje ich wzajemne przyciąganie się wzdłuż linii łączącej ładunki. Pole elektryczne jest tutaj przykładem pola, które transmituje wzajemne naciski w kierunku równoległym do kierunku swego działania. Jest to widoczne na animacji, gdy punkty podwieszenia zbliżają się. Tekst jest wolnym tłumaczeniem pliku guide04.pdf kursu dostępnego na stronie http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/visualizations/coursenotes/index.htm Wszystkie rysunki i animacje zaczerpnięto ze strony http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/visualizations/electrostatics/index.htm 35