MODELOWANIE INŻYNIERSKIE 2016 nr 60, ISSN 1896-771X OBLICZENIA SYMBOLICZNE W PROBLEMIE WAHADŁA PODWÓJNEGO Andrzej Icha 1a,b 1 Instytut Matematyki, Akademia Pomorska w Słupsku a majorana38@gmail.com, b andrzej.icha@apsl.edu.pl Streszczenie Praca dotyczy wykorzystania ograniczonego systemu obliczeń naukowych TeX-PostScript w celu analizy dynamiki wahadła podwójnego. Wykorzystując formalizm lagranżowski, otrzymano układ równań opisujący ruch wahadła i zaprezentowano rozwiązania numeryczne przy użyciu pakietu makr postscriptowych PSTricks. Przedstawiono również dwie wybrane animacje ruchu ruchu wahadła. Rozważono także możliwość rozszerzenia obliczeń na przypadek ruchu wahadła potrójnego. Słowa kluczowe: drgania, wahadło podwójne, system obliczeń symbolicznych, TeX, PostScript SYMBOLIC COMPUTATIONS IN DOUBLE PENDULUM PROBLEM Summary The paper concerns the use of the restricted scientific computations system TeX-PostScript, to pendulum dynamics analysis. On the basis of the lagrangian formalism, the set of equations describing the pendulum motion is obtained. The numerical solutions are presented, using the macro package PSTricks. Two selected animations of penulum motion are showed also. The possibility of extending calculations for case of triple pendulum is mentioned. Keywords: vibrations, double pendulum, system of symbolic computations, TeX, PostScript, PSTricks 1. WSTĘP Obliczenia symboliczne stanowią intensywnie rozwijającą się i bardzo rozbudowaną gałąź matematyki stosowanej. Świadczy o tym m.in. fakt, że problematyka ta jest odnotowana w Matematycznej Klasyfikacji Tematycznej (MSC2010) pod numerami 33F10 - Symbolic computation oraz 68W30 - Symbolic computation and algebraic computation. Zasadniczym celem tego podejścia badawczego jest próba algorytmicznego ujęcia wszelkiego rodzaju operacji naukowych poprzez tworzenie zintegrowanych systemów obliczeń symbolicznych. Systemy takie, zwane CAS (Computer Algebra System), zaczęły pojawiać się na początku lat 70. ub. wieku. Pionierskie prace w tym zakresie były prowadzone m.in. przez holenderskiego fizyka Martinusa Veltmana, który w latach 60. zaprojektował program komputerowy Schoonschip umożliwiający symboliczną manipulację równaniami matematycznymi, uważany obecnie za pierwszy komputerowy system algebry [4]. W dalszym ciągu pracy wprowadzono następujące określenia. Definicja 1. Systemem obliczeń naukowych nazywa się zintegrowane środowisko obliczeniowe zawierające procedury symboliczne, numeryczne i hybrydowe, umożliwiające wizualizacje graficzne i przetwarzanie danych. Definicja 2. Ograniczonym systemem obliczeń naukowych nazywa się środowisko obliczeniowe zawierające procedury symboliczne i (lub) numeryczne, umożliwiające wizualizacje graficzne i przetwarzanie danych. Przykładami znanych i popularnych systemów obliczeń są Maple, Mathematica i Matlab (systemy komercyjne) oraz Maxima, Octave i Scilab (systemy typu public domain) [2]. Relatywnie mało znanym, ograniczonym systemem obliczeń, jest rozpowszechniany na zasadzie dobra wspólnego bez interfejsu graficznego - system 28
Andrzej Icha TeX-PostScript (PSTricks). Celem pracy jest krótkie przedstawienie możliwości obliczeniowych i graficznych tego systemu w zastosowaniu do opisu dynamiki wahadła podwójnego. Rezultaty obliczeń zaprezentowano w formie graficznej oraz przedstawiono dwie przykładowe animacje ruchu wahadła dla dwóch konfiguracji początkowych. Pełne animacje dostępne są na żądanie pod adresem (andrzej.icha@apsl.edu.pl). 2. WAHADŁO MATEMATYCZNE PODWÓJNE Definicja 3 [1, s. 55]. Wahadłem matematycznym podwójnym nazywa się układ mechaniczny o dwóch stopniach swobody znajdujący się w stacjonarnym jednorodnym polu siły ciężkości o przyspieszeniu g, złożony z dwóch wahadeł jednokrotnych o masach m1, m2 skupionych na końcach wahadeł i długościach l 1 i l2, z których drugie jest zamocowane przegubowo do pierwszego. Szkic geometryczny rozpatrywanego układu przedstawia rys. 1. Ruch wahadła odbywa się w ustalonej płaszczyźnie przechodzącej przez linię pionu. Jako współrzędne uogólnione wybrano kąty 1 i 2 odchyleń wahadeł od pionu. Znaleziono równania ruchu wahadła, wykorzystując formalizm lagranżowski. Współrzędne i prędkości zawieszonych punktów wynoszą: Rys. 1. Wahadło podwójne - szkic Następnie znaleziono energie - kinetyczną T i potencjalną U wahadła. na podstawie których obliczono lagrangian układu L= T-U. Wykorzystując równania Lagrange a [3], Znaleziono równania ruchu wahadła podwójnego, zapisane w postaci dogodnej do obliczeń (1) (2) gdzie m2/(m1 + m2), = l1/l2. Równania (1) - (2) tworzą układ dwóch sprzężonych nieliniowych równań zwyczajnych drugiego rzędu, którego efektywna analiza może być dokonane tylko metodami numerycznymi. Znajdzie się przykładowe rozwiązania tego układu, wykorzystując możliwości obliczeniowe systemu TeX-PostScript i wybierając następujące dane wejściowe i warunki początkowe: (3) (4) 29
OBLICZENIA SYMBOLICZNE W PROBLEMIE WAHADŁA PODWÓJNEGO Poniżej zaprezentowany jest kod źródłowy zawierający procedury obliczeniowe i graficzne dla układu równań (1) - (2), zapisane zgodnie ze składnią zdefiniowaną w pakiecie makr pstricks-add [5]. Kluczowe znaczenie mają tu linie 11-28, opisujące prawe strony równań (1) - (2) i warunki (3) - (4). Realizacja programu jest przedstawiona na dwóch animacjach oraz czterech rysunkach poniżej. Kod źródłowy 1. Wahadło podwójne 30
Andrzej Icha Rys. 2. Trajektorie wahadła podwójnego w czasie rzeczywistym (t {5 s, 15 s, 35 s, 40 s}), dla warunków początkowych (3) Rys. 3. Trajektorie wahadła podwójnego w czasie rzeczywistym (t {5 s, 20 s, 30 s, 40 s}), dla warunków początkowych (4) Rys. 4. Zależność 1 = 1 (t) dla warunków początkowych (3) 31
OBLICZENIA SYMBOLICZNE W PROBLEMIE WAHADŁA PODWÓJNEGO Rys. 5. Zależność 2 = 2 (t) dla warunków początkowych (3) 32
Andrzej Icha Rys. 6. Zależność 1 = 1 (t) dla warunków początkowych (3) Rys. 7. Zależność 2 = 2 (t) dla warunków początkowych (3) 33
OBLICZENIA SYMBOLICZNE W PROBLEMIE WAHADŁA PODWÓJNEGO 3. UWAGI KOŃCOWE Należy podkreślić, że obliczenia i generowanie grafiki w systemie obliczeń TeX-Postscript są równoczesne. Jakość grafiki postscriptowej oraz całkowita swoboda w opisie rysunków stawia ten system wyżej niż systemy komercyjne, w tym np. Maple. Dzięki mechanizmowi dołączania czcionek grafika jest całkowicie przenośna i nie zdarzają się przy- kre niespodzianki związane np. z substytucją fontów. Tworzenie animacji w formacie pdf wymaga dodatkowego przetwarzanie plików formaterem pdflatex, ale sprawia, że ich jakość jest nieporównywalna z archaicznymi, obecnymi w Maple, animacjami gif. Z punktu widzenia praktyki naukowej i dydaktycznej systemu TeX-Postscript nie należy traktować konkurencyjnie, ale raczej komplementarnie w stosunku do innych. Autor dostosował i sprawdził omawiane kody w zagadnieniach klasycznego wahadła matematycznego, wahadła o zmiennej długości, wahadła obrotowego i wahadła Kapicy, uzyskując rezultaty zgodne z literaturą przedmiotu. Próby realizacji kodu obliczeniowego w przypadku wahadła potrójnego są na razie w fazie początkowej; wstępne wyniki wydają się być zachęcające, chociaż nie udało się jeszcze przy tworzeniu animacji, wygenerować grafiki torów ruchu wahadeł: górnego i środkowego (p. rys. 8). Rys. 8. Tor ruchu wahadła potrójnego (wahadło dolne) Literatura 1. Calkin M. G,: Lagrangian and Hamiltonian mechanics. Singapore: World Scientific, 1998. 2. Krzyżanowski P.: Obliczenia naukowe. Warszawa: Uniwersytet Warszawski, 2011. http://mst.mimuw.edu.pl/wyklady/ona/wyklad.pdf.dostęp: 06.10.2016. 3. Landau L. D., Lifszyc I. M.: Mechanika. Warszawa: PWN, 2006. 4. Veltman M. J. G., Williams D. N.: Schoonschip '91. http://arxiv.org/pdf/hep-ph/9306228.pdf. Dostęp: 06.10.2016. 5. Voss H.: PSTricks: Graphics and PostScript for TeX and LaTeX. Cambridge: UIT, 2011. Artykuł dostępny na podstawie licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska. http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl 34