Instytut Łączności Praca statutowa nr 11.30.004.6 Opracowanie narzędzi analitycznych do wspomagania decyzji dotyczących wysokości opłat taryfikacyjnych i stawek rozliczeniowych na konkurencyjnym rynku telekomunikacyjnym Kontynuacja dr inż. Sylwester Laskowski Konsultacje: prof. dr hab. inż. Andrzej P. Wierzbicki Warszawa, grudzień 2006.
ii
Spis treści Wprowadzenie ix 1 Analiza zależności pomiędzy ustaloną, a preferowaną kolejnością ruchów w grze pojedynczej 1 2 Ustalona kolejność ruchów gracz A zna sposób rozegrania gry pojedynczej przez gracza B 7 2.1 Pierwszym ruchem w grze podwójnej jest proces negocjacji stawek rozliczeniowych na rynku hurtowym H................................ 8 2.1.1 W grze pojedynczej pierwszy rusza się gracz A (przypadek HAB).... 9 2.1.2 W grze pojedynczej pierwszy rusza się gracz B (przypadek HBA).... 15 2.2 Pierwszym ruchem w grze podwójnej jest proces ustalania cen na rynku detalicznym gracza A...................................... 18 2.2.1 Metoda wyboru strategii............................ 19 2.2.2 Przykład zastosowania metody........................ 30 3 Ustalona kolejność ruchów gracz A nie zna sposóbu rozegrania gry pojedynczej przez gracza B 41 3.1 Pierwszym ruchem w grze podwójnej jest proces negocjacji stawek rozliczeniowych na rynku hurtowym H................................ 42 3.1.1 W grze pojedynczej pierwszy rusza się gracz A: przypadek HAB..... 42 3.1.2 W grze pojedynczej pierwszy rusza się gracz B: przypadek HBA..... 54 3.2 Pierwszym ruchem w grze podwójnej jest proces ustalania cen na rynku detalicznym gracza A...................................... 90 4 Możliwość kształtowania kolejności ruchów w grze podwójnej 93 Zakończenie 97 iii
Bibliografia 100 iv
Spis tabel 1 Ilustracja pojęć strategia i wypłata.......................... x 1.1 Macierz wypłat graczy A i B w grze podwójnej, w której opłaca się graczowi A ukształtować grę pojedynczą, jako grę z preferencją drugiego............ 2 1.2 Macierz wypłat graczy w grze pojedynczej w przypadku, gdy w grze podwójnej została wybrana strategia h 1.............................. 3 1.3 Macierz wypłat graczy w grze pojedynczej w przypadku, gdy w grze podwójnej została wybrana strategia h 2.............................. 3 1.4 Macierz wypłat graczy A i B w grze podwójnej, w której opłaca się graczowi A ukształtować grę pojedynczą, jako grę z preferencją pierwszego.......... 4 1.5 Macierz wypłat graczy w grze pojedynczej w przypadku, gdy w grze podwójnej została wybrana strategia h 1.............................. 4 1.6 Macierz wypłat graczy w grze pojedynczej w przypadku, gdy w grze podwójnej została wybrana strategia h 2.............................. 4 1.7 Macierz wypłat graczy A i B w grze podwójnej, w której opłaca się graczowi A ukształtować grę pojedynczą, jako grę z preferencją pierwszego.......... 5 1.8 Macierz wypłat graczy w grze pojedynczej w przypadku, gdy w grze podwójnej została wybrana strategia h 1.............................. 6 1.9 Macierz wypłat graczy w grze pojedynczej w przypadku, gdy w grze podwójnej została wybrana strategia h 2.............................. 6 2.1 Macierz wypłat graczy A i B w grze podwójnej................... 10 2.2 Macierz wypłat graczy w grze pojedynczej w przypadku, gdy w trakcie negocjacji wybrana zostanie strategia h 1............................. 10 2.3 Macierz wypłat graczy w grze pojedynczej w przypadku, gdy w trakcie negocjacji wybrana zostanie strategia h 2............................. 11 2.4 Macierz wypłat graczy A i B, której struktura umożliwia graczowi B stosowanie gróźb w trakcie negocjacji w grze podwójnej..................... 12 v
2.5 Zmodyfikowana macierz wypłat w grze h 2...................... 13 2.6 Macierz wypłat graczy A i B, której struktura umożliwia graczowi B stosowanie gróźb w trakcie negocjacji w grze podwójnej..................... 14 2.7 Zmodyfikowana macierz wypłat w grze h 2...................... 14 2.8 Macierz wypłat w grze, w której gracz A powinien złożyć obietnicę, iż w przypadku wybrania strategii h 2, wybierze strategię a 2................... 15 2.9 Macierz wypłat w grze z ustaloną kolejnością HBA................. 16 2.10 Macierz wypłat w grze pojedynczej.......................... 21 2.11 Przykład gry, w której decyzja gracza A prowokuje gracza B do zmiany celu z indywidualnie efektywnego na antagonistyczny.................... 23 2.12 Ilustracja gry podwójnej, w której pierwszym ruchem jest ustalenie przez gracza A cen na rynku detalicznym, jako modelu gry przeciwko naturze, której strategiami są możliwe do przyjęcia przez obu graczy wyniki procesu negocjacji h l...... 29 2.13 Gra podwójna na rynku lokalnym........................... 31 2.14 Macierz wypłat z gry pojedynczej a 1......................... 32 2.15 Macierz wypłat z gry pojedynczej a 2......................... 34 2.16 Macierz wypłat z gry pojedynczej a 3......................... 35 3.1 Macierz wypłat w grze z ustaloną kolejnością HAB, w której gracz A nie zna sposobu rozegrania gry przez gracza B........................ 44 3.2 Odwaga gry w sposób antagonistyczny przez gracza B............... 57 3.3 Trudność z odczytaniem motywacji gracza B: mądrość, czy antagonizm?..... 57 3.4 Obawa gry w sposób antagonistyczny przez gracza B................ 58 3.5 Niepożądane z puntku widzenia gracza A dążenie gracza B do celu indywidualnie efektywnego....................................... 59 3.6 Przykład gry, w której korzystnym dla obu graczy jest poinformowanie gracza B na temat antagonistycznego celu, do jakiego dąży gracz A............. 60 3.7 Korzystna niewiarygodność.............................. 62 3.8 Zbieżność antagonizmów................................ 65 3.9 Przykład gry, w której maksymalnie antagonistyczny cel gracza A jest dla gracza B korzystny....................................... 66 3.10 Przykład gry, w której minimalnie antagonistyczny cel gracza A stanowić może najbardziej skuteczne narzędzie utrudnienia graczowi B realizacji jego celu.... 67 vi
3.11 Przykład gry, w której minimalnie antagonistyczny cel gracza A stanowić może najbardziej skuteczne narzędzie utrudnienia graczowi B realizacji jego celu. Cel maksymalnie i minimalnie antagonistyczny gracza A nie wskazują na tę samą strategię a i........................................ 68 3.12 Przykład gry, w której gracza B korzystna na fakcie, iż gracz A wysunął wobec niego groźbę....................................... 69 3.13 Macierz wypłat w grze podwójnej........................... 71 3.14 Macierz skalarnych wartości poszczególnych wyników gry, odzwieciedlających indywidualnie efektywny cel gracza A.......................... 72 3.15 Macierz wypłat w grze przeciwko naturze, uzyskana z macierzy skalarnych wartości poszczególnych wyników gry............................. 73 3.16 Macierz wypłat w grze podwójnej........................... 74 3.17 Macierz wypłat w grze podwójnej........................... 78 3.18 Macierz wypłat w grze podwójnej........................... 83 4.1 Macierz wypłat w grze pierwotnej........................... 95 4.2 Macierz wypłat w grze przekształconej........................ 95 vii
viii
Wprowadzenie Niniejsze opracowanie stanowi kontynuację studiów Autora nad tematyką strategicznych gier rynkowych, w celu wypracowania narzędzi analitycznych, użytecznych dla graczy rynkowych w procesie ustalania cen na rynku detalicznym jak też wspomagających w procesie negocjowania stawek rozliczeniowych na rynku hurtowym. Opracowanie jest bezpośrednią kontynuacją prac o tym samym tytule realizowanych w latach 2004-2005. W rozumieniu teorii gier [17, 21, 22] sytuację konkurencji na rynku usług telekomunikacyjnych traktować należy jako wielokryterialną, wieloosobową grę o sumie niezerowej [4], w której poszczególni gracze, przedsiębiorstwa telekomunikacyjne dążą do realizacji określonej polityki. Miarę stopnia realizacji tej polityki stanowią określone kryteria oceny (funkcje wypłaty) takie jak zysk, udział w rynku, jakość świadczonych usług, wielkość ponoszonych kosztów czy wielkość generowanego ruchu. Szczególnym przypadkiem jest sytuacja, w której dane przedsiębiorstwo w sposób istotny rozpatruje tylko jedno z kryteriów oceny. W rozumieniu teorii gier sytuację tę określimy jako grę jednokryterialną. Wartość funkcji wypłaty w jednokryterialnej grze rynkowej zależy bezpośrednio od decyzji podjętej przed dane przedsiębiorstwo (danego gracza). W wielu przypadkach wartość ta uzależniona jest również od decyzji konkurentów. Decyzje graczy dotyczące sposobu rozegrania gry rynkowej nazywamy strategiami gry. Tabela 1 ilustruje wzajemną zależność między pojęciami strategii i wypłaty dla dwóch graczy - gracza A i gracza B. Jest to tzw. macierz wypłat. W macierzy tej zilustrowano wypłaty zarówno gracza A, jak i gracza B. Gracz A ma tu do wyboru cztery strategie a 1, a 2, a 3 i a 4. Gracz B natomiast strategie b 1, b 2, b 3 i b 4. Jeśli gracz A wybierze strategię a i, a gracz B strategię b j, to otrzymają oni w ten sposób wypłaty - odpowiednio V A i,j i V B i,j. Przyjmujemy, iż funkcja wypłaty bazuje na modelu popytu świadczonych usług i/lub modelu ponoszonych z tego tytułu kosztów. Przykładem tego rodzaju gry rynkowej jest gra o maksymalizację zysku, o maksymalizację udziału w rynku, czy minimalizację ponoszonych kosztów. Zgodnie z dotychczasową konwencją dla określenia strategii gry wprowadzimy następującą definicję: Definicja 0.0.1 Jednostką usługową - SU Anpm nazywamy elementarną część m usługi bądź ix
Tabela 1: Ilustracja pojęć strategia i wypłata. b 1 b 2 b 3 b 4 a 1. a 2............ [V2,3 A, VB 2,3 ]...... a 3. a 4. usług, świadczonych przez przedsiębiorstwo A, w n-tej strefie numeracyjnej, dla użytkownika o profilu p, z którą związana jest pobierana od użytkownika opłata P Anpm. Korzystając z powyższej definicji jednostki usługowej SU Anpm oraz odpowiadającej jej ceny P Anpm zdefiniujemy pojęcie strategii: Definicja 0.0.2 Strategią a i przedsiębiorstwa A nazywamy zbiór par {(SU Anpm, PAnpm i )}. W niniejszym opracowaniu skupiono uwagę na tzw. grze podwójnej. W grze tej udział bierze dwóch rzeczywistych graczy (przedsiębiorstwa telekomunikacyjne): gracz A, którego strategiami są jego (A) ceny na rynku detalicznym (a i ) oraz gracz B, którego strategiami są jego (B) ceny na rynku detalicznym (b j ). W grze tej udział bierze również hipotetyczny gracz H, którego strategie reprezentują możliwe wyniki procesu negocjacji stawek rozliczeniowych na rynku hurtowym (h l ). Ruchy poszczególnych graczy reprezentowane są przez procesy ustalania cen na odpowiednich rynkach: A proces ustalania cen na rynku detalicznym gracza A, B proces ustalania cen na rynku detalicznym gracza B, H proces negocjacji stawek rozliczeniowych pomiędzy graczami A i B (ruch hipotetycznego gracza H). Gra podwójna to zgodnie z wcześniej wprowadzoną definicją [9, 11] sytuacja growa, w której żaden z procesów ustalania cen nie został zakończony. Procesy te są rozłączne 1. Analiza gier podwójnych stanowi w istocie łącznik pomiędzy grami dwuosobowymi (w szczególności grą przeciwko naturze i 2-osobową grą pojedynczą o sumie niezerowej) a grami wieloosobowymi, stanowiąc swoisty fundament i zalążek właściwej analizy tych ostatnich. Jest tak w szczególności w przypadkach, gdy pierwszym ruchem w grze podwójnej jest proces ustalania cen na 1 Sytuacje, w których dwa procesy przebiegają jednocześnie uznać można za szczególny przypadek gry pojedynczej [9, 11]. x
rynku detalicznym przez danego gracza, np. A. W tej sytuacji, podejmując decyzję wyboru określonej strategii gry, gracz ten musi się liczyć z tym, że ostateczny wynik gry znany będzie dopiero po ustaleniu strategii przez dwóch pozostałch graczy: H i B. Znamienne jest to, iż gracz A ma dość ograniczony wpływ na decyzję gracza H i praktycznie nie ma go w przypadku gracza B. W tym sensie sytuacja ta jest zbliżona do gry w której udział bierze trzech graczy, co stanowi najprostszy przypadek gry wieloosobowej. Rozpatrywane w niniejszej pracy przypadki stanowią też zalążek analizy gier wielokryterialnych. Jest tak pomimo faktu, iż w rzeczywistości gracze biorą udział w grze jednokryterialnej, rozumianej jako takie w tym sensie, że rozpatrują tylko jedną własną funkcję wypłaty, np. zysk lub udział w rynku. Element wielokryterialności pojawia się jednakże w kontekście definicji celu, do jakiego gracze mogą dążyć. Cel ten w szczególności obejmuje nie tylko stosunek do własnej funkcji wypłaty (zasadniczo jego maksymalizację), ale również stosunek do funkcji wypłaty drugiego gracza. Objawia się to w szczególny sposób wówczas, gdy gracze zmierzają do celów antagonistycznych próbując z jednej strony maksymalizować wartość własnej funkcji wypłaty, a z drugiej w jakiejś mierze minimalizować wartość funkcji wypłaty drugiego gracza. Odnaleźć więc tu można swoistą analogię do przypadku gry, w której gracz kieruje się optymalizacją dwóch własnych funkcji wypłaty, np. zysku (kryterium maksymalizowane) i ponoszonych kosztów (kryterium minimalizowane), co stanowi najprostszy przypadek gry wielokryterianej. xi
xii
Rozdział 1 Analiza zależności pomiędzy ustaloną, a preferowaną kolejnością ruchów w grze pojedynczej Rozpatrujemy przypadek, w którym kolejność graczy jest z góry ustalona i niemożliwa do zmiany. W grze podwójnej będziemy więc mieli sześć sekwencji ruchów graczy: ABH, AHB, BAH, BHA, HAB, HBA. Ponieważ w wyniku ustalenia ceny na jednym z rynków sytuacja decyzyjna przekształca się z gry podwójnej w grę pojedynczą [9, 11], pierwszy ruch w grze podwójnej równoznaczny jest z wyborem gry, w jaką gracze grali będą w grze pojedynczej. Pierwszy ruch w grze podwójnej umożliwia więc danemu graczowi odpowiednie ukształtowanie struktury gry pojedynczej. Pierwszy ruch w grze podwójnej traktować zatem należy jako pozycję w tym sensie uprzywilejowaną. Z punktu widzenia gracza A uszeregowania BAH i BHA mogą być rozpatrywane jako gra pojedyncza (AH i HA), bowiem dla niego gra rozpoczyna się dopiero od momentu, gdy gracz B ustali już swoje ceny na rynku detalicznym (B) 1. W pozostałych przypadkach, a więc AHB, HAB, ABH i HBA w pierwszym ruchu gracz A ma możliwość określenia (przypadki AHB i ABH) lub wpłynięcia na określenie (przypadki HAB i HBA) rodzaju gry, jaka będzie rozgrywana w drugiej fazie rodzaj gry pojedynczej. Wcześniejsze analizy [9] doprowadziły nas do sformułowania pojęć: gry z preferencją pierwszego oraz gry z preferencją drugiego. Gra z preferencją pierwszego to gra, w której w sytuacji, gdy obaj gracze rozgrywają grę o sumie niezerowej (znają nawzajem swoje macierze wypłat), korzystnie dla obu jest ruszyć się jako pierwszy. Gra z preferencją drugiego zaś, to gra, w której 1 Jest to stwierdzenie prawdziwe przy założeniu, że gracz A nie może bezpośrednio lub pośrednio wpływać na decyzje cenowe gracza B na rynku detalicznym. 1
2 ROZDZIAŁ 1. ANALIZA ZALEŻNOŚCI POMIĘDZY USTALONĄ, A PREFEROWANĄ KOLEJNOŚCIĄ RUCHÓW W GRZE POJEDYNCZEJ w sytuacji, gdy obaj gracze rozgrywają grę o sumie niezerowej, korzystniej dla obu jest ruszyć się jako drugi. Wobec powyższego można by przypuszczać, iż dla dla uszeregowań AHB oraz HAB celem gracza A winien być taki wybór strategii gry w pierwszym ruchu (a i dla przypadku AHB i h l dla przypadku HAB), który doprowadzi do uzyskania w drugiej fazie gry (gry pojedynczej) gry z preferencją pierwszego, czyli sytuacji, w której dla obu graczy korzystniej byłoby ruszyć się jako pierwszemu. Zaś dla uszeregowań ABH oraz HBA celem gracza A winien być taki wybór strategii gry w pierwszym ruchu (a i dla przypadku ABH i h l dla przypadku HBA), który doprowadzi do uzyskania w drugiej fazie gry (gry pojedynczej) gry z preferencją drugiego, czyli sytuacji, w której dla obu graczy korzystniej byłoby ruszyć się jako drugi 2. Jest to jednakże intuicja błędna, co zostanie wykazane na poniższym przykładzie Przykład 1.1 Rozważmy przykład, w którym kolejność ruchów graczy jest ustalona w następujący sposób: HAB. Pierwszym ruchem w grze są więc negocjacje stawek rozliczeniowych (ruch hipotetycznego gracza H), po którym rozgrywana ma być gra pojedyncza (AB), w której najpier gracz A ustala swoje ceny na rynku detalicznym (A), a następnie ceny te ustala gracz B (B). Intuicja podpowiada, że ponieważ w grze pojedynczej (AB) gracz A będzie musiał wykonać ruch jako pierwszy, w trakcie negocjacji cen na rynku hurtowym (ruch gracza H) powinien dążyć do wyboru takiej strategii h l, która ukształtuje przyszłą grę pojedynczą, jako grę z preferencją pierwszego. Rozważmy macierz wypłat graczy jak w tabeli 1.1. Tabela 1.1: Macierz wypłat graczy A i B w grze podwójnej, w której opłaca się graczowi A ukształtować grę pojedynczą, jako grę z preferencją drugiego. h 1 h 2 b 1 b 2 b 1 b 2 a 1 [3,3] [2,4] a 1 [6,5] [5,6] a 2 [4,2] [1,1] a 2 [5,6] [6,5] Jeśli w trakcie negocjacji zostanie wybrana strategia h 1, wówczas w grze pojedynczej rozgrywana będzie gra z macierzą wypłat jak w tabeli 1.2. Jeśli w trakcie negocjacji zostanie wybrana 2 Przypuszczenie to wynika z faktu wyraźnie i nieodwołalnie ustalonej kolejności ruchów graczy. Nakreślane tu intuicyjne przypuszczenie sugeruje, że graczowi A winno zależeć na takim ukształtowaniu gry pojedynczej, w której preferowana kolejność ruchów odpowiadała będzie kolejności ustalonej.
3 strategia h 2, wówczas w grze pojedynczej rozgrywana będzie gra z macierzą wypłat jak w tabeli 1.3. Tabela 1.2: Macierz wypłat graczy w grze pojedynczej w przypadku, gdy w grze podwójnej została wybrana strategia h 1. b 1 b 2 a 1 [3,3] [2,4] a 2 [4,2] [1,1] Tabela 1.3: Macierz wypłat graczy w grze pojedynczej w przypadku, gdy w grze podwójnej została wybrana strategia h 2. b 1 b 2 a 1 [6,5] [5,6] a 2 [5,6] [6,5] Gra z macierzą wypłat jak w tabeli 1.2 jest grą z preferencją pierwszego, zaś gra z macierzą 1.3 grą z preferencją drugiego. Widać jednakże, iż nawet przy założeniu, iż w grze pojedynczej gracz A musi wykonać ruch jako pierwszy, korzystniej dla niego jest rozgrywać grę 1.3. Grając w grę 1.2 gracz A może zapewnić sobie maksymalną wypłatę równą V A 1 (a 2) = 4, jeśli wybierze strategię a 2, a w odpowiedzi gracz B wybierze strategię b 1, maksymalizującą jego wypłatę V B 2 (b j), dla ustalonej strategii gracza A. Grając zaś w grę 1.3 gracz A (przy konieczności wykonania ruchu jako pierwszy) zapewnić sobie może wypłatę równą conajmniej 5, niezależnie od tego, jaką wybierze strategię. Widać więc, iż mimo konieczności wykonywania ruchu jako pierwszy w grze pojedynczej, graczowi A może opłacać się zabiegać o to, by w trakcie negocjacji wybrana została taka strategia (h l ), która doprowadzi do sformułowania gry pojedynczej, jako gry z preferencją drugiego. W analogiczny sposób wykazać można, iż w przypadku, gdy w grze pojedynczej gracz A musiałby ruszyć się jako drugi (np. sekwencja BA), korzystniej może być dla niego wybrać taką strategię w grze podwójnej (h l w grze HBA), która doprowadzi do konieczności rozgrywania w drugiej fazie (gra pojedyncza) gry z preferencją pierwszego.
4 ROZDZIAŁ 1. ANALIZA ZALEŻNOŚCI POMIĘDZY USTALONĄ, A PREFEROWANĄ KOLEJNOŚCIĄ RUCHÓW W GRZE POJEDYNCZEJ Przykład 1.2 Załużmy, że macierz wypłat przedstawia się jak w tabeli 1.4, a kolejność ruchów określona jest przez sekwencję HBA. Tabela 1.4: Macierz wypłat graczy A i B w grze podwójnej, w której opłaca się graczowi A ukształtować grę pojedynczą, jako grę z preferencją pierwszego. h 1 h 2 b 1 b 2 b 1 b 2 a 1 [4,4] [3,5] a 1 [2,1] [1,2] a 2 [5,3] [2,2] a 2 [1,2] [2,1] Jeśli w trakcie negocjacji zostanie wybrana strategia h 1, wówczas w grze pojedynczej rozgrywana będzie gra z macierzą wypłat jak w tabeli 1.5. Jeśli w trakcie negocjacji zostanie wybrana strategia h 2, wówczas w grze pojedynczej rozgrywana będzie gra z macierzą wypłat jak w tabeli 1.6. Tabela 1.5: Macierz wypłat graczy w grze pojedynczej w przypadku, gdy w grze podwójnej została wybrana strategia h 1. b 1 b 2 a 1 [4,4] [3,5] a 2 [5,3] [2,2] Tabela 1.6: Macierz wypłat graczy w grze pojedynczej w przypadku, gdy w grze podwójnej została wybrana strategia h 2. b 1 b 2 a 1 [2,1] [1,2] a 2 [1,2] [2,1] Gra z macierzą wypłat jak w tabeli 1.5 jest grą z preferencją pierwszego, zaś gra z macierzą 1.6 grą z preferencją drugiego. Widać jednakże, iż nawet przy założeniu, iż w grze pojedynczej
5 gracz A musi wykonać ruch jako drugi, korzystniej dla niego jest rozgrywać grę 1.5. Grając w grę 1.6 gracz A może zapewnić sobie maksymalną wypłatę równą 2, niezależnie od tego, jaką strategię w pierwszym ruchu wybierze gracz B. Grając zaś w grę 1.5 gracz A może sobie zapewnić wypłatę równą conajmniej 3. Widać więc, iż mimo konieczności wykonywania ruchu jako drugi w grze pojedynczej, graczowi A może opłacać się zabiegać o to, by w trakcie negocjacji wybrana została taka strategia (h l ), która doprowadzi do sformułowania gry pojedynczej, jako gry z preferencją pierwszego. Rzecz jasna zachodzić mogą również przypadki, w których ustalona kolejność ruchów graczy pokrywać się będzie z punktu widzenia gracza A z preferencją ruchów w grze pojedynczej. Przykład 1.3 Rozważmy przykład, w którym kolejność ruchów graczy jest ustalona w następujący sposób: HAB. Załużmy, że macierz wypłat graczy przedstawia się jak w tabeli 1.7. Tabela 1.7: Macierz wypłat graczy A i B w grze podwójnej, w której opłaca się graczowi A ukształtować grę pojedynczą, jako grę z preferencją pierwszego. h 1 h 2 b 1 b 2 b 1 b 2 a 1 [4,4] [3,5] a 1 [2,1] [1,2] a 2 [5,3] [2,2] a 2 [1,2] [2,1] Jeśli w trakcie negocjacji zostanie wybrana strategia h 1, wówczas w grze pojedynczej rozgrywana będzie gra z macierzą wypłat jak w tabeli 1.8. Jeśli w trakcie negocjacji zostanie wybrana strategia h 2, wówczas w grze pojedynczej rozgrywana będzie gra z macierzą wypłat jak w tabeli 1.9. Gra z macierzą wypłat jak w tabeli 1.8 jest grą z preferencją pierwszego, zaś gra z macierzą 1.9 grą z preferencją drugiego. W tym przypadku opłaca się graczowi A zabiegać, by w trakcie negocjacji została wybrana strategia h 1 co doprowadzi do ukształtowania gry pojedynczej, jako gry z preferencją pierwszego (tabela 1.8), co jest zgodne z ustaloną kolejnością ruchów (HAB), w ramach której w grze pojedynczej (AB) gracz A wykonywał będzie ruch jako pierwszy. W przypadku rozgrywania gry z macierzą wypłat jak w tabeli 1.8, gracz A zapewnić sobie może wypłatę równą conajmniej 3, jeśli wybierze strategię a 1, a przy założeniu, że gracz B w swych decyzjach
6 ROZDZIAŁ 1. ANALIZA ZALEŻNOŚCI POMIĘDZY USTALONĄ, A PREFEROWANĄ KOLEJNOŚCIĄ RUCHÓW W GRZE POJEDYNCZEJ Tabela 1.8: Macierz wypłat graczy w grze pojedynczej w przypadku, gdy w grze podwójnej została wybrana strategia h 1. b 1 b 2 a 1 [4,4] [3,5] a 2 [5,3] [2,2] Tabela 1.9: Macierz wypłat graczy w grze pojedynczej w przypadku, gdy w grze podwójnej została wybrana strategia h 2. b 1 b 2 a 1 [2,1] [1,2] a 2 [1,2] [2,1] kierował się będzie wyłącznie maksymalizacją własnej funkcji wypłaty, gracz A zapewnić sobie może wypłatę równą 5 jeśli wybierze strategię a 2. W przypadku gry z macierzą wypłat jak w tabeli 1.9 gracz A spodziewać się może wypłaty równej 1. Łatwo podać analogiczny przykład, dla przypadku, gdy gracz A w grze pojedynczej musi wykonać ruch jako drugi. Analogicznej różnorodności przypadków spodziewać się należy również z punktu widzenia gracza B. Z powyższych rozważań wynika twierdzenie, iż pomiędzy dwoma celami wyboru strategii gry w grze podwójnej: ustaleniem preferencji ruchów w grze pojedynczej zgodnej z ustaloną kolejnością ruchów oraz maksymalizacja (optymalizacja) własnej funkcji wypłat może, lecz nie musi zachodzić zbieżność. W szczególnych przypadkach (przykłady 1.1 i 1.2) cele te mogą być sprzeczne (strategia maksymalizująca wartość funkcji wypłaty może prowadzić do ukształtowania gry pojedynczej, jako gry z preferencją kolejności ruchów niezgodną z punktu widzenia danego gracza z kolejnością ustaloną). Łatwo wykazać, iż analogiczna zbieżność lub sprzeczność zachodzić może w przypadku gracza B.
Rozdział 2 Ustalona kolejność ruchów gracz A zna sposób rozegrania gry pojedynczej przez gracza B Rozważamy przypadek, gdy w grze podwójnej gracz A wykonuje ruch jako pierwszy 1 (czy to w sensie ustalenia cen na rynku detalicznym A, czy w sensie negocjowania cen na rynku hurtowym H). Wybór określonej strategii gry gracz A uzależnia od celu, jaki chce osiągnąć, jak również od przewidywanego sposobu rozegrania gry przez gracza B (jego celu). W szczególności cele te mogą polegać na dążeniu do maksymalizacji (ogólnie optymalizacji) własnej funkcji wypłaty, który określimy jako cel indywidualnie efektywny i/lub na dążeniu do pogorszenia wartości wypłaty drugiego gracza (cel antagonistyczny [9]). Wybór strategii gry w grze podwójnej jest równoznaczny z wyborem gry, jaką gracze rozegrają w drugiej fazie, co określić można jako wybór struktury 2 gry pojedynczej. W przypadku gdy gracz A jest w stanie przewidzieć sposób rozegrania gry pojedynczej przez obu graczy (rozumiany jako cel do jakiego dążą indywidualnie efektywny lub antagonistyczny), co równoznaczne jest z możliwością przewidzenia wybranych przez nich strategii, a więc i precyzyjnego określenia wyniku gry, wybór strategii gry w grze podwójnej jest zadaniem prostym: gracz A powinien wybrać taką strategię w pierwszym ruchu gry podwójnej, która będzie prowadziła do uformowania takiej gry pojedynczej, której wynik rozegrania będzie z jego punktu widzenia najbardziej korzystny. Sytuacja ulegnie skomplikowaniu wówczas, gdy gracz A nie będzie w stanie 1 Zgodnie z wcześniejszym ustaleniem przypadek, gdy gracz B rusza się jako pierwszy w grze podwójnej (sekwencje BAH i BHA) traktowany może być z punktu widzenia gracza A jako gra pojedyncza (odpowiednio AH i HA), bowiem dopiero w grze pojedynczej gracz A może wykonać pierwszy rych. 2 Rozumianej jako macierz wypłat graczy w tej grze. 7
8 ROZDZIAŁ 2. USTALONA KOLEJNOŚĆ RUCHÓW GRACZ A ZNA SPOSÓB ROZEGRANIA GRY POJEDYNCZEJ PRZEZ GRACZA B precyzyjnie określić, jaką strategię gry przyjmie w grze pojedynczej gracz B. Oba przypadki rozpatrzymy osobno. Przez sposób rozegrania gry pojedynczej rozumiemy cel, do jakiego dążą gracze w trakcie rozgrywania gry. W szczególności cel ten może być celem indywidualnie efektywnym, czyli opartym o zasadę optymalizacji własnej funkcji wypłaty, bądź też celem antagonistycznym, nastawionym w jakiejś mierze na pogorszenie wartości wypłaty drugiego gracza. W przypadku, gdy któryś z graczy dążył będzie do realizaji celu antagonistycznego przyjmiemy, iż znajomość sposobu rozegrania gry oznacza znajomość konkretnej strategii antagonistycznej, jaką będzie się on kierował 3. W związku z tym, poza przypadkami niejednoznacznych strategii [9], znajomość celu, do jakiego dąży gracz B pozwala graczowi A w sposób jednoznaczny określić strategię b j, jaką gracz B wybierze w trakcie rozgrywania gry pojedynczej. Racjonalny sposób rozegrania gry podwójnej przez gracza A w przypadku, gdy zna on cel do jakiego dążył będzie gracz B rozważymy w dwóch osobnych przypadkach: Pierwszym ruchem w grze podwójnej jest proces negocjacji stawek rozliczeniowych na rynku hurtowym H Pierwszym ruchem w grze podwójnej jest proces ustalania cen na rynku detalicznym gracza A 2.1 Pierwszym ruchem w grze podwójnej jest proces negocjacji stawek rozliczeniowych na rynku hurtowym H W przypadku, gdy pierwszym ruchem w grze podwójnej jest proces negocjacji H, w grze pojedynczej będziemy mieli do czynienia z dwoma przypadkami: AB i BA. Przy założeniu, że gracz A zna sposób rozegrania gry przez gracza B (cel do jakiego będzie on dążył), dla przypadku AB gracz A może jednoznacznie ustalić, jaką strategię b j w grze pojedynczej wybierze gracz B. Wynika to z faktu, że decyzja na rynku detalicznym gracza B będzie ostatnim ruchem w grze, a zatem ustalone już będą strategie h l oraz a i, przez co łatwo będzie przełożyć cel gry gracza B, na konkretną strategię b j. Sytuacja będzie jednakże już trudniejsza, jeśli pierwszym ruchem w grze pojedynczej będzie B. W tej sytuacji jednoznaczne przełożenie celu do jakiego dąży gracz B na konkretną strategię 3 Np. dążenie do uzyskania optymalnej wartości własnej wypłaty przy jednoczesnym możliwie dużym pogorszeniu wypłaty drugiego gracza, dążenie do utrzymania wartości własnej wypłaty na określonym poziomie przy jednoczesnym możliwie dużym pogorszeniu wypłaty drugiego gracza, dążenie do uzyskania maksymalnej różnicy pomiędzy własną wartością wypłaty, a wypłatą drugiego gracza, czy wreszczie dążenie do maksymalnego pogorszenia wartości wypłaty drugiego gracza (na temat strategii antagonistycznych patrz [9]).
2.1. PIERWSZYM RUCHEM W GRZE PODWÓJNEJ JEST PROCES NEGOCJACJI STAWEK ROZLICZENIOWYCH NA RYNKU HURTOWYM H 9 b j możliwe jest jedynie wówczas, gdy gracz b wie, do jakiego celu dąży gracz A. Jeśli gracz B tego celu nie zna, jego wybór określonej strategii b j zależny będzie od tego, co myśli o tym, co zrobi gracz A. W ogólności więc jego wybór określonej strategii b j nie będzie już tak jednoznaczny, jak w przypadku, w którym proces B miałbyć ostatnim ruchem w grze (przypadek HAB). Oba przypadki rozpatrzymy osobno. 2.1.1 W grze pojedynczej pierwszy rusza się gracz A (przypadek HAB) Jeśli pierwszym ruchem w grze podwójnej będzie proces negocjacji H, a pierwszym ruchem w grze pojedynczej ustalenie przez gracza A cen na rynku detalicznym wówczas gracz A może w sposób prosty przełożyć cel do jakiego dąży gracz B na konkretną strategię b j. Przy założeniu znajomości strategii b j, jaką gracz B wybierze w grze pojedynczej, gracz A może w sposób jednoznaczny określić wynik gry pojedynczej: wartości wypłaty obu graczy, jako wynik wyboru strategii b j przez gracza B i strategii a i przez gracza A, której znajomość dla A jest oczywista. W rozważanym przypadku struktura gry pojedynczej, czyli macierze wypłat graczy zależą od wybranej uprzednio strategii h l w ramach gry podwójnej, zatem wynik gry pojedynczej zależny jest od wybranej strategii h l. Określona gra pojedyncza jest zatem jedną z L gier, dostąpnych poprzez wybór określonej strategii h l. Wynik l-tej gry pojedynczej określimy więc jako [Vl A, Vl B ]. Proces decyzyjny gracza A w grze podwójnej, w przypadku znajomości sposobu rozegrania przez gracza B gry pojedynczej sprowadza się do wyboru takiej strategii h l (przy założeniu, że proces H jest pierwszym ruchem w grze), który prowadzi do najkorzystniejszego z punktu widzenia gracza A wektora wypłat [Vl A, Vl B ]. Jest to problem dwukryterialny. Gracz A rozegrać go może w sposób indywidualnie efektywny lub antagonistyczny. W przypadku rozegrania gry w sposób indywidualnie efektywny gracz A dążył będzie do wybrania takiej strategii ĥl, dla której zachodzi zależność: ĥ l = arg max Vl A. (2.1) l Rozgrywając grę w sposób antagonistyczny gracz A, wybór określonej strategii h l zależny będzie od siły nastawienia antagonistycznego gracza A. W sytuacji minimalnego antagonizmu gracz A dążył będzie do wyboru strategii: { h l = arg lex max l Vl A, V B W sytuacji maksymalnego antagonizmu zaś do wyboru strategii: { h l = arg lex min l Vl B l }. (2.2) }, Vl A. (2.3) Przykłady innych (pośrednich) strategii antagonistycznych opisane zostały w pracy [9]. Opisane podejście zilustrujemy na przykładzie.
10 ROZDZIAŁ 2. USTALONA KOLEJNOŚĆ RUCHÓW GRACZ A ZNA SPOSÓB ROZEGRANIA GRY POJEDYNCZEJ PRZEZ GRACZA B Przykład 2.1 Rozważmy przykład gry z macierzą wypłat jak w tabeli 2.1. Na rynku detalicznym gracza A dostępne są trzy strategie: a 1, a 2 i a 3. Na rynku detalicznym gracza B również dostępne są trzy strategie: b 1, b 2 i b 3. W ramach negocjacji stawek na rynku hurtowym dostępne są dwie strategie: h 1 oraz h 2. Wymogi prawne, zawarte uprzednio umowy z użytkownikami końcowymi (na rynkach detalicznych) jak też dotychczasowa umowa interconnectowa wymuszają następującą kolejność ruchów w grze: HAB. Problem sformułować można w formie pytania: o wybór której ze strategii h l powinien zabiegać w trakcie negocjacji H gracz A wiedząc, iż gracz B w grze pojedynczej wybierze strategię minimalnie antagonistyczną postaci 2.3? Tabela 2.1: Macierz wypłat graczy A i B w grze podwójnej. h 1 h 2 b 1 b 2 b 3 b 1 b 2 b 3 a 1 [2,1] [3,3] [2,3] a 1 [2,1] [1,2] [3,2] a 2 [2,2] [1,3] [3,1] a 2 [3,2] [2,1] [2,2] a 3 [3,2] [1,2] [2,1] a 3 [2,1] [1,2] [2,2] Rozwiązywanie problemu rozpoczynamy od analizy każdej z gier pojedynczych. Jeśli w trakcie negocjacji stawek rozliczeniowych (w grze podwójnej) zostanie wybrana strategia h 1, wówczas macierz wypłat graczy w grze pojedynczej będzie miała postać jak w tabeli 2.2. Jeśli w grze Tabela 2.2: Macierz wypłat graczy w grze pojedynczej w przypadku, gdy w trakcie negocjacji wybrana zostanie strategia h 1. b 1 b 2 b 3 a 1 [2,1] [3,3] [2,3] a 2 [2,2] [1,3] [3,1] a 3 [3,2] [1,2] [2,1] podwójnej wybrana zostanie strategia h 2, wówczas macierz wypłat w grze pojedynczej będzie miała postać 2.3. Dla uproszczenia grę pojedynczą, odpowiadającą wyborowi w grze podwójnej strategii h 1 określimy jako h 1, zaś grę odpowiadającą strategii h 2 h 2.
2.1. PIERWSZYM RUCHEM W GRZE PODWÓJNEJ JEST PROCES NEGOCJACJI STAWEK ROZLICZENIOWYCH NA RYNKU HURTOWYM H 11 Tabela 2.3: Macierz wypłat graczy w grze pojedynczej w przypadku, gdy w trakcie negocjacji wybrana zostanie strategia h 2. b 1 b 2 b 3 a 1 [2,1] [1,2] [3,2] a 2 [3,2] [2,1] [2,2] a 3 [2,1] [1,2] [2,2] Wynik każdej z gier pojedynczych zależy nie tylko od strategii gracza B (cen na jego rynku detalicznym), ale również od strategii gracza A. Załóżmy, iż gracz A kierował się będzie również strategią minimalnie antagonistyczną, dążąc w pierwszej kolejności do maksymalizacji własnej funkcji wypłaty, a w przypadku niejednoznaczności, wybierze tę strategię, która da mniejszą wypłatę graczowi B. W pierwszej kolejności gracz A określa oczekiwany wynik każdej z gier pojedynczych h l. Gra h 1 W grze h 1, jeśli gracz A wybierze strategię a 1, gracz B wybierze strategię b 3 i ustali się wynik [2, 3]. Jeśli gracz A wybierze strategię a 2, gracz B wybierze strategię b 2 i ustali się wynik [1, 3]. Jeśli gracz A wybierze strategię a 3, gracz B wybierze strategię b 2 i ustali się wynik [1, 2]. Wobec tego, kierując się strategią minimalnie antagonistyczną w grze h 1, gracz A wybrałby strategię a 1 co dałoby wynik [2, 3]. Gra h 2 W grze h 2, jeśli gracz A wybierze strategię a 1, gracz B wybierze strategię b 2 i ustali się wynik [1, 2]. Jeśli gracz A wybierze strategię a 2, gracz B wybierze strategię b 3 i ustali się wynik [2, 2]. Jeśli gracz A wybierze strategię a 3, gracz B wybierze strategię b 3 i ustali się wynik [2, 2]. Wobec tego, kierując się strategią minimalnie antagonistyczną w grze h 1, gracz A wybrałby strategię a 2, co dałoby wynik [2, 2]. Zakładając znajomość sposobu rozegrania każdej z gier pojedynczych przez gracza B gracz A może w sposób jednoznaczny określić spodziewany wynik każdej z nich. I tak w grze h 1 gracz A spodziewa się wyniku [V1 A, V 1 B] = [2, 3], zaś w grze h 2 wyniku [V2 A, V 2 B ] = [2, 2]. Wobec tego, kierując się strategią minimalnie antagonistyczną postaci { } h l = arg lex max Vl A, Vl B, (2.4) l gracz A dążył będzie do wybrania w trakcie negocjacji strategii h 2, co w wyniku rozegrania później gry h 2 powinno doprowadzić do wyniku [V2 A, V 2 B ] = [2, 2].
12 ROZDZIAŁ 2. USTALONA KOLEJNOŚĆ RUCHÓW GRACZ A ZNA SPOSÓB ROZEGRANIA GRY POJEDYNCZEJ PRZEZ GRACZA B W przedstawionym wyżej przykładzie założono, że w obu grach h 1 i h 2 gracz B dąży do tego samego celu: maksymalizacji własnej funkcji wypłaty, a w przypadku niejednoznaczności do minimalizacji wypłaty gracza A (strategia minimalnie antagonistyczna). Rzecz jasna tak być nie musi. Struktura (macierz wypłat) każdej z gier pojedynczych może zachęcać gracza B, do kierowania się różnymi kryteriami w każdej grze, bowiem dla każdej z nich współczynnik zachęty do gry w sposób antagonistycznych Υ Bmax i czy też wyrażony w wartościach względnych Υ Bmax i = V i Bmax = V i Amax V Amax i V Bmax i (Vi Amax (Vi Bmax V A min i V B min i V A min, (2.5) i ) V B min i ), (2.6) może przyjmować różną wartość [9]. Może to stanowić element przetargowy w trakcie negocjacji rozgrywanych w pierwszej fazie gry (w grze podwójnej). Gracz B może grozić graczowi A, iż w przypadku, gdy negocjacje zakończą się wybraniem określonej strategii h l, w odpowiadającej jej grze pojedynczej h 2 gracz B kierował się będzie strategią wyjątkowo niekorzystną dla gracza A. Przykład 2.2 Rozważmy przykład gry z macierzą wypłat jak w tabeli 2.4. Załóżmy, iż kolejność ruchów graczy ustalona została w sposób niezależny od woli graczy, jako sekwencja HAB. Tabela 2.4: Macierz wypłat graczy A i B, której struktura umożliwia graczowi B stosowanie gróźb w trakcie negocjacji w grze podwójnej. h 1 h 2 b 1 b 2 b 1 b 2 a 1 [1,4] [5,5] a 1 [4,6] [4,5] a 2 [5,5] [1,4] a 2 [4,6] [4,5] Załóżmy ponadto, iż strategia h 1 jest strategią rekomendowanych cen przez regulatora rynku, którą obaj gracze mogą w każdej chwili wybrać czy to na zasadzie wzajemnej decyzji, czy też na skutek arbitrażu regulatora. W przypadku gdy obaj gracze kierują się w swych decyzjach maksymalizacją własnej funkcji wypłaty (strategia indywidualnie efektywna), wybór strategii
2.1. PIERWSZYM RUCHEM W GRZE PODWÓJNEJ JEST PROCES NEGOCJACJI STAWEK ROZLICZENIOWYCH NA RYNKU HURTOWYM H 13 h 1 jest dla gracza A korzystny, bowiem spodziewanym wynikiem tej gry jest para: [V A 1, V B 1 ] = [5, 5]. Z puntku widzenia gracza B byłoby jednak lepiej, gdyby w negocjacjach została wybrana strategia h 2, to bowiem zapewniłoby, iż wynikiem gry będzie para: [V2 A, V 2 B ] = [4, 6], co jest dla gracza B rozwiązaniem korzystniejszym. W tej sytuacji gracz B może wysunąć groźbę, iż jeśli gracz A nie zgodzi się na ustalenie cen na rynku hurtowym na poziomie odpowiadającym strategii h 2, tylko zerwie negocjacje i odwoła się do arbitrażu regulatora, gracz B w grze h 1 dążył będzie do ustalenia wyniku [V1 A, V 1 B ] = [1, 4]. Należy stwierdzić, iż groźba ta jest dość wiarygodna, bowiem strata gracza B w rezultacie doprowadzenia do wyniku [V1 A, V 1 B ] = [1, 4] jest znacząco mniejsze aniżeli strata gracza A. Gracz B ponadto może uczynić swoją groźbę bardziej wiarygodną, jeśli uda mu się jakimś sposobem zmienić wartość niektórych wypłat w grze h 1. Jeśli w grze h 1 macierz wypłat przyjęłaby postać jak w tabeli 2.5, wówczas groźba doprowadzenia do wyniku [V1 A, V 1 B ] = [1, 4], byłaby o tyle wiarygodna, że gracz B na jej zrealizowaniu nic by nie tracił. V1 B = 4 jest bowiem największą wartością jaką w tej grze gracz B może uzyskać. Tabela 2.5: Zmodyfikowana macierz wypłat w grze h 2. b 1 b 2 a 1 [1,4] [5,4] a 2 [5,4] [1,4] Prostą rzeczą byłoby podać przykład sytuacji, w której gracz B może wysuwać groźbę, jeśli w grze pojedynczej musiałby ruszyć się jako pierwszy. Struktura macierzy wypłat w grze pojedynczej może także inspirować graczy do składania obietnic w trakcie rozgrywania gry podwójnej, iż w przypadku wybrania określonej strategii w trakcie negocjacji, w grze pojedynczej nie będą grali w sposób antagonistyczny, lub też nawet, że zagrają w sposób altruistyczny, godząc sią na własną stratę z pewną korzyścią dla drugiego gracza. Przykład 2.3 Rozważmy przykład gry z macierzą wypłat jak w tabeli 2.6. Załóżmy, iż kolejność ruchów graczy ustalona została w sposób niezależny od woli graczy, jako sekwencja HAB. Załóżmy ponadto, iż strategia h 1 jest strategią rekomendowaną przez regulatora. Wynikiem maksymalizującym wypłatę obu graczy jest tu wynik [V2 A, V 2 B ] = [5, 5], który ustali się wówczas, gdy w
14 ROZDZIAŁ 2. USTALONA KOLEJNOŚĆ RUCHÓW GRACZ A ZNA SPOSÓB ROZEGRANIA GRY POJEDYNCZEJ PRZEZ GRACZA B Tabela 2.6: Macierz wypłat graczy A i B, której struktura umożliwia graczowi B stosowanie gróźb w trakcie negocjacji w grze podwójnej. h 1 h 2 b 1 b 2 b 1 b 2 a 1 [4,4] [4,4] a 1 [5,1] [5,1] a 2 [4,4] [4,4] a 2 [5,5] [5,5] ramach gry pojedynczej gracze rozegrają grę h 2 i gracz A wybierze strategię a 2. Słusznie jednak gracz B może się obawiać, iż jeśli w trakcie negocjacji zostanie wybrana strategia h 2, gracz B zagra w sposób antagonistyczny i nic na tym nie tracąc wybierze strategię a 1, co doprowadzi do najgorszego w całej grze wyniku dla gracza B. W tej sytuacji gracz B może preferować wybór strategii h 1 co da mu pewną wypłatę równą 4. Jeśli tylko gracz A dąży do maksymalizacji własnej funkcji wypłaty, korzystnym jest dla niego złożyć w trakcie negocjacji (w grze podwójnej) obietnicę, iż jeśli tylko gracz B zgodzi się na wybór strategii h 2, on w grze pojedynczej wybierze strategię a 2. Wiarygodność takiej obietnicy zwiększy się wówczas, gdy gracz A jakimś sposobem zmodyfikuje swoją macierz wypłat tak, by wybór strategii a 1 był i dla niego niekorzystny. Przykładowa modyfikacja macierzy wypłat z gry h 2 podana jest w tabeli 2.7. Tabela 2.7: Zmodyfikowana macierz wypłat w grze h 2. b 1 b 2 a 1 [1,1] [1,1] a 2 [5,5] [5,5] Obietnica wyboru strategii a 2 w grze h 2 byłaby wręcz konieczna wówczas, gdyby macierz wypłat w grze h 2 przedstawiała się jak w tabeli 2.8. W tej sytuacji gracz B dążył będzie do wyboru w grze podwójnej strategii h 1, słusznie obawiając się, że w grze h 2 gracz A wybierze niekorzystną dla niego strategię a 1. W tej sytuacji w interesie gracza A jest złożyć obietnicę, iż w przypadku rozgrywania gry h 2 wybierze strategię a 2. Deklaracja wyboru strategii a 2 w grze h 2 jest w istocie deklaracją rozegrania gry h 2 w sposób altruistyczny, bowiem strategia a 2 jest dla gracza A w tej grze gorsza aniżeli strategia a 1. Jest to jednakże posunięcie korzystne, bowiem prowadzi do wyniku lepszego ([5, 5]), niż w przypadu
2.1. PIERWSZYM RUCHEM W GRZE PODWÓJNEJ JEST PROCES NEGOCJACJI STAWEK ROZLICZENIOWYCH NA RYNKU HURTOWYM H 15 Tabela 2.8: Macierz wypłat w grze, w której gracz A powinien złożyć obietnicę, iż w przypadku wybrania strategii h 2, wybierze strategię a 2. h 1 h 2 b 1 b 2 b 1 b 2 a 1 [4,4] [4,4] a 1 [6,1] [6,1] a 2 [4,4] [4,4] a 2 [5,5] [5,5] rozgrywania gry h 1 ([4, 4]). Zarówno wysuwanie gróźb jak i składanie obietnic w grze podwójnej, w której toczą się negocjacje może być posunięciem wiarygodnym, który doczekałby się spełnienia jeśli zaszłyby określone warunki, jak też zwykłym blefem. Z tym faktem gracze powinni się liczyć. Wiarygodność ta wzrasta wówczas, gdy macierz wypłat gracza wysuwającego groźbę lub składającego obietnicę zostaje zmodyfikowana w sposób podobny jak w przypadku macierzy 2.5 oraz 2.7, kiedy to dotrzymanie groźby lub obietnicy przestaje wiązać się ze stratą gracza, który je wysuwa. 2.1.2 W grze pojedynczej pierwszy rusza się gracz B (przypadek HBA) Przypadek, w którym w grze pojedynczej pierwszy ruch wykona gracz B jest dla gracza A trudniejszy z punktu widzenia analizy przeprowadzanej w grze podwójnej. Wynika to z faktu, iż znajomość celu (indywidualnie efektywnego lub antagonistycznego), do jakiego dążył będzie gracz B nie daje się w każdym przypadku przełożyć w sposób jednoznaczny na wybór konkretnej strategii b j. Byłoby to możliwe jedynie wówczas, gdy gracz B znałby sposób rozegrania gry pojedynczej przez gracza A, a więc wiedział, jak na jego strategię b j odpowie gracz A. Z punktu widzenia rozgrywania gry podwójnej wartym rozważenia przez gracza A jest więc przekazanie przez niego informacji graczowi B na temat planowanego sposobu rozegrania określonej gry pojedynczej. Jest z resztą ku temu znakomita sposobność, w trakcie przeprowadzania w grze podwójnej procesu negocjacji H. W ten sposób, składając w trakcie negocjacji obietnice i/lub groźby wyboru określonych strategii a i w odpowiedzi na dane strategie b j, gracz A może nie tylko pozbywać się niepewności, odnośnie tego, którą strategię w grze pojedynczej wybierze gracz B, ale jednocześnie ułatwiać sobie wybór określonych strategii h l w grze podwójnej. W tej sytuacji kluczową kwestią staje się wiarygodność składanych obietnic i gróźb oraz podatność gracza B na to, by w nie uwierzyć.
16 ROZDZIAŁ 2. USTALONA KOLEJNOŚĆ RUCHÓW GRACZ A ZNA SPOSÓB ROZEGRANIA GRY POJEDYNCZEJ PRZEZ GRACZA B Warto w tym miejscu podkreślić, iż termin obietnica jest w tym miejscu pojęciem bardziej ogólnym, aniżeli używano go dotychczas. W dotychczasowych rozważaniach terminu obietnica używaliśmy w kontekście, gdy dany gracz (A) zobowiązywał się do wyboru określonej strategii, jeśli tylko drugi gracz (B) wybrałby pożądaną przez niego strategię. Owo zobowiązanie kryło w sobie pewną stratę, którą gracz składający obietnicę zobowiązywał się ponieść. Było to o tyle sensowne, że gdyby takiej obietnicy nie złożył, drugi gracz (B) wybrał by inną strategię, która w efekcie dała by graczowi pierwszemu (A) wypłątę jeszcze gorszą. Użyte natomiast w tym miejscu słowo obietnica oznacza deklarację określonego sposobu rozegrania gry (być może różnego dla różnych strategii b j ), jednoznacznego poinformowania, którą ze strategii gracz A wybierze, dla każdej ze strategii b j (i to zarówno w przypadkach takich strategii b j, w przypadku których składanie obietnic rozumianych jak powyżej nie byłoby konieczne). Przykład 2.4 Załóżmy, że macierz wypłat graczy przedstawia się jak w tabeli 2.9. Kolejność ruchów graczy jest ustalona w sposób następujący HBA. O wybór której ze strategii h l winien zabiegać gracz A? Tabela 2.9: Macierz wypłat w grze z ustaloną kolejnością HBA. h 1 h 2 a 1 a 2 a 1 a 2 b 1 [1,3] [3,4] b 1 [1,5] [4,4] b 2 [2,2] [1,1] b 2 [3,1] [2,2] Aby odpowiedzieć na to pytanie, należy prześledzić możliwe sposoby rozegrania poszczególnych gier pojedynczych h l. W szczególności, należy odpowiedzieć na pytanie, którą ze strategii b j w każdej z gier pojedynczyh wybierze gracz B. Załóżmy, że gracz ten dąży do celu indywidualnie efektywnego, a więc zainteresowany jest wyłącznie maksymalizacją własnej funkcji wypłaty. Załóżmy też, iż takt ten jest znany dla gracza A. Rozważmy grę h l. Wyboru, której ze strategii b j powinien się tu spodziewać gracz A? Odpowiedź nie jest prosta i zależna jest od tego, co gracz B myśli na temat sposobu rozegrania gry przez gracza A. Jeśli założy, iż gracz A dążył będzie do celu indywidualnie efektywnego, lub minimalnie antagonistycznego, wówczas w interesie gracza B jest wybór strategii b 1, co sprawi,
2.1. PIERWSZYM RUCHEM W GRZE PODWÓJNEJ JEST PROCES NEGOCJACJI STAWEK ROZLICZENIOWYCH NA RYNKU HURTOWYM H 17 że w odpowiedzi gracz A wybierze strategię a 2, przez co ustali się wynik [3, 4]. Co jednakże się stanie, jeśli gracz gracz B będzie przypuszczał, że gracz A zagra w sposób bardziej antagonistyczny? Wówczas uzasadnioną jest jego obawa, że w odpowiedzi na strategię b 1 zostanie wybrana strategia a 1, co silniej pogorszy wypłatę gracza B, aniżeli gracza A (wynik [1, 3]). W tej sytuacji gracz B może być skłonny wybrać strategię b 2, ufając, że gracz A wybierze strategię b 2 co doprowadzi do nieefektywnego wyniku [2, 2]. Jakiego sposobu rozegrania gry h 2 przez gracza B może się spodziewać gracz A? Jeśli gracz A nie złoży wiarygodnej obietnicy wyboru strategii a 2 w odpowiedzi na strategii b 1, wówczas z pewnością gracz B wybierze strategię b 2, co doprowadzi do wyniku [2, 2] (jeśli gracz A odpowie strategią a 2. Wynik ten nie jest efektywny. Widać zatem, iż w rozważanym przykładzie w interesie gracza A będzie poinformowanie gracza B o tym, które strategie zamierza wybrać, jako odpowiedź na poszczególne strategie b j 4. Warto zwrócić uwagę na fakt, iż charakter obietnicy gracza A w obu grach: h 1 i h 2 będzie różny. W grze h 1 obietnica wyboru strategii a 2 w odpowiedzi na strategię b 1 jest w istocie deklaracją, iż gracz A nie będzie chciał pogorszyć wypłaty gracza B (samemu nic na tym nie tracąc). Natomiast w grze h 2 obietnica wyboru strategii a 2 w odpowiedzi na strategię b 1 jest już deklaracją zagrania w sposób, który przyniesie stratę (względem strategii a 1 ) graczowi A, co jednocześnie przyniesie korzyść graczowi B. W pierwszym więc przypadku gracz A deklaruje rozegranie gry w sposób nie antagonistyczny, w drugim - w kontekście ustalonej strategii b 1 - w sposób silnie altruistyczny. Jeśli więc przyjąć, iż gracz A dąży do celu indywidualnie efektywnego, to opłaca mu się poinformować gracza B, iż w obu grach w odpowiedzi na strategię b 1 wybierze strategię a 2. W tym wypadku nie będzie dla niego miało znaczenia, która ze strategii h l zostanie w grze podwójnej wybrana 5. Jeśli gracz A dążył będzie do celu antagonistycznego wówczas winien zabiegać o wybór strategii h 1. Warto jednakże zauważyć, iż zabieganie o wybór strategii h 1 jest dla gracza B jasnym komunikatem, iż gracz A dąży do celu antagonistycznego, a więc słusznie można się obawiać, iż w grze h 1 w odpowiedzi na strategię b 1 wybierze strategię a 1. W efekcie gracz B może nie być skłonny wybrać w tej grze strategii b 1. Widać zatem, iż w tym przypadku sama struktura gry podwójnej niejako utrudnia graczowi A rozgrywanie gry w sposób antagonistyczny. Teoretycznie taki sposób rozegrania gry jest tu możliwy, jednakże zabiegania o taką możliwość osłabia wiarygodność składanej przez gracza A obietnicy. 4 Zagadnienia roli informacji o macierzy wypłat i strategiach graczy omawiane już były w [5, 9]. 5 Z punktu widzenia choćby dłuższej współpracy może się jednak okazać słusznym wybór strategii h 2, co da lepszy wynik graczowi B, bez straty dla gracza A. Będzie to na dodatek z punktu widzenia całej (podwójnej) gry - co w realnych warunkach rynkowych oznacza korzyść społeczną - wynik efektywny.
18 ROZDZIAŁ 2. USTALONA KOLEJNOŚĆ RUCHÓW GRACZ A ZNA SPOSÓB ROZEGRANIA GRY POJEDYNCZEJ PRZEZ GRACZA B Dla odmiany, zabieganie o wybór strategii h 2, w pewnym sensie umacnia wiarygodność gracza A, a w tym również wiarygodność obietnicy wyboru strategii a 2 w odpowiedzi na strategię b 1. Gracz B może jednakże się słusznie obawiać, że obietnica wyboru strategii a 2 jest w istocie blefem, a deteminacja w dążeniu do wyboru w trakcie negocjacji strategii h 2 jest w istocie wyrazem chęci uzyskania wyniku [1, 5]. Widać więc wyraźnie, iż niezależnie od kierunku starań gracza A w trakcie negocjacji H, gracz B może być skłonny wybrać strategię b 2. Krytyczną więc się staje kwestia wiarygodności składanych przez gracza A deklaracji. W jaki sposób winien rozgrywać grę podwójną gracz A jeśli uznaje, iż gracz B nie do końca wierzy jego obietnicom (choć ich prawdziwości nie wyklucza), a poprzez to niemożliwym jest jednoznaczne określenie, którą ze strategii b j gracz B wybierze? Warto w tym miejscu zauważyć, iż sytuacja, w której gracz A nie wie, jaką strategię w grze pojedynczej wybierze gracz B jest w sensie modelowym sytuacją analogiczną do tej, gdy w grze pojedynczej ustalane mają być ceny na rynku detalicznym gracza A oraz stawki rozliczeniowe na rynku hurtowym H. Wynika to z faktu, iż w tej drugiej sytuacji gracz A również nie wie, na jaką strategię w trakcie przeprowadzanych w grze pojedynczej negocjacji gracz B się zgodzi. Co więcej z faktu, że gracz A wie do jakiego celu dąży gracz B sytuację, w której ostatnim ruchem w grze jest proces A rozpatrywać można tak samo jak sytuację, w której ostatnim ruchem jest proces B, bowiem wybór określonej strategii a i przy ustalonym celu do jakiego dąży gracz A jest tak samo zdeterminowany, jak wybór określonej strategii b j, w przypadku, gdy znany dla gracza A jest cel do jakiego dąży gracz B. W ten sposób dochodzimy do wniosku, iż sytuację BA, w przypadku, gdy gracz A (mimo znajomości celu gracza B) nie potrafi jednoznacznie wskazać strategii, którą wybierze gracz B, możemy analizować w sposób identyczny (przy założeniu, że na rynku hurtowym nie ma strategii rekomendowanych, co łatwo uzyskać wykluczając z analizy tę strategię), jak sytuację HB, a więc sytuację, w której pierwszym ruchem w grze podwójnej jest proces ustalania cen na rynku detalicznym gracza A AHB. Problem ten omawiamy w następnym punkcie. 2.2 Pierwszym ruchem w grze podwójnej jest proces ustalania cen na rynku detalicznym gracza A Jeśli pierwszym ruchem w grze podwójnej będzie wybór przez gracza A jego cen na rynku detalicznym a i, wówczas określenie a priori wyniku określonej gry pojedynczej (oznaczmy jako a i ) jest zagadnieniem bardziej złożonym.