Ciekawa teoria gier Teoria gier jest działem matematyki zajmującej się badaniem optymalnego zachowania jednostek, organizacji lub różnego rodzaju grup społecznych w przypadku konfliktu interesów. Wywodzi się z badań gier hazardowych. Stąd też posiada charakterystyczne dla niej słownictwo. Współcześnie w największej mierze zastosowanie znajduje w biologii (jej gałęzi zwanej socjobiologią), samej socjologii, ekonomii oraz informatyce. Teoria gier bada jak gracze (ludzie, firmy, gatunki) powinni racjonalnie rozgrywać gry aby osiągnąć w nich najwięcej korzyści. Nowoczesna teoria gier powstała w 1944 r., kiedy to von Neumann i Morgenstern wydali książkę "Teoria gier i zachowania w gospodarce". Obejmuje ona szeroki zarys problematyki dotyczącej sposobów modelowania sytuacji konfliktu lub kooperacji. Z takimi sytuacjami najczęściej mamy do czynienia na przykład na rynku ekonomicznym czy scenie politycznej. Jeżeli dwie konkurujące ze sobą firmy zamierzają wprowadzić na rynek jakiś nowy produkt, potrzebna jest im znajomość rynku, przyszłej koniunktury, zamierzeń konkurencji i wielu jeszcze innych pobocznych czynników. Każda z firm posługiwać się może inną strategią, w ten sposób - aby znając mocne i słabe strony konkurencji, osiągnąć jak największy zysk. Teoria gier cieszy się wyjątkowym uznaniem wśród naukowców jako dziedzina rokująca przyszłe znaczące odkrycia. Szczególnie jeśli chodzi o strategiczne nauki ekonomiczne i socjologiczne, które ze względu na istniejący od zarania dziejów konflikt interesów wynikający z podziału dóbr społecznych (rodzących nieczęsto bunty i rewolucje), od zawsze budziły najwięcej kontrowersji. Wielu jej badaczy i prekursorów zostało uhonorowanych prestiżową Nagrodą Nobla. Najbardziej znanym naukowcem (ze względu na produkcję kinową reżysera Rona Howarda Piękny umysł ) był John Nash. W ubiegłym roku 2005 dziedzina ta znowu doczekała się uznania przez komitet noblowski, Przyznał on kolejną w dziedzinie ekonomii prestiżową nagrodę. Naukowcami, którzy zostali wyróżnieni byli: Thomas C. Schelling i Robert J. Aumann. Thomas Schelling stosował teorię gier do analizy negocjacji międzynarodowych w okresie "zimnej wojny". Analizował zagadnienia dotyczące polityki wzajemnych ustępstw. Taką analizę można również stosować do negocjacji prowadzonych przez firmy. Robert Aumann zajmował się matematyczną analizą gier powtarzanych dotyczących różnych aspektów spotykanych w optymalnym zarządzaniu finansami. Jako ciekawostkę można wspomnieć, że samemu będąc głęboko religijnym Żydem, zbudował matematyczny model istotnego talmudycznego problemu podziału majątku oraz zobowiązań płatniczych po zmarłym (w przypadku kiedy majątek zmarłego-bankruta nie wystarcza na pokrycie jego zobowiązań). Jest to ciekawy problem uwzględniający również aspekty etyczne - jak powinien zostać podzielony majątek - czy na przykład proporcjonalnie nie uwzględniając w ogóle czynników etycznych czy też dać więcej tym których przyszłość jest w znaczący sposób uzależniona od zwrotu długu? Teoria gier nie zawsze rozpatruje sytuacje, w których wszyscy gracze są osobami czy instytucjami. Rozpatruje też sytuacje, w których jedna ze stron sytuacji konfliktowej jest bezosobowa i nie jest zainteresowana wygraną w grze, a tym samym osiągnięciem optimum swojej korzyści. Są to tzw. gry przeciwko naturze. Mamy z nimi do czynienie kiedy musimy się zmagać z nieprzewidywalnymi siłami przyrody, do jakich można zaliczyć: warunki klimatyczne odpowiadające za osiągniecie odpowiednich poziomów plonów rolnych czy też ogólną światową koniunkturę gospodarczą uzależnioną od nieprzewidywalnych konfliktów zbrojnych w strategicznych ekonomicznie obszarach świata. Grą przeciwko naturze jest na przykład sytuacja kształcenia przyszłych pracowników względem przydatności dostosowania ich szkoleń do określonego przyszłego niszu zawodowego na rynku pracy. Nigdy w chwili obecnej nie jest się w stanie przewidzieć czy przyszły rynek będzie odpowiadał tym umiejętnościom, które obecnie zdobywają szkolący się bezrobotni. Natomiast z pewnym prawdopodobieństwem można tylko przewidzieć przyszłe trendy i dlatego gracz (Urząd Pracy, Ministerstwo Pracy) powinien tak umiejętnie i najbardziej optymalnie przeznaczyć środki na obecne szkolenia, aby w grze z rynkiem bezrobocia w przyszłości, zyskać jak najwięcej. Teoria gier w przyrodzie - strategie ewolucyjnie stabilne Spójrzmy i zobaczmy w jaki sposób teoria gier znajduje swoją użyteczność w odzwierciedleniu i modelowaniu prostych systemów socjobiologicznych. 1
W pewnym lesie żyją ptaki i węże. Ptaki żywią się owocami drzew, węże niestety ptakami a że ciężko jest wężowi złapać ptaka, pozostaje im szukanie gniazd i polowanie na ich pisklęta. Wyobraźmy sobie ptaka broniącego gniazda z pisklętami przed wężem. Ma on do wyboru dwie opcje: wytrwale bronić gniazda licząc się z tym, że sam może przy tym zginąć (lub zostać poważnie okaleczonym) lub po prostu uciec zostawiając swoje pisklęta na pożarcie. Stosując drugą będzie mógł założyć gdzie indziej nowe gniazdo z nadzieją na to, że tam uda mu się już bezproblemowo odchować pisklęta. Strategia węża jest podobna. Może atakować broniącego ptaka licząc się z tym, że może mimo iż jest znacznie silniejszy, zostać w walce znacznie okaleczony (np. spaść z drzewa, stracić oczy itp.). W takim przypadku w przyszłości miałby znaczne problemy z dalszym sprawnym zdobywaniem pożywienia. Drugą strategię jaką może się kierować (w przypadku wyjątkowo odważnego i zdeterminowanego ptaka), to ustąpić, wycofać się i poszukać innej łatwiejszej zdobyczy - licząc na to, że jego kolejna ofiara po prostu szybko ucieknie, poprzez co nie będzie się on narażał na obrażenia jakie niesie ze sobą ewentualna walka. Może też oczywiście poszukać innej, mniej kalorycznej zdobycz, co będzie strategią bezpieczną, ale mało wydajną energetycznie. Będzie po prostu m usiał włożyć więcej energii w kosztowniejsze polowania na małą zdobycz. Ilość ptaków w lesie oraz węży jest ze sobą nawzajem połączona w łańcuchu pokarmowym. Jakie powinni być strategie postępowania węży i ptaków - tak, żeby były ewolucyjnie stabilne, gwarantujące tym samym trwanie ich wzajemnych populacji na pewnym stabilnym i niezmiennym poziomie? Poniższa tabela zawiera wypłaty i straty dla węży i ptaków w przypadku podjęcia przez nich określonych strategii zachowań. Wartości liczbowe (ustalane przez socjobiologów) wyrażają w sposób symboliczny, zależne od całego ekosystemu punkty określające zysk lub stratę w ewolucyjnej grze o przetrwanie. Jak można interpretować te liczby? Z tabeli widać, że najgorszą strategią dla węża i ptaka jednocześnie jest, gdy oba będą zdeterminowanie, żeby walczyć. W takim przypadku ich uszczerbek na zdrowiu wyniesie odpowiednio -30 punktów co jest strategią wyjątkowo niekorzystną. Jeżeli wąż przyjmie strategię nie ustępowania, a ptak ucieczki - wąż zyska łatwy posiłek bez uszczerbku na zdrowiu (50 punktów), a zysk ewolucyjny ptaka wyniesie 0 ze względu na to, że nie dochowa się potomstwa. Jeżeli wąż w przypadku aktywnej obrony gniazda przez ptaka, wybierze strategię ustąp, nic nie zyska (nie będzie posiłku) natomiast ptak zyskuje bardzo dużo - udało mu się obronić pisklęta (100 punktów). Jeżeli zarówno wąż i ptak już tylko na swój widok zdecydują się na ucieczkę - z ewolucyjnego punktu widzenia oboje nieznacznie zyskają. Ptak dlatego, że przy każdym niebezpieczeństwie uciekając (jeżeli tylko spostrzeże węża) i zostawiając swoje potomstwo, ma jednak szansę je wychować (licząc na przykład na to, że wąż nie zauważy jego gniazda) - ale strategia pozostawiania piskląt na pastę losu i liczenia na łut szczęścia jest dość ryzykowna. Strategię ustępowania węża (nawet przy pozorach ptaka, że będzie on zdeterminowany bronić piskląt) należy raczej rozważyć jako przypadek jego rezygnacji z kalorycznego posiłku względem poświęcenia czasu na polowanie na mniejszą zdobyczy, samemu jednak przy tym nie narażając się na żaden uszczerbek na zdrowiu. Wąż/Ptak broń gniazda Wybór z prawdopodobieństwem q uciekaj Wybór z prawdopodobieństwem (1-q) nie ustępuj Wybór z prawdopodobieństwem p -30/-30 50/0 ustąp Wybór z prawdopodobieństwem (1-p) 0/100 10/20 Z jakimi prawdopodobieństwami wąż i ptak powinny wybierać swoje strategie aby ich ewolucyjna gra o przetrwanie była stabilna? 2
Rozważmy problem wyboru ptaka. Jaka strategię ma się on kierować? Jeżeli ptak gra strategią broń gniazda, to jego zysk zależy od rodzaju strategii węża i wynosi odpowiednio p*(-30) (gdy wąż gra nie ustępuj z prawdopodobieństwem p) plus (1-p)*(100) (gdy wąż gra ustąp z prawdopodobieństwem 1-p). Jeżeli natomiast ptak gra strategią uciekaj, to jego zysk wynosi p*(0) (wybór strategii węża nie ustępuj ) plus (1-p)*(20) (wybór strategii węża ustąp ). Przyrównując oba wyrażenia: p*(-30)+(1- p)*(100)=p*(0)+(1-p)*(20), otrzymujemy wartość równania p=8/11. Analogiczne rozumowanie i kalkulacje możemy przeprowadzić dla strategii węża. Otrzymujemy wartość prawdopodobieństwa q=4/7. Strategią ewolucyjnie stabilną jest więc sytuacja, gdy ptak gra strategią broń gniazda z prawdopodobieństwem q=4/7, a z prawdopodobieństwem 1-(4/7)=3/7 strategią uciekaj. Wybór strategii węża to nie ustępuj z prawdopodobieństwem p=8/11 i ustępuj z prawdopodobieństwem 3/11. Przy stosowaniu takich strategii oba gatunki zapewniają sobie maksymalny zysk, jaki mogą odnieść w grze przeciwko sobie. Jeżeli ptak i wąż zastosują te strategie, to żaden z nich już nic więcej nie może zyskać na zmianie strategii. John Nash udowodnił, że każda gra dwuosobowa o sumie niezerowej (jak ta powyżej) ma co najmniej jedną taką równowagę (równowagę Nasha). Ogólnie wniosek jest z tego taki, że ptaki (jako ofiary drapieżników) zawdzięczają swoje przetrwanie (w pewnej stałej liczbie osobników) nieznacznej większości osobników, którzy potrafią odważnie bronić swojego potomstwa. Równowaga Nasha Równowaga Nasha jest podstawowym pojęciem w teorii gier. Opisuje ona racjonalne zachowania graczy, których strategia gry (każdego z nich) jest optymalna uwzględniając określone ustalone wybory jego oponentów. Innymi słowy określa taki plan postępowania uzależniony od wszystkich możliwych sytuacji, gdy żaden gracz działając samodzielnie, nie może - niezależnie od innych - polepszyć swojej sytuacji. W takim przypadku osiągnięta dla graczy równowaga staje się stabilna i żaden z nich nie ma powodów od niej odstępować. Istotnym jest fakt, że równowaga Nasha najczęściej nie jest efektywna w sensie tzw. Optimum Pareta, to znaczy istnieją inne możliwe rozwiązanie w grze, których zastosowanie jest w stanie polepszyć sytuacje określonych jednostek, ale odbędzie się to niestety kosztem pogorszenia sytuacji pozostałych. Ukaże to poniższy przykład grupy ludzi łączących się w pary na samotnej wyspie. Klasycznym przykładem nieefektywności Pareta jest pochodzący od wybitnego matematyka A.W. Tucker paradoks znany jako Dylemat Więźnia Dylemat Więźnia Jest to jednym z najważniejszych teoretycznych problemów teorii gier. Wyobraź sobie, ze Ty i Twój wspólnik zostaliście złapani na przestępstwie. Policja chce Wam zaproponować współpracę. Od waszych zeznań zależeć będzie, ile lat spędzicie w więzieniu. Problemem jest jednak to, ze nie możecie się porozumiewać, a tym samym ustalić korzystnej dla Was wspólnej wersji zeznań. Macie do wyboru dwie opcje, współpracować z organami władzy ( sypać ) lub nie ( siedzieć cicho ). A) Jeżeli oboje będziecie sypać - oboje dostaniecie po 10 lat, B) Jeżeli oboje będziecie siedzieć cicho - dostaniecie po 5 lat, C) Jeżeli tylko jeden z Was pójdzie na współpracę i będzie sypał dostanie niską karę jednego roku, a drugi, który będzie siedział cicho dostanie aż 20 lat. Jak byś postąpił? Na pierwszy rzut oka wydaje się, że opłaca się zeznawać, ale podobnie może myśleć Twój wspólnik. W przypadku gdybyście obaj nie sypali, wynik byłby o wiele lepszy dla Was obu. Zatem, podobnie jak w codziennym rzeczywistym życiu, wybór podyktowany interesem osobistym nie zawsze jest najlepszy. Tabela wypłat w Twojej grze pt. Dylemat Więźnia. Twój wybór / wybór Twojego wspólnika Sypię Siedzę cicho Sypie 10 / 10 20 / 1 Siedzi cicho 1 / 20 5 / 5 3
Jednym z rzeczywiście obserwowanych u więźniów popularnych rozwiązań jest dobrowolne przyjęcie na siebie kary i powstrzymanie się od sypania. Tak działają różne systemy honorowe, w tym również te w świecie przestępczym. Jeżeli obie strony uczestniczą w tego typu systemie honorowym i są świadome tego u wspólników, mogą zaryzykować odmowę współpracy z Policją, na czym obie zyskają. Dlatego charakterystyczne jest to, że więźniowie którzy łamią ten system honorowy i współpracują z Policją najczęściej spotykają się w więzieniu z różnego rodzaju prześladowaniami oraz poniżaniem. Genialny John Nash John Nash dokonał w teorii gier dwóch przełomowych odkryć, wprowadzając do tej dziedziny nauki dwóch znaczących pojęć znanych powszechnie jako równowaga Nasha (ang. Nash Equilibrium) oraz rozwiązanie przetargowe Nasha (ang. Nash Bargaining Solution). Przeszkodą w dalszych odkryciach w jego teoretycznych badaniach tej ciekawej dziedziny była jego choroba. Żył w odosobnieniu cierpiąc na schizofrenię paranoidalną, której sam źródeł upatrywał we własnym wysiłku umysłowym. Sam Nash pracował na uniwersytecie w Princeton, do dzisiaj krążą tam opowieści o jego geniuszu oraz dziwactwie wynikłym z choroby psychicznej. Chorobę tą jednak zdołał w długiej walce pokonać. Ukoronowaniem jego odkryć była przyznana w 1994 roku nagroda Nobla z ekonomii (wspólnie z pochodzącym z Węgier amerykańskim ekonomistą Johnem Harsanyim oraz niemieckim matematykiem Reinhardem Seltenem). O ile jego matematyczne teorie dla laika mogą być trudne do zrozumienie, to poniższy zabawny przykład z pewnością ukaże doniosłość ich znaczenia, nie tylko w poważnej dziedzinie nauki jaką jest ekonomia, ale także w planowaniu optymalnej metody podrywania. Jak optymalnie poderwać Kto oglądał film Piękny umysł z pewnością pamięta scenę, jak John Nash wpadł na swoją genialną teorię. Kilku mężczyzn w barze chciało poderwać grupę dziewczyn. W grupie tej wyróżniała się urodą pewna blondynka. Kadr z filmu z wypowiedzią Johna Nasha, olśnionego nagłą ideą swojego odkrycia, wygląda następująco: (John Nash):Nazywamy to lekcją Adama Smitha. Ojca współczesnej ekonomii. We współzawodnictwie, indywidualne ambicje służą wspólnemu dobru.... Każdy odpowiada za siebie. I odkładamy na bok przyjaźnie.... (kolega Nasha): Jeżeli nie weźmiesz się za blondynę, nikt się nie zabawi.... (John Nash): Adam Smith się mylił.... Tu chodzi o blondynkę. Najpierw wszyscy spróbują z nią... ale dostaną kopa... później pójdą po koleżanki... ale też się nie uda, bo nie chcą być tymi drugimi. A co jeżeli nikt nie ruszy na blondynkę? Nikt nie wejdzie sobie w drogę... i nie obrazimy pozostałych dziewczyn. I wszyscy wygrywają. To jedyny sposób, żeby się udało. Adam Smith powiedział, że każdy w grupie... powinien robić to co dla niego najlepsze. Tak powiedział... ale to nie jest pełne.... Trzeba wziąć poprawkę na grupę.... Każdy robi to co dla niego i dla grupy najlepsze - równocześnie. Sytuacja ta doprowadziła Johna Nahsa do sformułowania doniosłej i znaczącej w teorii gier koncepcji - zwanej na cześć odkrywcy równowagą Nasha. Postaram się jej użyteczność czytelnikom trochę przybliżyć w zagadnieniu (przynajmniej jak to zostało ukazane w filmie) jakim ją widział sam jej twórca. Sama teoria gier jest bardzo skomplikowaną dziedziną, ale na nasz użytek dotyczący podrywania, rozważmy hipotetyczną sytuację grupki ludzi na bezludnej wyspie. Taki zabawny przykład pozwoli nam zrozumieć jej główną ideę. Na samotnej wyspie znalazło się 8 osób. Cztery kobiety (Anna, Barbara, Celestyna, Dorota) i czterech mężczyzn (Edward, Filip, Grzegorz, Henryk). Każda z nich ma swoje osobiste preferencje, z którą osobą chciałaby przeżyć romans lub stworzyć związek. Oznacza to liczba w tabelce, tj. numer kandydata na swojej liście preferencji. Weźmy pierwszy wiersz z tabelki mężczyzn. Edward preferuje kolejno: Annę, Barbarę, Celestynę i na końcu Dorotę. Filip kolejno: Annę, Barbarę, Dorotę i Celestynę. I tak dla każdej osoby. Podobnie z kobietami. Anna preferuje na pierwszym miejscu Henryka, na drugim 4
Edward, potem Filipa i na końcu Grzegorza. Preferencje Celestyny i Doroty są takie same. Najbardziej podoba im się kolejno Filip, Edward, Henryk, Grzegorz. Ogólnie z tabeli widać następującą prawidłowość. Prawie wszystkim mężczyznom najbardziej podoba się Anna, ale może ją zdobyć tylko jeden z nich. Podobnie wszystkim kobietom najbardziej podoba się Filip, ale jest on tylko jeden i uszczęśliwić może tylko jedną z nich. Grzegorz z kolei nie podoba się żadnej z kobiet i najprawdopodobniej, gdyby to nie była samotna wyspa, zostałby starym kawalerem. Przedstawiają to poniższe tabele: Tabela preferencji mężczyzn Anna Barbara Celestyna Dorota Edward 1 2 3 4 Filip 1 2 4 3 Grzegorz 1 4 2 3 Henryk 3 1 2 4 Tabela preferencji kobiet Edward Filip Grzegorz Henryk Anna 2 3 4 1 Barbara 3 1 4 2 Celestyna 2 1 4 3 Dorota 2 1 4 3 Zobaczmy jak będzie wyglądało naturalne łączenie się w pary prowadzące do osiągnięcia sytuacji zwanej równowagą Nasha. Skoncentrujmy się na omówieniu tylko zalotów mężczyzn, gdyż w naszej zachodniej kulturze, to właśnie od nich wymagana jest inicjatywa w kontaktach męsko-damskich. (Poza tym autor artykułu jest mężczyzną, więc proszę mu na rzecz nauki wybaczyć to, że przedstawia męską perspektywę matematycznego sposobu zalotów). Zaznaczmy, że mężczyźni nie znają teorii gier względem tego, jak mogliby połączyć się w sposób najbardziej optymalny dla nich wszystkich. A szkoda!!!. Zaczynają swoje zaloty. Edward, Filip i Grzegorz starają się o względy Anny, Henryk o względy Barbary. Anna wybiera Edwarda, bo jest on najwyżej jej listy preferencji. Najbardziej podoba się jej jednak Henrykiem. Henryk jak to bywa w relacjach męsko-damskich, niestety (dla Anny) preferuje Barbarę. Barbara z powodu braku innych zalotników chwilowo akceptuje zaloty Henryka, choć sama byłaby szczęśliwa, gdyby mogła się związać z Filipem. Filip i Grzegorz, odrzuceni przez Annę, biorą się za następne dziewczyny na ich listach preferencji. Filip za Barbarę, Grzegorz za Celestynę. Kobieta zmienną jest więc Barbara, która do tej pory była z Henrykiem, zostawia go dla Filipa (jest on na jej liście preferencji wyżej niż Henryk). Natomiast Celestyna, którą do tej pory nikt się nie zainteresował, żeby nie zostać stara panną, akceptuje zaloty Grzegorza. Jest on ostatni na jej liście preferencji, ale zawsze lepsze to niż zostać samotną. Henryk rzucony przez Barbarę postanawia zdobyć serce drugiej na jego liście preferencji czyli serce Celestyny. Celestyna, która do tej pory jest z Grzegorzem, nieznacznie ale bardziej preferuje od niego Henryka, bezwzględnie zostawia więc dla niego Grzegorza. Grzegorz niestety zostaje sam. Do wzięcia pozostaje tylko osamotniona Dorota. Wszyscy oprócz ich dwójki znaleźli już sobie partnerów, więc tej dwójce pozostaje konieczność zadowolenia się nawzajem sobą. Niestety życie w tym względzie jest brutalne i dość często dzieje się tak, że nie każdy uklada sobie życie ze swoim ideałem. Na tym koniec. Proces ustalania wzajemnej relacji partnerów osiągnął stan stabilnej równowagi (w słownictwie teorii gier właśnie równowagi Nasha). Każdy odnalazł swoją drugą połowę: Edward związał się Anną, Filip z Barbarą, Henryk z Celestyną, a Grzegorz z Dorotą. Można zaryzykować stwierdzenia, że każdy jest już raczej ogólnie zadowolony. 5
Proces łączenia w pary dział się naturalnie, mężczyźnie nie znali teorii gier i pojęcia równowagi Nasha. Jeżeli by znali to czy mogliby wspólnie ustalić lepszą strategię podrywania tak, aby osiągnąć większe zadowolenie ze swoich partnerek? Oceńmy zadowolenie grupy mężczyzn z takiego rozwiązania i zobaczymy czy jest to sytuacja dla nich optymalna. Jak ocenić poziom satysfakcji całej grupy? Dodajmy liczby charakteryzujące poziom zadowolenia z odpowiednich partnerów z jakimi osoby te się związały. Im poziom ten jest niższy, tym oczywiście lepiej. Po prostu każdy musiał robić mniej ustępstw zadowalając się kolejnymi partnerami znajdującymi się na dalszych miejscach swoich listy preferencji. Dla mężczyzn (rozpatrywanych jako grupa) poziom satysfakcji wynosi 8, dla kobiet 10. Przy pomocy teorii gier możemy odkryć ze gdyby Anna związała się z Edwardem, Barbara z Henrykiem, Celestyna z Grzegorzem oraz Dorota z Filipem, poziom satysfakcji zarówno mężczyzn i kobiet, byłby większy i wynosił odpowiednio 7 i 9. Satysfakcja ludzi w grupie byłaby większa (Edwarda i Anny taka sama, bo matematyczne optimum znowu łączy ich w parę) oprócz indywidualnych satysfakcji Filip i Barbary. Związek tych osób powoduje mniejszą, korzystną dla ogółu wartość satysfakcji grupy zarówno tej męskiej jak i żeńskiej. Gdyby byli zdolni do altruizmu i potrafili poświęcić się dla innych, to 4 osoby (oprócz niezmiennej sytuacji Edwarda i Anny) czułyby się w swoich związkach lepiej kosztem właśnie tych dwóch osób. Jest to bardzo ciekawy przykład działania dla dobra wspólnego całej grupy, kosztem rezygnacji z własnych preferencji. Rozważmy jeszcze raz tą sytuację z uwzględnieniem, że teraz kobiety starają się w swoich zalotach o mężczyzn. Końcowa sytuacja wyglądałaby następująco: Anna związałaby się z Henrykiem, Celestyna z Edwardem oraz ponownie Barbara z Filipem i Dorota z Grzegorzem. Oceniając w takim przypadku satysfakcję grupy kobiet i mężczyzn jako całości, otrzymujemy odpowiednio 8 oraz 11. Co to oznacza? Kobiety, które przejęły inicjatywę w zalotach, jako cała grupa skończyły znacznie lepiej bardziej zadowolone, niż jakby pozostały bierne i pozwoliły, aby to mężczyźni się o nie starali. Jest to bardzo istotny przykład, gdyż mówi coś bardzo ważnego. Każdy kto pierwszy podejmuje inicjatywę w relacjach męsko-damskich zawsze wychodzi na tym znacznie lepiej niż jak przyjmuje postawę bierną. Warto o tym wiedzieć nie jest to tylko oczywisty truizm (który z pewnością każdy wie intuicyjnie), ale ma on swoje precyzyjne matematyczne uzasadnienie. Wszystkie powyższe zależności stosowane w dużej skali (większa liczba osób niż nasze przykładowe 8), mają sens tylko w przypadku, gdy w grupie nie wyróżnia się żadna charakterystyczna osoba, której wyjątkowa atrakcyjności zaburzałaby możliwości wypracowania odpowiedniego stanu satysfakcji wszystkich pozostałych. Jeżeli na przykład byłby na wyspie jakiś przystojny i znany aktor, obniżyłby w kobiecych oczach atrakcyjność pozostałych mężczyzn, a że mogłaby go zdobyć tylko jedna kobieta, poziom zadowolenia pozostałych przedstawicielek płci pięknej ze swoich partnerów byłby bardzo niski. Dlatego kreowanie przez mass-media pożądanych kobiecych ideałów (i odwrotnie, męskich idolek), z socjologicznego punktu widzenia, powoduje obniżenie satysfakcji ze swoich realnych partnerów, co ma w kulturach zachodnich przełożenie na większe skłonności do rozwodów. A jakie jest wyjście z tej sytuacji w przypadku, gdy osoba nad wyjątkowo atrakcyjna negatywnie wpływa na potencjalne zadowolenie całej grupy? Zachować się zgodnie z kadrem z filmu Piękny umysł. W filmie blondynka wyróżniająca się uroda i podobająca się wszystkim mężczyznom została matematycznie optymalnie zignorowana, co spowodowało, że pozostali mężczyźni zaczęli dobrze się bawić w towarzystwie jej koleżanek. I taka jest właśnie racjonalność matematyki, potrafi zrezygnować z piękna aby znaleźć takie rozwiązanie, które zadowoli jak największą liczbę osób. Powyższy sposób przedstawienia zagadnienia użyteczności teorii gier i związanej z nią równowagi Nasha w łączeniu ludzi w pary jest dość przesadzony, ale proszę zobaczyć jego użyteczność w przypadku organizowania przyjęcia. Znając listy preferencji poszczególnych osób, można wszystkich idealnie połączyć w pary, tak aby byli najbardziej zadowoleni i tym samym mogli się na nim dobrze bawić. W końcu przecież o to chodzi dla organizatora przyjęcia. Zapewnić jak największy komfort jego uczestnikom. Oczywiście uwzględniając fakt ogólnej nieznajomości teorii gier przez jego uczestników (choć ten artykuł powinien to zmienić) powinien on pamiętać o tym, żeby nie zapraszać wyjątkowo atrakcyjnych osób. 6