Granice ciągów liczbowych Obliczyć z definicji granicę ciągu o wyrazie, gdzie jest pewną stałą liczbą. Definicja: granicą ciągu jest liczba, jeśli Sprawdzamy, czy i kiedy granica rozpatrywanego ciągu wynosi 0. W taki przypadku warunek z powyższej definicji ma postać Dla każdego musimy znaleźć takie, żeby warunek z definicji granicy ciągu był spełniony. Liczby są dodatnie, więc możemy opuścić wartość bezwzględną Liczba też jest dodatnia, więc możemy obliczyć odwrotność powyższej nierówności Chcemy podnieść obie strony nierówności to potęgi, tak aby po lewej stronie zostało samo. Zrobimy to ostrożnie, żeby się nauczyć, czy i kiedy w takim przypadku można zachować kierunek nierówności, a kiedy trzeba go zmienić. Funkcji jest ściśle rosnąca, więc powyższa nierówność
jest zachowana, jeśli policzymy logarytm z każdej z jej stron Następnym krokiem jest podzieleniu obu stron nierówności prze. Musimy rozważyć osobno przypadek każdego znaku stałej : W taki przypadku znak nierówności się nie zmienia Korzystają znów z monotoniczności funkcji dostajemy Każda liczba spełniająca warunek może być użyta w definicji granicy ciągu. : W taki przypadku znak nierówności się zmienia
co po analogicznych jak uprzednio przekształceniach daje Nie ma więc takiej liczby, dla której byłby spełniony warunek z definicji granicy ciągu. Pokazaliśmy, że dla dodatnich ciąg ma granicę równą 0. Dla ciąg też ma granicę, ale tym razem wynosi ona 1. Dowód jest niezwykle prosty: dla każdy wyraz ciąg jest równy. Jest to ciąg stały, dla którego i warunek z definicji granicy ciągu jest spełniony dla dowolnych i. Dla ujemnych ciąg nie ma granicy. Nie wydaje się, żeby celowe było przeprowadzanie rygorystycznego dowodu. Znaleźć granice następujących ciągów
Ta granica nie istnieje, ponieważ, czyli,. Ten ostatni wynik można udowodnić w sposób następujący:
Obliczyć granicę dla Wyrażenie pod pierwiastkiem spełnia warunek Prawa nierówność wynika z tego, że ciąg jest malejący. Możemy zdefiniować dwa ciągi, i, które spełniają warunki Granice tych nowych ciągów są znane z wykładu. Dla każdej stałej dodatniej mamy. Korzystając z twierdzeniach o trzech ciągach dostajemy
Liczba Eulera Omawiamy ciąg o wyrazach postaci Podajemy wartości liczbowe kilku pierwszych wyrazów Następnie definiujemy liczbę Eulera Jest to liczba niewymierna, której rozwinięcie dziesiętne zaczyna się od Robimy kilka prostych zadań, w których pojawia się liczba
Gramy razy, za każdym razem mając prawdopodobieństwo wygranej równe. Jakie jest prawdopodobieństwo, że nie wygramy ani razu? Przy bardzo dużej liczbie prób, to prawdopodobieństwo dąży do. Lokata jest oprocentowana na %. Jeśli kapitalizacja jest po roku, oszczędności po roku będą razy większe niż początkowy kapitał. Jak to się zmienia ze zmianą okresu kapitalizacji, jeśli oprocentowanie przy -krotnej kapitalizacji wynosi? Przy -krotnej kapitalizacji, po n takich okresach (czyli po roku) oszczędności wzrosną razy. Jaka jest granica efektywnego oprocentowania, przy coraz częstszej kapitalizacji? Musimy obliczyć Warto zilustrować to przykładami liczbowymi.
To pokazuje, że częstość kapitalizacji nie ma istotnego znaczenia przy niskich stopach procentowych (wzrost z 5% tylko do 5.13%, a z 10% do około 10.5%). Dopiero przy stopie procentowej 20%, (nieskończenie) częsta kapitalizacja daje istotny efekt: efektywna stopa procentowa wzrasta z 20% do nieco ponad 22%. Nominalna stopa procentowa 40% rośnie efektywnie już do ponad 49%. Ze względów bardzo praktycznych warto przedyskutować różnice przy spłacaniu kredytów w zależności od rodzaju rat. Popularne są dwa rodzaje rat: stałe raty i raty malejące przy stałej spłacie kapitału. Oprocentowanie kredytu w skali roku wynosi. Raty są płacone co miesiąc, a kredyt w wysokości należy spłacić w ratach. Obliczenia dla rat malejących są proste. Pierwsza rata wynosi Przy drugiej racie odsetki płacimy tylko od niespłaconej części kwoty kredytu Rata numer wynosi Obliczamy całkowitą spłatę, jako sumę poszczególnych rat
Korzystając ze wzoru na sumę szeregu arytmetycznego, otrzymujemy Obliczenia dla przypadku stałych rat są bardziej skomplikowane. Na początek trzeba wyliczyć wysokość poszczególnych rat. -ta rata jest sumą -tej części kwoty kredytu i oprocentowania obliczonego od jeszcze niespłaconej kwoty Stałość wysokości rat oznacza, że To daje -szą ratę kapitałową w funkcji -tej raty kapitałowej:
Iterując ten wzór dostajemy Suma wszystkich rat kapitałowych musi dać całą kwotę kredytu Kolejne raty kapitałowe tworzą ciąg geometryczny z pierwszym wyrazem równym i z ilorazem kolejnych wyrazów równym. Korzystamy ze wzoru na sumę ciągu geometrycznego To pozwala obliczyć pierwszą ratę kapitałową i pierwszą pełną ratę razem z odsetkami Wszystkie raty są z definicji równe, więc ich suma jest bardzo prosta do obliczenia
Porównujemy teraz sumę wszystkich rat w obu rodzajach kredytu. Ich różnica wynosi Dla małej liczby rat dostajemy odpowiednio 1 0 2 3 Różnica między i jest nieujemna i wiodące wyrazy są drugiego rzędu w. Zwracając kredyt w równych ratach zapłacimy więcej niż spłacając ten sam kredyt przy takiej samej stopie procentowej ale w ratach malejących. Różnica nie jest zbyt istotna w przypadku niezbyt dużych wartości i. Jeśli natomiast lub nie jest małe, różnica może być bardzo znacząca. Zróbmy obliczenia dla kredytu hipotecznego o stopie procentowe 6% w skali roku udzielonego na 30 lat. Mamy więc i. Wyliczamy Różnica to ponad 25% kwoty pożyczki. Dla stopy procentowej równej 9% w skali roku, ta różnica wzrasta do około 55% kwoty pożyczki (, ). tegory:ćwiczenia z Matematyki I dla OO]]