Moce i Kompensacja w Obwodach z Niesinusoidalnymi Przebiegami Prądu i Napięcia

Moce i Kompensacja w Obwodach z Niesinusoidalnymi Przebiegami Prądu i Napięcia Cz.. Moce w obwodach jednofazowych Prof. dr hab. Leszek S. Czarnecki, IEEE Life Fellow Alfredo M. Lopez Distinguished Professor School of Electrical Engineering and Computer Science Louisiana State University, Baton Rouge USA

Eksperyment Steinmetz a: 892 2 2 2 P + Q < S?

2 2 2 P + Q < S? S=UI, ΔW = ri Δt Za różnicą między S a P kryje się nadmienny prąd przesyłowy i straty energii Moc pozorna S określa też moc urządzeń przesyłowych 2 Aby wyjaśnić tę nierówność, trzeba zrozumieć zjawiska energetyczne w obwodach elektrycznych Wyjaśnienie zjawisk energetycznychjest celem poznawczym teorii moicy Aby zmniejszyć moc urządzeń przesyłowych, odbiornik trzeba odbiornik kompensować. Jak? Opracowanie metod kompensacji jest celem praktycznym teorii mocy

Badania nad teorią mocy zostały zredukowane do zagadnienia znalezienia równania mocy odbiornika liniowego zasilanego napięciem niesinusoidalnym u = U + 2 U cos( nω t+ α ) 0 n n= n

Od raportu Steinmetz a z 892r do 984, po 92 latach rozwoju teorii mocy wprowadzono do elektrotechniki pięć różnych równań mocy i pięć różnych definicji mocy biernej dla tak prostego układu jak szeregowy odbiornik RL nie będąc w stanie zaprojektować kompensatora poprawiającego współczynnik mocy 927: Budeanu: 93: Fryze: 97: Shepherd: 975: Kusters: 979: Depenbrock: 2 2 S = P + Q + D S 2 = P 2 + Q 2 F 2 S = S + Q 2 R 2 S 2 2 B 2 2 S = P + Q + Q K 2 r 2 2 2 2 2 2 S = P + Q + V + N Q = u i F K QB = UnInsinϕn rf n= Q = u i Q = u i S rs rc Zagadnienie zostało dopiero rozwiązane, wraz z kompensacją, w 984r. Czarnecki: 2 2 2 2 S = P + Q + D s

Steinmetz: 892 927 C.I. Budeanu, Professor of Bucharest University, Romania, introduced definition of the reactive power Q Q U I sinϕ = B = n= P 2 + Q 2 S 2 B Budeanu concluded that there is also other power associated with the waveform distortion, and introduced a new power quantity, called Distortion Power n n 2 2 2 D = S ( P + Q ) B n Budeanu's Power Equation has the form: 2 2 S = P + Q + D B 2 2

Why Budeanu definition of reactive power Q is wrong? ut ( ) = 2(00sinωt+ 25sin3 ωt) V n= 0 0 + ω+ it ( ) = 2 [25 sin ( ωt 90 ) 00 sin (3 t 90 )] A Q= U I sinϕ = 00 25 + 00 25 (-) = 0 n n n There are energy oscillations in spite of zero Budeanu s reactive power Q

Why Budeanu s definition of Distortion power D is wrong? ut ( ) = 2(00sinωt+ 50sin3 ωt) V D = S P Q = U U 2 2 2 2 2 2 2 r s Yr Ys r N s N D= 0 if for each r, s: Y r = Y...() s jπ 2 Y = Y3 = e S it ( ) = 2 [00 sin( ωt+ π ) + 50 sin(3 ωt+ π )] A 2 2 The load current is distorted in spite of zero distortion power, D

ut ( ) = 2(00sinωt+ 30sin3 ωt) V The load current is not distorted, meaning it () = aut ( τ) jnτ n n n n if I =au e = Y U, Y n = a e jnτ Y Y 3...(2) = j j 3 = e 4 4 2 j π 2 S jπ j3π 2 2 = j 3 j = e = e 4 4 2 2 3 it ( ) = 2[50sin( t π π ω ) + 5sin(3 ωt ) = 2[50sin ω( t T ) + 5sin3 ω 4 ( t T ) = ut ( T ), 2 2 4 2 4 S jπ 3 2 j π 2 D= UU 3 Y Y3 = 00 25 e e = 2. 5 kva 2 2 The load current is not distorted in spite of non zero distortion power, D

Kompensacja przy sinusoidalnym napięciu zasilania C Q P = λ = = 2 ω U S jnω t u = U0+ 2Re Un e n= C =?

Power factor improvement and Budeanu s reactive power N 2 N Pn 2 N Qn 2 N n U n=0 n 0 n U = n= n n= i = i = ( ) + ( ), but in Budeanu Theory: Q = Q ut ( ) = 2(00sinωt+ 25sin3 ωt) V n Q= U I sinϕ = 00 25 + 00 25 (-) = 0 n= n n n 0 0 + ω+ it ( ) = 2 [25 sin ( ωt 90 ) 00 sin (3 t 90 )] A Budeanu s reactive power is useless for compensator design

927: Budeanu: Q Q U I sinϕ = B = n= n n 2 2 2 D = S ( P + Q ) B n 2 2 S = P + Q + D B 2 2 987 L.S. Czarnecki: What is Wrong With the Budeanu s Concept of Reactive and Distortion Powers and Why it Should be Abandoned, IEEE Trans. on Instrumentation and Measurements

93 S. Fryze, Professor of Lwow University, Poland, defined the reactive power in a time-domain, based on the load current orthogonal decomposition into active and reactive currents i = i a + i rf ia( t) = P u( t) = G 2 e u( t), irf ( t) = ( t) ia( t) u T T z ia() t irf() t dt = ( i a,irf ) = 0 0 2 i = i + i a 2 rf 2 Fryze's Power Equation: Fryze s definition of reactive power: S = P + Q 2 2 2 F Q = u i F rf 997 L.S. Czarnecki: Budeanu and Fryze: Two frameworks for interpreting power properties of circuits with nonsinusoidal voltages and currents, Archiv fur Elektrotechnik

Question: Does the Fryze s Power Theory provide fundamentals for the power factor improvement? ut ( ) = 00 2 (sinω t+ sin3 ω t) V P = 0 kw QF = 0 kvar S = 4. kva λ = 0.7 QF = 0 S = 0 kva λ = QF = 8 kvar S = 2.7 kva λ = 0.78 These loads cannot be distinguished with respect to Fryze's powers. They differ as to the possibility of their compensation Fryze's Power Theory does not enable us to draw conclusions as to the possibility of the load compensation with a reactive compensator

Opinion: Fryze s theory provides fundamentals for switching compensator control i = i a + i rf i a - active current is useful component i rf - reactive current is useless component

Illustration: e = 00 2 sinωt V j = 50 2 sin3ω t A i = 2(20sinω t + 40sin 3 ω t) A u= 2(80sinω t 40sin 3 ω t) V P = 600-600 = 0 i () t P = u ut () = 0 a 2 According to Fryze's Power Theory, total compensation requires that the current i rf is reduced to zero This is a wrong conclusion Only the 3rd order current harmonic should be compensated

97 Shepherd & Zakikhani, England, developed power theory in the frequency-domain: 0 2 ncos( ω αn) = 0+ n ω + αn ϕn n= n= u = U + U n t+ i I 2 I cos( n t ), i = I + 2 I cosϕ cos( nω t+ α ) + 2 I sinϕ sin( nω t+ α ) = i + i 0 n n n n n n R r n= n= n= 0 2 2 2 = R + rs i i i, 2 2, 2 2 ir = In cos ϕn irs = In sin ϕn 2 = 2 2 R + S S S Q S&H power theory has provided the first solution of the compensation problem:. n= C opt nu I sinϕ nq n n n n n= n= 2 2 2 2 ω nun ω nun n= n= = C = =

97 Shepherd & Zakikhani, England, developed power theory in the frequency-domain: 0 2 ncos( ω αn) = 0+ n ω + αn ϕn n= n= u = U + U n t+ i I 2 I cos( n t ), i = I + 2 I cosϕ cos( nω t+ α ) + 2 I sinϕ sin( nω t+ α ) = i + i 0 n n n n n n R r n= n= n= 0 2 2 2 = R + rs i i i, 2 2, 2 2 ir = In cos ϕn irs = In sin ϕn 2 = 2 2 R + S S S Q S&H power theory has provided the first solution of the compensation problem:. n= C opt nu I sinϕ nq n n n n n= n= 2 2 2 2 ω nun ω nun n= n= = C = =

E = 3.0 % E, E =.5 % E, E = 0.5 % E 5 7 S = 28. 6 P sc In situations common in distribution systems, the K&M power theory does not provide optimal capacitance of a compensator. The same conclusion applies to the S&Z power theory

Kusters and Moore (NRC, Canada) solved the same problem (in 980) in the time domain u = 2 U cos nω t, u = n= n du dt i = 2 I cos( nω t ϕ ) = i + i + i n= i P a u G u, u n n a qc qcr defined as = = ( u, i) 2 e iqc = u = C 2 e u, u i = i ( i + i ) qcr a qc Currents i a, i qc and i qcr are orthogonal 2 2 i = i + i + i u 2 a qc 2 qcr 2 2 = 2 + 2 2 C + r S P Q Q 22

Decomposition suggested by Kusters & Moore s solved the problem of a capacitive compensation in a time domain Current i qcr is not affected by a shunt capacitor i = i, if ( i ) = 0, s s min s qc which requires that ( u,i ) C = Copt = 2 u 23

Results obtained by Shepherd & Zakikhani and Kusters & Moore with respect to the optimal capacitance are equivalent C ( u,i ) = = u opt 2 n= ω nu I n n n= sinϕ 2 2 n nu n and, unfortunately, obtained under the same condition, namely, that the load voltage does not depend on the capacitance C It was demonstrated in the paper L.S. Czarnecki, "Additional discussion to "Reactive power under nonsinusoidal conditions, IEEE Trans. on Power and Systems, Vol. PAS 02, No. 4, pp. 023 024, April 983. 24

984, L.S. Czarnecki: Considerations on the Reactive Power Under Nonsinusoidal Conditions IEEE Transactions on Instrumentation and Measurements, jnω t u = U0+ 2Re Un e n= jnω t i = G0U0+ 2Re YU n ne n= i ( t) = G ut ( ), G = P u a e e 2 s 0 e 0 n e n= jnω t ir() t = 2Re jbnune n= i = i a + i s + i r i () t = ( G G ) U + 2Re ( G G ) U e n jnω t Active current Scattered current Reactive current This decomposition has revealed a new power phenomenon, namely, the existence of the scattered current, i s, that occurs when the load conductance, G n, changes with harmonic order, n.

G n R = Re{ Yn} = Re = R+ jnω L R n L 2 2 +( ω ) G 0 = S, G = 0.5 S, G 2 = 0.2 S, G 3 = 0. S, G 4 = 0.06 S

i = G u a i = i a + i s + i r Currents i a, i s and i r are orthogonal e 2 2 i = ( G G ) U s ir = n n= 0 B 2 n U 2 n n= i = i + i + i e a 2 2 n s 2 r 2 Power equation in the CPC power theory 2 2 2 2 = + s + S P D Q P = u i = G u a e 2 s Q = u i D = u i r s

u = 3. 58 V j ω t j5ωt u = + e + e 50 2 Re{00 20 } j ω t j89 j5ωt 0 i( t) = 50 + 2 Re{50e + 46.2 e e } A, G Y Y 5 0 = S, = 0.5 S, = 0.04 j 2.3 S, a = e = 0 5826 [50 + 2 Re{00 + 20 }] = 29.+ 2 Re{58.3 +.6 } A i = G u = 667. A a s e n = 05,, e 2 2 n i = ( G G ) U = 24. 93 A i = B U = 46. 2 A r G = P =0.5826 S u e 2 jωt j5ωt jωt j5ωt i G u. e e e e jnωt jωt j5ωt s = 0 e 0+ n e n = + n= jnωt j 5ωt j 5ωt r = 2 Re nun = 2 Re{ 2 3 20 } = 2 Re{ 46 2 } A n= i G G U G G e.. e. e ( ) 2Re ( ) U 209 2Re{ 83 08 } A i jb e j. e j. e n n 2 n 2 n = 5, D s = 3.58 x 24.93 = 2.83 kva, Q = 3.58 x 46.2 = 5.24 kvar

Compensation Lossless shunt reactive compensators do not change active power, P, and conductance G n. P Ge = = const. 2 u i = G u = const. a e i = ( G G ) U = const. s n= 0 n e 2 2 n The RMS value of the reactive current changes to:, r, r n= 2 2 n xn n i = ( B + B ) U Total compensation of the reactive current: i = 0, if for each n, such that U 0, B = B n xn n CPC power theory solves the problem of a shunt reactive compensation of LTI loads

Illustration jω t j5ω t ut ( ) = 2 Re{00 e + 5e } V ω = rd/s Y = 0.20 j0.40 S Y 5 = 0.0 j0.0 S Y = 0.20 S Y 5 = 0.0 + j.9 S Y = 0.20 S Y 5 = 0.0 S jω t j j5ω t jω t j t it () = 2Re{20 e + 95.e e }A 890 it () 2Re{20 e +0.05 e }A 5ω = ia = 9.98 A ia = 9.98 A i s = 0. 95 A i s = 0. 95 A i, r = 950. A i, r = 0 Power factor ia λ = P = P = S 2 2 2 2 2 2 P + D + Q i + i + i s a s r λ = 0867. λ = 0999. 30

Circuits with harmonics generating loads (HGL) L.S. Czarnecki, T. Swietlicki: Powers in nonsinusoidal networks, their analysis, interpretation and measurement, IEEE Trans. Instrumentation & Measurement, Vol. IM-39, No. 2, 990 e= 00 2 sinωt V j = 50 2 sin3ω t A i = 2(20sinω t + 40sin 3 ω t) A u = 2(80sinω t 40sin 3 ω t) V P = P + P 3 = 600 600 = 0 Q = 0, i = 44.72 A, u = 89.44 V S = 4000 VA 2 2 2 2 S P + Ds + Q How to write power equation for such a load?

u= u, i = i, P = P n n n N n N n N n Set N of harmonic orders n can be decomposed into two sub-sets, N D, and N C, based on the sign of the harmonic active power P n. P = U I cosϕ n n n n if ϕ π/ 2, n then n N, C u = u, i = i, P = P n n n n N n N n N C C C C C C if ϕ > π/ 2, then n N. n G u = u, i = i, P = P n n n n N n N n N G G G G G G u = u C u G, i = i C + i G, P = P C P G 2 2 2 = C + G u u u 2 2 2 = C + G i i i

Equivalent circuits of a system with HGL: For n N C Y = G + jb = n n n I U i C = i ac + i sc + i rc n n For n N G

PC ac = ec C ec = 2 uc i G u, G i = i ac + i sc + i rc + i G It is not Fryze s active current!! Active current sc i = 2Re ( G G ) U e n N irc = 2Re jbnune i G = n N G n N i n C C n e n jnω t jnω t Scattered current Reactive current Load generated current These are CPC of HGL They are mutually orthogonal 2 2 2 2 2 = ac + sc + rc + G i i i i i

Apparent power of Harmonics Generating Loads: 2 2 2 2 2 2 2 C G C G C CG G S = u i = ( u + u ) ( i + i ) = S + S + S 2 2 2 2 2 2 C = C C = C ac + sc + rc = C+ s + S u i u i i i P D Q S = u i G G G 2 2 2 2 CG = C G + G C S u i u i Power equation of HGLs: 2 = 2 C + s 2 + 2 + 2 2 G + CG S P D Q S S Power factor: λ = P = S P P C G 2 2 2 2 2 C + s + + G + CG P D Q S S

Co to jest moc bierna Q = UI sinϕ? lub inaczej: Z jakim zjawiskiem fizycznym związana jest moc bierna? A. Oscylacja energii między źródłem a odbiornikiem? B. Gromadzenie energii w polach elektromagnetycznych? C. Przesunięcie fazowe prądu i napięcia? D. Wytwarzanie pola magnetycznego w silnikach? E. Jeszcze coś innego? Co?

Question: Is the reactive power, Q, associated with energy storage? it () = 2 Isinωt Energy stored in magnetic field, T : T = 2 2 2 2 Li () t = LI sinωt = Tmax sinωt 2 Reactive power: Q π 2 = U Isin = ω LI 2 = ωtmax ut () = 2Usinωt Energy stored in electric field, V: V = 2 2 2 2 Cu () t = CU sinωt = Vmax sinωt 2 Reactive power: Q π 2 = U Isin(- ) = ωcu 2 = ωvmax 37

, ut () = 2Ucosω t it () = 2Icos( ω t ϕ) dw () t p() t = = u() t i() t dt p () t = u() t i() t = 2UIcosω t cos( ωt ϕ) = p () t + p () t u b p () t = P(+ cos2 ω t) u p () t = Q sin2ω t b

W obwodzie jest niezerowa moc bierna Q, przy braku oscylacji energii i jej gromadzenia w polach elektromagnetycznych odbiornika

Kompensator poprawia współczynnik mocy λ, jednocześnie wprowadzając oscylacje energii między źródłem a skompensowanym odbiornikiem!!

Czy na pewno moc czynna P jest mocą użyteczną?

T 0 ut= () un = u+ u n N h P = utitdt () () = P+ P2+ P3+ P 4+... T it= () in = i+ i n N P h = UI> 0 2 n n n s n n s n P = U I = ( R I ) I = R I < 0 Energia do odbiornika dostarczana jest z mocą P. jest to robocza moc czynna, P = P w ( P + P + P +...) = P 2 3 4 r odbita moc czynna P = P P w r

Odbiornik o mocy czynnej P generujący harmoniczne musi być zasilany z mocą roboczą P w. P w > P

Moc czynna Robocza moc czynna Odbita moc czynna Moc strat w źródle: P = 5000 W P w = 5242 W P r = 242 W ΔP s = 900 W

Harmoniczne generowane w odbiorniku powodują dodatkowe straty wewnątrz systemu zasilającego. Odbiorca winien płacić za energię roboczą τ τ P dt = ( P+ P) dt = W > W w r w a 0 0 Prąd potrzebny do przenoszenia energii roboczej W w ma większą moc skuteczną od prądu przenoszącego energię czynną W a 2 s r s w Δ P = P+ R I

Should the power theory be formulated in the frequency-domain, as postulated by Budeanu or in the time-domain, as postulated by Fryze? Should the power theory be formulated based on quantities calculated by averaging over a period of the supply voltage, as postulated by Fryze or on instantaneous values, as postulated by Akagi and Nabae? Teoria Składowych Fizycznych Prądu (Currents Physical Component, CPC based Power Theory) Została zbudowana w dziedzinie częstotliwościowej (wg. Budeanu) z uśrednianiem w okresie T (wg. Fryzego)

Obwód Fryzego: ut () = U + 2 U cos( nω t+ α ) = u 0 0 n n n n= n= 0 it ( ) = I + 2 I cos( nω t+ β ) = i. n n n n= n= 0 dw pt () = = ut () it ()= u i = S cos( nω t+ ψ ) dt r s n n r= 0 s= 0 n= 0

Teorie mocy chwilowej

Para wartości chwilowych prądu i napięcia nie dostarcza informacji wystarczającej dla identyfikacji odbiornika Identyfikacja właściwości energetycznych odbiornika wymaga obserwacji prądu i napięcia w całym okresie zmienności T

Moce i Kompensacja w Obwodach z Niesinusoidalnymi Przebiegami Prądu i Napięcia Cz. 2. Moce w obwodach trójfazowych

Obwód trójfazowy z przebiegami sinusoidalnymi Moc czynna: P= ( u, i) = U I cosϕ f =R,S,T f f f Moc bierna: Q = U f I f sinϕ f f =R,S,T Moc pozorna: S A = U R I R + U S I S + U T I T 2 2 S = P + Q G 2 2 2 2 2 2 B = R+ S + T R+ S + T S U U U I I I

Według której z poniższych definicji należy obliczać moc pozorną w układach trójfazowych?. S A = U R I R + U S I S + U T I T G 2 2 2. S = P + Q 2 2 2 2 2 2 B R S T R S T 3. S = U + U + U I + I + I?

Przykład liczbowy: P = 72.3 kw S = SA = URIR+ USIS+ UTI T = 838. kva S = S = P + Q = 72. 3 kva G 2 2 2 2 2 2 2 2 B R S T R S T S = S = U + U + U I + I + I = 220 3 90. 2 2 = 02. 7 kva Jaka jest poprawna wartość współczynnika mocy? λ = P S λ A = P S = A 086. λ = P = G SG λ = P = B SB 07. 54

Wybór definicji mocy pozornej: L.S. Czarnecki: "Energy flow and power phenomena in electrical circuits: illusions and reality," Archiv fur Elektrotechnik, (82), No. 4, pp. 0 5, 999 S A = S G = S B =00 kva λ A = λ G = λ B = S A = 9 kva, λ A =0.84 S G = 00 kva, λ G = S B = 49 kva, λ B =0.67 Która z obliczonych wartości mocy pozornej S jest poprawna? 55

S A = 9 kva, λ A =0.84 S G = 00 kva, λ G = S B = 49 kva, λ B =0.67 S A = S G = S B =49 kva λ A = λ G = λ B = 0.67 Współczynnik mocy λ jest ze względu na straty mocy w źródle obliczony poprawnie, jeśli 2 2 2 2 2 2 R S T R S T S= U + U + U I + I + I Jeśli 2 2 2 2 2 2 R S T R S T S = U + U + U I + I + I 2 2 S = P + Q Współczynnik mocy λ obliczony jest błędnie 56

B A = S = S U I + U I + U I = 83. 8 kva G P = 72.6 kw, Q = 0 R R S S T T 2 2 S = S = P + Q = 72. 6 kva 2 2 2 2 2 2 S = S = U + U + U I + I + I = 220 3 90. 2 2 = 02. 7 kva R S T R S T 2 2 2 S P + Q Prawa strona tej nierówności nie jest obliczona poprawnie

Równanie mocy odbiornika trójfazowego zasilanego trójprzewodowo napięciem sinusoidalnym i symetrycznym L.S. Czarnecki, Orthogonal decomposition of the current in a three-phase non-linear asymmetrical circuit with nonsinusoidal voltage, IEEE Trans. Instr. Measur., Vol. IM-37, No., 988 u R() t i R() t u( t) = us( t ), ( t) is( t) = u i = = i u () t i () t T T T ( ) T P = u i + u i + u i dt = () t () t dt = (, ) T u i u i R R S S T T T 0 0 T ( x, y ) T = () t () t dt T x y 0 T

Wartość skuteczna trójfazowego wektora prądów The active power of a three-phase symmetrical device: T P = R ( i i i ) dt R ( t) ( t) dt R (, ) R T + + = = = T i i i i i T 2 2 2 T 2 R S T 0 0 i = ( i, i) The RMS value of three-phase current i is a DC current, I, equivalent with respect to active power P to three-phase currents on a symmetrical three-phase device T i = ( ir is it ) dt i i i T + + = + + R S T 0 2 2 2 2 2 2 is the RMS value of the three-phase current T u = ( ur us ut ) dt u u u T + + = + + R S T 0 2 2 2 2 2 2 is the RMS value of the three-phase voltage

Definicja mocy pozornej S Moc pozorna jest wielością umowną: S = u i S = u i Moc pozorna S jest iloczynem wartości skutecznych prądu i napięcia potrzebnych do zasilania odbiornika Pod tym względem nie ma różnicy między odbiorniem jednofazowym i trójfazowym Przy sinusoidalnych przebiegach prądu i napięcia, prowadzi to do definicji Buchholza: 2 2 2 2 2 2 S = U + U + U I + I + I R S T R S T

Rozkład sinusoidalnego prądu trójfazowego na składowe fizyczne L.S. Czarnecki: Equivalent circuits of unbalanced loads supplied with symmetrical and asymmetrical voltage and their identification, Archiv fur Elektrotechnik, 78 pp. 65 68, 995 u ur UR = u = 2Re U e = 2ReU e S S u T U T jω t jω t i ir IR = i = I e = e = Y + A e 2Re 2ReI 2Re{( U U ) } S S i T I T jω t jωt # jωt e U R U T = # U U S RS ST TR Y + Y + Y = Y, Admitancja równoważna * ST TR RS e ( Y + αy + α Y ) = A, Admitancja niezrównoważenia

# e jω t e jωt e jωt # jωt i = U + U = U + U + U 2Re{ Y A } e 2Re{ G e } 2Re{ jb e } 2Re{ A e } i i i a r u = = = 2 Re{ G U e } Prąd czynny e 2 Re{ jb U e } Prąd bierny e # jω t jω t jω t 2 Re{ AU e } Prąd niezrównoważenia i = ia + ir + iu Są to Składowe Fizyczne Prądu (Currents Physical Components-CPC) liniowego odbiornika trójfazowego zasilanego napięciem sinusoidalnym i symetrycznym

Iloczyn skalarny wektorów trójfazowych T T T ( x, y ) = x ydt = ( xryr+ xsys+ xtyt) dt = ( xr, yr) + ( xs, ys) + ( xt, yt) = T T 0 0 * * * T R R S S T T = Re{ X Y } + Re{ X Y } + Re{ X Y } = Re{ XY} * Wektory x(t) i y(t) są wzajemnie ortogonalne wtedy, gdy ich iloczyn skalarny (x, y) = 0 Wówczas: 2 2 2 x + y = x + y

i = ia + ir + iu Prady czynny, bierny i niezrównoważenia są wzajemnie ortogonalne ( i, i ) = 0, ( i, i ) = 0, ( i, i ) = 0, a r a u r u 2 2 2 2 = a + r + u i i i i i = G u a u r e i = A u i = B u e

Równanie mocy liniowego odbiornika trójfazowego zasilanego trójprzewodowo symetrycznym i sinusoidalnym napięciem u 2 2 2 2 2 = a + r + u i i i i u a u r 2 2 2 2 S = P +Q +D u e Q =± i u = B u Moc bierna 2 P = i u = G u Moc czynna D e 2 2 = i u = A u Moc niezrównoważenia

Numerical illustration u = 220 3 = 38 V i = 36. 5 2 = 5 A Y Y A RS 0 j8 = = 090. j 030. = 095. e S Z R = G + jb e = Y = 090. j 030S. e e RS * j 42 = α Y = RS 095. e S 0 i = G u = 0.90 38 = 343 A a r u e i = B u = 0.30 38 = 4 A e i = A u = 0.95 38 = 36 A 2 2 2 2 2 2 a r u i = i + i + i = 343 + 4 + 36 = 5 A S = 95 kva, P = 3 kw, Q = 43 kvar, D u = 38 kva

Moce chwilowe liniowego odbiornika trójfazowego: dw () t = p t = dt = a r u p a t p r t p u t T T () u i u ( i + i + i ) = ()+ ()+ () T T 2 pa( t) = u ia = u Geu = 3GeU = P = const. T pr() t = u ir 0. T 2 u = u iu = ω ω p () t 3AU cos(2 t+ ψ)= Dcos(2 t+ ψ) dw() t dt = pt = u i = P D ω t T () cos(2 + ψ) Energy oscillation in three-phase systems with sinusoidal voltages and currents can occur only because of the load current asymmetry

Compensation of the reactive and unbalanced currents λ = P = S i a a 2 + u 2 + r 2 i i i Y Y Y RSc STc TRc = = = jt jt jt RS ST TR Lossless LC compensator, jω t i r = 2Re{ jb [ e+ ( TST + TTR + TRS)] U } e, * # jω t i = 2Re{[ A j( T + αt + α T )] U } e u ST TR RS The reactive & unbalanced currents are compensated totally, if B ( T T T ) 0 e + ST + TR + RS = () A j( T + αt + α T ) = 0 * ST TR RS (2) & (3)

The reactive & unbalanced currents are compensated totally, if T T T RS ST TR = ( 3 Re{ A} Im{ A} B )/3 = (2 Im{ A} B )/3 e = ( 3 Re{ A} Im{ A} B )/3 e e

Numerical illustration Y A = G + jb = Y = 090. j 030S. e e RS Load parameters: e RS j 42 = α * Y = 0. 95 e =0.7+ j0.64 S 0 i = 343 A, i = 36 A, i = 4 A, i = 5 A, S = 95 kva, λ =0.67 a u r T T T RS ST TR = ( 3 Re{ A} Im{ A} B )/3 = 0.30S = (2 Im{ A} B )/3 = 0.52 S e = ( 3 Re{ A} Im{ A} B )/3= 0.52S e e i = 343 A, i = 0, i = 0, i = 343 A, S = 3 kva, λ = a u r

CPC based power theory of three-phase systems with LTI loads with symmetrical nonsinusoidal voltages Condition: n 3k u i = u = n N n N n n = i = 2Re 2Re n N n N U I n n e e jnω t jnω t U U Rn Rn USn = Un UTn = UTn USn U # n jnωt # jnωt n n en n en n n n an rn un i = 2ReI e = 2Re{( G U + jb U + A U ) e } = i + i + i i i i an rn = = 2Re{ G U e } en 2Re{ jb U e } en # un = An n n n jnω t jnω t jnω t 2Re{ U e }

i i = i i = ( i + i + i ) i = ( i i ) + i + i a n a an rn un a an a rn un n N n N n N n N n N i = i i = i i Active current: 2 Re ( G G ) U e Scattered current s an a en e n n N n N jnω t r = irn = en n n N n N # jnω t u = iun = n n n N n N jnω t 2 Re jb U e Reactive current 2 Re A U e Unbalanced cu i = ia + is + ir + iu i = G u, G = P u a e e 2 Decomposition three-phase current into CPC: rrent

The active, scattered, reactive and unbalanced currents are mutually orthogonal 2 2 2 2 2 = a + s + r + u i i i i i The RMS values of the current components: i = G u a e s en e n N u r 2 2 2 un 2 2 un i = ( G G ) i = A u n N i = B n N n n n Observe the difference: Pn 2 en 2 un G e = P, G = u

R j ω t j5ω t u t e e ( ) = 2 Re{220 + 44 } V G e = 0.608 S Y e = 0.60 j0.40 S Y e5 = 0.88 + j0.5 S A = 0.83 e j0.8π S A 5 =.2 e j0.86π S 2 2 2 2 2 2 i = i + i + i = 34 + 98 + 84 = 433 A R S T i = 237 A a i = 2 A s i = 53 A r i = 327 A u Verification: 2 2 2 2 2 2 2 2 a s r u i = i + i + i + i = 237 + 2 + 53 + 327 = 433 A

Powers of three-phase LTI loads supplied with nonsinusoidal voltage 2 2 2 2 2 2 = a + s + u + r i i i i i u 2 2 2 2 2 = + s + u + S P D D Q P D D Q s u = i u = G u = = = a i u s i u u i u r e 2 λ = P = S i a a 2 + s 2 + u 2 + r 2 i i i i

Compensation of the reactive and unbalanced currents L.S. Czarnecki: Reactive and unbalanced currents compensation in three-phase circuits under nonsinusoidal conditions, IEEE Trans. Instr. Measur., Vol. IM-38, No. 3, June 989. Active & scattered currents are not affected by reactive compensators The reactive & unbalanced currents are compensated for each harmonic, if B + ( T + T + T ) = 0 A en n ST n TR n RSn pos. sequence * α j( TST n+ βttr n+ β TRSn) = 0, β = * α neg. sequence From these equations the susceptances T RSn, T STn, and T TRn, can be calculated

G e = 0.608 S Y e = 0.60 - j0.40 S Y e5 = 0.88 + j0.5 S A = 0.83 e -j0.8π S A 5 =.2 e -j0.86π S i = 237 A a i = 2 A s i = 0 r i = 0 u i = 237 A a i = 2 A s i = 53 A r i = 327 A u This is example of total compensation of the reactive and unbalanced currents i = 238 A i = 433 A

L.S. Czarnecki, Minimization of unbalanced and reactive currents in three-phase asymmetrical circuits with nonsinusoidal voltage, Proc. IEE, Vol. 39, Pt. B, 992 G e = 0.33 S Y e = Y e5 = Y e7 = 0.33 S A = A 7 = 0.33 e j60 S A 5 = 0.33 e j60 S i = 27. 2 A a i = 0 s i = 29A. r i = 69A. u ia = 27. 2 A is = 0 i r = 0 i = 27. 2 A u i = ia + ir + iu T RS = 0.9 S, T RS5 = 0.9 S, T RS7 = 0.9 S T ST = 0.9 S, T ST5 = 0.9 S, T ST7 = 0.9 S T TR = 0 i = 27. 4 A i = 79. 9 A

Powyższe wyniki dotyczą jednak jedynie odbiorników trójfazowych zasilanych trójprzewodowo Nie są one prawdziwe w przypadków odbiorników trójfazowych z przewodem zerowym

Odbiorniki równoważne ze względu na moc czynną i moc bierną ia() t = Geu() t Ge = P = P = 2 2 ( GR + GS + GT ) u 3U 3 ir() t = B d e u (). t d( ωt) R Q Q B e = = = ( BR + BS + BT ) u 3 3 2 2 UR n z a r u u u i i i = i = i + i

,,, Składowe Fizyczne Prądu zasilania n z a r u u i = i + i + i + i i i n AUR n n n u AUT e j ω t A # e j ω = U t n AU S = 2Re{ } 2Re{ } z AUR z z z u AUR e j ω t A Re j ω = U t z AUR = 2Re{ } 2Re{ }. n A = ( YR + αys+ α* YT) 3 z A = ( YR + α* YS+ αyt). 3

n z a r u u i = i + i + i + i Składowe Fizyczne Prądu są wzajemnie ortogonalne, zatem 2 2 2 n 2 z 2 a r u u i = i + i + i + i. i = G u a r e i = B u n u e n i = A u z u z i = A u.

2 2 2 n 2 z 2 2 a r u u i = i + i + i + i u 2 2 2 n2 z2 = + + u + u S P Q D D P Q = i u = G u a =± i u = B u r e e 2 2 D D n n n 2 u = iu u = A u z z z 2 u = iu u = A u

U = 230V Y R = = 0,0 j 0,20 S, S 0,50 S T 0. 2 j 4 Y = Y = +. 2 2 2 2 2 R S T i = I + I + I + = 5,43 + 5,0 = 26,0A. u = 3 U = 3 230 = 398,4 V e Ye = Ge+ jb e = ( YR + YS+ YT) = 0,02 j0,067 S. 3 0 n 22,7 A = ( YR + αys+ α* YT ) = 3 0,0924 e S 0 z ( 03 R S T ) = j A = Y + α* Y + αy 0,27e S. 3 2 2 P = G u = 0,20 (398,4) = 3,7 kw e 2 2 Q = B u = 0, 0667 (398,4) = 0,6 kvar n n 2 2 u u D = A = 0,0924 (398,4) = 4,7 kva z z 2 2 u u D = A = 0,27 (398,4) = 34,4 kva. 2 2 n2 z2 2 2 2 2 S = P + Q + Du + Du = 3,7 + 0,6 + 4,7 + 34,4 = 50,2 kva

Kompensacja reaktancyjna w obwodach trójfazowych z przewodem zerowym P ia i λ = = = S i i i i i a a 2 + r 2 + n 2 u + z 2 u. i ' r n u i ' 0 if 0 if ( ) + 0 3 T R + T S + T T B e =. ( n R + α S + α T ) + = 0 3 j T T *T A z u i' 0 if ( z R + α S + α T ) + = 0 3 j T *T T A 5 równań, 3 niewiadome: sprzeczny układ równań

i ' r 0 if ( ) + 0 3 T R + T S + T T B e =. z u i' 0 if ( z R + α S + α T ) + = 0 3 j T *T T A T T R S T z = 2ImA B z z = 3Re A +ImA B T = 3Re A +ImA B. e z z e e

n u i ' 0 if ST TR RS 'n j( T + αt + α*t ) + A = 0 RS ' n u ' n u T = ( 3ReA Im A )/3 T ST TR ' n u = (2Im A )/3 ' n u ' n u T = ( 3ReA Im A )/3

Kompensator Y składowej zerowej: R S T z T = 2ImA B = 0. 289 S z z e T = 3 Re A + ImA B = 0. 289 S T = 3Re A +ImA B = 050. S. z z e e n z* n A' = A + A = (0.06+ j 0.228) * 0.228 j0.06 = 0.67 j 0.289 S Kompensator Δ składowej ujemnej: n n TRS = ( 3ReA' Im A' )/3 = 0 n TST = (2Im A' )/3 = 0.92 S n n TTR = ( 3Re A' Im A' )/3 = 0.92 S.

Moce i Kompensacja w Obwodach z Niesinusoidalnymi Przebiegami Prądu i Napięcia Cz. 3. Kompensacja

Tradycyjny cel kompensacji to kompensacja mocy biernej (przesunięcia fazowego prądu) (kompensatory pojemnościowe, maszyny synchroniczne) oraz filtracja harmonicznych (rezonansowe filtry harmonicznych, filtry pasmowe)

Reaktancyjny kompensator równoważący w obwodzie trójprzewodowym i = 343 A, i = 0, i = 0, i = 343 A, S = 3 kva, λ = a u r

Reaktancyjny kompensator równoważący w obwodzie czteroprzewodowym L.S. Czarnecki, P. M. Haley, Unbalanced Power in Four Wire Systems and its Reactive Compensation, w druku w IEEE Trans. on Power Delivery, 204.

Równoważąca kompensacja reaktancyjna w warunkach asymetrii napięciowej P i = G ( u + u ), = u + u p n b Gb p 2 n 2 L.S. Czarnecki, P. Bhattarai, Powers and Reactive Compensation of Unbalanced Loads with Asymmetrical Voltages, IEEE Transactions on Power Delivery (w recenzji)

Rezonansowe filtry harmonicznych

Rezonansowe filtry harmonicznych U( jω) ZF ( jω ) Aj ( ω) = = E( jω) jt () 0 Z ( jω) + Z ( jω) s F I( jω) ZF ( jω ) Bj ( ω) = = J( jω) et () 0 Z ( jω) + Z ( jω) s F

Rezonansowe filtry harmonicznych Y x I( jω) ( jω) = = Ej ( ω) jt () 0 Z( jω) + Z ( jω) s F Ψ ( jω ) = x Yx( jω ) Y ( jω ) x

Skuteczność filtru: δ ε i i = δ i0 ε u δ = u δ u0 Prostownik trójfazowy Efficiency of Type A and Type B filters at internal voltage distortion δ e = 2.5% and % of the current distortion by non-characteristic harmonics Filter S sc /P 20 25 30 35 40 45 A ε u 0.46 0.5 0.37 0.6 0.6 0.32 ε i 0. 0.33 0.23 0.0 0.02 0.47 B ε u 0.26 0.20 0.36 0.37 0.33 0.32 ε i 0.50 0.03 0.29 0.36 0.36 0.34

L.S. Czarnecki and H.L. Ginn, The effect of the design method on efficiency of resonant harmonic filters IEEE Trans. on Power Delivery, Vol. 20, No., pp. 286 29, 2005. Efficiency of optimized filter at internal voltage distortion δ e = 2.5% and % of the current distortion by non-characteristic harmonics δ = W c δ i + W v δ u δ = f(a 5, a 3, t 5, t 3 ) an współczynnik alokacji mocy biernej do filtru n tej harmonicznej tn częstotliwość strojenia filtru n tej harmonicznej S sc /P 20 25 30 35 40 45 ε u % 0.67 0.62 0.58 0.53 0.49 0.44 ε i % 0.57 0.54 0.52 0.48 0.44 0.39

Równoległy kompensator kluczujący (Switching compensator) Znany też pod błędnymi nazwami, jako Active power filter, Active harmonic filter, Power conditioner

Teoria Chwilowej Mocy Biernej p q Przekształcenie Clarke a w układzie trójprzewodowym: uα 3/ 2, 0 ur u = β / 2, 2 u S iα 3/ 2, 0 ir i = β / 2, 2 i S p = u i + u i α α β β q = u i u i α β p = p + p β α

p = u i + u i α α β β q = u i u i α β β α p uα, uβ iα iα C q = = uβ, uα i U β i β j jα uα, uβ p p = 2 2 C j = = β uα uβ uβ, u α q U q +

L.S. Czarnecki, (2009), Effect of supply voltage harmonics on IRP based switching compensator control, IEEE Trans. on Power Electronics, Vol. 24, No. 2, pp. 483 488. u = 2 U cos ω t, u = 2 U cos 5ω t R R5 5 Algorytm sterowania oparty na Teorii CMB p q powoduje wytwarzanie przez kompensator prądu w przewodzie R 2 2GU U cos6ω t j ( U cos t+ U cos5 t) 5 R = ω 2 2 5 ω U+ U5+2UU 5cos6ωt Jest tak dlatego, że odkształcenie napięcia zasilania powoduje oscylacje chwilowej mocy czynnej. W szczególności, przy 5 tej harmonicznej: 2 2 5 ) + 5co 6 p = u i + u i = p+ p = 3 G( U + U 6GU U s ω t α α β β

L.S. Czarnecki, (200), Effect of supply voltage asymmetry on IRP p q based switching compensator control, IET Proc. on Power Electronics, Vol. 3, No., pp. 7 p p n n R = 2 cos ω, R = 2 cosω u U t u U t Algorytm sterowania oparty na Teorii CMB p q powoduje wytwarzanie przez kompensator prądu w przewodzie R p n 2 2 GU ( + U ) U U j = cosω t cos 2ω t R p2 n2 p n U + U + 2U U cos2ωt p n Jest tak dlatego, że asymetria napięcia zasilania powoduje oscylacje chwilowej mocy czynnej: p2 n2 p n p = u i + u i = p+ p = 3 G( U + U ) + 6GUU cos2ω t αα ββ

L.S. Czarnecki, On some misinterpretations of the Instantaneous Reactive Power p q Theory, IEEE Trans. on Power Electronics, Vol. 9, No.3, pp. 828 836, 2004 p = u i + u i = 3 UI[ + cos 2( t+ 30 )] αα β β ω q = u i u i = 3UIsin2( t+ 30 ) α β β α ω 0 0 p = u i + u i = 3UIcos(2 t 30 ) αα β β ω q = u i u i = 3 UI [ + sin(2 t 30 )] α β β α ω 0 0 Istnieją chwile czasu, w których moce p i q w obu obwodach są identyczne

Cele kompensacji równoległej i' = iaf( t), iaf( t) = P u( t), j 2 c = ( i iaf) u PC ac t ac t = 2 C t c ac uc i' = i ( ), i ( ) u ( ), j = ( i i ) Pw p w t w t = p 2 t c w u i' = i ( ), i ( ) u ( ), j = ( i i )

Kompensacja odbiorników o zmiennej mocy czynnej

Dziękuję za uwagę! Strona internetowa z pewną liczbą artykułów w formacie PDF: www.lsczar.info Adres e_mailowy: lsczar@cox.net L.S. Czarnecki, (2005), Moce w Obwodach Elektrycznych z Niesinusoidalnymi Przebiegami Prądów i Napięć, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej