UOGÓNIONE KRZYWE POŚCIGOWE

Transkrypt

1 MODELOWANIE INŻYNIERSKIE 2017 nr 62, ISSN X UOGÓNIONE KRZYWE POŚCIGOWE Andrzej Icha 1a,b 1 Instytut Matematyki, Akademia Pomorska w Słupsku a majorana38@gmail.com, b andrzej.icha@apsl.edu.pl Streszczenie Praca dotyczy wybranych zagadnień krzywych przestępnych pojawiających się przy analizie problemów pościgowych. Krótko omówiono klasyczne zagadnienie pogoni oraz zaprezentowano rezultaty modelowania uogólnionych problemów pościgowych przy wykorzystaniu języka programowania MetaPost i systemu obliczeń symbolicznych Maple. Otrzymano i przedstawiono realizacje krzywych pogoni dla wybranych, zadanych krzywych ucieczki obejmujących: prostą (test), okrąg, parabolę, asteroidę, krzywą Talbota, bikorn oraz trzy krzywe autorskie. Słowa kluczowe: krzywe, zagadnienia pościgowe, MetaPost, Maple GENERALIZED PURSUIT CURVES Summary The paper deals with selected problems concerning the transcendental curves that arise when analyzing pursuit problems. The classical chase problem is described briefly, and the results of modelling the generalized pursuit problems are presented, using the MetaPost and the Maple software. The following chase curves are obtained for the prescribed escape curves, namely, the line (for the test),the circle, the parabola, the asteroid, the Talbot curve, the bicorn, and the three own curves. Keywords: pursuit problems, Metapost, Maple 1. WSTĘP Pojęcie krzywej będącej jednym z kluczowych obiektów w geometrii, przewija się w matematyce i jej zastosowaniach od starożytności. W każdym okresie rozwoju wiedzy wnoszono pewien konstruktywny wkład do tej koncepcji, ale zasadniczą rolę w tym procesie odegrała metoda współrzędnych René Descartesa ( ) (Kartezjusza), która ugruntowała mechanistycznoanalityczny obraz opisu natury aż do końca XIX wieku. W swoim dziele La Géométrie z 1637 r. Kartezjusz dzieli wszystkie krzywe na mechaniczne i geometryczne (we współczesnej terminologii transcendentalne (przestępne) i algebraiczne). Krzywe mechaniczne wymienione w Geometrii to spirala Archimedesa i kwadratrysa. Krzywe geometryczne to stożkowe, konchoida Nikomedesa, parabola sześcienna (parabola Kartezjusza) oraz krzywe kreślone przez mezolabium; do tej grupy należą też linia prosta i koło [1]. Dominujący współcześnie informatyczny paradygmat postrzegania rzeczywistości wyniósł krzywe do roli ważnego narzędzia w kinematycznych zagadnieniach mechaniki teoretycznej (trajektorie ruchów); automatyce i robotyce (teoria sterowania); grafice naukowej (wykresy, prezentacje, animacje); grafice artystycznej (tzw. krzywe estetyczne); typografii komputerowej (projektowanie i realizacja czcionek komputerowych), czy w problemie opracowania wyników eksperymentów. Tematyka pracy koncentruje się w kręgu wybranych zagadnień obejmujących problematykę krzywych przestępnych. Krótko omówiono klasyczną krzywą pogoni oraz uogólnione zagadnienia pościgowe prowadzące do krzywych estetycznych pościg w kwadracie, trójkącie (wraz z animacjami) oraz w wielokątach foremnych o n = 5,...,8 bokach. Wykorzystano w tym celu język programowania MetaPost. Przedstawiono również krzywe przestępne uzyskane w przypadku, gdy trajektoria ściganego obiektu jest pewną, z góry zadaną, krzywą. Wykorzystując system obliczeń symbolicznych Maple, rozwiązano numerycznie zagadnienie pościgu dla 9 wybranych krzywych, w tym trzech autorskich. 29

2 UOGÓLNIONE KRZYWE POŚCIGOWE 2. KLASYCZNA KRZYWA POGONI Matematyczne ujęcie problemu pogoni (ucieczki, pościgu) w aspekcie historycznym jest zwykle odnoszone do francuskiego hydrografa i matematyka Pierre a Bouguera ( ), który w 1732 r. rozważał zagadnienie okrętu pirackiego ścigającego uciekający statek handlowy. Od tego czasu problem pościgowy był analizowany wielokrotnie, prowadząc do szeregu interesujących zagadnień matematycznych i w szczególności takich, w których pojawiają się krzywe przestępne [4]. Rozważano następujący, płaski problem kinematyczny (p. rys. 1). Punkt materialny P znajdujący się w chwili początkowej w punkcie P0 porusza się ze stałą prędkością v1 wzdłuż osi Ox, w kierunku wyznaczonym przez dodatni zwrot osi Ox. Gdy punkt materialny znajduje się w punkcie O, inny punkt materialny M, znajdujący się w chwili początkowej w punkcie M0(0,a), a > 0, zaczyna poruszać się po płaszczyźnie Oxy, ze stałą prędkością v2 tak, aby w punkcie M(x,y) płaszczyzny wektor prędkości v2 był stale skierowany do punktu P [5]. Rys. 1. Krzywa pogoni geometria problemu Definicja 1. Trajektorię K punktu materialnego M nazywa się krzywą pogoni (lub krzywą pościgu). 30

3 Andrzej Icha Rys. 2. Krzywe pogoni (5) i (6) dla k {1/2, 2, 1}, a = 8 3. KRZYWE POŚCIGU UOGÓLNIENIA Zagadnienie prowadzące do otrzymania krzywej pogoni doczekało się bardzo wielu uogólnień, z których tylko nieliczne dopuszczają ścisłe rozwiązania. Najprostsze z nich dotyczy odrzucenia założenia, że obiekt ścigany (punkt materialny) porusza się po linii prostej. Znane są w literaturze rozwiązania problemu, w którym taki obiekt porusza się po zadanej krzywej (np. okręgu [4]). Inne uogólnienia dotyczą analizy trajektorii kilku obiektów ścigających, umieszczonych w zadanej geometrii (np. w wierzchołkach trójkąta, kwadratu, wielokąta itp.). Rozważano kilka takich problemów, posługując się metodami geometryczno-programistycznymi. Niech będzie dany kwadrat, w którego każdym wierzchołku umieszczony jest punkt materialny (obiekt ścigający). W pewnej chwili punkty zaczynają się poruszać ze stałymi, równymi co do wartości prędkościami, skierowanymi stale w kierunku sąsiadującego obiektu. W ustalonych momentach czasu, wyznaczając styczne i prostopadłe do toru i łącząc osiągnięte punkty, uzyskuje się kolejne kwadraty, obrócone w stosunku do wyjściowego o pewne kąty. W rezultacie trajektorie tych obiektów utworzą spiralne ścieżki, które połączą się w jednym punkcie (środku kwadratu). Algorytm, ilustrujący opisany problem, został napisany w języku programowania Meta- Post, który prezentowany jest poniżej wraz z graficzną realizacją. 31

4 UOGÓLNIONE KRZYWE POŚCIGOWE Kod źródłowy 1. Pościg w kwadracie Rys. 3. Pościg w kwadracie przy n = 1, 5,7 i n = 100 W analogiczny sposób rozważa się problem pościgu, w którym obiekty umieszczone są w wierzchołkach trójkąta (np. równobocznego [8]). Bardziej złożona jest realizacja zagadnień pościgowych w wielokątach foremnych [7]. Odpowiednie kody źródłowe, napisane w programie MetaPost, dostępne są u autora pod adresem andrzej.icha@apsl.edu.pl. Poniżej przedstawione są rezultaty graficzne pościgu w trójkącie i wielokątach foremnych o n = 5, 6, 7 i n = 8 bokach. Rys. 4. Pościg w trójkącie przy n = 5, n = 11 i n =

5 Andrzej Icha Rys. 5. Pościg w wielokątach dla n {5, 7, 6, 8} 4. KRZYWE POŚCIGU DLA ZADANYCH TRAJEKTORII Zagadnienie kinematyczne, opisane w rozdziale 2., stanowi klasyczny problem pościgowy, w którym rozważa się dwuwymiarowy ruch dwóch obiektów, przy czym pierwszy obiekt porusza się w kierunku równoległym do osi x ze stałą prędkością (trajektorią jest linia prosta). W ogólnym przypadku trajektoria ściganego obiektu może być dowolną, z góry zadaną krzywą i uogólniony problem pościgowy sprowadza się do znalezienia trajektorii obiektu ścigającego, przy założeniu, że drugi obiekt startuje w chwili początkowej z zadanego, znanego położenia i porusza się ze stałą co do modułu prędkością skierowaną zawsze w stronę aktualnego położenia obiektu pierwszego. Tak postawione zagadnienie prowadzi do analizy układu dwóch, nieliniowych na ogół, równań różniczkowych rzędu pierwszego, możliwego do rozwiązania jedynie metodami numerycznymi [4]. Wykorzystując system obliczeń symbolicznych Maple, można sformułować problem pościgowy i przedstawić wybrane rozwiązania dla zadanych trajektorii obiektu uciekającego. Nich A = (x1(t),y1(t)) i B = (x2(t),y2(t)) oznaczają odpowiednio współrzędne obiektu ściganego i obiektu ścigającego. Wektory wodzące tych punktów są równe OA i OB (zob. rys. 6). Rys. 6. Szkic do problemu pościgu W dalszym ciągu przyjmuje się, że prędkości obu obiektów są stałe co do modułu i oznacza się je odpowiednio przez va, va = const i vb, vb = const, przy czym zakłada się, że va = k vb, gdzie k +. W układzie współrzędnych kartezjańskich trajektorie opisywane są zatem przez układ równań 33

6 UOGÓLNIONE KRZYWE POŚCIGOWE W celu rozwiązania tego układu należy określić (zadać) trajektorię oddalającego się obiektu A. Wykorzystując system obliczeń symbolicznych Maple, znaleziono (numerycznie) rozwiązania układu (7) w kilku wybranych przypadkach. Kod źródłowy 2. Obliczenia w Maple Poniżej, na kolejnych rysunkach, przedstawiono rezultaty obliczeń. Rys. 7. Krzywe pościgu dla zadanych trajektorii: prostej (k = 0.75), okręgu (k = 0.75) i paraboli (k = 0.5) 34

7 Andrzej Icha Rys. 8. Krzywe pościgu dla zadanych trajektorii: asteroidy (k = 0.5), krzywej Talbota (k = 0.5) i bikorn (k = 0.5) Rys. 9. Krzywe pościgu dla nieklasyfikowanych, trzech krzywych autorskich (k = 0.25, k = 0.45, k = 045) Wykorzystując zaprezentowane algorytmy, można również uzyskać spektakularne, artystyczne grafiki, w których pojawiają się krzywe pościgowe. Poniżej zaprezentowany jest autorski projekt (bez kodu źródłowego), w którym krzywe pościgowe w trójkątach są umieszczone w siedmiokącie foremnym. Rys. 10. Artystyczna wizja krzywych pościgowych 35

8 UOGÓLNIONE KRZYWE POŚCIGOWE 5. UWAGI KOŃCOWE Napisany w Maple algorytm nie jest optymalny; poza tym jest on czuły na wybór wartości k (stosunku prędrozwiązania przy kości obiektów). Udało się otrzymać założeniu, że k < 1 (ścigający nigdy nie dogoni ścigane- pościgowy na go). Wyjątek stanowi klasyczny problem prostej, gdzie obliczenia wykonano również dla k = 1 i k > 1. Zrealizowano również animacje pościgu w kwadramakr cie i trójkątach wykorzystując zestaw napisanych w języku MetaPost, opracowanych przez Ch. Poulaina [6] w latach Programy te są rozpowszechnia- przez auto- ne na licencji GNU i zostały zmodyfikowane ra w celu dostosowania do aktualnej wersji Metaanimacje wykonane w Post.Stosowne animacje, w tym Maple, dostępne są na żądanie pod adresem: andrzej.icha@apsl.edu.pl. Rys 11. Przykładowe pliki animacji w kwadracie iteracje 26 i 39 Literatura 1. Błaszczyk P., Mrówka K.: Metafizyka ruchu w Geometrii Kartezjusza. Argument 2014, Vol. 4, s Lawrence J.D.: A catalog of special plane curves. New York: Dover Publications, Inc., Lockwood E. H.: A book of curves. Cambridge: Cambridge at the University Press, Nahin P. J.: Chases and escapes: the mathematics of pursuit and evasion. Princeton and Oxford: Princeton University Press, Niczyporowicz E.: Krzywe płaskie: wybrane zagadnienia z geometrii analitycznej i różniczkowej. Warszawa: PWN, Poulain Ch: Dostęp Sarlat J.M.: /syracuse/metapost/vrac. Dostęp Zetel S. I.: Geometria trójkąta. Warszawa: PZWS, Artykuł dostępny na podstawie licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska. 36