Krzysztof Piontek Katedra Inwestycji Finansowych i Ubezpieczeń Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu Zmienność historyczna i implikowana jako prognozy zmienności instrumentów finansowych WPROWADZENIE Zmienność instrumentów finansowych jest pojęciem zyskującym coraz bardziej na znaczeniu. Ogólnie można powiedzieć, że zmienność jest miarą niepewności co do przyszłych zmian ceny instrumentu finansowego[]. Jeśli wzrasta zmienność, rośnie prawdopodobieństwo, że dany instrument finansowy znacznie zmieni swoją cenę w przyszłości. Może być to zarówno korzystna, jak i niekorzystna zmiana z punu widzenie posiadacza takiego instrumentu. Zainteresowanie zmiennością są zarówno na płaszczyźnie teoretycznej, gdyż bardzo silnie rozwijają się modele teoretyczne umożliwiające zarządzanie ryzykiem [] oraz z przyczyn praycznych [3], gdyż prawidłowe oszacowanie (przyszłego) parametru zmienności umożliwia zmniejszenie ryzyka inwestycji lub osiągnięcie większych dochodów. W niniejszej pracy przedstawione zostały podstawowe miary i metody prognozy zmienności oraz próba odpowiedzi na pytanie, óra z metod prognozy zmienności, historyczna czy implikowana, cechuje się większą przydatnością do oceny przyszłej zmienności instrumentu finansowego w warunkach polskich. W dalszej części pracy rozpatrywane będą wyłącznie europejskie opcje kupna.. ROZKŁAD STÓP ZWROTU U podstaw rozważań o zmienności instrumentów finansowych znajduje się dyskusja o dynamicznych modelach opisujących cenę instrumentu finansowego. Ceny lub stopy zwrotu opisuje się jako procesy stochastyczne o czasie dyskretnym lub ciągłym. Wybór odpowiedniego procesu implikuje wyznaczanie parametru zmienności. Badania empiryczne stóp zwrotu w dłuższym okresie [4] wykazały, występowanie na rynkach finansowych:
Krzysztof Piontek efeu skupiania danych; po okresie dużej zmienności, następują okresy charaeryzujące się mniejszą zmiennością, grubych ogonów rozkładów; prawdopodobieństwo pojawienia się bardzo dużych lub bardzo małych wartości jest większe niż w przypadku rozkładu normalnego, skośności rozkładu; rozkład stóp zwrotu nie jest symetryczny względem średniej, lecz częściej pojawiają się większe od średniej stopy zwrotu, co tłumaczy się odmiennym zachowanie inwestorów w czasie bessy i hossy, długoterminowej zależności danych; po znacznych wzrostach następują dalsze wzrosty, po órych nadchodzą nagłe spadki a po nich kolejne, niestałości wariancji stóp zwrotu w czasie; wariancja procesu zależy od wcześniejszych stóp zwrotu, wraz ze spadkiem ceny instrumentu występuje tendencja do wzrostu wariancji stóp zwrotu [5]. Jednak nadal najpopularniejszym modelem opisującym ruch cen jest geometryczny ruch Browna opisany w sposób następujący: dp P dz = ε = µ dt + σdz dt gdzie: P cena instrumentu finansowego; ε - proces stochastyczny, w órym kolejne zmienne losowe są niezależne oraz mają standaryzowany rozkład normalny N(0,), μ parametr procesu, oznaczający średnią, σ parametr procesu, oznaczający zmienność, t czas. Model ten implikuje, że dla dowolnego momentu przyszłego ceny mają rozkład logarytmiczno-normalny a stopy zwrotu rozkład normalny. W modelu tym zakłada się, że parametr zmienności jest stały w czasie. Geometryczny ruch Browna stał się popularny ze względu na prostotę oraz możliwość prostego uwzględnienia go w wielu modelach rynku bądź wyceny instrumentów pochodnych. Model geometrycznego ruchu Browna wykorzystany został przez Blacka i Scholesa do wyprowadzenia wzoru na wartość europejskiej opcji kupna wystawionej na akcje nie płacące dywidendy. Także późniejsze, najbardziej znane, modyfikacje tego wzoru wprowadzone przez Mertona (model wyceny europejskiej opcji kupna akcji, óra płaci dywidendę) oraz Garmana- Kohlhagena (model wyceny europejskiej opcji walutowej) [6] zakładają, że ceny instrumentu bazowego zmieniają się zgodnie z geometrycznym ruchem Browna.
Zmienność historyczna i implikowana jako prognozy zmienności... 3 Istnieje oczywiście wiele alternatywnych modeli ruchu cen [7] [8][4] []: model Ornsteina-Uhlenbecka, model skoku i dyfuzji (jump-diffusion process), model Coxa-Rossa-Rubinsteina, model Racheva-Rüschendorfa, model ze zmiennością będącą procesem stochastycznym. W modelach tych uwzględniono np. powracanie procesu do średniej, nagłe skoki cen, fa, że parametr zmienności może być również przedstawiony jako proces stochastyczny oraz dyskretne zmiany czasu i cen.. MIARY ZMIENNOŚCI Zmienność jest miarą niepewności co do przyszłych stóp zwrotu. Najczęściej analizuje się zmienność logarytmicznych stóp zwrotu danych wzorem: P t r = ln t Pt Przy założeniu, że ceny instrumentów zmieniają się rzeczywiście zgodnie z procesem geometrycznego ruchu Browna, estymatorem zmienności jest odchylenie standardowe stóp zwrotu: s = n n ( r t r ) t= gdzie r jest średnią arytmetyczną z zaobserwowanych stóp zwrotu. Odchylenie standardowe jest najczęściej stosowaną miarą zmienności, nie mniej możliwe są również miary oparte na innych normach niż L [9]. Na przykład dla normy L miara zmienności zdefiniowana jest w sposób następujący: n s = r t me n t= gdzie me to mediana stóp zwrotu. W świetle występowania nagłych hoss lub przede wszystkim katastrof finansowych interesująca staje się miara oparta na normie L, óre bazuje na wartościach ekstremalnych. Miarę tę wykorzystuje się często również przy analizie wyników notowań ciągłych. Dla normy L miarą zmienności dana jest następującym wzorem:
4 Krzysztof Piontek s = ( rmax rmin ) Ponieważ w większości modeli uwzględnia się roczną zmienność instrumentu finansowego, niezbędne staje się przeliczenie wartości wyznaczonej z powyższego wzoru na okres roczny. W dalszej części pracy za miarę zmienności w skali roku przyjęte zostanie jednak najbardziej popularne odchylenie standardowe logarytmicznych stóp zwrotu dane wzorem: n s = ( rt r ) * N, n t= gdzie N jest liczbą przyjętych (kalendarzowych lub sesyjnych) dni w roku. 3. METODY PROGNOZOWANIA ZMIENNOŚCI Jak już zostało zasygnalizowane, prawidłowe oszacowanie przyszłej zmienności instrumentu finansowego umożliwia osiągnięcie większych dochodów lub redukcję ryzyka związanego z inwestycją. Na drodze rozważań teoretycznych i praycznych wypracowane zostały metody prognozowania zmienności poprzez [3]: proste metody statystyczne wywodzące się z pojęcia średniej, modele wykorzystujące oczekiwania rynku (zmienność implikowana), stochastyczne modele szeregów czasowych, sieci neuronowe. W dalszej części pracy rozważone zostaną metody prognozy na podstawie historycznych notowań instrumentu finansowego oraz na podstawie oczekiwań rynku. 3.. Zmienność historyczna W metodzie tej zakłada się, że przyszła zmienność będzie na takim samym poziomie jak w przeszłości. Przyjmuje się, że jest to metoda wykorzystywana, gdy rynek instrumentu bazowego jest płynny, a rynek opcji nie. Zazwyczaj zmienność szacuje się na podstawie próby składającej się z dziennych stóp zwrotu. Próba powinna obejmować okres bezpośrednio poprzedzający datę analizy. Zakładając, że wariancja ma stałą wartość w czasie, im dłuższy okres zostanie przyjęty do wyznaczania parametru zmienności, tym
Zmienność historyczna i implikowana jako prognozy zmienności... 5 mniejszy błąd oszacowania. Niestety wariancja charaeryzuje się również zmianami w czasie, co wymusza, że do analiz powinien zostać przyjęty możliwie najdłuższy, zapewniający stałość wariancji, okres. Dwoma najpopularniejszymi estymatorami są: odchylenie standardowe stóp zwrotu, wykładnicza średnia ważona dana wzorem: s t ( λ) r = λs +. t t Wariancja stóp zwrotu wyznaczana jest jako średnia ważona wariancji wyznaczonej dla okresu poprzedniego oraz kwadratu bieżącej stopy zwrotu. Średnia ważona jest przykładem adaptacyjnego sposobu prognozowania zmienności. Parametr λ przyjmuje zazwyczaj wielkość większą niż 0,9. Zakładając, że kolejne stopy zwrotu są nieskorelowane, wariancję wyrażoną w stosunku rocznym wyznacza się mnożąc wariancję dziennych stóp zwrotu przez odpowiednią liczbę dni w roku. Możliwe jest stosowanie liczby kalendarzowych dni w roku lub liczby dni transakcyjnych [0][]. Dni kalendarzowe wykorzystuje się, gdy istnieją przesłanki, że ceny danego instrumentu zmieniają się również w czasie dni nietransakcyjnych. Odpowiedź na pytanie, czy stosować system dni transakcyjnych, czy kalendarzowych, uzyskuje się porównując wariancję stop zwrotu z sesji, pomiędzy órymi nie było dni nietransakcyjnych ze stopami zwrotu z sesji oddzielonych dniami wolnymi (weekendy i święta). Przy szacowaniu wariancji rocznej należy uwzględnić również fa, czy przyszły okres obejmujący pozostały czas życia opcji, jest porównywalny do okresu próby [5]. Ceny instrumentów finansowych są zazwyczaj bardziej zmienne w okresach ogłaszania strategicznych informacji (raporty makroekonomiczne, informacje o dywidendach, raporty finansowe). Jeżeli więc np. w przeszłości informacje taki się nie pojawiały, a w przyszłości mają wystąpić, to należy skorygować ocenę wariancji w górę. 3.. Zmienność implikowana Zgodnie z modelem Blacka-Scholesa wartość europejskiej opcji kupna na instrument nie wypłacający dywidendy dana jest wzorem: rt c = SN d ) Ee N( ), gdzie: ( d
6 Krzysztof Piontek d d ln = ln = S E S E s + r + T s T s + r T s T c wartość europejskiej opcji kupna, S cena instrumentu bazowego, E cena wykonania opcji, r stopa wolna od ryzyka, T długość okresu do terminu wygaśnięcia opcji, wyrażona w latach, s odchylenie standardowe stopy zwrotu, N(d) wartość dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego dla argumentu równego d. Jeżeli założy się, że rynek instrumentów pochodnych jest rynkiem efeywnym, czyli w cenie opcji znajdują odzwierciedlenie wszelkie informacje mogące mieć wpływ na cenę tej opcji oraz, że modele teoretyczne prawidłowo wyceniają instrument pochodny, możliwe staje się wyznaczenie rynkowego oszacowania zmienności instrumentu bazowego w okresie pozostającym do wygaśnięcia opcji. Dokonuje się tego poprzez numeryczne wyznaczenie z modeli klasy Blacka-Scholesa parametru zmienności, przy założeniu, że pozostałe parametry modelu są znane, a cena opcji na rynku jest ceną sprawiedliwą. Metodę tę stosuje się przy płynnym rynku instrumentów pochodnych. Bardzo często zdarza się, że na rynkach notowanych jest więcej niż jedna opcja wystawiona na dany instrument (notowane są opcje o różnych terminach wygaśnięcia i różnych cenach wykonania). Możliwe jest wówczas otrzymanie różniących się wartości zmienności implikowanej będących oszacowaniem tej samej przyszłej zmienności. Związane jest to z obciążeniami modeli teoretycznych, ewentualną niepłynnością rynku, błędnym oszacowaniem pozostałych danych w modelu teoretycznym, istnieniem spreadu bid-ask itd. Modele teoretyczne mają bowiem tendencję do zawyżania wartości opcji out-ofthe-money i zaniżania wartości opcji in-the-money. Nie wszystkie opcje są również tak samo wrażliwe na zmiany odchylenia standardowego stóp zwrotu instrumentu bazowego. Najbardziej wrażliwe są opcje at-the-money o stosunkowo długim okresie do wygaśnięcia. Niezbędne stało się podjęcie
Zmienność historyczna i implikowana jako prognozy zmienności... 7 próby połączenia informacji niesionej przez poszczególne wartości zmienności implikowanej w jeden złożony parametr zmienności implikowanej. Często procedurę wyznaczania złożonego parametru zmienności implikowanej poprzedza odrzucenie z analizowanego zbioru opcji, dla órych []: premia opcyjna jest mniejsza niż zadana wartość, premia jest mniejsza niż zadany procent ceny instrumentu bazowego (eliminuje się opcje, dla órych koszty transakcji są zbyt wysokie oraz opcje, óre są daleko out-of-themoney), premia jest mniejsza niż 50% różnicy między ceną akcji a ceną wykonania przy warunku, że cena wykonania jest mniejsza od ceny instrumentu bazowego (eliminuje się opcje głęboko in-the-money, szczególnie to o krótkim okresie do wykupu), czas do wygaśnięcia jest krótszy od założonej granicy. Dalsza część procedury wyznaczania złożonego parametru zmienności implikowanej obejmuje wyznaczenie odpowiednio ważonej średniej dla zmienności implikowanych otrzymanych dla opcji pochodzących z tej samej klasy. W zależności od autora za klasę opcji uważa się wszystkie opcje wystawione na ten sam instrument bazowy [3] lub wszystkie dostępne do analizy opcje wystawione na ten sam instrument bazowy oraz o tym samym terminie wygaśnięcia [4]. Zakłada się, że dla każdego instrumentu, k, oraz momentu czasowego, t, istnieje prawdziwa wartość zmienności, σ, óra idealnie opisuje oczekiwaną przyszłą zmienność. Liczbę opcji w danej klasie dla danych k i t oznacza się jako N, a σ i to zmienności implikowane dla poszczególnych opcji w klasie (i=,..., N ). Zaproponowane przez różnych autorów estymatory, kładą odmienny nacisk na wartości zmienności implikowanej otrzymanej dla opcji o różnych wrażliwościach na zmiany odchylenia standardowego. R. Schmalensee i R. Trippi zaproponowali, aby wszystkie zmienności implikowane traować tak samo i ich estymator ma postać średniej ważonej wagami jednostkowymi [] N s = σ i N i= Wagi proporcjonalne do współczynnika vega poszczególnych opcji zostały zaproponowane przez H. Latané i J. Rendlemana [3] oraz S. Beckersa [4]. Latane i Rendleman zaproponowali następujący wzór do wyznaczania estymatora łącznego:
8 Krzysztof Piontek s = N j= σ * w N kjt j= w kjt kjt 0.5 gdzie w kjt pochodna cząstkowa ceny opcji j na instrument k w momencie t po odchyleniu standardowym wyznaczonym z modelu teoretycznego. Powyższa średnia ważona nie jest prawdziwą średnią ważoną, ponieważ suma wag jest mniejsza niż. Z tego względu estymator ten jest obciążony i zaniża wartość zmienności implikowanej. Co więcej obciążenie zwiększa się wraz ze wzrostem wielkości próby nawet, gdy wszystkie zaobserwowane zmienności implikowane dla pojedynczych opcji są takie same. Nie mniej wagi takie uznano za lepsze niż jednostkowe, gdyż przyznają mniejszą wagę wartościom nietypowym. Beckers zaproponował procedurę wyznaczania łącznej zmienności implikowanej, órą koncentruje się przede wszystkim na zmiennościach implikowanych na podstawie opcji at-the-money. Wartość łącznej zmienności uzyskuje się poprzez minimalizację funkcji [4]: f ( s ) = N i= w [ Po c ( s )] i N i i= w i i gdzie: Po i - cena rynkowa opcji. Procedura ta minimalizuje ważoną sumę kwadratów odchyleń cen rynkowych oraz cen wynikających z modelu teoretycznego przy założonym poziomie zmienności. Wagi w tej procedurze są proporcjonalne do kwadratu wag z procedury Latane i Randlemana, co powoduje, że większy nacisk kładzie się na opcje o większej wrażliwości na zmiany odchylenia standardowego. D. Chiras i S. Manaster zaproponowali średnią ważoną względem współczynnika elastyczności ceny opcji i odchylenia standardowego [5]: N c s σ j j= s c s = N c s s c gdzie: j= j
Zmienność historyczna i implikowana jako prognozy zmienności... 9 c s s c - elastyczność ceny względem odchylenia standardowego; informacja ile procent zmieni się wartość opcji, jeżeli zmienność zmieni się o jeden procent swej wartości. Zaproponowane powyżej metody wyznaczania łącznej zmienności implikowanej, uwzględniają z różną wagą zmienności implikowane otrzymane dla opcji o różnej wrażliwości na zmiany odchylenia standardowego stóp zwrotu. Ze względu na brak obciążeń estymatora, najczęściej wykorzystuje się procedurę zaproponowaną przez Chirasa i Manastera. 4. BADANIE PRZYDATNOŚCI PROGNOZ ZMIENNOŚCI Testowanie przydatności prognoz zmienności odbywa się na danych historycznych. Rzeczywista, podlegająca prognozie, zmienność instrumentu bazowego wyznaczana jest jako odchylenie standardowe dziennych stóp zwrotu w okresie od rozpoczęcia analizy do wygaśnięcia opcji i podawana jest w skali jednego roku. Poszukiwana jest odpowiedź na pytanie, czy zmienność implikowana jest lepszym oszacowaniem przyszłej zmienności niż odchylenie standardowe wyznaczane na podstawie historycznych stóp zwrotu. Rys.. przedstawia procedurę testowanie przydatności prognoz zmienności. zm_impl czas zm_hist zm_rzecz Rys.. Schemat procedury testowania przydatności prognoz zmienności
0 Krzysztof Piontek Do porównania przydatności zmienności historycznej i zmienności implikowanej wykorzystuje się model regresji liniowej. zm_rzecz =a +b *zm_hist zm_rzecz =a +b *zm_impl zm_rzecz =a 3 +b 3 *zm_hist +b 4 *zm_impl Miarą przydatności poszczególnych metod prognozowania zmienności są statystyki R dla poszczególnych modeli regresji. Im wyższa miara R, tym większa przydatność danej metody prognozowania. Możliwe jest przeprowadzenie badań dla poszczególnych punów czasowych, terminów wygaśnięcia opcji i instrumentów. 5. PRZYKŁAD EMPIRYCZNY Ze względu na niewielką liczbę opcji notowanych na rynku polskim oraz ze względu na utrudniony dostęp do wiarygodnych danych, badania przydatności prognoz zmienności w warunkach rynku polskiego przeprowadzono na przykładzie opcji na kurs dolara. Bazę danych stanowiły informacje publikowane w dziennikach Rzeczpospolita oraz Parkiet. Dla 0, odległych o miesiąc, punów czasowych wyznaczono zmienności implikowane przez model Garmana-Kohlhagena oraz historyczne dla opcji o terminie wygaśnięcia miesiąc i 3 miesiące. Łączny parametr zmienności wyznaczono na podstawie procedury zaproponowanej przez Chirasa i Manastera. Miarą zmienności historycznej oraz rzeczywistej było odchylenie standardowe stóp zwrotu. Tabela przedstawia wariancję dziennych logarytmicznych stóp zwrotu dla kolejnych dni tygodnia. Tabela. poniedziałek wtorek środa czwartek piątek 4,5e-5 4,6e-5 5,56e-5 4,0e-5 4,5e-5 Ponieważ wariancje dla różnych dni są porównywalne, uzasadnione jest więc przyjęcie założenia, że efeywnych dni sesyjnych w roku jest około 50. W dalszych obliczeniach przyjęta została liczba 5 efeywnych dni sesyjnych w roku.
Zmienność historyczna i implikowana jako prognozy zmienności... Tabela zawiera wyznaczone dla poszczególnych dat zmienności implikowane i historyczne oraz rzeczywistą zmienność instrumentu bazowego, óra wystąpiła w okresie do wygaśnięcia opcji. data Prognozy zmienności a rzeczywiste wielkości opcje M opcje 3M zmienność zmienność zmienność zmienność historyczna rzeczywista implikowana rzeczywista zmienność implikowana Tabela. zmienność rzeczywista 99.04.5 7,9% 7,47% 6,69% 9,80% 9,57% 6,0% 99.03.6,05% 9,3% 7,47% 3,08% 9,90% 7,4% 99.0.5,40%,65% 9,3% 8,73% 9,% 7,99% 99.0.6 3,75% 8,75%,65% 3,89% 7,5% 9,57% 98..5 0,9% 6,05% 8,75%,78% 7,7% 9,90% 98..5 4,07% 7,% 6,05% 3,96% 8,6% 9,% 98.0.5 7,9% 9,9% 7,% 7,3% 0,43% 7,5% 98.09.5 0,64% 9,6% 9,9% 4,6% 8,9% 7,7% 98.08.5 8,9%,9% 9,6% 7,47%,05% 8,6% 98.07.5 0,44% 9,6%,9%,33% 8,85% 8,% Tabela 3. przedstawia wyznaczone statystyki R będące ocenami przydatności prognoz uzyskanych przy pomocy zmienności implikowanej i zmienności historycznej. Tabela 3. R model regresji opcje M opcje 3M zm_rzecz =a +b *zm_hist 0,07 0, zm_rzecz =a +b *zm_impl 0, 0,0 zm_rzecz =a 3 +b 3 *zm_hist +b 4 *zm_impl 0,7 0, Niewątpliwie należałoby przeprowadzić analogiczne badania dla dużo większej liczby punów czasowych oraz instrumentów, lecz na bazie uzyskanych wyników można stwierdzić, że obie metody prognozy nie sprawdzają się w warunkach polskich. Na podstawie uzyskanych wyników nie można odpowiedzieć, óra metoda prognozy daje lepsze oszacowania przyszłej zmienności. Powyższe wyniki można tłumaczyć przede wszystkim faem, że rynek opcji w Polsce jest rynkiem bardzo płytkim w stosunku do rynków rozwiniętych, co skutkuje nie do końca uzasadnioną wyceną opcji przez banki oraz faem, że kurs dolara jest bardzo zmienny.
Krzysztof Piontek Literatura:. Hull J. (997). Futures, options, and other derivatives. Prentive-Hall, New York.. Jajuga K. (998). Ogólna koncepcja zarządzania ryzykiem finansowym. Materiały z XXXIV Konferencji Statystyków, Ekonometryków, Matematyków Polski Poludniowej. Katowice. 3. Jajuga K. (998). Zmienność prognozowanie i zastosowanie w zarządzaniu ryzykiem. Materiały z konferencji Prognozowanie w zarządzaniu firmą. PN nr 808. Wrocław. 4. Weron A., Weron R. (998). Inżynieria finansowa. WNT. Warszawa. 5. Haugen R.A. (996) Teoria nowoczesnego inwestowania. WIGPRESS. Warszawa. 6. Jajuga K., Kuziak K., Markowski P. (997). Inwestycje finansowe. Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej we Wroclawiu. Wrocław. 7. Jajuga K. (999). Modele dynamiczne w analizie instrumentów finansowych. Materiały zgłoszone na VI Ogólnopolskie Seminarium Naukowe Dynamiczne Modele Ekonometryczne. Toruń. 8. Volatility. New Techniques for pricing derivatives. Pod redakcją Roberta Jarrowa. (998). Risk books. 9. Jajuga K. (999). Miary ryzyka rynkowego. Rynek Terminowy. listopad 999. Penetrator. Kraków. 0. French K. (980). Stock returns and the weekend effect. Journal of Financial Economics 8. North-Holland Publishing Company.. Piontek K. (999). Teoretyczna i rzeczywista wartość walutowych instrumentów pochodnych - rynek polski. Materiały z konferencji Finanse i bankowość a wejście Polski do Unii Europejskiej. Warszawa-Pułtusk.. Schmalensee R., Trippi R. (marzec 978). Common stock volatility expectations implied by option premia. The Journal of Finance. Vol. XXXIII No.. 3. Latane H., Rendleman R. ( maj 976). Standard deviations of stock price ratios implied in option prices. The Journal of Finance. Vol. XXXI No.. 4. Beckers S. (98). Standard deviations impied in option prices as predictors of future stock price variability. Journal of Banking and Finance 5. North- Holland Publishing Company. 5. Chirac D., Manaster S. (978). The information content of option prices and a test of market efficiency. Journal of Financial Economics 6. North- Holland Publishing Company.