Estymacja parametro w 1 1 Estymacja punktowa: średniej, odchylenia standardowego i frakcji µ - średnia populacji h średnia z próby jest estymatorem średniej populacji = - standardowy błąd estymacji średniej = - standardowy błąd estymacji średniej! = " #"! &'" estymator wariancji populacji =! estymator odchylenia standardowego populacji = ) frakcja elementów wyróżnionych w próbie jest estymatorem frakcji w populacji = * +,"#+, standardowy błąd estymacji frakcji Zad.1.1 Waga 11 wylosowanych pasażerów autobusowej komunikacji miejskiej (w kg) była następująca: 55,74,53,6,58,45,5,66,61,67,48. Z wcześniejszych badań wynika, że odchylenie standardowe wagi pasażerów jest względnie stabilne i wynosi 8 kg. Należy podać punktową ocenę średniej wagi pasażera i błąd standardowy oceny. 1 Opracowanie na podst. R. Górska, P. Milczarski, J. Podgorski: Elementy statystyki matematycznej z przykładami. Vizja, Warszawa 21. 1
Zad.1.2 Dla właściwego zaprogramowania procesu produkcyjnego niezbędna jest informacja o zróżnicowaniu czasu wykonywania pewnej operacji technologicznej. Czas (w sekundach) wykonywania tej operacji dla 6 wylosowanych pracowników był następujący: 55, 43, 34, 48, 53, 37. Na podstawie tych danych oszacuj punktowo wariancję i odchylenie standardowe czasu wykonywania operacji, czyli parametr σ 2 i σ populacji. Zad.1.3 W reprezentatywnym badaniu warunków życia młodzieży w pewnym dużym mieście stwierdzono, że wśród ogółu 15 zbadanych młodych osób 96 miało w domu komputer osobisty. Określ punktowo na podstawie wyników tej próby frakcję młodych osób posiadających w domu komputer osobisty w populacji. 2
Zadania samodzielne Zad. 1.A Spośród jednorocznych strusi hodowlanych na pewnej fermie wybrano losowo 8 strusi. Ich waga (w kg) była następująca: 72, 62, 81, 76, 75, 66, 78, 74. Oszacuj punktowo średnią wagę jednorocznych trusi hodowlanych na tej fermie. Podaj błąd standardowy tej oceny, jeśli z wcześniejszych badań wiadomo, że odchylenie standardowe wagi rocznych strusi wynosi 6 kg. Zad. 1.B Spośród prac egzaminacyjnych studentów 1 roku wylosowano 5 prac, dla których suma liczby zdobytych punktów wynosiła 225, a suma kwadratów odchyleń zdobytych punktów od średniej 16 832,5. Oszacuj dla ogółu prac średnią liczbę punktów i odchylenie standardowe liczby punktów oraz odchylenie standardowe średnich 5-elementowych prób. Zad. 1.C Dla 1 losowo wybranych noworodków płci męskiej urodzonych w klinice położniczej, średnia waga wynosiła 365 g, a odchylenie standardowe 55 g. oceń dokładność punktowej estymacji średniej wagi noworodków płci męskiej w oparciu o tę próbę. Zad. 1.D Na podstawie kartotek ADM wylosowano 5 lokatorów, spośród których 15 zalegało z opłatami za czynsz. Oszacuj punktowo frakcję lokatorów mieszkań lokatorskich, których mieszkańcy zalegają z opłatą czynszu. Podaj ocenę odchylenia standardowego frakcji w próbie 5-elementowej. 3
2 Estymacja przedziałowa 2.1 Przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym ze znanym odchyleniem standardowym Zad.2.1.1 Przedział ufności: -. / / odczytujemy z tablic t-studenta < 2 < +/ Waga 11 wylosowanych pasażerów autobusowej komunikacji miejskiej (w kg) była następująca: 55,74,53,6,58,45,5,66,61,67,48. Z wcześniejszych badań wynika, że odchylenie standardowe wagi pasażerów jest względnie stabilne i wynosi 8 kg. Należy wyznaczyć przedział ufności dla średniej µ przy poziomie ufności,95 i,99. Zakładamy, że rozkład wagi w populacji jest normalny. 1. Poziom ufności,95 Próba: 55 74 53 6 58 45 5 66 61 67 48 Średnia z próby Ocena estymacji średniej 1-α= α/2= u,25 = 1,96 4 Interpretacja: 4
2. Poziom ufności,99 Próba: 55 74 53 6 58 45 5 66 61 67 48 Średnia z próby Ocena estymacji średniej 1-α= α/2= u,5 = 2,58 Interpretacja:. Porównanie obu poziomów ufności Poziom ufności Przedział ufności,95,99 Interpretacja: Szerokość przedziału 5
2.2 Przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym z nieznanym odchyleniem standardowym Zad.2.2.1 Przedział ufności: -. /,#" < 2 < +/,#" 4 /,#" odczytujemy z tablic t-studenta Waga karpi (w kg) dostarczonych przez pewnego hodowcę ma rozkład normalny N(µ, σ), gdzie zarówno średnia µ i odchylenie σ nie są znane. W celu oszacowania średniej µ wylosowano niezależnie próbę 9 karpi, otrzymując: 1,5 2, 2,3 2,1 1,8 1,9 1,7 2,2 1,6 Wyznacz przedział ufności dla średniej µ na poziomie ufności 1-α=,95. Próba: 1,5 2, 2,3 2,1 1,8 1,9 1,7 2,2 1,6 xi (xi-xś) 2 Średnia: 1,5,16 Wariancja 2,,1 Odchylenie stand 2,3,16 1-α 2,1,4 α/2= 1,8,1 t,25;8 = 2,36 1,9, 1,7,4 2,2,9 1,6,9 suma 17,1,6 6
2.3 Przedział ufności dla średniej, gdy populacja ma nieznany rozkład Zad.2.3.1 Przedział ufności: -. / < 2 < +/ 4 / odczytujemy z tablic t-studenta W celu oszacowania średniej wartości jednorazowej wypłaty w bankomacie analityk finansowy zebrał dane o wysokości losowo wybranych 15 wypłat, uzyskując średnią wypłatę 33 zło i odchylenie standardowe wypłat 13 zł. Wyznacz na poziomi ufności 1-α=,95 przedział ufności dla średniej ogółu wypłat w bankomacie. n 15 Średnia z próby: 33 odchylenie stand. 13 1-α,95 u α/2 1,96 Standardowy błąd estymacji średniej 2.4 Przedział ufności dla frakcji elementów wyróżnianych w populacji Przedział ufności: -6 / * +,"#+, / odczytujemy z tablic t-studenta Zad.2.4.1 < 2 < +/ * +,"#+, 7 Frakcja wiejskich rodzin utrzymujących się głównie z rolnictwa nie jest znana. W celu oszacowania tej frakcji wylosowano próbę 2 rodzin i stwierdzono, że jest w niej 136 rodzin utrzymujących się głównie z rolnictwa. Podaj ocenę frakcji wiejskich rodzin utrzymujących się głównie z rolnictwa i standardowy błąd oceny. Wyznacz przedział ufności dla tej frakcji przy poziomie ufności,95. n 2 Ocena punktowa interesującej frakcji u α/2 1,96 Standardowy błąd oceny 7
Zadania samodzielne Zad. 2.A Wytrzymałość na zerwanie 1 wylosowanych próbek wyprodukowanej taśmy była następująca: 42, 45, 5, 46, 4, 44, 48, 52, 45, 47. Wyznacz przedział ufności dla średniej wytrzymałości na zerwanie wyprodukowanej taśmy zakładając normalny rozkład wytrzymałości na zerwanie losowo pobranych próbek taśmy, przyjmując poziom ufności,99. Próba 42 45 5 46 4 44 48 52 45 xi (xi-x ś) 2 Średnia: 42 14,2716 Wariancja 45,6494 Odchylenie stand 5 17,8272 1-α 46,4938 α/2= 4 33,3827 t,5;8 = 3,355 44 3,1649 48 4,93827 52 38,716 45,6494 Suma 412 113,556 Zad. 2.B Na podstawie losowej próby 12 rachunków za obiad zapłaconych przez gości pewnej restauracji stwierdzono, że w 63 przypadkach zamówione zostało wino do obiadu. Oszacuj, przyjmując współczynnik ufności,9 frakcję gości restauracji zamawiających wino do obiadu. n 12 Ocena punktowa interesującej frakcji Standardowy błąd oceny 1-α α/2 u α/2 1,645 przedziału ufności przedziału ufności 8
3 Zagadnienie minimalnej liczebności próby 3.1 Minimalna liczebność próby przy estymacji średniej Zad.3.1.1 8 = - minimalna liczebność próby : odczytujemy z tablic t-studenta / Wiedząc, że waga pasażerów autobusów ma rozkład N(µ,8). Jak liczna powinna być próba, by przy poziomie ufności,95 maksymalny błąd średniej wagi (połowa ) nie przekraczała 2,5 kg? 3.2 Minimalna liczebność próby przy estymacji frakcji elementów wyróżnionych Zad.3.2.1 8 ;: = - minimalna liczebność próby odczytujemy z tablic t-studenta / Zakładamy, że chcemy wyznaczyć przedział ufności na poziomie ufności,95 dla frakcji ubezpieczonych na życie dorosłych mieszkańców pewnego miasta. Ile osób należy wylosować do badania, aby maksymalny błąd szacunku frakcji nie przekroczył,5. 9