Przykłady zastosowań trygonometrii w sytuacjach praktycznych Przypomnijmy najważniejsze informacje o funkcjach trygonometrycznych, które w dalszym ciągu będziemy wykorzystywać: funkcje trygonometryczne są stosunkami długości odpowiednich boków trójkąta prostokątnego, np.: tg α długość przyprostokątnej leżącej na przeciw kąta α / długość drugiej przyprostokątnej (podaj pozostałe definicje), funkcje trygonometryczne tego samego kąta są ze sobą powiązane (znając wartość jednej funkcji łatwo można policzyć wartości pozostałych funkcji) np.: sin α + cos α (podaj pozostałe związki między funkcjami) znamy dokładne wartości funkcji trygonometrycznych niektórych często spotykanych kątów np.: sin 3, sin 45, 3 sin 6, (podaj wartości pozostałych funkcji dla tych kątów). Wartości funkcji dla innych katów są stablicowane i podane jako przybliżenia wymierne na końcu podręcznika. Trygonometria wyrosła z potrzeb praktycznych. Najważniejsze zadania, które wiążą się z trygonometrią odwołują się do mierzenia i obliczania rzeczywistych wielkości. Matematyka upraszcza te pomiary i sprowadza je zwykle do zadań geometrycznych, których przykłady podajemy poniżej. Przykład Chcemy znaleźć szerokość rzeki mając do dyspozycji taśmę mierniczą i przyrząd do mierzenia kątów. Rzeka jest na tyle szeroka, że nie sposób dokonać tego pomiaru bezpośrednio. Spójrzmy na rysunek. W istocie jest to zadanie geometryczne, w którym mając długość AB a oraz kąt β, chcemy policzyć długość AC x. Zauważmy, że długość AB mierzona jest prostopadle do długości szukanej AC. Rys. Korzystając z definicji funkcji tangens otrzymamy: AC x tg β x a tgβ AB a
Dla przykładowych wartości a m, β 55, odnajdujemy w tablicach trygonometrycznych wartość tg55,48 i wyliczamy x,48 7, 4 [m]. Zauważmy, że w identyczny sposób można zmierzyć wysokość drzewa, słupa, wieży itp. Wystarczy wyznaczyć kąt pod którym widzimy dany obiekt i odległość do podstawy obiektu z miejsca, w którym stoimy. Bardzo ważne jest aby trójkąt, którym się posługujemy był prostokątny, w przeciwnym razie nie możemy skorzystać z definicji funkcji trygonometrycznych. Jako ćwiczenie na podstawie danych z rysunku, policz wysokość drzewa. Odp. h 9,33 [m] Rys. Przykład Dwóch kolegów oddalonych od siebie o m. obserwuje latawiec. Jacek widzi latawiec pod kątem 33 o, Placek widzi ten sam latawiec pod kątem 56 o. Na jakiej wysokości znajduje się latawiec? Rys. 3 Po naszkicowaniu problemu rysunek 3. Widać, że wysokość x, której szukamy jest wysokością trójkąta, wyznaczonego przez Jacka, Placka i latawiec. Wysokość ta zarazem dzieli trójkąt, o którym mowa na dwa trójkąty prostokątne w stosunku do których można wykorzystać funkcje trygonometryczne. Mamy zatem:
x tg 33 a x tg 55 b a + b x x a tg33,6494 x x b tg55,48 Zauważmy, że tym razem wygodniej jest wyznaczyć z definicji funkcji tangens odległości a i b, następnie podstawić te wartości do ostatniego równania. Ze względu na uproszczenie obliczeń odczytane z tablic wartości funkcji tangens zaokrąglijmy do dwóch miejsc po przecinku, podobnie postąpmy z wynikiem. x + x,65,43,65,43,43 x +,65 x 85,9,8 x 85,9 x 89, 38 [m] Czy nasze rozumowanie i sposób wyliczeń byłyby słuszne w przypadku, gdyby Placek widział latawiec bezpośredni nad sobą (odpowiedź uzasadnij)? Powyższą metodę można także wykorzystać do pomiaru odległości w sytuacji gdy punkt, którego odległość chcemy ustalić możemy zobaczyć pod dwoma kątami. Załóżmy, że chcemy obliczyć odległość do skały, przy czym pomiędzy skałą, nami a rosnącym niedaleko nas drzewem jest kąt 7 o. Zaznaczamy miejsce gdzie stoimy, mierzymy odległość tego miejsca do drzewa równą 85 m., mierzymy kąt pomiędzy skałą, drzewem a zaznaczonym miejscem 44 o. Biorąc pod uwagę te pomiary, pomagając sobie odpowiednim rysunkiem, dokonaj obliczeń. Zauważ, że tak policzona odległość jest odległością skały od linii: miejsce gdzie staliśmy wykorzystane do pomiarów drzewo. Zaproponuj metodę, która umożliwi pomiar odległości pomiędzy skałą a drzewem (np. korzystając dodatkowo z definicji funkcji sinus). Odp. Odległość od linii 6,95 [m], odległość skały od drzewa 84,65 [m]. Przykład 3 Rozważmy teraz problem odwrotny. Znamy odległości a chcemy policzyć kąt. Opieramy drabinę o długości 4 metrów o ścianę, w taki sposób, że jej koniec jest na wysokości 3 metrów nad ziemią. Pod jakim kątem do podłoża stoi drabina? Jak daleko od ściany znajduje się punkt podparcia drabiny o podłoże? Rys.4 3
Z warunków zadania, rysunek 4, mamy AC 3, CB 4. Wykorzystując definicję funkcji sinus otrzymamy: AC 3 sin β,75 CB 4 Odnajdujemy w tablicach trygonometrycznych, w kolumnie funkcji sinus, liczbę najbliższą wyznaczonej. Mamy dwie bliskie wartości:,743 dla kąta 48 o oraz,7547 dla kąta 49 o. Chcąc podać najdokładniejszy wynik weźmy kąt pośredni β48 ο 3'. Odległość x policzymy wykorzystując funkcję cosinus. Mamy: x cos β x cos β CB,66 4, 64 [m] CB Zauważmy, że tu również wzięto wartość pośrednią, leżącą w kolumnie cosinusa pomiędzy kątami 48 o a 49 o. Spróbuj bez obliczeń pisemnych odpowiedzieć na pytanie pod jakim kątem i w jakiej odległości będzie stała drabina, która sięga na wysokość m.? Odp. 45 o. Przykład 4 Tym razem rozważmy przykład czysto geometryczny. W trapezie ABCD, rysunek 5. Przekątna AC ma długość 4 cm, kąty ABC oraz DAC są równe 3 o. Przedłużenia boków nierównoległych przecinają się pod katem prostym. Oblicz pole tego trapezu. Rys. 5 Nie znamy długości podstaw trapezu dlatego nie możemy wykorzystać do policzenia pola a + b znanego dla trapezu wzoru S h. Zauważmy, że pole, które chcemy znaleźć jest sumą pól dwóch trójkątów: ABC i ACD. Przyjrzyjmy się bliżej tym trójkątom. Kąt o wierzchołku E jest z warunków zadania kątem prostym, zatem suma katów EAB+ABE równa jest 9 o (suma kątów trójkąta ABE równa jest 8 o ). Skoro kąty ABC oraz DAC są równe po 3 o, kąt CAB musi mieć także 3 o. Tym samym pokazaliśmy, że trójkąt ABC jest trójkątem równoramiennym o kątach przy podstawie po 3 o. Kąty BAC i ACD jako naprzemianległe są sobie równe, zatem trójkąt ACD również jest trójkątem równoramiennym o kątach przy podstawie równych po 3 o. 4
Nasze zadanie sprowadza się więc do policzenia pola trójkąta równoramiennego o kątach przy podstawie równych po 3 o, raz w przypadku gdy dany jest bok tego trójkąta, drugi raz w przypadku gdy dana jest podstawa tego trójkąta. Pokazano to na rysunku 6. Rys. 6 Pole trójkąta policzymy ze znanego wzory S a h. Dla trójkąta gdzie dany jest bok o dłu- gości 4 (lewa część rysunku 6) otrzymamy: 3 a 4 cos3 8 4 3 [cm] h 4 sin 3 4 [cm] S 4 3 4 3 [cm ] Dal trójkąta gdzie dana jest podstawa o długości 4 (prawa część rysunku 6) otrzymamy: h 3 3 tg h tg3 [cm] 3 3 4 3 S 4 [cm ] 3 3 Szukane pole trapezu równe jest zatem 4 3 6 3 4 3 + [cm ]. 3 3 Powyższe przykłady nie wyczerpują różnych sposobów wykorzystania trygonometrii do zadań geometrycznych. Wszystkie one maja wspólną cechę, aby je rozwiązać należy zobaczyć w szkicu do zadania trójkąt prostokątny w stosunku do którego można zastosować jedną bądź kilka funkcji trygonometrycznych, których wartości na ogół odczytujemy z tablic. Warto zatem przyjrzeć się tablicą wartości funkcji trygonometrycznych aby w razie potrzeby szybko i bezbłędnie odnaleźć w nich potrzebne informacje. Przykład 5 Należy zmierzyć wysokość góry (patrz rysunek 3), oczywiście nie można tego zrobić bezpośrednio. Nie można też bezpośrednio policzyć odległości od miejsca, w którym się znajdujemy A, do rzutu wierzchołka góry na podstawę C (gdyby taki pomiar był możliwy, wystarczyłoby zmierzyć kąt α i skorzystać z definicji funkcji tangens). 5
Rys. 3 Do rozwiązania tego zadania (wyliczenia h) wystarczą trzy pomiary: kątów α, β oraz długości a. Oznaczmy długość AC przez x. Z definicji funkcji tangens mamy: h tgβ x a h tgα x Otrzymaliśmy układ równań, w którym niewiadomymi są x i h. Niewiadoma x jest pomocnicza, nam zależy na rozwiązaniu tego układu względem h. Wyznaczamy z drugiego równania x i podstawiając do równania pierwszego otrzymamy: tgβ h h a tgα Aby wyznaczyć z tego równania h mnożymy obie strony przez mianownik, wynik mnożymy przez tg α, grupujemy wyrazy z h po jednej stronie, wyciągamy h przed nawias i ostatecznie wyliczamy: tgβ a tgα tgβ h a tgβ tgβ tgα tgα Podstawmy konkretne wartości. Dla α 38, β 46 i a 3 m. wysokość wynosi:,78,4 h 3 99,84 [m],4,78 Aby ułatwić rachunki, wartości funkcji zostały zaokrąglone do dwóch miejsc po przecinku. Zauważmy, że powyższą metodę można zastosować do obliczenia odległości od jakiegoś punktu. Wystarczy w tym celu położyć rysunek i wysokość h zamieni się w odległość, należy przy tym pamiętać, że wyliczymy odległość od prostej AC, stosując do niej funkcję sinus kąta α łatwo możemy zamienić ją na odległość do punktu A. 6
Przykład 6 (Triangulacja) Triangulacja jest to sposób pomiaru powierzchni przy użyciu metod trygonometrycznych, dokładnie sieci trójkątów, którymi pokrywa się mierzoną powierzchnie. Metoda ta do niedawna była podstawowa metodą mierniczą, obecnie wyparły triangulację urządzenia GPS, które zresztą w swoim oprogramowaniu wykorzystują algorytmy bazujące na tej metodzie. Sieć trójkątów nazywała się siatką triangulacyjną. Trójkąty w siatce miały boki długości kilkunastu kilometrów (przy pomiarze większych obszarów). Za wierzchołki tych trójkątów przyjmowano charakterystyczne elementy terenu np. wieże kościołów, bądź też wznosiło się takie wieże specjalnie. Jeszcze obecnie spotkać można w terenie stare, charakterystyczne wieże, które temu celowi miały służyć. Metoda triangulacji polegała na tym, że po pokryciu obszaru siecią trójkątów bardzo dokładnie mierzono bok jednego z nich, bok ten nazywano bazą. Mierzono też kąty wszystkich trójkątów (wystarczą po dwa kąty dla każdego trójkąta). Mając daną bazę i kąty, wszystkie trójkąty rozwiązywano tzn. wyliczano ich boki i powierzchnie. Metodę pokażemy w praktyce wyliczając powierzchnię sieci z rysunku 4. Rys. 4 Bazą jest tu odcinek AB. Rozwiążmy trójkąt ABF, policzmy jego pole i bok BF, który wykorzystamy do dalszych obliczeń. Bok BF wyliczymy korzystając z twierdzenia sinusów: BF sin 66 sin 5 stąd BF 4, 8 [km] Mając bok BF wyliczamy pole trójkąta ABF: S sin 64 ABF AB BF 4,8,9 76,5 [km ] Analogicznie rozwiązujemy trójkąt BCF, wyliczając w pierwszej kolejności bok CF: CF 4,8 stąd CF, 8 [km] sin5 sin 38 S 4,8,8 sin 7 66,39 BCF [km ] 7
Kolejnym trójkątem do rozwiązania jest CEF: CE,8 stąd CE 4, 5 [km] sin 4 sin 73 S,8 4,5 sin 65 37,48 CEF [km ] Ostatni trójkąt to CDE: CD 4,5 stąd CD 9, 48 [km] sin 38 sin 7 S 4,5 9,48 sin 7 64,7 CDE [km ] Łączne pole siatki triangulacyjnej wynosi: S 76,5 + 66,39 + 37,48 + 64,7 345, 9 [km ] Co należy zapamiętać? Rozwiązując zadanie geometryczne, w którym wykorzystujemy funkcje trygonometryczne należy w szkicu do zadania dopatrzeć się trójkątów prostokątnych. Wartości funkcji trygonometrycznych dla podstawowych kątów znamy dokładnie, dla kątów pozostałych odnajdujemy wartości przybliżone w tablicach funkcji trygonometrycznych. Aby policzyć pole wielokąta np. trapezu czasami wygodnie jest podzielić go na trójkąty i sumować pola poszczególnych trójkątów. Do obliczenia pola trójkąta równoramiennego wystarczy jeden z boków i jeden z kątów (obmyśl metodę, którą można zastosować w przypadku gdy dany jest kąt przy wierzchołku i podstawa lub bok). Co ponadto warto wiedzieć? Słowo trygonometria jest pochodzenia greckiego i oznacza dział matematyki zajmujący się rozwiązywaniem trójkątów to znaczy obliczaniem boków, kątów, pewnych odcinków specjalnych (np. wysokości) ponadto pól i obwodów trójkątów na podstawie informacji cząstkowych. Przykłady, które powyżej były przedstawione są w istocie rozwiązywaniem trójkątów. Trygonometria wyrosła z potrzeb praktycznych, miernictwa, astronomii, nawigacji. Szczególnie ważnym praktycznym zastosowaniem trygonometrii jest triangulacja. Triangulacja to sposób mierzenia powierzchni stosowany przez geodetów, który polega na tym, że mierzony obszar pokrywa się siecią trójkątów. Bardzo dokładnie mierzy się bok jednego z tych trójkątów tzw. bazę oraz ich kąty i na tej podstawie wylicza (rozwiązuje) pozostałe trójkąty a więc i cały pokryty nimi obszar. Będąc na wycieczce jeszcze można spotkać, drewniane wieże z żerdzi. Są to tzw. wieże triangulacyjne, które do niedawna służyły do oznaczania wierzchołków trójkątów, którymi geodeci pokrywali mierzony obszar. Wszelkich pomiarów wysokości i odległości niedostępnych punktów (wierzchołków gór, szerokości rzek, odległości) pierwotnie dokonano metodami trygonometrycznymi. Dopiero w ostatnich latach używa się do tego celu urządzeń laserowych 8
czy urządzeń GPS, które w istocie też wykorzystują trygonometrię w oprogramowaniu, które nimi steruje. Słowniczek Triangulację po raz pierwszy do pomiarów zastosował Willebrord Snellius (58 66), holenderski astronom i matematyk. Posługując się metodą triangulacji powinniśmy zdawać sobie sprawę, że rzeczywiste siatki budowane są nie na płaszczyźnie tylko na powierzchni sferycznej (kulistość Ziemi) w związku z czym rozwiązujemy trójkąty sferyczne, których suma kątów nie wynosi 8 o. Jednak dla trójkątów o powierzchni do km różnica sumy kątów wewnętrznych pomiędzy trójkątem płaskim a sferycznym na Ziemi, nie przekracza sekundy łuku, można ją zatem zaniedbać. W praktyce (np. ustawiając antenę satelitarną) możesz spotkać się z pojęciami wywodzącymi się wprost z trygonometrii, są to: kąt elewacji kąt do obserwowanego przedmiotu o wierzchołkach: rzut przedmiotu na linię horyzontu, oko obserwatora, przedmiot, kąt depresji podobnie jak kąt elewacji z tym, że obserwowany przedmiot znajduje się pod horyzontem (np. patrzymy z wieży na samolot znajdujący się na pasie lotniska, horyzont jest na wysokości naszych oczu, przedmiot poniżej), azymut kąt pomiędzy kierunkiem północnym a kierunkiem wyznaczonym przez przedmiot, teodolit jeden z najważniejszych instrumentów geodezyjnych, przeznaczony jest do pomiaru kątów w płaszczyźnie poziomej i pionowej (na rysunku obok teodolit firmy Otto, Fenel, Sohne, Kassel, lata 3. XX w.). Zadania przeznaczone do samodzielnego rozwiązania. Jak długi cień rzuca drzewo o wysokości 5 m., jeżeli promienie słońca padają pod kątem 4 o.. Pod jakim kątem wznosi się droga mająca 5% spadku? (Spadek drogi jest to stosunek różnicy wysokości do długości dla, której tę różnicę zmierzono, długość mierzymy wzdłuż drogi). 3. Na ścianie zaznaczono dwa punkty leżące na jednej linii pionowej w odległości 3 m. od siebie. Punkt dolny widzimy pod katem o, punkt górny pod kątem 4 o. W jakiej odległości od ściany stoimy? 4. Drzewo przełamało się na wysokości m. w taki sposób, że jego czubek dotyka ziemi pod kątem 35 o. Jaka była wysokość drzewa przed przełamaniem? 5. Jak długi cień będzie rzucała osoba o wzroście 8 cm stojąca,5 m. od ulicznej latarni o wysokości 4 m.? 6. Dwóch kolegów oddalonych od siebie o m. obserwuje latawiec. Jacek widzi latawiec pod kątem 33 o, Placek widzi ten sam latawiec pod kątem 56 o. Na jakiej wysokości znajduje się latawiec? 7. W okręgu o promieniu poprowadzono cięciwę w odległości 5 od środka. Jaka jest długość tej cięciwy? Pod jakim kątem widać ją ze środka okręgu? 9
8. Ze szczytu wzniesionego m. nad poziom jeziora widać bliższy brzeg jeziora pod kątem 44 o, dalszy brzeg pod katem 8 o. Jaka jest szerokość jeziora w tym kierunku? 9. Na przeciwległych brzegach rzeki zmierzono dwa równe i równoległe odcinki AB a i CD a. Oblicz szerokość rzeki, jeżeli odcinek AB widzimy z punktów C i D pod kątami odpowiednio α, β.. (Zagadnienie Snelliusa). Znając wzajemne położenia trzech punktów A, B, C (tzn. znając ich wzajemne odległości i kąty trójkąta, którego są wierzchołkami) znaleźć odległości czwartego punku P od pozostałych mierząc tylko kąty w punkcie P.. Jak długi cień rzuca drzewo o wysokości 5 m., jeżeli promienie słońca padają pod kątem 4 o.. Pod jakim kątem wznosi się droga mająca 5% spadku? (Spadek drogi jest to stosunek różnicy wysokości do długości dla, której tę różnicę zmierzono, długość mierzymy wzdłuż drogi). 3. Na ścianie zaznaczono dwa punkty leżące na jednej linii pionowej w odległości 3 m. od siebie. Punkt dolny widzimy pod katem o, punkt górny pod kątem 4 o. W jakiej odległości od ściany stoimy? 4. Drzewo przełamało się na wysokości m. w taki sposób, że jego czubek dotyka ziemi pod kątem 35 o. Jaka była wysokość drzewa przed przełamaniem? 5. Jak długi cień będzie rzucała osoba o wzroście 8 cm stojąca,5 m. od ulicznej latarni o wysokości 4 m.?